Просто казано, това са зеленчуци, приготвени във вода по специална рецепта. Ще разгледам два първоначални компонента (зеленчукова салата и вода) и крайния резултат - борш. Геометрично може да се разглежда като правоъгълник, като едната страна представлява маруля, а другата страна представлява вода. Сумата от тези две страни ще покаже борш. Диагоналът и площта на такъв правоъгълник „борш“ са чисто математически понятия и никога не се използват в рецепти за борш.
Как марулята и водата се превръщат в борш от математическа гледна точка? Как сумата от две отсечки може да стане тригонометрия? За да разберем това, имаме нужда от линейни ъглови функции.
В учебниците по математика няма да намерите нищо за линейни ъглови функции. Но без тях не може да има математика. Законите на математиката, както и законите на природата, работят независимо дали знаем за тяхното съществуване или не.
Линейните ъглови функции са закони на добавяне.Вижте как алгебрата се превръща в геометрия и как геометрията се превръща в тригонометрия.
Възможно ли е без линейни ъглови функции? Възможно е, защото математиците все още се справят без тях. Номерът на математиците е, че те винаги ни казват само за онези проблеми, които самите те знаят как да решат, и никога не говорят за онези проблеми, които не могат да решат. Виж. Ако знаем резултата от събирането и един член, използваме изваждане, за да намерим другия член. Всичко. Ние не знаем други проблеми и не знаем как да ги решим. Какво трябва да направим, ако знаем само резултата от събирането и не знаем и двата члена? В този случай резултатът от събирането трябва да се разложи на два члена с помощта на линейни ъглови функции. След това ние сами избираме какъв може да бъде един член, а линейните ъглови функции показват какъв трябва да бъде вторият член, така че резултатът от добавянето да е точно това, от което се нуждаем. Може да има безкраен брой такива двойки термини. В ежедневието се справяме добре, без да разлагаме сумата; изваждането ни е достатъчно. Но в научните изследвания на законите на природата, разлагането на сума на нейните компоненти може да бъде много полезно.
Друг закон за добавяне, за който математиците не обичат да говорят (още един техен трик) изисква членовете да имат еднакви мерни единици. За салата, вода и борш това могат да бъдат единици за тегло, обем, стойност или мерна единица.
Фигурата показва две нива на разлика за математически. Първото ниво са разликите в полето на числата, които са посочени а, b, ° С. Това правят математиците. Второто ниво са разликите в областта на мерните единици, които са показани в квадратни скоби и обозначени с буквата U. Това правят физиците. Можем да разберем третото ниво - разликите в площта на описваните обекти. Различните обекти могат да имат еднакъв брой еднакви мерни единици. Колко важно е това, можем да видим в примера на тригонометрията на борша. Ако добавим индекси към едно и също обозначение на единица за различни обекти, можем да кажем точно коя математическа величина описва конкретен обект и как се променя с времето или поради нашите действия. Писмо УВодата ще обознача с буква СЩе обознача салатата с буква б- борш. Ето как ще изглеждат линейните ъглови функции за борш.
Ако вземем част от водата и част от салатата, заедно те ще се превърнат в една порция борш. Предлагам ви да си починете малко от борша и да си спомните далечното си детство. Помните ли как ни учеха да събираме зайчета и патета заедно? Трябваше да се намери колко животни ще има. Какво ни учеха да правим тогава? Учеха ни да отделяме мерните единици от числата и да събираме числа. Да, всеки един номер може да бъде добавен към всеки друг номер. Това е пряк път към аутизма на съвременната математика - ние го правим неразбираемо какво, неразбираемо защо и много слабо разбираме как това е свързано с реалността, тъй като от трите нива на разлика математиците оперират само с едно. Би било по-правилно да се научите как да преминавате от една мерна единица към друга.
Зайчетата, патетата и зверчетата могат да се броят на части. Една обща мерна единица за различни обекти ни позволява да ги събираме заедно. Това е детска версия на проблема. Нека да разгледаме подобен проблем за възрастни. Какво получавате, когато добавите зайчета и пари? Тук има две възможни решения.
Първи вариант. Определяме пазарната стойност на зайчетата и я добавяме към наличната сума пари. Получихме общата стойност на нашето богатство в парично изражение.
Втори вариант. Можете да добавите броя на зайчетата към броя на банкнотите, които имаме. Ще получим количеството движимо имущество на части.
Както можете да видите, един и същ закон за събиране ви позволява да получите различни резултати. Всичко зависи от това какво точно искаме да знаем.
Но да се върнем на нашия борш. Сега можем да видим какво ще се случи за различни ъглови стойности на линейни ъглови функции.
Ъгълът е нула. Имаме салата, но няма вода. Не можем да сготвим борш. Количеството борш също е нула. Това изобщо не означава, че нула борш е нула вода. Може да има нула борш с нула салата (прав ъгъл).
За мен лично това е основното математическо доказателство за факта, че . Нулата не променя числото при добавяне. Това се случва, защото самото събиране е невъзможно, ако има само един член и вторият член липсва. Можете да мислите за това както искате, но помнете - всички математически операции с нула са измислени от самите математици, така че изхвърлете логиката си и глупаво натъпчете определенията, измислени от математиците: „деление на нула е невъзможно“, „всяко число, умножено по нула е нула” , „отвъд точката на пробиване нула” и други глупости. Достатъчно е да си спомните веднъж, че нулата не е число и никога повече няма да имате въпроса дали нулата е естествено число или не, защото такъв въпрос губи всякакъв смисъл: как може нещо, което не е число, да се счита за число ? Все едно да питате към какъв цвят трябва да се класифицира един невидим цвят. Добавянето на нула към число е същото като рисуване с боя, която не е там. Размахахме суха четка и казахме на всички, че „рисувахме“. Но се отклоних малко.
Ъгълът е по-голям от нула, но по-малък от четиридесет и пет градуса. Имаме много маруля, но не достатъчно вода. В резултат на това ще получим гъст борш.
Ъгълът е четиридесет и пет градуса. Имаме равни количества вода и салата. Това е идеалният борш (простете ми, готвачи, това е просто математика).
Ъгълът е по-голям от четиридесет и пет градуса, но по-малък от деветдесет градуса. Имаме много вода и малко салата. Ще получите течен борш.
Прав ъгъл. Имаме вода. От салатата остават само спомени, тъй като продължаваме да измерваме ъгъла от линията, която някога е маркирала салатата. Не можем да сготвим борш. Количеството борш е нула. В този случай изчакайте и пийте вода, докато я имате)))
Тук. Нещо като това. Тук мога да разкажа и други истории, които биха били повече от подходящи тук.
Двама приятели имаха дялове в общ бизнес. След като убиха единия, всичко отиде при другия.
Появата на математиката на нашата планета.
Всички тези истории са разказани на езика на математиката с помощта на линейни ъглови функции. Някой друг път ще ви покажа истинското място на тези функции в структурата на математиката. Междувременно нека се върнем към тригонометрията на борша и да разгледаме проекциите.
Събота, 26 октомври 2019 г
Гледах интересно видео за Грънди серия Едно минус едно плюс едно минус едно - Numberphile. Математиците лъжат. Те не са извършили проверка за равенство по време на своите разсъждения.
Това отразява моите мисли за.
Нека да разгледаме по-подробно знаците, че математиците ни заблуждават. В самото начало на спора математиците казват, че сборът на редицата ЗАВИСИ от това дали има четен брой елементи или не. Това е ОБЕКТИВНО УСТАНОВЕН ФАКТ. Какво се случва след това?
След това математиците изваждат последователността от единицата. До какво води това? Това води до промяна в броя на елементите на редицата - четно число се променя в нечетно число, нечетно число се променя в четно число. В края на краищата ние добавихме един елемент, равен на единица към последователността. Въпреки цялото външно сходство, последователността преди трансформацията не е равна на последователността след трансформацията. Дори и да говорим за безкрайна редица, трябва да помним, че безкрайна редица с нечетен брой елементи не е равна на безкрайна редица с четен брой елементи.
Поставяйки знак за равенство между две редица с различен брой елементи, математиците твърдят, че сумата на редицата НЕ ЗАВИСИ от броя на елементите в редицата, което противоречи на ОБЕКТИВНО УСТАНОВЕН ФАКТ. По-нататъшното разсъждение за сумата на безкрайна последователност е невярно, тъй като се основава на фалшиво равенство.
Ако видите, че математиците в хода на доказателствата поставят скоби, пренареждат елементи от математически израз, добавят или премахват нещо, бъдете много внимателни, най-вероятно те се опитват да ви измамят. Подобно на магьосниците на карти, математиците използват различни манипулации на изразяването, за да отвлекат вниманието ви, за да ви дадат в крайна сметка фалшив резултат. Ако не можете да повторите трик с карти, без да знаете тайната на измамата, тогава в математиката всичко е много по-просто: дори не подозирате нищо за измама, но повтарянето на всички манипулации с математически израз ви позволява да убедите другите в правилността на полученият резултат, точно както когато -те ви убедиха.
Въпрос от публиката: Безкрайността (като броя на елементите в редицата S) четна или нечетна? Как можете да промените паритета на нещо, което няма паритет?
Безкрайността е за математиците, както Небесното царство е за свещениците - никой никога не е бил там, но всеки знае как точно работи всичко там))) Съгласен съм, след смъртта ще бъдете абсолютно безразлични дали сте живели четно или нечетно число дни, но... Добавяйки само един ден в началото на живота ви, ще получим съвсем различен човек: неговото фамилно име, име и бащино име са абсолютно същите, само датата на раждане е напълно различна - той е бил роден един ден преди теб.
А сега да преминем към същината))) Да кажем, че крайна последователност, която има паритет, губи този паритет, когато отива към безкрайност. Тогава всеки краен сегмент от безкрайна последователност трябва да загуби паритет. Ние не виждаме това. Фактът, че не можем да кажем със сигурност дали една безкрайна последователност има четен или нечетен брой елементи, не означава, че паритетът е изчезнал. Паритетът, ако съществува, не може да изчезне безследно в безкрайността, като в ръкава на острие. Има много добра аналогия за този случай.
Питали ли сте някога кукувицата, която седи в часовника в каква посока се върти стрелката на часовника? За нея стрелката се върти в посока, обратна на това, което наричаме „по часовниковата стрелка“. Колкото и парадоксално да звучи, посоката на въртене зависи единствено от това от коя страна наблюдаваме въртенето. И така, имаме едно колело, което се върти. Не можем да кажем в каква посока се извършва въртенето, тъй като можем да го наблюдаваме както от едната страна на равнината на въртене, така и от другата. Можем само да свидетелстваме, че има ротация. Пълна аналогия с четността на безкрайна последователност С.
Сега нека добавим второ въртящо се колело, чиято равнина на въртене е успоредна на равнината на въртене на първото въртящо се колело. Все още не можем да кажем със сигурност в каква посока се въртят тези колела, но можем абсолютно да кажем дали и двете колела се въртят в една и съща посока или в обратна посока. Сравняване на две безкрайни последователности СИ 1-S, показах с помощта на математиката, че тези последователности имат различни паритети и поставянето на знак за равенство между тях е грешка. Лично аз вярвам на математиката, не вярвам на математиците))) Между другото, за да разберем напълно геометрията на трансформациите на безкрайни последователности, е необходимо да въведем концепцията "едновременност". Това ще трябва да се начертае.
сряда, 7 август 2019 г
Завършвайки разговора, трябва да разгледаме безкрайно множество. Работата е там, че понятието „безкрайност“ въздейства на математиците, както боа на заек. Трепетният ужас от безкрайността лишава математиците от здрав разум. Ето един пример:
Първоизточникът е локализиран. Алфа означава реално число. Знакът за равенство в горните изрази показва, че ако добавите число или безкрайност към безкрайност, нищо няма да се промени, резултатът ще бъде същата безкрайност. Ако вземем за пример безкрайния набор от естествени числа, тогава разглежданите примери могат да бъдат представени в следната форма:
За да докажат ясно, че са прави, математиците измислиха много различни методи. Лично аз гледам на всички тези методи като на шамани, танцуващи с тамбури. По същество всички те се свеждат до факта, че или някои от стаите са празни и се настаняват нови гости, или част от посетителите са изхвърлени в коридора, за да направят място за гости (много човешки). Представих моето виждане за подобни решения под формата на фантастична история за Блондинката. На какво се основават разсъжденията ми? Преместването на безкраен брой посетители отнема безкрайно много време. След като освободим първата стая за гост, един от посетителите винаги ще върви по коридора от стаята си до следващата до края на времето. Разбира се, факторът време може да бъде глупаво игнориран, но това ще бъде в категорията „никой закон не е писан за глупаци“. Всичко зависи от това какво правим: приспособяваме реалността към математическите теории или обратното.
Какво е „безкраен хотел“? Безкраен хотел е хотел, който винаги има произволен брой празни легла, независимо колко стаи са заети. Ако всички стаи в безкрайния коридор за "посетители" са заети, има още един безкраен коридор със стаи за "гости". Ще има безкрайно много такива коридори. Освен това „безкрайният хотел“ има безкраен брой етажи в безкраен брой сгради на безкраен брой планети в безкраен брой вселени, създадени от безкраен брой богове. Математиците не могат да се дистанцират от баналните битови проблеми: винаги има само един Бог-Аллах-Буда, има само един хотел, има само един коридор. И така, математиците се опитват да жонглират с поредните номера на хотелските стаи, убеждавайки ни, че е възможно да „вкараме невъзможното“.
Ще ви демонстрирам логиката на разсъжденията си на примера на безкраен набор от естествени числа. Първо трябва да отговорите на един много прост въпрос: колко набора от естествени числа има - един или много? Няма правилен отговор на този въпрос, тъй като сами сме измислили числата; числата не съществуват в природата. Да, природата е страхотна в броенето, но за това тя използва други математически инструменти, които не са ни познати. Друг път ще ви кажа какво мисли Природата. Тъй като сме измислили числата, ние сами ще решим колко набора от естествени числа има. Нека разгледаме и двата варианта, както подобава на истинските учени.
Вариант едно. „Нека ни бъде даден“ един единствен набор от естествени числа, който лежи спокойно на рафта. Взимаме този комплект от рафта. Това е, други естествени числа не останаха на рафта и няма къде да ги вземете. Не можем да добавим такъв към този набор, тъй като вече го имаме. Ами ако наистина искате? Няма проблем. Можем да вземем един от вече взетия комплект и да го върнем на рафта. След това можем да вземем един от рафта и да го добавим към това, което ни е останало. В резултат на това отново ще получим безкраен набор от естествени числа. Можете да запишете всички наши манипулации така:
Записах действията в алгебрична нотация и в нотация на теория на множествата, с подробен списък на елементите на множеството. Долният индекс показва, че имаме един и единствен набор от естествени числа. Оказва се, че множеството от естествени числа ще остане непроменено само ако от него се извади едно и се добави същата единица.
Вариант две. Имаме много различни безкрайни набори от естествени числа на нашия рафт. Подчертавам - РАЗЛИЧНИ, въпреки факта, че практически не се различават. Нека вземем един от тези комплекти. След това вземаме едно от друго множество естествени числа и го добавяме към множеството, което вече сме взели. Можем дори да съберем две групи естествени числа. Ето какво получаваме:
Долните индекси "едно" и "две" показват, че тези елементи принадлежат към различни множества. Да, ако добавите един към безкраен набор, резултатът също ще бъде безкраен набор, но няма да бъде същият като оригиналния набор. Ако добавите друго безкрайно множество към едно безкрайно множество, резултатът е ново безкрайно множество, състоящо се от елементите на първите две множества.
Наборът от естествени числа се използва за броене по същия начин, както линийката се използва за измерване. Сега си представете, че сте добавили един сантиметър към линийката. Това ще бъде различна линия, неравна на оригиналната.
Можете да приемете или да не приемете разсъжденията ми - това е ваша работа. Но ако някога се сблъскате с математически проблеми, помислете дали не следвате пътя на фалшивите разсъждения, утъпкан от поколения математици. В края на краищата, изучаването на математика, на първо място, формира у нас стабилен стереотип на мислене и едва след това добавя към нашите умствени способности (или, обратно, ни лишава от свободомислие).
pozg.ru
Неделя, 4 август 2019 г
Завършвах послепис към статия за и видях този прекрасен текст в Уикипедия:
Четем: „... богатата теоретична основа на математиката на Вавилон нямаше холистичен характер и беше сведена до набор от различни техники, лишени от обща система и доказателствена база.“
Еха! Колко сме умни и колко добре виждаме недостатъците на другите. Трудно ли ни е да разглеждаме съвременната математика в същия контекст? Перифразирайки леко горния текст, аз лично получих следното:
Богатата теоретична база на съвременната математика не е холистична по природа и се свежда до набор от различни раздели, лишени от обща система и база от доказателства.
Няма да отивам далеч, за да потвърдя думите си - има език и конвенции, които са различни от езика и конвенциите на много други клонове на математиката. Едни и същи имена в различните клонове на математиката могат да имат различно значение. Искам да посветя цяла поредица от публикации на най-очевидните грешки на съвременната математика. Ще се видим скоро.
Събота, 3 август 2019 г
Как да разделим набор на подмножества? За да направите това, трябва да въведете нова мерна единица, която присъства в някои от елементите на избрания набор. Нека разгледаме един пример.
Нека имаме много Асъстоящ се от четирима души. Това множество се формира на базата на „хора”. Нека обозначим елементите на това множество с буквата А, индексът с число ще показва поредния номер на всяко лице в този набор. Нека въведем нова мерна единица "пол" и да я обозначим с буквата b. Тъй като сексуалните характеристики са присъщи на всички хора, ние умножаваме всеки елемент от набора Авъз основа на пола b. Забележете, че нашият набор от „хора“ сега се превърна в набор от „хора с полови характеристики“. След това можем да разделим половите белези на мъжки bmи дамски bwполови белези. Сега можем да приложим математически филтър: избираме един от тези сексуални белези, без значение кой - мъжки или женски. Ако човек го има, тогава го умножаваме по едно, ако няма такъв знак, го умножаваме по нула. И тогава използваме обикновена училищна математика. Вижте какво стана.
След умножение, редукция и пренареждане получихме две подмножества: подмножеството на мъжете Bmи подгрупа от жени Bw. Математиците разсъждават приблизително по същия начин, когато прилагат теорията на множествата на практика. Но те не ни казват подробностите, а ни дават крайния резултат - „много хора се състоят от подгрупа от мъже и подгрупа от жени“. Естествено, може да имате въпрос: колко правилно е приложена математиката в трансформациите, описани по-горе? Смея да ви уверя, че по същество всичко беше направено правилно, достатъчно е да познавате математическите основи на аритметиката, булевата алгебра и други клонове на математиката. Какво е? Някой друг път ще ви разкажа за това.
Що се отнася до суперсетите, можете да комбинирате два комплекта в един суперсет, като изберете мерната единица, присъстваща в елементите на тези два комплекта.
Както можете да видите, мерните единици и обикновената математика правят теорията на множествата реликва от миналото. Знак, че не всичко е наред с теорията на множествата е, че математиците са измислили свой собствен език и нотация за теорията на множествата. Математиците действаха като шаманите някога. Само шаманите знаят как да прилагат „правилно“ своите „знания“. Те ни учат на това „знание“.
В заключение искам да ви покажа как математиците манипулират
Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.
Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждат апориите на Зенон по един или друг начин. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и до днес; научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... математическият анализ, теорията на множествата, нови физически и философски подходи бяха включени в изследването на въпроса ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че се заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.
От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на нашата обичайна логика ни води в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне на времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да надбяга костенурката.
Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.
Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни единици. На езика на Зенон това изглежда така:
За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.
Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.
Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:
Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.
В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки един момент една летяща стрела е в покой в различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали колата се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка в различни точки във времето, но не можете да определите разстоянието от тях. За да определите разстоянието до кола, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството в един момент във времето, но от тях не можете да определите факта на движение (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне ). Това, на което искам да обърна специално внимание е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото дават различни възможности за изследване.
Ще ви покажа процеса с пример. Избираме „червеното твърдо вещество в пъпка“ - това е нашето „цяло“. В същото време виждаме, че тези неща са с лък, а има и без лък. След това избираме част от „цялото“ и оформяме комплект „с лък“. Ето как шаманите получават храната си, като обвързват теорията си с реалността.
Сега нека направим малък трик. Нека вземем „твърдо с пъпка с лък“ и комбинираме тези „цели“ според цвета, избирайки червените елементи. Имаме много "червени". Сега последният въпрос: получените комплекти „с лък“ и „червено“ един и същ комплект ли са или два различни комплекта? Само шаманите знаят отговора. По-точно те самите не знаят нищо, но както казват, така ще бъде.
Този прост пример показва, че теорията на множествата е напълно безполезна, когато става въпрос за реалността. каква е тайната Оформихме набор от "червено плътно с пъпка и лък." Оформянето се извършва в четири различни мерни единици: цвят (червено), здравина (твърдо), грапавост (пъпчиво), украса (с лък). Само набор от мерни единици ни позволява да опишем адекватно реални обекти на езика на математиката. Ето как изглежда.
Буквата "а" с различни индекси означава различни мерни единици. Мерните единици, чрез които се разграничава „цялото“ на предварителния етап, са отбелязани в скоби. Извън скоби е извадена мерната единица, с която се формира наборът. Последният ред показва крайния резултат - елемент от множеството. Както можете да видите, ако използваме мерни единици, за да образуваме набор, тогава резултатът не зависи от реда на нашите действия. И това е математика, а не танците на шамани с тамбури. Шаманите могат „интуитивно“ да стигнат до същия резултат, като твърдят, че той е „очевиден“, тъй като мерните единици не са част от техния „научен“ арсенал.
Използвайки мерни единици, е много лесно да разделите един комплект или да комбинирате няколко комплекта в един супермножество. Нека разгледаме по-подробно алгебрата на този процес.
Тригонометричната окръжност е един от основните елементи на геометрията за решаване на уравнения със синус, косинус, тангенс и котангенс.
Каква е дефиницията на този термин, как да се изгради този кръг, как да се определи една четвърт в тригонометрията, как да се намерят ъглите в конструиран тригонометричен кръг - ще говорим за това и много повече по-нататък.
Тригонометричен кръг
Тригонометричната форма на числова окръжност в математиката е окръжност с един радиус с център в началото на координатната равнина. По правило се формира от пространство от формули за синус с косинус, тангенс и котангенс върху координатна система.
Целта на такава сфера с n-мерно пространство е, че благодарение на нея могат да се описват тригонометрични функции. Изглежда просто: кръг, вътре в който има координатна система и множество правоъгълни триъгълници, образувани от този кръг с помощта на тригонометрични функции.
Какво е синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник
Правоъгълен триъгълник е този, в който един от ъглите е 90°. Образува се от краката и хипотенузата с всички значения на тригонометрията. Катетите са две страни на триъгълника, които са съседни на ъгъла от 90 °, а третата е хипотенузата, тя винаги е по-дълга от краката.
Синусът е отношението на един от катетите към хипотенузата, косинусът е отношението на другия катет към него, а тангенсът е съотношението на два катета. Връзката символизира разделение. Тангенс също е разделяне на остър ъгъл на синус и косинус. Котангенсът е противоположното отношение на тангенса.
Формулите за последните две съотношения са както следва: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).
Построяване на единична окръжност
Построяването на единична окръжност се свежда до начертаването й с единичен радиус в центъра на координатната система. След това, за да конструирате, трябва да преброите ъглите и, движейки се обратно на часовниковата стрелка, обиколете целия кръг, като поставите координатните линии, съответстващи на тях.
Конструкцията започва след начертаване на окръжност и задаване на точка в центъра й чрез поставяне на координатната система OX. Точка O в горната част на координатната ос е синус, а X е косинус. Съответно те са абсцисата и ординатата. След това трябва да направите измервания ∠. Извършват се в градуси и радиани.
Лесно е да преведете тези показатели - пълен кръг е равен на два пи радиана. Ъгълът от нула обратно на часовниковата стрелка идва със знак +, а ∠ от 0 по посока на часовниковата стрелка идва със знак -. Положителните и отрицателните стойности на синуса и косинуса се повтарят при всяко завъртане на кръга.
Ъгли на тригонометрична окръжност
За да овладеете теорията на тригонометричната окръжност, трябва да разберете как ∠ се броят върху нея и по какъв начин се измерват. Те се изчисляват много просто.
Окръжността е разделена от координатната система на четири части. Всяка част образува ∠ 90°. Половината от тези ъгли са 45 градуса. Съответно две части от окръжност са равни на 180°, а три части са 360°. Как да използваме тази информация?
Ако е необходимо да се реши проблема с намирането на ∠, те прибягват до теореми за триъгълниците и основните закони на Питагор, свързани с тях.
Ъглите се измерват в радиани:
- от 0 до 90° — ъглови стойности от 0 до ∏/2;
- от 90 до 180° — ъглови стойности от ∏/2 до ∏;
- от 180 до 270° - от ∏ до 3*∏/2;
- последно тримесечие от 270 0 до 360 0 - стойности от 3*∏/2 до 2*∏.
За да разберете конкретно измерване, да преобразувате радиани в градуси или обратно, трябва да прибягвате до измамен лист.
Преобразуване на ъгли от градуси в радиани
Ъглите могат да се измерват в градуси или радиани. Изисква се да се осъзнае връзката между двете значения. Тази връзка се изразява в тригонометрия с помощта на специална формула. Като разберете връзката, можете да научите как бързо да контролирате ъгли и да се движите от градуси към радиани обратно.
За да разберете на какво точно е равен един радиан, можете да използвате следната формула:
1 рад. = 180 / ∏ = 180 / 3,1416 = 57,2956
В крайна сметка 1 радиан е равен на 57° и има 0,0175 радиана в 1 градус:
1 градус = (∏ /180) рад. = 3,1416 / 180 рад. = 0,0175 рад.
Косинус, синус, тангенс, котангенс върху тригонометрична окръжност
Косинус със синус, тангенс и котангенс върху тригонометрична окръжност - функции на алфа ъглите от 0 до 360 градуса. Всяка функция има положителна или отрицателна стойност в зависимост от големината на ъгъла. Те символизират връзката с правоъгълни триъгълници, образувани в кръг.
Знакът на тригонометричната функция зависи единствено от координатния квадрант, в който се намира числовият аргумент. Последния път се научихме да преобразуваме аргументи от радианова мярка в градусна мярка (вижте урока „Радиан и градусна мярка на ъгъл“) и след това да определим същата тази координатна четвърт. Сега нека всъщност определим знака на синус, косинус и тангенс.
Синусът на ъгъл α е ординатата (y координата) на точка от тригонометрична окръжност, която възниква, когато радиусът се завърти на ъгъл α.
Косинусът на ъгъл α е абсцисата (координата x) на точка от тригонометрична окръжност, която възниква, когато радиусът се завърти на ъгъл α.
Тангенсът на ъгъла α е отношението на синус към косинус. Или, което е същото, съотношението на координатата y към координатата x.
Запис: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .
Всички тези определения са ви познати от гимназиалната алгебра. Ние обаче не се интересуваме от самите определения, а от последствията, които възникват върху тригонометричната окръжност. Погледни:
Синият цвят показва положителната посока на оста OY (ординатната ос), червеният показва положителната посока на оста OX (абсцисната ос). На този "радар" знаците на тригонометричните функции стават очевидни. В частност:
- sin α > 0, ако ъгъл α лежи в I или II координатен квадрант. Това е така, защото по дефиниция синус е ордината (у координата). И координатата y ще бъде положителна точно в I и II координатни четвърти;
- cos α > 0, ако ъгъл α лежи в 1-ви или 4-ти координатен квадрант. Защото само там координатата x (известна още като абциса) ще бъде по-голяма от нула;
- tan α > 0, ако ъгъл α лежи в I или III координатен квадрант. Това следва от дефиницията: в крайна сметка tan α = y : x, следователно е положителен само там, където знаците на x и y съвпадат. Това се случва в първата координатна четвърт (тук x > 0, y > 0) и третата координатна четвърт (x< 0, y < 0).
За по-голяма яснота, нека отбележим знаците на всяка тригонометрична функция - синус, косинус и тангенс - на отделни "радари". Получаваме следната картина:
Моля, обърнете внимание: в моите дискусии никога не съм говорил за четвъртата тригонометрична функция - котангенс. Факт е, че котангенсните знаци съвпадат с допирателните - там няма специални правила.
Сега предлагам да разгледаме примери, подобни на проблеми B11 от пробния Единен държавен изпит по математика, който се проведе на 27 септември 2011 г. В крайна сметка най-добрият начин да разберете теорията е практиката. Препоръчително е да имате много практика. Разбира се, условията на задачите бяха леко променени.
Задача. Определете знаците на тригонометрични функции и изрази (стойностите на самите функции не е необходимо да се изчисляват):
- sin(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- тен (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Планът за действие е следният: първо преобразуваме всички ъгли от радиани в градуси (π → 180°) и след това гледаме в коя координатна четвърт се намира полученото число. Познавайки кварталите, лесно можем да намерим знаците - според току-що описаните правила. Ние имаме:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Тъй като 135° ∈ , това е ъгъл от II координатен квадрант. Но синусът във втората четвърт е положителен, така че sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. защото 210° ∈ , това е ъгълът от третия координатен квадрант, в който всички косинуси са отрицателни. Следователно cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Тъй като 300° ∈ , ние сме в IV четвърт, където тангентата приема отрицателни стойности. Следователно тен (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Нека се справим със синуса: защото 135° ∈ , това е втората четвърт, в която синусите са положителни, т.е. sin (3π/4) > 0. Сега работим с косинус: 150° ∈ - отново втората четвърт, косинусите там са отрицателни. Следователно cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Гледаме косинуса: 120° ∈ е втората координатна четвърт, така че cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Отново получихме произведение, в което множителите са с различни знаци. Тъй като „минус по плюс дава минус“, имаме: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Работим със синуса: тъй като 150° ∈ , говорим за втората координатна четвърт, където синусите са положителни. Следователно, sin (5π/6) > 0. По същия начин, 315° ∈ е IV координатна четвърт, косинусите там са положителни. Следователно cos (7π/4) > 0. Получихме произведението на две положителни числа - такъв израз винаги е положителен. Заключаваме: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Но ъгълът 135° ∈ е втората четвърт, т.е. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Тъй като „минус по плюс дава знак минус“, имаме: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Разглеждаме аргумента на котангенса: 240° ∈ е III координатна четвърт, следователно ctg (4π/3) > 0. По същия начин, за тангенса имаме: 30° ∈ е I координатна четвърт, т.е. най-простият ъгъл. Следователно tan (π/6) > 0. Отново имаме два положителни израза - техният продукт също ще бъде положителен. Следователно cot (4π/3) tg (π/6) > 0.
И накрая, нека разгледаме някои по-сложни проблеми. В допълнение към намирането на знака на тригонометричната функция, тук ще трябва да направите малко математика - точно както се прави в реални задачи B11. По принцип това са почти реални задачи, които всъщност се появяват в Единния държавен изпит по математика.
Задача. Намерете sin α, ако sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Тъй като sin 2 α = 0,64, имаме: sin α = ±0,8. Остава само да решим: плюс или минус? По условие ъгъл α ∈ [π/2; π] е втората координатна четвърт, където всички синуси са положителни. Следователно sin α = 0,8 - неопределеността със знаците е елиминирана.
Задача. Намерете cos α, ако cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действаме по подобен начин, т.е. извадете корен квадратен: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условие ъгъл α ∈ [π; 3π/2], т.е. Говорим за третата координатна четвърт. Всички косинуси там са отрицателни, така че cos α = −0,2.
Задача. Намерете sin α, ако sin 2 α = 0,25 и α ∈ .
Имаме: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Гледаме отново ъгъла: α ∈ е IV координатна четвърт, в която, както знаем, синусът ще бъде отрицателен. Така заключаваме: sin α = −0,5.
Задача. Намерете tan α, ако tan 2 α = 9 и α ∈ .
Всичко е същото, само за тангентата. Извадете корен квадратен: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Но според условието ъгълът α ∈ е I координатната четвърт. Всички тригонометрични функции, вкл. тангенс, има положителни, така че tan α = 3. Това е!
Тригонометричен кръг. Единична окръжност. Цифров кръг. Какво е?
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Много често термини тригонометрична окръжност, единична окръжност, числова окръжностслабо разбрани от учениците. И напълно напразно. Тези концепции са мощен и универсален помощник във всички области на тригонометрията. Всъщност това е легална измама! Начертах тригонометричен кръг и веднага видях отговорите! Изкусителен? Така че нека се научим, би било грехота да не използваме такова нещо. Освен това не е никак трудно.
За да работите успешно с тригонометричния кръг, трябва да знаете само три неща.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Тип урок:систематизиране на знанията и междинен контрол.
Оборудване:тригонометричен кръг, тестове, карти със задачи.
Цели на урока:систематизират изучения теоретичен материал според определенията за синус, косинус, тангенс на ъгъл; проверете степента на усвояване на знания по тази тема и прилагане на практика.
Задачи:
- Обобщаване и затвърждаване на понятията синус, косинус и тангенс на ъгъл.
- Формирайте цялостно разбиране на тригонометричните функции.
- Да насърчава желанието и потребността на учениците да изучават тригонометричен материал; възпитават култура на общуване, умение за работа в група и потребност от самообразование.
„Който прави и мисли за себе си от малък,
Тогава той става по-надежден, по-силен, по-умен.
(В. Шукшин)
ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА
I. Организационен момент
Класът е представен от три групи. Всяка група има консултант.
Учителят обявява темата, целите и задачите на урока.
II. Актуализиране на знанията (фронтална работа с класа)
1) Работа в групи по задачи:
1. Формулирайте определението за sin ъгъл.
– Какви знаци има sin α във всеки координатен квадрант?
– При какви стойности изразът sin α има смисъл и какви стойности може да приеме?
2. Втората група е същите въпроси за cos α.
3. Третата група подготвя отговори на същите въпроси tg α и ctg α.
По това време трима ученици работят самостоятелно на дъската с помощта на карти (представители на различни групи).
Карта №1.
Практическа работа.
Използвайки единичната окръжност, изчислете стойностите на sin α, cos α и tan α за ъгли от 50, 210 и – 210.
Карта №2.
Определете знака на израза: tg 275; cos 370; грях 790; tg 4.1 и грях 2.
Карта номер 3.
1) Изчислете:
2) Сравнете: cos 60 и cos 2 30 – sin 2 30
2) Устно:
а) Предлага се поредица от числа: 1; 1.2; 3; , 0, , – 1. Сред тях има и излишни. Какво свойство на sin α или cos α могат да изразят тези числа (Може ли sin α или cos α да приемат тези стойности).
б) Има ли смисъл изразът: cos (–); грях 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). Защо?
в) Има ли минимална и максимална стойност на sin или cos, tg, ctg.
г) Вярно ли е?
1) α = 1000 е ъгълът на втората четвърт;
2) α = – 330 е ъгълът на IV четвърт.
д) Числата съответстват на една и съща точка от единичната окръжност.
3) Работа на дъската
№ 567 (2; 4) – Намерете стойността на израза
No 583 (1-3) Определете знака на израза
Домашна работа:таблица в тетрадка. № 567(1, 3) № 578
III. Придобиване на допълнителни знания. Тригонометрия в дланта на ръката ви
Учител:Оказва се, че стойностите на синусите и косинусите на ъглите са „разположени“ в дланта на ръката ви. Протегнете ръката си (която и да е ръка) и разтворете пръстите си възможно най-далеч (както на плаката). Поканен е един ученик. Измерваме ъглите между пръстите си.
Вземете триъгълник, където има ъгъл 30, 45 и 60 90 и приложете върха на ъгъла към хълма на Луната в дланта на ръката си. Хълмът на Луната се намира в пресечната точка на разширенията на малкия пръст и палеца. Комбинираме едната страна с малкия пръст, а другата страна с един от другите пръсти.
Оказва се, че между малкия пръст и палеца има ъгъл 90, между малкия и безименния пръст - 30, между малкия и средния пръст - 45, а между малкия и показалеца - 60. И това важи за всички хора без изключение.
малък пръст № 0 – отговаря на 0,
безименен номер 1 – съответства на 30,
средно № 2 – отговаря на 45,
индекс номер 3 – съответства на 60,
голям № 4 – отговаря на 90.
Така имаме 4 пръста на ръката си и помним формулата:
Пръст № |
Ъгъл |
Значение |
|
||
|
||
|
Това е само мнемонично правило. По принцип стойността на sin α или cos α трябва да се знае наизуст, но понякога това правило ще помогне в трудни моменти.
Измислете правило за cos (ъглите не се променят, а се броят от палеца). Физическа пауза, свързана със знаците sin α или cos α.
IV. Проверка на знанията и уменията ви
Самостоятелна работа с обратна връзка
Всеки ученик получава тест (4 варианта), като листът за отговори е еднакъв за всички.
Тест
Опция 1
1) При какъв ъгъл на завъртане радиусът ще заеме същата позиция, както при завъртане под ъгъл 50?
2) Намерете стойността на израза: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Кое число е по-малко от нула: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.
Вариант 2
1) При какъв ъгъл на завъртане радиусът ще заеме същата позиция, както при завъртане на ъгъл 10.
2) Намерете стойността на израза: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Кое число е по-голямо от нула: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).
Вариант 3
1) Намерете стойността на израза: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Кое число е по-малко от нула: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Кой четвърт ъгъл е ъгъл α, ако sin α > 0, cos α< 0.
Вариант 4
1) Намерете стойността на израза: tg 60 – 6ctg 90.
2) Кое число е по-малко от нула: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Кой ъгъл на квадранта е ъгъл α, ако ctg α< 0, cos α> 0.
А |
б |
IN |
Ж |
д |
д |
И |
З |
И |
Л |
М |
|
н |
ОТНОСНО |
П |
Р |
СЪС |
T |
U |
Е |
х |
Ш |
Ю |
аз |
(ключовата дума е тригонометрия)
V. Сведения от историята на тригонометрията
Учител:Тригонометрията е доста важен клон на математиката за човешкия живот. Съвременната форма на тригонометрията е дадена от най-великия математик на 18-ти век, Леонард Ойлер, швейцарец по произход, работил в Русия в продължение на много години и е бил член на Академията на науките в Санкт Петербург. Той въведе добре познати дефиниции на тригонометрични функции, формулира и доказа добре известни формули, които ще научим по-късно. Животът на Ойлер е много интересен и ви съветвам да се запознаете с него чрез книгата на Яковлев „Леонард Ойлер“.
(Съобщение от момчетата по тази тема)
VI. Обобщаване на урока
Игра "Tic Tac Toe"
Участват двамата най-активни ученици. Те се подкрепят от групи. Решенията на задачите се записват в тетрадка.
Задачи
1) Намерете грешката
а) sin 225 = – 1,1 c) sin 115< О
б) cos 1000 = 2 г) cos (– 115) > 0
2) Изразете ъгъла в градуси
3) Изразете ъгъл 300 в радиани
4) Каква е най-голямата и най-малката стойност на израза: 1+ sin α;
5) Определете знака на израза: sin 260, cos 300.
6) В коя четвърт от числовата окръжност се намира точката?
7) Определете знаците на израза: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Изчислете:
9) Сравнете: грях 2 и грях 350
VII. Рефлексия на урока
Учител:Къде можем да се запознаем с тригонометрията?
В какви уроци в 9. клас, а и сега, използвате понятията sin α, cos α; tg α; ctg α и с каква цел?