Концепцията за успоредни прави
Определение 1
Паралелни линии– прави, които лежат в една равнина не съвпадат и нямат общи точки.
Ако правите линии имат обща точка, то те пресичат се.
Ако всички точки са прави съвпада, тогава по същество имаме една права линия.
Ако линиите лежат в различни равнини, тогава условията за техния паралелизъм са малко по-големи.
Когато се разглеждат прави линии в една и съща равнина, може да се даде следното определение:
Определение 2
Две прави в една равнина се наричат паралелен, ако не се пресичат.
В математиката успоредните прави обикновено се означават със знака за успоредност „$\parallel$“. Например фактът, че правата $c$ е успоредна на правата $d$, се означава по следния начин:
$c\паралелен d$.
Концепцията за успоредни сегменти често се разглежда.
Определение 3
Двата сегмента се наричат паралелен, ако лежат на успоредни прави.
Например на фигурата отсечките $AB$ и $CD$ са успоредни, т.к принадлежат на успоредни прави:
$AB \паралелен CD$.
В същото време отсечките $MN$ и $AB$ или $MN$ и $CD$ не са успоредни. Този факт може да бъде написан със символи, както следва:
$MN ∦ AB$ и $MN ∦ CD$.
По подобен начин се определя успоредността на права и отсечка, права и лъч, отсечка и лъч или два лъча.
Историческа справка
СЪС гръцки езикКонцепцията за „паралелос“ се превежда като „наблизо“ или „държани един до друг“. Този термин е бил използван в древната школа на Питагор дори преди да бъдат дефинирани успоредните прави. Според исторически фактиЕвклид през $III$ век. пр.н.е. неговите творби все пак разкриват смисъла на понятието успоредни прави.
В древни времена знакът за обозначаване на успоредни прави е имал различен вид от този, който използваме съвременна математика. Например древногръцкият математик Пап през $III$ век. AD паралелизмът беше посочен със знак за равенство. Тези. фактът, че правата $l$ е успоредна на правата $m$, преди това беше означаван с “$l=m$”. По-късно познатият знак “$\parallel$” започва да се използва за обозначаване на успоредността на правите, а знакът за равенство започва да се използва за обозначаване на равенството на числата и изразите.
Паралелни линии в живота
Често не забелязваме, че в обикновения живот сме заобиколени от огромен брой успоредни линии. Например в музикална книга и колекция от песни с ноти персоналът се прави с помощта на успоредни линии. Също паралелни линиисъщо се намират в музикални инструменти(например струни за арфа, струни за китара, клавиши за пиано и др.).
Електрическите проводници, които са разположени по протежение на улици и пътища, също са успоредни. Релси на линията на метрото и железнициса разположени успоредно.
Освен в ежедневието, паралелни линии могат да бъдат открити в живописта, в архитектурата и в строителството на сгради.
Паралелни линии в архитектурата
В представените изображения архитектурните структури съдържат успоредни линии. Използването на паралелни линии в строителството спомага за увеличаване на експлоатационния живот на такива конструкции и им придава изключителна красота, привлекателност и величие. Електропроводите също са умишлено положени успоредно, за да се избегне пресичането или докосването им, което би довело до късо съединение, прекъсвания и загуба на електричество. За да може влакът да се движи свободно, релсите също са направени в успоредни линии.
В живописта успоредните линии се изобразяват като събиращи се в една линия или близо до нея. Тази техника се нарича перспектива, която следва от илюзията за зрение. Ако се вгледате в далечината дълго време, успоредните прави линии ще изглеждат като две събиращи се линии.
Те не се пресичат, независимо колко дълго са продължени. Успоредността на правите линии в писмена форма се означава по следния начин: AB|| СЪСд
Възможността за съществуването на такива линии се доказва от теоремата.
Теорема.
През всяка точка, взета извън дадена права, може да се начертае точка, успоредна на тази права.
Позволявам ABтази права линия и СЪСнякаква точка, взета извън него. Изисква се да се докаже, че чрез СЪСможете да начертаете права линия паралеленAB. Нека го намалим до ABот точка СЪС перпендикуляренСЪСди тогава ще дирижираме СЪСд^ СЪСд, какво е възможно. Направо н.е.паралелен AB.
