Матрично представяне на система от обикновени диференциални уравнения (SODE) с постоянни коефициенти

Линеен хомогенен SODE с постоянни коефициенти $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right $,

където $y_(1)\left(x\right),\; y_(2)\наляво(x\надясно),\; \lточки,\; y_(n) \left(x\right)$ -- необходимите функции на независимата променлива $x$, коефициенти $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- ние представяме дадените реални числа в матрична нотация:

1. матрица на необходимите функции $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
2. матрица на производни решения $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(масив)\right)$;
3. Матрица на SODE коефициент $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Сега, въз основа на правилото за матрично умножение, този SODE може да бъде записан под формата на матрично уравнение $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Общ метод за решаване на SODE с постоянни коефициенти

Нека има матрица от някои числа $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) )\end(array)\right)$.

Решението на SODE се намира в следната форма: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. В матрична форма: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

От тук получаваме:

Сега на матричното уравнение на този SODE може да се даде формата:

Полученото уравнение може да бъде представено по следния начин:

Последното равенство показва, че векторът $\alpha $ с помощта на матрицата $A$ се трансформира в паралелен вектор $k\cdot \alpha $. Това означава, че векторът $\alpha $ е собствен вектор на матрицата $A$, съответстващ на собствената стойност $k$.

Числото $k$ може да се определи от уравнението $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

Това уравнение се нарича характеристично.

Нека всички корени $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ на характеристичното уравнение са различни. За всяка стойност $k_(i) $ от системата $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ матрица от стойности ​​може да се дефинира $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Една от стойностите в тази матрица е избрана на случаен принцип.

И накрая, решението на тази система в матрична форма е написано, както следва:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,

където $C_(i) $ са произволни константи.

Задача

Решете системата DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(масив)\right $.

Записваме системната матрица: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

В матрична форма този SODE се записва по следния начин: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (масив)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.

Получаваме характеристичното уравнение:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, тоест $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

Корените на характеристичното уравнение са: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Нека създадем система за изчисляване на $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ вдясно)) ) \end(array)\right)$ за $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (масив)\вдясно)=0,\]

тоест $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) ) =0$.

Поставяйки $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, получаваме $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Нека създадем система за изчисляване на $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ вдясно)) ) \end(array)\right)$ за $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (масив)\вдясно)=0, \]

тоест $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) ) =0$.

Поставяйки $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, получаваме $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Получаваме решението на SODE в матрична форма:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \край (масив)\десен).\]

В обичайната форма решението на SODE има формата: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(array )\right.$.

Навън е знойно време, хвърчат тополови пухчета и това време предразполага към почивка. През учебната година всеки има натрупана умора, но очакването на лятната ваканция/ваканция трябва да ви вдъхнови за успешно полагане на изпити и контролни. Между другото и учителите са скучни през сезона, така че скоро и аз ще отделя време за разтоварване на мозъка. И сега има кафе, ритмичното бръмчене на системния блок, няколко мъртви комара на перваза на прозореца и напълно работещо състояние... ...о, по дяволите... шибаният поет.

Към основния въпрос. На кого му пука, но днес за мен е 1 юни и ще разгледаме друг типичен проблем на комплексния анализ - намиране на конкретно решение на система от диференциални уравнения с помощта на метода на операционното смятане. Какво трябва да знаете и да можете, за да се научите да го решавате? Преди всичко, горещо препоръчвамобърнете се към урока. Моля, прочетете уводната част, разберете общото изложение на темата, терминологията, обозначенията и поне два-три примера. Факт е, че с дифузьорните системи всичко ще бъде почти същото и дори по-просто!

Разбира се, трябва да разберете какво е това система от диференциални уравнения, което означава намиране на общо решение на системата и конкретно решение на системата.

Позволете ми да ви напомня, че системата от диференциални уравнения може да бъде решена по „традиционния“ начин: чрез елиминиранеили използвайки характеристичното уравнение. Методът на оперативното смятане, който ще бъде разгледан, е приложим към системата за дистанционно управление, когато задачата е формулирана по следния начин:

Намерете конкретно решение на хомогенна система от диференциални уравнения , съответстващ на началните условия .

Като алтернатива системата може да бъде разнородна - с „добавени тежести“ под формата на функции и от дясната страна:

Но и в двата случая трябва да обърнете внимание на две основни точки на условието:

1) Става въпрос за само за частно решение.
2) В скоби на началните условия са строго нули, и нищо друго.

Общият курс и алгоритъмът ще бъдат много подобни на решаване на диференциално уравнение по операционния метод. От референтните материали ще ви трябва същото таблица с оригинали и изображения.

