СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ И ЗАКОНИ НА ТЯХНОТО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ.

Случаен Те наричат ​​количество, което приема стойности в зависимост от комбинация от случайни обстоятелства. Разграничете отделен и случаен непрекъснато количества.

Отделен Количеството се нарича, ако приема изброим набор от стойности. ( Пример:брой пациенти на преглед при лекар, брой букви на страница, брой молекули в даден обем).

Непрекъснато е количество, което може да приема стойности в рамките на определен интервал. ( Пример:температура на въздуха, телесно тегло, човешки ръст и др.)

Закон за разпределение Случайна променлива е набор от възможни стойности на тази променлива и, съответстващи на тези стойности, вероятности (или честоти на поява).

ПРИМЕР:

Числени характеристики на случайни величини.

В много случаи наред с разпределението на случайна променлива или вместо него, информация за тези величини може да бъде осигурена чрез числови параметри, т.нар. числени характеристики на случайна променлива . Най-често срещаните от тях:

1 .Очаквана стойност - (средна стойност) на случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности и вероятностите на тези стойности:

2 .дисперсия случайна величина:

3 .Стандартно отклонение :

Правилото на “ТРИ СИГМИ”. - ако една случайна променлива се разпределя по нормален закон, тогава отклонението на тази стойност от средната стойност по абсолютна стойност не надвишава три пъти стандартното отклонение

Закон на Гаус - нормален закон на разпределение

Често има разпределени количества нормален закон (закон на Гаус). основна характеристика : това е ограничаващият закон, към който се доближават другите закони за разпределение.

Случайната променлива се разпределя според нормалния закон, ако тя плътност на вероятността има формата:

M(X) - математическо очакване на случайна величина;

 - стандартно отклонение.

Плътност на вероятността (функция на разпределение) показва как се променя вероятността, присвоена на интервал dx случайна променлива, в зависимост от стойността на самата променлива:

Основни понятия на математическата статистика

Математическа статистика - клон на приложната математика, непосредствено съседен на теорията на вероятностите. Основната разлика между математическата статистика и теорията на вероятностите е, че математическата статистика не разглежда действия върху законите за разпределение и числените характеристики на случайни променливи, а приблизителни методи за намиране на тези закони и числени характеристики въз основа на резултатите от експерименти.

Основни понятия математическата статистика е:

Общо население;

проба;

вариационни серии;

мода;

Медиана;

процентил,

честотен диапазон,

стълбовидна диаграма.

Население - голяма статистическа съвкупност, от която се избират част от обектите за изследване

(Пример:цялото население на региона, студенти от даден град и др.)

Извадка (извадкова популация) - набор от обекти, избрани от общата съвкупност.

Вариационни серии - статистическо разпределение, състоящо се от варианти (стойности на случайна променлива) и съответните им честоти.

Пример:

х , килограма

м

х - стойност на случайна променлива (тегло на момичета на възраст 10 години);

м - честота на поява.

Мода – стойността на случайната променлива, която съответства на най-високата честота на поява. (В примера по-горе модата съответства на стойността 24 кг, тя е по-често срещана от другите: m = 20).

Медиана – стойността на случайна променлива, която разделя разпределението наполовина: половината от стойностите са разположени вдясно от медианата, половината (не повече) - вляво.

Пример:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

В примера наблюдаваме 40 стойности на случайна променлива. Всички стойности са подредени във възходящ ред, като се вземе предвид честотата на тяхното възникване. Можете да видите, че вдясно от маркираната стойност 7 са 20 (половината) от 40-те стойности. Следователно 7 е медианата.

За да характеризираме разсейването, ще намерим стойностите не по-високи от 25 и 75% от резултатите от измерването. Тези стойности се наричат ​​25-ти и 75-ти процентили . Ако медианата разделя разпределението наполовина, тогава 25-ият и 75-ият персентил се отрязват с една четвърт. (Между другото самата медиана може да се счита за 50-ия персентил.) Както може да се види от примера, 25-ият и 75-ият персентил са равни съответно на 3 и 8.

Използвайте отделен (точка) статистическо разпределение и непрекъснато (интервал) статистическо разпределение.

За яснота статистическите разпределения са изобразени графично във формата честотен диапазон или - хистограми .

Честотен полигон - прекъсната линия, чиито сегменти свързват точки с координати ( х 1 , м 1 ), (х 2 , м 2 ), ... или за многоъгълник на относителна честота – с координати ( х 1 ,Р * 1 ), (х 2 ,Р * 2 ), ...(Фиг. 1).

мм аз / нf(x)

х х

Фиг.1 Фиг.2

Честотна хистограма - набор от съседни правоъгълници, построени на една права линия (фиг. 2), основите на правоъгълниците са еднакви и равни dx , а височините са равни на отношението на честотата към dx , или Р * Да се dx (плътност на вероятността).

Пример:

х, кг

При решаването на много практически проблеми не винаги е необходимо да се характеризира напълно случайна променлива, т.е. да се определят законите на разпределение. В допълнение, конструирането на функция или поредица от разпределения за дискретна случайна променлива и плътност за непрекъсната случайна променлива е тромаво и ненужно.

Понякога е достатъчно да се посочат отделни числови параметри, които частично характеризират характеристиките на разпределението. Необходимо е да се знае някаква средна стойност на всяка случайна променлива, около която се групира нейната възможна стойност, или степента на разсейване на тези стойности спрямо средната и т.н.

Характеристиките на най-значимите характеристики на разпределението се наричат ​​числени характеристики случайна величина.С тяхна помощ е по-лесно да се решават много вероятностни проблеми, без да се дефинират закони за разпределение за тях.

Най-важната характеристика на позицията на случайна променлива върху числовата ос е очаквана стойност М[х]= а,което понякога се нарича средна стойност на случайната променлива. За дискретна случайна променлива X свъзможни стойности х 1 , х 2 , … , x nи вероятности стр 1 , стр 2 ,… , p nопределя се по формулата

Имайки предвид, че =1, можем да напишем

По този начин, математическо очакване Дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на нейните възможни стойности и техните вероятности.При голям брой експерименти средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива се доближава до нейното математическо очакване.

За непрекъсната случайна променлива Xматематическото очакване се определя не от сумата, а интегрална

Където f(х) - плътност на разпределение на количеството Х.

Математическото очакване не съществува за всички случайни променливи. За някои от тях сумата или интегралът се разминава и следователно няма математическо очакване. В тези случаи, от съображения за точност, обхватът на възможните промени в случайната променлива трябва да бъде ограничен Х,за които сборът или интегралът ще се сближат.

На практика се използват и такива характеристики на позицията на случайна променлива като мода и медиана.

Режим на произволна променливанейната най-вероятна стойност се нарича.Като цяло режимът и математическото очакване не съвпадат.

Медиана на случайна променливаX е неговата стойност, спрямо която е еднакво вероятно да се получи по-голяма или по-малка стойност на случайната променлива, т.е. това е абсцисата на точката, в която площта, ограничена от кривата на разпределение, е разделена наполовина. За симетрично разпределение и трите характеристики са еднакви.

В допълнение към математическото очакване, модата и медианата, теорията на вероятностите използва и други характеристики, всяка от които описва специфично свойство на разпределението. Например числени характеристики, които характеризират дисперсията на случайна променлива, т.е. показващи доколко нейните възможни стойности са групирани около математическото очакване, са дисперсията и стандартното отклонение. Те значително допълват случайната променлива, тъй като на практика често има случайни променливи с еднакви математически очаквания, но различни разпределения. Когато определяте дисперсионните характеристики, използвайте разликата между случайната променлива хи неговото математическо очакване, т.е.

Където А = М[х] - очаквана стойност.

Тази разлика се нарича центрирана случайна променлива,съответстваща стойност Х,и е обозначен :

Дисперсия на случайна променливае математическото очакване на квадратното отклонение на стойност от нейното математическо очакване, т.е.:

Д[ х]=M[( X–a) 2 ], или

Д[ х]=M[ 2 ].

Дисперсията на случайна променлива е удобна характеристика на дисперсията и разсейването на стойностите на случайна променлива около нейното математическо очакване. Той обаче не е визуален, тъй като има размерността на квадрата на случайна променлива.

За визуално характеризиране на дисперсията е по-удобно да се използва стойност, чиято размерност съвпада с размерността на случайната променлива. Това количество е стандартно отклонение случайна променлива, която е положителен квадратен корен от нейната дисперсия.

