Цилиндърът е тяло, състоящо се от две окръжности, които не лежат в една равнина и са комбинирани чрез успоредна транслация, и всички сегменти, свързващи съответни точкитези кръгове (фиг. 1).
Два кръга, разположени вътре успоредни равнини, се наричат основи на цилиндъра. Отсечките, свързващи съответните точки от обиколките на окръжностите, се наричат образуващи.
Тъй като основите са комбинирани чрез паралелен трансфер, те са равни. И тъй като лежат в успоредни равнини, образуващите на цилиндъра са успоредни и равни.
Ако генераторите са перпендикулярни на основата, тогава цилиндърът се нарича прав.
Повърхността на цилиндъра се състои от две основи и странична повърхност. Страничната повърхност се състои от генератори.
Оста на цилиндъра е права линия, минаваща през центровете на основите. Радиусът на цилиндър е радиусът на неговата основа. А височината на цилиндъра е разстоянието между равнините на основите му.
Сечение на цилиндър с равнини
Ако вземем напречно сечение на цилиндър с равнина, минаваща по оста му, получаваме правоъгълник. (фиг. 1) Този участък се нарича аксиален. Напречното сечение на цилиндър с равнина, успоредна на оста му, също е правоъгълник. Двете му страни са образуващи на цилиндъра, а другите две страни са успоредни хорди на основите.
Теорема. Равнината на напречното сечение на цилиндъра, успоредна на неговата основна равнина, го пресича странична повърхностоколо обиколката, равен кръгоснования. (фиг.1.1)
Нека равнината α е секуща равнина, успоредно на основата. Нека подложим равнината α на движение нагоре по оста на цилиндъра. Паралелен трансфернека съчетаем равнина α с равнината на горната основа на цилиндъра. Така напречното сечение на страничната повърхност ще съвпадне с обиколката на горната основа. Теоремата е доказана.
Цели:
- Изведете формули за изчисляване на повърхността на цилиндър и покажете тяхното приложение в процеса на решаване на проблеми.
- Подобрете уменията за решаване на проблеми.
- Развитие на пространствено мислене, устно и писмено математическа реч, умения за самостоятелна работа.
- Възпитание познавателни интереси, увереност в общуването, непринуденост.
ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА
I. Организационен момент.
Информирайте темата на урока, формулирайте цели.
II. Актуализиране на знанията на учениците.
Теоретичен преглед:
Какво е цилиндър? Как мога да го получа?
Какво е раздел? Какви напречни сечения може да има един цилиндър?
Защо ъгълът е равенмежду равнината на основата на цилиндъра и равнината, минаваща през образуващата на цилиндъра?
Какво е напречното сечение на цилиндър с равнина, успоредна на неговата образуваща?
Преглед домашна работа: № 524. Аксиалните сечения на двата цилиндъра са равни (фиг. 1). Еднакви ли са височините на тези цилиндри?
Отговор: не, не са равни.
III. Изучаване на нова тема.
Дадено: Прав цилиндър (фиг. 2).
Намерете: повърхността на цилиндъра.
Учителят: Нека мислено разрежем цилиндъра по образуващата AB и h разгънем повърхността на цилиндъра, получаваме развитието на цилиндъра (фиг. 3).
Как мислите, че можете да намерите повърхността на цилиндър? Изслушайте решенията, изберете най-удачното от предложените и запишете решението в тетрадките и на дъската.
1. Основна площ 
кръг
2. Площ на страничната повърхност.
3. 
Числото на Архимед.
Квадрат пълна повърхностцилиндър (фиг. 3) 
IV. Затвърдяване на изучения материал.
1. Практическа задача(учениците работят по двойки).
Учителят раздава на учениците разработки на цилиндри с различни размери. Направете необходимите измервания и изчислете:
А) основна площ;
Б) странична повърхност;
Б) обща повърхност;
След приключване на работата си учениците разменят тетрадки с приятели от съседния чин за взаимна проверка. Оценките се докладват на учителя.
2. Фронтална работа.
Две цилиндрични части са покрити със слой никел с еднаква дебелина. Височината на първата част е 2 пъти по-голяма от височината на втората, но радиусът на основата й е половината от радиуса на основата на втората част. Коя част използва повече никел?
Проблемът се обсъжда, очертава се план за решаване на проблема. Слабите ученици изпълняват едновременно с ученика, разрешаване на проблемна черната дъска. Силните работят самостоятелно. Кой ще реши по-бързо?
Дадени: 2 цилиндъра; h 1 =2h 2, r 2 =2r 1.
Кой цилиндър използва повече никел?
S 1 =2Pr 1 (h 1 +r 1)=2Pr 1 (2h 2 +r 1)=4Pr 1 h 2 +2Pr 1 2
S 2 =2Pr 2 (h 2 +r 2)=2P 2r 1 (h 2 +2r 1)=4Pr 1 h 2 +8Pr 1 2
Нека сравним S 1И S 2виждаме това S 2 > S 1, следва, че никелът се изразходва във втория цилиндър.
Отговор: Повече никел се изразходва за втория цилиндър.
Учителят моли учениците да се самооценят за работата си в клас, като вземат предвид:
а) дейност по време на теоретичен въпрос;
б) писане на домашни;
в) помощ на учителя при изучаване на нова тема;
г) правилно изпълнение на практическата работа;
д) самостоятелност при изпълнение на последната задача.
Учителят е съгласен със самооценката на ученика или не, обяснява защо и изпраща оценките в дневника.
V. Обобщение на урока.
Какво ново научихме в урока?
В кой момент от урока се затруднихте? Защо?
Въпроси за математическа диктовка:
Формула за площта на страничната повърхност на цилиндър.
Каква е общата повърхност на цилиндъра?
Каква фигура е разгръщането на страничната повърхност на цилиндъра?
Какъв е радиусът на основата, ако аксиално сечениецилиндърът е квадрат 25 м 2 ?
Какъв е ъгълът между равнината на основата на цилиндъра и равнината, минаваща през образуващата на цилиндъра?
Какво е напречното сечение на цилиндър с равнина, перпендикулярна на неговата образуваща?
Формула за площта на кръг.
Формула за обиколка.
Какво е развитието на страничната повърхност на цилиндър?
Формула за площта на страничната повърхност на цилиндър.
Формула за общата повърхност на цилиндър
Вариант I
Вариант II
Развитието на страничната повърхност на цилиндъра е правоъгълник, чийто диагонал е равен на 8 см, а ъгълът между диагоналите е 30 О. Намерете страничната повърхност на цилиндъра.
Напречното сечение на цилиндър с равнина, успоредна на неговата ос, е квадрат. Тази равнина отрязва дъга от основната окръжност при 90 О. Радиусът на цилиндъра е 4 см. Намерете площта на напречното сечение.
Вариант I: 1. 50 см 2 ; 2. 30 см 2 ;
Вариант II: 1. 16 см 2 ; 2. 32 см 2 .
По тази тема: " конус"
Въпроси за математическа диктовка.
Вариант I
Каква фигура се получава при сечение на конус от равнина, минаваща през оста на конуса?
Каква фигура се получава при сечението на цилиндър от равнина, минаваща перпендикулярно на оста на цилиндъра?
Каква е площта на аксиалното напречно сечение на цилиндъра, ако височината му е 2 пъти по-голям от радиусаоснова и равен 5см?
Какво е сечението на конус от равнина, минаваща през върха на конуса?
Аксиалното сечение на конуса е равностранен триъгълниксъс страната А. Каква е височината на конуса?
Каква фигура се получава при сечението на конус с равнина, перпендикулярна на оста на конуса?
Каква фигура се получава при сечението на цилиндър от равнина, минаваща през оста на цилиндъра?
Каква е площта на аксиалното сечение на конуса, ако аксиалното сечение на конуса е правоъгълен триъгълник, а радиусът на основата на конуса е 3 см?
Какво е сечение на конус от равнина, успоредна на две образуващи на конуса?
Аксиалното сечение на цилиндъра е квадрат, чийто диагонал е равен на А. Намерете височината на цилиндъра.
Задачи (устно).
Намерете дължината на дъгата в 30 О, Ако Р= 10 см.
Намерете площта на сектора в предишната задача.
Самостоятелна работа по 30 мин. Прави се в домашни тетрадки.
Вариант I
Вариант II
Намирам:
- Полукръгът се сгъва на конична повърхност. Намерете ъгъла между образуващата и височината на конуса.
Радиуси на основите на пресечен конус 3 И 7 . образуваща 5 . Намерете площта на аксиалното сечение.
По тази тема: « Сфера и топка"
Математическа диктовка.
Вариант I
R=7центриран в точкаA(2; 0; -1).
Смисълът лъже ли A(-2; 1; 4) върху сферата, дадена от уравнението
Вариант II
Намерете координатите на центъра и радиуса на сферата, дадени от уравнението(x+3) 2 +y 2 +(z - 1) 2 =16.
Напишете уравнението на сфера с радиусR=4с център в точкатаА (-2:1:0).
Смисълът лъже лиA(5:-1;4 ) върху сферата, определена от уравнението
Отговорите се проверяват.
Картичка I
Радиусът на топката е12 . Точката е в допирателната равнина и на разстояние16 от точката на контакт. Намерете най-късото му разстояние от повърхността на топката.
Отговор: 2 см 2 .
Карта II
Всички страни на ромба са страни6 смдокоснете сфера с радиус5 см. Разстояние от равнината на ромба до центъра на сферата4 см. Намерете площта на ромба.
Отговор: 36 см 2 .
Въпроси:
Какво се нарича сфера? Центърът на сферата? Радиусът на сферата? Как може да се получи сфера?
Коя равнина се нарича допирателна към сферата?
Страни на триъгълник 13, 14, 15 . Намерете разстоянието от равнината на триъгълника до центъра на топката, докосваща всички страни на триъгълника. Радиус на топката 5 .
(Отговор: 3 )
Карта II
Диагонали на ромб 15 И 20 . Страните му докосват топка, чийто радиус 10 . Намерете разстоянието от центъра до равнината на ромба.
(Отговор: 8 )
Въпроси:
Какво се нарича сфера? Центърът на сферата? Радиусът на сферата? Диаметърът на сферата? Как може да се получи сфера?
Как се нарича топка? Как може да се получи топка?
Какво е уравнение на повърхността?
Какво е уравнението на сфера?
Какво е като взаимно споразумениесфери и равнини?
Какво е напречното сечение на сфера? топка?
Площ на кръг. Обиколка.
Свойство на допирателна равнина към сфера.
Площ на сфера.
Какъв ъгъл се нарича вписан в окръжност? Големината на вписания ъгъл. Защоравен ли е вписаният ъгъл при диаметъра?
2. Какво е сечение на цилиндър от равнина, успоредна на неговата образуваща?
Разрез - правоъгълник.3. В основите на цилиндъра са взети две неуспоредни една на друга хорди. Може ли най-късото разстояние между точките на тези хорди да бъде: а) равно на височината на цилиндъра; б) по-голяма от височината на цилиндъра; в) по-малко от височината на цилиндъра?
AB и CD лежат в успоредни равнини.
H е височината на цилиндъра.
4. Две цилиндрични части са покрити със слой никел с еднаква дебелина. Височината на първата част е два пъти по-голяма от височината на втората, но радиусът на нейната основа е половината от радиуса на основата на втората част. Коя част използва повече никел?
Първа част Втора част2l, l - височина (генеративна),
r/2, r - радиус на основата,
Страничните повърхности са равни, но площта на двете основи на втората част е повече площдве основи на първата част.
5. Равни ли са ъглите между образуващите на конуса и: а) равнината на основата? б) неговата ос?
а) да; б) да.
6. Какво е сечението на конус от равнина, минаваща през върха му?
Равнобедрен триъгълник.
7. Точки A и B принадлежат на топката. Тази топка принадлежи ли на някоя точка от отсечката AB?
8. Могат ли всички върхове на правоъгълен триъгълник със страни 4 cm и 2 √2 cm да лежат върху сфера с радиус √5 cm?
Нека изчислим хипотенузата правоъгълен триъгълник:
Хипотенузата не се вписва в сферата, тогава поне един връх лежи извън сферата.
9. Могат ли две сфери с общ център и различни радиуси да имат обща допирателна равнина?
Едната сфера винаги ще бъде вътре в другата, така че е невъзможно да се начертае обща допирателна равнина.
10. Кое е множеството от всички точки в пространството, от които дадена отсечка се вижда под прав ъгъл?
Това е област, в която този сегменте диаметърът.
Министерство на образованието и науката на Руската федерация
Недържавна образователна институция
"Морски колеж Владивосток"
Тест по математика
Раздел Геометрия
Тема: Цилиндър, конус и топка
Подготвен от:
Учител по математика 1-ва квалификационна категория
Опция 1
1. Отговорете на въпроса:
Какъв е ъгълът между равнината на основата на цилиндъра и равнината, минаваща през образуващата на цилиндъра?
2. Напишете уравнението на сфера с радиус R с център A, ако: A(2,4,5), R=5
A(3,5,6), N(2,3,6)
4. Намерете площта на сфера, чийто радиус е 8 cm.
Вариант 2
1. Отговорете на въпроса:
Какво е напречното сечение на цилиндър с равнина, успоредна на неговата образуваща?
2. Напишете уравнението на сфера с радиус R с център A, ако: A(-5,-1.0), R=4
3. Напишете уравнението на сфера с център А, минаваща през точката if
A(-2,4,1), N(2,-3,4)
4. Намерете площта на сфера, чийто радиус е 11 cm.
____________________________________________________________________________
Вариант 3
1. Отговорете на въпроса:
Равни ли са ъглите между образуващите на конуса и равнината на основата?
2. Напишете уравнението на сфера с радиус R с център A, ако: A(-1,2,0), R=7
3. Напишете уравнението на сфера с център А, минаваща през точката if
A(-4,0,1), N(2,0,-4)
____________________________________________________________________________
Вариант 4
1. Отговорете на въпроса:
Равни ли са ъглите между образуващите на конуса и неговата ос?
2. Напишете уравнението на сфера с радиус R с център A, ако: A(8,-1,0), R=5
3. Напишете уравнението на сфера с център А, минаваща през точката if
A(-2,3,4), N(2,0,-4)
4. Намерете площта на сфера, чийто радиус е 6 cm.
____________________________________________________________________________
Вариант 5
1. Отговорете на въпроса:
Какво е сечението на конус от равнина, минаваща през върха му?
2. Напишете уравнението на сфера с радиус R с център A, ако: A(3,-1,0), R=3
3. Напишете уравнението на сфера с център А, минаваща през точката if
A(2,0,4), N(2,1,-1)
4. Намерете площта на сфера, чийто радиус е 2 cm.
___________________________________________________________________________
Вариант 6
1. Отговорете на въпроса:
Точки A и B принадлежат на топката. Тази топка принадлежи ли на някоя точка от отсечката AB?
2. Напишете уравнението на сфера с радиус R с център A, ако: A(4,4,4), R=4
3. Напишете уравнението на сфера с център А, минаваща през точката if
A(-1,3,1), N(2,0,-2)
4. Намерете площта на сфера, чийто радиус е 1 cm.
____________________________________________________________________________
Вариант 7
1. Отговорете на въпроса:
Могат ли две сфери с общ център и различни радиуси да имат обща допирателна равнина?
2. Напишете уравнението на сфера с радиус R с център A, ако: A(1,-1.5), R=3
3. Напишете уравнението на сфера с център А, минаваща през точката if
A(-2,0,0), N(2,0,-4)
4. Намерете площта на сфера, чийто радиус е 9 cm.
____________________________________________________________________________
Вариант 8
1. Отговорете на въпроса:
Кое е множеството от всички точки в пространството, от които дадена отсечка се вижда под прав ъгъл?
2. Напишете уравнението на сфера с радиус R с център A, ако: A(6,-5,7), R=5
3. Напишете уравнението на сфера с център А, минаваща през точката if
A(0,3,6), N(2,3,5)
4. Намерете площта на сфера, чийто радиус е 4 cm.
____________________________________________________________________________
1 вариант | (x-2)2+(y-4)2+(z-5)2=25 | (x-3)2+(y-5)2+(z-6)2=5 | ||
Вариант 2 | (x+5)2+(y+1)2+z2=16 | (x+2)2+(y-5)2+(z-6)2=74 |