По темата: „Подобие на фигури“
Изпълнено:
Проверено:
1. Трансформация по подобие
2. Свойства на трансформация по подобие
3. Подобие на фигури
4. Признак за подобие на триъгълници под два ъгъла
5. Признак за подобие на триъгълници по две страни и ъгъл между тях
6. Признак за подобие на триъгълници по три страни
7. Подобие на правоъгълни триъгълници
8. Ъгли, вписани в окръжност
9. Пропорционалност на отсечки от хорди и секущи на окръжност
10. Задачи по темата „Подобие на фигури“
1. ТРАНСФОРМАЦИЯ ПО ПОДОБИЕ
Преобразуването на фигура F във фигура F" се нарича трансформация по подобие, ако по време на тази трансформация разстоянията между точките се променят еднакъв брой пъти (фиг. 1). Това означава, че ако произволни точки X, Y на a фигура F се трансформира в точки X", Y" на фигура F", тогава X"Y" = k-XY и числото k е едно и също за всички точки X, Y. Числото k се нарича коефициент на подобие. За k = l трансформацията на подобие очевидно е движение.
Нека F е дадена фигура и O е фиксирана точка (фиг. 2). Нека начертаем лъч OX през произволна точка X на фигурата F и начертаем върху него отсечка OX", равна на k·OX, където k е положително число. Трансформацията на фигурата F, при която всяка нейна точка X отива в точката X", построена по посочения начин, се нарича хомотетия спрямо центъра O. Числото k се нарича коефициент на хомотетия, фигурите F и F" се наричат хомотетични.
Теорема 1. Хомотетията е трансформация по подобие
Доказателство. Нека O е центърът на хомотетия, k е коефициентът на хомотетия, X и Y са две произволни точки на фигурата (фиг. 3)
Фиг.3 Фиг.4
При хомотетия точките X и Y отиват съответно в точките X" и Y" на лъчите OX и OY и OX" = k·OX, OY" = k·OY. Това предполага векторните равенства OX" = kOX, OY" = kOY.
Изваждайки тези равенства член по член, получаваме: OY"-OX" = k (OY-OX).
Тъй като OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, то X"Y" = kХY. Това означава /X"Y"/=k /XY/, т.е. X"Y" = kXY. Следователно хомотетията е трансформация на подобието. Теоремата е доказана.
Трансформацията на подобие се използва широко в практиката при изготвяне на чертежи на машинни части, конструкции, планове на обекти и т.н. Тези изображения са подобни трансформации на въображаеми изображения в пълен размер. Коефициентът на подобие се нарича мащаб. Например, ако участък от терена е изобразен в мащаб 1:100, това означава, че един сантиметър на плана съответства на 1 m на земята.
Задача. Фигура 4 показва план на имението в мащаб 1:1000. Определете размерите на имота (дължина и ширина).
Решение. Дължината и ширината на имението на плана са 4 см и 2,7 см. Тъй като планът е направен в мащаб 1:1000, размерите на имението са съответно 2,7 х 1000 см = 27 м, 4 х 100 см = 40 м.
2. СВОЙСТВА НА ТРАНСФОРМАЦИЯ ПО ПОДОБИЕ
Точно както при движението, доказано е, че по време на трансформация по подобие три точки A, B, C, лежащи на една права, се трансформират в три точки A 1, B 1, C 1, също лежащи на една права. Освен това, ако точка B лежи между точки A и C, тогава точка B 1 лежи между точки A 1 и C 1. От това следва, че трансформацията по подобие преобразува правите в прави, полуправите в полуправи и отсечките в отсечки.
Нека докажем, че трансформацията на подобие запазва ъглите между полуправите.
Действително, нека ъгълът ABC се трансформира чрез трансформация по подобие с коефициент k в ъгъл A 1 B 1 C 1 (фиг. 5). Нека подложим ъгъл ABC на трансформация на хомотетия спрямо неговия връх B с коефициент на хомотетия k. В този случай точки A и C ще се преместят в точки A 2 и C 2. Триъгълниците A 2 BC 2 и A 1 B 1 C 1 са равни по третия критерий. От равенството на триъгълниците следва, че ъглите A 2 BC 2 и A 1 B 1 C 1 са равни. Това означава, че ъглите ABC и A 1 B 1 C 1 са равни, което трябваше да се докаже.
Медиани на триъгълници; 4. , където BH и B1H1 са височините на триъгълниците. §5. Експериментална работа Целта на експерименталната работа: да се идентифицират методическите характеристики на изучаването на темата „Подобни триъгълници“ в гимназията. Идея: за идентифициране на методически характеристики е необходимо да се проведат няколко урока по разработената методика, в края на обучението да се проведе тест, при анализ на който може да се прецени...
Позитивизъм. За позитивистите вярно и проверено е само това, което е получено с помощта на количествени методи. Само математиката и естествените науки се признават за наука, докато социалните науки са изместени в царството на митологията. Неопозитивизмът, неопозитивистите виждат слабостта на педагогиката във факта, че тя е доминирана от безполезни идеи и абстракции, а не от реални факти. Ярък...
