Прави, където две успоредни равнини се пресичат с трета равнина. Успоредност на равнините: състояние и свойства

Цели на урока:

Въведете концепцията за успоредни равнини.
Разгледайте и докажете теореми, изразяващи знака за успоредност на равнините и свойствата на успоредните равнини.
Проследете приложението на тези теореми при решаване на задачи.

План на урока (запишете на дъската):

I. Подготвителна устна работа.

II. Учене на нов материал:

1. Относителното разположение на две равнини в пространството.
2. Определяне на успоредни равнини.
3. Знак за успоредни равнини.
4. Свойство на успоредни равнини.

III. Обобщение на урока.

IV. Домашна работа.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

I. Устна работа

Бих искал да започна урока с цитат от философското писмо на Чаадаев:

„Откъде идва тази чудотворна сила на анализа в математиката? Факт е, че умът тук действа в пълно подчинение на това правило.

Това спазване на правилото ще разгледаме в следващата задача. За да научите нов материал, трябва да повторите някои въпроси. За да направите това, трябва да създадете твърдение, което следва от тези твърдения и да обосновете отговора си:

II. Учене на нов материал

1. Как могат да бъдат разположени две равнини в пространството? Какво е множеството от точки, принадлежащи на двете равнини?

Отговор:

а) съвпадат (тогава ще имаме работа с една равнина, не е задоволително);
б) пресичат се, ;
в) не се пресичат ( общи точкиабсолютно не).

2. определение: Ако две равнини не се пресичат, тогава те се наричат успоредни

3. Обозначаване:

4. Дайте примери за успоредни равнини от околната среда

5. Как да разберете дали две равнини в пространството са успоредни?

Отговор:

Можете да използвате определението, но това е неподходящо, т.к Не винаги е възможно да се установи пресичането на равнини. Следователно е необходимо да се разгледа условие, достатъчно, за да се твърди, че равнините са успоредни.

6. Нека разгледаме ситуациите:

б) ако ?

в) ако ?

Защо отговорът в а) и б) е „не винаги“, а в в) „да“? (Пресичащите се линии определят равнина по уникален начин, което означава, че са уникално дефинирани!)

Ситуация 3 е знак за успоредност на две равнини.

7. Теорема: Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две прави от друга равнина, то тези равнини са успоредни.

дадени:

Докажи:

Доказателство:

(Учениците прилагат обозначения към чертежа.)

1. Забележка: . По същия начин:
2. Нека: .
3. Имаме: По същия начин:
4. Получаваме: чрез М има противоречие с аксиомата на планиметрията.
5. И така: неправилно, означава и т.н.

8. Решете № 51 (Учениците прилагат символи върху чертежа).

дадени:

Докажи:

Доказателство:

1 начин

1. Да строим

Метод 2

Въведете чрез чрез .

9. Нека разгледаме две свойства на успоредните равнини:

Теорема: Ако две успоредни равнини се пресичат от трета, то линиите на тяхното пресичане са успоредни.

(Учениците сами довършват конструкцията и я отбелязват на чертежа).

дадени:

Разглежда се връзката на успоредността на равнините, нейните свойства и приложения.

Визуално представяне на местоположението на двамата

равнини дава моделиране с помощта на равнините на повърхностите на съседните стени, тавана и пода на стаята, двуетажни легла, два закрепени листа хартия

магьосници и др. (фиг. 242–244).

Въпреки че има безкрайно множествоопции за относителното разположение на различни равнини, за да установим и характеризираме кои измервания на ъгли и разстояния ще се използват в бъдеще, първо ще се съсредоточим върху тези, при които класификацията (както и правите линии с равнини) се основава на броя на общите им точки.

1. Два самолета имат поне три общиточки, които не лежат на една права. Такива равнини съвпадат (аксиома C 2, §7).

2. Общите точки на две равнини са разположени на една права линия, която е пресечната линия на тези равнини (аксиома C 3, §7). Такива равнини се пресичат.

3. Двете равнини нямат общи точки.

IN в този случай те се наричатуспореден-

Две равнини се наричат успоредни, ако нямат общи точки.

Успоредността на равнините се обозначава със знака ||: α || β.

Както винаги, при представянето геометрични понятиявъзникна

Няма проблем с тяхното съществуване. Наличието на пресичащи се

Ся самолети е характерна особеностпространство,

и вече сме го използвали много пъти. По-малко очевидно е

Разкрива се съществуването на успоредни равнини. Няма

съмнения, че например равнини на противоположни графики

Кубчетата са успоредни, тоест не се пресичат. Но директно

Всъщност по дефиниция това не може да се установи. За решаване

разбиране на поставения въпрос, както и други въпроси, свързани с

успоредност на равнините, необходимо е да има знак за успоредност.

За да търсите знак, препоръчително е да разгледате самолет,

„изтъкан“ от прави линии. Очевидно е, че всяка права линия е една от

успоредните равнини трябва да са успоредни на другата.

IN в противен случайсамолетите ще имат обща точка. Достатъчно

Дали равнината β е точно успоредна на същата права линия α

така че равнините α и β да са успоредни? Абсолютно

но не (оправдайте това!). Практическият опит го показва

две такива пресичащи се линии са достатъчни. За осигуряване

на мачтата има платформа, успоредна на земята, просто я поставете

на две греди, прикрепени към мачтата, успоредни
земен (фиг. 245). Има много повече
примери за използването на тази техника за осигуряване
успоредност на плоски повърхности на реално
обекти (опитайте това!)
Горните съображения ни позволяват да формулираме
лират следното твърдение.
		(знак за успоредни равнини).
		пресичащи се прави от една равнина

Ако равнините са успоредни на втората равнина, тогава тези равнини са успоредни.

