Какво представляват успоредните прави? Права линия

В тази статия ще говорим за успоредни прави, ще дадем дефиниции и ще очертаем признаците и условията на паралелизма. За яснота теоретичен материалЩе използваме илюстрации и решения на типични примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Успоредни прави на равнина– две прави на равнина, които нямат общи точки.

Определение 2

Успоредни прави в триизмерно пространство – две прави в тримерното пространство, лежащи в една равнина и нямащи общи точки.

Необходимо е да се отбележи, че за определяне на успоредни прави в пространството е изключително важно уточнението „лежат в една и съща равнина“: две прави в триизмерното пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни , но пресичащи се.

За обозначаване на успоредни прави е обичайно да се използва символът ∥. Тоест, ако дадените прави a и b са успоредни, това условие трябва да се запише накратко, както следва: a ‖ b. Посочен е вербален паралелизъм на редовете както следва: правите a и b са успоредни, или правата a е успоредна на правата b, или правата b е успоредна на правата a.

Нека формулираме твърдение, което играе важна роляв изучаваната тема.

Аксиома

През точка, която не принадлежи на дадена права, минава единствената права, успоредна на дадената. Това твърдение не може да бъде доказано въз основа на известните аксиоми на планиметрията.

В случай ние говорим заза пространството теоремата е вярна:

Теорема 1

През всяка точка от пространството, която не принадлежи на дадена права, ще има една права, успоредна на дадената.

Тази теорема е лесна за доказване въз основа на горната аксиома (програма по геометрия за 10 - 11 клас).

Има знак за паралелизъм достатъчно условие, при което се гарантира успоредността на линиите. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да потвърди факта на паралелизма.

По-специално, съществуват необходими и достатъчни условия за паралелност на линиите в равнината и в пространството. Нека обясним: необходимо означава условието, чието изпълнение е необходимо за успоредни прави; ако не е изпълнено, правите не са успоредни.

В обобщение, необходимо и достатъчно условие за успоредност на правите е условие, чието спазване е необходимо и достатъчно, за да бъдат правата успоредни една на друга. От една страна, това е знак за успоредност, от друга страна, това е свойство, присъщо на успоредните прави.

Преди да дадем точната формулировка на необходимо и достатъчно условие, нека си припомним няколко допълнителни понятия.

Определение 3

Секуща права– права, пресичаща всяка от две дадени несъвпадащи прави.

Пресичайки две прави линии, напречната образува осем неразвити ъгъла. За да формулираме необходимо и достатъчно условие, ще използваме такива видове ъгли като кръстосани, съответстващи и едностранни. Нека ги демонстрираме на илюстрацията:

Теорема 2

Ако две прави в една равнина са пресечени от напречна, то за да са успоредни дадените прави е необходимо и достатъчно пресичащите се ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сборът от едностранните ъгли да е равен на 180 градуса.

Нека илюстрираме графично необходимото и достатъчно условие за успоредност на прави в равнина:

Доказателството за тези условия присъства в програмата по геометрия за 7 - 9 клас.

По принцип тези условия важат и за триизмерното пространство, при условие че две прави и секуща принадлежат на една и съща равнина.

Нека посочим още няколко теореми, които често се използват за доказване на факта, че правите са успоредни.

Теорема 3

В една равнина две прави, успоредни на трета, са успоредни една на друга. Тази характеристика се доказва въз основа на посочената по-горе аксиома за паралелизъм.

Теорема 4

В триизмерното пространство две линии, успоредни на трета, са успоредни една на друга.

Доказателството за признак се изучава в учебната програма по геометрия за 10. клас.

Нека дадем илюстрация на тези теореми:

Нека посочим още една двойка теореми, които доказват успоредността на правите.

Теорема 5

В равнина две прави, перпендикулярни на трета, са успоредни една на друга.

Нека формулираме подобно нещо за триизмерното пространство.

Теорема 6

В триизмерното пространство две линии, перпендикулярни на трета, са успоредни една на друга.

Нека да илюстрираме:

Всички горни теореми, признаци и условия позволяват удобно да се докаже успоредността на линиите с помощта на методите на геометрията. Тоест, за да се докаже успоредността на правите, може да се покаже, че съответните ъгли са равни, или да се демонстрира фактът, че две дадени прави са перпендикулярни на третата и т.н. Но имайте предвид, че често е по-удобно да използвате метода на координатите, за да докажете успоредността на линиите в равнина или в триизмерно пространство.