Примери
- Всяка хомотетия е подобие.
- Всяко движение (включително идентичните) може да се разглежда и като трансформация по подобие с коефициент к = 1 .
Подобни фигури на картинката имат еднакви цветове.
Свързани определения
Имоти
В метричните пространства същото като в н-мерни риманови, псевдо-риманови и финслерови пространства, подобието се определя като трансформация, която приема метриката на пространството в себе си до постоянен фактор.
Наборът от всички подобия на n-мерно евклидово, псевдоевклидово, риманово, псевдо-риманово или финслерово пространство е r-членна група от трансформации на Ли, наречена група от подобни (хомотетични) трансформации на съответното пространство. Във всяко от пространствата от посочените типове rгрупа от подобни трансформации на Лие съдържа ( r− 1) -членна нормална подгрупа от движения.
Вижте също
Фондация Уикимедия. 2010 г.
Вижте какво представляват „Подобни фигури“ в други речници:
ПОДОБНИ ФИГУРИ- фигури, в които съответните линейни елементи са пропорционални, а ъглите между тях са равни, т.е., при еднаква форма имат различни размери... Голяма политехническа енциклопедия
Две хомологични фигури се наричат група, ако разстоянията на съответните им точки до центъра са пропорционални. От това става ясно, че G. фигурите са подобни фигури и подобно разположени или подобни и обратно разположени. Центърът на хомоложността в това... ... Енциклопедичен речник F.A. Брокхаус и И.А. Ефрон
Питагоровата теорема е една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Съдържание 1 Твърдения 2 Доказателства ... Wikipedia
Щит от тинктура Държач за щит Държач за щит (девиз) ... Wikipedia
Известната Шила на Гиг от църквата в Килпек, Англия Шила на Гиг (на английски: Sheela na Gig) скулптурни изображения на голи жени, обикновено уголемени в ... Wikipedia
- ... Уикипедия
За втори път планирах да отида в страната на черните, без да обърна внимание на факта, че нейният адски климат едва не ме уби при първото пътуване. Предприех това пътуване с много смесени чувства и не можах да се отърва от различни... ... животински живот
Общо име с относително ясно съдържание и относително ясно дефиниран обхват. П. са например „химичен елемент“, „закон“, „гравитационна сила“, „астрономия“, „поезия“ и др. Има ясна граница между онези имена, които могат да бъдат наречени П... Философска енциклопедия
Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipedia
Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia
Книги
- Пророци и чудотворци. Скици за мистиката, В. Е. Рожнов. Москва, 1977 г. Политиздат. Обвързване на собственика. Състоянието е добро. Спиритуализъм и астрология, теософия и окултизъм - тези думи постоянно могат да бъдат намерени на страниците на списания и вестници...
- Брой, форма, размер. За класове с деца от 4 до 5 години. Книга с игра и стикери, Дорофеева А.. Албум „Акаунт. Форма. Величина" от поредицата Училището на седемте джуджета, пета година на обучение, е ръководство за развитие, където всеки урок се провежда по игрив начин и продължава да дава на децата...
Определението за трансформация на подобие е еднакво както в равнината, така и в пространството. Трансформацията на фигура във фигура се нарича трансформация по подобие, ако по време на тази трансформация разстоянията между точките се променят (увеличават или намаляват) еднакъв брой пъти. Това означава, че ако произволни точки A и B на фигура F по време на тази трансформация преминават в точки на фигурата, тогава където .
Числото k се нарича коефициент на подобие, когато преобразуването на подобие е движение.
Хомотетията е трансформация на подобието.
Разгледайте свойствата на трансформацията на подобие.
1. По време на трансформация на подобие, три точки A, B и C, лежащи на една и съща права, се трансформират в три точки на Ли, също лежащи на една и съща права. Освен това, ако точка B лежи между точки A и C, тогава точката лежи между точки
2. Трансформацията по подобие преобразува правите в прави, полуправите в полуправи, отсечките в отсечки, равнините в равнини.
3. Трансформацията по подобие запазва ъглите между полуправите.
4. Не всяка трансформация по подобие е хомотетия.
На фигура 226 фигурата е получена от фигурата F чрез хомотетия, а фигурата е получена от фигурата чрез симетрия спрямо правата. Преобразуване на F в F? е трансформация на подобие, тъй като запазва отношенията на разстоянията между съответните точки, но тази трансформация не е хомотетия.
За хомотетията в пространството е вярна следната теорема:
Преобразуването на хомотетията в пространството трансформира всяка равнина, която не минава през центъра на хомотетията, в успоредна равнина или в себе си.
Фигура 227 показва два хомотетични куба с коефициент на хомотетия, равен на 2. Равнината ABCD преминава в успоредната равнина ABCD. Същото може да се каже и за равнините на други лица на куба.
78. Подобни фигури.
Две фигури F се наричат подобни, ако се трансформират една в друга чрез трансформация по подобие. За да се посочи сходството на фигурите, се използва символът. Записът гласи: „Фигурата е подобна на фигура F.“
От свойствата на трансформацията на подобие следва, че за подобни многоъгълници съответните ъгли са равни и съответните страни са пропорционални.
Нотацията предполага, че върховете, комбинирани от трансформацията на подобие, са на съответните места, т.е. A отива към - към
За подобни триъгълници са верни следните равенства:
Два триъгълника са подобни, ако съответните ъгли са равни и съответните страни са пропорционални. Нека формулираме критериите за подобие на триъгълниците.
Геометрия
Сходство на фигури
Свойства на подобни фигури
Теорема. Когато една фигура е подобна на фигура, а фигурата е подобна на фигура, тогава фигурите и
подобен. От свойствата на преобразуването на подобието следва, че за подобни фигури съответните ъгли са равни, а съответните отсечки са пропорционални. Например в подобни триъгълници ABCИ :
; ; ;
.
Признаци за подобие на триъгълници
Теорема 1. Ако два ъгъла на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла на втория триъгълник, тогава тези триъгълници са подобни. Теорема 2. Ако две страни на един триъгълник са пропорционални на две страни на втория триъгълник и ъглите, образувани от тези страни, са равни, тогава триъгълниците са подобни.
Теорема 3. Ако страните на един триъгълник са пропорционални на страните на втория триъгълник, тогава такива триъгълници са подобни.
От тези теореми следват факти, които са полезни за решаване на проблеми.
1. Права линия, успоредна на страна на триъгълник и пресичаща другите му две страни, отрязва от него триъгълник, подобен на този.
На изображението.
2. За подобни триъгълници, съответните елементи (височини, медиани, ъглополовящи и т.н.) се отнасят като съответстващи страни.
3. За подобни триъгълници периметрите са свързани като съответни страни.
4. Ако ОТНОСНО- точка на пресичане на диагонали на трапец ABCD, Че .
На фигурата в трапец ABCD:.
5. Ако продължението на страните на трапеца ABCDпресичат се в точка К, тогава (вижте фигурата) .
.
Подобие на правоъгълни триъгълници
Теорема 1. Ако правоъгълните триъгълници имат равни остри ъгли, то те са подобни. Теорема 2. Ако два катета на един правоъгълен триъгълник са пропорционални на два катета на втория правоъгълен триъгълник, тогава тези триъгълници са подобни.
Теорема 3. Ако катетът и хипотенузата на един правоъгълен триъгълник са пропорционални на катета и хипотенузата на втория правоъгълен триъгълник, тогава такива триъгълници са подобни.
Теорема 4. Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, разделя триъгълника на два правоъгълни триъгълника, подобни на този.
На изображението .
От подобието на правоъгълните триъгълници следва следното.
1. Кратът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност между хипотенузата и проекцията на този катет върху хипотенузата:
; ,
или
; .
2. Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, е средната пропорционална стойност между проекциите на краката върху хипотенузата:
,
или .
3. Свойство на ъглополовящата на триъгълник:
ъглополовящата на триъгълник (произволна) разделя противоположната страна на триъгълника на сегменти, пропорционални на другите две страни.
На снимката в Б.П.- ъглополовяща.
, или . 
Прилики между равностранен и равнобедрен триъгълник
1. Всички равностранни триъгълници са подобни. 2. Ако равнобедрените триъгълници имат равни ъгли между страните си, то те са подобни.
3. Ако равнобедрените триъгълници имат пропорционална основа и страна, тогава те са подобни.
Вече знаем какво представляват равни форми: това са форми, които могат да се комбинират чрез припокриване. Но в живота по-често срещаме не равни, а подобни фигури. Например и монетата, и слънцето са оформени като кръг. Те са сходни, но не и равни. Такива фигури се наричат подобни. В този урок ще научим кои фигури се наричат подобни и какви свойства притежават.
Ако имате затруднения с разбирането на темата, препоръчваме да гледате урока и
Теорема на Талес
Страните на ъгъла се нарязват с успоредни прави линии на пропорционални части (виж фиг. 5). Това е:
Подобна зависимост може да се запише за сумата от дължините на сегментите:
Ориз. 5. Илюстрация към теоремата на Талес
Да разгледаме два триъгълника и , чиито съответни ъгли са равни (виж фиг. 6):
Ориз. 6. Триъгълници с еднакви ъгли
Страните, които лежат срещу равни ъгли на триъгълници, се наричат подобен.
Нека изброим подобните страни: и (лежат срещу равни ъгли), и (лежат срещу равни ъгли), и (лежат срещу равни ъгли).
Определение
Два триъгълника се наричат подобен, ако съответните ъгли са равни и подобни страни са пропорционални:
освен това 
, къде е коефициент на подобие на триъгълник.