Математическа нотация(„език на математиката“) е сложна графична нотационна система, използвана за представяне на абстрактни математически идеи и преценки в четима от хората форма. Той съставлява (в своята сложност и разнообразие) значителна част от неречевите знакови системи, използвани от човечеството. Тази статия описва общоприетата международна нотационна система, въпреки че различни култури от миналото са имали свои собствени, а някои от тях дори имат ограничена употреба до днес.
Имайте предвид, че математическата нотация, като правило, се използва във връзка с писмената форма на някакъв естествен език.
В допълнение към фундаменталната и приложната математика, математическите означения се използват широко във физиката, както и (в ограничена степен) в инженерството, компютърните науки, икономиката и наистина във всички области на човешката дейност, където се използват математически модели. Разликите между правилния математически и приложен стил на нотиране ще бъдат обсъдени в целия текст.
Енциклопедичен YouTube
1 / 5
✪ Влезте / по математика
✪ Математика 3 клас. Таблица на цифрите на многоцифрените числа
✪ Комплекти по математика
✪ Математика 19. Математическо забавление - Шишкина школа
субтитри
Здравейте! Това видео не е за математика, а по-скоро за етимология и семиотика. Но съм сигурен, че ще ви хареса. Отивам! Знаете ли, че търсенето на решения на кубични уравнения в общ вид е отнело на математиците няколко века? Това е отчасти защо? Тъй като нямаше ясни символи за ясни мисли, може би е дошло нашето време. Има толкова много символи, че можете да се объркате. Но вие и аз не можем да бъдем заблудени, нека го разберем. Това е главната обърната буква A. Това всъщност е английска буква, посочена първа в думите „all“ и „any“. На руски този символ, в зависимост от контекста, може да се чете така: за всеки, всеки, всеки, всичко и така нататък. Такъв йероглиф ще наричаме универсален квантор. И ето още един квантор, но вече съществуване. Английската буква e се отразява в Paint отляво надясно, като по този начин намеква за отвъдморския глагол „съществува“, по нашия начин ще четем: има, има, има и по други подобни начини. Удивителен знак към такъв екзистенциален квантор ще добави уникалност. Ако това е ясно, нека продължим. Вероятно сте се сблъсквали с неопределени интеграли в единадесети клас, бих искал да ви напомня, че това не е просто някаква първоизводна, а съвкупността от всички първоизводни на интегранта. Така че не забравяйте за C - константата на интегрирането. Между другото, самата интегрална икона е просто удължена буква s, ехо на латинската дума sum. Това е точно геометричното значение на определен интеграл: намиране на площта на фигура под графика чрез сумиране на безкрайно малки количества. Що се отнася до мен, това е най-романтичното занимание в математическия анализ. Но училищната геометрия е най-полезна, защото учи на логическа строгост. До първата година трябва да имате ясно разбиране какво е следствие, какво е еквивалентност. Е, не можете да се объркате относно необходимостта и достатъчността, нали знаете? Нека дори се опитаме да копаем малко по-дълбоко. Ако решиш да се занимаваш с висша математика, тогава мога да си представя колко зле е личният ти живот, но затова сигурно ще се съгласиш да направиш едно малко упражнение. Има три точки, всяка с лява и дясна страна, които трябва да свържете с един от трите нарисувани символа. Моля, натиснете пауза, опитайте сами и след това чуйте какво имам да кажа. Ако x=-2, тогава |x|=2, но отляво надясно можете да конструирате фразата по този начин. Във втория абзац от лявата и от дясната страна е написано абсолютно същото. И третата точка може да се коментира по следния начин: всеки правоъгълник е успоредник, но не всеки успоредник е правоъгълник. Да, знам, че вече не си малък, но все пак моите аплодисменти за тези, които изпълниха това упражнение. Е, добре, това е достатъчно, нека си спомним числовите групи. При броенето се използват естествени числа: 1, 2, 3, 4 и т.н. В природата -1 ябълка не съществува, но, между другото, целите числа ни позволяват да говорим за такива неща. Буквата ℤ ни крещи за важната роля на нулата; множеството от рационални числа се обозначава с буквата ℚ и това не е случайно. На английски думата "коефициент" означава "отношение". Между другото, ако някъде в Бруклин някой афроамериканец дойде при вас и ви каже: „Бъдете реални!“, бъдете сигурни, че това е математик, почитател на реалните числа. Е, трябва да прочетеш нещо за комплексните числа, ще е по-полезно. Сега ще направим връщане назад, ще се върнем към първи клас на най-обикновеното гръцко училище. Накратко, нека си спомним древната азбука. Първата буква е алфа, след това бета, тази кука е гама, след това делта, последвана от епсилон и така нататък, до последната буква омега. Можете да сте сигурни, че гърците също имат главни букви, но сега няма да говорим за тъжни неща. Ние сме по-добри по отношение на забавлението - по отношение на ограниченията. Но тук няма загадки, веднага става ясно от коя дума се е появил математическият символ. Е, следователно можем да преминем към последната част на видеото. Моля, опитайте се да изрецитирате дефиницията на границата на числова последователност, която сега е написана пред вас. Щракнете бързо върху пауза и помислете и нека имате щастието на едногодишно дете, което разпознава думата „майка“. Ако за всеки епсилон, по-голям от нула, има положително цяло число N, така че за всички числа от числовата последователност, по-големи от N, неравенството |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]
Главна информация
Системата се е развила, подобно на естествените езици, исторически (вижте историята на математическите означения) и е организирана като писмеността на естествените езици, заимствайки от там и много символи (основно от латинската и гръцката азбука). Символите, както и при обикновеното писане, се изобразяват с контрастни линии на еднороден фон (черно на бяла хартия, светло на тъмна дъска, контрастно на монитор и т.н.), като значението им се определя предимно от тяхната форма и взаимно разположение. Цветът не се взема под внимание и обикновено не се използва, но когато се използват букви, техните характеристики като стил и дори шрифт, които не влияят на значението при обикновено писане, могат да играят значима роля в математическата нотация.
Структура
Обикновените математически означения (по-специално, т.нар математически формули) обикновено се записват в ред отляво надясно, но не е задължително да образуват последователен низ от знаци. Индивидуални блокове от знаци могат да се появят в горната или долната половина на ред, дори когато знаците не припокриват вертикали. Освен това някои части са разположени изцяло над или под линията. От граматична гледна точка почти всяка „формула“ може да се счита за йерархично организирана дървовидна структура.
Стандартизация
Математическата нотация представлява система в смисъл на взаимовръзка на нейните компоненти, но като цяло, Непредставляват формална система (в разбирането на самата математика). Във всеки сложен случай те дори не могат да бъдат анализирани програмно. Като всеки естествен език, „езикът на математиката“ е пълен с противоречиви нотации, омографи, различни (сред говорещите) интерпретации на това, което се счита за правилно и т.н. Няма дори никаква видима азбука от математически символи и по-специално защото въпросът дали да се разглеждат две обозначения като различни символи или различно изписване на един и същи символ не винаги е ясно разрешен.
Някои математически нотации (предимно свързани с измерване) са стандартизирани в ISO 31-11, но цялостната стандартизация на нотациите по-скоро липсва.
Елементи на математическата нотация
Числа
Ако е необходимо да се използва бройна система с основа, по-малка от десет, основата се записва в долен индекс: 20003 8. Системите с числа с бази, по-големи от десет, не се използват в общоприетите математически нотации (въпреки че, разбира се, те се изучават от самата наука), тъй като за тях няма достатъчно числа. Във връзка с развитието на компютърните науки шестнадесетичната бройна система стана актуална, в която числата от 10 до 15 се обозначават с първите шест латински букви от A до F. За да се обозначат такива числа, в компютъра се използват няколко различни подхода науката, но те не са пренесени в математиката.
Горен и долен индекс
Скоби, свързани символи и разделители
Използват се скоби "()":
Квадратните скоби "" често се използват при групиране на значения, когато трябва да се използват много двойки скоби. В този случай те са поставени от външната страна и (с внимателна типография) имат по-голяма височина от скобите от вътрешната страна.
Квадратът "" и скобите "()" се използват съответно за обозначаване на затворени и отворени пространства.
Къдравите скоби "()" обикновено се използват за , въпреки че за тях важи същото предупреждение като за квадратните скоби. Левите "(" и десните ")" скоби могат да се използват отделно; е описано предназначението им.
Знаци в ъглови скоби " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )При чиста типография те трябва да имат тъпи ъгли и по този начин да се различават от подобни, които имат прав или остър ъгъл. На практика не трябва да се надяваме на това (особено когато пишете формули ръчно) и трябва да ги разграничавате чрез интуиция.
Двойки симетрични (спрямо вертикалната ос) символи, включително тези, различни от изброените, често се използват за подчертаване на част от формулата. Описано е предназначението на сдвоените скоби.
Индекси
В зависимост от местоположението се разграничават горни и долни индекси. Горният индекс може (но не означава непременно) степенуване за други употреби.
Променливи
В науките има набори от количества и всяко от тях може да приеме или набор от стойности и да се нарече променливастойност (вариант), или само една стойност и да се нарича константа. В математиката количествата често се абстрахират от физическото значение и тогава променливата величина се превръща в абстрактно(или числова) променлива, обозначена с някакъв символ, който не е зает от специалните обозначения, споменати по-горе.
Променлива хсе счита за дадено, ако наборът от стойности, които приема, е посочен (х). Удобно е да се разглежда постоянна величина като променлива, чийто съответен набор (х)се състои от един елемент.
Функции и оператори
В математиката няма съществена разлика между оператор(единичен), дисплейИ функция.
Разбира се обаче, че ако за да напишете стойността на преобразуване от дадени аргументи, е необходимо да посочите , тогава символът на това преобразуване обозначава функция; в други случаи те по-скоро говорят за оператор. Символите за някои функции на един аргумент се използват със или без скоби. Много елементарни функции, например sin x (\displaystyle \sin x)или sin (x) (\displaystyle \sin(x)), но винаги се извикват елементарни функции функции.
Оператори и релации (унарни и двоични)
Функции
Една функция може да бъде посочена в два смисъла: като израз на нейната стойност при зададени аргументи (писмено f (x), f (x, y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y))и т.н.) или като самата функция. В последния случай се вмъква само символът на функцията, без скоби (въпреки че те често се пишат случайно).
Има много означения за общи функции, използвани в математическата работа без допълнително обяснение. В противен случай функцията трябва да бъде описана по някакъв начин, а във фундаменталната математика тя не се различава фундаментално от и също се означава с произволна буква. Най-популярната буква за означаване на променливи функции е f, g и повечето гръцки букви също често се използват.
Предварително определени (запазени) обозначения
Но еднобуквените обозначения могат, ако желаете, да получат различно значение. Например, буквата i често се използва като индексен символ в контексти, където не се използват комплексни числа, и буквата може да се използва като променлива в някои комбинаторики. Също така, символи на теорията на множествата (като " ⊂ (\displaystyle \subset )" И " ⊃ (\displaystyle \supset )") и пропозиционални изчисления (като " ∧ (\displaystyle \wedge)" И " ∨ (\displaystyle \vee)") може да се използва в друг смисъл, обикновено съответно като релации на ред и бинарни операции.
Индексиране
Индексирането се представя графично (обикновено от дъното, понякога от върха) и в известен смисъл е начин за разширяване на информационното съдържание на променлива. Въпреки това, той се използва в три малко различни (макар и припокриващи се) смисъла.
Действителните числа
Възможно е да имате няколко различни променливи, като ги обозначите с една и съща буква, подобно на използването на . Например: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\x_(2),\x_(3)\ldots ). Обикновено те са свързани с някаква общност, но като цяло това не е необходимо.
Освен това не само числата, но и всякакви символи могат да се използват като „индекси“. Въпреки това, когато друга променлива и израз са написани като индекс, този запис се интерпретира като „променлива с число, определено от стойността на индексния израз“.
В тензорния анализ
В линейната алгебра се записват тензорен анализ, диференциална геометрия с индекси (под формата на променливи).
Курсът използва геометричен език, съставен от обозначения и символи, приети в курса по математика (по-специално в новия курс по геометрия в гимназията).
Цялото разнообразие от обозначения и символи, както и връзките между тях, могат да бъдат разделени на две групи:
I група - обозначения на геометрични фигури и връзки между тях;
група II обозначения на логически операции, които формират синтактичната основа на геометричния език.
По-долу е пълен списък на математическите символи, използвани в този курс. Особено внимание се обръща на символите, които се използват за обозначаване на проекциите на геометрични фигури.
I група
СИМВОЛИ, ОБОЗНАЧАВАЩИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ И ВРЪЗКИ МЕЖДУ ТЯХ
А. Обозначаване на геометрични фигури
1. Означена е геометрична фигура - F.
2. Точките се обозначават с главни букви от латинската азбука или арабски цифри:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Линиите, произволно разположени по отношение на проекционните равнини, се обозначават с малки букви на латинската азбука:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Линиите на нивото са обозначени: h - хоризонтално; f- отпред.
Следните обозначения се използват и за прави линии:
(AB) - права линия, минаваща през точки A и B;
[AB) - лъч с начало в точка A;
[AB] - права отсечка, ограничена от точки A и B.
4. Повърхностите се обозначават с малки букви от гръцката азбука:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
За да се подчертае начинът, по който се дефинира една повърхност, трябва да се посочат геометричните елементи, чрез които тя е дефинирана, например:
α(a || b) - равнината α се определя от успоредни прави a и b;
β(d 1 d 2 gα) - повърхнината β се определя от водачите d 1 и d 2, генератора g и равнината на успоредност α.
5. Ъглите са посочени:
∠ABC - ъгъл с върха в точка B, както и ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Ъглови: стойността (градусната мярка) се обозначава със знака, който се поставя над ъгъла:
Големината на ъгъла ABC;
Големината на ъгъла φ.
Правият ъгъл се отбелязва с квадрат с точка вътре
7. Разстоянията между геометричните фигури се обозначават с два вертикални сегмента - ||.
Например:
|AB| - разстоянието между точките А и В (дължина на отсечката АВ);
|Aa| - разстояние от точка А до права а;
|Aα| - разстояния от точка А до повърхност α;
|ab| - разстояние между правата a и b;
|αβ| разстояние между повърхностите α и β.
8. За проекционни равнини се приемат следните обозначения: π 1 и π 2, където π 1 е хоризонталната проекционна равнина;
π 2 - равнина на фронтална проекция.
При подмяна на проекционни равнини или въвеждане на нови равнини, последните се означават с π 3, π 4 и т.н.
9. Проекционните оси са обозначени: x, y, z, където x е абсцисната ос; y - ординатната ос; z - приложна ос.
Постоянната праволинейна диаграма на Монж се означава с k.
10. Проекциите на точки, линии, повърхности, всяка геометрична фигура се обозначават със същите букви (или цифри) като оригинала, с добавяне на горен индекс, съответстващ на проекционната равнина, върху която са получени:
A", B", C", D", ... , L", M", N", хоризонтални проекции на точки; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... фронтални проекции на точки; a", b", c", d", ..., l", m", n", - хоризонтални проекции на прави; a", b", c", d", ..., l", m " , n" , ... челни проекции на прави; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... хоризонтални проекции на повърхности; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... фронтални проекции на повърхнини.
11. Следи от равнини (повърхности) се обозначават със същите букви като хоризонтални или фронтални, с добавяне на индекса 0α, подчертавайки, че тези линии лежат в равнината на проекцията и принадлежат на равнината (повърхността) α.
И така: h 0α - хоризонтална следа на равнината (повърхността) α;
f 0α - челна следа от равнината (повърхнината) α.
12. Следите от прави линии (линии) се обозначават с главни букви, с които започват думите, които определят името (в латинска транскрипция) на проекционната равнина, която линията пресича, с долен индекс, указващ принадлежността към линията.
Например: H a - хоризонтална следа от права линия (линия) a;
F a - челна следа от права линия (линия) a.
13. Последователността от точки, линии (всяка фигура) се отбелязва с индекси 1,2,3,..., n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;
α 1, α 2, α 3,...,α n;
Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n и др.
Спомагателната проекция на точка, получена в резултат на трансформация за получаване на действителната стойност на геометрична фигура, се обозначава със същата буква с долен индекс 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
Аксонометрични проекции
14. Аксонометричните проекции на точки, линии, повърхности се обозначават със същите букви като природата с добавяне на горен индекс 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0, b 0, c 0, d 0, ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Вторичните проекции се обозначават чрез добавяне на горен индекс 1:
A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
За да се улесни четенето на рисунките в учебника, при оформянето на илюстративния материал се използват няколко цвята, всеки от които има определено семантично значение: черни линии (точки) показват оригиналните данни; зелен цвят се използва за редове на спомагателни графични конструкции; червени линии (точки) показват резултатите от конструкции или онези геометрични елементи, на които трябва да се обърне специално внимание.
| № от пор. | Обозначаване | Съдържание | Пример за символна нотация |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Съвпада | (AB)≡(CD) - права линия, минаваща през точки A и B, съвпада с правата, минаваща през точки C и D |
| 2 | ≅ | Конгруентни | ∠ABC≅∠MNK - ъгъл ABC е равен на ъгъл MNK |
| 3 | ∼ | Подобен | ΔАВС∼ΔMNK - триъгълниците АВС и MNK са подобни |
| 4 | || | Паралелен | α||β - равнината α е успоредна на равнината β |
| 5 | ⊥ | Перпендикулярен | a⊥b - правите a и b са перпендикулярни |
| 6 | кръстоска | c d - прави c и d се пресичат | |
| 7 | Допирателни | t l - правата t е допирателна към правата l. βα - равнина β, допирателна към повърхност α |
|
| 8 | → | Показва | F 1 →F 2 - фигура F 1 е съпоставена с фигура F 2 |
| 9 | С | Прожекционен център. Ако проекционният център е неправилна точка, тогава позицията му е обозначена със стрелка, указващ посоката на проекцията | - |
| 10 | с | Посока на проекцията | - |
| 11 | П | Паралелна проекция | р s α Паралелна проекция - успоредна проекция върху равнината α в посока s |
| № от пор. | Обозначаване | Съдържание | Пример за символна нотация | Пример за символна нотация в геометрията |
|---|---|---|---|---|
| 1 | М,Н | Комплекти | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Елементи на комплекта | - | - |
| 3 | { ... } | Съдържа... | Ф(A, B, C,...) | Ф(A, B, C,...) - фигура Ф се състои от точки A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Празен комплект | L - ∅ - множеството L е празно (не съдържа елементи) | - |
| 5 | ∈ | Принадлежи, е елемент | 2∈N (където N е набор от естествени числа) - числото 2 принадлежи на множеството N | A ∈ a - точка A принадлежи на права a (точка A лежи на права a) |
| 6 | ⊂ | Включва, съдържа | N⊂M - множеството N е част (подмножество) от множеството M от всички рационални числа | a⊂α - права a принадлежи на равнината α (разбирана в смисъла: множеството от точки на правата a е подмножество от точките на равнината α) |
| 7 | ∪ | Асоциация | C = A U B - множество C е обединение на множества А и Б; (1, 2. 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5) | ABCD = ∪ [ВС] ∪ - прекъсната линия, ABCD е комбиниране на сегменти [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Пресечна точка на много | M=K∩L - множеството M е пресечната точка на множествата K и L (съдържа елементи, принадлежащи както на множеството K, така и на множеството L). M ∩ N = ∅ - пресечната точка на множествата M и N е празното множество (множествата M и N нямат общи елементи) | a = α ∩ β - правата a е пресечната точка равнини α и β a ∩ b = ∅ - правите a и b не се пресичат (нямат допирни точки) |
| № от пор. | Обозначаване | Съдържание | Пример за символна нотация |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Свързване на изречения; съответства на съюза "и". Едно изречение (p∧q) е вярно тогава и само ако и двете p и q са верни | α∩β = (К:K∈α∧K∈β) Пресечната точка на повърхности α и β е набор от точки (линия), състоящ се от всички онези и само онези точки K, които принадлежат както на повърхността α, така и на повърхността β |
| 2 | ∨ | Разделяне на изреченията; съвпада със съюза "или". Изречение (p∨q) вярно, когато поне едно от изреченията p или q е вярно (т.е. или p, или q, или и двете). | - |
| 3 | ⇒ | Внушението е логично следствие. Изречението p⇒q означава: „ако p, тогава q“ | (a||c∧b||c)⇒a||b. Ако две прави са успоредни на трета, тогава те са успоредни една на друга |
| 4 | ⇔ | Изречението (p⇔q) се разбира в смисъл: „ако p, тогава също q, ако q, тогава също p“; | А∈α⇔А∈l⊂α. Една точка принадлежи на равнина, ако принадлежи на права, принадлежаща на тази равнина. Обратното твърдение също е вярно: ако точка принадлежи на определена права, принадлежащ на равнината, тогава принадлежи на самата равнина |
| 5 | ∀ | Общият квантор гласи: за всички, за всички, за всеки. Изразът ∀(x)P(x) означава: „за всяко x: свойството P(x) е валидно“ | ∀(ΔАВС)( = 180°) За всеки (за всеки) триъгълник, сумата от стойностите на неговите ъгли във върховете е равен на 180° |
| 6 | ∃ | Екзистенциалният квантор гласи: съществува. Изразът ∃(x)P(x) означава: „има x, който има свойството P(x)“ | (∀α)(∃a). За всяка равнина α има права a, която не принадлежи на равнината α и успоредна на равнината α |
| 7 | ∃1 | Кванторът на уникалността на съществуването гласи: има само едно (-i, -th)... Изразът ∃1(x)(Рх) означава: „има само един (само един) x, имащ свойството Px" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) За всеки две различни точки A и B има уникална права линия a, преминаващи през тези точки. |
| 8 | (Px) | Отрицание на твърдението P(x) | ab(∃α)(α⊃a, b). Ако прави a и b се пресичат, тогава няма равнина a, която да ги съдържа |
| 9 | \ | Отрицание на знака | ≠ -отсечка [AB] не е равна на отсечка .a?b - права a не е успоредна на права b |
Когато хората общуват дълго време в рамките на определена сфера на дейност, те започват да търсят начин за оптимизиране на комуникационния процес. Системата от математически знаци и символи е изкуствен език, който е разработен, за да намали количеството на графично предаваната информация, като същевременно напълно запази смисъла на съобщението.
Всеки език изисква изучаване и езикът на математиката в това отношение не е изключение. За да разберете значението на формули, уравнения и графики, трябва предварително да имате определена информация, да разбирате термините, системата за обозначения и т.н. При липса на такива знания текстът ще се възприема като написан на непознат чужд език.
В съответствие с нуждите на обществото графичните символи за по-прости математически операции (например нотация за събиране и изваждане) са разработени по-рано, отколкото за сложни понятия като интеграл или диференциал. Колкото по-сложно е понятието, толкова по-сложен знак обикновено се обозначава.
Модели за формиране на графични символи
В ранните етапи от развитието на цивилизацията хората свързват най-простите математически операции с познати понятия, основани на асоциации. Например в Древен Египет събирането и изваждането са били обозначени с модел на ходещи крака: линиите, насочени в посоката на четене, са означавали „плюс“, а в обратната посока - „минус“.
Числата, вероятно във всички култури, първоначално са били обозначени със съответния брой редове. По-късно за запис започват да се използват конвенционални означения - това спестява време, както и място на физически носител. Буквите често се използват като символи: тази стратегия стана широко разпространена на гръцки, латински и много други езици по света.
Историята на появата на математическите символи и знаци познава два от най-продуктивните начини за създаване на графични елементи.
Преобразуване на вербално представяне
Първоначално всяко математическо понятие се изразява с определена дума или фраза и няма собствено графично представяне (освен лексикалното). Извършването на изчисления и писането на формули с думи обаче е продължителна процедура и заема неоправдано голямо количество място на физически носител.
Обичаен начин за създаване на математически символи е да се трансформира лексикалното представяне на концепция в графичен елемент. С други думи, думата, обозначаваща понятие, се съкращава или трансформира по друг начин с течение на времето.
Така например основната хипотеза за произхода на знака плюс е неговото съкращение от лат et, чийто аналог на руски език е връзката „и“. Постепенно първата буква в курсивното писане спря да се пише и Tсведен до кръст.
Друг пример е знакът "x" за неизвестното, което първоначално е съкращение на арабската дума за "нещо". По подобен начин се появиха знаци за означаване на квадратен корен, процент, интеграл, логаритъм и др. В таблицата с математически символи и знаци можете да намерите повече от дузина графични елементи, които се появиха по този начин.
Персонализирано присвояване на знаци
Вторият често срещан вариант за формиране на математически знаци и символи е символът да се зададе по произволен начин. В този случай думата и графичното обозначение не са свързани помежду си - знакът обикновено се одобрява в резултат на препоръка на един от членовете на научната общност.
Например знаците за умножение, деление и равенство бяха предложени от математиците Уилям Оутред, Йохан Ран и Робърт Рекорд. В някои случаи няколко математически символа може да са въведени в науката от един учен. По-специално, Готфрид Вилхелм Лайбниц предлага редица символи, включително интеграл, диференциал и производна.
Най-простите операции
Всеки ученик знае знаци като "плюс" и "минус", както и символи за умножение и деление, въпреки факта, че има няколко възможни графични знака за последните две споменати операции.
Безопасно е да се каже, че хората са знаели как да добавят и изваждат много хилядолетия преди нашата ера, но стандартизираните математически знаци и символи, обозначаващи тези действия и познати ни днес, се появяват едва през 14-15 век.
Въпреки това, въпреки установяването на определено съгласие в научната общност, умножението в наше време може да бъде представено с три различни знака (диагонален кръст, точка, звездичка) и деленето с две (хоризонтална линия с точки отгоре и отдолу или наклонена черта).
Писма
В продължение на много векове научната общност е използвала изключително латински за предаване на информация и много математически термини и символи намират своя произход в този език. В някои случаи графичните елементи са резултат от съкращаване на думи, по-рядко - тяхната умишлена или случайна трансформация (например поради печатна грешка).
Процентното обозначение („%“) най-вероятно идва от правописна грешка на съкращението СЗО(ченто, т.е. „стотна част“). По подобен начин се появи знакът плюс, чиято история е описана по-горе.
Много повече се формира чрез умишлено съкращаване на думата, въпреки че това не винаги е очевидно. Не всеки човек разпознава буквата в знака за квадратен корен Р, т.е. първият знак в думата Radix („корен“). Интегралният символ също представлява първата буква от думата Summa, но интуитивно изглежда като главна буква fбез хоризонтална линия. Между другото, в първата публикация издателите направиха точно такава грешка, като отпечатаха f вместо този символ.
гръцки букви
Не само латинските се използват като графични обозначения за различни понятия, но и в таблицата с математически символи можете да намерите редица примери за такива имена.
Числото Пи, което е съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър, идва от първата буква на гръцката дума за кръг. Има няколко други по-малко известни ирационални числа, обозначени с букви от гръцката азбука.
Изключително често срещан знак в математиката е „делта“, който отразява размера на промяната в стойността на променливите. Друг често използван знак е „сигма“, който функционира като знак за сума.
Освен това почти всички гръцки букви се използват в математиката по един или друг начин. Но тези математически знаци и символи и тяхното значение са известни само на хора, които се занимават професионално с наука. Човек не се нуждае от това знание в ежедневието.
Признаци на логиката
Колкото и да е странно, много интуитивни символи бяха измислени съвсем наскоро.
По-специално, хоризонталната стрелка, заместваща думата „следователно“, е предложена едва през 1922 г. Количествените показатели за съществуване и универсалност, т.е. знаци, които се четат като: „има ...“ и „за всеки ...“, са въведени през 1897 г. и 1935 съответно.
Символите от областта на теорията на множествата са изобретени през 1888-1889 г. А зачеркнатият кръг, който днес е познат на всеки гимназист като знак за празен комплект, се появява през 1939 г.
Така символите за такива сложни понятия като интеграл или логаритъм са изобретени векове по-рано от някои интуитивни символи, които лесно се възприемат и научават дори без предварителна подготовка.
Математически символи на английски език
Поради факта, че значителна част от понятията са описани в научни трудове на латински, редица имена на математически знаци и символи на английски и руски са еднакви. Например: плюс, интеграл, делта функция, перпендикуляр, паралел, нула.
Някои понятия в двата езика се наричат по различен начин: например делението е деление, умножението е умножение. В редки случаи английското наименование на математически знак става донякъде широко разпространено в руския език: например наклонената черта през последните години често се нарича „наклонена черта“.
таблица със символи
Най-лесният и удобен начин да се запознаете със списъка на математическите знаци е да разгледате специална таблица, която съдържа знаци за операции, символи на математическата логика, теория на множествата, геометрия, комбинаторика, математически анализ и линейна алгебра. Тази таблица представя основните математически символи на английски език.
Математически символи в текстов редактор
При извършване на различни видове работа често е необходимо да се използват формули, които използват знаци, които не са на клавиатурата на компютъра.
Подобно на графични елементи от почти всяка област на знанието, математическите знаци и символи в Word могат да бъдат намерени в раздела „Вмъкване“. Във версиите от 2003 г. или 2007 г. на програмата има опция „Вмъкване на символ“: когато щракнете върху бутона от дясната страна на панела, потребителят ще види таблица, която представя всички необходими математически символи, гръцки малки букви и главни букви, различни видове скоби и много други.
Във версиите на програмата, пуснати след 2010 г., е разработена по-удобна опция. Когато щракнете върху бутона „Формула“, отивате до конструктора на формула, който осигурява използването на дроби, въвеждане на данни под корена, промяна на регистъра (за посочване на мощности или серийни номера на променливи). Всички знаци от представената по-горе таблица могат да бъдат намерени и тук.
Струва ли си да изучавате математически символи?
Математическата нотационна система е изкуствен език, който само опростява процеса на писане, но не може да донесе разбиране на предмета на външен наблюдател. По този начин запомнянето на знаци без изучаване на термини, правила и логически връзки между понятията няма да доведе до овладяване на тази област на знанието.
Човешкият мозък лесно научава знаци, букви и съкращения - математическите символи се запомнят сами при изучаване на темата. Разбирането на значението на всяко конкретно действие създава толкова силни знаци, че знаците, обозначаващи термините, а често и формулите, свързани с тях, остават в паметта в продължение на много години и дори десетилетия.
Накрая
Тъй като всеки език, включително изкуственият, е отворен за промени и допълнения, броят на математическите знаци и символи със сигурност ще расте с времето. Възможно е някои елементи да бъдат заменени или коригирани, а други да бъдат стандартизирани в единствената възможна форма, която е приложима например за знаците за умножение или деление.
Способността да се използват математически символи на ниво пълен училищен курс е практически необходима в съвременния свят. В контекста на бързото развитие на информационните технологии и науката, широко разпространената алгоритмизация и автоматизация, владеенето на математическия апарат трябва да се приема за даденост, а владеенето на математическите символи като неразделна част от него.
Тъй като изчисленията се използват в хуманитарните науки, икономиката, природните науки и, разбира се, в областта на инженерството и високите технологии, разбирането на математическите концепции и познаването на символите ще бъде полезно за всеки специалист.
„Символите не са само записи на мисли,
средство за изобразяването и консолидирането му, -
не, те влияят на самата мисъл,
те... я насочват и това е достатъчно
преместете ги на хартия... за да
безпогрешно да достигаме до нови истини.”
Л.Карно
Математическите знаци служат предимно за прецизно (недвусмислено дефинирано) записване на математически понятия и изречения. Тяхната съвкупност в реални условия на прилагането им от математиците съставлява това, което се нарича математически език.
Математическите символи позволяват да се напишат в компактна форма изречения, които са тромави за изразяване на обикновен език. Това ги прави по-лесни за запомняне.
Преди да използва определени знаци в разсъжденията, математикът се опитва да каже какво означава всеки от тях. Иначе може да не го разберат.
Но математиците не винаги могат веднага да кажат какво отразява този или онзи символ, който те са въвели за всяка математическа теория. Например, в продължение на стотици години математиците оперират с отрицателни и комплексни числа, но обективното значение на тези числа и работата с тях е открито едва в края на 18-ти и началото на 19-ти век.
1. Символика на математическите квантори
Подобно на обикновения език, езикът на математическите знаци позволява обмен на установени математически истини, но е само спомагателен инструмент, свързан с обикновения език и не може да съществува без него.
Математическа дефиниция:
На обикновен език:
Граница на функцията F (x) в някаква точка X0 е постоянно число A, така че за произволно число E>0 съществува положително d(E), така че от условието |X - X 0 | Писане в квантори (на математически език) 2. Символика на математически знаци и геометрични фигури. 1) Безкрайността е концепция, използвана в математиката, философията и науката. Безкрайността на понятието или атрибута на определен обект означава, че е невъзможно да се посочат граници или количествена мярка за него. Терминът безкрайност съответства на няколко различни концепции, в зависимост от областта на приложение, било то математика, физика, философия, теология или ежедневието. В математиката няма единна концепция за безкрайност; тя е надарена със специални свойства във всеки раздел. Освен това тези различни „безкрайности“ не са взаимозаменяеми. Например теорията на множествата предполага различни безкрайности и едната може да е по-голяма от другата. Да кажем, че броят на целите числа е безкрайно голям (нарича се изброимо). За да се обобщи концепцията за броя на елементите за безкрайни множества, в математиката се въвежда концепцията за кардиналност на множество. Въпреки това, няма нито една „безкрайна“ сила. Например силата на множеството от реални числа е по-голяма от силата на целите числа, тъй като между тези множества не може да се изгради еднозначно съответствие и целите числа са включени в реалните числа. Така в този случай едно кардинално число (равно на степента на множеството) е „безкрайно“ от другото. Основателят на тези концепции е немският математик Георг Кантор. В смятането два символа се добавят към набора от реални числа, плюс и минус безкрайност, използвани за определяне на гранични стойности и конвергенция. Трябва да се отбележи, че в този случай не говорим за „осезаема“ безкрайност, тъй като всяко твърдение, съдържащо този символ, може да бъде написано само с помощта на крайни числа и квантори. Тези символи (и много други) бяха въведени за съкращаване на по-дълги изрази. Безкрайността също е неразривно свързана с обозначаването на безкрайно малкото, например Аристотел каза: Безкрайността в повечето култури се появява като абстрактно количествено обозначение за нещо неразбираемо голямо, приложено към същности без пространствени или времеви граници. 2) Окръжността е геометрично място на точки в равнина, разстоянието от което до дадена точка, наречена център на окръжността, не превишава дадено неотрицателно число, наречено радиус на тази окръжност. Ако радиусът е нула, тогава кръгът се изражда в точка. Окръжността е геометричното място на точки в равнина, които са на еднакво разстояние от дадена точка, наречена център, на дадено ненулево разстояние, наречено неин радиус. 3) Квадрат (ромб) - е символ на комбинацията и подреждането на четири различни елемента, например четирите основни елемента или четирите сезона. Символ на числото 4, равенство, простота, почтеност, истина, справедливост, мъдрост, чест. Симетрията е идеята, чрез която човек се опитва да разбере хармонията и се смята за символ на красотата от древни времена. Така наречените „фигурни” стихове, чийто текст има очертанията на ромб, имат симетрия. ние - (Е. Мартов, 1894) 4) Правоъгълник. От всички геометрични форми това е най-рационалната, най-надеждната и правилна фигура; емпирично това се обяснява с факта, че правоъгълникът винаги и навсякъде е бил любимата форма. С негова помощ човек адаптира пространство или всеки предмет за пряка употреба в ежедневието си, например: къща, стая, маса, легло и др. 5) Пентагонът е правилен петоъгълник във формата на звезда, символ на вечността, съвършенството и вселената. Пентагон - амулет за здраве, знак на вратите за предпазване от вещици, емблема на Тот, Меркурий, келтски Гавейн и др., символ на петте рани на Исус Христос, просперитет, късмет сред евреите, легендарният ключ на Соломон; знак за висок статус в японското общество. 6) Правилен шестоъгълник, шестоъгълник - символ на изобилие, красота, хармония, свобода, брак, символ на числото 6, изображение на човек (две ръце, два крака, глава и торс). 7) Кръстът е символ на най-висшите свещени ценности. Кръстът моделира духовния аспект, възнесението на духа, стремежа към Бога, към вечността. Кръстът е универсален символ на единството на живота и смъртта. 8) Триъгълникът е геометрична фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една и съща права, и три сегмента, свързващи тези три точки. 9) Шестлъчева звезда (Звездата на Давид) - състои се от два равностранни триъгълника, насложени един върху друг. Една от версиите за произхода на знака свързва формата му с формата на цветето Бяла лилия, което има шест венчелистчета. Традиционно цветето се поставя под лампата на храма, така че свещеникът да запали огън в центъра на Маген Давид. В Кабала два триъгълника символизират присъщата двойственост на човека: добро срещу зло, духовно срещу физическо и т.н. Триъгълникът, сочещ нагоре, символизира нашите добри дела, които се издигат до небето и карат поток от благодат да се спусне обратно в този свят (който е символизиран от триъгълника, сочещ надолу). Понякога звездата на Давид се нарича Звездата на Създателя и всеки от нейните шест края се свързва с един от дните от седмицата, а центърът със събота. 10) Звезда с пет лъча - Основната отличителна емблема на болшевиките е червената звезда с пет лъча, официално инсталирана през пролетта на 1918 г. Първоначално болшевишката пропаганда я нарече „Звездата на Марс“ (предполага се, че принадлежи на древния бог на войната – Марс), а след това започна да декларира, че „Петте лъча на звездата означават обединението на трудещите се от всичките пет континента в борбата срещу капитализма“. В действителност звездата с пет лъча няма нищо общо нито с войнственото божество Марс, нито с международния пролетариат, това е древен окултен знак (очевидно от близкоизточен произход), наречен "пентаграма" или "Звездата на Соломон". Нека отбележим, че пентаграмата често е била поставяна от болшевиките върху униформи на Червената армия, военна техника, различни знаци и всякакви атрибути на визуалната пропаганда по чисто сатанински начин: с два „рога“ нагоре. 3. Масонски знаци масони мото:„Свобода. Равенство. Братство“. Социално движение на свободни хора, които въз основа на свободен избор правят възможно да станем по-добри, да станем по-близо до Бога и следователно са признати за подобряване на света. Знаци Сияйното око (делта) е древен, религиозен знак. Той казва, че Бог наблюдава неговите творения. С изображението на този знак масоните молели Бог за благословия за всякакви грандиозни действия или за своя труд. Сияйното око се намира на фронтона на Казанската катедрала в Санкт Петербург. Комбинацията от компас и квадрат в масонски знак. За непосветените това е инструмент на труда (зидар), а за посветените това са начини за разбиране на света и връзката между божествената мъдрост и човешкия разум. За божествената мъдрост няма нищо невъзможно; тя може да приеме както човешка форма (-), така и божествена форма (0), тя може да съдържа всичко. Така човешкият ум разбира божествената мъдрост и я прегръща. Във философията това твърдение е постулат за абсолютна и относителна истина. Шестоъгълна звезда (Витлеем) Буквата G е обозначението на Бог (на немски - Got), великият геометър на Вселената. Заключение Математическите символи служат предимно за точно записване на математически понятия и изречения. Тяхната съвкупност съставлява това, което се нарича математически език.
„...винаги е възможно да се излезе с по-голямо число, тъй като броят на частите, на които може да бъде разделен един сегмент, няма ограничение; следователно безкрайността е потенциална, никога действителна, и без значение какъв брой деления е даден, винаги е потенциално възможно този сегмент да се раздели на още по-голямо число. Имайте предвид, че Аристотел има голям принос за осъзнаването на безкрайността, като я разделя на потенциална и действителна, и от тази страна се доближава до основите на математическия анализ, като също така посочва пет източника на идеи за нея:
Освен това безкрайността е развита във философията и теологията заедно с точните науки. Например в богословието безкрайността на Бога дава не толкова количествено определение, колкото означава неограничен и непонятен. Във философията това е атрибут на пространството и времето.
Съвременната физика се доближава до уместността на безкрайността, отречена от Аристотел - тоест достъпност в реалния свят, а не само в абстрактния. Например, съществува концепцията за сингулярност, тясно свързана с черните дупки и теорията за големия взрив: това е точка в пространство-времето, в която масата в безкрайно малък обем е концентрирана с безкрайна плътност. Вече има солидни косвени доказателства за съществуването на черни дупки, въпреки че теорията за големия взрив все още е в процес на развитие.
Кръгът е символ на Слънцето, Луната. Един от най-разпространените символи. Освен това е символ на безкрайност, вечност и съвършенство.
Стихотворението е ромб.
Сред мрака.
Окото си почива.
Тъмнината на нощта е жива.
Сърцето въздиша алчно,
Шепотът на звездите понякога достига до нас.
И лазурните чувства са претъпкани.
Всичко беше забравено в росния блясък.
Да те дарим с ароматна целувка!
Блеснете бързо!
Прошепнете отново
Както тогава:
"Да!"
Разбира се, може да не сте съгласни с тези твърдения.
Никой обаче няма да отрече, че всяко изображение предизвиква асоциации у човек. Но проблемът е, че някои обекти, сюжети или графични елементи предизвикват едни и същи асоциации във всички хора (или по-скоро много), докато други предизвикват напълно различни.
Свойства на триъгълника като фигура: сила, неизменност.
Аксиома А1 на стереометрията гласи: „През 3 точки от пространството, които не лежат на една права линия, минава равнина и то само една!“
За да се тества дълбочината на разбиране на това твърдение, обикновено се задава задача: „На масата в трите края на масата седят три мухи. В определен момент те се разлитат в три взаимно перпендикулярни посоки с еднаква скорост. Кога отново ще бъдат в същия самолет?“ Отговорът е фактът, че три точки винаги, във всеки момент, определят една равнина. И точно 3 точки определят триъгълника, така че тази фигура в геометрията се счита за най-стабилна и издръжлива.
Триъгълникът обикновено се нарича остра, „обидна“ фигура, свързана с мъжкия принцип. Равностранният триъгълник е мъжки и соларен знак, представляващ божественост, огън, живот, сърце, планина и възход, благополучие, хармония и кралство. Обърнат триъгълник е женски и лунен символ, представляващ вода, плодородие, дъжд и божествена милост.
Държавните символи на Съединените щати също съдържат шестлъчева звезда в различни форми, по-специално тя е върху Големия печат на Съединените щати и върху банкноти. Звездата на Давид е изобразена върху гербовете на германските градове Шер и Гербщед, както и на украинските Тернопол и Конотоп. Три шестолъчки са изобразени на знамето на Бурунди и представляват националното мото: „Единство. работа. Напредък".
В християнството шестлъчевата звезда е символ на Христос, а именно обединението на божествената и човешката природа в Христос. Ето защо този знак е вписан в православния кръст.
Правителство”, което е под пълния контрол на масонството.
Много често сатанистите рисуват пентаграма с двата края нагоре, така че лесно да се постави там главата на дявола „Пентаграма на Бафомет“. Портретът на „Огнения революционер“ е поставен вътре в „Пентаграмата на Бафомет“, която е централната част от композицията на специалния чекистки орден „Феликс Дзержински“, проектиран през 1932 г. (проектът по-късно е отхвърлен от Сталин, който дълбоко мразеше „Железният Феликс“).
Марксистките планове за „световна пролетарска революция“ очевидно са от масонски произход; редица от най-видните марксисти са били членове на масонството. Л. Троцки беше един от тях и именно той предложи масонската пентаграма да стане отличителна емблема на болшевизма.
Международните масонски ложи тайно предоставят на болшевиките пълна подкрепа, особено финансова.
Масоните са другари на Създателя, привърженици на социалния прогрес, срещу инертността, инертността и невежеството. Изключителни представители на масонството са Николай Михайлович Карамзин, Александър Василиевич Суворов, Михаил Иларионович Кутузов, Александър Сергеевич Пушкин, Йозеф Гьобелс.
Квадратът, като правило, отдолу е човешкото познание за света. От гледна точка на масонството, човек идва на света, за да разбере божествения план. А за знанието трябват инструменти. Най-ефективната наука за разбиране на света е математиката.
Квадратът е най-старият математически инструмент, известен от незапомнени времена. Градуирането на квадрата вече е голяма стъпка напред в математическите инструменти на познанието. Човек разбира света с помощта на науките; математиката е първата от тях, но не и единствената.
Квадратът обаче е дървен и побира каквото може. Не може да се размести. Ако се опитате да го разширите, за да побере повече, ще го счупите.
Така че хората, които се опитват да разберат цялата безкрайност на божествения план, или умират, или полудяват. „Знай своите граници!“ - това казва този знак на света. Дори да сте Айнщайн, Нютон, Сахаров - най-великите умове на човечеството! - разберете, че сте ограничени от времето, в което сте родени; в разбирането на света, езика, мозъчния капацитет, разнообразието от човешки ограничения, живота на вашето тяло. Следователно, да, учете, но разберете, че никога няма да разберете напълно!
Какво ще кажете за компаса? Компасът е божествена мъдрост. Можете да използвате компас, за да опишете кръг, но ако разтворите краката му, това ще бъде права линия. А в символните системи кръг и права линия са две противоположности. Правата линия обозначава човек, неговото начало и край (като тире между две дати - раждане и смърт). Кръгът е символ на божеството, защото е съвършена фигура. Те се противопоставят една на друга – божествени и човешки фигури. Човекът не е идеален. Бог е съвършен във всичко.
Хората винаги знаят истината, но винаги относителната истина. А абсолютната истина е известна само на Бог.
Научете повече и повече, осъзнавайки, че няма да можете да разберете напълно истината - какви дълбочини намираме в обикновен компас с квадрат! Кой би си помислил!
Това е красотата и очарованието на масонската символика, нейната огромна интелектуална дълбочина.
От Средновековието компасът, като инструмент за чертане на идеални кръгове, се превръща в символ на геометрията, космическия ред и планираните действия. По това време Богът на Силите често е изобразяван в образа на създателя и архитекта на Вселената с компас в ръцете си (Уилям Блейк „Великият архитект“, 1794 г.).
Шестоъгълната звезда означаваше Единството и Борбата на противоположностите, борбата на Мъжа и Жената, Доброто и Злото, Светлината и Мрака. Едното не може да съществува без другото. Напрежението, което възниква между тези противоположности, създава света такъв, какъвто го познаваме.
Триъгълникът нагоре означава „Човек се стреми към Бог“. Триъгълник надолу - „Божествеността се спуска към човека.“ В тяхната връзка съществува нашият свят, който е съединението на Човешкото и Божественото. Буквата G тук означава, че Бог живее в нашия свят. Той наистина присъства във всичко, което е създал.
Решаващата сила в развитието на математическата символика не е „свободната воля“ на математиците, а изискванията на практиката и математическите изследвания. Истински математически изследвания помагат да се разбере коя система от знаци най-добре отразява структурата на количествените и качествените отношения, поради което те могат да бъдат ефективен инструмент за по-нататъшното им използване в символи и емблеми.