Формулите или правилата за съкратено умножение се използват в аритметиката, по-специално в алгебрата, за да се ускори процеса на изчисляване на големи алгебрични изрази. Самите формули се извличат от съществуващите в алгебрата правила за умножение на няколко полинома.
Използването на тези формули осигурява доста бързо решение на различни математически проблеми и също така помага за опростяване на изрази. Правилата на алгебричните трансформации ви позволяват да извършвате някои манипулации с изрази, след което можете да получите от лявата страна на равенството израза от дясната страна или да трансформирате дясната страна на равенството (за да получите израза от лявата страна след знака за равенство).
Удобно е да знаете формулите, използвани за съкратено умножение от паметта, тъй като те често се използват при решаване на задачи и уравнения. По-долу са основните формули, включени в този списък, и техните имена.
Квадрат на сумата
За да изчислите квадрата на сумата, трябва да намерите сумата, състояща се от квадрата на първия член, два пъти произведението на първия член и втория и квадрата на втория. Под формата на израз това правило се записва по следния начин: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Разлика на квадрат
За да изчислите квадрата на разликата, трябва да изчислите сумата, състояща се от квадрата на първото число, два пъти произведението на първото число и второто (взето с обратен знак) и квадрата на второто число. Под формата на израз това правило изглежда така: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Разлика на квадратите
Формулата за разликата на две числа на квадрат е равна на произведението от сбора на тези числа и тяхната разлика. Под формата на израз това правило изглежда така: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Куб сума
За да изчислите куба на сумата от два члена, трябва да изчислите сумата, състояща се от куба на първия член, утроете произведението на квадрата на първия член и втория, утройте произведението на първия член и втория на квадрат и кубът на втория член. Под формата на израз това правило изглежда така: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Сбор от кубове
Според формулата тя е равна на произведението на сумата от тези членове и техния непълен квадрат на разликата. Под формата на израз това правило изглежда така: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигура, образувана чрез събиране на два куба. Известни са само размерите на страните им.
Ако страничните стойности са малки, тогава изчисленията са прости.
Ако дължините на страните са изразени в тромави числа, тогава в този случай е по-лесно да използвате формулата „Сума от кубове“, което значително ще опрости изчисленията.
Куб на разликата
Изразът за кубичната разлика звучи така: като сбор от третата степен на първия член, утроете отрицателния продукт на квадрат на първия член по втория, утройте произведението на първия член на квадрата на втория и отрицателния куб на втория член. Под формата на математически израз, кубът на разликата изглежда така: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Разлика на кубчета
Формулата за разликата на кубовете се различава от сумата на кубовете само с един знак. По този начин разликата на кубовете е формула, равна на произведението на разликата на тези числа и техния непълен квадрат на сумата. Във формата разликата на кубчетата изглежда така: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който ще остане след изваждане на жълтата обемна фигура, която също е куб, от обема на синия куб. Известен е само размерът на страните на малкия и големия куб.
Ако страничните стойности са малки, тогава изчисленията са доста прости. И ако дължините на страните са изразени в значителни числа, тогава си струва да приложите формулата, озаглавена „Разлика на кубовете“ (или „Куб на разликата“), което значително ще опрости изчисленията.
Формули за съкратено умножение.
Разучаване на формули за съкратено умножение: квадрат на сбора и квадрат на разликата на два израза; разлика на квадратите на два израза; куб на сбора и куб на разликата на два израза; сбор и разлика на кубове на два израза.
Приложение на формули за съкратено умножение при решаване на примери.
За опростяване на изрази, разлагане на полиноми и намаляване на полиномите до стандартна форма се използват формули за съкратено умножение. Формулите за съкратено умножение трябва да знаете наизуст.
Нека a, b R. Тогава:
1. Квадратът на сбора от два израза е равен наквадратът на първия израз плюс два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадратът на втория израз.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Квадратът на разликата на два израза е равен наквадратът на първия израз минус два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадратът на втория израз.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Разлика на квадратитедва израза е равно на произведението от разликата на тези изрази и тяхната сума.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Куб сумадва израза е равно на куба на първия израз плюс утроения продукт на квадрата на първия израз и втория плюс утроения продукт на първия израз и квадрата на втория плюс куба на втория израз.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Куб на разликатадва израза е равно на куба на първия израз минус утроеното произведение на квадрата на първия израз и втория плюс утроеното произведение на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Сбор от кубоведва израза е равно на произведението от сбора на първия и втория израз и непълния квадрат на разликата на тези изрази.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Разлика на кубчетадва израза е равно на произведението на разликата на първия и втория израз по непълния квадрат на сумата от тези изрази.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Приложение на формули за съкратено умножение при решаване на примери.
Пример 1.
Изчисли
а) Използвайки формулата за квадрат на сумата от два израза, имаме
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
б) Използвайки формулата за квадрат на разликата на два израза, получаваме
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Пример 2.
Изчисли
Използвайки формулата за разликата на квадратите на два израза, получаваме
Пример 3.
Опростете израз
(x - y) 2 + (x + y) 2
Нека използваме формулите за квадрат на сумата и квадрат на разликата на два израза
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Формули за съкратено умножение в една таблица:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Формули за съкратено умножение. обучение.
Опитайте се да оцените следните изрази по този начин:
Отговори:
Или, ако знаете квадратите на основните двуцифрени числа, спомнете си колко е? Помниш ли? . Страхотен! Тъй като повдигаме на квадрат, трябва да умножим по. Оказва се, че.
Не забравяйте, че формулите за квадратна сума и квадратна разлика са валидни не само за числови изрази:
Пресметнете сами следните изрази:
Отговори:
Формули за съкратено умножение. Долен ред.
Нека обобщим малко и напишем формулите за квадрат на сумата и разликата в един ред:
Сега нека практикуваме „сглобяване“ на формулата от разложен изглед в изглед. Това умение ще ни е необходимо по-късно, когато преобразуваме големи изрази.
Да кажем, че имаме следния израз:
Знаем, че квадратът на сбора (или разликата) е квадрат на едно число квадрат на друго числоИ два пъти произведението на тези числа.
В тази задача е лесно да се види квадратът на едно число - това. Съответно, едно от числата, включени в скобата, е корен квадратен от, т.е
Тъй като вторият член съдържа, това означава, че това е двойното произведение съответно на едно и друго число:
Къде е второто число, включено в нашата скоба.
Второто число в скобата е равно на.
Да проверим. трябва да са равни. Наистина, това е така, което означава, че сме намерили и двете числа в скоби: и. Остава да се определи знакът, който стои между тях. Какъв знак мислите, че ще има там?
вярно! Тъй като ние добаветеАко продуктът е удвоен, между числата ще има знак за събиране. Сега запишете трансформирания израз. успяхте ли Трябва да получите следното:
Забележка: промяната на местата на термините не влияе на резултата (няма значение дали събирането или изваждането е поставено между и).
Абсолютно не е необходимо термините в израза, който се преобразува, да бъдат както са написани във формулата. Вижте този израз: . Опитайте сами да го конвертирате. Се случи?
Практикувайте - трансформирайте следните изрази:
Отговори:успяхте ли Да оправим темата. Изберете от изразите по-долу тези, които могат да бъдат представени като квадрат на сбора или разликата.
- - докажете, че е еквивалентен.
- - не може да се представи като квадрат; човек би могъл да си представи, ако вместо това имаше.
Разлика на квадратите
Друга съкратена формула за умножение е разликата на квадратите.
Разликата на квадратите не е квадрат на разликата!
Разликата между квадратите на две числа е равна на произведението от сбора на тези числа и тяхната разлика:
Нека проверим дали тази формула е правилна. За да направите това, нека умножим, както направихме при извеждането на формулите за квадрат на сбора и разликата:
Току-що проверихме, че формулата наистина е правилна. Тази формула също така опростява сложните изчислителни операции. Ето един пример:
Необходимо е да се изчисли: . Разбира се, можем да повдигнем на квадрат, след това на квадрат и да извадим едно от друго, но формулата ни улеснява:
Се случи? Нека сравним резултатите:
Подобно на квадрата на сумата (разликата), формулата за разликата на квадратите може да се използва не само с числа:
Знанието как да изчисляваме разликата на квадратите ще ни помогне да трансформираме сложни математически изрази.
Обърни внимание:
Тъй като, когато разлагаме разликата на правилния израз на квадрат, получаваме
Бъдете внимателни и вижте кой конкретен член е поставен на квадрат! За да консолидирате темата, трансформирайте следните изрази:
Записахте ли го? Нека сравним получените изрази:
Сега, след като усвоихте квадрата на сумата и квадрата на разликата, както и разликата на квадратите, нека се опитаме да решим примери с комбинация от тези три формули.
Преобразуване на елементарни изрази (сума на квадрат, разлика на квадрат, разлика на квадрати)
Да кажем, че ни дават пример
Този израз трябва да бъде опростен. Погледнете внимателно, какво виждате в числителя? Точно така, числителят е перфектен квадрат:
Когато опростявате израз, не забравяйте, че ключът в коя посока да отидете при опростяването е в знаменателя (или числителя). В нашия случай, когато знаменателят е разширен и нищо повече не може да се направи, можем да разберем, че числителят ще бъде или квадрат на сумата, или квадрат на разликата. Тъй като събираме, става ясно, че числителят е квадрат на сумата.
Опитайте сами да конвертирате следните изрази:
Се случи? Сравнете отговорите и продължете напред!
Куб сбор и куб разлика
Формулите за куба на сбора и куба на разликата се извличат по същия начин като квадрат на суматаИ разлика на квадрат: отваряне на скоби при умножаване на членове един с друг.
Ако квадратът на сумата и квадратът на разликата са много лесни за запомняне, тогава възниква въпросът: „как да запомните кубчета?“
Разгледайте внимателно двете описани формули в сравнение с повдигане на квадрат на подобни членове:
Какъв модел виждате?
1. При издигане в квадратние имаме квадратпървия ден и квадратвторо; при повдигане на куб - да кубсъщия номер и кубдруго число.
2. При издигане в квадрат, ние имаме удвоенипроизведение на числа (числа, повдигнати на 1-ва степен, което е с една степен по-малко от тази, на която повдигаме израза); по време на строителството в куб - утроенипроизведение, в което едно от числата е на квадрат (което също е 1 степен по-малка от степента, на която повдигаме израза).
3. При повдигане на квадрат знакът в скоби в отворения израз се отразява при събиране (или изваждане) на двойното произведение - ако има събиране в скобите, тогава събираме, ако има изваждане, изваждаме; когато повдигаме куб, правилото е следното: ако имаме сборен куб, тогава всички знаци са "+", а ако имаме различен куб, тогава знаците се редуват: " " - " " - " " - " " .
Всичко по-горе, с изключение на зависимостта на степените при умножаване на членове, е показано на фигурата.
Ще тренираме ли? Отворете скобите в следните изрази:
Сравнете получените изрази:
Разлика и сбор от кубове
Нека да разгледаме последната двойка формули: разлика и сбор от кубове.
Както си спомняме, в разликата на квадратите ние умножаваме разликата и сумата на тези числа едно по друго. Има и две скоби в разликата на кубовете и сбора на кубовете:
1 скоба - разликата (или сумата) на числата на първа степен (в зависимост от това дали разкриваме разликата или сумата на кубовете);
2-ра скоба е непълен квадрат (погледнете внимателно: ако извадим (или добавим) двойното произведение на числата, ще има квадрат), знакът при умножаване на числа е противоположен на знака на оригиналния израз.
За да подсилим темата, нека разрешим няколко примера:
Сравнете получените изрази:
обучение
Отговори:
Нека обобщим:
Има 7 формули за съкратено умножение:
НАПРЕДНАЛО НИВО
Формулите за съкратено умножение са формули, като знаете, че можете да избегнете извършването на някои стандартни действия при опростяване на изрази или разлагане на полиноми. Формулите за съкратено умножение трябва да се знаят наизуст!
- Квадрат на суматадва израза е равно на квадрата на първия израз плюс два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз:
- Разлика на квадратдва израза е равно на квадрата на първия израз минус два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз:
- Разлика на квадратитедва израза е равно на произведението от разликата на тези изрази и тяхната сума:
- Куб сумадва израза е равно на куба на първия израз плюс утроения продукт на квадрата на първия израз и втория плюс утроения продукт на първия израз и квадрата на втория плюс куба на втория израз:
- Куб на разликатадва израза е равно на куба на първия израз минус утроеното произведение на квадрата на първия израз и втория плюс утроеното произведение на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз:
- Сбор от кубоведва израза е равно на произведението от сбора на първия и втория израз и непълния квадрат на разликата на тези изрази:
- Разлика на кубчетадва израза е равно на произведението на разликата на първия и втория израз по непълния квадрат на сумата от тези изрази:
Сега нека докажем всички тези формули.
Формули за съкратено умножение. Доказателство.
1. .
Да повдигнеш израз на квадрат означава да го умножиш сам по себе си:
.
Нека отворим скобите и да дадем подобни:
2. .
Правим същото: умножаваме разликата сама по себе си, отваряме скобите и даваме подобни:
.
3. .
Нека вземем израза от дясната страна и отворим скобите:
.
4. .
Число в куб може да бъде представено като това число, умножено по неговия квадрат:
По същия начин:
В разликата на кубчетата знаците се редуват.
6. .
.
7. .
Нека отворим скобите от дясната страна:
.
Използване на формули за съкратено умножение за решаване на примери
Пример 1:
Намерете значението на изразите:
Решение:
- Използваме формулата квадрат на сбора: .
- Нека си представим това число като разлика и използваме формулата за квадрат на разликата: .
Пример 2:
Намерете значението на израза: .
Решение:
Използвайки формулата за разликата на квадратите на два израза, получаваме:
Пример 3:
Опростете израза:
Решение по два начина:
Нека използваме формулите: квадрат на сумата и квадрат на разликата:
Метод II.
Нека използваме формулата за разликата на квадратите на два израза:
СЕГА ВАШАТА ДУМА...
Казах ви всичко, което знам за формулите за съкратено умножение.
Кажи сега, ще ги използваш ли? Ако не, защо не?
Как ви харесва тази статия?
Може би имате въпроси. Или предложения.
Пишете в коментарите. Четем всички коментари и отговаряме на всички.
И успех на изпитите!
Три фактора, всеки от които е равен х.(\displaystyle x.) Тази аритметична операция се нарича "куб" и резултатът от нея се обозначава:
x 3 (\displaystyle x^(3))x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x) кубЗа кубичен, обратната операция е да се вземе кубичен корен. Геометрично име на трета степен " "се дължи на факта, че древните математици са считали стойностите на кубовете катокубични числа , специален вид къдрави числа (вижте по-долу), тъй като кубът на числото x (\displaystyle x) , специален вид къдрави числа (вижте по-долу), тъй като кубът на числото.
равен на обема на куб с дължина на ръба, равна на
, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…Последователност от кубчета Сборът на първите кубчета n (\displaystyle n)
положителни естествени числа се изчислява по формулата:∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\right) ^(2))
Извеждане на формулата
|
|
Таблици за умножение и аритметична прогресия
Сумата от числата в k-тата (k=1,2,...) избрана област на първата таблица:k 2 + 2 k ∑ l = 1 k − 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))
И сумата от числата в k-тата (k=1,2,...) избрана област на втората таблица, представляваща аритметична прогресия:k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))
∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k) =1)^(n)k^(3)=\сума _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1) ))(2))\sum _(k=1)^(n)k=\left((\frac (n(n+1))(2))\right)^(2))Някои имоти
- В десетичната нотация кубът може да завършва с произволна цифра (за разлика от квадрата)
- В десетичната система последните две цифри на куба могат да бъдат 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Зависимостта на предпоследната цифра на куба от последният може да бъде представен в следната таблица:
Кубчета като фигурни числа
"кубично число" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3))исторически разглеждани като вид пространствени фигурни числа. Може да се представи като разликата на квадратите на последователни триъгълни числа T n (\displaystyle T_(n)):
Q n = (T n) 2 − (T n − 1) 2 , n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\dots +Q_(n)=(T_(n) )^(2))Разликата между две съседни кубични числа е центрираното шестоъгълно число.
Изразяване на кубично число чрез тетраедър Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).
В предишния урок се занимавахме с факторизиране. Усвоихме два метода: поставяне на общия множител извън скоби и групиране. В този урок - следният мощен метод: формули за съкратено умножение. Накратко - FSU.
Формулите за съкратено умножение (квадрат на сбор и разлика, куб на сбор и разлика, куб на квадрати, сбор и разлика на кубове) са изключително необходими във всички клонове на математиката. Те се използват за опростяване на изрази, решаване на уравнения, умножение на полиноми, съкращаване на дроби, решаване на интеграли и др. и така нататък. Накратко, има всички основания да се занимаваме с тях. Разберете откъде идват, защо са необходими, как да ги запомните и как да ги използвате.
разбираме ли?)
Откъде идват формулите за съкратено умножение?
Равенствата 6 и 7 не са написани по познат начин. Донякъде е обратното. Това е нарочно.) Всяко равенство работи както отляво надясно, така и отдясно наляво. Този запис прави по-ясно откъде идват FSU.
Те са взети от умножението.) Например:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Това е, без научни трикове. Просто умножаваме скобите и даваме подобни. Така се оказва всички формули за съкратено умножение. Съкратеноумножение е защото в самите формули няма умножение на скоби и съкращаване на подобни. Съкратено.) Резултатът се дава веднага.
FSU трябва да се знае наизуст. Без първите три не можете да мечтаете за C; без останалите не можете да мечтаете за B или A.)
Защо се нуждаем от формули за съкратено умножение?
Има две причини да научите, дори да запомните тези формули. Първият е, че готовият отговор автоматично намалява броя на грешките. Но това не е основната причина. Но второто...
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.