Успоредност на прави в правоъгълна координатна система

В дадена правоъгълна системакоординати, права линия се определя от уравнението на права линия в равнината на една от възможни видове. По същия начин, права линия, дефинирана в правоъгълна координатна система в триизмерно пространство, съответства на някои уравнения за права линия в пространството.

Нека запишем необходимите и достатъчни условия за паралелност на прави в правоъгълна координатна система в зависимост от вида на уравнението, описващо дадените прави.

Да започнем с условието за успоредност на прави в равнина. Базира се на дефинициите на насочващия вектор на правата и нормалния вектор на правата в равнина.

Теорема 7

За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в една равнина, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на дадените прави да са колинеарни, или нормалните вектори на дадените прави да са колинеарни, или насочващият вектор на една права да е перпендикулярен на нормалният вектор на другата права.

Става очевидно, че условието за паралелност на прави в равнина се основава на условието за колинеарност на векторите или условието за перпендикулярност на два вектора. Тоест, ако a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) са насочващи вектори на прави a и b ;

и n b → = (n b x , n b y) са нормални вектори на прави a и b, тогава записваме горното необходимо и достатъчно условие, както следва: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , където t е някакво реално число. Координатите на направляващите или правите вектори се определят от дадените уравнения на правите линии. Нека да разгледаме основните примери.

1. Правата a в правоъгълна координатна система се определя от общото уравнение на правата: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; права линия b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тогава нормалните вектори на дадените прави ще имат съответно координати (A 1, B 1) и (A 2, B 2). Записваме условието за паралелизъм, както следва:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Права a се описва от уравнението на права с наклон от вида y = k 1 x + b 1 . Права b - y = k 2 x + b 2. Тогава нормалните вектори на дадените прави ще имат съответно координати (k 1, - 1) и (k 2, - 1), а условието за успоредност ще запишем по следния начин:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Така, ако успоредни прави на равнина в правоъгълна координатна система са дадени чрез уравнения с ъглови коефициенти, тогава коефициенти на наклондадените линии ще бъдат равни. И обратното твърдение е вярно: ако несъвпадащите прави на равнина в правоъгълна координатна система се определят от уравненията на права с еднакви ъглови коефициенти, то тези дадени прави са успоредни.

1. Правите a и b в правоъгълна координатна система се определят от каноничните уравнения на права върху равнина: x - x 1 a x = y - y 1 a y и x - x 2 b x = y - y 2 b y или от параметрични уравнения на права в равнина: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогава насочващите вектори на дадените прави ще бъдат съответно: a x, a y и b x, b y, а условието за успоредност ще запишем по следния начин:

a x = t b x a y = t b y

Нека да разгледаме примерите.

Пример 1

Дадени са две линии: 2 x - 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1. Необходимо е да се определи дали са успоредни.

Решение

Нека напишем уравнението на права линия в сегменти във формата общо уравнение:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Виждаме, че n a → = (2, - 3) е нормалният вектор на правата 2 x - 3 y + 1 = 0, а n b → = 2, 1 5 е нормалният вектор на правата x 1 2 + y 5 = 1.

Получените вектори не са колинеарни, защото няма такава стойност на t, за която равенството да е вярно:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

По този начин не е изпълнено необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнина, което означава, че дадените прави не са успоредни.

отговор:дадените прави не са успоредни.

Пример 2

Дадени са правите y = 2 x + 1 и x 1 = y - 4 2. Паралелни ли са?

Решение

Да се ​​трансформираме канонично уравнениеправа линия x 1 = y - 4 2 към уравнението на права линия с наклон:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Виждаме, че уравненията на правите y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не са еднакви (ако беше друго, правите щяха да бъдат идентични) и наклоните на правите са равни, което означава даденото линиите са успоредни.

Нека се опитаме да решим проблема по различен начин. Първо, нека проверим дали дадените линии съвпадат. Използваме която и да е точка на правата y = 2 x + 1, например (0, 1), координатите на тази точка не съответстват на уравнението на правата x 1 = y - 4 2, което означава, че линиите не съвпадат.

Следващата стъпка е да се определи дали е изпълнено условието за успоредност на дадените прави.

Нормалният вектор на правата y = 2 x + 1 е векторът n a → = (2 , - 1) , а векторът на посоката на втората дадена права е b → = (1 , 2) . Точков продуктот тези вектори е равно на нула:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

По този начин векторите са перпендикулярни: това ни демонстрира изпълнението на необходимото и достатъчно условие за паралелност на оригиналните линии. Тези. дадените прави са успоредни.

отговор:тези линии са успоредни.

За да се докаже паралелността на правите в правоъгълна координатна система на тримерно пространство, се използва следното необходимо и достатъчно условие.

Теорема 8

За да бъдат успоредни две несъвпадащи прави в тримерното пространство, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни.

Тези. при дадени уравненияна прави линии в тримерното пространство, отговорът на въпроса: успоредни ли са или не, се намира чрез определяне на координатите на насочващите вектори на дадените прави линии, както и проверка на условието за тяхната колинеарност. С други думи, ако a → = (a x, a y, a z) и b → = (b x, b y, b z) са насочващи вектори на прави a и b, съответно, тогава, за да бъдат успоредни, съществуването на такива реално число t, така че да е в сила равенството:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Пример 3

Дадени са правите x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Необходимо е да се докаже успоредността на тези линии.

Решение

Условията на задачата са дадени от каноничните уравнения на една права линия в пространството и параметрични уравнениядруга линия в пространството. Водещи вектори а → и b → дадените линии имат координати: (1, 0, - 3) и (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, тогава a → = 1 2 · b →.

Следователно е изпълнено необходимото и достатъчно условие за паралелност на линиите в пространството.

отговор:успоредността на дадените прави е доказана.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Концепцията за успоредни прави

Определение 1

Успоредни прави– прави, които лежат в една равнина не съвпадат и нямат общи точки.

Ако правите линии имат обща точка, то те пресичат се.

Ако всички точки са прави мач, тогава по същество имаме една права линия.

Ако линиите лежат в различни равнини, тогава условията за техния паралелизъм са малко по-големи.

Когато се разглеждат прави линии в една и съща равнина, може да се даде следното определение:

Определение 2

Две прави в една равнина се наричат паралелен, ако не се пресичат.

В математиката успоредните прави обикновено се означават със знака за успоредност „$\parallel$“. Например фактът, че правата $c$ е успоредна на правата $d$, се означава по следния начин:

$c\паралелен d$.

Концепцията за успоредни сегменти често се разглежда.

Определение 3

Двата сегмента се наричат паралелен, ако лежат на успоредни прави.

Например на фигурата отсечките $AB$ и $CD$ са успоредни, т.к принадлежат на успоредни прави:

$AB \паралелен CD$.

В същото време отсечките $MN$ и $AB$ или $MN$ и $CD$ не са успоредни. Този факт може да бъде написан със символи, както следва:

$MN ∦ AB$ и $MN ∦ CD$.

По подобен начин се определя успоредността на права и отсечка, права и лъч, отсечка и лъч или два лъча.

Исторически фон

СЪС гръцки езикКонцепцията за „паралелос“ се превежда като „наблизо“ или „държани един до друг“. Този термин е бил използван в древната школа на Питагор дори преди да бъдат дефинирани успоредните прави. Според исторически фактиЕвклид през $III$ век. пр.н.е неговите творби все пак разкриват смисъла на понятието успоредни прави.

В древни времена знакът за обозначаване на успоредни прави е имал различен вид от този, който използваме съвременна математика. Например древногръцкият математик Пап през $III$ век. AD паралелизмът беше посочен със знак за равенство. Тези. фактът, че правата $l$ е успоредна на правата $m$, преди това беше означаван с “$l=m$”. По-късно познатият знак “$\parallel$” започва да се използва за обозначаване на успоредността на правите, а знакът за равенство започва да се използва за обозначаване на равенството на числата и изразите.

Паралелни линии в живота

Често не забелязваме, че в обикновения живот сме заобиколени от огромен брой успоредни линии. Например в музикална книга и колекция от песни с ноти персоналът се прави с помощта на успоредни линии. Паралелни линии също се намират в музикални инструменти(например струни за арфа, струни за китара, клавиши за пиано и др.).

Електрическите проводници, които са разположени по протежение на улици и пътища, също са успоредни. Релси на линията на метрото и железнициса разположени успоредно.

Освен в ежедневието, паралелни линии могат да бъдат открити в живописта, в архитектурата и в строителството на сгради.

Паралелни линии в архитектурата

В представените изображения архитектурните структури съдържат успоредни линии. Използването на паралелни линии в строителството спомага за увеличаване на експлоатационния живот на такива конструкции и им придава изключителна красота, привлекателност и величие. Електропроводите също така умишлено се движат паралелно, за да се избегне пресичането или докосването им, което би довело до късо съединение, прекъсвания и загуба на електричество. За да може влакът да се движи свободно, релсите също са направени в успоредни линии.

В живописта успоредните линии се изобразяват като събиращи се в една линия или близо до нея. Тази техника се нарича перспектива, която следва от илюзията за зрение. Ако гледате в далечината за дълго време, успоредните линии ще изглеждат като две събиращи се линии.

Тази статия е за успоредни прави и успоредни прави. Първо се дава определението за успоредни прави в равнина и в пространството, въвеждат се обозначения, дават се примери и графични илюстрации на успоредни прави. След това се обсъждат признаците и условията за успоредност на правите. В заключение са показани решения на типични задачи за доказване на успоредността на прави, които са дадени с определени уравнения на права в правоъгълна координатна система върху равнина и в тримерно пространство.

Навигация в страницата.

Успоредни прави - основна информация.

Определение.

Две прави в една равнина се наричат паралелен, ако нямат общи точки.

Определение.

Две линии в тримерното пространство се наричат паралелен, ако лежат в една равнина и нямат общи точки.

Моля, обърнете внимание, че клаузата „ако лежат в една равнина“ в дефиницията на успоредни прави в пространството е много важна. Нека изясним тази точка: две прави в триизмерното пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни, а се пресичат.

Ето няколко примера за успоредни прави. Противоположните краища на тетрадния лист лежат на успоредни прави. Правите линии, по които равнината на стената на къщата пресича равнините на тавана и пода, са успоредни. Железопътните релси на равен терен също могат да се считат за успоредни линии.

За да обозначите успоредни прави, използвайте символа “”. Тоест, ако правите a и b са успоредни, тогава можем накратко да напишем a b.

Моля, обърнете внимание: ако прави a и b са успоредни, тогава можем да кажем, че права a е успоредна на права b, а също така, че права b е успоредна на права a.

Нека изразим твърдение, което играе важна роля при изучаването на успоредни прави в равнина: през точка, която не лежи на дадена права, минава единствената права линия, успоредна на дадената. Това твърдение се приема за факт (не може да се докаже на базата на известните аксиоми на планиметрията) и се нарича аксиома за успоредните прави.

За случая в пространството е валидна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема се доказва лесно с помощта на горната аксиома за успоредни прави (можете да намерите нейното доказателство в учебника по геометрия за 10-11 клас, който е посочен в края на статията в списъка с литература).

За случая в пространството е валидна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема може лесно да се докаже с помощта на горната аксиома за успоредна права.

Успоредност на прави - признаци и условия на успоредност.

Знак за успоредност на линиитее достатъчно условие за успоредност на правите, т.е. условие, изпълнението на което гарантира, че правите са успоредни. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да се установи, че правите са успоредни.

Съществуват и необходими и достатъчни условия за успоредност на прави в равнина и в тримерно пространство.

Нека обясним значението на фразата „необходимо и достатъчно условие за успоредни прави“.

Вече разгледахме достатъчното условие за успоредни прави. И какво е " необходимо условиеуспоредност на линиите"? От името „необходимо“ става ясно, че изпълнението на това условие е необходимо за успоредни прави. С други думи, ако необходимото условие за успоредни прави не е изпълнено, то правите не са успоредни. по този начин необходимо и достатъчно условие за успоредни правие условие, чието изпълнение е необходимо и достатъчно за успоредни прави. Тоест, от една страна, това е знак за успоредност на правите, а от друга страна, това е свойство, което притежават успоредните прави.

Преди да формулирате необходимо и достатъчно условие за паралелност на линиите, препоръчително е да си припомните няколко спомагателни определения.

Секуща правае права, която пресича всяка от две дадени несъвпадащи прави.

При пресичане на две прави линии с напречна се образуват осем неразвити. Т.нар лежащи на кръст, съответстващиИ едностранни ъгли. Нека ги покажем на чертежа.

Теорема.

Ако две прави в една равнина са пресечени от напречна, то за да са успоредни е необходимо и достатъчно пресичащите се ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сборът от едностранните ъгли да е равен на 180. степени.

Нека покажем графична илюстрация на това необходимо и достатъчно условие за успоредност на прави в равнина.

Доказателства за тези условия за успоредност на прави можете да намерите в учебниците по геометрия за 7-9 клас.

Имайте предвид, че тези условия могат да се използват и в триизмерно пространство - основното е двете прави и секущата да лежат в една и съща равнина.

Ето още няколко теореми, които често се използват за доказване на успоредността на правите.

Теорема.

Ако две прави в една равнина са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството на този критерий следва от аксиомата за успоредните прави.

Съществува подобно състояниеуспоредност на линиите в триизмерното пространство.

Теорема.

Ако две прави в пространството са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството на този критерий се разглежда в часовете по геометрия в 10. клас.

Нека илюстрираме изложените теореми.

Нека представим друга теорема, която ни позволява да докажем успоредността на прави в равнина.

Теорема.

Ако две прави в една равнина са перпендикулярни на трета права, тогава те са успоредни.

Има подобна теорема за прави в пространството.

Теорема.

Ако две прави в триизмерното пространство са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.

Нека начертаем картинки, съответстващи на тези теореми.

Всички теореми, критерии и необходими и достатъчни условия, формулирани по-горе, са отлични за доказване на успоредността на прави с помощта на геометрични методи. Тоест, за да докажеш успоредността на две дадени прави, трябва да покажеш, че те са успоредни на трета права, или да покажеш равенството на напречните ъгли и т.н. много подобни задачирешени в уроците по геометрия в гимназия. Все пак трябва да се отбележи, че в много случаи е удобно да се използва координатният метод за доказване на успоредността на линиите в равнина или в триизмерно пространство. Нека формулираме необходимите и достатъчни условия за успоредност на прави, които са зададени в правоъгълна координатна система.

Успоредност на прави в правоъгълна координатна система.

В този параграф на статията ще формулираме необходими и достатъчни условия за успоредни правив правоъгълна координатна система, в зависимост от вида на уравненията, определящи тези прави линии, и ние също представяме подробни решенияхарактерни задачи.

Да започнем с условието за успоредност на две прави в равнина в правоъгълната координатна система Oxy. Неговото доказателство се основава на дефиницията на насочващия вектор на права и дефиницията на нормалния вектор на права в равнина.

Теорема.

За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в една равнина, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни, или нормалните вектори на тези прави да са колинеарни, или насочващият вектор на една права да е перпендикулярен на нормалата вектор на втория ред.

Очевидно условието за успоредност на две прави в равнина се свежда до (насочващи вектори на прави или нормални вектори на прави) или до (насочващ вектор на една права и нормален вектор на втората права). По този начин, ако и са насочващи вектори на прави a и b, и И са нормални вектори на прави a и b, съответно, тогава необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите a и b ще бъде записано като , или , или , където t е реално число. От своя страна координатите на водачите и (или) нормалните вектори на линиите a и b се намират с помощта на известните уравнения на линиите.

По-специално, ако права линия a в правоъгълната координатна система Oxy на равнината определя общо уравнение на права линия от формата , и права линия b - , тогава нормалните вектори на тези прави имат координати и, съответно, и условието за успоредност на правите a и b ще бъде записано като .

Ако правата a съответства на уравнението на права с ъглов коефициент от формата , а правата b - , тогава нормалните вектори на тези прави имат координати и , а условието за паралелност на тези прави приема формата . Следователно, ако линиите в равнина в правоъгълна координатна система са успоредни и могат да бъдат определени чрез уравнения на линии с ъглови коефициенти, тогава ъгловите коефициенти на линиите ще бъдат равни. И обратното: ако несъвпадащи прави на равнина в правоъгълна координатна система могат да бъдат зададени чрез уравнения на права с еднакви ъглови коефициенти, тогава такива прави са успоредни.

Ако права a и права b в правоъгълна координатна система се определят от каноничните уравнения на права линия в равнина от вида И , или параметрични уравнения на права линия в равнина на формата И съответно насочващите вектори на тези прави имат координати и , а условието за успоредност на правите a и b се записва като .

Нека да разгледаме решенията на няколко примера.

Пример.

Успоредни ли са правите? и ?

Решение.

Нека пренапишем уравнението на линия в сегменти под формата на общо уравнение на линия: . Сега можем да видим, че това е нормалният вектор на правата , a е нормалният вектор на правата. Тези вектори не са колинеарни, тъй като няма реално число t, за което равенството ( ). Следователно необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнината не е изпълнено, следователно дадените прави не са успоредни.

отговор:

Не, правите не са успоредни.

Пример.

Правите и успоредни ли са?

Решение.

Нека редуцираме каноничното уравнение на права линия до уравнението на права линия с ъглов коефициент: . Очевидно уравненията на линиите и не са еднакви (в този случай дадените линии биха били еднакви) и ъгловите коефициенти на линиите са равни, следователно оригиналните линии са успоредни.

Признаци за успоредност на две прави

Теорема 1. Ако, когато две прави се пресичат със секанс:

кръстосаните ъгли са равни, или

съответните ъгли са равни, или

сборът от едностранните ъгли е 180°, тогава

линиите са успоредни(фиг. 1).

Доказателство. Ограничаваме се до доказване на случай 1.

Нека пресичащите се прави a и b са напречни и ъглите AB са равни. Например ∠ 4 = ∠ 6. Нека докажем, че a || b.

Да предположим, че правите a и b не са успоредни. Тогава те се пресичат в някаква точка M и следователно един от ъглите 4 или 6 ще бъде външният ъгъл на триъгълника ABM. За по-ясно нека ∠ 4 е външният ъгъл на триъгълника ABM, а ∠ 6 вътрешният. От теоремата за външен ъгълтриъгълник следва, че ∠ 4 е по-голямо от ∠ 6, а това противоречи на условието, което означава, че правите a и 6 не могат да се пресичат, така че те са успоредни.

Следствие 1. Две различни прави в равнина, перпендикулярна на една и съща права, са успоредни(фиг. 2).

Коментирайте. Начинът, по който току-що доказахме случай 1 от теорема 1, се нарича метод на доказателство чрез противоречие или свеждане до абсурд. Този метод получи първото си име, защото в началото на аргумента се прави предположение, което е в противоречие (противоположно) на това, което трябва да се докаже. Нарича се довеждане до абсурд поради факта, че разсъждавайки на базата на направеното предположение, стигаме до абсурдно заключение (до абсурда). Получаването на такова заключение ни принуждава да отхвърлим предположението, направено в началото, и да приемем това, което трябваше да бъде доказано.

Задача 1.Построете права, минаваща през тази точка M и успоредна на дадена права a, която не минава през точката M.

Решение. Начертаваме права p през точка M, перпендикулярна на правата a (фиг. 3).

След това начертаваме права b през точка M, перпендикулярна на правата p. Правата b е успоредна на правата a съгласно следствието от теорема 1.

От разглеждания проблем следва важен извод:
през точка, която не лежи на дадена права, винаги е възможно да се начертае права, успоредна на дадената.

Основното свойство на успоредните прави е следното.

Аксиома за успоредни прави. През дадена точка, която не лежи на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.

Нека разгледаме някои свойства на успоредните прави, които следват от тази аксиома.

1) Ако една права пресича една от две успоредни прави, то тя пресича и другата (фиг. 4).

2) Ако две различни прави са успоредни на трета права, то те са успоредни (фиг. 5).

Следващата теорема също е вярна.

Теорема 2. Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, тогава:

напречните ъгли са равни;

съответните ъгли са равни;

сборът от едностранните ъгли е 180°.

Следствие 2. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата(виж Фиг. 2).

Коментирайте. Теорема 2 се нарича обратна на Теорема 1. Заключението на Теорема 1 е условието на Теорема 2. А условието на Теорема 1 е заключението на Теорема 2. Не всяка теорема има обратна, т.е. ако тази теоремае вярно, тогава обратната теорема може да не е вярна.

Нека обясним това с примера на теоремата за вертикални ъгли. Тази теорема може да се формулира по следния начин: ако два ъгъла са вертикални, те са равни. Обратната теорема би била: ако два ъгъла са равни, тогава те са вертикални. И това, разбира се, не е вярно. две равни ъглиизобщо не трябва да са вертикални.

Пример 1.Две успоредни прави се пресичат от трета. Известно е, че разликата между два вътрешни едностранни ъгъла е 30°. Намерете тези ъгли.

Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието.

прави се наричат ​​P. ако нито те, нито техните продължения се пресичат. Всички точки на една от тези линии са на еднакво разстояние от другата. Въпреки това е обичайно да се казва: „две P. прави линии се пресичат в безкрайност.“ Този начин на изразяване остава логически правилен, защото е еквивалентен на израза: „две прави линии се пресичат в края на нещо“. без край"и това е еквивалентно на факта, че те не се пресичат. Междувременно изразът: „пресичат се в безкрайност“ носи голямо удобство: благодарение на него може да се твърди например, че всеки две прави в една равнина се пресичат и имат само една пресечна точка. Те правят точно същото нещо в анализа, като казват, че частното от едно делено на безкрайност е равно на нула. Всъщност не съществува безкрайно голям брой; в анализа безкрайността е количество, което може да бъде направено по-голямо от всяко дадено количество. Твърдението: „частното на едно делено на безкрайност е равно на нула“ трябва да се разбира в смисъл, че частното на едно делено на произволно число ще бъде по-близо до нула, колкото по-голям е делителят. Известната XI аксиома на Евклид също принадлежи към теорията на линейните линии, чийто смисъл е изяснен от трудовете на Лобачевски (виж Лобачевски). Ако начертаем нормали към която и да е крива (виж) и положим равни сегменти от кривата върху тях, тогава локускраищата на тези отсечки се нарича права, успоредна на дадената крива.

• - Вижте хомоложни мутации...

  Молекулярна биологияи генетиката. Речник

• - напречно ориентирани костни плочи в областта на зоната на растеж на дългите кости. Те се образуват в периоди на забавени растежни процеси в организма. Фиксирането е възможно с рентгенова снимка на костите...

  Физическа антропология. Илюстрирано тълковен речник

• Естествена наука. Енциклопедичен речник

• - М., водещи до идентични промени във фенотипа при сродни видове...

  Голям медицински речник

• - в диатоника система от мажор и минор, двойка тоналности с противоположен наклон, имащи еднакъв основен състав. стъпала; тоник тризвучията на P. t включват обща голяма терца...

  Музикална енциклопедия

• - това е името на тези допълнителни класове, които се отварят в учебно заведениепри липса на свободни места в съответния клас...
• - такава поредица от поколения при някои листни въшки, които произлизат от яйцата на едни и същи женски, например някои Hermes, а именно от яйца, снесени от безкрили женски, живеещи на междинно растение, произлизат...

  Енциклопедичен речник на Brockhaus и Euphron

• - в евклидовата геометрия прави линии, които лежат в една равнина и не се пресичат. В абсолютната геометрия през точка, която не лежи на дадена права, минава поне една права, която не пресича дадената...
• - съпътстващи химически реакции, които имат поне едно общо изходно вещество...

  Голям Съветска енциклопедия

• - непресичащи се прави, лежащи в една равнина...

  Съвременна енциклопедия

• - непресичащи се прави, лежащи в една равнина...

  Голям енциклопедичен речник

• - Имайки същия номерсимволи в ключа...
• - училищни класове s е абсолютно същото. курс, разделен само поради пренаселеността с ученици...

  Речник чужди думируски език

• - Кръгове, начертани на земното кълбо успоредно на екватора...

  Речник на чуждите думи на руския език

• - линии, разположени в една и съща равнина и разделени по цялата си дължина на еднакво разстояние една от друга, следователно, когато са удължени в една или друга посока, те не се пресичат...

  Речник на чуждите думи на руския език

• - Места от произведения на различни писатели, които имат еднакъв или подобен смисъл...

  Речник на чуждите думи на руския език

"Успоредни линии" в книгите

IX ЛИНИИ НА ЖИВОТА, ЛИНИИ НА СМЪРТТА 1984

От книгата Другарю убиец. Случаят Ростов: Андрей Чикатило и неговите жертви автор Кривич Михаил Абрамович

IX ЛИНИИ НА ЖИВОТА, ЛИНИИ НА СМЪРТТА 1984 От всички въпроси най-трудният е защо, когато разказа на следователите със смразяващо спокойствие за планираното и постигнатото, когато си припомни - лесно или напрегнато - какво се е случило и направило година или десет години. преди той назова повече

Паралелни светове

От книгата История на руския шансон автор Кравчински Максим Едуардович

Паралелни световеПоявилите се възможности за ротация принудиха изпълнителите да променят, преустройват, адаптират текстове и представяне за масова публика. Но всяко явление винаги има две страни и докато мнозинството изостави „темата за крадците“ и се втурна

Ами паралелните светове?

От книгата Струваше си. Моят истински и невероятна история. Част I. Два живота от Ардеева Беата

Ами паралелните светове? Вече осъзнати сънищаи „мечтаните реалности“ изглеждат като научна фантастика, но това, което следва, може да бъде още по-интересно! Например, една от съученичките на Кастанеда Карол Тигс разказала на своите ученици за съществуването на т.нар.

5. Паралелни светове

От книгата Годината на вола - MMIX автор Романов Роман Романович

5. Паралелни светове Възможно е и необходимо е да се търсят паралели и допирни точки между Трилогията и Романа за по-доброто разбиране на двете книги. Но авторите на двете книги си остават несравними величини, както са несравними Везувий и Капитолийският хълм. И двете са върхове,

Паралелни светове

От книгата 100 велики мистерии [с илюстрации] автор Непомнящий Николай Николаевич

Паралелни светове На 1 февруари 1964 г. калифорнийският адвокат Томас П. Механ приключва обичайния си работен ден и се качва в колата си, за да се прибере в град Юрика, който е на час и половина път. Но никой никога повече не го видя у дома и оригинала

Паралелни светове

От книгата Точно вчера. Част първа. Аз съм инженер автор Мелниченко Николай Трофимович

Паралелни светове В нашия хостел вечер има съвсем различен живот. Доскоро Михаил и Иван и техният брат „ораха“ в колхоза и в собствените си парцели, така наречени „градини“. Работата в колхоза е трудна сама по себе си, изисква време и усилия. особено -

Паралелни обучения

От книгата Инфобизнес нататък пълна мощност[Двойни продажби] автор Парабелум Андрей Алексеевич

Паралелни обучения Има случаи, когато например се продават две обучения паралелно. Някои хора се чудят: „Това ще бъде ли твърде много за основата?“ Разбира се, може да има много, но тогава единственото, което можете да направите, е да комбинирате тренировките

Паралелни светове

От книгата Извънземни от бъдещето: теория и практика на пътуването във времето от Голдбърг Брус

Паралелни светове Теоретичният физик Фред Алън Улф е силно съгласен с концепцията за паралелни светове и тяхната способност да функционират като механизъм за комуникацията ни с бъдещето. В книгата си Паралелни светове той заявява: „Фактът, че бъдещето

Глава 29 Паралел

От книгата Разходка по висящия мост автор Трубицина Екатерина Аркадиевна

Глава 29 Паралелното време препускаше. Ира се примири. Очаквано обаче това не донесе облекчение. Тя се ужасяваше, че Раул ще се опита по някакъв начин да покаже по-ясно чувствата си, но той не се опита, с изключение на влудяващия пламенен поглед и

Глава 2 Начало на изследването на настъпателната оперативна линия. - За една оперативна линия, базирана в един обект и насочена към вражеска страна

От книгата Германска военна мисъл автор Залески Константин Александрович

Глава 2 Начало на изследването на настъпателната оперативна линия. - За една оперативна линия, базирана на един предмет и насочена към вражеска страна 1. Армейските оперативни линии са като мускулите. човешкото тяло, от които зависи

Глава 5. Пробив на линията Манерхайм и битки на междинната отбранителна линия

От книгата Оклеветената победа на Сталин. Нападение на линията Манерхайм автор Иринчеев Баир

Глава 5. Пробив на линията Манерхайм и боеве на междинната отбранителна линия На 11 февруари започва широкомащабно настъпление на 7-ма и 13-та армия на Карелски провлак. Основното направление на пробива беше в ивицата от езерото Муолаанярви до Каукаярви. В други посоки

Успоредни прави

От книгата Енциклопедичен речник (P) автор Brockhaus F.A.

Успоредни правиУспоредни прави - Правите се наричат ​​П. ако нито те, нито техните продължения се пресичат. Новините от едната от тези линии са на същото разстояние от другата. Въпреки това е обичайно да се казва: „две P. прави линии се пресичат в

автор Ковал Дмитрий

От линията на диафрагмата до линията на талията Диафрагма Диафрагмата е най-големият мускул в нашето тяло, който отделя гръдния кош от коремна кухина. На стъпалото линията на диафрагмата разделя меката, месеста част на стъпалото от костната му основа. За функциите на диафрагмата и необходимостта от работа с нея

От линията на диафрагмата до линията на талията

От книгата Лечебните точки на нашето тяло. Практически атлас автор Ковал Дмитрий

От линията на диафрагмата до линията на талията, рефлексните зони на тази област се различават от дясното стъпало в три органа - стомаха, панкреаса и далака Стомахът е кух орган за първоначално смилане на храната, частично усвояване хранителни веществас

ГЛАВА 1 НАПУСКАНЕ НА ЛИНИЯТА НА СИЛА (ЛИНИЯ НА АТАКА)

От книгата Здравно-бойна система „Полярна мечка“ автор Мешалкин Владислав Едуардович

ГЛАВА 1 НАПУСКАНЕ НА ЛИНИЯТА НА СИЛА (ЛИНИЯ НА АТАКА) Този принцип е изразен народна мъдрост: „Не се забърквайте в проблеми.“ Рожон е залог, на който глупакът отива директно, тоест челно. Като цяло в живота фронтална атака, прав и образно казано, неблагодарна и много травмираща задача. При