Определете ъгъла между равнините. Подготовката за изпитния тест с Школково е ключът към вашия успех

Видео курсът „Вземи A“ включва всички теми, необходими за успешен полагане на Единния държавен изпитпо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профил Единен държавен изпитматематика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

всичко необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачии теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове задачи за единен държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие пространствено въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решение сложни задачи 2 части от Единния държавен изпит.

При решаване геометрични задачив пространството често има такива, при които е необходимо да се изчислят ъглите между различни пространствени обекти. В тази статия ще разгледаме въпроса за намирането на ъгли между равнини и между тях и права линия.

Права линия в пространството

Известно е, че абсолютно всяка права линия в равнината може да се определи със следното равенство:

Тук a и b са някои числа. Ако си представим права линия в пространството, използвайки същия израз, ще получим равнина, успоредна на оста z. За математическа дефиницияпространствена права линия, се използва различен метод на решение, отколкото в двумерния случай. Състои се в използването на понятието „вектор на посоката“.

Примери за решаване на задачи за определяне на ъгъла на пресичане на равнини

Знаейки как да намерим ъгъла между равнините, ще решим следния проблем. Дадени са две равнини, уравненията на които имат формата:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Какъв е ъгълът между равнините?

За да отговорите на въпроса на проблема, не забравяйте, че коефициентите, свързани с променливите в общото уравнение на равнината, са координатите на водещия вектор. За тези равнини имаме следните координати на техните нормали:

n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

Сега намираме скаларното произведение на тези вектори и техните модули, имаме:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) = -3 -8 -5 = -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Сега можете да замените намерените числа в дадените предишен параграфформула. Получаваме:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Получената стойност съответства на острия ъгъл на пресичане на равнините, посочени в постановката на проблема.

Сега нека да разгледаме друг пример. Дадени са две равнини:

Пресичат ли се? Нека запишем стойностите на координатите на техните вектори на посоката и изчислим скаларно произведениетях и модулите:

n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

Тогава ъгълът на пресичане е:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Този ъгъл показва, че равнините не се пресичат, а са успоредни. Фактът, че те не съвпадат един с друг, е лесен за проверка. За да направите това, вземете произволна точка, принадлежаща на първата от тях, например P(0; 3; 2). Замествайки координатите му във второто уравнение, получаваме:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Тоест точка P принадлежи само на първата равнина.

Следователно две равнини са успоредни, когато техните нормали са такива.

Равен и прав

В случай на разглеждане относителна позицияИма малко повече опции между равнина и права линия, отколкото при две равнини. Този факт се дължи на факта, че правата линия е едноизмерен обект. Права линия и равнина могат да бъдат:

взаимно успоредни, в този случай равнината не пресича правата;
последният може да принадлежи на равнината, но също така ще бъде успореден на нея;
двата обекта могат да се пресичат под някакъв ъгъл.

Нека първо да разгледаме последен случай, тъй като изисква въвеждането на понятието ъгъл на пресичане.

Права линия и равнина, стойността на ъгъла между тях

Ако една равнина пресича права линия, тогава тя се нарича наклонена спрямо нея. Пресечната точка обикновено се нарича основа на наклонената линия. За да се определи ъгълът между тези геометрични обекти, е необходимо да се спусне прав перпендикуляр от всяка точка върху равнината. Тогава пресечната точка на перпендикуляра с равнината и пресечната точка на наклонената линия с нея образуват права линия. Последното се нарича проекция на оригиналната линия върху разглежданата равнина. Sharp и неговата проекция е желаната.

Донякъде объркващата дефиниция на ъгъла между равнина и наклонена ще бъде изяснена от фигурата по-долу.

Тук ъгъл ABO е ъгълът между правата AB и равнината a.

За да запишете формулата за него, разгледайте пример. Нека има права линия и равнина, които се описват с уравненията:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

Можете лесно да изчислите желания ъгъл за тези обекти, ако намерите скаларното произведение между насочващите вектори на правата линия и равнината. получено остър ъгълтрябва да се извади от 90 o, тогава се получава между права линия и равнина.

Фигурата по-горе демонстрира описания алгоритъм за намиране на въпросния ъгъл. Тук β е ъгълът между нормалата и правата, а α е между правата и нейната проекция върху равнината. Вижда се, че сборът им е 90 o.

По-горе беше представена формула, която отговаря на въпроса как да се намери ъгъл между равнините. Сега даваме съответния израз за случая на права линия и равнина:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Модулът във формулата ви позволява да изчислявате само остри ъгли. Функцията арксинус се появи вместо аркосинус благодарение на използването на съответната формула за редукция между тригонометричните функции (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Проблем: равнина пресича права

Сега ще покажем как се работи с дадената формула. Нека решим проблема: трябва да изчислим ъгъла между оста y и равнината, дадено от уравнението:

Тази равнина е показана на фигурата.

Вижда се, че тя пресича осите y и z съответно в точки (0; -12; 0) и (0; 0; 12) и е успоредна на оста x.

Насочващият вектор на правата линия y има координати (0; 1; 0). Векторен перпендикуляр дадена равнина, характеризиращ се с координати (0; 1; -1). Прилагаме формулата за ъгъла на пресичане на права линия и равнина, получаваме:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o

Задача: права, успоредна на равнина

Сега нека решим подобен предишна задача, чийто въпрос е поставен по различен начин. Известни са уравненията на равнина и права:

x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

Необходимо е да се установи дали тези геометрични обекти са успоредни един на другна приятел.

Имаме два вектора: насочващата права е равна на (0; 2; 2) и насочващата равнина е равна на (1; 1; -1). Намираме тяхното скаларно произведение:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Получената нула показва, че ъгълът между тези вектори е 90 o, което доказва успоредността на правата и равнината.

Сега нека проверим дали тази права е само успоредна или също лежи в равнината. За да направите това, изберете произволна точка на права и проверете дали тя принадлежи на равнината. Например, нека вземем λ = 0, тогава точката P(1; 0; 0) принадлежи на правата. Заместваме равнина P в уравнението:

Точка P не принадлежи на равнината и следователно цялата права не лежи в нея.

Къде е важно да знаем ъглите между разглежданите геометрични обекти?

Горните формули и примери за решаване на проблеми са не само от теоретичен интерес. Те често се използват за определяне на важни физични величиниистински обемни фигури, като призми или пирамиди. Важно е да можете да определите ъгъла между равнините, когато изчислявате обемите на фигурите и площите на техните повърхности. Освен това, ако в случай на права призма е възможно тези формули да не се използват за определяне на посочените количества, то за всеки тип пирамида тяхното използване се оказва неизбежно.

По-долу ще разгледаме пример за използване на посочената теория за определяне на ъглите на пирамида с квадратна основа.

Пирамида и нейните ъгли

Фигурата по-долу показва пирамида, в основата на която лежи квадрат със страна a. Височината на фигурата е h. Трябва да намерите два ъгъла:

между страничната повърхност и основата;
между страничното ребро и основата.

За да разрешите проблема, първо трябва да въведете координатна система и да определите параметрите на съответните върхове. Фигурата показва, че началото съвпада с точката в центъра квадратна основа. В този случай основната равнина се описва с уравнението:

Тоест, за всяко x и y, стойността на третата координата винаги е нула. Страничната равнина ABC пресича оста z в точка B(0; 0; h) и оста y в точка с координати (0; a/2; 0). Тя не пресича оста x. Това означава, че уравнението на равнината ABC може да бъде написано като:

y/(a/2) + z/h = 1 или
2 * h * y + a * z - a * h = 0

Вектор AB¯ е страничен ръб. Координатите на началото и края му са равни: A(a/2; a/2; 0) и B(0; 0; h). Тогава координатите на самия вектор:

Намерихме всички необходими уравнения и вектори. Сега остава да използваме разгледаните формули.

Нека първо изчислим ъгъла в пирамидата между равнините на основата и страната. Съответните нормални вектори са равни: n 1 ¯(0; 0; 1) и n 2 ¯(0; 2*h; a). Тогава ъгълът ще бъде:

α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))

Ъгълът между равнината и ръба AB ще бъде равен на:

β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))

Остава само да се замени специфични стойностистрани на основата a и височина h, за да се получат необходимите ъгли.

Тази статия е за ъгъла между равнините и как да го намерите. Първо е дадена дефиницията на ъгъла между две равнини и е дадена графична илюстрация. След това беше анализиран принципът за намиране на ъгъла между две пресичащи се равнини с помощта на координатния метод и беше получена формула, която ви позволява да изчислите ъгъла между пресичащите се равнини, като използвате известните координати на нормалните вектори на тези равнини. В заключение е показано подробни решенияхарактерни задачи.

Навигация в страницата.

Ъгъл между равнините - определение.

Нека представим аргументи, които ще ни позволят постепенно да се приближим до определянето на ъгъла между две пресичащи се равнини.

Нека ни бъдат дадени две пресичащи се равнини и . Тези равнини се пресичат по права линия, която означаваме с буквата c. Нека построим равнина, минаваща през точка M на права c и перпендикулярна на права c. В този случай равнината ще пресича равнините и. Правата, по която се пресичат равнините, да означим с a, а правата, по която се пресичат равнините, с b. Очевидно правите a и b се пресичат в точка M.

Лесно е да се покаже, че ъгълът между пресичащите се прави a и b не зависи от местоположението на точка M върху правата c, през която минава равнината.

Нека построим равнина, перпендикулярна на правата c и различна от равнината. Равнината се пресича от равнини и по прави линии, които означаваме съответно като a 1 и b 1.

От метода за конструиране на равнини следва, че правите a и b са перпендикулярни на правата c, а правите a 1 и b 1 са перпендикулярни на правата c. Тъй като правите a и a 1 лежат в една равнина и са перпендикулярни на правата c, то те са успоредни. По същия начин, правите b и b1 лежат в една и съща равнина и са перпендикулярни на права c, следователно, те са успоредни. Така че можете да направите паралелен трансферравнина до равнина, в която права линия a 1 съвпада с права линия a, а права линия b с права линия b 1. Следователно ъгълът между две пресичащи се прави a 1 и b 1 равен на ъгълмежду пресичащите се прави a и b.

Това доказва, че ъгълът между пресичащите се прави a и b, лежащи в пресичащи се равнини, не зависи от избора на точка M, през която минава равнината. Следователно е логично този ъгъл да се приеме като ъгъл между две пресичащи се равнини.

Сега можете да изразите определението на ъгъла между две пресичащи се равнини и.

Определение.

Ъгълът между две равнини, пресичащи се по права линия и- това е ъгълът между две пресичащи се прави a и b, по които равнините и се пресичат с равнината, перпендикулярна на правата c.

Дефиницията на ъгъла между две равнини може да се даде малко по-различно. Ако върху правата c, по която се пресичат равнините и, маркирате точка M и през нея прекарате прави a и b, перпендикулярни на правата c и лежащи съответно в равнините и, тогава ъгълът между правите a и b е ъгълът между равнините и. Обикновено в практиката се изпълняват точно такива конструкции, за да се получи ъгълът между равнините.

Тъй като ъгълът между пресичащите се линии не надвишава , от посоченото определение следва, че степенна мяркаизразен е ъгълът между две пресичащи се равнини реално числоот интервала. В този случай се наричат пресичащи се равнини перпендикулярен, ако ъгълът между тях е деветдесет градуса. Ъгъл между успоредни равниниили изобщо не го определят, или го смятат за равен на нула.

Намиране на ъгъла между две пресичащи се равнини.

Обикновено, когато намирате ъгъл между две пресичащи се равнини, първо трябва да извършите допълнителни конструкции, за да видите пресичащите се прави линии, ъгълът между които е равен на желания ъгъл, и след това да свържете този ъгъл с оригиналните данни, като използвате тестове за равенство, подобие тестове, косинусовата теорема или дефинициите на синус, косинус и тангенс на ъгъла. В курса по геометрия гимназиявъзникват подобни проблеми.

Като пример, нека дадем решението на задача С2 от Единния държавен изпит по математика за 2012 г. (условието е умишлено променено, но това не засяга принципа на решението). В него просто трябваше да намерите ъгъла между две пресичащи се равнини.

Пример.

Решение.

Първо, нека направим чертеж.

Нека направим допълнителни конструкции, за да „видим“ ъгъла между равнините.

Първо, нека определим права линия, по която се пресичат равнините ABC и BED 1. Точка B е една от техните общи точки. Нека намерим втората обща точка на тези равнини. Правите DA и D 1 E лежат в една и съща равнина ADD 1 и не са успоредни и следователно се пресичат. От друга страна, правата DA лежи в равнината ABC, а правата D 1 E - в равнината BED 1, следователно пресечната точка на правите DA и D 1 E ще бъде обща точка ABC самолетии ЛЕГЛО 1. И така, нека продължим линиите DA и D 1 E до тяхното пресичане, като обозначим точката на тяхното пресичане с буквата F. Тогава BF е правата, по която се пресичат равнините ABC и BED 1.

Остава да се построят две прави, лежащи съответно в равнините ABC и BED 1, минаващи през една точка на правата BF и перпендикулярна на правата BF - ъгълът между тези линии по дефиниция ще бъде равен на желания ъгъл между равнини ABC и BED 1. Хайде да го направим.

Точка A е проекцията на точка E върху равнината ABC. Нека начертаем права линия, пресичаща права BF под прав ъгъл в точка M. Тогава правата AM е проекцията на правата EM върху равнината ABC и по теоремата за трите перпендикуляра.

Така търсеният ъгъл между равнините ABC и BED 1 е равен на .

Можем да определим синуса, косинуса или тангенса на този ъгъл (и следователно самия ъгъл) от правоъгълен триъгълник AEM, ако знаем дължините на двете му страни. От условието е лесно да се намери дължината AE: тъй като точка E разделя страната AA 1 в съотношение 4 към 3, като се брои от точка A, а дължината на страната AA 1 е 7, тогава AE = 4. Нека намерим дължината AM.

За да направите това, разгледайте правоъгълен триъгълник ABF с прав ъгъл A, където AM е височината. По условие AB = 2. Можем да намерим дължината на страната AF от подобието на правоъгълни триъгълници DD 1 F и AEF:

Използвайки Питагоровата теорема, намираме от триъгълник ABF. Намираме дължината AM през площта на триъгълника ABF: от едната страна площта на триъгълника ABF е равна на , от друга страна , където .

Така от правоъгълния триъгълник AEM имаме .

Тогава търсеният ъгъл между равнините ABC и BED 1 е равен (обърнете внимание, че ).

Отговор:

В някои случаи, за да намерите ъгъла между две пресичащи се равнини, е удобно да зададете Oxyz и да използвате метода на координатите. Нека спрем до тук.

Нека поставим задачата: намерете ъгъла между две пресичащи се равнини и . Нека означим желания ъгъл като .

Ще приемем, че в дадена правоъгълна координатна система Oxyz знаем координатите на нормалните вектори на пресичащи се равнини и или имаме възможност да ги намерим. Позволявам е нормалният вектор на равнината и е нормалният вектор на равнината. Ще покажем как да намерим ъгъла между пресичащите се равнини и чрез координатите на нормалните вектори на тези равнини.

Нека означим правата, по която се пресичат равнините и като c. През точка M на права c прекарваме равнина, перпендикулярна на права c. Равнината пресича равнините и по правата a и b съответно правите a и b се пресичат в точка M. По дефиниция ъгълът между пресичащите се равнини и е равен на ъгъла между пресичащите се прави a и b.

Нека начертаем нормалните вектори и равнини и от точка М в равнината. В този случай векторът лежи на права, която е перпендикулярна на права a, а векторът лежи на права, която е перпендикулярна на права b. Така в равнината векторът е нормалният вектор на правата a, е нормалният вектор на правата b.

В статията за намиране на ъгъла между пресичащите се прави получихме формула, която ни позволява да изчислим косинуса на ъгъла между пресичащите се прави, като използваме координатите на нормалните вектори. По този начин косинусът на ъгъла между линиите a и b и, следователно, косинус на ъгъла между пресичащите се равнинии се намира по формулата, където И са нормалните вектори на равнините и, съответно. След това се изчислява като .

Нека решим предишния пример с помощта на координатния метод.

Пример.

Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, в който AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 и точка E дели страната AA 1 в съотношение 4 към 3, считано от точка A. Намерете ъгъла между равнините ABC и BED 1.

Решение.

Тъй като страните правоъгълен паралелепипедкогато един връх е перпендикулярен по двойки, е удобно да се въведе правоъгълна системакоординира Oxyz така: началото е подравнено с върха C и координатни оси Ox, Oy и Oz са насочени съответно към страните CD, CB и CC 1.

Ъгълът между равнините ABC и BED 1 може да се намери чрез координатите на нормалните вектори на тези равнини, като се използва формулата , където и са нормалните вектори съответно на равнините ABC и BED 1. Да определим координатите на нормалните вектори.

\(\blacktriangleright\) Двустенният ъгъл е ъгъл, образуван от две полуравнини и права \(a\), която е тяхната обща граница.

\(\blacktriangleright\) За да намерите ъгъла между равнините \(\xi\) и \(\pi\) , трябва да намерите линеен ъгъл(и пикантенили прав) двустенен ъгъл, образувана от равнините \(\xi\) и \(\pi\) :

Стъпка 1: нека \(\xi\cap\pi=a\) (линията на пресичане на равнините). В равнината \(\xi\) маркираме произволна точка \(F\) и чертаем \(FA\perp a\) ;

Стъпка 2: изпълнете \(FG\perp \pi\) ;

Стъпка 3: според TTP (\(FG\) – перпендикуляр, \(FA\) – наклонен, \(AG\) – проекция) имаме: \(AG\perp a\) ;

Стъпка 4: Ъгълът \(\angle FAG\) се нарича линеен ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от равнините \(\xi\) и \(\pi\) .

Обърнете внимание, че триъгълникът \(AG\) е правоъгълен.
Забележете също, че равнината \(AFG\), конструирана по този начин, е перпендикулярна и на двете равнини \(\xi\) и \(\pi\) . Следователно можем да го кажем по различен начин: ъгъл между равнините\(\xi\) и \(\pi\) е ъгълът между две пресичащи се прави \(c\in \xi\) и \(b\in\pi\), образуващи равнина, перпендикулярна на и \(\xi\ ) и \(\pi\) .

Задача 1 #2875

Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит

Дана четириъгълна пирамида, като всички ръбове са равни, а основата е квадрат. Намерете \(6\cos \alpha\) , където \(\alpha\) е ъгълът между неговите съседни странични стени.

Нека \(SABCD\) – тази пирамида(\(S\) е връх), чиито ръбове са равни на \(a\) . Следователно всичко странични лицаса еднакви равностранни триъгълници. Нека намерим ъгъла между лицата \(SAD\) и \(SCD\) .

Нека направим \(CH\perp SD\) . защото \(\триъгълник SAD=\триъгълник SCD\), тогава \(AH\) също ще бъде височината на \(\триъгълник SAD\) . Следователно по дефиниция \(\angle AHC=\alpha\) е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между стените \(SAD\) и \(SCD\) .
Тъй като основата е квадрат, тогава \(AC=a\sqrt2\) . Обърнете внимание също, че \(CH=AH\) е височината равностранен триъгълниксъс страна \(a\) , следователно \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Тогава по косинусовата теорема от \(\триъгълник AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Отговор: -2

Задача 2 #2876

Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит

Равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) се пресичат под ъгъл, чийто косинус е равен на \(0,2\). Равнините \(\pi_2\) и \(\pi_3\) се пресичат под прав ъгъл, а пресечната линия на равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) е успоредна на пресечната линия на равнини \(\pi_2\) и \(\ pi_3\) . Намерете синуса на ъгъла между равнините \(\pi_1\) и \(\pi_3\) .

Нека пресечната линия на \(\pi_1\) и \(\pi_2\) е права линия \(a\), пресечната линия на \(\pi_2\) и \(\pi_3\) е права линия \(b\), а пресечната линия \(\pi_3\) и \(\pi_1\) – права \(c\) . Тъй като \(a\паралел b\) , то \(c\паралел а\паралел b\) (според теоремата от раздела на теоретичния справочник „Геометрия в пространството“ \(\rightarrow\) „Въведение в стереометрията, паралелизъм”).

Нека маркираме точките \(A\in a, B\in b\), така че \(AB\perp a, AB\perp b\) (това е възможно, тъй като \(a\parallel b\) ). Нека маркираме \(C\in c\), така че \(BC\perp c\) , следователно, \(BC\perp b\) . След това \(AC\perp c\) и \(AC\perp a\) .
Наистина, тъй като \(AB\perp b, BC\perp b\) , тогава \(b\) е перпендикулярен на равнината \(ABC\) . Тъй като \(c\паралел a\паралел b\), тогава правите \(a\) и \(c\) също са перпендикулярни на равнината \(ABC\), и следователно на всяка права от тази равнина, в частност , линията \ (AC\) .

Следва, че \(\ъгъл BAC=\ъгъл (\pi_1, \pi_2)\), \(\ъгъл ABC=\ъгъл (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\ъгъл BCA=\ъгъл (\pi_3, \pi_1)\). Оказва се, че \(\триъгълник ABC\) е правоъгълен, което означава \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Отговор: 0,2

Задача 3 #2877

Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит

Дадени са прави \(a, b, c\), пресичащи се в една точка, и ъгълът между всеки две от тях е равен на \(60^\circ\) . Намерете \(\cos^(-1)\alpha\) , където \(\alpha\) е ъгълът между равнината, образувана от прави \(a\) и \(c\) и равнината, образувана от прави \( b\ ) и \(c\) . Дайте отговора си в градуси.

Нека правите се пресичат в точка \(O\) . Тъй като ъгълът между всеки две от тях е равен на \(60^\circ\), тогава и трите прави линии не могат да лежат в една и съща равнина. Нека отбележим точката \(A\) на правата \(a\) и да начертаем \(AB\perp b\) и \(AC\perp c\) . Тогава \(\триъгълник AOB=\триъгълник AOC\)като правоъгълник по протежение на хипотенузата и остър ъгъл. Следователно \(OB=OC\) и \(AB=AC\) .
Нека направим \(AH\perp (BOC)\) . След това по теоремата за три перпендикуляра \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Тъй като \(AB=AC\) , тогава \(\триъгълник AHB=\триъгълник AHC\)като правоъгълник по дължината на хипотенузата и крака. Следователно \(HB=HC\) . Това означава, че \(OH\) е ъглополовяща на ъгъла \(BOC\) (тъй като точката \(H\) е на еднакво разстояние от страните на ъгъла).

Обърнете внимание, че по този начин конструирахме и линейния ъгъл на двустенния ъгъл, образувана от равнина, образувана от прави \(a\) и \(c\), и равнината, образувана от прави \(b\) и \(c\) . Това е ъгълът \(ACH\) .

Нека намерим този ъгъл. Тъй като избрахме точката \(A\) произволно, нека я изберем така, че \(OA=2\) . След това в правоъгълник \(\триъгълник AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]Тъй като \(OH\) е ъглополовяща, тогава \(\angle HOC=30^\circ\) , следователно, в правоъгълник \(\триъгълник HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]След това от правоъгълника \(\триъгълник ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Отговор: 3

Задача 4 #2910

Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит

Равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) се пресичат по правата \(l\), на която лежат точките \(M\) и \(N\). Отсечките \(MA\) и \(MB\) са перпендикулярни на правата \(l\) и лежат съответно в равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) и \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Намерете \(3\cos\alpha\) , където \(\alpha\) е ъгълът между равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) .

Триъгълникът \(AMN\) е правоъгълен, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), откъдето \ Триъгълникът \(BMN\) е правоъгълен, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), от което \Записваме косинусовата теорема за триъгълника \(AMB\): \ Тогава \ Тъй като ъгълът \(\alpha\) между равнините е остър ъгъл, а \(\angle AMB\) се оказа тъп, тогава \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Тогава \

Отговор: 1,25

Задача 5 #2911

Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) е паралелепипед, \(ABCD\) е квадрат със страна \(a\), точка \(M\) е основата на перпендикуляра, пуснат от точката \(A_1\) към равнината \ ((ABCD)\) , освен това \(M\) е пресечната точка на диагоналите на квадрата \(ABCD\) . Известно е, че \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Намерете ъгъла между равнините \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) . Дайте отговора си в градуси.

Нека построим \(MN\) перпендикулярно на \(AB\), както е показано на фигурата.

Тъй като \(ABCD\) е квадрат със страна \(a\) и \(MN\perp AB\) и \(BC\perp AB\) , тогава \(MN\паралел BC\) . Тъй като \(M\) е пресечната точка на диагоналите на квадрата, тогава \(M\) е средната точка на \(AC\), следователно \(MN\) е средна линияИ \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) е проекцията на \(A_1N\) върху равнината \((ABCD)\), а \(MN\) е перпендикулярна на \(AB\), тогава, съгласно теоремата за трите перпендикуляра, \ (A_1N\) е перпендикуляр на \(AB \) и ъгълът между равнините \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) е \(\ъгъл A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Отговор: 60

Задача 6 #1854

Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит

В квадрат \(ABCD\) : \(O\) – пресечната точка на диагоналите; \(S\) – не лежи в равнината на квадрата, \(SO \perp ABC\) . Намерете ъгъла между равнините \(ASD\) и \(ABC\), ако \(SO = 5\) и \(AB = 10\) .

Правоъгълните триъгълници \(\триъгълник SAO\) и \(\триъгълник SDO\) са равни по две страни и ъгълът между тях (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\ъгъл SOA = \ъгъл SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , защото \(O\) – пресечната точка на диагоналите на квадрата, \(SO\) – обща страна) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\триъгълник ASD\) – равнобедрен. Точка \(K\) е средата на \(AD\), тогава \(SK\) е височината в триъгълника \(\триъгълник ASD\), а \(OK\) е височината в триъгълника \( AOD\) \(\Rightarrow\) равнината \(SOK\) е перпендикулярна на равнините \(ASD\) и \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – линеен ъгъл, равен на желания двустенен ъгъл.

В \(\триъгълник SKO\): \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – равнобедрен правоъгълен триъгълник \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Отговор: 45

Задача 7 #1855

Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит

В квадрат \(ABCD\) : \(O\) – пресечната точка на диагоналите; \(S\) – не лежи в равнината на квадрата, \(SO \perp ABC\) . Намерете ъгъла между равнините \(ASD\) и \(BSC\), ако \(SO = 5\) и \(AB = 10\) .

Правоъгълните триъгълници \(\триъгълник SAO\) , \(\триъгълник SDO\) , \(\триъгълник SOB\) и \(\триъгълник SOC\) са равни по две страни и ъгълът между тях (\(SO \perp ABC \) \(\Дясна стрелка\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), защото \(O\) – пресечна точка на диагоналите на квадрата, \(SO\) – обща страна) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \триъгълник ASD\) и \(\триъгълник BSC\) са равнобедрени. Точка \(K\) е средата на \(AD\), тогава \(SK\) е височината в триъгълника \(\триъгълник ASD\), а \(OK\) е височината в триъгълника \( AOD\) \(\ Стрелка надясно\) равнината \(SOK\) е перпендикулярна на равнината \(ASD\) . Точка \(L\) е средата на \(BC\), тогава \(SL\) е височината в триъгълника \(\триъгълник BSC\), а \(OL\) е височината в триъгълника \( BOC\) \(\ Стрелка надясно\) равнина \(SOL\) (известна още като равнина \(SOK\)) е перпендикулярна на равнината \(BSC\) . Така получаваме, че \(\angle KSL\) е линеен ъгъл, равен на желания двустенен ъгъл.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Стрелка надясно\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – равни височини равнобедрени триъгълници, което може да се намери с помощта на Питагоровата теорема: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Може да се забележи, че \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) за триъгълник \(\triangle KSL\) важи обратната Питагорова теорема \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – правоъгълен триъгълник \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ circ\) .

Отговор: 90

Подготовката на учениците за полагане на Единния държавен изпит по математика като правило започва с повтаряне на основни формули, включително тези, които ви позволяват да определите ъгъла между равнините. Въпреки факта, че този раздел от геометрията е разгледан достатъчно подробно в него училищна програма, много абсолвенти трябва да повторят основен материал. Разбирайки как да намерят ъгъла между равнините, учениците от гимназията ще могат бързо да изчислят правилния отговор при решаване на задача и да разчитат на получаване на прилични оценки за резултатите от преминаването на единния държавен изпит.

Основни нюанси

За да сте сигурни, че въпросът как да намерите двустенен ъгъл не създава затруднения, препоръчваме да следвате алгоритъм за решение, който ще ви помогне да се справите със задачите на Единния държавен изпит.

Първо трябва да определите правата линия, по която се пресичат равнините.

След това трябва да изберете точка на тази линия и да начертаете два перпендикуляра към нея.

Следваща стъпка- намиране тригонометрична функциядвустенен ъгъл, образуван от перпендикуляри. Най-удобно това става с помощта на получения триъгълник, част от който е ъгълът.

Отговорът ще бъде стойността на ъгъла или неговата тригонометрична функция.

Подготовката за изпитния тест с Школково е ключът към вашия успех

По време на часовете в навечерието на полагането на Единния държавен изпит много ученици се сблъскват с проблема с намирането на определения и формули, които им позволяват да изчислят ъгъла между 2 равнини. Училищен учебникНе винаги е под ръка точно когато имате нужда от него. И да намериш необходимите формулии примери за правилното им използване, включително за намиране на ъгъла между равнините в интернет онлайн, което понякога изисква отделяне на много време.

Математическият портал "Школково" предлага нов подходза подготовка за държавен изпит. Класовете на нашия уебсайт ще помогнат на учениците да идентифицират най-трудните секции за себе си и да запълнят пропуските в знанията.

Подготвихме и ясно представихме всички необходими материали. Основни дефинициии формулите са представени в раздела „Теоретична информация“.

За да разберете по-добре материала, предлагаме също да практикувате подходящите упражнения. Голям избор от задачи различни степенисложност, например, е представена в раздела „Каталог“. Всички задачи съдържат подробен алгоритъм за намиране на верния отговор. Списъкът с упражнения на уебсайта непрекъснато се допълва и актуализира.

Докато се упражняват да решават задачи, които изискват намиране на ъгъла между две равнини, учениците имат възможност да запазят всяка задача онлайн като „Любими“. Благодарение на това те ще могат да се върнат при него необходимо количествовреме и да обсъди напредъка на своето решение с учител в училищеили учител.

Мярката за ъгъла между равнините е острия ъгъл, образуван от две прави линии, лежащи в тези равнини и начертани перпендикулярно на линията на тяхното пресичане.

Алгоритъм за изграждане

от произволна точка K начертайте перпендикуляри на всяка от дадените равнини.
Чрез завъртане около линията на нивото се определя ъгълът γ° с върха в точка K.
Изчислете ъгъла между равнините ϕ° = 180 – γ°, при условие че γ° > 90°. Ако γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Фигурата показва случая, когато равнините α и β са дадени със следи. Всички необходими конструкции бяха извършени съгласно алгоритъма и са описани по-долу.

Решение

На произволно място на чертежа отбелязваме точка K. От нея спускаме перпендикуляри съответно m и n към равнините α и β. Посоката на проекциите m и n е както следва: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
Определяме действителния размер ∠γ° между правите m и n. За да направите това, около фронталната f завъртаме равнината на ъгъла с върха K до позиция, успоредна на фронталната равнина на проекцията. Радиус на завиване R на точка K равно на стойносттахипотенуза на правоъгълен триъгълник O""K""K 0, чиято страна е K""K 0 = y K – y O.
Желаният ъгъл е ϕ° = ∠γ°, тъй като ∠γ° е остър.

Фигурата по-долу показва решението на задача, при която се изисква да се намери ъгълът γ° между равнините α и β, дадени съответно с успоредни и пресичащи се прави.

Решение

Определяме посоката на проекциите на хоризонталите h 1, h 2 и фронтовете f 1, f 2, принадлежащи на самолетиα и β, в реда, посочен от стрелките. От произволна точка K на квадрата. α и β изпускаме перпендикулярите e и k. В този случай e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 и k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
Определяме ∠γ° между правите e и k. За да направите това, начертайте хоризонтална линия h 3 и около нея завъртете точка K до позиция K 1, при която △CKD ще стане успоредна на хоризонталната равнина и ще се отрази върху нея в естествен размер - △C"K" 1 D ". Проекцията на центъра на въртене O" се намира върху начертания до h" 3 перпендикуляр на K"O". Радиусът R се определя от правоъгълния триъгълник O"K"K 0, чиято страна K"K 0 = Z O – Z K.
Стойността на желаната стойност е ∠ϕ° = ∠γ°, тъй като ъгълът γ° е остър.