За да докажем това, нека приемем обратното, т.е н.е.пресича ABв някакъв момент М. След това от точката Мкъм права линия СЪСдще имаме два различни перпендикуляра МдИ Г-ЦА, което е невъзможно. означава, н.е.не може да премине с AB, т.е. СЪСдпаралелен AB.
Последица.
Два перпендикуляра (CдИД.Б.) до една права линия (Cд) са успоредни.
Аксиома за успоредни прави.
През една и съща точка е невъзможно да се начертаят две различни прави, успоредни на една и съща права.
Така че, ако направо СЪСд, прекаран през точката СЪСуспоредна на правата AB, след това всеки друг ред СЪСд, прекаран през същата точка СЪС, не могат да бъдат успоредни AB, т.е. тя е на продължение ще се пресичатс AB.
Доказването на тази не съвсем очевидна истина се оказва невъзможно. Приема се без доказателство, като необходимо предположение (постулат).
Последствия.
1. Ако прав(СЪСд) се пресича с един от паралелен(NE), след което се пресича с друг ( AB), защото в в противен случайпрез същата точка СЪСще има две различни линии, минаващи успоредно AB, което е невъзможно.
2. Ако всяко от двете директен (АИб) са успоредни на една и съща трета линия ( СЪС) , тогава те паралеленпомежду си.
Наистина, ако приемем, че АИ бсе пресичат в някаква точка М, тогава две различни прави ще минават през тази точка, успоредни СЪС, което е невъзможно.
Теорема.
Ако линията е перпендикулярнакъм една от успоредните прави, то тя е перпендикулярна на другата паралелен.
Позволявам AB || СЪСдИ EF ^ AB.Изисква се да се докаже това EF ^ СЪСд.
ПерпендикулярендЕ, пресичаща се с AB, със сигурност ще пресече и СЪСд. Нека пресечната точка е з.
Нека сега приемем това СЪСдне е перпендикулярно на Е.Х.. После някоя друга права линия, например Х.К., ще бъде перпендикулярна на Е.Х.и следователно през същата точка зще има две прав паралел AB: един СЪСд, по условие и другото Х.К.както е доказано по-рано. Тъй като това е невъзможно, не може да се приеме, че NEне беше перпендикулярна на Е.Х..
1. Ако две прави са успоредни на трета права, тогава те са успоредни:
Ако а||° СИ b||° С, Че а||b.
2. Ако две прави са перпендикулярни на третата права, то те са успоредни:
Ако а⊥° СИ b⊥° С, Че а||b.
Останалите признаци на паралелност на линиите се основават на ъглите, образувани при пресичане на две прави линии с трета.
3. Ако сборът на вътрешните едностранни ъгли е 180°, то правите са успоредни:
Ако ∠1 + ∠2 = 180°, тогава а||b.
4. Ако съответните ъгли са равни, то правите са успоредни:
Ако ∠2 = ∠4, тогава а||b.
5. Ако вътрешните напречни ъгли са равни, тогава правите са успоредни:
Ако ∠1 = ∠3, тогава а||b.
Свойства на успоредните прави
Твърденията, обратни на свойствата на успоредните прави, са техните свойства. Те се основават на свойствата на ъглите, образувана от кръстовищетодве успоредни прави и трета права.
1. Когато две успоредни прави пресичат трета права, сумата от образуваните от тях вътрешни едностранни ъгли е равна на 180°:
Ако а||b, тогава ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Когато две успоредни прави пресичат трета права, съответните ъгли, образувани от тях, са равни:
Ако а||b, тогава ∠2 = ∠4.
3. Когато две успоредни прави пресичат трета права, напречните ъгли, които образуват, са равни:
Ако а||b, тогава ∠1 = ∠3.
Следното свойство е специален случай за всяко предишно:
4. Ако една права в равнина е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, то тя е перпендикулярна и на другата:
Ако а||bИ ° С⊥а, Че ° С⊥b.
Петото свойство е аксиомата за успоредни прави:
5. През точка, която не лежи на дадена права, може да се прекара само една права, успоредна на дадената права.
Тази статия е за успоредни прави и успоредни прави. Първо се дава определението за успоредни прави в равнина и в пространството, въвеждат се обозначения, дават се примери и графични илюстрации на успоредни прави. След това се обсъждат признаците и условията за успоредност на правите. В заключение са показани решения на типични задачи за доказване на успоредността на прави, които са дадени с някои уравнения на прави в правоъгълна системакоординати в равнината и в триизмерно пространство.
Навигация в страницата.
Успоредни прави - основна информация.
Определение.
Две прави в една равнина се наричат паралелен, ако нямат общи точки.
Определение.
Две линии в тримерното пространство се наричат паралелен, ако лежат в една равнина и нямат общи точки.
Моля, обърнете внимание, че клаузата „ако лежат в една равнина“ в дефиницията на успоредни прави в пространството е много важна. Нека изясним тази точка: две прави в триизмерното пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни, а се пресичат.
Ето няколко примера за успоредни прави. Противоположните краища на бележника лежат на успоредни прави. Правите линии, по които равнината на стената на къщата пресича равнините на тавана и пода, са успоредни. Железопътните релси на равен терен също могат да се считат за успоредни линии.
За да обозначите успоредни прави, използвайте символа “”. Тоест, ако правите a и b са успоредни, тогава можем накратко да напишем a b.
Моля, обърнете внимание: ако прави a и b са успоредни, тогава можем да кажем, че права a е успоредна на права b, а също така, че права b е успоредна на права a.
Нека изразим твърдението, което играе важна роляпри изучаване на успоредни прави в равнина: през точка, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Това твърдение се приема за факт (не може да се докаже на базата на известните аксиоми на планиметрията) и се нарича аксиома за успоредните прави.
За случая в пространството е валидна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема се доказва лесно с помощта на горната аксиома за успоредни прави (можете да намерите нейното доказателство в учебника по геометрия за 10-11 клас, който е посочен в края на статията в списъка с литература).
За случая в пространството е валидна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема може лесно да се докаже с помощта на горната аксиома за успоредна права.
Успоредност на прави - признаци и условия на успоредност.
Знак за успоредност на линиитее достатъчно условиеуспоредност на линиите, т.е. условие, чието изпълнение гарантира успоредност на линиите. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да се установи, че правите са успоредни.
Съществуват и необходими и достатъчни условия за успоредност на прави в равнина и в тримерно пространство.
Нека обясним значението на израза „необходимо и достатъчно условие за успоредни прави“.
Вече разгледахме достатъчното условие за успоредни прави. И какво е " необходимо условиеуспоредност на линиите"? От името „необходимо“ става ясно, че изпълнението на това условие е необходимо за успоредни прави. С други думи, ако не е изпълнено необходимото условие правите да са успоредни, то правите не са успоредни. По този начин, необходимо и достатъчно условие за успоредни правие условие, чието изпълнение е необходимо и достатъчно за успоредни прави. Тоест, от една страна, това е знак за успоредност на правите, а от друга страна, това е свойство, което притежават успоредните прави.
Преди да формулирате необходимо и достатъчно условие за успоредност на линиите, препоръчително е да си припомните няколко спомагателни определения.
Секуща правае права, която пресича всяка от две дадени несъвпадащи прави.
При пресичане на две прави линии с напречна се образуват осем неразвити. При формулирането на необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите, т.нар лежащи на кръст, съответстващиИ едностранни ъгли. Нека ги покажем на чертежа.
Теорема.
Ако две прави в една равнина са пресечени от напречна, то за да са успоредни е необходимо и достатъчно пресичащите се ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сборът от едностранните ъгли да е равен на 180. степени.
Нека да покажем графична илюстрация на това необходимо и достатъчно условие за успоредност на прави в равнина.
Доказателства за тези условия за успоредността на правите можете да намерите в учебниците по геометрия за 7-9 клас.
Имайте предвид, че тези условия могат да се използват и в триизмерно пространство - основното е двете прави и секущата да лежат в една равнина.
Ето още няколко теореми, които често се използват за доказване на успоредността на правите.
Теорема.
Ако две прави в една равнина са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството на този критерий следва от аксиомата за успоредните прави.
Съществува подобно състояниеуспоредност на линиите в триизмерното пространство.
Теорема.
Ако две прави в пространството са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството на този критерий се разглежда в часовете по геометрия в 10. клас.
Нека илюстрираме изложените теореми.
Нека представим друга теорема, която ни позволява да докажем успоредността на прави в равнина.
Теорема.
Ако две прави в една равнина са перпендикулярни на трета права, тогава те са успоредни.
Има подобна теорема за прави в пространството.
Теорема.
Ако две прави в триизмерното пространство са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.
Нека начертаем картинки, съответстващи на тези теореми.
Всички теореми, критерии и необходими и достатъчни условия, формулирани по-горе, са отлични за доказване на паралелността на правите с помощта на методите на геометрията. Тоест, за да докажеш успоредността на две дадени прави, трябва да покажеш, че те са успоредни на трета права, или да покажеш равенството на напречните ъгли и т.н. Няколко подобни задачирешени в уроците по геометрия в гимназия. Все пак трябва да се отбележи, че в много случаи е удобно да се използва координатният метод за доказване на успоредността на линиите в равнина или в триизмерно пространство. Нека формулираме необходимите и достатъчни условия за успоредност на прави, които са зададени в правоъгълна координатна система.
Успоредност на прави в правоъгълна координатна система.
В този параграф на статията ще формулираме необходими и достатъчни условия за успоредни правив правоъгълна координатна система, в зависимост от вида на уравненията, определящи тези прави линии, и ние също представяме подробни решенияхарактерни задачи.
Да започнем с условието за успоредност на две прави в равнина в правоъгълната координатна система Oxy. Неговото доказателство се основава на дефиницията на насочващия вектор на права и дефиницията на нормалния вектор на права в равнина.
Теорема.
За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в една равнина, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни, или нормалните вектори на тези прави да са колинеарни, или насочващият вектор на една права да е перпендикулярен на нормалата вектор на втория ред.
Очевидно условието за успоредност на две прави в равнина се свежда до (насочващи вектори на прави или нормални вектори на прави) или до (насочващ вектор на една права и нормален вектор на втората права). По този начин, ако и са насочващи вектори на прави a и b, и 
И 
са нормални вектори на прави a и b, съответно, тогава необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите a и b ще бъде записано като 
, или 
, или , където t е реално число. На свой ред координатите на водачите и (или) нормалните вектори на линиите a и b се намират с помощта на известните уравнения на линиите.
По-специално, ако права линия a в правоъгълната координатна система Oxy на равнината определя общо уравнение на права линия от формата 
, и права линия b - 
, тогава нормалните вектори на тези прави имат координати и, съответно, и условието за успоредност на правите a и b ще бъде записано като .
Ако правата a съответства на уравнението на права с ъглов коефициент от формата , а правата b - , тогава нормалните вектори на тези прави имат координати и , а условието за паралелност на тези прави приема формата 
. Следователно, ако линиите в равнина в правоъгълна координатна система са успоредни и могат да бъдат определени чрез уравнения на линии с ъглови коефициенти, тогава склоновеправите линии ще бъдат равни. И обратното: ако несъвпадащи прави на равнина в правоъгълна координатна система могат да бъдат зададени чрез уравнения на права с еднакви ъглови коефициенти, тогава такива прави са успоредни.
Ако права a и права b в правоъгълна координатна система се определят от каноничните уравнения на права в равнина от вида 
И 
, или параметрични уравнения на права линия в равнина на формата 
И 
съответно насочващите вектори на тези прави имат координати и , а условието за успоредност на правите a и b се записва като .
Нека да разгледаме решенията на няколко примера.
Пример.
Успоредни ли са правите? 
И ?
Решение.
Нека пренапишем уравнението на права линия в сегменти във формата общо уравнениеправ: 
. Сега можем да видим, че това е нормалният вектор на правата , a е нормалният вектор на правата. Тези вектори не са колинеарни, тъй като няма такива реално число t, за което равенството ( 
). Следователно необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнина не е изпълнено, следователно дадените прави не са успоредни.
Отговор:
Не, правите не са успоредни.
Пример.
Правите линии и успоредни ли са?
Решение.
Да дадем канонично уравнениеправа към уравнението на права с ъглов коефициент: . Очевидно уравненията на линиите и не са еднакви (в този случай дадените линии биха били еднакви) и ъгловите коефициенти на линиите са равни, следователно оригиналните линии са успоредни.
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост, в съответствие със закона, съдебна процедура, В пробен период, и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.