Дадените формули за двоен ъгъл. Тригонометрия: как да изчислим ъгъл с двоен синус

Най-често задавани въпроси

Възможно ли е да се направи печат върху документ по предоставен образец? Отговор Да, възможно е. Изпратете до нашите имейл адрессканирано копие или снимка добро качество, а ние ще направим необходимия дубликат.

Какви видове плащане приемате? Отговор Можете да платите за документа при получаване от куриера, след проверка на правилността на попълване и качеството на изпълнение на дипломата. Това може да стане и в офис на пощенски компании, предлагащи услуги с наложен платеж.
Всички условия за доставка и плащане на документи са описани в раздел „Плащане и доставка“. Също така сме готови да изслушаме вашите предложения относно условията за доставка и плащане на документа.

Мога ли да съм сигурен, че след като направя поръчка, няма да изчезнете с парите ми? Отговор Ние имаме доста дългогодишен опит в областта на дипломното производство. Имаме няколко уебсайта, които се актуализират постоянно. Нашите специалисти работят в различни ъглидържави, изготвяйки над 10 документа на ден. През годините нашите документи са помогнали на много хора да разрешат проблеми с трудовата заетост или да преминат към по-високоплатена работа. Спечелили сме доверие и признание сред клиентите, така че няма абсолютно никаква причина да го правим. По подобен начин. Освен това това е просто невъзможно да се направи физически: плащате за поръчката си, когато я получите в ръцете си, няма предплащане.

Мога ли да поръчам диплома от всеки университет? Отговор Като цяло, да. Ние работим в тази област от почти 12 години. През това време се формира почти пълна база данни с документи, издадени от почти всички университети в страната и извън нея. различни годинииздаване. Всичко, от което се нуждаете, е да изберете университет, специалност, документ и да попълните формата за поръчка.

Какво да направите, ако намерите печатни грешки и грешки в документ? Отговор Когато получавате документ от нашата куриерска или пощенска фирма, ви препоръчваме внимателно да проверите всички подробности. При установяване на правописна грешка, грешка или неточност имате право да не вземете дипломата, но трябва да посочите откритите дефекти лично на куриера или на писменокато изпратите писмо до електронна поща.
IN възможно най-скороНие ще коригираме документа и ще го изпратим отново на посочения адрес. Разбира се, доставката ще бъде платена от нашата компания.
За да избегнем подобни недоразумения, преди да попълним оригиналния формуляр, изпращаме на клиента по имейл макет на бъдещия документ за проверка и одобрение на окончателния вариант. Преди да изпратим документа по куриер или по пощата, ние също правим допълнителни снимки и видеоклипове (включително в ултравиолетова светлина), така че да имате визуално представянеза това какво ще получите накрая.

Какво трябва да направя, за да поръчам диплома от вашата компания? Отговор За поръчка на документ (сертификат, диплома, академична справкаи т.н.) трябва да попълните формуляра за онлайн поръчка на нашия уебсайт или да предоставите своя имейл, за да можем да ви изпратим формуляр за кандидатстване, който трябва да попълните и да ни изпратите обратно.
Ако не знаете какво да посочите в някое от полетата на формата за поръчка/въпросника, оставете ги празни. Затова ще уточним цялата липсваща информация по телефона.

Последни отзиви

Алексей:

Трябваше да придобия диплома, за да започна работа като мениджър. И най-важното е, че имам и опит, и умения, но без документ не мога да си намеря работа. След като попаднах на вашия сайт, най-накрая реших да си купя диплома. Дипломата беше готова за 2 дни!! Сега имам работа, за която никога не съм мечтал преди!! Благодаря ти!

Формулите за двоен ъгъл се използват за изразяване на синуси, косинуси, тангенси, котангенси на ъгъл със стойност 2 α, като се използват тригонометрични функции на ъгъл α. Тази статия ще представи всички формули за двоен ъгъл с доказателства. Ще бъдат разгледани примери за прилагане на формули. В заключителната част ще бъдат показани формулите за троен и четворен ъгъл.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Списък с формули за двоен ъгъл

За да преобразувате формули за двоен ъгъл, не забравяйте, че ъглите в тригонометрията имат формата n α нотация, където n е естествено число, стойността на израза се записва без скоби. По този начин се счита, че обозначението sin n α има същото значение като sin (n α) . Когато означаваме sin n α, имаме подобно означение (sin α) n. Използването на записа е приложимо за всички тригонометрични функциис правомощия n.

По-долу са формулите за двоен ъгъл:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Имайте предвид, че тези формули sin и cos са приложими за всяка стойност на ъгъла α. Формулата за тангенс на двоен ъгъл е валидна за всяка стойност на α, където t g 2 α има смисъл, т.е. α ≠ π 4 + π 2 · z, z е всяко цяло число. Котангенсът на двоен ъгъл съществува за всяко α, където c t g 2 α е дефинирано при α ≠ π 2 z.

Косинусът на двоен ъгъл има запис с троен двоен ъгъл. Всички те са приложими.

Доказателство на формули за двоен ъгъл

Доказателството на формулите започва от формулите за добавяне. Нека приложим формулите за синус на сумата:

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β и косинус от сумата cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β. Да приемем, че β = α, тогава получаваме това

sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α и cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - sin 2 α

Така се доказват формулите за синуса и косинуса на двойния ъгъл sin 2 α = 2 · sin α · cos α и cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α.

Почивка cos формули 2 α = 1 - 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 водят до ум cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, при заместване на 1 със сумата от квадрати според основната идентичност sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаваме, че sin 2 α + cos 2 α = 1. Така че 1 - 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α и 2 cos 2 α - 1 = 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α.

За да докажем формулите за двойния ъгъл на тангенс и котангенс, прилагаме равенствата t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. След трансформацията получаваме, че t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделете израза на cos 2 α, където cos 2 α ≠ 0 с произволна стойност на α, когато е дефинирано t g α. Разделяме друг израз на sin 2 α, където sin 2 α ≠ 0 с всякакви стойности на α, когато c t g 2 α има смисъл. За да докажем формулата за двоен ъгъл за тангенс и котангенс, заместваме и получаваме:

Най-често задавани въпроси

Възможно ли е да се направи печат върху документ по предоставен образец? Отговор Да, възможно е. Изпратете сканирано копие или снимка с добро качество на нашия имейл адрес и ние ще направим необходимия дубликат.

Мога ли да съм сигурен, че след като направя поръчка, няма да изчезнете с парите ми? Отговор Ние имаме доста дългогодишен опит в областта на дипломното производство. Имаме няколко уебсайта, които се актуализират постоянно. Нашите специалисти работят в различни точки на страната, изработвайки над 10 документа на ден. През годините нашите документи са помогнали на много хора да разрешат проблеми с трудовата заетост или да се преместят на по-високо платена работа. Спечелили сме доверие и признание сред клиентите, така че няма абсолютно никаква причина да го правим. Освен това това е просто невъзможно да се направи физически: плащате за поръчката си, когато я получите в ръцете си, няма предплащане.

Мога ли да поръчам диплома от всеки университет? Отговор Като цяло, да. Ние работим в тази област от почти 12 години. През това време се формира почти пълна база данни с документи, издадени от почти всички университети в страната и за различни години на издаване. Всичко, от което се нуждаете, е да изберете университет, специалност, документ и да попълните формата за поръчка.

Какво да направите, ако намерите печатни грешки и грешки в документ? Отговор Когато получавате документ от нашата куриерска или пощенска фирма, ви препоръчваме внимателно да проверите всички подробности. При установена печатна грешка, грешка или неточност имате право да не вземете дипломата, но трябва да посочите откритите дефекти лично на куриера или писмено чрез изпращане на имейл.
Ние ще коригираме документа възможно най-скоро и ще го изпратим отново на посочения адрес. Разбира се, доставката ще бъде платена от нашата компания.
За да избегнем подобни недоразумения, преди да попълним оригиналния формуляр, изпращаме на клиента по имейл макет на бъдещия документ за проверка и одобрение на окончателния вариант. Преди да изпратим документа по куриер или по пощата, правим и допълнителни снимки и видеозаписи (включително в ултравиолетова светлина), за да имате ясна представа какво ще получите накрая.

Какво трябва да направя, за да поръчам диплома от вашата компания? Отговор За да поръчате документ (сертификат, диплома, академична справка и др.), трябва да попълните формата за онлайн поръчка на нашия уебсайт или да посочите имейла си, за да можем да ви изпратим формуляр за кандидатстване, който трябва да попълните и изпратите обратно за нас.
Ако не знаете какво да посочите в някое от полетата на формата за поръчка/въпросника, оставете ги празни. Затова ще уточним цялата липсваща информация по телефона.

Последни отзиви

Алексей:

Много често в задачи С1 от Единния държавен изпит по математика учениците трябва да решат тригонометрично уравнение, съдържащо формулата за двоен ъгъл.

Днес отново ще анализираме задача C1 и по-специално ще анализираме доста нестандартен пример, който едновременно съдържа както формулата за двоен ъгъл, така и четния хомогенно уравнение. Така:

Решете уравнението. Намерете корените на това уравнение, принадлежащ на интервала:

sinx+ грях2 х 2 −cos2 х 2 ,x∈ [ −2 π ;− π 2 ]

\sin x+\frac(((\sin )^(2))x)(2)-\frac(((\cos )^(2))x)(2),x\in \left[ -2\ текст( )\!\!\pi\!\!\текст( );-\frac(\текст( )\!\!\pi\!\!\текст( ))(2) \right]

Полезни формули за решаване

На първо място бих искал да ви напомня, че всички задачи от С1 се решават по една и съща схема. Първо, оригиналната конструкция трябва да се трансформира в израз, който съдържа синус, косинус или тангенс:

sinx=a

cosx=a

tgx=a

Именно това е основната трудност на задача C1. Факт е, че всеки конкретен израз изисква свои собствени изчисления, с помощта на които можете да преминете от изходния код към такива прости конструкции. В нашия случай това е формулата за двоен ъгъл. Нека го запиша:

cos2x= cos2 x− грях2 х

\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x

В нашата задача обаче няма cos2 х((\cos )^(2))x или грях2 х((\sin )^(2))x, но има грях2 х 2 \frac(((\sin )^(2))x)(2) и cos2 х 2 \frac(((\cos )^(2))x)(2).

разрешаване на проблема

Какво да правим с тези изчисления? Нека да изневерим малко и да въведем нова променлива в нашите формули за синус и косинус на двоен ъгъл:

x= t 2

Ще запишем следната конструкция със синус и косинус:

cos2⋅ t 2=cos2 T 2 −грях2 T 2

\cos 2\cdot \frac(t)(2)=\frac(((\cos )^(2))t)(2)-\frac(((\sin )^(2))t)(2 )

Или с други думи:

цена= cos2 T 2 −грях2 T 2

\cos t=\frac(((\cos )^(2))t)(2)-\frac(((\sin )^(2))t)(2)

Да се върнем към нашата първоначална задача. Нека да грях2 х 2 \frac(((\sin )^(2))x)(2) преместване надясно:

sinx= cos2 х 2 −грях2 х 2

\sin x=\frac(((\cos )^(2))x)(2)-\frac(((\sin )^(2))x)(2)

Вдясно са точно същите изчисления, които току-що записахме. Нека ги конвертираме:

sinx=cosx

А сега внимание: пред нас е хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен. Вижте, нямаме термини, които да са само числа и просто х x, имаме само синус и косинус. Освен това нямаме квадратни тригонометрични функции, всички функции отиват на първа степен. Как се решават такива дизайни? Първо, нека приемем, че cosx=0\cos x=0.

Нека заместим тази стойност в основната тригонометрична идентичност:

грях2 x+ cos2 х=1

((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x=1

грях2 х+0=1

((\sin )^(2))x+0=1

sinx=±1

Ако заместим тези числа, 0 и ±1, в оригиналната конструкция, получаваме следното:

±1 = 0

\pm 1\текст( )=\текст( )0

Получихме пълни глупости. Следователно нашето предположение е, че cosx=0\cos x=0 е неправилно, cosx\cos x не може да бъде равно на 0 in този израз. И ако cosx\cos x не е равно на 0, тогава нека разделим двете страни на cosx\cos x:

sinxcosx=1

\frac(\sin x)(\cos x)=1

sinxcosx=tgx

\frac(\sin x)(\cos x)=tgx

tgx=1

И сега имаме дългоочакваното най-просто изражение на формата tgx=a tgx=a. Чудесно, нека го решим. Това е стойността на таблицата:

x= π 4 + π n,n ˜ ∈Z

x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ) n,n˜\в Z

Намерихме корена, решихме първата част от задачата, тоест честно спечелихме една основна точка от две.

Нека да преминем към втората част: намерете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала, или по-точно на сегмента

[\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2 ) \десен]\]. Предлагам, както в последен пътрешете този израз графично, т.е. нарисувайте кръг, маркирайте началото в него, т.е. 0, както и краищата на сегмента:

На сегмента

−2 π ;− π 2

2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\pi )(2) трябва да намерите всички стойности, които принадлежат на

π 4 +πn

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n. И сега забавната част: факт е, че самата точка π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) не принадлежи към сегмента

[ −2 π ;− π 2 ] ,

\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right], това е очевидно:

π 4 ∉˜ [ −2 π ;− π 2 ]

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)\notin ˜\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\text( )\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right]

Макар и само защото и двата края на този сегмент са отрицателни, и числото π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) положителен, но от друга страна, някои стойности на формата

π 4 +πn

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n все още принадлежат към нашия сегмент . И така, как ги подчертавате? Много просто: вземете края на сегмента

−2π

2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ) и добавете π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)), т.е. всичко се случва по същия начин, както ако сме започнали отчета не от 0, а от −2π-2\text( )\!\!\pi\!\!\text() и имаме първата точка:

x=−2 π + π 4 =−7π 4

x=-2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)=- \frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)

Сега второто число:

x=−2 π + π 4 + π =− 3π 4

x=-2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4 ))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)

Това е второто значение. Няма други корени, защото ние самите, когато ги маркирахме и когато маркирахме нашия сегмент от ограничението, открихме, че в рамките на този сегмент има само два вида - π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) и π 4 + π \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ). Тези точки са ние и наши. Пишем отговора:

−7π 4 ;−3π 4

-\frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4);-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)

За такова решение ще получите две първични резултатиот две възможни.

Какво трябва да запомните за правилното решение

Отново ключовите стъпки, които трябва да следвате. Първо, трябва да знаете изчисленията на двойния ъгъл на синус или косинус, по-специално, в нашия проблем, косинуса на двоен ъгъл. Освен това, след като го използвате, трябва да решите най-простото тригонометрично уравнение. Решението е доста просто, но трябва да го напишете и проверите cosx\cos x в нашата конструкция не е равно на 0. След тригонометрично уравнениеполучаваме елементарен израз, в нашия случай е така tgx=1 tgx=1, което може лесно да се реши чрез стандартни формули, познат от 9-10 клас. Така ще решим примера и ще получим отговора на първата част от задачата - множеството от всички корени. В нашия случай е така

π 4 + π n,n∈Z

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n, n\in ˜Z. След това остава само да изберете корените, принадлежащи на сегмента

[ −2 π ;− π 2 ]

\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \вдясно]. За да направим това, отново начертаваме тригонометрична окръжност, маркираме нашите корени и нашата отсечка върху нея и след това броим от края същото π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) и π 4 + π \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ), получени по време на маркирането всички корени на формата π 4 +πn\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n. След просто изчисление получихме два конкретни корена, а именно,

−7π 4

-\frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) и

−3π 4

-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4), които са отговорът на втората част от задачата, т.е. корените, принадлежащи на сегмента

[ −2 π ;− π 2 ]

\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \вдясно].

Ключови точки

За да се справите лесно с проблемите на C1 от този тип, запомнете две основни формули:

Синус на двоен ъгъл:
sin2 α =2sin α cos α

\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=2\sin \text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\cos \text( )\ !\!\alpha\!\!\text( ) - тази формула за синуси винаги работи в тази форма;
Косинус на двоен ъгъл: cos2 α =co с2 α−si н2 α \cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( =)co((s)^(2))\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ) -si((n)^(2))\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ) - и тук има възможни опции.

Първото е ясно. Но какви опции са възможни във втория случай? Факт е, че косинусът на двоен ъгъл може да бъде написан по различни начини:

cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α

\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )-\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=2\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )-1=1-2\sin 2\text( )\!\!\алфа\!\!\текст( )

Тези равенства следват от осн тригонометрична идентичност. Е, кое равенство да избера при решаването конкретен пример C1? Просто е: ако планирате да намалите конструкцията до синуси, изберете последното разширение, което съдържа само

sin2 α

\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ). Обратно, ако искате да намалите целия израз до работа с косинуси, изберете втората опция - тази, при която косинусът е единствената тригонометрична функция.

Най-често задавани въпроси

Мога ли да съм сигурен, че след като направя поръчка, няма да изчезнете с парите ми? Отговор Ние имаме доста дългогодишен опит в областта на дипломното производство. Имаме няколко уебсайта, които се актуализират постоянно. Нашите специалисти работят в различни точки на страната, изработвайки над 10 документа на ден. През годините нашите документи са помогнали на много хора да разрешат проблеми с трудовата заетост или да се преместят на по-високо платена работа. Спечелили сме доверие и признание сред клиентите, така че няма абсолютно никаква причина да го правим. Освен това това е просто невъзможно да се направи физически: плащате за поръчката си, когато я получите в ръцете си, няма предплащане.

Мога ли да поръчам диплома от всеки университет? Отговор Като цяло, да. Ние работим в тази област от почти 12 години. През това време се формира почти пълна база данни с документи, издадени от почти всички университети в страната и за различни години на издаване. Всичко, от което се нуждаете, е да изберете университет, специалност, документ и да попълните формата за поръчка.

Какво да направите, ако намерите печатни грешки и грешки в документ? Отговор Когато получавате документ от нашата куриерска или пощенска фирма, ви препоръчваме внимателно да проверите всички подробности. При установена печатна грешка, грешка или неточност имате право да не вземете дипломата, но трябва да посочите откритите дефекти лично на куриера или писмено чрез изпращане на имейл.
Ние ще коригираме документа възможно най-скоро и ще го изпратим отново на посочения адрес. Разбира се, доставката ще бъде платена от нашата компания.
За да избегнем подобни недоразумения, преди да попълним оригиналния формуляр, изпращаме на клиента по имейл макет на бъдещия документ за проверка и одобрение на окончателния вариант. Преди да изпратим документа по куриер или по пощата, правим и допълнителни снимки и видеозаписи (включително в ултравиолетова светлина), за да имате ясна представа какво ще получите накрая.

Последни отзиви

Алексей: