Дадени са примери за изчисляване на производни по формулата за производна на сложна функция.
Тук даваме примери за изчисляване на производни на следните функции:
;
;
;
;
.
Ако една функция може да бъде представена като сложна функция в следната форма:
,
тогава неговата производна се определя по формулата:
.
В примерите по-долу ще запишем тази формула, както следва:
.
Където .
Тук индексите или , разположени под знака за производна, означават променливите, по които се извършва диференциацията.
Обикновено в таблиците с производни се дават производни на функции от променливата x. Въпреки това, x е формален параметър. Променливата x може да бъде заменена с всяка друга променлива. Следователно, когато диференцираме функция от променлива, ние просто променяме в таблицата с производни променливата x на променливата u.
Прости примери
Пример 1
Намерете производната на сложна функция
.
Решение
Нека напишем дадената функция в еквивалентна форма:
.
В таблицата на производните намираме:
;
.
Според формулата за производна на сложна функция имаме:
.
Тук .
Отговор
Пример 2
Намерете производната
.
Решение
Изваждаме константата 5 от знака за производна и от таблицата с производни намираме:
.
.
Тук .
Отговор
Пример 3
Намерете производната
.
Решение
Изваждаме константа -1
за знака на производната и от таблицата на производните намираме:
;
От таблицата на производните намираме:
.
Прилагаме формулата за производна на сложна функция:
.
Тук .
Отговор
По-сложни примери
В по-сложни примери прилагаме правилото за диференциране на сложна функция няколко пъти. В този случай изчисляваме производната от края. Тоест, ние разделяме функцията на нейните съставни части и намираме производните на най-простите части, използвайки таблица с производни. Ние също използваме правила за диференциране на суми, продукти и фракции. След това правим замествания и прилагаме формулата за производната на сложна функция.
Пример 4
Намерете производната
.
Решение
Нека изберем най-простата част от формулата и да намерим нейната производна. .
.
Тук сме използвали нотацията
.
Намираме производната на следващата част от оригиналната функция, използвайки получените резултати. Прилагаме правилото за диференциране на сбора:
.
Още веднъж прилагаме правилото за диференциране на сложни функции.
.
Тук .
Отговор
Пример 5
Намерете производната на функцията
.
Решение
Нека изберем най-простата част от формулата и да намерим нейната производна от таблицата с производни. .
Прилагаме правилото за диференциране на сложни функции.
.
Тук
.
И теоремата за производната на сложна функция, чиято формулировка е следната:
Нека 1) функцията $u=\varphi (x)$ има в някакъв момент $x_0$ производната $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) функцията $y=f(u)$ имат в съответната точка $u_0=\varphi (x_0)$ производната $y_(u)"=f"(u)$. Тогава комплексната функция $y=f\left(\varphi (x) \right)$ в споменатата точка също ще има производна, равна на произведението на производните на функциите $f(u)$ и $\varphi ( x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
или в по-кратка нотация: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
В примерите в този раздел всички функции имат формата $y=f(x)$ (т.е. разглеждаме само функции на една променлива $x$). Съответно във всички примери производната $y"$ се взема по отношение на променливата $x$. За да се подчертае, че производната се взема по отношение на променливата $x$, $y"_x$ често се пише вместо $y "$.
Примери № 1, № 2 и № 3 очертават подробния процес за намиране на производната на сложни функции. Пример № 4 е предназначен за по-пълно разбиране на производната таблица и има смисъл да се запознаете с нея.
Препоръчително е след изучаване на материала в примери № 1-3 да се премине към самостоятелно решаване на примери № 5, № 6 и № 7. Примери #5, #6 и #7 съдържат кратко решение, така че читателят да може да провери правилността на своя резултат.
Пример №1
Намерете производната на функцията $y=e^(\cos x)$.
Трябва да намерим производната на сложна функция $y"$. Тъй като $y=e^(\cos x)$, тогава $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. За да намерим производната $ \left(e^(\cos x)\right)"$ използваме формула № 6 от производни таблици. За да използваме формула № 6, трябва да вземем предвид, че в нашия случай $u=\cos x$. Следващото решение се състои в просто заместване на израза $\cos x$ вместо $u$ във формула № 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Сега трябва да намерим стойността на израза $(\cos x)"$. Обръщаме се отново към таблицата с производни, избирайки формула № 10 от нея. Замествайки $u=x$ във формула № 10, имаме : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Сега нека продължим равенството (1.1), допълвайки го с намерения резултат:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
Тъй като $x"=1$, продължаваме равенството (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
И така, от равенство (1.3) имаме: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Естествено, обясненията и междинните равенства обикновено се пропускат, записвайки намирането на производната в един ред, както в равенството ( 1.3) И така, производната на комплексната функция е намерена, остава само да запишем отговора.
Отговор: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Пример №2
Намерете производната на функцията $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Трябва да изчислим производната $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Като начало отбелязваме, че константата (т.е. числото 9) може да бъде извадена от знака за производна:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
Сега нека се обърнем към израза $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За да изберете желаната формула от производни таблицибеше по-лесно, ще представя въпросния израз в тази форма: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Сега е ясно, че необходимо е да се използва формула № 2, т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ Заменяме $u=\arctg(. 4\cdot \) в тази формула ln x)$ и $\alpha=12$:
Допълвайки равенството (2.1) с получения резултат, имаме:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
В тази ситуация често се допуска грешка, когато решаващият на първата стъпка избере формулата $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ вместо формулата $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Въпросът е, че производната на външната функция трябва да е на първо място. За да разберете коя функция ще бъде външна за израза $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, представете си, че изчислявате стойността на израза $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ при някаква стойност $x$. Първо ще изчислите стойността на $5^x$, след това ще умножите резултата по 4, получавайки $4\cdot 5^x$. Сега вземаме аркутангенса от този резултат, получавайки $\arctg(4\cdot 5^x)$. След това повдигаме полученото число на дванадесета степен, получавайки $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Последното действие, т.е. повдигането на степен 12 ще бъде външна функция. И именно от това трябва да започнем да намираме производната, което беше направено в равенство (2.2).
Сега трябва да намерим $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Използваме формула № 19 от таблицата с производни, като заместваме $u=4\cdot \ln x$ в нея:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Нека опростим малко получения израз, като вземем предвид $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Равенството (2.2) сега ще стане:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Остава да намерим $(4\cdot \ln x)"$. Нека извадим константата (т.е. 4) от знака за производна: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. За да намерим $(\ln x)"$, използваме формула № 8, като заместваме $u=x$ в нея: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Тъй като $x"=1$, тогава $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Замествайки получения резултат във формула (2.3), получаваме:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).
Нека ви напомня, че производната на сложна функция най-често се намира в един ред, както е написано в последното равенство. Следователно, когато се подготвят стандартни изчисления или контролна работа, изобщо не е необходимо да се описва решението толкова подробно.
Отговор: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Пример №3
Намерете $y"$ на функцията $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Първо, нека леко трансформираме функцията $y$, изразявайки радикала (корен) като степен: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Сега нека започнем да намираме производната. Тъй като $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, тогава:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Използваме формула № 2 от производни таблици, замествайки $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac(3)(7)$ в него:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Нека продължим равенството (3.1), използвайки получения резултат:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Сега трябва да намерим $(\sin(5\cdot 9^x))"$. За целта използваме формула № 9 от таблицата с производни, като заместваме $u=5\cdot 9^x$ в нея:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Като допълним равенството (3.2) с получения резултат, имаме:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Остава да намерим $(5\cdot 9^x)"$. Първо, нека вземем константата (числото $5$) извън знака за производна, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. За да намерите производната $(9^x)"$, приложете формула № 5 от таблицата с производни, като заместите $a=9$ и $u=x$ в нея: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Тъй като $x"=1$, тогава $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Сега можем да продължим равенството (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Можем отново да се върнем от степени към радикали (т.е. корени), записвайки $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ във формата $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Тогава производната ще бъде записана в следната форма:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).
Отговор: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.
Пример №4
Покажете, че формули № 3 и № 4 от таблицата с производни са частен случай на формула № 2 от тази таблица.
Формула № 2 от таблицата с производни съдържа производната на функцията $u^\alpha$. Замествайки $\alpha=-1$ във формула №2, получаваме:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Тъй като $u^(-1)=\frac(1)(u)$ и $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, тогава равенството (4.1) може да бъде пренаписано както следва: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Това е формула № 3 от таблицата на производните.
Нека се обърнем отново към формула № 2 от таблицата на производните. Нека заместим $\alpha=\frac(1)(2)$ в него:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Тъй като $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ и $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тогава равенството (4.2) може да бъде пренаписано както следва:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Полученото равенство $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ е формула № 4 от таблицата с производни. Както можете да видите, формули № 3 и № 4 от таблицата с производни се получават от формула № 2 чрез заместване на съответната $\alpha$ стойност.