Нека са дадени равнина и точка, която не лежи на нея:
Перпендикуляр, пуснат от дадена точка върху дадена равнина, е отсечка, свързваща дадена точка с точка от равнината и лежаща на права линия, перпендикулярна на равнината;
- краят на този сегмент, лежащ в равнината, се нарича основа на перпендикуляра;
- разстоянието от точка до равнина е дължината на перпендикуляр, прекаран от тази точка към равнината;
Наклонена линия, прекарана от дадена точка към дадена равнина, е всеки сегмент, свързващ дадена точка с точка от равнината, която не е перпендикулярна на равнината;
- краят на сегмента, лежащ в равнината, се нарича наклонена основа;
Отсечка, свързваща основите на перпендикуляр и наклонена, изтеглени от една и съща точка, се нарича наклонена проекция.
На фигурата от точка A към равнината са прекарани перпендикуляр AB и наклонена AC. Точка B е основата на перпендикуляра, точка C е основата на наклонения, BC е проекцията на наклонения AC върху равнината.
Теорема за три перпендикуляра:
Ако права линия, начертана в равнина през наклонена основа, перпендикулярно на него проекции, тогава е перпендикулярна наклонен. И обратното: Ако права линия в равнина е перпендикулярна на наклонена, то тя е перпендикулярна и наклонена проекция.
Две пресичащи се равнини се наричат перпендикулярни, ако третата равнина, перпендикулярна на линията на пресичане на тези равнини, ги пресича по перпендикулярни линии.
Пример #1
През центъра на окръжност, вписана в триъгълник, е прекарана права линия, перпендикулярна на равнината на триъгълника. Докажете, че всяка точка от тази права е на еднакво разстояние от страните на триъгълника.
Нека A, B, C са допирните точки на страните на триъгълника с окръжността, O е центърът на окръжността и S е точката на перпендикуляра. Тъй като радиусът OA е перпендикулярен на страната на триъгълника, тогава, съгласно теоремата за три перпендикуляра, сегментът SA е перпендикулярен на тази страна, а дължината му е разстоянието от точката S до страната на триъгълника. Според Питагоровата теорема SA=, където r е радиусът на вписаната окръжност. По същия начин намираме: 
, т.е. всички разстояния от точка S до страните на триъгълника са равни.
Контролни въпроси:
- Какво е перпендикуляр, пуснат от дадена точка върху равнина?
- Какво е наклонена проекция?
Практическа част:
1. Дадени са права а и равнина. Начертайте през права a равнина, перпендикулярна на равнината.
2. Докажете, че ако една права е успоредна на равнина, то всички нейни точки са на еднакво разстояние от равнината.
3. От точка към равнина са начертани две наклонени, едната от които е с 20 см по-голяма от другата. Наклонените проекции са 10 см и 30 см. Намерете наклонените.
4. Страната на квадрата е равноотдалечена от всички върхове на квадрата и е на разстояние 6 см от пресечната точка на неговите диагонали. Намерете разстоянието от тази точка до върховете на квадрата.
5. Начертани са две наклонени към равнина, равна на 10 cm и разликата в проекциите на тези наклонени е 9 cm.
6. От една точка към равнина са начертани две наклонени, равни на 23 cm и 33 cm. Намерете разстоянието от тази точка до равнината, ако проекциите на наклонените са в отношение 2:3.
8. Правата a е перпендикулярна на равнината ABC. MD = 13. AC = 15, BC = 20. AC BC, MD AB. Намерете MC.
9. Катетите на правоъгълния триъгълник ABC (C = 90°) са равни на 4 cm и 3 cm. Точка M се намира на разстояние √6 cm от равнината на триъгълника ABC и на същото разстояние от всичките му върхове. Намерете разстоянието от точка M до върховете на триъгълника.
Литература:
1. Математика: учебник за институции нач. и сряда проф. образование / M.I. Башмаков. – М.: Издателски център „Академия“, 2010 г.
Самостоятелна работа №5.
Решаване на задачи, включващи преброяване на броя на поставянията и пермутациите.
Цел на урока: овладяване на методи за решаване на задачи, включващи изчисляване на броя на пробите
Теоретична част:
Комбинаториката е част от математиката, която е посветена на решаването на проблеми с избора и подреждането на елементи от определено крайно множество в съответствие с дадени правила, т.е. комбинаториката решава проблема с избирането на елементи от краен набор и подреждането на тези елементи в някакъв ред.
Подредбите на n - елементи по m - елементи () са комбинации, съставени от дадени n - елементи по m - елементи, които се различават един от друг или по самите елементи, или по реда на елементите.
N(n-1)(n-2)…(n-m+1)
Пример № 1. Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1...9?
Пермутациите на n-елементи са броят на поставянията на тези n-елементи в n-елементи.
N(n-1)(n-2)…1=n!
Пример № 2. По колко начина могат да се подредят 5 книги на един рафт?
Комбинации от n - елементи по m - елементи са комбинации, съставени от дадени n - елементи по m - елементи, които се различават един от друг с поне един елемент.
Пример № 3. В група има 30 студента. За да преминат теста, те трябва да бъдат разделени на три групи. По колко начина може да стане това?
Контролни въпроси:
1. Очертайте целите на комбинаториката.
2. Как се нарича броят комбинации от n елемента на m?
3. Как се нарича броят на поставянията на n елемента в m?
4. Какво се нарича пермутация на n елемента?
Практическа част:
1. По колко начина група от 25 души може да изпрати 4 студента на научно-практическа конференция?
2. Десет ученици си подадоха ръка. Колко ръкостискания имаше?
3. По колко начина може да се направи трицветно раирано знаме от седем парчета материал с различни цветове?
4. Колко речника трябва да бъдат публикувани, за да можете да превеждате от всеки от петте езика на всеки от тях?
5. Изчислете:
6. Изчислете:
7. Пресметнете: 5! + 6!
8. Намерете броя на подредбите на 10 елемента от 4.
9. Изчислете:
10. Тридесет студенти си размениха снимки. Колко снимки имаше общо?
11. По колко начина могат да бъдат избрани трима души от осем кандидати за три позиции?
12. Решете уравнението:
13. Изчислете стойността на израза:
14. Пресметнете стойността на израза.
5. Успоредни прави
Две прави се наричат паралелен, ако, намирайки се в една и съща равнина, те не се пресичат.
Успоредността на линиите се обозначава със знака || (например AB||CD).
Теорема. Два перпендикуляра на една и съща права са успоредни.
Доказателство: Ако перпендикулярите се пресичат в някаква точка, тогава два перпендикуляра ще бъдат начертани от тази точка върху права линия, което е невъзможно.
Наименования на ъгли, получени при пресичане на две прави с трета
Признаци на паралелизъм.
Ако, когато две прави линии се пресичат с трета права линия:
всички съответни ъгли са равни,
или някои напречни ъгли са равни,
или сумата от всеки два вътрешни или два външни едностранни ъгъла е равна на 180 градуса,
тогава двете прави са успоредни.
Аксиома за успоредни прави.
През една и съща точка е невъзможно да се начертаят две различни прави, успоредни на една и съща права.Следствие 1. Ако една права пресича една от успоредните прави, тогава тя пресича и другата.
Следствие 2. Две прави, успоредни на трета, са успоредни.
Ъгли със съответно успоредни или перпендикулярни страни.
Теорема. Ако страните на един ъгъл са съответно успоредни на страните на друг ъгъл, тогава тези ъгли са или равни, или се събират до два прави ъгъла.
Теорема. Ако страните на един ъгъл са съответно перпендикулярни на страните на друг ъгъл, тогава тези ъгли са или равни, или се събират до два прави ъгъла.
Сборът от ъглите на триъгълник и многоъгълник.
Теорема. Сборът от ъглите на триъгълник е равен на два прави ъгъла.
Последствия
:1. Всеки външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два вътрешни ъгъла.
2. Ако два ъгъла на един триъгълник са равни на два ъгъла на друг триъгълник, то и третите ъгли са равни.
3. Сборът от два остри ъгъла на правоъгълен триъгълник е равен на прав ъгъл.
Теорема. Сума от ъгли
n-gon е 180*(n-2) степени.Теорема. Сборът от външните ъгли на многоъгълник е равен на четири прави ъгъла.
2. Дадени са две прави, пресичащи се в точка C. Всяка трета права лежи ли с тях в една и съща равнина, има ли обща точка с всяка от тези прави?
3.
4. Разстоянието между две успоредни равнини е 8 cm Права отсечка с дължина 17 cm е разположена между тях така, че краищата й принадлежат на равнините. Намерете проекцията на този сегмент върху всяка от равнините.
5. Довършете изречението, за да направите правилното твърдение:
Г) Не знам
6. Правите a и b са перпендикулярни. Точки A и B принадлежат на права a, точки C и D принадлежат на права b. Лежат ли правите AC и BD в една и съща равнина?
7. В куба ABCDA1B1C1D1 са начертани диагоналите на лицата AC и B1D1. каква е относителната им позиция?
8. Ръбът на куба ABCDA1B1C1D1 е равен на m. Намерете разстоянието между правите AB и CC1.
A) 2m B) 1/2m C) m D) Не знам
9. Определете дали твърдението е вярно:
A) да B) не C) не винаги D) не знам
10. В куба ABCDA1B1C1D1 намерете ъгъла между равнините BCD и ВСС1В1.
A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°
11. Има ли призма само с една страна, перпендикулярна на основата?
A) да B) не C) Не знам
12. Може ли диагоналът на правоъгълен паралелепипед да бъде по-малък от страничния му ръб?
A) да B) не C) Не знам
13. Каква е страничната повърхност на куб с ръб 10?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Каква е общата повърхност на куб, ако диагоналът му е d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Колко равнини на симетрия има правилната четириъгълна пирамида?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Какво е аксиалното сечение на всяка правилна пирамида?
А) равностранен триъгълник
Б) правоъгълник
Б) трапец
Г) равнобедрен триъгълник
моля, помогнете ми да реша теста1. Колко общи прави могат да имат две различни несъвпадащи равнини?
A) 1 B) 2 C) безкраен брой D) нито едно E) не знам
2. Дадени са две прави, пресичащи се в точка C. Всяка трета права лежи ли с тях в една и съща равнина, като има обща точка с всяка от тези прави?
A) винаги да B) винаги не C) лъже, но не винаги D) Не знам
3. Определете дали твърдението е вярно:
Две равнини са успоредни, ако са успоредни на една и съща права.
A) да B) не C) не знам D) не винаги
4. Разстоянието между две успоредни равнини е 8 cm Права отсечка с дължина 17 cm е разположена между тях така, че краищата й принадлежат на равнините. Намерете проекцията на този сегмент върху всяка от равнините.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Не знам
5. Попълнете фразата, за да направите правилното твърдение:
Ако права линия, лежаща в една от двете перпендикулярни равнини, е перпендикулярна на тяхната пресечна линия, тогава тя...
А) успоредна на друга равнина
B) се пресича с друга равнина
Б) перпендикулярна на друга равнина
Г) Не знам
6. Правите a и b са перпендикулярни. Точки A и B принадлежат на права a, точки C и D принадлежат на права b. Лежат ли правите AC и BD в една и съща равнина?
A) да B) не C) не винаги D) не знам
7. В куба ABCDA1B1C1D1 са начертани диагоналите на лицата AC и B1D1. каква е относителната им позиция?
A) пресичат се B) пресичат C) успоредни D) не знам
8. Ръбът на куба ABCDA1B1C1D1 е равен на m. Намерете разстоянието между правите AB и CC1.
A) 2m B) B) m D) Не знам
9. Определете дали твърдението е вярно:
Ако две прави образуват равни ъгли с една и съща равнина, тогава те са успоредни.
A) да B) не C) не винаги D) не знам
10. В куба ABCDA1B1C1D1 намерете ъгъла между равнините BCD и ВСС1В1.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Има ли призма само с една страна, перпендикулярна на основата?
A) да B) не C) Не знам
12. Може ли диагоналът на правоъгълен паралелепипед да бъде по-малък от страничния му ръб?
A) да B) не C) Не знам
13. Каква е площта на страничната повърхност на куб с ръб 10?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Каква е общата повърхност на куб, ако диагоналът му е d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Колко равнини на симетрия има правилната четириъгълна пирамида?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Какво е аксиалното сечение на всяка правилна пирамида?
А) равностранен триъгълник
Б) правоъгълник
Б) трапец
Г) равнобедрен триъгълник
точки, които не лежат на една права?
2. Могат ли две различни равнини да имат само две общи точки?
Директен а иb пресичат се в точка М.Правата c, която не минава през точка M, пресича правите АИ b. Всички тези три прави лежат в една и съща равнина? Каква е относителната позиция на линиите: 1) А 1 д И MN; 2) А 1 д И V 1C; 3) MN И A 1B1(Фиг. 1). Директен АИ b пресечено с права линия с.Може направо АИ b да са успоредни? Две прави са успоредни на една и съща равнина. Можем ли да кажем, че тези прави са успоредни една на друга? Ако не, каква е относителната им позиция? На фигура 2 има прави линии Тип паралелен. Точки АИ INсъответно принадлежат към директния тип; b лежи в равнина α, a\\b. Каква е относителната позиция на правите b и c? Даден е четириъгълник ABCD и самолет α. Диагоналите му ACИ BD успоредна на равнината α. Какво е взаимното положение ABи самолети α? Самолети α и β са успоредни. Пресичащи се в точка Мправ АИ b пресичат равнината α съответно на точки INИ а,и равнината β - по точки дИ ЕНамерете отношение
10. Плоскост α минава през диагонала на основата на паралелепипеда и средата на една от страните на горната основа. Определете вида на секцията.