– със сигурност ще има задачи по тригонометрия. Тригонометрията често не се харесва поради необходимостта да се натъпчат огромен брой трудни формули, гъмжащи от синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Сайтът вече веднъж даде съвет как да запомните забравена формула, използвайки примера на формулите на Ойлер и Пийл.
И в тази статия ще се опитаме да покажем, че е достатъчно да знаете твърдо само пет прости тригонометрични формули и да знаете за останалите Главна идеяи ги извадете, докато вървите. Това е като с ДНК: молекулата не съхранява пълните чертежи на готово живо същество. По-скоро съдържа инструкции за сглобяването му от наличните аминокиселини. Така че в тригонометрията, знаейки някои основни принципи, ще получим всичко необходимите формулиот малък комплекттези, които трябва да се имат предвид.
Ще разчитаме на следните формули:
От формулите за синусови и косинусови суми, знаейки за паритета на косинусовата функция и нечетността на синусовата функция, замествайки -b вместо b, получаваме формули за разликите:
- Синус от разликата: грях(a-b) = гряхаcos(-б)+cosагрях(-б) = гряхаcosb-cosагряхb
- Косинус на разликата: cos(a-b) = cosаcos(-б)-гряхагрях(-б) = cosаcosb+гряхагряхb
Като поставим a = b в същите формули, получаваме формулите за синус и косинус на двойни ъгли:
- синусите двоен ъгъл : грях2а = грях(а+а) = гряхаcosа+cosагряха = 2гряхаcosа
- Косинус на двоен ъгъл: cos2а = cos(а+а) = cosаcosа-гряхагряха = cos2а-грях2а
Формулите за други множество ъгли се получават по подобен начин:
- Синус на троен ъгъл: грях3а = грях(2a+a) = грях2аcosа+cos2агряха = (2гряхаcosа)cosа+(cos2а-грях2а)гряха = 2гряхаcos2а+гряхаcos2а-грях 3 а = 3 гряхаcos2а-грях 3 а = 3 гряха(1-грях2а)-грях 3 а = 3 гряха-4грях 3а
- Косинус на троен ъгъл: cos3а = cos(2a+a) = cos2аcosа-грях2агряха = (cos2а-грях2а)cosа-(2гряхаcosа)гряха = cos 3 а- грях2аcosа-2грях2аcosа = cos 3 а-3 грях2аcosа = cos 3 a-3 (1- cos2а)cosа = 4cos 3 а-3 cosа
Преди да продължим, нека разгледаме един проблем.
Дадено: ъгълът е остър.
Намерете неговия косинус, ако
Решение, дадено от един ученик:
защото , Че гряха= 3,а cosа = 4.
(От математическия хумор)
И така, определението за тангенс свързва тази функция както със синус, така и с косинус. Но можете да получите формула, която свързва тангенса само с косинуса. За да го извлечем, вземаме основната тригонометрична идентичност: грях 2 а+cos 2 а= 1 и го разделете на cos 2 а. Получаваме:
Така че решението на този проблем би било:
(Тъй като ъгълът е остър, при извличане на корена се взема знакът +)
Формулата за тангенса на сбор е друга, която е трудна за запомняне. Нека го изведем така:
Веднага се показва и
От формулата за косинус за двоен ъгъл можете да получите формулите за синус и косинус за половин ъгъл. За да направите това, от лявата страна на формулата за двоен ъглов косинус:
cos2
а = cos 2
а-грях 2
а
добавяме единица, а вдясно - тригонометрична единица, т.е. сумата от квадратите на синус и косинус.
cos2а+1 = cos2а-грях2а+cos2а+грях2а
2cos 2
а = cos2
а+1
Изразяване cosапрез cos2
аи извършвайки промяна на променливи, получаваме:
Знакът се взема в зависимост от квадранта.
По същия начин, като извадим единица от лявата страна на равенството и сумата от квадратите на синуса и косинуса от дясната, получаваме:
cos2а-1 = cos2а-грях2а-cos2а-грях2а
2грях 2
а = 1-cos2
а
И накрая, за да преобразуваме сумата от тригонометричните функции в продукт, използваме следната техника. Да кажем, че трябва да представим сумата от синуси като продукт гряха+гряхb. Нека въведем променливи x и y, така че a = x+y, b+x-y. Тогава
гряха+гряхb = грях(x+y)+ грях(x-y) = гряхх cos y+ cosх грях y+ гряхх cosд- cosх грях y=2 гряхх cosг. Нека сега изразим x и y чрез a и b.
Тъй като a = x+y, b = x-y, тогава . Ето защо
Можете да оттеглите веднага
- Формула за разделяне произведения от синус и косинус V количество: гряхаcosb = 0.5(грях(a+b)+грях(а-б))
Препоръчваме ви да практикувате и да извеждате сами формули за превръщане на разликата от синуси и сбора и разликата от косинусите в произведение, както и за разделяне на произведенията от синуси и косинус в сбора. След като завършите тези упражнения, вие ще овладеете напълно умението за извеждане на тригонометрични формули и няма да се изгубите дори в най-трудния тест, олимпиада или тестване.
Да се справим с прости концепции: синус и косинуси изчисление косинус на квадрат и синус на квадрат.
Синусът и косинусът се изучават в тригонометрията (изучаването на правоъгълни триъгълници).
Затова, първо, нека си припомним основните понятия за правоъгълен триъгълник:
хипотенуза- страната, която винаги е срещуположна прав ъгъл(ъгъл от 90 градуса). Хипотенузата е най-дългата страна на правоъгълен триъгълник.
Останалите две страни в правоъгълен триъгълник се наричат крака.
Трябва също така да запомните, че сборът на три ъгъла в триъгълник винаги дава 180°.
Сега да преминем към косинус и синус на ъгъл алфа (∠α)(това може да се нарече всеки индиректен ъгъл в триъгълник или да се използва като обозначение x - "x", което не променя същността).
Синус на ъгъл алфа (sin ∠α)- това е отношение противоположносткатет (страната срещу съответния ъгъл) към хипотенузата. Ако погледнете фигурата, тогава sin ∠ABC = AC / BC
Косинус на ъгъл алфа (cos ∠α)- поведение съседенкъм ъгъла на катета спрямо хипотенузата. Гледайки отново фигурата по-горе, cos ∠ABC = AB / BC
И само да ви напомня: косинус и синус никога няма да бъдат повече от един, тъй като всяка ролка е по-къса от хипотенузата (а хипотенузата е най-дългата страна на всеки триъгълник, тъй като най-дългата страна е разположена срещу най-големия ъгъл в триъгълника).
Косинус на квадрат, синус на квадрат
Сега да преминем към основните тригонометрични формули: Изчислете косинус на квадрат и синус на квадрат.
За да ги изчислите, трябва да запомните основната тригонометрична идентичност:
sin 2 α + cos 2 α = 1(синус квадрат плюс косинус квадрат на един ъгъл винаги е равно на едно).
от тригонометрична идентичностправим изводи за синуса:
sin 2 α = 1 - cos 2 α
синус квадрат алфа равно на едноминус косинуса на двойния ъгъл алфа и разделя всичко на две.
sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2
От тригонометричната идентичност правим изводи за косинуса:
cos 2 α = 1 - sin 2 α
или по труден вариантформули: косинус квадрат алфае равно на едно плюс косинуса на двойния ъгъл алфа и също разделя всичко на две.
cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2
Тези двете са повече сложни формулисинус на квадрат и косинус на квадрат се наричат още „намаляване на степента за квадрати на тригонометрични функции“. Тези. имаше втора степен, свалиха я на първа и изчисленията станаха по-удобни.
Най-простото решение тригонометрични уравнения.
Решаването на тригонометрични уравнения с всякакво ниво на сложност в крайна сметка се свежда до решаването на най-простите тригонометрични уравнения. И в това най-добър помощникотново се оказва тригонометрична окръжност.
Нека си припомним дефинициите на косинус и синус.
Косинусът на ъгъл е абсцисата (тоест координатата по оста) на точка на единична окръжност, съответстваща на завъртане на даден ъгъл.
