Здравейте, Скъпи приятели! Днес ще разгледаме задачата от част В. Това е система от две уравнения. Уравненията са доста странни. Тук има синус и косинус, има и корени. Изисква се способност за решаване на квадратни и прости задачи. В представената задача те подробни решенияне са представени, вече трябва да можете да направите това. Чрез предоставените връзки можете да видите съответните теоретични и практически задачи.

Основната трудност в подобни примерие, че е необходимо да се сравнят получените решения с намерената област на дефиниране; тук лесно може да се направи грешка поради невнимание.

Решението на системата винаги е двойка(и) числа x и y, записани като (x;y).Не пропускайте да проверите след получаване на отговора.Представени са ви три начина, не, не начини, а три пътя на разсъждение, по които можете да поемете. На мен лично най-близо ми е третото. Да започваме:

Решете системата от уравнения:

ПЪРВИ НАЧИН!

Нека намерим областта на дефиниция на уравнението. Известно е, че радикалният израз има неотрицателно значение:

Разгледайте първото уравнение:

1. Равно е на нула при x = 2 или при x = 4, но 4 радиана не принадлежат към определението на израз (3).

* Ъгъл от 4 радиана (229,188 0) лежи в третата четвърт, в която стойността на синуса е отрицателна. Ето защо

Всичко, което остава, е коренът x = 2.

Разгледайте второто уравнение за x = 2.

При тази стойност на x, изразът 2 – y – y 2 трябва да бъде равен на нула, тъй като

Нека решим 2 – y – y 2 = 0, получаваме y = – 2 или y = 1.

Обърнете внимание, че за y = – 2 коренът от cos y няма решение.

*Ъгъл от –2 радиана (– 114,549 0) лежи в третата четвърт и в него стойността на косинуса е отрицателна.

Следователно остава само y = 1.

Така решението на системата ще бъде двойката (2;1).

2. Първото уравнение също е равно на нула при cos y = 0, тоест при

Но като вземем предвид намерената област на дефиниция (2), получаваме:

Разгледайте второто уравнение за това y.

Изразът 2 – y – y 2 с y = – Pi/2 не е равен на нула, което означава, че за да има решение трябва да е изпълнено следното условие:

Ние решаваме:

Като вземем предвид намерената област на дефиниция (1), получаваме това

Така решението на системата е още една двойка:

ВТОРИ НАЧИН!

Нека намерим домейна на дефиниция за израза:

Известно е, че изразът под корена има неотрицателно значение.
Решавайки неравенството 6x – x 2 + 8 ≥ 0, получаваме 2 ≤ x ≤ 4 (2 и 4 са радиани).

Разгледайте случай 1:

Нека x = 2 или x = 4.

Ако x = 4, тогава sin x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Като се има предвид, че sin x ≠ 0, се оказва, че в този случай във второто уравнение на системата 2 – y – y 2 = 0.

Решавайки уравнението, намираме, че y = – 2 или y = 1.

Анализирайки получените стойности, можем да кажем, че x = 4 и y = – 2 не са корени, тъй като получаваме sin x< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Може да се види, че x = 2 и y = 1 са включени в областта на дефиницията.

Така решението е двойката (2;1).

Нека разгледаме случай 2:

Нека сега 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Въз основа на това можем да заключим, че в първото уравнение cos y трябва да бъде равно на нула.

Решавайки уравнението, получаваме:

Във второто уравнение, при намиране на домейна на дефиниция на израза:

Получаваме:

2 – y – y 2 ≥ 0

– 2 ≤ y ≤ 1

От всички решения на уравнението cos y = 0, това условие е изпълнено само от:

При дадена стойност y, израз 2 – y – y 2 ≠ 0. Следователно във второто уравнение sin x ще бъде равно на нула, получаваме:

От всички решения на това уравнение, интервалът 2< х < 4 принадлежит только

Това означава, че решението на системата ще бъде друга двойка:

*Не намерихме домейна на дефиниция за всички изрази в системата наведнъж, разгледахме израза от първото уравнение (2 случая) и след това по пътя определихме съответствието на намерените решения с установена площдефиниции. Според мен не е много удобно, оказва се някак объркващо.

ТРЕТИ НАЧИН!

Подобен е на първия, но има разлики. Също така първо се намира областта за дефиниране на изрази. След това първото и второто уравнение се решават поотделно и след това се намира решението на системата.

Нека намерим областта на дефиницията. Известно е, че радикалният израз има неотрицателно значение:

Решавайки неравенството 6x – x 2 + 8 ≥ 0 получаваме 2 ≤ x ≤ 4 (1).

Стойности 2 и 4 са радиани, 1 радиан, както знаем ≈ 57.297 0

В градуси можем да запишем приблизително 114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0.

Решавайки неравенството 2 – y – y 2 ≥ 0 получаваме – 2 ≤ y ≤ 1 (2).

В градуси можем да запишем – 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0 .

Решаване неравенство грях x ≥ 0 получаваме това

Решавайки неравенството cos y ≥ 0 получаваме това

Известно е, че произведението е равно на нула, когато един от множителите е равен на нула (а останалите не губят значението си).

Разгледайте първото уравнение:

Средства

Решението на cos y = 0 е:

Решение 6x – x 2 + 8 = 0 са x = 2 и x = 4.

Разгледайте второто уравнение:

Средства

Решението на sin x = 0 е:

Решението на уравнение 2 – y – y 2 = 0 е y = – 2 или y = 1.

Сега, като вземем предвид домейна на дефиницията, нека анализираме

получени стойности:

Тъй като 114.549 0 ≤ x ≤ 229.188 0, тогава този сегментима само едно решение на уравнението sin x = 0, това е x = Pi.

Тъй като – 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0, тогава този сегмент съдържа само едно решение на уравнението cos y = 0, това е

Да разгледаме корените x = 2 и x = 4.

вярно!

Така решението на системата ще бъде две двойки числа:

*Тук, като взехме предвид намерения домейн на дефиниция, изключихме всички получени стойности, които не принадлежат към него и след това преминахме през всички опции за възможни двойки. След това проверихме кои от тях са решението на системата.

Препоръчвам веднага в самото начало на решаването на уравнения, неравенства и техните системи, ако има корени, логаритми, тригонометрични функции, не забравяйте да намерите областта на дефиницията. Има, разбира се, примери, при които е по-лесно да се реши веднага и след това просто да се провери решението, но те са относително малцинство.

Това е всичко. Късмет!

Решаването на тригонометрични уравнения и системи от тригонометрични уравнения се основава на решаването на най-простите тригонометрични уравнения.

Нека си припомним основните формули за решаване на най-простите тригонометрични уравнения.

Решаване на уравнения от вида sin(x) = a.

Когато |a|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.

За |a|>1 няма решения.

Решаване на уравнения от вида cos(x) = a.

Когато |a|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.

За |a|>1 няма решения.

Решаване на уравнения от вида tg(x) = a.

x = arctan(a) + π*k, където k принадлежи на Z.

Решаване на уравнения от вида cotg(x) = a.

x = arcctg(a)+ π*k, където k принадлежи на Z.

Някои често срещани случаи:

sin(x) =1; x = π/2 +2* π*k, където k принадлежи на Z.

sin(x) = 0; x = π*k, където k принадлежи на Z.

sin(x) = -1; x = - π/2 +2* π*k, където k принадлежи на Z.

cos(x) = 1; x = 2* π*k, където k принадлежи на Z.

cos(x) = 0; x= π/2 + π*k, където k принадлежи на Z.

cos(x) = -1; x = π+2* π*k, където k принадлежи на Z.

Нека да разгледаме няколко примера:

Пример 1. Решете тригонометричното уравнение 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0.

Уравнения от този тип се решават чрез редуцирането им до квадратно уравнение чрез промяна на променлива.

Нека y = sin(x). Тогава получаваме,

2*y^2 + y - 1 = 0.

Решаваме полученото увадратично уравнение, като използваме един от известните методи.

y1 = 1/2, y2 = -1.

Следователно получаваме две прости тригонометрични уравнения, които могат да бъдат решени с помощта на формулите, посочени по-горе.

sin(x) = 1/2, x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k, за всяко цяло к.

sin(x) = -1, x = - pi/2 +2* pi*n, където n принадлежи на Z.

Пример 2. Решете уравнението 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) – 2 = 0.

Използвайки основната тригонометрична идентичност, заместваме (sin(x))^2 с 1 - (cos(x))^2

Получаваме квадратно уравнение за cos(x):

6*(cos(x))^2 – 5*cos(x) - 4 = 0.

Въвеждаме замяната y=cos(x).

6*y^2 - 5*y - 4 = 0.

Решаваме полученото квадратно уравнение y1 = -1/2, y2 = 1(1/3).

Тъй като y = cos(x), и косинусът не може да бъде повече от един, получаваме едно просто тригонометрично уравнение.

x = ±2*pi/3+2*pi*k, за всяко цяло число k.

Пример 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.

Нека въведем променливата y = tan(x). Тогава 1/y = cot(x). Получаваме

Умножете по y не равно на нула, получаваме квадратно уравнение.

y^2 – 3*y + 2 = 0.

Нека го решим:

tg(x) = 2, x = arctan(2)+pi*k, за всяко цяло число k.

tg(x) = 1, x = arctan(1) + pi*k, pi/4 +pi*k, за всяко цяло число k.

Пример 4. 3*(sin(x))^2 – 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0.

Това уравнение може да се сведе до квадратно чрез разделяне на (cos(x))^2 или (sin(x))^2. При деление на (cos(x)^2 получаваме

3*(tg(x))^2 – 4*tg(x) +1 = 0.

tg(x) = 1, x = pi/4+pi*n, за всяко цяло число n

tan(x) = 1/3, x = arctan(1/3) + pi*k, за всяко цяло число k.

Пример 4. Решете система от уравнения

( sin(x) = 2*sin(y)

От уравнението на пчелния хляб изразяваме y,

Тогава получаваме 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) - cos(x)*sin(5* pi /3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).

Уроци 54-55. Системи тригонометрични уравнения (по избор)

09.07.2015 9098 895

Мишена: считат най-много типични системитригонометрични уравнения и методи за решаването им.

I. Съобщаване на темата и целта на уроците

II. Повторение и затвърдяване на преминатия материал

1. Отговори на въпроси за домашна работа(анализ на нерешени проблеми).

2. Проследяване на усвояването на материала (самостоятелна работа).

Опция 1

Решете неравенството:

Вариант 2

Решете неравенството:

III. Учене на нов материал

На изпитите системите от тригонометрични уравнения са много по-рядко срещани от тригонометричните уравнения и неравенства. Няма ясна класификация на системите от тригонометрични уравнения. Затова условно ще ги разделим на групи и ще разгледаме начините за решаване на тези проблеми.

1. Най-простите системи от уравнения

Те включват системи, в които или едно от уравненията е линейно, или уравненията на системата могат да бъдат решени независимо едно от друго.

Пример 1

Нека решим системата от уравнения

Тъй като първото уравнение е линейно, ние изразяваме променливата от негои заместваме във второто уравнение:Използваме формулата за редукция и основното тригонометрично тъждество. Получаваме уравнениетоили Нека въведем нова променлива t = грях u. Имаме квадратно уравнение 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, чиито корени t 1 = 1/3 и t 2 = 2 (не е подходящ, защотогрях y ≤ 1). Нека се върнем към старото неизвестно и да получим уравнениетосини = 1/3, чието решениеСега е лесно да намерите неизвестното:И така, системата от уравнения има решениякъдето n ∈ Z.

Пример 2

Нека решим системата от уравнения

Уравненията на системата са независими. Следователно можем да запишем решенията на всяко уравнение. Получаваме:Събираме и изваждаме уравненията на тази система от линейни уравнения член по член и намираме:където

Моля, имайте предвид, че поради независимостта на уравненията, когато намирате x - y и x + y, трябва да се посочат различни цели числа n и k. Ако вместо к също беше доставенн , тогава решенията ще изглеждат така:В този случай ще бъдат загубени безкраен брой решения и в допълнение ще възникне връзка между променливитех и y: x = 3y (което не е така в действителност). Например, това е лесно да се провери тази системаима решение x = 5π и y = n (в съответствие с получените формули), което при k = n невъзможно за намиране. Така че внимавай.

2. Типови системи

Такива системи се свеждат до най-простите чрез добавяне и изваждане на уравнения. В този случай получаваме системиили Нека отбележим едно очевидно ограничение:И Самото решение на такива системи не представлява никакви затруднения.

Пример 3

Нека решим системата от уравнения

Нека първо трансформираме второто уравнение на системата, като използваме равенствотоПолучаваме: Нека заместим първото уравнение в числителя на тази дроб:и експрес Сега имаме система от уравненияНека събираме и изваждаме тези уравнения. Ние имаме: илиНека напишем решенията на тази най-проста система:Събиране и изваждане на тези линейни уравнения, намираме:

3. Типови системи

Такива системи могат да се считат за най-прости и съответно решени. Има обаче друг начин за решаването му: преобразувайте сумата от тригонометричните функции в продукт и използвайте останалото уравнение.

Пример 4

Нека решим системата от уравнения

Първо, трансформираме първото уравнение, като използваме формулата за сумата от синусите на ъглите. Получаваме:Използвайки второто уравнение, имаме:където Нека запишем решенията на това уравнение:Като вземем предвид второто уравнение на тази система, получаваме система от линейни уравненияОт тази система намираме Удобно е такива решения да се пишат в повече рационална форма. За горните знаци имаме:за по-ниски знаци -

4. Типови системи

На първо място е необходимо да се получи уравнение, съдържащо само едно неизвестно. За да направим това, например, нека изразим от едно уравнение sin y, от друг - cos u. Нека повдигнем на квадрат тези съотношения и ги съберем. Тогава получаваме тригонометрично уравнение, съдържащо неизвестното x. Нека решим това уравнение. След това, използвайки което и да е уравнение на тази система, получаваме уравнение за намиране на неизвестното y.

Пример 5

Нека решим системата от уравнения

Нека напишем системата във форматаНека поставим на квадрат всяко уравнение на системата и получим:Нека съберем уравненията на тази система:или Използвайки основното тригонометрично тъждество, записваме уравнението във форматаили Решения на това уравнение cos x = 1/2 (тогава ) и cos x = 1/4 (от където ), където n, k ∈ Z . Имайки предвид връзката между неизвестните cos y = 1 – 3 cos x, получаваме: за cos x = 1/2 cos y = -1/2; за cos x = 1/4 cos y = 1/4. Трябва да се помни, че при решаването на система от уравнения е извършено повдигане на квадрат и тази операция може да доведе до появата на външни корени. Следователно е необходимо да се вземе предвид първото уравнение на тази система, от което следва, че количестватагрях х и грях y трябва да има същия знак.

Като вземем това предвид, получаваме решения на тази система от уравненияИ където n, m, k, l ∈ Z . В този случай за неизвестни x и y едновременно се избират горни или долни знаци.

В специален случайсистемата може да бъде решена чрез преобразуване на сбора (или разликата) на тригонометрични функции в продукт и след това разделяне на уравненията член по член.

Пример 6

Нека решим системата от уравнения

Във всяко уравнение трансформираме сумата и разликата на функциите в произведение и разделяме всяко уравнение на 2. Получаваме:Тъй като нито един фактор от лявата страна на уравненията не е равен на нула, ние разделяме уравненията член по член (например втория на първия). Получаваме:където Нека заместим намерената стойностнапример в първото уравнение:Нека вземем предвид това Тогава където

Получихме система от линейни уравненияКато събираме и изваждаме уравненията на тази система, намирамеИ където n, k ∈ Z.

5. Системи, решени чрез заместване на неизвестни

Ако системата съдържа само две тригонометрични функции или може да бъде намалена до тази форма, тогава е удобно да се използва замяната на неизвестни.

