Дадени са връзките между основните тригонометрични функции – синус, косинус, тангенс и котангенс. тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометрични функции на един и същи ъгъл, други - функции на множествен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвърти - изразявате всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.
В тази статия ще изброим по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните задачи. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме по предназначение и ще ги въведем в таблици.
Навигация в страницата.
Основни тригонометрични тъждества
Основни тригонометрични тъждествадефинирайте връзката между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция по отношение на всяка друга.
За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извеждане и примери за приложение вижте статията.
Формули за намаляване
Формули за намаляванеследват от свойствата на синус, косинус, тангенс и котангенс, т.е. те отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, както и свойството на изместване с даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.
Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запаметяването им и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.
Формули за добавяне
Тригонометрични събирателни формулипоказват как тригонометричните функции на сумата или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждане на следните тригонометрични формули.
Формули за двойна, тройна и др. ъгъл
Формули за двойна, тройна и др. ъгъл (те се наричат още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойно, тройно и т.н. ъгли () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Тяхното извеждане се основава на формули за добавяне.
По-подробна информация е събрана в статията формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл
Формули за половин ъгъл
Формули за половин ъгълпокажете как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на цял ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.
Тяхното заключение и примери за приложение можете да намерите в статията.
Формули за намаляване на степента
Тригонометрични формули за намаляване на степенитеса предназначени да улеснят прехода от естествени степени на тригонометрични функции към синуси и косинуси на първа степен, но на множество ъгли. С други думи, те ви позволяват да намалите мощностите на тригонометричните функции до първата.
Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции
Основната цел формули за сбор и разлика на тригонометрични функциие да отидете до произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометрични изрази. Тези формули също се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения, тъй като ви позволяват да факторизирате сумата и разликата на синусите и косинусите.
Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус
Преходът от произведение на тригонометрични функции към сума или разлика се извършва с помощта на формулите за произведение на синуси, косинуси и синус по косинус.
Универсално тригонометрично заместване
Завършваме нашия преглед на основните формули на тригонометрията с формули, изразяващи тригонометрични функции по отношение на тангенса на половин ъгъл. Тази замяна се наричаше универсално тригонометрично заместване. Удобството му се крие във факта, че всички тригонометрични функции се изразяват чрез тангенса на половин ъгъл рационално без корени.
Библиография.
- Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски: Образование, 1990. - 272 с. - ISBN 5-09-002727-7
- Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
Авторско право от cleverstudents
Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Никоя част от сайта, включително вътрешни материали и външен вид, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.
Центриран в точка А.
α
- ъгъл, изразен в радиани.
Определение
Синус (sin α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на срещуположния катет |BC| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.
Косинус (cos α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.
Приети означения
;
;
.
;
;
.
Графика на функцията синус, y = sin x
Графика на функцията косинус, y = cos x
Свойства на синуса и косинуса
Периодичност
Функции y = грях хи y = cos xпериодичен с период 2π.
Паритет
Функцията синус е нечетна. Функцията косинус е четна.
Област на определение и стойности, екстремуми, нарастване, намаляване
Функциите синус и косинус са непрекъснати в тяхната област на дефиниране, тоест за всички x (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните им свойства са представени в таблицата (n - цяло число).
| y = грях х | y = cos x | |
| Обхват и приемственост | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Диапазон от стойности | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Повишаване на | ||
| Спускане | ||
| Максимум, y = 1 | ||
| Минимуми, y = - 1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Пресечете точки с ординатната ос, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основни формули
Сбор от квадрати на синус и косинус
Формули за синус и косинус от сбор и разлика
;
;
Формули за произведение на синуси и косинуси
Формули за сбор и разлика
Изразяване на синус чрез косинус
;
;
;
.
Изразяване на косинус чрез синус
;
;
;
.
Изразяване чрез тангенс
; .
Когато , имаме:
;
.
в:
;
.
Таблица на синусите и косинусите, тангенсите и котангенсите
Тази таблица показва стойностите на синусите и косинусите за определени стойности на аргумента. 
Изрази чрез комплексни променливи
;
Формула на Ойлер
Изразяване чрез хиперболични функции
;
;
Деривати
; . Извеждане на формули >>>
Производни от n-ти ред:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратни функции
Обратните функции на синус и косинус са съответно арксинус и арккосинус.
Арксинус, арксинус
Аркосинус, аркосус
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Най-простите тригонометрични тъждества
Частното от деленето на синуса на ъгъл алфа на косинуса на същия ъгъл е равно на тангенса на този ъгъл (Формула 1). Вижте също доказателството за коректността на преобразуването на най-простите тригонометрични тъждества.
Частното от деленето на косинуса на ъгъл алфа на синуса на същия ъгъл е равно на котангенса на същия ъгъл (Формула 2)
Секансът на ъгъл е равен на единица, разделена на косинуса на същия ъгъл (Формула 3)
Сборът от квадратите на синуса и косинуса на един и същ ъгъл е равен на едно (Формула 4). вижте също доказателството за сумата от квадратите на косинус и синус.
Сборът от едно и тангенса на ъгъл е равен на съотношението едно към квадрата на косинуса на този ъгъл (Формула 5)
Едно плюс котангенсът на ъгъл е равно на частното от едно, делено на синус квадрат на този ъгъл (Формула 6)
Произведението на тангенса и котангенса на един и същи ъгъл е равно на единица (Формула 7).
Преобразуване на отрицателни ъгли на тригонометрични функции (четни и нечетни)
За да се отървете от отрицателната стойност на градусната мярка на ъгъл при изчисляване на синус, косинус или тангенс, можете да използвате следните тригонометрични трансформации (тъждества), базирани на принципите на четни или нечетни тригонометрични функции.
Както се вижда, косинуси секансът е дори функция, синус, тангенс и котангенс са нечетни функции.
Синусът на отрицателен ъгъл е равен на отрицателната стойност на синуса на същия положителен ъгъл (минус синус алфа).
Косинусът минус алфа ще даде същата стойност като косинуса на ъгъла алфа.
Тангенс минус алфа е равен на минус тангенс алфа.
Формули за намаляване на двойни ъгли (синус, косинус, тангенс и котангенс на двойни ъгли)
Ако трябва да разделите ъгъл наполовина или обратното, да преминете от двоен ъгъл към единичен ъгъл, можете да използвате следните тригонометрични идентичности:
Преобразуване на двоен ъгъл (синус на двоен ъгъл, косинус на двоен ъгъл и тангенс на двоен ъгъл) в единичен се случва съгласно следните правила:
Синус на двоен ъгълравно на удвоеното произведение на синуса и косинуса на един ъгъл
Косинус на двоен ъгълравна на разликата между квадрата на косинуса на отделен ъгъл и квадрата на синуса на този ъгъл
Косинус на двоен ъгълравно на удвоения квадрат на косинуса на отделен ъгъл минус едно
Косинус на двоен ъгълравно на едно минус двоен синус на квадрат на единичен ъгъл
Тангенс на двоен ъгъле равно на дроб, чийто числител е два пъти тангенса на единичен ъгъл, а знаменателят е равен на едно минус тангенса на квадрат на единичен ъгъл.
Котангенс на двоен ъгъле равно на дроб, чийто числител е квадрат на котангенса на отделен ъгъл минус едно, а знаменателят е равен на удвоения котангенс на единичен ъгъл
Формули за универсално тригонометрично заместване
Формулите за преобразуване по-долу могат да бъдат полезни, когато трябва да разделите аргумента на тригонометрична функция (sin α, cos α, tan α) на две и да намалите израза до стойността на половин ъгъл. От стойността на α получаваме α/2.Тези формули се наричат формули за универсално тригонометрично заместване. Тяхната стойност се състои в това, че с тяхна помощ един тригонометричен израз се свежда до изразяване на тангенса на половин ъгъл, независимо какви тригонометрични функции (sin cos tan ctg) са били първоначално в израза. След това уравнението с тангенса на половин ъгъл е много по-лесно за решаване.
Тригонометрични тъждества за полуъглови трансформации
Следват формулите за тригонометрично преобразуване на половин ъгъл в цялата му стойност.Стойността на аргумента на тригонометричната функция α/2 се редуцира до стойността на аргумента на тригонометричната функция α.
Тригонометрични формули за събиране на ъгли
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Тангенс и котангенс на сбора от ъглиалфа и бета могат да бъдат преобразувани, като се използват следните правила за преобразуване на тригонометрични функции:
Тангенс на сбора от ъглие равно на дроб, чийто числител е сумата от тангенса на първия и тангенса на втория ъгъл, а знаменателят е едно минус произведението на тангенса на първия ъгъл и тангенса на втория ъгъл.
Тангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е равен на разликата между тангенса на ъгъла, който се намалява, и тангенса на ъгъла, който се изважда, а знаменателят е едно плюс произведението на тангенсите на тези ъгли.
Котангенс на сбора от ъглие равно на дроб, чийто числител е равен на произведението на котангенсите на тези ъгли плюс едно, а знаменателят е равен на разликата между котангенса на втория ъгъл и котангенса на първия ъгъл.
Котангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е произведението на котангенсите на тези ъгли минус едно, а знаменателят е равен на сбора от котангенсите на тези ъгли.
Тези тригонометрични идентичности са удобни за използване, когато трябва да изчислите, например, тангенса на 105 градуса (tg 105). Ако си го представите като tg (45 + 60), тогава можете да използвате дадените идентични трансформации на тангенса на сумата от ъгли и след това просто да замените табличните стойности на тангентата 45 и тангентата 60 градуса.
Формули за преобразуване на сумата или разликата на тригонометрични функции
Изрази, представляващи сбор от формата sin α + sin β, могат да бъдат трансформирани с помощта на следните формули:
Формули за троен ъгъл - преобразуване sin3α cos3α tan3α в sinα cosα tanα
Понякога е необходимо да се трансформира тройната стойност на ъгъл, така че аргументът на тригонометричната функция да стане ъгъл α вместо 3α.В този случай можете да използвате формулите за трансформация на троен ъгъл (идентичности):
Формули за преобразуване на произведения на тригонометрични функции
Ако има нужда да се преобразува произведението на синуси от различни ъгли, косинуси от различни ъгли или дори произведение от синус и косинус, тогава можете да използвате следните тригонометрични идентичности:
В този случай произведението на функциите синус, косинус или тангенс на различни ъгли ще бъде преобразувано в сума или разлика.
Формули за редуциране на тригонометрични функции
Трябва да използвате таблицата за намаляване, както следва. В реда избираме функцията, която ни интересува. В колоната има ъгъл. Например синусът на ъгъла (α+90) в пресечната точка на първия ред и първата колона, откриваме, че sin (α+90) = cos α.
Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем!!!
Равенство, съдържащо неизвестно под знака на тригонометрична функция (`sin x, cos x, tan x` или `ctg x`), се нарича тригонометрично уравнение и по-нататък ще разгледаме неговите формули.
Най-простите уравнения са „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека запишем коренните формули за всеки от тях.
1. Уравнение `sin x=a`.
За `|a|>1` няма решения.
Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.
Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Уравнение `cos x=a`
За `|a|>1` - както в случая със синус, той няма решения сред реални числа.
Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.
Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Специални случаи за синус и косинус в графики. 
3. Уравнение `tg x=a`
Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.
Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Също така има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.
Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата
За синус: 
За косинус: 
За тангенс и котангенс: 
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:
Методи за решаване на тригонометрични уравнения
Решаването на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:
- с помощта на трансформирането му в най-простия;
- решаване на най-простото уравнение, получено с помощта на коренните формули и таблиците, написани по-горе.
Нека да разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.
Алгебричен метод.
Този метод включва заместване на променлива и нейното заместване в равенство.
Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,
намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Факторизация.
Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.
Решение. Нека преместим всички членове на равенството наляво: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки, трансформираме и факторизираме лявата страна:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,
„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Свеждане до хомогенно уравнение
Първо, трябва да намалите това тригонометрично уравнение до една от двете форми:
`a sin x+b cos x=0` (хомогенно уравнение от първа степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).
След това разделете двете части на `cos x \ne 0` - за първия случай, и на `cos^2 x \ne 0` - за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени по известни методи.
Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Решение. Нека запишем дясната страна като `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, разделяме лявата и дясната му страна на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
„tg^2 x+tg x — 2=0“. Нека въведем замяната `tg x=t`, което води до `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогава:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Преминаване към половин ъгъл
Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Решение. Нека приложим формулите за двоен ъгъл, което води до: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Прилагайки алгебричния метод, описан по-горе, получаваме:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Въвеждане на спомагателен ъгъл
В тригонометричното уравнение „a sin x + b cos x =c“, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, разделете двете страни на „sqrt (a^2+b^2)“:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и техните модули не са по-големи от 1. Нека ги обозначим по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тогава:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Нека разгледаме по-отблизо следния пример:
Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.
Решение. Разделяме двете страни на равенството на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.
Нека означим `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, тогава ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Дробни рационални тригонометрични уравнения
Това са равенства с дроби, чиито числители и знаменатели съдържат тригонометрични функции.
Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Решение. Умножете и разделете дясната страна на равенството на „(1+cos x)“. В резултат получаваме:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде равен на нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Нека приравним числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за Единния държавен изпит, така че се опитайте да запомните всички формули на тригонометричните уравнения - те определено ще ви бъдат полезни!
Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да я извлечете. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.