Пример 1

, ,

Решение:Началото е тривиално: използване Таблици за трансформация на ЛапласНека да преминем от оригиналите към съответните изображения. При проблем със системи за дистанционно управление този преход обикновено е прост:

Използвайки таблични формули № 1, 2, като вземем предвид първоначалното състояние, получаваме:

Какво да правим с „игрите“? Променете мислено „X“ в таблицата на „I“. Използвайки същите трансформации № 1, 2, като вземем предвид първоначалното условие, намираме:

Нека заместим намерените изображения в оригиналното уравнение :

Сега в левите частитрябва да се съберат уравнения всичкотермини, в които или присъства. Към правилните частиуравненията трябва да бъдат „формализирани“ другоусловия:

След това от лявата страна на всяко уравнение поставяме скоби:

В този случай на първите позиции трябва да се постави следното, а на вторите:

Получената система от уравнения с две неизвестни обикновено се решава според формулите на Крамер. Нека изчислим основната детерминанта на системата:

В резултат на изчисляване на детерминантата се получава полином.

Важна техника!Този полином е по-добър Веднагаопитайте се да го факторизирате. За тези цели трябва да се опитате да решите квадратното уравнение , но много читатели с тренирано око на втората година ще забележат това .

По този начин нашата основна детерминанта на системата е:

По-нататъшното разглобяване на системата, благодаря на Kramer, е стандартно:

В резултат на това получаваме операторско решение на системата:

Предимството на въпросната задача е, че дробите обикновено се оказват прости и справянето с тях е много по-лесно, отколкото с дроби в задачи намиране на конкретно решение на DE с помощта на оперативния метод. Предчувствието не те измами - доброто старо метод на несигурни коефициенти, с помощта на които разлагаме всяка дроб на елементарни дроби:

1) Нека се заемем с първата дроб:

По този начин:

2) Разбиваме втората фракция по подобна схема, но е по-правилно да използваме други константи (недефинирани коефициенти):

По този начин:

Съветвам манекените да запишат разложеното операторно решение в следната форма:
- това ще направи последния етап по-ясен - обратното преобразуване на Лаплас.

Използвайки дясната колона на таблицата, нека преминем от изображенията към съответните оригинали:

Според правилата на добрите математически маниери ще спретнем малко резултата:

Отговор:

Отговорът се проверява по стандартна схема, която е разгледана подробно в урока. Как се решава система от диференциални уравнения?Винаги се опитвайте да го изпълните, за да добавите голям плюс към задачата.

Пример 2

Използвайки операционно смятане, намерете конкретно решение на система от диференциални уравнения, съответстващи на дадените начални условия.
, ,

Това е пример, който можете да решите сами. Приблизителна извадка на окончателната форма на задачата и отговора в края на урока.

Решаването на нехомогенна система от диференциални уравнения не се различава алгоритмично, освен че технически ще бъде малко по-сложно:

Пример 3

Използвайки операционно смятане, намерете конкретно решение на система от диференциални уравнения, съответстващи на дадените начални условия.
, ,

Решение:Използване на таблицата за трансформация на Лаплас, като се вземат предвид началните условия , нека преминем от оригиналите към съответните изображения:

Но това не е всичко, има самотни константи от дясната страна на уравненията. Какво да правим в случаите, когато константата е напълно сама? Това вече беше обсъдено в клас. Как да решим DE с помощта на оперативния метод. Нека повторим: единичните константи трябва да се умножат мислено по едно и следното преобразуване на Лаплас трябва да се приложи към единиците:

Нека заместим намерените изображения в оригиналната система:

Нека преместим термините, съдържащи , наляво и поставим останалите термини отдясно:

В лявата страна ще поставим скоби, освен това ще приведем дясната страна на второто уравнение към общ знаменател:

Нека изчислим основния детерминант на системата, като не забравяме, че е препоръчително незабавно да се опитате да факторизирате резултата:
, което означава, че системата има уникално решение.

Да продължим:



Така операторското решение на системата е:

Понякога една или дори и двете фракции могат да бъдат намалени, а понякога толкова успешно, че дори не е необходимо да разширявате нищо! И в някои случаи веднага получавате безплатно, между другото, следният пример на урока ще бъде показателен пример.

Използвайки метода на неопределените коефициенти, получаваме сумите на елементарните дроби.

Нека разбием първата фракция:

И постигаме второто:

В резултат операторното решение приема формата, от която се нуждаем:

Използване на дясната колона таблици с оригинали и изображенияизвършваме обратното преобразуване на Лаплас:

Нека заместим получените изображения в операторното решение на системата:

Отговор:частно решение:

Както можете да видите, в хетерогенна система е необходимо да се извършват по-трудоемки изчисления в сравнение с хомогенна система. Нека да разгледаме още няколко примера със синуси и косинуси и това е достатъчно, тъй като ще бъдат разгледани почти всички видове проблеми и повечето от нюансите на решението.

Пример 4

Използвайки метода на оперативното смятане, намерете конкретно решение на система от диференциални уравнения с дадени начални условия,

Решение:Аз също ще анализирам този пример, но коментарите ще се отнасят само до специални моменти. Предполагам, че вече сте добре запознати с алгоритъма за решение.

Нека да преминем от оригиналите към съответните изображения:

Нека заменим намерените изображения в оригиналната система за дистанционно управление:

Нека решим системата с помощта на формулите на Cramer:
, което означава, че системата има уникално решение.

Полученият полином не може да бъде факторизиран. Какво да правим в такива случаи? Абсолютно нищо. Този също ще свърши работа.

В резултат операторското решение на системата е:

Ето го билетчето на късмета! Изобщо не е необходимо да използвате метода на неопределените коефициенти! Единственото нещо е, че за да приложим трансформации на таблици, пренаписваме решението в следната форма:

Нека да преминем от изображенията към съответните оригинали:

Нека заместим получените изображения в операторното решение на системата:

Практическата стойност на диференциалните уравнения се определя от факта, че чрез тях е възможно да се установи връзка с основен физичен или химичен закон и често с цяла група променливи, които са от голямо значение при изучаването на технически въпроси.

Прилагането дори на най-простия физичен закон към процес, протичащ при променливи условия, може да доведе до много сложна връзка между променливите величини.

При решаването на физични и химични проблеми, водещи до диференциални уравнения, е важно да се намери общият интеграл на уравнението, както и да се определят стойностите на константите, включени в този интеграл, така че решението да съответства на дадения проблем.

Изследването на процеси, при които всички желани величини са функции само на една независима променлива, води до обикновени диференциални уравнения.

Процесите в стационарно състояние могат да доведат до частични диференциални уравнения.

В повечето случаи решаването на диференциални уравнения не води до намиране на интеграли; трябва да се използват приблизителни методи за решаване на такива уравнения.

Системите от диференциални уравнения се използват за решаване на кинетични проблеми.

Най-разпространеният и универсален числен метод за решаване на обикновени диференциални уравнения е методът на крайните разлики.

Обикновените диференциални уравнения се използват за решаване на задачи, при които е необходимо да се намери връзката между зависимите и независимите променливи при условия, когато последните се променят непрекъснато. Решаването на проблема води до така наречените уравнения с крайни разлики.

Областта на непрекъсната промяна в аргумента x се заменя с набор от точки, наречени възли. Тези възли съставляват различната мрежа. Необходимата функция на непрекъснат аргумент се заменя приблизително с функцията на аргумента на дадена мрежа. Тази функция се нарича мрежова функция. Замяната на диференциално уравнение с диференциално уравнение се нарича неговата апроксимация върху решетка. Набор от диференциални уравнения, които приближават оригиналното диференциално уравнение и допълнителни начални условия, се нарича диференциална схема. Разностната схема се нарича стабилна, ако малка промяна във входните данни съответства на малка промяна в решението. Разностната схема се нарича правилна, ако нейното решение съществува и е уникално за всички входни данни, а също и ако тази схема е стабилна.

Когато решавате задачата на Коши, трябва да намерите функция y=y(x), която удовлетворява уравнението:

и началното условие: y = y 0 при x = x 0.

Нека въведем последователност от точки x 0, x 1, ... x n и стъпки h i = x i +1 – x i (i = 0, 1, ...). Във всяка точка x i се въвеждат числа y i, които приближават точното решение y. След замяната на производната в първоначалното уравнение с връзка с крайна разлика се извършва преходът от диференциална задача към диференциална задача:

y i+1 = F(x i, h i, y i+1, y i, … y i-k+1),

където i = 0, 1, 2...

Това води до k-стъпков метод на крайна разлика. При едноетапни методи, за изчисляване на y i +1, се използва само една предварително намерена стойност y i в предишната стъпка; при многоетапни методи се използват няколко.

Най-простият едностъпков числен метод за решаване на проблема на Коши е методът на Ойлер.

y i+1 = y i + h f(x i, y i).

Тази схема е разностна схема от първи ред на точност.

Ако в уравнението y " =f(x,y) дясната страна се замени със средната аритметична стойност между f(x i,y i) и f(x i+1,y i+1), т.е. , тогава получаваме неявната диференциална схема на метода на Ойлер:

,

с точност от втори ред.

Чрез замяна на y i+1 в това уравнение с y i +h f(x i, y i), схемата преминава към метода на Ойлер с преизчисляване, което също има втори ред:

Сред диференциалните схеми с по-висок порядък на точност често се среща схемата на метода Runge-Kutta от четвърти ред:

y i +1 = yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4), i = 0, 1, ...

до 1 = f(x i, y i)

до 2 = f(x i +, y i +)

до 3 = f(x i +, y i +)

k 4 = f(x i +h, y i +k 3).

За повишаване на точността на численото решение без значително увеличаване на компютърното време се използва методът Runge. Същността му е да се извършват многократни изчисления, като се използва една и съща схема на разлика с различни стъпки.

Прецизното решение е конструирано с помощта на серия от изчисления. Ако две серии от изчисления се извършват съгласно схемата на поръчката Да сесъответно със стъпки h и h/2 и се получават стойностите на мрежовата функция y h и y h /2, тогава прецизираната стойност на мрежовата функция в мрежовите възли със стъпка h се изчислява по формулата:

.

Приблизителни изчисления

При физически и химични изчисления рядко е необходимо да се използват техники и формули, които дават точни решения. В повечето случаи методите за решаване на уравнения, които водят до точни резултати, са или много сложни, или изобщо не съществуват. Обикновено се използват методи за приблизително решаване на проблеми.

При решаването на физикохимични проблеми, свързани с химичната кинетика и обработката на експериментални данни, често възниква необходимостта от решаване на различни уравнения. Точното решение на някои уравнения в някои случаи представлява големи трудности. В тези случаи можете да използвате методи за приблизителни решения, като получавате резултати с точност, която удовлетворява задачата. Има няколко метода: метод на допирателната (метод на Нютон), метод на линейна интерполация, метод на повторение (итерация) и др.

Нека има уравнение f(x)=0 и f(x) е непрекъсната функция. Да приемем, че е възможно да изберете стойности на a и b така, че f(a) и f(b) да имат различни знаци, например f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

Графично намиране на корените на уравнение. За решаване на уравнения от по-високи степени е удобно да се използва графичният метод. Нека е дадено уравнението:

x n +ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

където a, b, … , p, q са дадени числа.

От геометрична гледна точка уравнението

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

представлява някаква крива. Можете да намерите произволен брой точки, като изчислите стойностите на y, съответстващи на произволни стойности на x. Всяка точка на пресичане на кривата с оста OX дава стойността на един от корените на това уравнение. Следователно намирането на корените на уравнението се свежда до определяне на точките на пресичане на съответната крива с оста OX.

Итерационен метод. Този метод се състои в преобразуване на уравнението f(x)=0, което трябва да бъде решено, в ново уравнение x=j(x) и при първото приближение x 1, последователно намиране на по-точни приближения x 2 =j(x 1), x 3 =j(x 2) и т.н. Решението може да се получи с всякаква степен на точност, при условие че в интервала между първото приближение и корена на уравнението |j"(x)|<1.

Използват се следните методи за решаване на едно нелинейно уравнение:

а) метод на разделяне на половина:

Интервалът на изолация на реален корен винаги може да бъде намален, като се раздели, например, наполовина, като се определи в границите на коя част от първоначалния интервал функцията f(x) променя знака. След това полученият интервал отново се разделя на две части и т.н. Този процес продължава, докато десетичните знаци, съхранени в отговора, престанат да се променят.

Избираме интервала, в който се съдържа решението. Изчисляваме f(a) и f(b), ако f(a) > 0 и f(b)< 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) >0 и f(c) > 0, тогава a = c и b = b. В противен случай, ако f(a)< 0 и f(c) >0 или f(a) > 0 и f(c)< 0, то a = a и b = c.

Б) метод на допирателната (метод на Нютон):

Нека реалният корен на уравнението f(x) = 0 е изолиран върху сегмента . Нека вземем число x 0 на сегмента, за който f (x 0) има същия знак като f ’ (x 0). Нека начертаем допирателна към кривата y = f(x) в точка M 0. Като приблизителна стойност на корена приемаме абсцисата на пресечната точка на тази допирателна с оста Ox. Тази приблизителна стойност на корена може да се намери с помощта на формулата

Прилагайки тази техника втори път в точка M 1, получаваме

и т.н. Поредицата x0, x1, x2,..., получена по този начин, има желания корен като граница. Най-общо може да се напише по следния начин:

.

За решаване на линейни системи от алгебрични уравнения се използва итеративният метод на Гаус-Зайдел. Такива проблеми на химическата технология като изчисляването на материалния и топлинния баланс се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения.

Същността на метода е, че чрез прости трансформации неизвестните x 1, x 2, ..., x n се изразяват съответно от уравнения 1.2, ..., n. Задайте първоначалните приближения на неизвестните x 1 =x 1 (0), x 2 =x 2 (0), ..., x n =x n (0), заменете тези стойности в дясната страна на израза x 1 и изчислете x 1 (1). След това заместете x 1 (1), x 3 (0), ..., x n (0) в дясната страна на израза x 2 и намерете x 2 (1) и т.н. След изчисляване на x 1 (1), x 2 (1), ..., x n (1) се извършва втората итерация. Итеративният процес продължава, докато стойностите x 1 (k), x 2 (k), ... станат близки, с дадена грешка, до стойностите x 1 (k-1), x 2 (k -2), ....

Такива проблеми на химическата технология като изчисляване на химичното равновесие и т.н. се свеждат до решаване на системи от нелинейни уравнения. Итеративните методи се използват и за решаване на системи от нелинейни уравнения. Изчисляването на сложното равновесие се свежда до решаване на системи от нелинейни алгебрични уравнения.

Алгоритъмът за решаване на система, използвайки метода на простата итерация, напомня на метода на Гаус-Зайдел, използван за решаване на линейни системи.

Методът на Нютон има по-бърза конвергенция от простия итерационен метод. Основава се на използването на разлагането на функции F 1 (x 1 , x 2 , … x n) в ред на Тейлър. В този случай термините, съдържащи втори производни, се отхвърлят.

Нека приблизителните стойности на системните неизвестни, получени при предишната итерация, са равни на a 1, a 2, ...a n. Задачата е да се намерят увеличения на тези стойности Δx 1, Δx 2, ... Δx n, благодарение на които ще бъдат получени нови стойности на неизвестните:

x 1 = a 1 + Δx 1

x 2 = a 2 + Δx 2

x n = a n + Δx n.

Нека разширим лявата страна на уравненията в серия на Тейлър, ограничавайки се до линейни членове:

Тъй като лявата страна на уравненията трябва да е равна на нула, ние приравняваме десната страна на нула. Получаваме система от линейни алгебрични уравнения за нараствания Δx.

Стойностите на F 1, F 2, … F n и техните частни производни се изчисляват при x 1 = a 1, x 2 = a 2, … x n = a n.

Нека напишем тази система под формата на матрица:

Детерминантата на матрица G от тази форма се нарича Якобиан. Детерминантата на такава матрица се нарича Якобиан. За да съществува уникално решение на системата, то трябва да е различно от нула при всяка итерация.

По този начин решаването на система от уравнения по метода на Нютон се състои в определяне на матрицата на Якоби (частични производни) при всяка итерация и определяне на увеличенията Δх 1, Δх 2, ... Δх n към стойностите на неизвестните при всяка итерация чрез решаване на система от линейни алгебрични уравнения.

За да се елиминира необходимостта от намиране на матрицата на Якоби при всяка итерация, се предлага подобрен метод на Нютон. Този метод ви позволява да коригирате матрицата на Якоби, като използвате стойностите F 1, F 2, ..., F n, получени в предишни итерации.

Как се решава система от диференциални уравнения?

Предполага се, че читателят вече е доста добър в решаването на диференциални уравнения, по-специално хомогенни уравнения от втори редИ нехомогенни уравнения от втори редс постоянни коефициенти. Няма нищо сложно в системите от диференциални уравнения и ако сте удобни с горните видове уравнения, тогава овладяването на системите няма да е трудно.

Има два основни типа системи диференциални уравнения:

– Линейни хомогенни системи диференциални уравнения
– Линейни нехомогенни системи диференциални уравнения

И два основни начина за решаване на система от диференциални уравнения:

– Метод на елиминиране. Същността на метода е, че по време на решението системата от диференциални уравнения се свежда до едно диференциално уравнение.

– Използване на характеристичното уравнение(т.нар. метод на Ойлер).

В по-голямата част от случаите системата от диференциални уравнения трябва да бъде решена с помощта на първия метод. Вторият метод е много по-рядко срещан в настройките на проблеми; в цялата си практика съм решил най-много 10-20 системи с него. Но ние също ще разгледаме накратко това в последния параграф на тази статия.

Веднага се извинявам за теоретичната непълнота на материала, но включих в урока само онези задачи, които действително могат да се срещнат на практика. Тук едва ли ще намерите нещо, което пада в метеоритен дъжд веднъж на всеки пет години и с такива изненади трябва да се обърнете към специализирани дифузьорни тухли.

Линейни хомогенни системи диференциални уравнения

Най-простата хомогенна система от диференциални уравнения има следния вид:

Всъщност почти всички практически примери са ограничени до такава система =)

Какво има там?

– това са числа (числови коефициенти). Най-често срещаните числа. По-специално, един, няколко или дори всички коефициенти могат да бъдат нула. Но такива подаръци рядко се дават, така че числата най-често не са равни на нула.

И това са неизвестни функции. Променливата, която действа като независима променлива, е „като X в обикновено диференциално уравнение“.

И са първите производни на неизвестните функции и, съответно.

Какво означава да се реши система от диференциални уравнения?

Това означава намиране такивафункции и които задоволяват и първото и второтоуравнение на системата. Както можете да видите, принципът е много подобен на конвенционалния системи от линейни уравнения. Само че там корените са числа, а тук са функции.

Намереният отговор се записва във формата общо решение на система от диференциални уравнения:

Във къдрави скоби!Тези функции са „в един комплект“.

За система за дистанционно управление можете да решите проблема на Коши, тоест да намерите специално решение на системата, удовлетворяващи дадените начални условия. Конкретно решение на системата също се изписва с фигурни скоби.

Системата може да бъде пренаписана по-компактно, както следва:

Но традиционно решението с производни, записани в диференциали, е по-често срещано, така че, моля, веднага свикнете със следната нотация:
и – производни от първи ред;
и са производни от втори ред.

Пример 1

Решете задачата на Коши за система от диференциални уравнения с начални условия, .

Решение:При задачи системата най-често среща начални условия, така че почти всички примери в този урок ще бъдат със задачата на Коши. Но това не е важно, тъй като все още ще трябва да се намери общо решение по пътя.

Нека решим системата чрез елиминиране. Нека ви напомня, че същността на метода е да сведе системата до едно диференциално уравнение. И се надявам да решиш добре диференциалните уравнения.

Алгоритъмът за решение е стандартен:

1) Вземете второ уравнение на систематаи изразяваме от него:

Това уравнение ще ни трябва към края на решението и ще го маркирам със звездичка. В учебниците се случва да се натъкнат на 500 нотации и след това се позовават на: „според формула (253) ...“ и търсят тази формула някъде 50 страници назад. Ще се огранича с една единствена оценка (*).

2) Диференцирайте от двете страни на полученото уравнение:

С "удари" процесът изглежда така:

Важно е тази проста точка да е ясна; няма да се спирам повече на нея.

3) Нека заместим и в първото уравнение на системата:

И нека направим максимални опростявания:

Резултатът е най-обикновено нещо хомогенно уравнение от втори редс постоянни коефициенти. С "щрихи" се пише така: .

– получават се различни реални корени, следователно:
.

Една от функциите е намерена, наполовина назад.

Да, моля, обърнете внимание, че получихме характеристично уравнение с „добър“ дискриминант, което означава, че не сме объркали нищо при заместването и опростяванията.

4) Да преминем към функцията. За да направим това, вземаме вече намерената функция и намерете нейната производна. Различаваме по:

Да заместим и в уравнение (*):

Или накратко:

5) И двете функции са намерени, нека запишем общото решение на системата:

Отговор:частно решение:

Полученият отговор се проверява доста лесно; проверката се извършва в три стъпки:

1) Проверете дали първоначалните условия действително са изпълнени:

И двете начални условия са изпълнени.

2) Да проверим дали намереният отговор удовлетворява първото уравнение на системата.

Взимаме функцията от отговора и намерете неговата производна:

Да заместим , И в първото уравнение на системата:

Получава се правилното равенство, което означава, че намереният отговор удовлетворява първото уравнение на системата.

3) Да проверим дали отговорът удовлетворява второто уравнение на системата

Взимаме функцията от отговора и намираме нейната производна:

Да заместим , И във второто уравнение на системата:

Получава се правилното равенство, което означава, че намереният отговор удовлетворява второто уравнение на системата.

Проверката е завършена. Какво е проверено? Изпълнението на първоначалните условия е проверено. И най-важното е фактът, че е намерено конкретно решение удовлетворява за всекиуравнение на първоначалната система .

По същия начин можете да проверите общото решение , проверката ще бъде още по-кратка, тъй като няма нужда да се проверява дали са изпълнени първоначалните условия.

Сега нека се върнем към решената система и да зададем няколко въпроса. Решението започна така: взехме второто уравнение на системата и изразихме от него . Възможно ли е да се изрази не „X“, а „Y“? Ако изразим , тогава това няма да ни даде нищо - в този израз отдясно има и "y", и "x", така че няма да можем да се отървем от променливата и да намалим решението на системата към решението на едно диференциално уравнение.

Въпрос втори. Възможно ли е да се започне решаването не от второто, а от първото уравнение на системата? Мога. Нека разгледаме първото уравнение на системата: . В него имаме две „X“ и едно „Y“, така че е необходимо стриктно да изразим „Y“ през „X“: . Следва първата производна: . Тогава трябва да замените И във второто уравнение на системата. Решението ще бъде напълно еквивалентно, с тази разлика, че първо ще намерим функцията и след това .

И само за втория метод ще има пример за независимо решение:

Пример 2

Намерете конкретно решение на системата от диференциални уравнения, което отговаря на дадените начални условия.

В примерното решение, което е дадено в края на урока, от първото уравнение е изразено и целият танц започва от този израз. Опитайте се сами да направите огледално решение, точка по точка, без да гледате пробата.

Можете също така да тръгнете по пътя на пример № 1 - от второто уравнение, експрес (обърнете внимание, че трябва да се изрази „x“). Но този метод е по-малко рационален, поради причината, че завършихме с дроб, което не е съвсем удобно.

Линейни нехомогенни системи диференциални уравнения

Почти същото, само решението ще бъде малко по-дълго.

Нехомогенната система от диференциални уравнения, която в повечето случаи можете да срещнете в задачи, има следния вид:

В сравнение с хомогенна система, към всяко уравнение се добавя допълнително определена функция, зависеща от „te“. Функциите могат да бъдат константи (като поне една от тях не е равна на нула), експоненциали, синуси, косинуси и др.

Пример 3

Намерете конкретно решение на системата от линейни диференциални уравнения, съответстващо на дадените начални условия

Решение:Дадена е линейна нехомогенна система от диференциални уравнения; константите действат като „добавки“. Ние използваме метод на елиминиране, като самият алгоритъм на решението е напълно запазен. За промяна ще започна с първото уравнение.

1) От първото уравнение на системата изразяваме:

Това е важно нещо, така че ще го отбележа отново. По-добре е да не отваряте скобите; защо има излишни дроби?

И забележете отново, че именно „y“ е изразено от първото уравнение – чрез два „x“ и константа.

2) Разграничете от двете страни:

Константата (три) е изчезнала, поради факта, че производната на константата е равна на нула.

3) Да заместим И във второто уравнение на системата :

Веднага след заместването е препоръчително да се отървем от дробите, за да направим това, умножаваме всяка част от уравнението по 5:

Сега правим опростявания:

Резултатът е линейно нехомогенно уравнение от втори редс постоянни коефициенти. Това по същество е цялата разлика от решението на хомогенна система от уравнения, разгледано в предишния параграф.

Забележка: Въпреки това, в нехомогенна система понякога може да се получи хомогенно уравнение.

Нека намерим общото решение на съответното хомогенно уравнение:

Нека съставим и решим характеристичното уравнение:

– получават се спрегнати комплексни корени, следователно:
.

Корените на характеристичното уравнение отново се оказаха „добри“, което означава, че сме на прав път.

Търсим конкретно решение на нехомогенното уравнение във формата .
Нека намерим първата и втората производни:

Нека заместим в лявата част на нехомогенното уравнение:

По този начин:

Трябва да се отбележи, че определено решение се избира лесно устно и е напълно приемливо, вместо дълги изчисления, да се напише: „Очевидно е, че конкретно решение на нехомогенното уравнение: .

Като резултат:

4) Търсим функция. Първо намираме производната на вече намерената функция:

Не е особено приятно, но такива производни често се срещат в дифузьорите.

Бурята е в разгара си, а сега ще има и девета вълна. Завържете се с въже за палубата.

Да заместим
и в уравнение (*):

5) Общо решение на системата:

6) Намерете конкретно решение, съответстващо на началните условия :

И накрая, частно решение:

Виждате ли, каква история с щастлив край, сега можете безстрашно да плавате на лодки по спокойното море под нежното слънце.

Отговор:частно решение:

Между другото, ако започнете да решавате тази система от второто уравнение, изчисленията ще бъдат много по-прости (можете да опитате), но много посетители на сайта поискаха да анализират по-трудни неща. Как можеш да откажеш? =) Нека има и по-сериозни примери.

Пример, по-лесен за самостоятелно решаване:

Пример 4

Намерете частно решение на линейна нехомогенна система от диференциални уравнения, съответстваща на дадените начални условия

Реших този проблем, използвайки примера от Пример № 1, тоест "x" се изразява от второто уравнение. Решението и отговорът са в края на урока.

В разгледаните примери неслучайно използвах различни означения и приложих различни решения. Така например производните в една и съща задача бяха написани по три начина: . Във висшата математика не е нужно да се страхувате от всякакви изкривявания, основното е да разберете алгоритъма за решение.

Метод на характеристичните уравнения(метод на Ойлер)

Както беше отбелязано в началото на статията, при използване на характеристично уравнение рядко се изисква решаване на система от диференциални уравнения, така че в последния параграф ще разгледам само един пример.

Пример 5

Дадена е линейна хомогенна система от диференциални уравнения

Намерете общо решение на система от уравнения, като използвате характеристичното уравнение

Решение:Разглеждаме системата от уравнения и съставяме детерминанта от втори ред:

Мисля, че всеки може да види на какъв принцип е съставен определителят.

Нека създадем характеристично уравнение за това от всяко число, което се намира на главен диагонал, извадете някакъв параметър:

На чист екземпляр, разбира се, веднага трябва да запишете характеристичното уравнение, обяснявам подробно, стъпка по стъпка, за да е ясно какво идва откъде.

Разширяваме детерминантата:

И намираме корените на квадратното уравнение:

Ако характеристичното уравнение има два различни реални корена, тогава общото решение на системата от диференциални уравнения има формата:

Вече знаем коефициентите в степените, остава само да намерим коефициентите

1) Помислете за корена и го заменете в характеристичното уравнение:

(също така не е нужно да записвате тези две детерминанти на празния лист, но веднага създайте устно системата по-долу)

Използвайки числата на детерминантата, съставяме система от две линейни уравнения с две неизвестни:

От двете уравнения следва същото равенство:

Сега трябва да изберете най-малкостойност, така че стойността да е цяло число. Очевидно трябва да зададете . И ако, тогава

Решихме да посветим този раздел на решаването на системи от диференциални уравнения от най-простата форма d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2, в която a 1, b 1, c 1, a 2, b 2 , c 2 - някои реални числа. Най-ефективният метод за решаване на такива системи от уравнения е методът на интегриране. Ще разгледаме и решението на пример по темата.

Решението на системата от диференциални уравнения ще бъде двойка функции x (t) и y (t), които могат да превърнат и двете уравнения на системата в идентичности.

Нека разгледаме метода за интегриране на системата DE d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2. Нека изразим x от второто уравнение на системата, за да елиминираме неизвестната функция x (t) от първото уравнение:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Нека диференцираме второто уравнение по отношение на Tи реши уравнението му за d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Сега нека заместим резултата от предишните изчисления в първото уравнение на системата:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Така че елиминирахме неизвестната функция x (t) и получихме линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с постоянни коефициенти. Нека намерим решението на това уравнение y (t) и го заместим във второто уравнение на системата. Ще намерим x(t). Ще приемем, че това завършва решението на системата от уравнения.

Пример 1

Намерете решението на системата от диференциални уравнения d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Решение

Нека започнем с първото уравнение на системата. Нека го разрешим спрямо x:

x = d y d t - 2 y + 3

Сега нека диференцираме второто уравнение на системата, след което го решаваме по отношение на d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Можем да заместим резултата, получен по време на изчисленията, в 1-вото уравнение на системата за дистанционно управление:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

В резултат на трансформациите получихме линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с постоянни коефициенти d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2. Ако намерим общото му решение, получаваме функцията y(t).

Можем да намерим общото решение на съответния LOD y 0 чрез изчисляване на корените на характеристичното уравнение k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корените, които получихме, са реални и различни. В тази връзка общото решение на LODE ще има формата y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Сега нека намерим конкретно решение на линейното нехомогенно диференциално уравнение y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Дясната страна на уравнението е полином от нулева степен. Това означава, че ще търсим конкретно решение във формата y ~ = A, където A е неопределен коефициент.

Можем да определим неопределения коефициент от равенството d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Така y ~ = 1 и y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Открихме една неизвестна функция.

Сега нека заместим намерената функция във второто уравнение на DE системата и да решим новото уравнение за x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Така че изчислихме втората неизвестна функция x (t) = - C 1 · e t + 1.

Отговор: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter