Разрязване на две равни части, първа част
- Математика
Проблемите с рязане са област на математиката, където, както се казва, няма мамути, които лежат наоколо. Няколко индивидуални проблеми, но по същество не обща теория. В допълнение към известната теорема на Болай-Гервин, други фундаментални резултатипрактически няма в тази област. Несигурност - вечен спътникрязане задачи. Можем например да изрежем Правилен петоъгълникна шест части, от които можете да сгънете квадрат; но не можем да докажем, че пет части няма да са достатъчни за това.
С помощта на хитра евристика, въображение и половин литър понякога успяваме да намерим конкретно решение, но като правило не разполагаме с подходящи инструменти, за да докажем минималността на това решение или неговото несъществуване (последното, разбира се, важи за случая, когато не сме намерили решение). Тъжно е и несправедливо. И един ден взех празна тетрадка и реших да възстановя справедливостта от мащаба на едно конкретна задача: рязане плоска фигурана две равни (съвпадащи) части. Като част от тази поредица от статии (между другото, те ще бъдат три), вие и аз, другари, ще разгледаме този забавен многоъгълник, показан по-долу, и ще се опитаме безпристрастно да разберем дали е възможно да го разрежем на две равни фигури или не.
Въведение
Първо, нека опресним училищен курсгеометрия и си спомнете какво е това равни фигури. Yandex услужливо предлага:Две фигури в една равнина се наричат равни, ако има движение, което една към една превръща една фигура в друга.
Сега нека попитаме Уикипедия за движенията. Тя ще ни каже, първо, че движението е трансформация на равнината, която запазва разстоянията между точките. Второ, има дори класификация на движенията в самолет. Всички те принадлежат към един от следващите тривидове:
- Плъзгаща симетрия (тук, за удобство и полза, включвам огледалната симетрия като изроден случай, където се извършва паралелна транслация към нулевия вектор)
Нека въведем някои обозначения. Ще наречем разрязваната фигура фигура А, а двете хипотетични равни фигури, на които се предполага, че можем да я нарежем, ще наречем съответно B и C. Частта от равнината, която не е заета от фигура A, ще наричаме област D. В случаите, когато определен многоъгълник от картината се счита за разсечена фигура, ще го наричаме A 0 .
Така че, ако фигура A може да бъде разрязана на две равни части B и C, тогава има движение, което трансформира B в C. Това движение може да бъде или паралелен трансфер, или чрез въртене, или чрез плъзгаща симетрия (отсега нататък вече не го определям огледална симетриясъщо се счита за плъзгане). Нашето решение ще се основава на тази проста и дори бих казал очевидна основа. В тази част ще разгледаме най-простия случай – паралелен трансфер. Ротационната и плъзгащата симетрия ще попаднат съответно във втората и третата част.
Случай 1: паралелен трансфер
Паралелният трансфер се определя от един параметър - векторът, чрез който се извършва изместването. Нека въведем още няколко термина. Ще се нарече права линия, успоредна на вектора на изместване и съдържаща поне една точка от фигурата A секуща. Пресечната точка на секуща и фигура А ще се нарича напречно сечение. Секанс, по отношение на който фигурата A (минус сечението) лежи изцяло в една полуравнина, ще се нарича граница.
Лема 1.Един граничен участък трябва да съдържа повече от една точка.
Доказателство: очевидно. Е, или по-подробно: нека го докажем от противното. Ако тази точка принадлежи на фигура B, то тя изображение(т.е. точката, до която ще стигне по време на паралелен превод) принадлежи на фигура C => изображението принадлежи на фигура A => изображението принадлежи на секцията. Противоречие. Ако тази точка принадлежи на фигура С, то тя прототип(точката, която при паралелен превод ще влезе в нея) принадлежи на фигура B и след това по подобен начин. Оказва се, че в секцията трябва да има поне две точки.
Ръководейки се от тази проста лема, е лесно да се разбере, че желаният паралелен трансфер може да се случи само по протежение вертикална ос(в текущата ориентация на картината) Ако беше в друга посока, поне една от граничните секции щеше да се състои от една точка. Това може да се разбере, като мислено завъртите вектора на преместване и видите какво се случва с границите. За да елиминираме случая на вертикален паралелен трансфер, имаме нужда от по-сложен инструмент.
Лема 2.Обратният образ на точка, разположена на границата на фигура C, е или на границата на фигури B и C, или на границата на фигура B и област D.
Доказателство: не е очевидно, но сега ще го поправим. Нека ви напомня, че граничната точка на фигурата е такава точка, че колкото и да е близо до нея, има както точки, които принадлежат на фигурата, така и точки, които не й принадлежат. Съответно близо до граничната точка (да я наречем O") на фигура C ще има както точки от фигура C, така и други точки, принадлежащи към фигура B или регион D. Обратните изображения на точки от фигура C могат да бъдат само точки от фигура B. Следователно, произволно близо до обратния образ на точка O" (би било логично да го наречем точка O) има точки на фигурата B. Противообразите на точките на фигурата B могат да бъдат всякакви точки, които правят не принадлежат на B (т.е. или точките от фигурата C, или точките от областта D). По същия начин за точки от област D. Следователно, независимо колко близо до точка O има или точки от фигура C (и тогава точка O ще бъде на границата на B и C) или точки от област D (и тогава обратното изображение ще да бъде на границата на B и D). Ако можете да прегледате всички тези писма, ще се съгласите, че лемата е доказана.
Теорема 1.Ако напречното сечение на фигура А е сегмент, тогава неговата дължина е кратна на дължината на вектора на изместване.
Доказателство: разгледайте „далечния“ край на този сегмент (т.е. края, чийто прототип също принадлежи на сегмента). Този край очевидно принадлежи на фигура C и е нейната гранична точка. Следователно неговият обратен образ (между другото, също лежащ на сегмента и отделен от изображението с дължината на вектора на изместване) ще бъде или на границата на B и C, или на границата на B и D. Ако е на границата на B и C, тогава вземаме и неговия обратен образ. Ще повтаряме тази операция, докато следващият обратен образ престане да бъде на границата C и се окаже на границата D - и това ще се случи точно в другия край на сечението. В резултат на това получаваме верига от предобрази, които разделят секцията на няколко малки сегмента, дължината на всеки от които е равна на дължината на вектора на изместване. Следователно дължината на участъка е кратна на дължината на вектора на изместване и т.н.
Следствие от теорема 1.Всеки два раздела, които са сегменти, трябва да са съизмерими.
Използвайки това следствие, е лесно да се покаже, че вертикалният паралелен трансфер също изчезва.
Наистина, участък едно има дължина три клетки, а участък две има дължина три минус корен от две наполовина. Очевидно тези стойности са несъизмерими.
Заключение
Ако фигура A е 0 и може да бъде разделена на две еднакви фигури B и C, тогава B не се превежда в C чрез паралелна транслация. Следва продължение.Клуб за 7 клас
Ръководител Варвара Алексеевна Косоротова
2009/2010 учебна година
Урок 8. Рязане върху кариран лист хартия
При решаването на проблеми от този тип е полезно да се приложат следните съображения:
- Квадрат.Ако трябва да разделите фигура на няколко равни части, първо трябва да намерите площта на фигурата, която се изрязва, а след това - всяка от частите. По същия начин, ако оригиналната фигура трябва да бъде разделена на няколко фигури от даден тип, първо си струва да изчислите колко трябва да бъдат. Същите съображения могат да помогнат при решаването на други проблеми с рязането. За да онагледи тази идея, авторът на тези редове добави към списъка задача 13, която не беше сред задачите, предложени в урока.
- Симетрия.Трябва да се обърне внимание на свойствата на симетрията, например, когато е необходимо да се нареже една фигура на части и да се сглоби друга фигура от тях.
Разделете квадрат 4x4 на две равни части с четири различни начинитака че линията на рязане да минава покрай страните на клетките. Знаме - 1.Нарежете знамето с 6 ленти на две части, така че да можете да ги сгънете в знаме с 8 ленти.
Знаме - 2.Нарежете флаг A на четири части, така че флаг B да може да бъде сгънат от тях. 
Нарежете фигурата на 4 равни части. 
От двете - една.Нарежете квадрата с дупката на две прави линии на 4 части, така че да можете да сгънете нов квадрат от тях и друг правилен квадрат 5x5. 
11*.
Назъбен квадрат.Превърнете назъбен квадрат в правилен квадрат, като го разрежете на 5 части. 
12*.
Малтийски кръст - 2.Нарежете „Малтийския кръст“ (вижте задача 8) на 5 части, така че да могат да се сгънат на квадрат. 13**.Не знам, изрежете фигурата, показана на фигурата, на ъгли с три и четири клетки (като на снимката). Колко ъглови удара може да получи Незнайко? Разгледайте всички възможни случаи! 
Решение.Площта на оригиналната фигура е 22 (приемаме една клетка като единица площ). Нека за рязане се използват n четириклетъчни и k триклетъчни ъгъла. След това изразяваме площта на голямата фигура като сумата от площите на ъглите: 22 = 3 k + 4 n. Нека пренапишем това равенство в следния вид: 22 − 4 n =3 k. От лявата страна на това равенство е четен брой, което обаче не се дели на 4. Това означава, че 3 k също е четно число, което не се дели на 4 и следователно самото число k е такова. Освен това от дясната страна на равенството има число, което е кратно на 3, така че 22 − 4 n също е кратно на 3. Следователно 22 − 4 n е кратно на 6. Преминаване през стойностите на n от 0 до 5 (за n ≥6 22 − 4 n<0<3 k , чего быть не может), получаем, что такое возможно лишь при n =1 и при n =4. В каждом из этих случаев несложно найти k . При n =1 имеем k =6, а при n =4 имеем k =2.
Имайте предвид, че все още не сме доказали, че и двата случая са реализирани. В крайна сметка равенството на площите е само необходимо условие за съществуването на метод на рязане, но по никакъв начин не е достатъчно (например правоъгълник с размер 1 × 6 очевидно не може да бъде нарязан на два ъгъла с три клетки, въпреки че 3 2 = 6). За да завършите доказателството, трябва да дадете примери за разфасовки от всеки тип. Това може да стане по много различни начини. Картината показва само един от тях и можете да опитате да измислите нещо свое. Между другото, би било интересно да се отговори на този въпрос: колко разфасовки от всеки тип съществуват? (Авторът на тези редове например още не знае отговора на този въпрос). 
В заключение още веднъж подчертаваме, че пълното решение на този проблем включва две стъпки: намиране на възможни случаи и проверка дали всички те са реализирани. Всяка от тези стъпки сама по себе си не е решение на проблема!
Назад напред
внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представят всички функции на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Опитът показва, че при използване на практически методи на обучение е възможно да се формират у учениците редица умствени техники, необходими за правилно идентифициране на съществени и несъществени характеристики при запознаване с геометрични фигури. развива се математическа интуиция, логическо и абстрактно мислене, формира се култура на математическата реч, развиват се математически и дизайнерски способности, повишава се когнитивната активност, формира се познавателен интерес, развива се интелектуален и творчески потенциал. Статията предоставя редица практически задачи за геометрично рязане форми на парчета, за да композирате тези части, създават нова фигура. Учениците работят по задачи в групи. След това всяка група защитава своя проект.
Две фигури се наричат еднакво съставени, ако чрез разрязване на една от тях по определен начин на краен брой части е възможно (чрез подреждане на тези части по различен начин) да се образува втора фигура от тях. И така, методът на разделяне се основава на факта, че всеки два еднакво съставени полигона са еднакви по размер. Естествено е да зададем обратния въпрос: има ли два полигона с еднаква площ с еднаква големина? Отговорът на този въпрос е даден (почти едновременно) от унгарския математик Фаркаш Бояй (1832) и немския офицер и ентусиаст по математика Гервин (1833): два многоъгълника с равни площи са еднакво пропорционални.
Теоремата на Bolyai-Gerwin гласи, че всеки многоъгълник може да бъде нарязан на парчета, така че парчетата да могат да бъдат оформени в квадрат.
Упражнение 1.
Изрежете правоъгълника ах 2ана парчета, така че да могат да бъдат направени на квадрат.
Разрязваме правоъгълника ABCD на три части по линиите MD и MC (M е средата на AB)
Снимка 1
Преместваме триъгълника AMD така, че върхът M да съвпадне с върха C, катетът AM се премества в сегмента DC. Преместваме триъгълника MVS наляво и надолу, така че кракът MV да припокрие половината от сегмента DC. (Снимка 1)
Задача 2.
Нарежете равностранния триъгълник на парчета, така че да могат да се сгънат на квадрат.
Нека означим този правилен триъгълник ABC. Необходимо е триъгълник ABC да се разреже на многоъгълници, така че да могат да се сгънат в квадрат. Тогава тези многоъгълници трябва да имат поне един прав ъгъл.
Нека K е средата на CB, T е средата на AB, изберете точки M и E от страната AC, така че ME=AT=TV=BK=SC= А, AM=EC= А/2.
Фигура 2
Нека начертаем отсечката MK и отсечките EP и TN перпендикулярни на нея. Нека нарежем триъгълника на парчета по построените линии. Завъртаме четириъгълника KRES по посока на часовниковата стрелка спрямо върха K, така че SC да се изравни с сегмента KV. Нека завъртим четириъгълника AMNT по посока на часовниковата стрелка спрямо върха T, така че AT да се изравни с TV. Нека преместим триъгълника MEP така, че резултатът да е квадрат. (Фигура 2)
Задача 3.
Нарежете квадрата на парчета, така че от тях да се сгънат два квадрата.
Нека означим оригиналния квадрат ABCD. Нека отбележим средите на страните на квадрата - точки M, N, K, H. Нека начертаем отсечки MT, HE, KF и NP - части от отсечки съответно MC, HB, KA и ND.
Разрязвайки квадрата ABCD по начертаните линии, получаваме квадрата PTEF и четири четириъгълника MDHT, HCKE, KBNF и NAMP.
Фигура 3
PTEF е готов квадрат. От останалите четириъгълници ще оформим втория квадрат. Върховете A, B, C и D са съвместими в една точка, отсечките AM и BC, MD и KS, BN и CH, DH и AN са съвместими. Точките P, T, E и F ще станат върховете на новия квадрат. (Фигура 3)
Задача 4.
От плътна хартия се изрязват равностранен триъгълник и квадрат. Нарежете тези фигури на многоъгълници, така че да могат да се сгънат в един квадрат, като частите трябва да го запълнят изцяло и да не се пресичат.
Нарежете триъгълника на части и направете от тях квадрат, както е показано в задача 2. Дължина на страната на триъгълника – 2а. Сега трябва да разделите квадрата на многоъгълници, така че от тези части и квадрата, който излиза от триъгълника, да направите нов квадрат. Вземете квадрат със страна 2 А, нека го обозначим LRSD. Нека начертаем взаимно перпендикулярни отсечки UG и VF така, че DU=SF=RG=LV. Нека нарежем квадрата на четириъгълници.
Фигура 4
Нека вземем квадрат, съставен от части на триъгълник. Нека очертаем четириъгълниците - части от квадрата, както е показано на фигура 4.
Задача 5.
Кръстът се състои от пет квадрата: един квадрат в центъра, а останалите четири съседни на страните му. Нарежете го на парчета, така че да направите квадрат от тях.
Нека свържем върховете на квадратите, както е показано на фигура 5. Отрежете "външните" триъгълници и ги преместете в свободните пространства вътре в квадрата ABC.
Фигура 5
Задача 6.
Преначертайте два произволни квадрата в един.
Фигура 6 показва как да изрежете и преместите квадратните части.
Презентация за нагледен урок по геометрия в 5. клас. Фокусиран върху учебника за учебни заведения „Визуална геометрия“, 5-6 клас / И. Ф. Шапрыгин, Л. Н. Ерганжиева - Издател: Дропла, 2015 г
Основно понятие: равенство на фигурите. Резултати от темата: изобразяват равни фигури и обосновават равенството им; конструират дадени фигури от плоски геометрични фигури; създаване и манипулиране на изображение: разчленяване, завъртане, комбиниране, наслагване. Метапредметни резултати: развитие на въображаемо мислене, способности за проектиране, способност за предвиждане на резултатите, формиране на комуникативни умения.
Лични резултати: развитие на познавателната активност; внушаване на вкус към умствена работа. Вътрешнопредметни и междупредметни връзки: планиметрия (равнопоставеност на фигурите, симетрия, площ, еднаква големина и еднакъв състав), геометрична комбинаторика, чертане, технология.
Този урок е първият от два по тази тема.
Този урок обхваща проблеми, свързани с изрязване на форми. Целта на решаването е да разреже посочената фигура на две или повече равни части. За да се опрости тази фигура, тя често се разделя на клетки. В тези задачи имплицитно се въвежда концепцията за равенство на фигури (фигури, които съвпадат при наслагване, се наричат равни). Тази дефиниция се използва и за проверка на равенството на получените фигури.
Вижте съдържанието на документа
„Проблеми при изрязване и сгъване на форми. Урок 1"
Проблеми с рязане
и сгъваеми фигури
Цел: да се консолидира способността за решаване на проблеми с рязане.
Визуална геометрия
5 клас
Тази поговорка ви предупреждава да не прибързвате при решаването на проблеми.
Дадената фигура, която за улеснение е разделена на равни клетки, трябва да се разреже на две или повече части.
Ако тези части могат да се насложат една върху друга, така че да съвпаднат (и фигурите могат да се обърнат), тогава задачата е решена правилно.
Разрешаване на проблем
Местен търговец на земя
грабна парче необичайна земя по повод
форми (надяваше се да го продаде изгодно на части).
Но всеки от осемте намерени
аз купувачи, исках да имам
парцелът не е по-лош от този на съседа.
Къде трябва да инсталира търговецът
разделителни огради,
за да стане 8
еднакви зони?
Отговор
Разрешаване на проблем
Квадратът се състои от 16 еднакви клетки,
4 от тях са боядисани. Нарежете квадрата на
4 равни части, така че във всяка от тях
имаше само една цветна клетка.
Една клетка може да заеме всяко място във всяка част.
Отговор (4)
Разрешаване на проблем
Нарежете правоъгълника на 4 равни части,
(използвайте възможно най-много методи).
1 начин
Презентацията предлага само 4 начина за решаване на този проблем. Може би учениците ще предложат други методи - те също трябва да бъдат разгледани в клас.
Метод 2
3 начина
Направете фигури от тях. Колко от тях получихте?
Получената
фигурите се наричат
ТРИМИНО .
Вземете четири еднакви квадрата. Направете фигури от тях.
- Колко от тях получихте?
Имам пет
ТЕТРАМИНО фигури.
Направете пет квадрата
всички възможни фигури.
Колко от тях получихте?
Общо съществуват 12 пентомино елемента
На вниманието на учителите по математика и учителите по различни избираеми предмети и клубове се предлага селекция от занимателни и образователни задачи за геометрично рязане. Целта на учителя, който използва такива задачи в часовете си, е не само да заинтересува ученика от интересни и ефектни комбинации от клетки и фигури, но и да развие усета му за линии, ъгли и форми. Наборът от задачи е насочен основно към деца от 4-6 клас, въпреки че е възможно да се използва дори при ученици от гимназията. Упражненията изискват от учениците висока и постоянна концентрация на внимание и са идеални за развиване и трениране на зрителната памет. Препоръчва се за преподаватели по математика, подготвящи ученици за приемни изпити в математически училища и класове, които поставят специални изисквания към нивото на независимо мислене и творчески способности на детето. Нивото на задачите съответства на нивото на входните олимпиади в лицея „второ училище“ (второ математическо училище), малкия механико-математически факултет на Московския държавен университет, училището Курчатов и др.
Забележка на учителя по математика:
В някои решения на задачи, които можете да видите, като щракнете върху съответния показалец, е посочен само един от възможните примери за разрязване. Напълно признавам, че може да се окажете с друга правилна комбинация - няма нужда да се страхувате от това. Проверете внимателно решението на вашето мъниче и ако то отговаря на условията, не се колебайте да поемете следващата задача.
1) Опитайте да разрежете фигурата, показана на фигурата, на 3 части с еднаква форма:
: Малките форми са много подобни на буквата Т
2) Сега нарежете тази фигура на 4 части с еднаква форма:
Съвет за учител по математика: Лесно е да се досетите, че малките фигури ще се състоят от 3 клетки, но няма много фигури с три клетки. Има само два вида от тях: ъгъл и правоъгълник 1×3.
3) Нарежете тази фигура на 5 части с еднаква форма:
Намерете броя на клетките, които образуват всяка такава фигура. Тези фигури приличат на буквата G.
4) Сега трябва да изрежете фигура от десет клетки на 4 неравенправоъгълник (или квадрат) един спрямо друг.
Инструкции за учител по математика: Изберете правоъгълник и след това се опитайте да поставите още три в останалите клетки. Ако не работи, сменете първия правоъгълник и опитайте отново.
5) Задачата става по-сложна: трябва да разрежете фигурата на 4 различни по формафигури (не непременно правоъгълници).
Съвет за учител по математика: първо нарисувайте отделно всички видове фигури с различни форми (ще бъдат повече от четири) и повторете метода за изброяване на опции, както в предишната задача.
:
6) Нарежете тази фигура на 5 фигури от четири клетки с различна форма, така че във всяка от тях да е боядисана само една зелена клетка.
Съвет на учителя по математика:Опитайте се да започнете да режете от горния ръб на тази фигура и веднага ще разберете как да продължите.
:
7) Въз основа на предходната задача. Намерете колко фигури с различни форми има, състоящи се от точно четири клетки? Фигурите могат да се въртят и въртят, но не можете да повдигнете масата (от повърхността й), върху която лежи. Тоест, двете дадени фигури няма да се считат за равни, тъй като не могат да бъдат получени една от друга чрез ротация.
Съвет на учителя по математика:Проучете решението на предишната задача и се опитайте да си представите различните позиции на тези фигури при завъртане. Не е трудно да се досетим, че отговорът на нашия проблем ще бъде числото 5 или повече. (Всъщност дори повече от шест). Описани са 7 вида фигури.
8) Нарежете квадрат от 16 клетки на 4 части с еднаква форма, така че всяка от четирите части да съдържа точно една зелена клетка.
Съвет за учител по математика: Появата на малките фигури не е квадрат или правоъгълник, или дори ъгъл от четири клетки. И така, на какви форми трябва да опитате да изрежете?
9) Разрежете изобразената фигура на две части, така че получените части да могат да се сгънат на квадрат.
Съвет за учител по математика: Има общо 16 клетки, което означава, че квадратът ще бъде с размери 4x4. И по някакъв начин трябва да запълните прозореца в средата. Как да го направим? Може ли да има някаква промяна? След това, тъй като дължината на правоъгълника е равна на нечетен брой клетки, рязането трябва да се извърши не с вертикален разрез, а по прекъсната линия. Така че горната част се отрязва от едната страна на средната клетка, а долната - от другата.
10) Нарежете правоъгълник 4x9 на две части, така че да могат да бъдат сгънати на квадрат.
Съвет за учител по математика: В правоъгълника има общо 36 клетки. Следователно квадратът ще бъде с размери 6x6. Тъй като дългата страна се състои от девет клетки, три от тях трябва да бъдат отрязани. Как ще продължи това съкращаване?
11) Кръстът от пет клетки, показан на фигурата, трябва да бъде нарязан (можете да изрежете самите клетки) на парчета, от които може да се сгъне квадрат.
Съвет за учител по математика: Ясно е, че както и да режем по линиите на клетките, няма да получим квадрат, тъй като клетките са само 5, това е единствената задача, в която е разрешено изрязване не по клетки. Все пак би било добре да ги оставим като ориентир. например, струва си да се отбележи, че по някакъв начин трябва да премахнем вдлъбнатините, които имаме - а именно във вътрешните ъгли на нашия кръст. Как да стане това? Например, отрязване на някои стърчащи триъгълници от външните ъгли на кръста...