Очакване, мода, медиана, дисперсия, стандартно отклонение - най-често използваните числени характеристики на случайни променливи. При решаване на практически задачи, когато е невъзможно да се определи законът на разпределението, приблизителното описание на случайна променлива е нейната числена характеристика, изразяваща някакво свойство на разпределението.

В допълнение към основните характеристики на разпределението на центъра (математическо очакване) и дисперсията (дисперсия), често е необходимо да се опишат други важни характеристики на разпределението - симетрияИ острота,които могат да бъдат представени с помощта на разпределителни моменти.

Разпределението на една случайна променлива е напълно определено, ако са известни всички нейни моменти.Въпреки това, много разпределения могат да бъдат напълно описани с помощта на първите четири момента, които не са само параметри, които описват разпределенията, но също така са важни при избора на емпирични разпределения, т.е. чрез изчисляване на числените стойности на моментите за дадена статистическа серия и с помощта на специални графики можете да определите закона за разпределение.

В теорията на вероятностите се разграничават моменти от два вида: начален и централен.

Начален момент от k-ти редслучайна величина Tсе нарича математическо очакване на количеството Xk,т.е.

Следователно за дискретна случайна променлива тя се изразява чрез сумата

а за непрекъснати – чрез интеграла

Сред началните моменти на една случайна величина от особено значение е моментът от първи ред, който е математическото очакване. Началните моменти от по-висок порядък се използват предимно за изчисляване на централните моменти.

Централен момент от k-ти редслучайна променлива е математическото очакване на стойността ( X - М [х])к

Където А = M[X].

За дискретна случайна променлива се изразява чрез сумата

Аза непрекъснати – чрез интеграл

Сред централните моменти на една случайна променлива, от особено значение е централен момент от втори ред,което представлява дисперсията на случайната променлива.

Централният момент от първи ред винаги е нула.

Трети начален моментхарактеризира асиметрията (асимметрията) на разпределението и въз основа на резултатите от наблюденията за дискретни и непрекъснати случайни променливи се определя от съответните изрази:

Тъй като има размерността на куб от случайна променлива, за да се получи безразмерна характеристика, м 3разделено на стандартното отклонение на трета степен

Получената стойност се нарича коефициент на асиметрия и в зависимост от знака характеризира положителното ( Като> 0) или отрицателен ( Като< 0) асиметрия на разпределението (фиг. 2.3).

„Единици за измерване на физически величини“ - Абсолютната грешка е равна на половината от стойността на разделението на измервателното устройство. Микрометър. Резултатът се получава директно с помощта на измервателния уред. Дължина на кутията: 4 см с дефицит, 5 см с излишък. За всяко физическо количество има съответни мерни единици. Гледам. Относителна грешка.

„Стойности на дължината“ - 2. Какви количества могат да се сравняват помежду си: 2. Обяснете защо следният проблем се решава с помощта на добавяне: 2. Обосновете избора на действие при решаване на проблема. Колко пакета получихте? Колко химикалки има в три от тези кутии? Роклите са направени от 12 m плат, като са използвани 4 m за всяка. Колко рокли са направени?

„Физични величини” - Границите, разделящи физиката от другите природни науки, са исторически условни. Резултатът от всяко измерване винаги съдържа някаква грешка. Нова тема. Скорост. Взаимодействие на телата. Физическите закони са представени под формата на количествени зависимости, изразени на езика на математиката. Грешка в измерването.

“Числото като резултат от измерване на количество” - “Числото като резултат от измерване на количество” урок по математика в 1. клас. Измерване на дължината на сегмент с помощта на мерителна пръчка.

“Числа и количества” - Въведение в понятието маса. Сравнение на маси без измервания. Римска писмена номерация. Капацитет. Ученикът ще научи: Числа и количества (30 часа) Координатен лъч Понятието за координатен лъч. Планирани резултати по предмета за раздел „Числа и количества” във 2. клас. Общият принцип на формирането на кардиналните числа в границите на изучаваните числа.

“Размер на търсенето” - Причини за промени в търсенето. Кривата DD, получена на графиката (от английското търсене - „търсене“), се нарича крива на търсенето. Еластично търсене (Epd>1). Количество на търсенето. Фактори, влияещи върху търсенето. Зависимостта на търсеното количество от нивото на цените се нарича мащаб на търсенето. Абсолютно нееластично търсене (Epd=0).

71, Числени характеристики на случайни величинишироко използвани в практиката за изчисляване на показатели за надеждност. В много практически въпроси няма нужда да се характеризира напълно, изчерпателно една случайна променлива. Често е достатъчно да се посочат само числови параметри, които до известна степен характеризират съществените характеристики на разпределението на случайна променлива, например: средна стойност , около които са групирани възможните стойности на случайната променлива; число, характеризиращо разсейването на случайна променлива спрямо средната стойност и т.н. Числените параметри, които позволяват изразяване в компресирана форма на най-значимите характеристики на случайна променлива, се наричат ​​числени характеристики на случайна променлива.

А) b)

Ориз. 11 Дефиниция на математическото очакване

Числените характеристики на случайните величини, използвани в теорията на надеждността, са дадени в табл. 1.

72, Математическо очакване(средна стойност) на непрекъсната случайна променлива, чиито възможни стойности принадлежат на интервала , е определен интеграл (фиг., 11, b)

. (26)

Математическото очакване може да се изрази чрез допълнение на интегралната функция. За да направим това, заместваме (11) в (26) и интегрираме получения израз по части

, (27)

защото И , Че

. (28)

За неотрицателни случайни променливи, чиито възможни стойности принадлежат на интервала , формула (28) приема формата

. (29)

т.е. математическото очакване на неотрицателна случайна променлива, чиито възможни стойности принадлежат на интервала , е числено равна на площта под графиката на допълнението на интегралната функция (фиг., 11, А).

73, Средно време до първи отказ според статистическата информацияопределена по формулата

, (30)

къде е времето за първия провал аз-ти обект; н- брой изследвани обекти.

Средният ресурс, средният експлоатационен живот, средното време за възстановяване и средният срок на годност се определят по подобен начин.

74, Дисперсия на случайна променлива около нейното математическо очакванеоценени с помощта на дисперсия на стандартното отклонение(RMS) и коефициент на вариация.

Дисперсията на непрекъсната случайна променлива X е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване и се изчислява по формулата

. (31)

дисперсияима размерността на квадратна случайна променлива, което не винаги е удобно.

75, Стандартно отклонениеслучайната променлива е корен квадратен от дисперсията и има размерността на случайната променлива

. (32)

76, Коефициент на вариацияе относителен показател за дисперсията на случайна променлива и се определя като отношението на стандартното отклонение към математическото очакване

. (33)

77, Гама - процентна стойност на случайна променлива- стойност на случайна променлива, съответстваща на дадена вероятност че случайната променлива ще приеме стойност, по-голяма от,

. (34)

78. Гама - процентната стойност на случайна променлива може да се определи чрез интегралната функция, нейното допълнение и диференциална функция (фиг. 12). Гама процентната стойност на случайна променлива е квантил на вероятността (фиг. 12, А)

. (35)

В теорията на надеждността се използва гама процентна стойност на ресурса, експлоатационния живот и срока на годност(Маса 1). Гама процентът е ресурсът, експлоатационният живот, срокът на годност,който има (и надвишава) процент обекти от даден тип.

А) b)

Фиг. 12 Определяне на гама-процентната стойност на случайна променлива

Гама процентен ресурсхарактеризира издръжливостна избраното ниво вероятност за неунищожаване. Гама процентният ресурс се определя, като се вземе предвид отговорността на обектите. Например, за търкалящите лагери най-често се използва 90 процента експлоатационен живот за лагерите на най-критичните обекти, избира се 95 процента експлоатационен живот и по-висок, доближавайки го до 100 процента, ако повредата е опасна за човешкия живот; .

79, Медиана на случайна променливае неговата гама процентна стойност при . За медиана еднакво вероятно е случайната променлива да бъде Tповече или по-малко от него, т.е.

Геометрично медианата е абсцисата на пресечната точка на интегралната функция на разпределение и нейното допълнение (фиг. 12, b). Медианата може да се интерпретира като абсцисата на точката, в която ординатата на диференциалната функция разполовява областта, ограничена от кривата на разпределение (фиг. 12, V).

Медианата на случайна променлива се използва в теорията на надеждността като числена характеристика на ресурса, експлоатационния живот и срока на годност (Таблица 1).

Съществува функционална връзка между показателите за надеждност на обектите. Познаване на една от функциите
ви позволява да определите други показатели за надеждност. Обобщение на връзките между показателите за надеждност е дадено в табл. 2.

Таблица 2. Функционална връзка между показателите за надеждност