Пример 7

Нека решим системата от уравнения

Тъй като тази система включва само две тригонометрични функции, въвеждаме нови променливи a = tan x и b = sin u. Получаваме система от алгебрични уравненияОт първото уравнение изразяваме a = b + 3 и заменете във второто:или Корените на това квадратно уравнение b 1 = 1 и b 2 = -4. Съответните стойности са a1 = 4 и a2 = -1. Да се ​​върнем към старите неизвестни. Получаваме две системи от прости тригонометрични уравнения:

а) нейното решение където n, k ∈ Z.

б) няма решения, т.к sin y ≥ -1.

Пример 8

Нека решим системата от уравнения

Нека трансформираме второто уравнение на системата така, че да съдържа само функциите sin x и cos u. За да направим това, използваме формулите за намаляване. Получаваме:(където ) И (Тогава ). Второто уравнение на системата има формата:или Получихме система от тригонометрични уравненияНека въведем нови променливи a = sin x и b = cos u. Имаме симетрична система от уравнения единствено решениекойто a = b = 1/2. Да се ​​върнем към старите неизвестни и да получим най-простата систематригонометрични уравнениярешението на което където n, k ∈ Z.

6. Системи, за които характеристиките на уравненията са важни

Почти при решаването на всяка система от уравнения се използва една или друга нейна характеристика. По-специално, един от най общи техникирешенията на системата са идентични трансформации, които позволяват да се получи уравнение, съдържащо само едно неизвестно. Изборът на трансформации, разбира се, се определя от спецификата на системните уравнения.

Пример 9

Нека решим системата

Нека обърнем внимание на лявата страна на уравненията, например наИзползвайки формули за редукция, ние го правим функция с аргумент π/4 + x. Получаваме:Тогава системата от уравнения изглежда така:За да елиминираме променливата x, умножаваме уравненията член по член и получаваме:или 1 = sin 3 2у, откъдето sin 2у = 1. Намираме И Удобно е да се разглеждат отделно случаите на четни и нечетни стойностин. За четно n (n = 2 k, където k ∈ Z) Тогава от първото уравнение на тази система получаваме:където m ∈ Z. За странно Тогава от първото уравнение имаме:И така, тази система има решения

Както в случая с уравненията, доста често има системи от уравнения, в които ограниченият характер на функциите синус и косинус играе значителна роля.

Пример 10

Нека решим системата от уравнения

Първо, трансформираме първото уравнение на системата:или или или или Като вземем предвид ограниченото естество на функцията синус, виждаме това лява странауравнението не е по-малко от 2, а дясната страна не е по-голямо от 2. Следователно такова уравнение е еквивалентно на условията sin 2 2x = 1 и sin 2 y = 1.

Записваме второто уравнение на системата във формата sin 2 y = 1 - cos 2 z или sin 2 y = sin 2 z и след това sin 2 z = 1. Получихме система от прости тригонометрични уравненияИзползвайки формулата за намаляване на степента, записваме системата във форматаили Тогава

Разбира се, при решаването на други системи от тригонометрични уравнения също е необходимо да се обърне внимание на характеристиките на тези уравнения.

Изтегляне на материал

Вижте файла за изтегляне за пълния текст на материала.
Страницата съдържа само фрагмент от материала.

Препис

1 I. V. Yakovlev Материали по математика MathUs.ru Системи от тригонометрични уравнения В тази статия разглеждаме тригонометрични системи от две уравнения с две неизвестни. Ние ще изучаваме методи за решаване на такива системи и различни специални техники веднага в конкретни примери. Може да се случи едно от уравненията на системата да съдържа тригонометрични функции на неизвестните x и y, докато другото уравнение е линейно по x и y. В този случай действаме по очевидния начин: изразяваме едно от неизвестните от линейно уравнение и го заместваме в друго уравнение на системата. Задача 1. Решете системата: x + y =, sin x + sin y = 1. Решение. От първото уравнение изразяваме y чрез x: и го заместваме във второто уравнение: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Резултатът е най-простото тригонометрично уравнение за x. Записваме неговите решения под формата на две серии: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Остава да се намерят съответните стойности на y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Както винаги при система от уравнения, отговорът е даден като списък от двойки x; y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Обърнете внимание, че x и y са свързани помежду си чрез целочисления параметър n. А именно, ако +n се появи в израза за x, тогава n автоматично се появява в израза за y и със същото n. Това е следствие от „твърдата“ връзка между x и y, дадена от уравнението x + y =. Задача. Решете системата: cos x + cos y = 1, x y =. Решение. Тук има смисъл първо да се преобразува първото уравнение на системата: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Така нашата система е еквивалентна на следната система: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Заместете x y = в първото уравнение: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). В резултат на това стигаме до системата: x + y = n, x y =. Събираме тези уравнения, разделяме на и намираме x; извадете второто от първото уравнение, разделете на и намерете y: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. В редица случаи тригонометричната система може да бъде сведена до система от алгебрични уравнения чрез подходяща промяна на променливи. Задача. Решете системата: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Решение. Заместването u = sin x, v = cos y води до алгебрична система за u и v: u + v = 1, u v = 1. Можете лесно да решите тази система сами. Решението е единствено: u = 1, v = 0. Обратното заместване води до две най-прости тригонометрични уравнения: sin x = 1, cos y = 0, откъдето + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Сега записът на отговора съдържа два целочислени параметъра k и n. За разлика от предишни задачие, че в тази система няма „твърда“ връзка между x и y, например под формата на линейно уравнение), следователно x и y са много повече в по-голяма степеннезависими един от друг.