 Нека пресечните прави a и b на равнината α са успоредни на равнината β. Нека докажем, че равнините α и β са успоредни от противното. За да направим това, нека приемем, че равнините α и β се пресичат по права линия

t (фиг. 246). Правите a и b не могат да пресичат прави според условието. Тогава обаче в равнината α през една точка се прекарват две прави, които не се пресичат с правата, тоест успоредни на нея. Това е противоречие

и завършва доказателството на теоремата.

Знакът за успоредност на равнините се използва при хоризонтално разполагане на плоски конструкции (бетонни плочи, подове, дискови устройства за гониометър и др.), Използвайки две нива, разположени в равнината на конструкцията на пресичащи се прави линии. Въз основа на тази характеристика е възможно да се построи равнина, успоредна на тази.

Задача 1. През точка, лежаща извън дадена равнина, да се начертае равнина, успоредна на дадената.

 Нека са дадени равнината β и точка M извън равнината (фиг. 247, а). Нека начертаем през точка M две пресичащи се прави a и b, успоредни на равнината β. За да направите това, трябва да вземете две пресичащи се прави линии c и d в равнината β (фиг. 247, b). След това през точка M начертайте прави a и b, успоредни съответно на прави c и d.

но (фиг. 247, c).

Пресечни прави a и b успоредна на равнината β, въз основа на успоредността на правата и равнината (теорема 1 §11). Те еднозначно определят равнината α. Съгласно доказания критерий, α || β.

Пример 1. Даден е куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, точките M, N, P са среди съответно на ръбовете BC, B 1 C 1, A 1 D 1. Инсталирай взаимно споразумениеравнини: 1)ABV 1 и PNM; 2) NMA и A 1 C 1 C ; 3) A 1 NM

и PC 1 C; 4) MAD 1 и DB 1 C.

 1) Равнините ABB 1 и РNM (фиг. 248) са успоредни, въз основа на паралелността на равнините (теорема 1). Наистина, правите РN и NM се пресичат и са успоредни на равнината ABB 1, въз основа на успоредността на правата и равнината (теорема 1 §11), тъй като отсечките РN и NM свързват средите противоположни страниквадрати, така че те са успоредни на страните на квадратите:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) Равнините NMA и A 1 C 1 C се пресичат по права AA 1 (фиг. 249). Наистина, правите AA 1 и CC 1 са успоредни, въз основа на успоредността на правите (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СС 1). Следователно правата AA 1 лежи в равнината A 1 C 1 C. По подобен начин се обосновава и принадлежността на права AA 1 към равнината NMA.

3) Равнините A 1 NM и РС 1 C (фиг. 250) са успоредни въз основа на паралелността на равнините. Действително NM ||С 1 C . Следователно правата NM е успоредна на равнината PC 1 C. Отсечките PC 1 и A 1 N също са успоредни, тъй като четириъгълникът PC 1 NA 1 е успоредник (A 1 P ||NC 1, A 1 P = NC 1). Така правата A 1 N е успоредна на равнината PC 1 C. Правите A 1 N и NM се пресичат.

4) Равнините MAD 1 и DB 1 C се пресичат (фиг. 251). Въпреки че линията на тяхното пресичане не е лесна за конструиране, не е трудно да се посочи една точка от тази линия. Наистина, правите A 1 D и B 1 C са успоредни, тъй като четириъгълникът A 1 B 1 CD е успоредник (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). Следователно правата A 1 D принадлежи на равнината DB 1 C. Правите A 1 D и AD 1 се пресичат в точка, обща за равнините MAD 1 и DB 1 C.


		Даденият знак за успоредност на равнините
		Даденият знак за успоредност на равнините
		понякога е по-удобно да се използва в малко по-различен


	1′ (знак за успоредни равнини).

Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две прави от друга равнина, то тези равнини са успоредни.

Използвайки критерия за успоредност на права и равнина (теорема 1 §11), е лесно да се установи, че условието на теорема 1 следва от условията на теорема 1. Приложението на обратната теорема към критерия за успоредност на права и равнина (теорема 2 §11) завършва обосновката за еквивалентността на условията на теореми 1 и 1 ′.

Естествено възниква въпросът за уникалността на конструкцията, дадена в задача 1. Тъй като ще трябва да използваме това свойство повече от веднъж, ще го подчертаем като отделна теорема. Нека обаче първо да разгледаме друго твърдение.

Теорема 2 (за пресичането на две успоредни равнини с трета).

Ако две успоредни равнини се пресичат от трета равнина, тогава пресечните линии на равнините са успоредни.

 Нека са дадени успоредни равнини α, β и пресичащата ги равнина γ (фиг. 252). Нека обозначим пресечните линии

през a и b. Тези прави лежат в равнината γ и не се пресичат, тъй като равнините α и β нямат общи точки. Следователно директно

a и b са успоредни.

Теорема 3 (за съществуването и единствеността на равнина, успоредна на тази).

През точка, разположена извън дадена равнина, може да се начертае една равнина, успоредна на дадената.

 Построяването на такава равнина е извършено в задача 1. Ще докажем уникалността на конструкцията от противно. Да приемем, че две различни равнини α и γ са начертани през точка M, pa-

успоредни равнини β (фиг. 253), а правата t е линията на тяхното пресичане. Нека начертаем равнина δ през точката M, пресичаща правата

m и равнината β (как може да стане това?). Нека означим с a и b

линията на пресичане на равнината δ с равнините α и γ, а през c - линията на пресичане на равнините δ и β (фиг. 253). Съгласно теорема 2,a ||c

и b ||s. Тоест в равнината δ през

през точка М минават две прави, успоредни на прави. Противоречието показва, че предположението е неправилно.

Отношението на паралелността на равнините има редица свойства, които имат аналози в планиметрията.

Теорема 4 (за отсечки от успоредни прави между успоредни равнини).

Отсечките от успоредни прави, отрязани от успоредни равнини, са равни помежду си.

 Нека са дадени две успоредни равнини α и β и отсечки AB

и CD от успоредни прави a и d, отрязани от тези равнини (фиг. 254, a). Нека начертаем равнината γ през прави a и d (фиг. 254, b). Тя пресича равнините α и β по прави AC и BD, които според теорема 2 са успоредни. Следователно четириъгълникът ABCD е успоредник; противоположните му страни AC и BD са равни.

От горното свойство следва, че ако начертаем от всички точки на равнината

от едната страна на самолета паралелни линии същата дължина, тогава краищата на тези сегменти образуват две успоредни равнини. На това свойство се основава конструкцията на паралелепипед с помощта на отлагането на сегменти (фиг. 255).

Теорема 5 (за транзитивността на отношението на успоредност на равнините).

Ако всяка от двете равнини е успоредна на трета, тогава двете равнини са успоредни една на друга.

 Нека равнините α и β са успоредни на равнината γ. Да приемем, че

α и β не са успоредни. Тогава равнините α и β имат обща точка и през тази точка минават две различни равнини, успоредни на равнината γ, което противоречи на теорема 3. Следователно равнините α и β нямат общи точки, т.е. те са успоредни .

Теорема 5 е друг знак за успоредност на равнините. Използва се широко както в геометрията, така и в практически дейности. Например в многоетажна сграда успоредността на равнините на пода и тавана на всеки етаж гарантира паралелността им на различни етажи.

Задача 2. Докажете, че ако права пресича равнината α, то тя пресича и всяка равнина, успоредна на равнината α.

 Нека равнините α и β са успоредни, а правата a пресича равнината α в точка A. Нека докажем, че тя също пресича равнината

β. Да приемем, че това не е така. Тогава права a е успоредна на равнината β. Нека начертаем равнината γ през правата и произволна точкаравнина β (фиг. 256).

Тази равнина пресича успоредни равнини α и β по прави b is. съ-

съгласно теорема 2, b || c, тоест в равнината γ две прави a и b минават през точка A, успоредни на права c . Това противоречие доказва твърдението.

Опитайте се да докажете сами, че ако равнината α пресича равнината β, то тя пресича и всяка равнина, успоредна на равнината β.

Пример 2. В тетраедъра ABCD точките K, F, E са среди на ръбове DA, DC, DB, aM и P - центрове на масата съответно на лицата ABD и ВСD.

1) Установете взаимното разположение на равнините KEF и ABC;

DEF и ABC.

2) Построете пресечната линия на равнините AFB и KEC.

3) Намерете площта на напречното сечение на тетраедъра с равнина, успоредна на равнината ABD и минаваща през точка P, ако всички ръбове на тетраедъра са равни.

 Да построим чертеж, който отговаря на условието (фиг. 257, а). 1) Равнините KEF и ABC са успоредни въз основа на успоредността на равнините (теорема 1'): пресичащите се прави KE и KF на равнината KEF са успоредни на пресичащите се прави AB и AC на равнината ABC (средните линии на съответните

съществуващи триъгълници).

Равнините DEF и ABC се пресичат по права BC, тъй като правата BC принадлежи на двете равнини и те не могат да съвпадат - точките A, B, C, D не лежат в една равнина.

2) Равнината AFB се пресича с равнината KEC по права, съдържаща точка P, тъй като правите CE и BF, лежащи в тези равнини, са в равнината BCD и се пресичат в точка P. Друга точка е точката на пресичане Q на прави линии AF и CK в равнината ACD (фиг. 257, b). Очевидно тази точка е центърът на масата на лицето на ACD. Търсеното пресичане е линията PQ.

3) Построете сечението, посочено в условието, като използвате знака за успоредност на равнините. Нека начертаем линии през точките P и Q, успоредни съответно на линиите DB и DA (фиг. 257, c). Тези прави пресичат отсечката CD в точка L. Последното следва от свойството на центъра на масата на триъгълника - той разделя медианите на триъгълника в съотношение 2:1, като се брои от върха. Остава да приложим теоремата на Талес. По този начин равнините PLQ и BDA са успоредни. Необходимото сечение е триъгълник LSN.

По конструкция триъгълниците BCD и SCL са подобни с коефициент на подобие CE CP =3 2. Следователно LS =3 2 BD . По подобие на установените

добавят се следните равенства: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. От това следва, че триъгълниците LSN и ABD са подобни с коефициент на подобие 3 2. Според свойствата на площите на подобни триъгълници,

S LNS =4 9 S ABD . Остава да се намери площта на триъгълника ABD. от-

тъй като по условие всички ръбове на тетраедъра са равни на a, тогава S ABD =4 3 a 2.

Търсената площ е 3 1 3 a 2 .

Уместно е да се отбележи, че отговорът зависи само от областта на лицето ABD. Следователно равенството на всички ръбове е само средство за намиране на тази област. По този начин, тази задачамогат да бъдат значително обобщени.

Отговор. 1)KEF ||ABC ; 3)3 1 3 a 2 .

 Тестови въпроси

1. Вярно ли е, че две равнини са успоредни, ако всяка права, лежаща в едната равнина, е успоредна на другата равнина?

2. Равнините α и β са успоредни. Има ли коси линии, лежащи в тези равнини?

3. Две страни на триъгълник са успоредни на някаква равнина. Третата страна на триъгълника успоредна ли е на тази равнина?

4. Две страни на успоредник са успоредни на определена равнина. Вярно ли е, че равнината на успоредник е успоредна на дадената равнина?

5. Могат ли отсечките от две прави, отсечени от успоредни равнини, да са неравни?

6. Може ли напречното сечение на куба да бъде равнобедрен трапец? Може ли напречното сечение на куба да бъде Правилен петоъгълник? Вярно ли е, че две равнини, успоредни на една права, са успоредни една на друга?

Пресечните линии на равнините α и β с равнината γ са успоредни една на друга. Успоредни ли са равнините α и β?

Могат ли три лица на куб да бъдат успоредни на една и съща равнина?

Графични упражнения

1. Фиг. 258 показва куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, точките M, N, K, L, P са среди на съответните ръбове. Попълнете таблицата според дадения пример, като изберете изисквано местоположениеравнини α и β.

Взаимно

местоположение

α || β α = β

α × β α || β α = β

A1 B1 C1			D 1 KP
и ADC	и BB1 D	и MNP	и BMN

	B 1 KP	A1 DC1	A1 C1 C
и PLN	и DMN	и AB1 C	и MKP

2. На фиг. 259 показва тетраедър ABCD, точките K, F, M, N, Q са среди на съответните ръбове. Моля посочете:

1) равнина, минаваща през точка K успоредна на равнината ABC;

2) равнина, минаваща през правата BD успоредна на равнината MNQ.

3. Определете какво е сечението на фигура с равнина, минаваща през дадените три точки, показани на фигурата.

kah 260, a)–e) и 261, a)–d).

4. Постройте чертеж по дадените данни.

1) От върховете на успоредник ABCD, лежащи в една от двете успоредни равнини, са начертани успоредни прави, които пресичат втората равнина съответно в точки A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .

2) Триъгълник A 1 B 1 C 1 е проекцията на триъгълник ABC върху успоредната му равнина α. Точка M е средата на слънцето, M 1 е проекцията на точка M върху равнината α.

207. В куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точките O, O 1 са центровете съответно на лицата ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1, M е средата на ръба AB.

1°) Определете взаимното разположение на равнините MO 1 O

и ADD 1, ABD 1 и CO 1 C 1.

2°) Построете пресечната точка на равнината DCC 1 и правата MO 1 и пресечната линия на равнините MCC 1 и A 1 D 1 C 1.

3) Намерете площта на напречното сечение на куб с равнина, успоредна на равнината AD 1 C 1 и минаваща през точка O 1, ако ръбът на куба е равен на a.

208. В тетраедъра ABCD точките K, L, P са центрове на масата съответно на лицата ABD, BDC, ABC, а aM е средата на ръба AD.

1°) Определете взаимното разположение на равнините ACD

и KLP ; MLK и ABC .

2°) Построете пресечната точка на равнината ABC и правата ML и пресечната линия на равнините MKL и ABC.

3) Намерете площта на напречното сечение на тетраедъра с равнина, минаваща през точките K, L и M, успоредни на правата AD, ако всички ръбове на тетраедъра са равни.

209. Даден е куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точките L, M, M 1 са средите съответно на ръбовете AB, AD и A 1 D 1.

1°) Определете взаимното разположение на равнините B 1 D 1 D

и LMM1.

2) Построете равнина, минаваща през точка M успоредна на равнината ACC 1.

3) Построете сечение на куба с равнина, минаваща през точка M 1, успоредна на равнината CDD 1.

4) Определете взаимното положение на равнините MA 1 B 1

и CDM1.

5) Построете равнина, минаваща през правата C 1 D 1, успоредна на равнината CDM 1.

210. В правилна четириъгълна пирамидаSABCD всички ръбове са равни помежду си. Точките L, M и N са средите съответно на ръбовете AS, BS, CS.

1°) Определете взаимното разположение на: прави LM и BC; права LN и равнина ABD; равнини LMN и BDC.

2°) Докажете, че триъгълниците ABC и LMN са подобни.

3) Построете сечение на пирамидата с помощта на равнината AMN; равнина LMN; самолетLBC.

4*) Кое от сеченията на пирамидата, минаващи през върха S, има най-голяма площ?

Успоредност на прави и равнини

В тетраедъра SABC всички лица са правилни триъгълници. Точките L, M и N са средите съответно на ръбовете AS, BS, CS. 1°) Определете взаимното разположение на правите LM и BC. 2°) Определете взаимното положение на правата LN и равнината ABC.

3) Докажете, че триъгълниците LMN и ABC са подобни.


От върховете на успоредник ABCD, лежащ в един от
две успоредни равнини, начертани по двойки успоредни
линейни прави линии, пресичащи съответната втора равнина
по-специално в точки A 1, B 1, C 1, D 1.
1°) Докажете, че четириъгълникът A 1 B 1 C 1 D 1 е успореден

2°) Докажете, че успоредниците ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1
са равни помежду си.
3°) Определете взаимното разположение на равнините ABB 1
и DD1 C1.
4) Начертайте равнина 1 през средата на сегмент AA, така че
така че да пресича тези прави в точки, които са
върхове на успоредник, равен на успоредника
mu ABCD.
Дадени са две успоредни равнини и точка O, непринадлежаща на
притискайки някоя от тези равнини и не лежащи между тях
тях. От точка О		нарисувани са три лъча, пресичащи равнината
кости, съответно в точки A, B, C и A 1, B 1, C 1 и не лежат
лежащи в същата равнина.
1°) Определете взаимното разположение на тези равнини
и равнината, минаваща през средите на отсечките AA 1, BB 1, CC 1.
2) Намерете периметъра на триъгълник A 1 B 1 C 1, ако OA = m,
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = a.
Триъгълник A 1 B 1 C 1 е проекцията на триъгълник ABC
върху успоредната му равнина α. Точка М - средата на сто
rons BC ;M 1 - проекция на точка M			върху равнината α. Точка Н
разделя страната AB		в съотношение 1:2.	равнина M 1 MN и права
1) Построете пресечната точка N 1
моят A 1 B 1 .
2) Определете вида на четириъгълника M 1 N 1 NM.
	M лежи извън равнината на трапеца ABCB от основата-
ми сл. Хр	и пр.н.е. Построете линията на пресичане на равнините:
1°) ABM и CDM;		2) CBM и ADM.

Построете сечение от куба, което е: 1°) равностранен триъгълник; 2) петоъгълник.

217. Построете сечение на тетраедър, което е успоредник.

218°. Докажете, че срещуположните лица на паралелепипед са успоредни.

219. Докажете, че множеството от всички прави, минаващи през тази точкаи успоредна на дадена равнина, образува равнина, успоредна на дадената.

220. Дадени са четири точки A, B, C, D, които не лежат в една равнина. Докажете, че всяка равнина, успоредна на правите AB и CD, пресича правите AC, AD, BD, BC във върховете на успоредника.

221. Докажете, че равнина и права, която не принадлежи на тази равнина, са успоредни една на друга, ако и двете са успоредни на една и съща равнина.

222. През точката O на пресечната точка на диагоналите на куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е прекарана равнина, успоредна на лицето ABCD. Тази равнина пресича ръбове BB 1 и CC 1 съответно в точки M и N. Докажете, че ъгъл MON е прав ъгъл.

223. Докажете, че две равнини са успоредни една на друга тогава и само тогава, когато всяка права, пресичаща една от равнините, пресича и втората.

224*. В триъгълна пирамида SABC, през сегменти AD и CE, където D е средата SB, а E е средата SA, начертайте секции на пирамидата, успоредни една на друга.

225. Намерете геометрични места:

1) средните точки на всички сегменти с краища на две данни успоредни равнини; 2*) среди на отсечки с краища на две дадени пресичащи се прави.

226*. Страната AB на триъгълник ABC, лежаща в равнината α, е успоредна на равнината β. Равностранен триъгълник 1 B 1 C 1 е паралелна проекциятриъгълник ABC в равнината β; AB = 5, BC = 6, AC = 9.

1) Установете взаимното положение на правите линии AB и A 1 B 1,

BC и B1 C1, A1 C1 и AC.

2) Намерете площта на триъгълника A 1 B 1 C 1.

227*. Дадени са две пресичащи се прави. Посочете множеството от всички точки в пространството, през които може да се начертае права, пресичаща всяка от двете дадени прави.

Основна дефиниция

Двата самолета се наричат

са успоредни,

ако нямат допирни точки.

Основни твърдения

Знак за успоредност - Ако две пресичащи се прави от една равнина на равнината са съответно успоредни на две прави от втората равнина, то тези равнини

костите са успоредни.

Теорема за пресичане Ако две паралелно пресичащи се две непаралелни равнини се пресичат от трета равнина, тогава линиите на третото пресичане на равнината

те са успоредни.

a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β

α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

M α

β: α || β,M β

Подготовка за тематично

за оценка по темата “Успоредност на прави и равнини”

Задачи за самоконтрол

1. Четирите точки не принадлежат на една и съща равнина. Могат ли някои три от тях да лежат на една права?

2. Могат ли три различни равнини да имат точно две общи точки?

3. Могат ли две наклонени прави да бъдат успоредни на трета права едновременно?

4. Вярно ли е че направо a и b не са успоредни, ако няма права c, успоредна на a и b?

5. Могат ли равни сегментиимат неравни прогнози?

6. Може ли лъч да бъде успоредна проекция на права?

7. Може ли квадрат да бъде образ на куб?

8. Вярно ли е, че през дадена точка от пространството може да се прекара само една равнина, успоредна на дадена права?

9. Винаги ли е възможно да се начертае права през дадена точка, успоредна на две дадени равнини, които не съдържат тази точка?

10. Възможно ли е да се начертаят успоредни равнини през две пресичащи се прави?

Отговори на задачи за самоконтрол

Тестова проба

Два успоредника ABCD и ABC 1 D 1 лежат в различни равнини.

1°) Определете взаимното положение на правите линии CD и C 1 D 1.

2°) Определете взаимното положение на правата C 1 D 1 и равнината

3°) Да се построи пресечната линия на равнините DD 1 C 1 и ВСС 1.

4°) Определете взаимното положение на равнините ADD 1 и BCC 1.

5) През точка M, разделяща отсечката AB в отношение 2:1, считано от точка A, начертайте равнина α, успоредна на равнината C 1 BC. 6) Построете пресечната точка на правата AC с равнината α и намерете отношението, в което тази точка разделя отсечката AC.

		Успоредност на прави и равнини
Относителното разположение на линиите в пространството
			Таблица 21
	Брой общи точки
Поне две
		лежи в едно	не лежи в едно
		самолет	самолет

Относителното разположение на прави и равнини в пространството

			Таблица 22

	Брой общи точки
Поне две		Нито един

a лежи в α	и пресича α	и i α - успоредни
(a α)	(a × α)	ny (a \|\| α)
Взаимно разположение на равнините в пространството
		Таблица 23
	Брой общи точки
Поне три	Поне един, но	Нито един
не лежи на	няма допирни точки, няма ле-	Нито един
една права линия	натискане на една права линия

Тригонометричен

Вече сте се занимавали с тригонометрични функции в уроците по геометрия. Досега техните приложения бяха ограничени главно до решаване на триъгълници, тоест говорехме за намиране на едни елементи на триъгълник от други. От историята на математиката е известно, че появата на тригонометрията е свързана с измерването на дължини и ъгли. Сега обаче сферата

нея приложенията са много по-широки, отколкото в древността.

Думата "тригонометрия" идва от гръцкото τριγωνον

(тригонон) – триъгълник и µετρεω (метрео) – мярка, мярка-

аз лая. Буквално това означава измерване на триъгълници.

IN Тази глава систематизира материала, който вече ви е известен от курса по геометрия, и продължава проучването тригонометрични функциии по-специално техните приложения за характеризиране на партидни процеси въртеливо движение, колебателни процесии така нататък.

Повечето приложения на тригонометрията се отнасят конкретно до периодични процеси, тоест процеси, които се повтарят на редовни интервали от време. Изгрев и залез, промени в сезоните, въртене на колелото - това са най-простите примери за такива процеси. Механични и електромагнитни вибрациисъщо са важни примери за периодични процеси. Следователно изследването на периодичните процеси е важна задача. И ролята на математиката в неговото решаване е определяща.

подготовка за изучаване на темата „Тригонометрични функции“

Препоръчително е да започнете да изучавате темата „Тригонометрични функции“, като прегледате дефинициите и свойствата на тригонометричните функции на ъгли на триъгълници и техните приложения за решаване на правоъгълни и произволни триъгълници.

Синус, косинус, тангенс, котангенс на правоъгълни ъгли

триъгълник

Таблица 24

Синусът на остър ъгъл е отношението срещуположния краккъм хипотенузата:

sin α = a c .

Косинусът на остър ъгъл е отношението съседен краккъм хипотенузата:

cosα = b c .

Тангенсът на остър ъгъл е отношението на срещуположната страна към съседната страна:

tg α =a b .

Котангенсът на остър ъгъл е отношението на съседната страна към противоположната страна:

ctgα = a b .

Синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгли от 0° до 180°

Таблица 25

sin α = R y ; cosα = R x;

tg α = x y ; cotgα = x г.

(х;при) - координати на точката Аразположен в горния полукръг, α - ъгълът, образуван от радиуса ОАкръг с ос х.

Стойности на синус, косинус, тангенс, котангенс

някои ъгли

Таблица 26

Ъгъл T

0°

90°

180°

грях T

cos T

tg T

ctg T

Тригонометрични функции

Решаване на произволни триъгълници

Таблица 27

Теорема за синусите

Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на противоположните ъгли:

грях аα = грях bβ = грях ° Сγ .

Косинусова теорема

Квадратът на произволна страна на триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни без удвоеното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тях:

° С2 = а2 + b2 − 2 аб cos γ ,б2 = а2 + ° С2 − 2 ак cos β , а2 = b2 + ° С2 − 2 пр.н.е cos α .

Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на двете му страни и синуса на ъгъла между тях:

С=1 2 абгряхγ = 1 2 акгряхβ = 1 2 пр.н.егряхα .

Основни тригонометрични тъждества

)

Таблица 28

0 ° ≤ α ≤ 180°

грях 2 α + cos 2 α = 1

0 ° ≤ α ≤ 180°, α ≠ 90°

1 +tgα = cos2 α

0 ° < α < 180°

1 + ctg 2 α =

грях 2 α

Даден е триъгълник ABC,СЪС= 90°, слънце=3 ,AB= 2. На какво е равно

IN ?

б. 45 °.

IN. 60 °.

А. 30 °.

Ж.Невъзможно е да се изчисли без компютърни инструменти.

Даден е триъгълник

ABC , СЪС

слънце= 3,

IN= 60°. Какво е равно на

AB ?

А. 3

б. 6.

3 .

Според тези партии правоъгълен триъгълникнамирам

косинус от неговия по-малък ъгъл: А= 3,b= 4,° С

А. 0,8.

Коя от дадените стойности не може да поеме изкривяването-

няма остър ъгъл?

7 − 1

7 2

А.

5. Сравнете сбора на синусите остри ъглипроизволен правоъгълен триъгълник (означаваме го сА) с един.

< 1. б.А= 1.

> 1. Ж.Невъзможно е да се сравнява. Подредете числата във възходящ ред: А= sin 30°, b= cos 30°,

= tg 30°.

< b<° С.б.а<° С<b

Тригонометрични функции

За кои остри ъгли синусът е по-малък от косинуса?

За всички.

За по-малките 45°.

За голям 45°.

Ж.Не за никого.

На какво е равно cos?

α, ако α е остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

квадрат и гряхα =

12 .

Дължината на сянката на едно дърво е 15 m, образувайки ъгъл

30° спрямо земната повърхност. Каква е приблизителната височина?

дърво? Изберете най-точния резултат.

б. 13 м.

IN. 7м.

Каква е стойността на израза

1 − х2

при х= – 0,8?

б. –0,6.

Ж.≈ 1,34.

От формулата а2 +b2 =4 експресен b< 0 череза.

А.b=4 −а2 .

б.b=а2 −4 .

b= −а2

− 4 .

b= −4 −а2 .

Точка А

разположен в третата четвърт на разстояние 3 от оста хИ

на разстояние

10 от произхода. Какви са координатите?

има смисъл А?

б.(−1; 3).

IN.(−1; −3).

Ж.(−3; −1).

следващите точки

принадлежи

кръг

х 2+ г 2

= 1?

б.(0,5; 0,5).

. Ж.

15. Посочете координатите на точкатаА, лежащ на окръжност с радиус 1 (вижте фигурата).

(−1; 0).б.(1; 0).

(0; − 1). Ж.(0; 1).А.IN.

В този урок ще разгледаме три свойства на успоредните равнини: пресичането на две успоредни равнини с трета равнина; за успоредни сегменти, затворени между успоредни равнини; и за разрязването на страните на ъгъл с успоредни равнини. След това ще решим няколко проблема, използвайки тези свойства.

Тема: Успоредност на прави и равнини

Урок: Свойства на успоредни равнини

Ако две успоредни равнини се пресичат от трета, то линиите на тяхното пресичане са успоредни.

Доказателство

Нека успоредни равнини и са дадени и равнина, която пресича равнините и по прави линии АИ bсъответно (фиг. 1.).

Директен АИ bлежат в една и съща равнина, а именно в равнината γ. Нека докажем, че правите линии АИ bне се пресичат.

Ако прав АИ bпресечени, т.е. ще имат обща точка, тогава тази обща точка ще принадлежи на две равнини и , и , което е невъзможно, тъй като те са успоредни по условие.

И така, направо АИ bса успоредни, което трябваше да се докаже.

Отсечките от успоредни прави, съдържащи се между успоредни равнини, са равни.

Доказателство

Нека са дадени успоредни равнини и успоредни прави ABИ СЪСд, които пресичат тези равнини (фиг. 2.). Нека докажем, че сегментите ABИ СЪСдса равни.

Две успоредни прави ABИ СЪСдобразуват една равнина γ, γ = ABдСЪС. Равнината γ пресича успоредни равнини и по успоредни прави (според първото свойство). Така че е направо ACИ INдпаралелен.

Директен ABИ СЪСдсъщо са успоредни (по условие). Така че това е четириъгълник ABдСЪС- успоредник, тъй като противоположните му страни са успоредни по двойки.

От свойствата на успоредника следва, че отсечките ABИ СЪСдса равни, както се изисква да се докаже.

Паралелните равнини нарязват страните на ъгъл на пропорционални части.

Доказателство

Нека са ни дадени успоредни равнини, които пресичат страните на ъгъла А(фиг. 3.). Необходимо е да се докаже това.

Успоредни равнини и пресечени от ъглова равнина А. Нека наречем пресечната линия на ъгловата равнина Аи самолети - слънце,и пресечната линия на ъгловата равнина Аи самолети - B 1 C 1. Според първото свойство линиите на пресичане слънцеИ B 1 C 1паралелен.

Значи триъгълници ABCИ AB 1 C 1подобен. Получаваме:

3. Математически уебсайт на Виталий Станиславович Цегелни ()

4. Фестивал на педагогическите идеи "Отворен урок" ()

1. Точка ОТНОСНО- обща среда на всеки сегмент AA 1, BB 1, SS 1, които не лежат в една равнина. Докажете, че самолетите ABCИ A 1 B 1 C 1паралелен.

2. Докажете, че през две коси прави могат да се прекарат успоредни равнини.

3. Докажете, че права, пресичаща една от две успоредни равнини, пресича и втората.

4. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и специализирани нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то издание, коригирано и разширено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задачи 6, 8, 9 стр

Успоредност на равнините. Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, то тези равнини са успоредни.
Доказателство. Позволявам аИ b- самолетни данни, а 1И а 2– прави линии в равнината а, пресичащи се в точка А, b 1И б 2съответно успоредните им прави в равнината b. Да приемем, че самолетите аИ bне са успоредни, тоест те се пресичат по някаква права линия с. Направо А 1 е успоредна на правата b 1, което означава, че е успореден на самата равнина b(знак за успоредност между права и равнина). Направо А 2 е успоредна на правата b 2,това означава, че е успореден на самата равнина b(знак за успоредност между права и равнина). Направо спринадлежи на самолета а, което означава поне една от правите линии а 1или а 2пресича права с,тоест има обща точка с него. Но направо ссъщо принадлежи на самолета b, което означава пресичане на линията с,прав а 1или а 2пресича равнината b, което няма как, тъй като са прави а 1И а 2успоредна на равнината b. От това следва, че самолетите аИ bне се пресичат, тоест са успоредни.

Теорема 1 . Ако две успоредни равнини се пресичат на трети, тогава правите линии на пресичане са успоредни.
Доказателство. Позволявам аИ b- успоредни равнини, и ж - пресичащата ги равнина. Самолет асе пресичат с равнината ж по права линия А.Самолет bсе пресичат с равнината жпо права линия b.Пресечни линии АИ bлежат в една и съща равнина ж и следователно могат да бъдат пресичащи се или успоредни прави. Но, принадлежащи на две успоредни равнини, те не могат да имат общи точки. Следователно те са успоредни.

Теорема 2. Отсечките от успоредни прави, затворени между две успоредни равнини, са равни.
Доказателство. Позволявам аИ b- успоредни равнини, и А И b- пресичащи ги успоредни прави. Чрез прави линии АИ bще проведем самолет ж (тези линии са успоредни, което означавадефинирайте равнина и само една). Самолет асе пресичат с равнината ж по права линия AB . Самолет bсе пресичат с равнината жпо правата SD Съгласно предходната теорема правата линия суспоредна на правата д. Директен а,б, AB И SD принадлежат на самолета жЧетириъгълник, ограничен от тези прави, е успоредник (противоположните му страни са успоредни). И тъй като това е успоредник, тогава противоположните му страни са равни, тоест AD = BC

e собственост на pa успоредни прави, наречени преходнипаралелизъм:

Ако две прави a и b са успоредни на трета права c, тогава те са успоредни ни един към друг.

Но е по-трудно да се докаже това свойство в стереометрията. В равнина неуспоредните прави трябва да се пресичат и следователно не могат да бъдат успоредни на трета права едновременно (в противен случай се нарушава аксиомата за успоредност). В пров пространството има неуспоредни иобем от несвързани линииако лежат в различни равнини. Такива прави линии се пресичат.

На фиг. 4 показва куб; прави AB и BC се пресичат, AB и CDса успоредни, а AB и B СЪС кръстосвам се. В бъдеще често ще прибягваме до помощта на куб, за да илюстрирамесортиране на концепциите и фактите на стереометрията. Нашият куб е залепен заедно от шест квадратни лица. Въз основа на това ще изведем другите му свойства. Например, можем да кажем, че правата AB е успоредна на CД,тъй като и двете са успоредни на общата страна на CD сквадрати, които ги държат.

В стереометрията отношението на успоредност се разглежда и за равнини: две равниниПрава или права и равнина са успоредни, ако нямат общи точки. Удобно е права линия и равнина да се считат за успоредни дори когато лежат в равнината. За равнини и прави са валидни следните теореми за транзитивност:

Ако две равнини са успоредни на трета равнина, тогава те са успоредни една на друга.
Ако права и равнина са успоредни на някаква права (или равнина), тогава те са успоредни една на друга.

Най-важният специален случай на втората теорема е знакът за успоредност между права и равнина:

Една права е успоредна на равнина, ако е успоредна на някаква права в тази равнина.

И ето знак за успоредни равнини:

Ако две пресичащи се прави в една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави в друга равнина, тогава равнините са успоредни.

Често се използва следната проста теорема:

Правите, по които две успоредни равнини се пресичат с трета, са успоредни една на друга.

Нека отново да погледнем куба (фиг. 4). От знака за успоредност между права и равнина следва например, че правата А IN успоредна на равнината ABCD (тъй като е успоредна на правата AB в тази равнина), и срещуположните страни на куба, по-специално A IN СЪС д и ABCD, успоредни въз основа на успоредността на равнините: прави A б и Б СЪС в едното лице са съответно успоредни на правите AB и BC в другото. И един малко по-прост пример. Равнина, съдържаща успоредни прави AA и СС, пресичат успоредни равнини ABCD и A б ° С д по прави линии AC и A СЪС, това означава, че тези прави са успоредни: по същия начин, успоредни прави B С и А D. Следователно успоредни равнини AB С и А DC, пресичащ куба в триъгълници.

III. Изображение на пространствени фигури.

Има такъв афоризъм Геометриятова е изкушениеспособност да разсъждава правилно върху неправилен чертеж. Наистина, ако се върнем къмВъз основа на горните разсъждения се оказва, че:

единствената полза, която получихме от придружаващата рисунка на куба, беше, че ни спести малко място в обяснениетоNI нотации. То може също толкова лесно да бъде изобразено като тялото на фиг. 4, I, въпреки че очевидно нещото, представено на него, не само не е куб, но също така не е многостен. И все пак горният афоризъм съдържа само част от истината. В крайна сметка, преди да обсъдимтрябва да представи завършено доказателствомисля. И за това трябва ясно да си представите дадената фигура, връзките между нейните елементи. Една добра рисунка помага за развитието на такава идея. Освен това, както ще видим, в стереометрията една успешна рисунка можеможе да стане не просто илюстрация, а основа за решаване на проблем.

Художник (или по-скоро художник реалист) нарисува нашия куб така, както го виждаме (фиг. 5, b), т.е. в перспектива или централноняма проекция. С централна проекция от точка O (проекционен център) върху равнината a,произволна точка X е представена от точка X, в която a пресича правата OX (фиг. 6). Централната проекция поддържа праволинейностлинейно подреждане на точки, но, като правило, трансформира успоредни линии в пресечни точкипромяна, да не говорим за факта, че променя разстоянията и ъглите. Изучавайки свойствата му придоведе до появата на важен раздел от геометрията (виж статията Проективна геометрия).

Но в геометричните чертежи се използва различна проекция. Можем да кажем, че се получава от централната, когато центърът O се отдалечи до безкрайност и правите OX станат paпаралелен.

Нека изберем равнина a и пресичаща я права l. Нека начертаем права линия през точка X, paуспоредно л. Точката X, в която тази права среща a, е успоредна проекция на X върху равнината, a по правата линия l (фиг. 7). относнопроекцията на фигура се състои от проекциите на всички нейни точки. В геометрията изображението на фигура е нейната успоредна проекция.

По-конкретно изображението на права линияправа линия ли е или (в изключителни случаи)чай, когато правата е успоредна на посоката на проекцията) точка. В изображението има паралел