За да разберем тази тема, нека разгледаме функция, изобразена на графика // Нека покажем как графика на функция ви позволява да определите нейните свойства.
Нека да разгледаме свойствата на функция, използвайки пример
Областта на дефиниране на функцията е обхват [ 3,5; 5.5].
Диапазонът от стойности на функцията е обхват [ 1; 3].
1. При x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5 стойността на функцията е нула.
Стойността на аргумента, при която стойността на функцията е нула, се нарича функция нула.
// тези. за тази функция числата са -3;-1;1.5; 4,5 са нули.
2. На интервали [ 4.5; 3) и (1; 1.5) и (4.5; 5.5] графиката на функцията f е разположена над абсцисната ос, а в интервалите (-3; -1) и (1.5; 4.5) под абсцисната ос това се обяснява по следния начин: на интервалите [ 4.5; 3) и (1; 1.5) и (4.5; 5.5) функцията приема положителни стойности, а на интервалите (-3; -1) и ( 1.5; 4.5) отрицателни.
Всеки от посочените интервали (където функцията приема стойности с един и същи знак) се нарича интервал на постоянен знак на функцията f.//т.е. например, ако вземем интервала (0; 3), тогава той не е интервал с постоянен знак за тази функция.
В математиката, когато се търсят интервали с постоянен знак на функция, е обичайно да се посочват интервали с максимална дължина. // Тези. интервалът (2; 3) е интервал на постоянство на знакафункция f, но отговорът трябва да включва интервала [ 4.5; 3), съдържащи интервала (2; 3).
3. Ако се движите по оста x от 4,5 до 2, ще забележите, че графиката на функцията отива надолу, т.е. стойностите на функцията намаляват. //В математиката е прието да се казва, че на интервала [ 4.5; 2] функцията намалява.
Когато х нараства от 2 до 0, графиката на функцията върви нагоре, т.е. стойностите на функцията се увеличават. //В математиката е прието да се казва, че на интервала [ 2; 0] функцията нараства.
Функция f се извиква, ако за всеки две стойности на аргумента x1 и x2 от този интервал, така че x2 > x1, е изпълнено неравенството f (x2) > f (x1). // или се извиква функцията нараства през определен интервал, ако за някакви стойности на аргумента от този интервал по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията.//т.е. колкото повече x, толкова повече y.
Извиква се функцията f намаляващи през определен интервал, ако за всеки две стойности на аргумента x1 и x2 от този интервал, така че x2 > x1, неравенството f(x2) намалява на някакъв интервал, ако за всякакви стойности на аргумента от този интервал по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малката стойност на функцията. // тези. колкото повече x, толкова по-малко y.
Ако дадена функция нараства в цялата област на дефиниция, тогава тя се извиква нарастваща.
Ако дадена функция намалява в цялата област на дефиниция, тогава тя се извиква намаляващи.
Пример 1.графика съответно на нарастващи и намаляващи функции.
Пример 2.
Дефинирайте явлението. Линейната функция f(x) = 3x + 5 нараства или намалява?
Доказателство. Нека използваме дефинициите. Нека x1 и x2 са произволни стойности на аргумента и x1< x2., например х1=1, х2=7
Разделът съдържа справочен материал за основните елементарни функции и техните свойства. Дадена е класификация на елементарните функции. По-долу има връзки към подсекции, които обсъждат свойствата на конкретни функции - графики, формули, производни, първоизводни (интеграли), разширения на редове, изрази чрез комплексни променливи.
Референтни страници за основни функции
Класификация на елементарни функции
Алгебрична функцияе функция, която удовлетворява уравнението:
,
където е полином в зависимата променлива y и независимата променлива x.
,
Може да се запише като:
където са полиноми.
Алгебричните функции се делят на полиноми (цели рационални функции), рационални функции и ирационални функции.Цялата рационална функция , което се нарича ощеполином илиполином
.
, се получава от променливата x и краен брой числа с помощта на аритметичните операции събиране (изваждане) и умножение. След отваряне на скобите полиномът се редуцира до канонична форма:Дробна рационална функция , или просторационална функция
,
, се получава от променливата x и краен брой числа с помощта на аритметичните операции събиране (изваждане), умножение и деление. Рационалната функция може да се сведе до формата
където и са полиноми.Ирационална функция
.
е алгебрична функция, която не е рационална. По правило ирационална функция се разбира като корени и техните композиции с рационални функции. Корен от степен n се определя като решение на уравнението
.
Той се обозначава, както следва:Трансцендентални функции
се наричат неалгебрични функции. Това са експоненциални, тригонометрични, хиперболични и техните обратни функции.
Всички елементарни функции могат да бъдат представени като краен брой операции събиране, изваждане, умножение и деление, извършвани върху израз от формата:
z t
Обратните функции също могат да бъдат изразени чрез логаритми. Основните елементарни функции са изброени по-долу.
Функция мощност:
y(x) = x p,
където p е степента. Зависи от основата на степен х.
Обратната на степенната функция също е степенна функция:
.
За целочислена неотрицателна стойност на показателя p, това е полином. За цяло число p - рационална функция. С рационално значение – ирационална функция.
Трансцендентални функции
Експоненциална функция:
y(x) = a x,
където a е основата на степента. Зависи от показателя x.
Обратната функция е логаритъм по основа а:
x = log a y.
Експонента, e на степен x:
y(x) = e x,
Това е експоненциална функция, чиято производна е равна на самата функция:
.
Основата на експонентата е числото e:
≈ 2,718281828459045...
.
Обратната функция е натурален логаритъм - логаритъм при основата на числото e:
x = ln y ≡ log e y.
Тригонометрични функции:
Синус: ;
Косинус: ;
Тангенса: ;
Котангенс: ;
Тук i е въображаемата единица, i 2 = -1.
Обратни тригонометрични функции:
Аркуссинус: x = arcsin y,
;
Аркосинус: x = arccos y,
;
Арктангенс: x = арктан y,
;
Аркутангенс: x = arcctg y,
.
Граници и приемственост
Комплекти
Под многосе разбира като съвкупност от еднородни обекти. Обектите, които образуват множество, се наричат елементиполином точкиот това множество. Множествата се означават с главни букви, а техните елементи с малки букви. Ако ае елемент от множеството А, тогава записът се използва аÎ А. Ако bне е елемент от множеството А, тогава се пише така: b Ï А. Множество, което не съдържа нито един елемент, се нарича празно множество и се обозначава по следния начин: Ø.
Ако наборът бсе състои от част от елементите на комплекта Аили съвпада с него, тогава множеството бнаречен подмножествомножества и означават бÌ А.
Двата комплекта се наричат равен, ако се състоят от едни и същи елементи.
Асоциациядва комплекта Аи бнаречен набор В, състоящ се от всички елементи, принадлежащи към поне едно от множествата: В=АÈ б.
Чрез пресичанедва комплекта Аи бнаречен набор В, състоящ се от всички елементи, принадлежащи на всяко от тези множества: В=АÇ б.
По разликакомплекти Аи бнаречен набор д А, които не принадлежат към множеството б: .
добавкакомплекти АÌ бнаречен набор В, състоящ се от всички елементи на комплекта б, непринадлежност А.
Множества, чиито елементи са реални числа, се наричат числови:
В същото време НÌ ЗÌ QÌ Р, азÌ Ри Р=азÈ Q.
много X, чиито елементи удовлетворяват неравенството се нарича сегмент(сегмент) и се означава с [ а; b]; неравенство а<х<b – интервали се означава с (); неравенства и - полуинтервалии се означават съответно с и. Също така често трябва да се справяте с безкрайни интервали и полуинтервали: , , и . Удобно е да ги извикате всички на интервали .
Интервал, т.е. набор от точки, удовлетворяващи неравенството (където ), се нарича -околност на точката а.
Понятието функция. Основни свойства на функция
Ако всеки елемент хкомплекти Xединичен елемент е съпоставен гкомплекти Y, тогава казват, че на снимачната площадка Xдадено функция г=f(х). В същото време хнаречен независима променливаполином аргумент, А г – зависима променливаполином функция, А fобозначава закона за съответствието. много Xнаречен област на дефиницияфункции и набор Y – диапазон от стойностифункции.
Има няколко начина за указване на функции.
1) Аналитичен метод – функцията се задава с формула на вида г=f(х).
2) Табличен метод - функцията се определя от таблица, съдържаща стойностите на аргумента и съответните стойности на функцията г=f(х).
3) Графичен метод – изобразяване на графика на функция, т.е. набор от точки ( х; г) координатна равнина, чиито абсцисите представляват стойностите на аргумента, а ординатите представляват съответните стойности на функцията г=f(х).
4) Словесен способ – функцията се описва с правилото за нейния състав. Например функцията на Дирихле приема стойност 1 ако хе рационално число и 0 ако х– ирационално число.
Разграничават се следните основни свойства на функциите.
1 Четно и нечетнофункция г=f(х) се нарича даже, ако за някакви стойности хот неговата област на дефиниране е удовлетворено f(–х)=f(х), И странно, Ако f(–х)=–f(х). Ако нито едно от изброените равенства не е изпълнено, тогава г=f(х) се нарича обща функция. Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста Ой, а графиката на нечетната функция е симетрична спрямо началото.
2 Монотонностфункция г=f(х) се нарича нарастваща (намаляващи) на интервала X, ако по-голяма стойност на аргумент от този интервал съответства на по-голяма (по-малка) стойност на функция. Нека х 1 ,х 2 Î X, х 2 >х 1. След това функцията нараства на интервала X, Ако f(х 2)>f(х 1) и намалява, ако f(х 2)<f(х 1).
Наред с нарастващи и намаляващи функции се разглеждат ненамаляващи и ненарастващи функции. Функцията се извиква ненамаляващ (ненарастващ), ако при х 1 ,х 2 Î X, х 2 >х 1 неравенство е в сила f(х 2)≥f(х 1) (f(х 2)≤f(х 1)).
Нарастващи и намаляващи функции, както и ненарастващи и ненамаляващи функции се наричат монотонни.
3 Ограниченфункция г=f(х) се нарича ограничен на интервала X, ако има такова положително число М>0, какво | f(х)|≤Мза всеки хÎ X. В противен случай се казва, че функцията е неограничена X.
4 Честотафункция г=f(х) се нарича периодичен с период Т≠0, ако има такива хот областта на функцията f(х+Т)=f(х). По-нататък под период имаме предвид най-малкия положителен период на функция.
Функцията се извиква изрично, ако е дадено с формула от вида г=f(х). Ако функцията е дадена от уравнението Е(х, г)=0, не е позволено спрямо зависимата променлива г, тогава се нарича имплицитно.
Нека г=f(х) е функция на независимата променлива, дефинирана в множеството Xс обхват Y. Нека съпоставим всеки един гÎ Yедно значение хÎ X, при което f(х)=г.Тогава получената функция х=φ (г), определени на множеството Yс обхват X, наречена обратени е обозначен г=f –1 (х). Графиките на взаимно обратните функции са симетрични спрямо ъглополовящата на първата и третата координатна четвърт.
Нека функцията г=f(u) е функция на променлива u, определени на множеството Uс обхват Yи променливата uна свой ред е функция u=φ (х), определени на множеството Xс обхват U. След това дадено на снимачната площадка Xфункция г=f(φ (х)) се нарича сложна функция(състав на функции, суперпозиция на функции, функция на функция).
Елементарни функции
Основните елементарни функции включват:
- степенна функция г=x n; г=x–nи г=х 1/ п;
- експоненциална функция г=a x;
- логаритмична функция г=дневник a x;
- тригонометрични функции г= грях х, г=cos х, г=tg хи г=ctg х;
- обратни тригонометрични функции г= arcsin х, г=arccos х, г=arctg хи г=arcctg х.
От основните елементарни функции могат да се получат нови функции с алгебрични операции и суперпозиция на функции.
Функциите, конструирани от основни елементарни функции с помощта на краен брой алгебрични операции и краен брой операции на суперпозиция, се наричат елементарен.
Алгебричнае функция, в която върху аргумента се извършват краен брой алгебрични операции. Алгебричните функции включват:
· цяла рационална функция (полином или полином)
· дробно-рационална функция (отношение на два полинома)
· ирационална функция (ако операциите върху аргумента включват извличане на корена).
Извиква се всяка неалгебрична функция трансцендентален. Трансценденталните функции включват експоненциални, логаритмични, тригонометрични и обратни тригонометрични функции.
Руска гимназия
РЕЗЮМЕ
Завършено
ученик от 10 клас „F” Бурмистров Сергей
Надзирател
Учител по математика
Юлина О.А.
Нижни Новгород
Функция и нейните свойства
функция-променлива зависимост приот променлива х , ако всяка стойност Xсъответства на една единствена стойност при .
Променлива x-независима променлива или аргумент.
Променлива y-зависима променлива
Функционална стойност-значение при, отговаряща на посочената стойност X .
Обхватът на функцията евсички стойности, които независимата променлива приема.
Функционален диапазон (набор от стойности) -всички стойности, които функцията приема.
Функцията е дори-ако за някой X f(x)=f(-x)
Функцията е странна-ако за някой Xот областта на дефиниране на функцията равенството f(-x)=-f(x)
Увеличаване на функцията-ако има х 1и х 2,такова, че х 1
<
х 2, неравенството е в сила е(
х 1
)
Намаляваща функция-ако има х 1и х 2,такова, че х 1 < х 2, неравенството е в сила е( х 1 )>f( х 2 )
Методи за задаване на функция
¨ За да дефинирате функция, трябва да укажете начин, по който за всяка стойност на аргумента може да бъде намерена съответната стойност на функцията. Най-често срещаният начин за указване на функция е използването на формула при =f(x), Къде f(x)-израз с променлива X. В този случай те казват, че функцията е дадена с формула или че функцията е дадена аналитично.
¨ На практика се използва често табличенначин за указване на функция. С този метод се предоставя таблица, указваща стойностите на функцията за стойностите на аргументите, налични в таблицата. Примери за таблични функции са таблица с квадрати и таблица с кубове.
Видове функции и техните свойства
1) Постоянна функция-функция, дадена с формула y= b , Къде б-някакво число. Графиката на константната функция y=b е права линия, успоредна на абсцисната ос и минаваща през точката (0;b) на ординатната ос
2) Пряка пропорционалност -функция, дадена с формула y= kx , където k¹0. Номер кнаречен фактор на пропорционалност .
Функционални свойства y=kx :
1. Домейнът на функция е множеството от всички реални числа
2. y=kx- странна функция
3. При k>0 функцията нараства, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейна функция-функция, която се дава с формулата y=kx+b, Къде ки b - реални числа. Ако по-специално k=0, тогава получаваме постоянна функция y=b; Ако b=0, тогава получаваме права пропорционалност y=kx .
Функционални свойства y=kx+b :
1. Домейн – множеството от всички реални числа
2. Функция y=kx+bобща форма, т.е. нито четно, нито нечетно.
3. При k>0 функцията нараства, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиката на функцията е прав .
4)обратна пропорционалност-функция, дадена с формула y=k /X,където k¹0 Число кнаречен коефициент на обратна пропорционалност.
Функционални свойства y=k / х:
1. Домейн - множеството от всички реални числа без нула
2. y=k / х - странна функция
3. Ако k>0, тогава функцията намалява на интервала (0;+¥) и на интервала (-¥;0). Ако к<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Графиката на функцията е хипербола .
5)функция y=x2
Функционални свойства y=x2:
2. y=x2 - дори функция
3. На интервала функцията намалява
Графиката на функцията е парабола .
6)функция y=x 3
Функционални свойства y=x 3:
1. Област на дефиниция - цялата числова ос
2. y=x 3 - странна функция
3. Функцията нараства по цялата числова ос
Графиката на функцията е кубична парабола
7)Степенна функция с естествен показател -функция, дадена с формула y=xn, Къде п- естествено число. Когато n=1 получаваме функцията y=x, нейните свойства са разгледани в параграф 2. За n=2;3 получаваме функциите y=x 2 ; y=x 3 . Техните свойства са обсъдени по-горе.
Нека n е произволно четно число, по-голямо от две: 4,6,8... В този случай функцията y=xnима същите свойства като функцията y=x 2. Графиката на функцията прилича на парабола y=x 2, само че клоновете на графиката за |x|>1 се издигат по-стръмно, колкото по-голямо е n, а за |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Нека n е произволно нечетно число, по-голямо от три: 5,7,9... В този случай функцията y=xnима същите свойства като функцията y=x 3 . Графиката на функцията прилича на кубична парабола.
8)Степенна функция с цяло отрицателно число -функция, дадена с формула y=x -n , Къде п- естествено число. За n=1 получаваме y=1/x; свойствата на тази функция са обсъдени в параграф 4.
Нека n е нечетно число, по-голямо от едно: 3,5,7... В този случай функцията y=x -nима основно същите свойства като функцията y=1/x.
Нека n е четно число, например n=2.
Функционални свойства y=x -2 :
1. Функцията е дефинирана за всички x¹0
2. y=x -2 -дори функция
3. Функцията намалява с (0;+¥) и нараства с (-¥;0).
Всички функции с дори n по-голямо от две имат същите свойства.
9)функция y= Ö X
Функционални свойства y= Ö X :
1. Област на дефиниция - лъч)