3 V в такъв случайБи било грешка да се използва само един целочислен параметър n, записвайки отговора като + n;) + n. Това би довело до загуба безкраен брой 5 системни решения. Например, решението ще бъде загубено ;), възникващо при k = 1 и n = 0. Задача 4. Решете системата: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Решение. Първо преобразуваме второто уравнение: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Сега правим замяната: u = sin x, v = sin y. Получаваме системата: u + v = 1, u + 4v = 1. Решенията на тази система са две двойки: u 1 = 0, v 1 = 1/ и u = /, v = 1/6. Всичко, което остава, е да направите обратното заместване: sin x = 0, sin x = sin y = 1 или sin y = 1 6, и да запишете отговора. k; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Задача 5. Решете системата: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Решение. Тук, за да получите алгебрична система, трябва да работите още повече. Записваме първото уравнение на нашата система във формата: Във второто уравнение имаме: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Така оригиналът система е еквивалентна на системата: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 Правим замяната u = cos x y, v = cos x + y и получаваме алгебрична система: uv = 1, u v = 4. Решенията на тази система са две двойки: u 1 = 1, v 1 = 1/ и u = 1, v = 1/. Първата двойка дава системата: x y = 1, = k, следователно cos x y cos x + y Втората двойка дава системата: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Следователно x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Въпреки това, не винаги е възможно да се намали система от тригонометрични уравнения до система от алгебрични уравнения. В някои случаи е необходимо да се използват различни специални техники. Понякога е възможно да се опрости система чрез добавяне или изваждане на уравнения. Задача 6. Решете системата: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Решение. Събирайки и изваждайки тези уравнения, получаваме еквивалентна система: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. И тази система от своя страна е еквивалентна на комбинация от две системи: x + y = + k, x + y = x y = + k, или 6 + n x y = n k, n Z). 4

5 Оттук x = + k + n), x = + k + n), y = или + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Понякога можете да стигнете до решение, като умножите уравненията едно по друго. Задача 7. Решете системата: tg x = sin y, ctg x = cos y. Решение. Нека си припомним, че умножаването на уравненията на една система едно по друго означава написване на уравнение от вида „произведението на лявата страна е равно на произведението на десната страна“. Полученото уравнение ще бъде следствие от първоначалната система, т.е. всички решения на оригиналната система удовлетворяват полученото уравнение). В този случай умножаването на уравненията на системата води до уравнението: 1 = sin y cos y = sin y, откъдето y = /4 + n n Z). Неудобно е да замените y в тази форма в системата; по-добре е да я разделите на две серии: y 1 = 4 + n Заместете y 1 в първото уравнение на системата: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Лесно е да се види, че заместването на y 1 във второто уравнение на системата ще доведе до същия резултат. Сега заместваме y: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Понякога разделянето на уравненията едно на друго води до резултата. Задача 8. Решете системата: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Решение. Нека преобразуваме: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Нека временно въведем следната нотация: α = x + y, β = x y. Тогава получената система ще бъде пренаписана във формата: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Ясно е, че cos β 0. Тогава, разделяйки второто уравнение на първото, стигаме до уравнението tg α =, което е следствие от системата. Имаме: α = + n n Z), и отново, за целите на по-нататъшното заместване в системата), за нас е удобно да разделим получения набор на две серии: α 1 = + n, α = 4 + n. Заместването на α 1 в някое от уравненията на системата води до уравнението: cos β = 1 β 1 = k k Z). По същия начин, заместването на α в което и да е от уравненията на системата дава уравнението: cos β = 1 β = + k k Z). И така, имаме: тоест където α 1 = + n, β 1 = k или α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y или + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = или + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. В някои случаи основното тригонометрично тъждество идва на помощ. Задача 9. Решете системата: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Решение. Нека повдигнем на квадрат двете страни на всяко уравнение: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Нека съберем получените уравнения: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, откъдето sin y = 0 и y = n n Z). Това е следствие от първоначалната система; тоест за всяка двойка x; y), което е решение на системата, второто число от тази двойка ще има формата n с някакво цяло число n. Разделяме y на две серии: y 1 = n, y = + n. Заместваме y 1 в оригиналната система: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Решението на тази система е редицата sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ). Моля, имайте предвид, че сега няма да е достатъчно да заместите y 1 в едно от уравненията на системата. Заместването на y 1 в първото и второто уравнения на системата води до система от две различни уравненияспрямо x.) По подобен начин заместваме y в оригиналната система: Следователно sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z).)) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Понякога, в хода на трансформации, е възможно да се получи проста връзка между неизвестни и да се изрази от тази връзка едно неизвестно чрез друго. Задача 10. Решете системата: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Решение. Във второто уравнение на системата преобразуваме двойното произведение на синусите в разликата на косинусите: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). От тук изразяваме y чрез x: y = x + n, 7

8 и заместете в първото уравнение на системата: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Останалото е тривиално. Получаваме: cos x = 1, откъдето x = ± Остава да намерим y от получената по-горе връзка: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Разбира се, разглежданите задачи не покриват цялото разнообразие от системи от тригонометрични уравнения. По всяко време трудна ситуацияизисква изобретателност, която се развива само чрез практика на решаване различни задачи. Всички отговори предполагат, че k, n Z. Задачи 1. Решете системата: x + y =, cos x cos y = 1. б) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n) ; б) n; н). Решете системата: x + y = 4, tg x tan y = 1 б) 6. x y = 5, sin x = sin y. арктан 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n) ; б) + n; 6 + n). Решете системата: sin x + sin y = 1, x y = 4 b). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n); б) 6 + n; 6 n) 8

9 4. Решете системата: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. б) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n) ; б) 1) k 4 + k; + n) 5. Решете системата: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = b) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; н) ; б) арктан 5 + k; arctan 1 + n), arctan 1 + k; arctan 5 + n) 6. Решете системата: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. б) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k 6 + k; ± + n) ; б) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Решете системата: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Решете системата: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = b) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)) ; б) ± + k + n); ± + k n)) 9. Решете системата: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. б) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k 1 + n + k)) ; б)) 4 + k ; 4 + k + n 9

10 10. Решете системата: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. Решете системата:) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Решете системата: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Решете системата: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Решете системата: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Решете системата: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Решете системата: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. б) cot x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; н); б)) 4 + k ; n, + k; + n) 10

11 17. “Физтех”, 010) Решете системата от уравнения 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n); k, n Z 18. Московски държавен университет, копие. за чужденци gr-n, 01) Решете системата от уравнения: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) Намерете всички решения на системата sin уравнения x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, където xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. Московски държавен университет, географски. f-t, 005) Решете системата от уравнения 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. Московски държавен университет, Държавен факултет. контрол, 005) Решете системата от уравнения sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) Решете системата от уравнения 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x грях у. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11

12 . MIPT, 199) Решете системата от уравнения tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctan 4 + n, arccos 4 + k); + arctan 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) Решете системата от уравнения sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )k k ) ; k, n Z 5. MIPT, 1996) Решете системата от уравнения sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k) ; k, n Z 6. MIPT, 1997) Решете системата от уравнения 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + к) ; k, n Z 1

I. V. Yakovlev Материали по математика MathUs.ru Минимаксни задачи в тригонометрията Този лист обсъжда уравнения, за чието решение се използват оценки на дясната и лявата страна. Да стана

И. В. Яковлев Материали по математика MathUs.ru Тригонометрични уравненияс модул Тази брошура е посветена на тригонометрични уравнения, в които тригонометрични функции на неизвестна величина съдържат

Практическа работа: Решаване на тригонометрични уравнения различни видовеРазработчик: И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко Цел на работата: 1) Повторете тригонометричните формули двоен аргумент, формули за добавяне,

I V Яковлев Материали по математика MathUsru Тригонометрични неравенства Предполага се, че читателят може да реши най-простите тригонометрични неравенстваПреминаваме към още сложни задачиЗадача

И. В. Яковлев Материали по математика MathUs.ru Тригонометрични трансформации и изчисления Проблемите, свързани с тригонометрични трансформации и изчисления, като правило не са сложни и следователно рядко

Съдържание I V Яковлев Материали по математика MathUsru Ирационални уравненияи системи 1 Счетоводно отчитане на битови стоки 1 Еквивалентни трансформации 3 Промяна на променлива 6 4 Умножение с конюгат 7 5 Системи уравнения

I. V. Yakovlev Материали по математика MathUs.ru Най-простите тригонометрични уравнения Започваме да изучаваме тригонометрични уравнения централна темацялата тригонометрична секция. Нека a

Агенция за образователна администрация Красноярска територияКрасноярск Държавен университетЗадочна школа по природни науки в Красноярския държавен университет Математика: Модул за 0 клас Учебно-методическа част/ Comp:

Инвариантност и проблеми с G.I Фалин, А.И. Фалин Московски държавен университет Ломоносов http://mech.math.msu.su/ falin 1 Въведение B съвременна математика важна роляиграе концепцията за инвариантност, т.е. неизменност

I. V. Yakovlev Материали по математика MthUs.ru Изследване на тригонометрични функции Припомнете си, че функцията fx) се нарича периодична, ако има число T 0 такова, че за всяко x от областта на дефиниция

Тема 14 " Алгебрични уравненияи системи нелинейни уравнения» Полином от степен n е полином от формата P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, където a 0, a 1, a n-1, a n дадени числа, 0,

И. В. Яковлев Материали по математика MathUs.ru Обучителни задачи Симетрия в задачи с параметри 1. (MSU, Факултет по почвознание, 001) За какви стойности на b уравнението има точно един корен? тен b = дневник

Министерство на науката и образованието Руска федерацияМосковски държавен университет по геодезия и картография Т. М. Королева, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман РЪКОВОДСТВО ПО МАТЕМАТИКА ЗА КАНДИДАТСТВИ

Урок по алгебра в 10 клас Тема на урока: Методи за решаване на тригонометрични уравнения Цел на урока: Обобщаване и систематизиране на знанията на учениците по темата. Цели на урока: 1) Образователни - Разширяване и задълбочаване

Примери за тестови решения L.I. Терехина, И.И. Поправете 1 Тест 1 Линейна алгебраРеши матрично уравнение((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Нека първо умножим матриците по

ИНТЕГРИРАНЕ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ Интегриране на произведението от синуси и косинуси на различни аргументи Тригонометрични формули k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k))

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Москва Институт по физика и технологии(държавен университет) Задочно физическо и техническо училищеМАТЕМАТИКА Трансформации на идентичността. Решение

Ирационални уравнения и неравенства Съдържание Ирационални уравнения Метод за повдигане на двете страни на уравнение на една и съща степен Задача Задача Задача Замяна на ирационално уравнение със смесено

Министерство на образованието на Република Беларус Молодечно Държава политехническо училищеПрактическа работа: Решаване на най-прости тригонометрични уравнения. Разработчик: I.

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ТОМСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ Факултет по приложна математика и кибернетика Катедра по теория на вероятностите и математическа статистикаГРАНИЦИ Методически

10 клас, основно ниво наЗадача 1 Вариант 0 (демонстрация, с решения) Съответствие математическа гимназия 009/010 академична година 1 Изразете израза като полином стандартен изгледи го намери

Лекции “НЕОПРЕДЕЛЕЕН ИНТЕГРАЛ” Съставител: В.П.Белкин Лекция Неопределен интегралОсновни понятия Свойства на неопределения интеграл 3 Основна таблица на първоизводните 3 4 Типични примери 3 5 Протозои

4. Тригонометрия Сега всичко е готово да се дадат строги дефиниции на тригонометричните функции. На пръв поглед вероятно ще изглеждат доста странни; обаче ще покажем, че е сигурно

Тема ГРАНИЦИ НА ФУНКЦИИТЕ Числото A се нарича граница на функцията y = f), като x клони към безкрайност, ако за всяко число ε>, колкото и малко да е, има положително число s, такова че за всички >S,

Федерална агенцияДържава по образование образователна институцияпо-висок професионално образованиеДържава Ухта Технически университет(USTU) ГРАНИЧНА ФУНКЦИЯ Методически

НЕ ДЕМИДОВ ОСНОВИ НА ТРИГОНОМЕТРИЯТА Учебно ръководство за чужди гражданиМинистерство на образованието и науката на Руската федерация Федерално държавно образование финансирана от държавата организациявисш професионален

Тема 1 Реални числаи действия върху тях 4 часа 11 Развитие на понятието число 1 Първоначално числата се разбираха само цели числа, които са достатъчни за броене отделни елементиНяколко

Решаване на тригонометрични уравнения Решаване на тригонометрични уравнения Цели: Да се ​​запознаят с видовете тригонометрични уравнения Да се ​​запознаят с методите за решаване на уравнения. Развийте умения за прилагане

И. В. Яковлев Материали по математика MathUs.ru Симетрия в задачи с параметри Симетрията е една от ключови понятияматематика и физика. Знаеш ли геометрична симетрияфигури и изобщо разни

Тест. Дадени са матрици A, B и D. Намерете AB 9D, ако: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Умножете матриците A 3 и B 3. Резултатът ще бъде C с размер 3 3, състоящ се от елементи

Лекция 13: Класификация на квадриките на равнината на Урал федерален университет, Институт по математика и Информатика, Катедра по алгебра и дискретна математика Уводни бележки В предходните три

Клас. Степен с произволен реален показател, нейните свойства. Силова функция, неговите свойства, графики.. Припомнете си свойствата на степен c рационален показател. a a a a a за естествени времена

8.3 клас, Математика (учебник Макаричев) 2016-2017 учебна година Тема на модул 5 “ Корен квадратен. Степен с целочислен показател” Тестът проверява теоретичната и практическата част. ТЕМА Знай Бъди способен да знаеш

Катедра по висша математика на VSTU-VGASU, ст.н.с. Седаев А.А. 06 ПРОИЗВЕДЕНО?.. от нулата?.. ЗА ЧАЙ НИКОВ?... ТОВА НЕ Е ПРОСТО Уважаеми читателю. Ако срещнете необходимостта да намерите

Министерство на образованието и науката на Руската федерация НАЦИОНАЛЕН ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ МОСКОВСКИ ДЪРЖАВЕН ГРАЖДАНСКИ УНИВЕРСИТЕТ Департамент приложна механикаи математиците ОБИКНОВЕН ДИФЕРЕНЦИАЛ

Тема: Трансформация тригонометрични изразиОтчитане на ODZ в тригонометрични уравнения Подготовка за Единния държавен изпит (задача 9; ; 8) Определение: Областта на дефиниране на уравнението f g или региона приемливи стойности

Москва авиационен институт(Национален изследователски университет) отдел " Висша математика„Гранични производни функции на няколко променливи Насокии тестови опции

Глава 4 Граница на функция 4 1 ПОНЯТИЕ ЗА ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Тази глава се фокусира върху концепцията за граница на функция. Определя се каква е границата на функция в безкрайност, а след това границата в точка, граници

Тема 7 Ранг на матрицата Базис минор Теорема за ранга на матрицата и нейните следствия Системи от m линейни уравнения с неизвестни Теорема на Кронекер-Капели Фундаментална системарешения хомогенна системалинеен

Тема 1-8: Комплексни числа А. Я. Овсянников Уралски федерален университет Институт по математика и компютърни науки Катедра по алгебра и дискретна математика и геометрия за механика (1 семестър)

ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ понятия, които могат да бъдат описани, но не могат да бъдат строго дефинирани, тъй като всеки опит да се даде стриктна дефиниция неизбежно ще се сведе до замяна на дефинираната концепция с нея

Метод на разделяне на променливи (метод на Фурие) Основни принципиметод за разделяне на променливи За най-простото частично диференциално уравнение разделянето на променливи е търсенето на решения от вида само в t. u(x,t

64 Алгебра за 7 клас (5 часа седмично, 175 часа) Алгебричен компонент (3 часа седмично) 105 часа и Геометричен компонент (2 часа седмично) 70 часа Използвани учебни помагала: 1. Арефиева, И. Г. Алгебра: учебник. надбавка

Министерство на образованието на Руската федерация Руски държавен университет за нефт и газ на името на IM Gubkin VI Ivanov Указания за изучаване на темата „ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ“ (за студенти

Практически урокТема: Област на дефиниране на функция и набор от стойности на функция Цел: Развиване на умения за намиране на домейн на дефиниция на функции и изчисляване на частични стойности на функции За попълване

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИ ОТ ВАРИАНТ 0 Напомняме, че решенията на задачите от частта се подават за тестване и не влияят по никакъв начин на оценката при изпълнение на задачите от частта

57(07) Г ДГ Демянов НЕОПРЕДЕЛИМ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочно помагалоЧелябинск 00 УДК 57 (0765) Демянов Д. Г. Неопределен интеграл: Учебно-справочно ръководство / Под редакцията на С. А. Уфимцев Челябинск: Изд.

Phystech 0, 0 клас, решения на билета cos x cosx Решете уравнението = cos x sin x Отговор x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Решение Има два възможни случая cos x cos x sin x sin x a) cos x 0 Тогава = = tan x = x =

ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФОРМУЛИ Успех при решаване на тригонометрични уравнения и неравенства, доказателство тригонометрични тъждестваи решенията на изчислителните проблеми до голяма степен се определят от познаването на осн

Урок 14 Комплексни числа. ЛОДУ с постоянни коефициенти. 14.1 Комплексни числа Комплексно числосе нарича израз на формата z = x+iy, където x R. Съществува взаимно еднозначно съответствие между множеството

Въпрос: Кои числа се наричат ​​естествени? Отговор Естествените числа са числа, които се използват за броене. Какво представляват класовете и ранговете в записа на числата? Как се наричат ​​числата при събиране? Формулирайте съгласна

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНИ ЧИСЛА ПСКОВ BBK 57 K45 Публикувано с решение на катедрата по алгебра и геометрия и Редакционно-издателския съвет на PSPI на името на С. М. Киров Рецензент: Медведева И. Н., кандидат по физика и математика, доцент

Лекция Диференциални уравнения-ти ред (DU-) Обща формадиференциално уравнение от ред n ще бъде написано: (n) F, = 0 () Уравнението от ти ред (n =) ще приеме формата F(,) = 0 Подобни уравнения

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Хабаровск 01 ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ Държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "Тихоокеански щат"

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Санкт Петербургски държавен университет по архитектура и строителство V B SMIRNOVA, L E MOROZOVA ОБИКНОВЕНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Образователни

МАТЕМАТИКА, клас Отговори и критерии, април Вариант/задачи ОТГОВОРИ B B B4 B B7 C 4 7 4 arccos 7 44.7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( log ;) + n, 8 49 8,7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

Проблемни условия 1 Общински етап 8 клас 1. На дъската са написани две числа. Едната е увеличена 6 пъти, а другата е намалена за 2015 г., като сборът на числата не се е променил. Намерете поне една двойка от тях

Неопределен интеграл Въведение Определение Функция F() се нарича първоизводна за дадена функция f(), ако F() f(), или, което е същото, df f d Тази функция f() може да има различни антипроизводни,

Московски физико-технически институт Ирационални уравнения и неравенства Инструментариумотносно подготовката за олимпиадите Съставител: Паркевич Егор Вадимович Москва 04 Въведение В тази работа ще разгледаме

ОСНОВИ НА ВЕКТОРНОТО ИЗЧИСЛЯВАНЕ Вектор се нарича количествена характеристика, която има не само числова стойност, но понякога казват, че векторът е векторна система с насочен сегмент

Експоненциални уравнения. Методи за решаване. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Експоненциално уравнение е това, което съдържа променлива само в степента. Нека разгледаме няколко вида експоненциални уравнения,

МАВ(С)ОУ "ЦО 1" Математика 1 клас Тригонометрия ТЕСТ 1, Таблици, тестови работи, тестове Учител Немова Н.М. Първа квалификация 15 уч.г Обяснителна бележка. The дидактически материалпредназначени

Първопроизводен и неопределен интеграл Основни понятия и формули 1. Дефиниция на първопроизводен и неопределен интеграл. Определение. Функцията F(x) се нарича първоизводна за функцията f(x) на интервала

ПРАКТИЧЕСКИ УРОК Интегриране на рационални дроби Рационалната дроб е дроб от формата P Q, където P и Q са полиноми Рационална дробсе нарича правилно, ако степента на полинома P е по-ниска от степента

И. В. Яковлев Материали по математика MthUs.ru Статията е написана в сътрудничество с А. Г. Малкова Най-простите тригонометрични уравнения. Предишната статия беше посветена на основната идея за решаване на най-простите тригонометрични проблеми

Тема Неопределен интеграл Основни методи на интегриране Интегриране по части Нека u и v са две диференцируеми функции на един и същ аргумент. Известно е, че d(u v) udv vdu (77) Вземете от двете

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Московски физико-технологичен институт (държавен университет) Задочно училище по физика и технологии МАТЕМАТИКА Квадратни уравненияЗадача за 8-ци

Едноетапни задачи с цели числа (формални) стр. 1 09/06/2012 1) Решете неравенството: x 7 17. 2) Умножете 612 по 100 000. 3) Каква е разликата между числата 661 и 752? 4) Сравнете изразите: 54 6 и 7.

ЛЕКЦИЯ N Диференциални уравнения от по-високи редове, методи за решаване на задача на Коши Линейни диференциални уравнения от по-високи редове Хомогенни линейни уравнения Диференциални уравнения от по-високи редове,