Доказателство за взаимното положение на права и окръжност. Работен лист по геометрия "Относително положение на права и окръжност"

Нека си припомним едно важно определение - определението за кръг]

определение:

Окръжност с център в точка O и радиус R е множеството от всички точки на равнината, разположени на разстояние R от точка O.

Нека обърнем внимание на факта, че кръгът е множество всекиточки, удовлетворяващи описаното условие. Да разгледаме един пример:

Точките A, B, C, D на квадрата са на еднакво разстояние от точка E, но не са кръг (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация например

В този случай фигурата е кръг, тъй като всичко е набор от точки, еднакво отдалечени от центъра.

Ако свържете произволни две точки на окръжност, ще получите хорда. Хордата, минаваща през центъра, се нарича диаметър.

MB - акорд; AB - диаметър; MnB е дъга, свива се от хордата MV;

Ъгълът се нарича централен.

Точка O е центърът на окръжността.

Ориз. 2. Илюстрация например

Така си спомнихме какво е кръг и неговите основни елементи. Сега нека да преминем към разглеждане на относителната позиция на окръжността и правата линия.

Дадена е окръжност с център O и радиус r. Правата линия P, разстоянието от центъра до правата линия, тоест перпендикулярна на OM, е равно на d.

Приемаме, че точка O не лежи на права P.

Дадени са окръжност и права линия, трябва да намерим броя на общите точки.

Случай 1 - разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса на окръжността:

В първия случай, когато разстоянието d е по-малко от радиуса на окръжността r, точка M лежи вътре в окръжността. От тази точка ще начертаем два сегмента - MA и MB, чиято дължина ще бъде . Знаем стойностите на r и d, d е по-малко от r, което означава, че изразът съществува и точките A и B съществуват. Тези две точки лежат на права линия по построение. Нека проверим дали лежат на окръжността. Нека изчислим разстоянието OA и OB с помощта на Питагоровата теорема:

Ориз. 3. Илюстрация за случай 1

Разстоянието от центъра до две точки е равно на радиуса на окръжността, така че доказахме, че точки A и B принадлежат на окръжността.

И така, точките A и B принадлежат на правата по конструкция, принадлежат на окръжността по доказаното - окръжността и правата имат две общи точки. Нека докажем, че няма други точки (фиг. 4).

Ориз. 4. Илюстрация към доказателството

За да направите това, вземете произволна точка C на права линия и приемете, че тя лежи на окръжност - разстояние OS = r. В този случай триъгълникът е равнобедрен и неговата медиана ON, която не съвпада с отсечката OM, е височината. Получаваме противоречие: два перпендикуляра са пуснати от точка O върху права линия.

Следователно няма други общи точки на правата P с окръжността. Доказахме, че в случай, че разстоянието d е по-малко от радиуса на окръжността r, правата и окръжността имат само две общи точки.

Случай втори - разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса на окръжността (фиг. 5):

Ориз. 5. Илюстрация за случай 2

Припомнете си, че разстоянието от точка до права линия е дължината на перпендикуляра, в този случай OH е перпендикулярът. Тъй като по условие дължината OH е равна на радиуса на окръжността, то точка H принадлежи на окръжността, следователно точката H е обща за правата и окръжността.

Нека докажем, че няма други общи точки. За разлика от това: да предположим, че точка C от правата принадлежи на окръжността. В този случай разстоянието OS е равно на r, а след това OS е равно на OH. Но в правоъгълен триъгълник хипотенузата OC е по-голяма от катета OH. Имаме противоречие. Следователно предположението е невярно и няма точка, различна от H, която да е обща за правата и окръжността. Доказахме, че в този случай има само една обща точка.

Случай 3 - разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността:

Разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра. Прокарваме перпендикуляр от точка O към права P, получаваме точка H, която не лежи на окръжността, тъй като OH по условие е по-голяма от радиуса на окръжността. Нека докажем, че всяка друга точка от правата не лежи на окръжността. Това ясно се вижда от правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза OM е по-голяма от катета OH и следователно по-голяма от радиуса на окръжността, следователно точка M не принадлежи на окръжността, както всяка друга точка на правата. Доказахме, че в този случай окръжността и правата нямат общи точки (фиг. 6).

Ориз. 6. Илюстрация за случай 3

Нека помислим теорема . Да приемем, че правата AB има две общи точки с окръжността (фиг. 7).

Ориз. 7. Илюстрация към теоремата

Имаме хорда AB. Точка H, по споразумение, е средата на хордата AB и лежи върху диаметъра CD.

Необходимо е да се докаже, че в този случай диаметърът е перпендикулярен на хордата.

Доказателство:

Помислете за равнобедрен триъгълник OAB, той е равнобедрен, защото .

Точка H, по споразумение, е средата на хордата, което означава средата на медианата AB на равнобедрен триъгълник. Знаем, че медианата на равнобедрен триъгълник е перпендикулярна на основата му, което означава, че е височината: , следователно, по този начин е доказано, че диаметърът, минаващ през средата на хордата, е перпендикулярен на него.

Справедливо и обратна теорема : ако диаметърът е перпендикулярен на хордата, тогава той минава през нейната среда.

Дадена е окръжност с център O, нейният диаметър CD и хорда AB. Известно е, че диаметърът е перпендикулярен на хордата; необходимо е да се докаже, че той минава през нейната среда (фиг. 8).

Ориз. 8. Илюстрация към теоремата

Доказателство:

Помислете за равнобедрен триъгълник OAB, той е равнобедрен, защото . OH, по конвенция, е височината на триъгълника, тъй като диаметърът е перпендикулярен на хордата. Височината в равнобедрен триъгълник също е медианата, така че AN = HB, което означава, че точката H е средата на хордата AB, което означава, че е доказано, че диаметърът, перпендикулярен на хордата, минава през нейната среда.

Пряката и обратната теорема могат да бъдат обобщени по следния начин.

Теорема:

Диаметърът е перпендикулярен на хорда тогава и само ако минава през нейната средна точка.

И така, разгледахме всички случаи на взаимното разположение на линия и окръжност. В следващия урок ще разгледаме допирателната към окръжност.

Библиография

Александров А.Д. пр. Геометрия 8 клас. - М.: Образование, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. - М.: Образование, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 клас. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Edu.glavsprav.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Fmclass.ru ().

Домашна работа

Задача 1. Намерете дължините на две отсечки от хордата, на които я разделя диаметърът на окръжността, ако дължината на хордата е 16 cm и диаметърът е перпендикулярен на нея.

Задача 2. Посочете броя на общите точки на права и окръжност, ако:

а) разстоянието от правата до центъра на окръжността е 6 cm, а радиусът на окръжността е 6,05 cm;

б) разстоянието от правата до центъра на окръжността е 6,05 cm, а радиусът на окръжността е 6 cm;

в) разстоянието от правата до центъра на окръжността е 8 cm, а радиусът на окръжността е 16 cm.

Задача 3. Намерете дължината на хордата, ако диаметърът е перпендикулярен на нея и една от отсечките, отсечени от диаметъра от нея, е 2 cm.

Нека си припомним едно важно определение - определението за кръг]

определение:

Точките A, B, C, D на квадрата са на еднакво разстояние от точка E, но не са кръг (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация например

В този случай фигурата е кръг, тъй като всичко е набор от точки, еднакво отдалечени от центъра.

MB - акорд; AB - диаметър; MnB е дъга, свива се от хордата MV;

Ъгълът се нарича централен.

Точка O е центърът на окръжността.

Ориз. 2. Илюстрация например

Приемаме, че точка O не лежи на права P.

Дадени са окръжност и права линия, трябва да намерим броя на общите точки.

Случай 1 - разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса на окръжността:

Ориз. 3. Илюстрация за случай 1

Ориз. 4. Илюстрация към доказателството

Ориз. 5. Илюстрация за случай 2

Случай 3 - разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността:

Ориз. 6. Илюстрация за случай 3

Нека помислим теорема . Да приемем, че правата AB има две общи точки с окръжността (фиг. 7).

Ориз. 7. Илюстрация към теоремата

Имаме хорда AB. Точка H, по споразумение, е средата на хордата AB и лежи върху диаметъра CD.

Необходимо е да се докаже, че в този случай диаметърът е перпендикулярен на хордата.

Доказателство:

Помислете за равнобедрен триъгълник OAB, той е равнобедрен, защото .

Ориз. 8. Илюстрация към теоремата

Доказателство:

Пряката и обратната теорема могат да бъдат обобщени по следния начин.

Теорема:

Диаметърът е перпендикулярен на хорда тогава и само ако минава през нейната средна точка.

Библиография

Александров А.Д. пр. Геометрия 8 клас. - М.: Образование, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. - М.: Образование, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 клас. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Edu.glavsprav.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Fmclass.ru ().

Домашна работа

Задача 2. Посочете броя на общите точки на права и окръжност, ако:

а) разстоянието от правата до центъра на окръжността е 6 cm, а радиусът на окръжността е 6,05 cm;

б) разстоянието от правата до центъра на окръжността е 6,05 cm, а радиусът на окръжността е 6 cm;

в) разстоянието от правата до центъра на окръжността е 8 cm, а радиусът на окръжността е 16 cm.

кръг- геометрична фигура, състояща се от всички точки на равнината, разположени на дадено разстояние от дадена точка.

Тази точка (О) се нарича център на кръга.
Радиус на кръга- това е сегмент, свързващ центъра с всяка точка от окръжността. Всички радиуси имат еднаква дължина (по дефиниция).
Акорд- сегмент, свързващ две точки от окръжност. Нарича се хорда, минаваща през центъра на окръжност диаметър. Центърът на кръг е средата на произволен диаметър.
Всякакви две точки от окръжност я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъга от окръжност. Дъгата се нарича полукръг, ако отсечката, свързваща краищата му, е диаметър.
Дължината на единичен полукръг се означава с π .
Сумата от градусните мерки на две дъги на окръжност с общи краища е равна на 360º.
Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича навсякъде наоколо.
Кръгов сектор- част от окръжност, ограничена от дъга и два радиуса, свързващи краищата на дъгата с центъра на окръжността. Дъгата, която ограничава сектора, се нарича дъга на сектора.
Две окръжности с общ център се наричат концентричен.
Две окръжности, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат ортогонален.

Относителното положение на права линия и окръжност

Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса на окръжността ( г), тогава правата и окръжността имат две общи точки. В този случай линията се извиква секущапо отношение на кръга.
Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса на окръжността, то правата и окръжността имат само една обща точка. Тази линия се нарича допирателна към окръжността, а тяхната обща точка се нарича точка на допир между права и окръжност.
Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността, тогава правата линия и окръжността нямат допирни точки

Централни и вписани ъгли

Централен ъгъле ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността.
Вписан ъгъл- ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат окръжността.

Теорема за вписания ъгъл

Вписан ъгъл се измерва с половината от дъгата, върху която той се намира.

Следствие 1.
Вписаните ъгли, обхващащи една и съща дъга, са равни.

Следствие 2.
Вписан ъгъл, сключен от полукръг, е прав ъгъл.

Теорема за произведението на отсечки от пресичащи се хорди.

Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.

Основни формули

Обиколка:

C = 2∙π∙R

Дължина на кръговата дъга:

R = С/(2∙π) = D/2

Диаметър:

D = C/π = 2∙R

Дължина на кръговата дъга:

l = (π∙R) / 180∙α,
Където α - градусна мярка за дължината на кръгова дъга)

Площ на кръг:

S = π∙R 2

Площ на кръговия сектор:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение на окръжност

В правоъгълна координатна система уравнението на окръжност с радиус е rцентриран в точка ° С(x o; y o) има формата:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

Уравнението на окръжност с радиус r с център в началото има формата:

x 2 + y 2 = r 2

Учебен лист

на тема „Относителното разположение на права линия и окръжност. Относителното положение на две окръжности"

(3 часа)

ЗНАЯ:

ДА МОЖЕТЕ ДА:

Условия за взаимното разположение на права и окръжност;

Определяне на секуща и допирателна към окръжност;

Свойства на допирателна към окръжност;

Теорема за перпендикулярността на диаметъра и хордата и нейната обратна;

Условия за взаимното разположение на две окръжности;

Дефиниция на концентрични окръжности.

Начертайте допирателна към окръжността;

Използвайте свойствата на допирателната при решаване на задачи;

Решават задачи с помощта на теоремата за перпендикулярността на диаметъра и хордата;

Решаване на задачи за условията на взаимното разположение на права и окръжност и две окръжности.

В резултат на изучаването на темата се нуждаете от:

Литература:

2. Геометрия. 7 клас. , . Алмати "Атамура". 2012 г

3. Геометрия. 7 клас. Методическо ръководство. . Алмати "Атамура". 2012 г

4. Геометрия. 7 клас. Дидактически материал. . Алмати "Атамура". 2012 г

5. Геометрия. 7 клас. Сборник задачи и упражнения. , . Алмати "Атамура". 2012 г

Придобиването на знания е смелост,

Да ги умножиш е мъдрост,

А умелото им прилагане е голямо изкуство.

Не забравяйте, че трябва да работите според алгоритъма.

Не забравяйте да преминете през проверката, да правите бележки в полетата и да попълните листа за оценка на темата.

Моля, не оставяйте въпроси, които имате без отговор.

Бъдете обективни по време на партньорската проверка, това ще помогне както на вас, така и на лицето, което проверявате.

Пожелавам ти успех!

УПРАЖНЕНИЕ 1

1) Помислете заотносителна позиция на права линия и окръжност и попълнете таблицата (3b):

Случай 1: Правата линия няма нито една обща точка с окръжността (не се пресичат)

а https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">

Случай 2 : Правата и окръжността имат само една обща точка (докосват се)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">

Случай 3: Правата линия има две общи точки с окръжност (пресичат се)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image005_61.gif" width="45" height="17">

2) Прочетете определенията, теоремите, следствията и ги научете (5b):

определение: Права, която има две общи точки с окръжност, се нарича секуща

Определение : Нарича се права линия, която има само една обща точка с окръжност и е перпендикулярна на радиуса допирателна към окръжността.

https://pandia.ru/text/80/248/images/image007_19.jpg" align="left" width="127" height="114 src="> Следствие 4: Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността, тогава правата линия не пресича окръжността.

Теорема 4:

Отсечките от допирателни към окръжност, изтеглени от една точка, са равни и сключват равни ъгли с права линия, минаваща през тази точка и центъра на окръжността.

3) Отговорете на въпроси (3b):

1) Как права линия и окръжност могат да бъдат разположени на равнина?

2) Може ли права линия да има три общи точки с окръжност?

3) Как се начертава допирателна към окръжност през точка, разположена върху окръжността?

4) Колко допирателни могат да бъдат начертани към окръжност през точка:

а) лежи върху кръг;

б) лежащ вътре в кръга;

в) лежащи извън кръга?

5) Дадени са окръжност ω (O; r) и точка A, разположена вътре в окръжността. Колко пресечни точки ще има: а) права OA; б) лъч ОА; в) сегмент OA?

6) Как да разделя хорда на кръг наполовина?

ПРЕМИНАВА ПРОВЕРКА № 1

ЗАДАЧА 2

1) Прочетете текста и разгледайте снимките. Направете рисунки в тетрадката си, запишете заключенията си и ги научете (3b):

Нека разгледаме възможните случаи на взаимно разположение на два кръга. Относителното положение на два кръга е свързано с разстоянието между техните центрове.

Пресичащи се кръгове: два кръга пресичат се,ако имат две общи точки.Позволявам R1 И R2 – радиуси на окръжности ω 1 И ω 2 , д Кръгове ω1 И ω2 се пресичат тогава и само ако числата R1, Р 2, д са дължините на страните на даден триъгълник, т.е. те удовлетворяват всички неравенства на триъгълника:

R1 + R2> д, R1+ д> R2, Р 2 + д> R1.

Заключение:Ако R1 + R2> д или|R1−R2| < д, тогава кръговете се пресичат в две точки.

Допирателни окръжности: два кръга загриженост,ако имат една обща точка.Имат обща допирателна А. Позволявам R1 И R2 – радиуси на окръжности ω 1 И ω 2 , д – разстоянието между центровете им.

Кръговете се докосват външно, ако се намират

един извън друг. Когато се допират външно, центровете на окръжностите лежат на противоположните страни на общата им допирателна. Кръгове ω1 И ω2 докосване външно, ако и само ако R1+ R2= д.

Кръговете се докосват вътрешно, ако единият от тях се намира вътре в другия. Когато се допират външно, центровете на окръжностите лежат от едната страна на общата им допирателна. Кръгове ω1 И ω2 докосвайте вътрешно, ако и само ако |R1−R2|=д.

Заключение:Ако R1 + R2 = д или|R1−R2|=д , тогава окръжностите се докосват в една обща точка, лежаща на права, минаваща през центровете на окръжностите.

Непресечни кръгове:два кръга не се пресичат, ако те нямат допирни точки. В този случай единият от тях лежи вътре в другия или лежат един извън друг.

Позволявам R1 И R2 – радиуси на окръжности ω 1 И ω 2 , д – разстоянието между центровете им.

кръг ω 1 И ω2 са разположени един извън друг тогава и само ако R1 + R2 < д . кръг ω1лежи вътре ω2тогава и само когато |R1−R2| > д .

Заключение:Ако R1 + R2< д или|R1−R2| > д, тогава кръговете не се пресичат.

Контролна работа" href="/text/category/proverochnie_raboti/" rel="bookmark">контролна работа №1.

ЗАДАЧА 4

1) Решете дали да изберете четни или нечетни задачи (2б.):

1. Посочете броя на общите точки на права и окръжност, ако:

а) разстоянието от правата до центъра на окръжността е 6 cm, а радиусът на окръжността е 7 cm;

б) разстоянието от правата до центъра на окръжността е 7 cm, а радиусът на окръжността е 6 cm;

в) разстоянието от правата до центъра на окръжността е 8 cm, а радиусът на окръжността е 8 cm.

2. Определете взаимното разположение на правата и окръжността, ако:

1. R=16см, d=12см; 2. R=8 см, d=1,2 дм; 3. R=5см, d=50мм

3. Каква е относителната позиция на кръговете, ако:

d = 1dm, R1 = 0,8dm, R2 = 0,2dm

d = 40cm, R1 = 110cm, R2 = 70cm

d = 12cm, R1 = 5cm, R2 = 3cm

d = 15dm, R1 = 10dm, R2 = 22cm

4. Посочете броя на точките на взаимодействие на две окръжности по радиус и по разстоянието между центровете:

а) R = 4 cm, r = 3 cm, OO1 = 9 cm; б) R = 10 cm, r = 5 cm, ОО1 = 4 cm

в) R = 4 cm, r = 3 cm, OO1 = 6 cm; г) R = 9 cm, r = 7 cm, OO1 = 4 cm.

1. Намерете дължините на две отсечки от хордата, на които я разделя диаметърът на окръжността, ако дължината на хордата е 16 cm и диаметърът е перпендикулярен на нея.

2. Намерете дължината на хордата, ако диаметърът е перпендикулярен на нея и една от отсечките, отсечени от диаметъра от нея, е 2 cm.

3) Изпълнете четни или нечетни строителни задачи (2b):

1. Построете две окръжности с радиуси 2 cm и 4 cm, като разстоянието между центровете им е нула.

2. Начертайте два кръга с различни радиуси (3 cm и 2 cm), така че да се допират. Отбележете разстоянието между центровете им с отсечка. Обмислете възможностите си.

3. Построете окръжност с радиус 3 cm и права линия, разположена на разстояние 4 cm от центъра на окръжността.

4. Построете окръжност с радиус 4 cm и права линия, разположена на разстояние 2 cm от центъра на окръжността.

ПРЕМИНАВА ПРОВЕРКА № 4

ЗАДАЧА 5

Много добре! Можете да започнете тестова работа №2.

ЗАДАЧА 6

1) Намерете грешка в твърдението и я поправете, като обосновете мнението си. Изберете произволни две твърдения (4b.): A) Две окръжности се докосват външно. Техните радиуси са равни на R = 8 cm и r = 2 cm, разстоянието между центровете е d = 6.
Б) Две окръжности имат поне три общи точки.
B) R = 4, r = 3, d = 5. Окръжностите нямат общи точки.
D) R = 8, r = 6, d = 4. По-малкият кръг се намира вътре в по-големия.
Г) Два кръга не могат да бъдат разположени така, че единият да е вътре в другия.

2) Решете дали да изберете четни или нечетни задачи (66.):

1. Две окръжности се допират. Радиусът на по-голямата окръжност е 19 cm, а радиусът на малката окръжност е с 4 cm по-малък. Намерете разстоянието между центровете на окръжностите.

2. Две окръжности се допират. Радиусът на по-голямата окръжност е 26 см, а радиусът на малката окръжност е 2 пъти по-малък. Намерете разстоянието между центровете на окръжностите.

3. Вземете две точки дИ Етака че DF = 6 см. Начертайте два кръга (D, 2 см)И (F, 3 см).Как са разположени тези два кръга един спрямо друг? Направи заключение.

4. Разстояние между точките АИ INравно на 7 смНачертайте кръгове с центрове в точки АИ IN, радиуси, равни на 3 смИ 4 см. Как са подредени кръговете? Направи заключение.

5. Между две концентрични окръжности с радиуси 4 cm и 8 cm е разположена трета окръжност, така че да докосва първите две окръжности. Какъв е радиусът на тази окръжност?

6. Окръжности с радиуси 6 cm и 2 cm се пресичат. Освен това по-големият кръг минава през центъра на по-малкия кръг. Намерете разстоянието между центровете на окръжностите.

ПРЕМИНЕТЕ ТЕСТ №6

Контролна работа №1

Изберете един от тестовите варианти и решете (10 въпроса, по 1 точка за всеки):

1 вариант

А) хорда; Б) диаметър;

В) секуща; Г) допирателна.

2. През точка, лежаща на окръжност, можете да начертаете …….. допирателни

Единствен; Б) две;

3. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата е по-малко от дължината на радиуса на окръжността, то правата...

Г) няма верен отговор.

4. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата е по-голямо от радиуса на окръжността, то правата...

А) докосва кръга в една точка; Б) пресича окръжността в две точки;

В) не се пресича с окръжността;

Г) няма верен отговор.

5. Кръговете не се пресичат или докосват, ако...

а) R1+ R2= д; IN) R1+ R2< д;

С) R1+ R2> д; Д) d = 0.

6. Допирателна и радиус, начертани в точката на допиране...

А) успоредни; Б) перпендикулярна;

В) съвпадат; Г) няма верен отговор.

7. Кръговете се допират външно. Радиусът на по-малката окръжност е 3 см, радиусът на по-голямата окръжност е 5 см. Какво е разстоянието между центровете?

8. Каква е относителната позиция на две окръжности, ако разстоянието между центровете е 4 и радиусите са 11 и 7:

9. Какво може да се каже за относителното положение на правата и окръжността, ако диаметърът на окръжността е 7,2 cm, а разстоянието от центъра на окръжността до правата е 0,4 dm:

10. Дадена е окръжност с център O и точка A. Къде се намира точка A, ако радиусът на окръжността е 7 cm и дължината на отсечката OA е 70 mm?

А) вътре в кръга; Б) върху кръг.

В) извън кръга; Г) няма верен отговор.

Вариант 2

1. Права, която има само една обща точка с окръжност и е перпендикулярна на радиуса, се нарича...

А) хорда; Б) диаметър;

В) секуща; Г) допирателна.

2. От точка, която не лежи на окръжността, можете да начертаете ...... допирателни към окръжността

Единствен; Б) две;

В) няма; Г) няма верен отговор.

3. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса на окръжността, тогава правата линия

А) докосва кръга в една точка; Б) пресича окръжността в две точки;

В) не се пресича с окръжността;

Г) няма верен отговор.

4. Окръжностите се пресичат в две точки, ако...

а) R1+ R2= д; IN) R1+ R2< д;

С) R1+ R2> д; Д) d = 0 .

5. Кръговете се докосват в една точка, ако...

а) R1+ R2= д; IN) R1+ R2< д;

С) R1+ R2> д; Д) d = 0 .

6. Окръжностите се наричат концентрични, ако...

а) R1+ R2= д; IN) R1+ R2< д;

С) R1+ R2> д; Д) d = 0 .

7. Кръговете се допират вътрешно. Радиусът на по-малката окръжност е 3 см. Колко е разстоянието между центровете на окръжностите?

А) 8 см; B) 2 s m; В) 15 см; Г) 3 см.

8. Каква е относителната позиция на две окръжности, ако разстоянието между центровете е 10 и радиусите са 8 и 2:

А) външен допир; Б) вътрешно докосване;

В) пресичат се; Г) не се пресичат.

9. Какво може да се каже за относителното положение на линията и окръжността, ако диаметърът на окръжността е 7,2 cm, а разстоянието от центъра на окръжността до правата е 3,25 cm:

А) докосване; Б) не се пресичат.

В) пресичат се; Г) няма верен отговор.

10. Дадена е окръжност с център O и точка A. Къде се намира точка A, ако радиусът на окръжността е 7 cm, а дължината на отсечката OA е 4 cm?

А) вътре в кръга;

Б) върху кръг.

В) извън кръга;

Г) няма верен отговор.

Оценка: 10 точки. – “5”, 9 - 8 б. – „4“, 7 – 6 б. – „3“, 5 б. и отдолу – „2“

Контролна работа №2

1) Попълнете таблицата. Изберете една от опциите (6b):

а) относителна позиция на две окръжности:

б) относително положение на правата и окръжността:

2) Решете една задача по избор (2б.):

1. Намерете дължините на два сегмента от хордата, на които се разделя диаметърът на окръжността й, ако дължината на хордата е 0,8 dm и диаметърът е перпендикулярен на нея.

2. Намерете дължината на хордата, ако диаметърът е перпендикулярен на нея и една от отсечките, отсечени от диаметъра от нея, е равна на 0,4 dm.

3) Решете една задача по избор (2b):

1. Построете окръжности, чието разстояние между центровете е по-малко от разликата в радиусите им. Маркирайте разстоянието между центровете на кръга. Направи заключение.

2. Построете окръжности, чието разстояние между центровете е равно на разликата в радиусите на тези окръжности. Маркирайте разстоянието между центровете на кръга. Направи заключение.

Оценка: 10 - 9 точки. – “5”, 8 - 7 б. – “4”, 6 - 5 б. – „3“, 4 б. и отдолу – „2“

Нека вземем произволна окръжност с център в точка O и права линия a.
Ако права a минава през точка O, то тя ще пресича дадената окръжност в две точки K и L, които са краищата на диаметъра, лежащ на права a.

Ако права линия a не минава през центъра O на окръжността, тогава ще извършим спомагателна конструкция и ще начертаем права линия ОХперпендикулярно на права линия аи означават полученото разстояние от центъра на окръжността до правата линия апроменливо разстояние. Нека определим колко общи точки ще има правата аи кръгове в зависимост от връзката между променливата rasstoyanie и радиуса.
Може да има 3 опции:

разстояние < радиус. В този случай точката зще лежи в средата на кръга, който е ограничен от дадения кръг.

Нека поставим отсечка на права линия HD = rадиус.

В OHD хипотенузата O.D.повече крак HD, Ето защо OD > rадиус. Следователно точката длежи извън кръга, ограничен от дадения кръг. Единият край на сегмента HDе в средата на кръга, а другият е извън кръга. По този начин, на сегмента HDможете да маркирате точка А, която лежи на окръжността, т.е OA = rадиус.

Нека удължим гредата Х.А.и поставете сегмент върху него BH, което е равно на сегмента АН.

Получени 2 правоъгълни триъгълника ОХАИ OHB, които са равни на два крака. Тогава съответните им страни са равни: OB = OA = r. следователно бе и общата точка на окръжност и права. Тъй като 3 точки от окръжност не могат да лежат на една права, тогава други общи точки на правата аи кръгове не съществуват.
Така, ако разстоянието между центъра на окръжността и правата линия е по-малко от радиуса на окръжността ( разстояние < r адиус), то правата и окръжността имат 2 общи точки.

разстояние= rадиус . Тъй като OH = rадиус, след това точка зпринадлежи на окръжността и следователно е обща точка за правата аи кръгове.

За всякакви други точки на линията а(например точки и М) косо ОМоще сегмент ОХ, това е OM > OH = rадиус, и следователно точката Мне принадлежи към дадения кръг.
Следователно, ако разстоянието между центъра на окръжността и правата линия е равно на радиуса на окръжността ( разстояние= rадиус), тогава правата и окръжността имат само една обща точка.

разстояние>rадиус . Тъй като OH > радиус, тогава за всякакви точки от правата а(например точки М) неравенството е в сила OM > OH > rадиус. Така че точката Мне принадлежи на кръга.

Следователно, ако разстоянието между центъра на окръжността и правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността ( разстояние>rадиус), то правата и окръжността нямат общи точки.