Синусът на ъгъл е ординатата (т.е. координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане през даден ъгъл.
Положителната посока на движение върху тригонометричния кръг е обратно на часовниковата стрелка. Завъртане от 0 градуса (или 0 радиана) съответства на точка с координати (1;0)
Използваме тези определения за решаване на прости тригонометрични уравнения.
1. Решете уравнението
Това уравнение се удовлетворява от всички стойности на ъгъла на завъртане, които съответстват на точки от окръжността, чиято ордината е равна на .
Нека отбележим точка с ордината върху ординатната ос:
Нека изпълним хоризонтална линияуспоредна на оста x, докато се пресече с окръжността. Получаваме две точки, лежащи на окръжността и имащи ордината. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани:
Ако напуснем точката, съответстваща на ъгъла на въртене с радиани, заобиколим пълен кръг, тогава ще стигнем до точка, съответстваща на ъгъла на завъртане на радиан и имаща същата ордината. Тоест, този ъгъл на завъртане също удовлетворява нашето уравнение. Можем да направим толкова „неактивни“ обороти, колкото желаем, връщайки се към същата точка и всички тези ъглови стойности ще задоволят нашето уравнение. Броят на оборотите на празен ход ще бъде обозначен с буквата (или). Тъй като можем да направим тези революции както в положителна, така и в отрицателна посока, (или) можем да приемем всякакви цели числа.
Тоест, първата серия от решения на оригиналното уравнение има формата:
, , - набор от цели числа (1)
По същия начин втората серия от решения има формата:
, Където , . (2)
Както може би се досещате, тази поредица от решения се основава на точката от окръжността, съответстваща на ъгъла на въртене от .
Тези две серии от решения могат да бъдат комбинирани в един запис:
Ако сме в това нека си вземем бележките(тоест дори), тогава получаваме първата поредица от решения.
Ако вземем (т.е. странно) в този запис, тогава получаваме втората серия от решения.
2. Сега нека решим уравнението
Тъй като това е абсцисата на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на ъгъл, отбелязваме точката с абсцисата на оста:
Нека изпълним вертикална линияуспоредно на оста, докато се пресече с окръжността. Ще получим две точки, лежащи на окръжността и имащи абциса. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани. Спомнете си, че при движение по посока на часовниковата стрелка получаваме отрицателен ъгъл на въртене:
Нека запишем две серии от решения:
,
,
(Стигаме до желаната точка, като тръгнем от основния пълен кръг, т.е.
Нека комбинираме тези две серии в един запис:
3. Решете уравнението
Допирателната минава през точката с координати (1,0) на единичната окръжност, успоредна на оста OY
Нека отбележим точка върху него с ордината равна на 1 (търсим тангенса на кои ъгли е равна на 1):
Нека свържем тази точка с началото на координатите с права линия и маркираме точките на пресичане на правата с единичната окръжност. Пресечните точки на правата и окръжността съответстват на ъглите на завъртане на и :
Тъй като точките, съответстващи на ъглите на въртене, които удовлетворяват нашето уравнение, лежат на разстояние от радиани една от друга, можем да запишем решението по следния начин:
4. Решете уравнението
Правата на котангенсите минава през точката с координати на единичната окръжност, успоредна на оста.
Нека отбележим точка с абсцисата -1 на правата на котангенсите:
Нека свържем тази точка с началото на правата линия и я продължим, докато се пресече с окръжността. Тази права линия ще пресича окръжността в точки, съответстващи на ъглите на въртене в и радиани:
Тъй като тези точки са разделени една от друга на разстояние, равно на , можем да напишем общото решение на това уравнение, както следва:
В дадените примери, илюстриращи решението на най-простите тригонометрични уравнения, са използвани таблични стойности на тригонометрични функции.
Ако обаче дясната страна на уравнението съдържа нетаблична стойност, тогава заместваме стойността в общото решение на уравнението:
СПЕЦИАЛНИ РЕШЕНИЯ:
Нека отбележим точките на окръжността, чиято ордината е 0:
Нека отбележим една точка на окръжността, чиято ордината е 1:
Нека отбележим една точка на окръжността, чиято ордината е равна на -1:
Тъй като е обичайно да се посочват стойности, най-близки до нула, ние записваме решението, както следва:
Нека отбележим точките на окръжността, чиято абциса е равна на 0:
5.
Нека отбележим една точка на окръжността, чиято абциса е равна на 1:
Нека отбележим една точка на окръжността, чиято абциса е равна на -1:
И малко по-сложни примери:
1.
Синусът е равен на едно, ако аргументът е равен на
Аргументът на нашия синус е равен, така че получаваме:
Разделете двете страни на равенството на 3:
Отговор:
2.
Косинус равен на нула, ако аргументът косинус е равен на
Аргументът на нашия косинус е равен на , така че получаваме:
Нека изразим , за да направим това, първо се преместваме надясно с противоположния знак:
Нека опростим дясната страна:
Разделете двете страни на -2:
Обърнете внимание, че знакът пред члена не се променя, тъй като k може да приеме произволна цяло число.
Отговор:
И накрая, гледайте видео урока „Избор на корени в тригонометрично уравнение с помощта на тригонометричен кръг"
Това приключва нашия разговор за решаването на прости тригонометрични уравнения. Следващият път ще говорим как да решим.
Синусът и косинусът първоначално възникват от необходимостта да се изчисляват количества в правоъгълни триъгълници. Беше забелязано, че ако градусната мярка на ъглите в правоъгълен триъгълник не се промени, тогава съотношението на страните, независимо колко тези страни се променят по дължина, винаги остава същото.
Така бяха въведени понятията синус и косинус. синусите остър ъгълв правоъгълен триъгълник е отношението срещуположния краккъм хипотенузата, а косинусът е съседен на хипотенузата.
Теореми за косинуси и синуси
Но косинусите и синусите могат да се използват за нещо повече от правоъгълни триъгълници. За да намерите стойността на тъп или остър ъгъл или страна на всеки триъгълник, достатъчно е да приложите теоремата за косинусите и синусите.
Косинусовата теорема е доста проста: „Квадратът на страната на триъгълник равно на суматаквадратите на другите две страни минус два пъти произведението на тези страни по косинуса на ъгъла между тях.”
Има две интерпретации на синусовата теорема: малка и разширена. Според малкия: „В триъгълника ъглите са пропорционални противоположни страни». Тази теоремачесто се разширява поради свойството на описаната окръжност на триъгълник: „В триъгълник ъглите са пропорционални на противоположните страни и тяхното съотношение е равно на диаметъра на описаната окръжност.“
Деривати
Производната е математически инструмент, който показва колко бързо се променя функция спрямо промяна в нейния аргумент. Производните се използват в геометрията и в редица технически дисциплини.
Когато решавате проблеми, трябва да знаете табличните стойности на производните на тригонометричните функции: синус и косинус. Производната на синус е косинус, а косинусът е синус, но със знак минус.
Приложение в математиката
Синусите и косинусите се използват особено често при решаване правоъгълни триъгълниции свързаните с тях задачи.
Удобството на синусите и косинусите се отразява и в технологията. Беше лесно да се оценят ъгли и страни, като се използват теоремите за косинусите и синусите, разбивайки сложни фигурии обекти в „прости“ триъгълници. Инженерите често се занимават с изчисления на пропорциите и степенни мерки, прекара много време и усилия, за да изчисли косинусите и синусите на нетабличните ъгли.
Тогава на помощ се притекоха таблиците на Bradis, съдържащи хиляди стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси различни ъгли. IN съветско временякои учители принуждаваха учениците си да запомнят страници от таблиците на Брадис.
радиан - ъглова величинадъги, дължина равен на радиусаили 57.295779513° градуса.
Градус (в геометрията) - 1/360 част от окръжност или 1/90 част от прав ъгъл.
π = 3,141592653589793238462… ( приблизителна стойностПи числа).
Таблица на косинусите за ъгли: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Ъгъл x (в градуси) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ъгъл x (в радиани) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |