След като сте получили обща представа за равенствата и сте се запознали с един от техните видове - числови равенства, можете да започнете да говорите за друг тип равенства, който е много важен от практическа гледна точка - уравнения. В тази статия ще разгледаме какво е уравнениеи това, което се нарича корен на уравнението. Тук ще дадем съответните дефиниции и ще представим различни примериуравнения и техните корени.
Навигация в страницата.
Какво е уравнение?
Целенасоченото запознаване с уравненията обикновено започва в часовете по математика във 2. клас. По това време се дава следното определение на уравнението:
Определение.
Уравнениетое равенство, съдържащо неизвестно число, което трябва да се намери.
Неизвестните числа в уравненията обикновено се обозначават с малки латински букви, например p, t, u и т.н., но най-често се използват буквите x, y и z.
Така уравнението се определя от гледна точка на формата на писане. С други думи, равенството е уравнение, когато се подчинява определени правилазаписи – съдържа буквата, чиято стойност трябва да се намери.
Нека дадем примери за първите и най-много прости уравнения. Нека започнем с уравнения като x=8, y=3 и т.н. Уравнения, които съдържат аритметични знаци заедно с цифри и букви, изглеждат малко по-сложни, например x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.
Разнообразието от уравнения нараства след запознаване - започват да се появяват уравнения със скоби, например 2·(x−1)=18 и x+3·(x+2·(x−2))=3. Неизвестна буква в уравнение може да се появи няколко пъти, например x+3+3·x−2−x=9, също така буквите могат да бъдат от лявата страна на уравнението, от дясната му страна или от двете страни на уравнението, например, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 или 3·x−4=2·(x+12) .
По-нататък след изучаване естествени числанастъпва запознаване с цели, рационални, реални числа, научават се нови математически обекти: степени, корени, логаритми и т.н., докато се появяват все повече и повече нови видове уравнения, съдържащи тези неща. Примери за тях можете да видите в статията основни типове уравненияуча в училище.
В 7 клас, заедно с буквите, които означават някои конкретни числа, започнете да обмисляте буквите, които могат да вземат различни значения, те се наричат променливи (вижте статията). В същото време в дефиницията на уравнението се въвежда думата „променлива“ и тя става така:
Определение.
Уравнениеизвикване на равенство, съдържащо променлива, чиято стойност трябва да се намери.
Например уравнението x+3=6·x+7 е уравнение с променливата x, а 3·z−1+z=0 е уравнение с променливата z.
По време на уроците по алгебра в същия 7 клас се сблъскваме с уравнения, съдържащи не една, а две различни неизвестни променливи. Те се наричат уравнения с две променливи. В бъдеще се допуска наличието на три или повече променливи в уравненията.
Определение.
Уравнения с едно, две, три и т.н. променливи– това са уравнения, съдържащи в писмен вид съответно една, две, три, ... неизвестни променливи.
Например, уравнението 3.2 x+0.5=1 е уравнение с една променлива x, на свой ред уравнение от вида x−y=3 е уравнение с две променливи x и y. И още един пример: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Ясно е, че такова уравнение е уравнение с три неизвестни променливи x, y и z.
Какъв е коренът на едно уравнение?
Дефиницията на уравнение е пряко свързана с дефиницията на корена на това уравнение. Нека направим някои разсъждения, които ще ни помогнат да разберем какъв е коренът на уравнението.
Да кажем, че имаме уравнение с една буква (променлива). Ако вместо буква, включена в записа на това уравнение, заместим определено число, тогава уравнението става числово равенство. Освен това полученото равенство може да бъде вярно или невярно. Например, ако замените числото 2 вместо буквата a в уравнението a+1=5, ще получите неправилното числово равенство 2+1=5. Ако заместим числото 4 вместо a в това уравнение, получаваме истинско равенство 4+1=5 .
На практика в по-голямата част от случаите интересът е към онези стойности на променливата, чието заместване в уравнението дава правилното равенство; тези стойности се наричат корени или решения дадено уравнение.
Определение.
Корен на уравнението- това е стойността на буквата (променливата), при заместването на която уравнението се превръща в правилно числово равенство.
Имайте предвид, че коренът на уравнение в една променлива също се нарича решение на уравнението. С други думи, решението на уравнение и коренът на уравнението са едно и също нещо.
Нека обясним това определение с пример. За да направим това, нека се върнем към уравнението, написано по-горе a+1=5. Според дадената дефиниция на корена на уравнението, числото 4 е корен на това уравнение, тъй като при заместването на това число вместо буквата а получаваме правилното равенство 4+1=5, а числото 2 не е негово корен, тъй като съответства на неправилно равенство от вида 2+1= 5 .
В този момент възникват редица естествени въпроси: „Има ли корен някое уравнение и колко корена има?“ дадено уравнение"? Ние ще им отговорим.
Има както уравнения, които имат корени, така и уравнения, които нямат корени. Например уравнението x+1=5 има корен 4, но уравнението 0 x=5 няма корени, тъй като без значение какво число заместваме в това уравнение вместо променливата x, ще получим неправилното равенство 0=5 .
Що се отнася до броя на корените на едно уравнение, те съществуват като уравнения, които имат някои крайно числокорени (един, два, три и т.н.) и уравнения с безкрайно много корени. Например уравнението x−2=4 има един корен 6, корените на уравнението x 2 =9 са две числа −3 и 3, уравнението x·(x−1)·(x−2)=0 има три корена 0, 1 и 2 и решението на уравнението x=x е произволно число, т.е. безкрайно множествокорени.
Трябва да се кажат няколко думи за приетата нотация за корените на уравнението. Ако уравнението няма корени, тогава те обикновено пишат „уравнението няма корени“ или използват знака празен комплект∅. Ако уравнението има корени, тогава те се пишат разделени със запетаи или се записват като елементи от комплектавъв къдрави скоби. Например, ако корените на уравнението са числата −1, 2 и 4, тогава напишете −1, 2, 4 или (−1, 2, 4). Също така е допустимо корените на уравнението да се запишат под формата на прости равенства. Например, ако уравнението включва буквата x и корените на това уравнение са числата 3 и 5, тогава можете да напишете x=3, x=5 и често се добавят индекси x 1 =3, x 2 =5 към променливата, сякаш указва корените на числата на уравнението. Във формата обикновено се записва безкраен набор от корени на уравнение и, ако е възможно, се използва нотацията за набори от естествени числа N, цели Z и реални числа R. Например, ако коренът на уравнение с променлива x е произволно цяло число, тогава напишете , и ако корените на уравнение с променлива y са произволни реално числоот 1 до 9 включително, след това напишете .
За уравнения с две, три и голяма сумапроменливи, като правило, терминът „корен на уравнението“ не се използва; в тези случаи се казва „решение на уравнението“. Какво се нарича решаване на уравнения с няколко променливи? Нека дадем съответното определение.
Определение.
Решаване на уравнение с две, три и т.н. променливинаречен чифт, тройка и т.н. стойности на променливите, превръщайки това уравнение в правилно числено равенство.
Нека покажем обяснителни примери. Да разгледаме уравнение с две променливи x+y=7. Нека заместим числото 1 вместо x и числото 2 вместо y и имаме равенството 1+2=7. Очевидно е неправилно, следователно двойката стойности x=1, y=2 не е решение на писменото уравнение. Ако вземем двойка стойности x=4, y=3, тогава след заместване в уравнението ще стигнем до правилното равенство 4+3=7, следователно тази двойка променливи стойности по дефиниция е решение към уравнението x+y=7.
Уравнения с няколко променливи, като уравнения с една променлива, може да нямат корени, могат да имат краен брой корени или могат да имат безкраен брой корени.
Двойки, тройки, четворки и др. Стойностите на променливите често се записват накратко, като се изброяват техните стойности, разделени със запетаи в скоби. В този случай числата, записани в скоби, съответстват на променливите в азбучен ред. Нека изясним тази точка, като се върнем към предишното уравнение x+y=7. Решението на това уравнение x=4, y=3 може да се запише накратко като (4, 3).
Най-голямо внимание в училищния курс по математика, алгебра и началото на анализа се отделя на намирането на корените на уравнения с една променлива. Ще обсъдим правилата на този процес много подробно в статията. решаване на уравнения.
Библиография.
- Математика. 2 класа Учебник за общо образование институции с прил. на електрон носител. В 14 ч. Част 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Белтюкова и др.] - 3-то изд. - М.: Образование, 2012. - 96 с.: ил. - (Училище на Русия). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Алгебра:учебник за 7 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: 9 клас: учебен. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
След като изучихме понятието равенства, а именно един от техните видове - числови равенства, можем да преминем към друг важен изглед– уравнения. В рамките на от този материалще обясним какво е уравнение и неговия корен, ще формулираме основни определения и ще дадем различни примериуравнения и намиране на техните корени.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Понятие за уравнение
Обикновено понятието уравнение се изучава в самото начало училищен курсалгебра. Тогава се определя така:
Определение 1
Уравнениенарича равенство с неизвестно число, което трябва да се намери.
Обичайно е неизвестните да се обозначават като малки с латински букви, например t, r, m и т.н., но най-често се използват x, y, z. С други думи, уравнението се определя от формата на неговия запис, тоест равенството ще бъде уравнение само когато се сведе до определен тип– трябва да съдържа буква, смисълът, който трябва да се намери.
Нека дадем няколко примера за най-простите уравнения. Това могат да бъдат равенства от вида x = 5, y = 6 и т.н., както и такива, които включват аритметични операции, например x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.
След като се научи понятието скоби, се появява понятието уравнения със скоби. Те включват 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 и т.н. Буквата, която трябва да се намери, може да се появи повече от веднъж, но няколко пъти, като например , например в уравнението x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Освен това неизвестните могат да бъдат разположени не само отляво, но и отдясно или в двете части едновременно, например x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 или 8 x − 9 = 2 (x + 17) .
Освен това, след като учениците се запознаят с концепциите за цели числа, реални числа, рационални числа, естествени числа, както и логаритми, корени и степени, се появяват нови уравнения, които включват всички тези обекти. Посветихме отделна статия на примери за такива изрази.
В учебната програма за 7. клас за първи път се появява понятието променливи. Това са писма, които могат да приемат различни значения(за повече подробности вижте статията за числата, буквални изразии изрази с променливи). Въз основа на тази концепция можем да предефинираме уравнението:
Определение 2
Уравнениетое равенство, включващо променлива, чиято стойност трябва да бъде изчислена.
Тоест, например, изразът x + 3 = 6 x + 7 е уравнение с променливата x, а 3 y − 1 + y = 0 е уравнение с променливата y.
Едно уравнение може да има повече от една променлива, но две или повече. Те се наричат съответно уравнения с две, три променливи и т.н. Нека запишем определението:
Определение 3
Уравнения с две (три, четири или повече) променливи са уравнения, които включват съответен брой неизвестни.
Например, равенство от вида 3, 7 · x + 0, 6 = 1 е уравнение с една променлива x, а x − z = 5 е уравнение с две променливи x и z. Пример за уравнение с три променливи би бил x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.
Корен на уравнението
Когато говорим за уравнение, веднага възниква необходимостта да се дефинира понятието неговия корен. Нека се опитаме да обясним какво означава.
Пример 1
Дадено ни е определено уравнение, което включва една променлива. Ако заместим неизвестната буква с число, уравнението се превръща в числово равенство - вярно или невярно. И така, ако в уравнението a + 1 = 5 заменим буквата с числото 2, тогава равенството ще стане невярно, а ако 4, тогава правилното равенство ще бъде 4 + 1 = 5.
Ние се интересуваме повече от тези стойности, с които променливата ще се превърне в истинско равенство. Те се наричат корени или разтвори. Нека напишем определението.
Определение 4
Корен на уравнениетоТе наричат стойността на променлива, която превръща дадено уравнение в истинско равенство.
Коренът може да се нарече и решение или обратното - и двете понятия означават едно и също нещо.
Пример 2
Нека вземем пример, за да изясним това определение. По-горе дадохме уравнението a + 1 = 5. Според дефиницията коренът е в такъв случайще бъде 4, защото при заместване вместо буква дава правилното числово равенство, а две няма да е решение, тъй като отговаря на неправилното равенство 2 + 1 = 5.
Колко корена може да има едно уравнение? Всяко уравнение има ли корен? Нека отговорим на тези въпроси.
Съществуват и уравнения, които нямат един корен. Пример би бил 0 x = 5. Можем да заменим безкрайно много различни числа, но никой от тях няма да го превърне в истинско равенство, тъй като умножаването по 0 винаги дава 0.
Има и уравнения, които имат няколко корена. Те могат да бъдат крайни или безкрайни голям бройкорени.
Пример 3
И така, в уравнението x − 2 = 4 има само един корен - шест, в x 2 = 9 два корена - три и минус три, в x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корена - нула, едно и две, има безкрайно много корени в уравнението x=x.
Сега нека обясним как правилно да напишем корените на уравнението. Ако няма такива, тогава пишем: „уравнението няма корени“. В този случай можете също да посочите знака на празното множество ∅. Ако има корени, тогава ги пишем разделени със запетаи или ги посочваме като елементи на множество, ограждайки ги във фигурни скоби. И така, ако някое уравнение има три корена - 2, 1 и 5, тогава пишем - 2, 1, 5 или (- 2, 1, 5).
Позволено е да се записват корени под формата на прости равенства. И така, ако неизвестното в уравнението е означено с буквата y, а корените са 2 и 7, тогава пишем y = 2 и y = 7. Понякога към буквите се добавят индекси, например x 1 = 3, x 2 = 5. По този начин посочваме номерата на корените. Ако уравнението има безкрайно много решения, тогава записваме отговора като числов интервалили използваме общоприети обозначения: множеството от естествени числа се означава с N, целите числа с Z, а реалните числа с R. Да кажем, че ако трябва да напишем, че решението на уравнението ще бъде цяло число, тогава ще напишем, че x ∈ Z, и ако всяко реално число от едно до девет, тогава y ∈ 1, 9.
Когато едно уравнение има два, три корена или повече, тогава по правило говорим не за корени, а за решения на уравнението. Нека формулираме дефиницията на решение на уравнение с няколко променливи.
Определение 5
Решението на уравнение с две, три или повече променливи е две, три или повече стойности на променливите, които превръщат даденото уравнение в правилно числово равенство.
Нека обясним определението с примери.
Пример 4
Да кажем, че имаме израза x + y = 7, който е уравнение с две променливи. Нека заместим едно вместо първото и две вместо второто. Ще получим неправилно равенство, което означава, че тази двойка стойности няма да бъде решение на това уравнение. Ако вземем двойката 3 и 4, тогава равенството става вярно, което означава, че сме намерили решение.
Такива уравнения може също да нямат корени или безкраен брой от тях. Ако трябва да запишем две, три, четири или повече стойности, тогава ги пишем разделени със запетаи в скоби. Тоест в примера по-горе отговорът ще изглежда като (3, 4).
На практика най-често трябва да се справяте с уравнения, съдържащи една променлива. Ще разгледаме подробно алгоритъма за решаването им в статията, посветена на решаването на уравнения.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
В алгебрата съществува концепцията за два вида равенства - тъждества и уравнения. Идентичностите са равенства, които са валидни за всякакви стойности на буквите, включени в тях. Уравненията също са равенства, но те са изпълними само за определени стойности на буквите, включени в тях.
Според условията на задачата буквите обикновено са неравни. Това означава, че някои от тях могат да приемат всякакви приемливи стойности, наречени коефициенти (или параметри), докато други - те се наричат неизвестни - приемат стойности, които трябва да бъдат намерени в процеса на решаване. По правило неизвестните количества се означават в уравненията с последните букви в (x.y.z и т.н.) или със същите букви, но с индекс (x 1, x 2 и т.н.), а известните коефициенти - с първите букви от същата азбука.
Въз основа на броя на неизвестните се разграничават уравнения с едно, две и няколко неизвестни. По този начин всички стойности на неизвестните, за които решаваното уравнение се превръща в идентичност, се наричат решения на уравненията. Едно уравнение може да се счита за разрешено, ако са намерени всичките му решения или е доказано, че то няма никакви. Задачата „решете уравнение“ е често срещана в практиката и означава, че трябва да намерите корена на уравнението.
Определение: корените на уравнението са тези стойности на неизвестните от допустимата област, при които решаваното уравнение се превръща в идентичност.
Алгоритъмът за решаване на абсолютно всички уравнения е един и същ, а смисълът му е да се използват математически трансформации този изразводят до повече прост изглед.
Уравнения, които имат еднакви корени, в алгебрата се наричат еквивалентни.
Най-простият пример: 7x-49=0, корен на уравнението x=7;
x-7=0, по подобен начин коренът x=7, следователно уравненията са еквивалентни. (В специални случаи еквивалентни уравненияможе изобщо да няма корени).
Ако коренът на едно уравнение е едновременно корен на друго, по-просто уравнение, получено от първоначалното чрез трансформации, то последното се нарича следствие от предишното уравнение.
Ако едно от двете уравнения е следствие от другото, тогава те се считат за еквивалентни. Те се наричат още еквивалентни. Горният пример илюстрира това.
Решаването дори на най-простите уравнения на практика често създава трудности. В резултат на решението можете да получите един корен на уравнението, два или повече дори безкраен брой- зависи от вида на уравненията. Има и такива, които нямат корени, те се наричат неразрешими.
Примери:
1) 15x -20=10; х=2. Това е единственият корен на уравнението.
2) 7x - y=0. Уравнението има безкраен брой корени, тъй като всяка променлива може да има безкраен брой стойности.
3) x 2 = - 16. Число, повдигнато на втора степен, винаги дава положителен резултат, така че е невъзможно да се намери коренът на уравнението. Това е едно от неразрешимите уравнения, обсъдени по-горе.
Правилността на решението се проверява чрез заместване на намерените корени вместо буквите и решаване на получения пример. Ако идентичността е изпълнена, решението е правилно.