Какво означава рационално число? Минус пред рационално число

Набор от рационални числа

Множеството от рационални числа се обозначава и може да се запише по следния начин:

Оказва се, че различни означения могат да представляват една и съща дроб, например и , (всички дроби, които могат да се получат една от друга чрез умножаване или деление на едно и също естествено число, представляват едно и също рационално число). Тъй като чрез разделяне на числителя и знаменателя на дроб на техния най-голям общ делител можем да получим едно нередуцируемо представяне на рационално число, можем да говорим за тяхното множество като множество нередуцируемдроби с взаимно прости цели числа числител и естествен знаменател:

Ето най-големия общ делител на числата и .

Множеството от рационални числа е естествено обобщение на множеството от цели числа. Лесно е да се види, че ако едно рационално число има знаменател, тогава то е цяло число. Наборът от рационални числа е разположен навсякъде плътно по числовата ос: между всеки две различни рационални числа има поне едно рационално число (и следователно безкраен набор от рационални числа). Оказва се обаче, че множеството от рационални числа има изброима кардиналност (т.е. всички негови елементи могат да бъдат преномерирани). Нека отбележим, между другото, че древните гърци са били убедени в съществуването на числа, които не могат да бъдат представени като дроб (например те доказват, че няма рационално число, чийто квадрат е 2).

Терминология

Формална дефиниция

Формално рационалните числа се дефинират като набор от класове на еквивалентност на двойки по отношение на връзката на еквивалентност if. В този случай операциите събиране и умножение се дефинират, както следва:

Свързани определения

Правилни, неправилни и смесени дроби

Правилно Дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, се нарича дроб. Правилните дроби представляват рационални числа по модул по-малък от едно. Дроб, която не е правилна, се нарича грешнои представлява рационално число, по-голямо или равно на единица по модул.

Една неправилна дроб може да се представи като сбор от цяло число и правилна дроб, т.нар смесена фракция . Например, . Подобна нотация (с липсващ знак за добавяне), въпреки че се използва в елементарната аритметика, се избягва в строгата математическа литература поради сходството на нотацията за смесена дроб с нотацията за произведение на цяло число и дроб.

Височина на изстрела

Височина на обикновен изстрел е сумата от модула на числителя и знаменателя на тази дроб. Височина на рационално число е сумата от модула на числителя и знаменателя на несъкратимата обикновена дроб, съответстваща на това число.

Например височината на една фракция е . Височината на съответното рационално число е равна на , тъй като дробта може да бъде намалена с .

Коментар

Срок фракция (фракция)Понякога [ посочете] се използва като синоним на термина рационално число, а понякога и синоним на всяко нецяло число. В последния случай дробните и рационалните числа са различни неща, тъй като тогава нецелите рационални числа са просто специален случай на дробните числа.

Имоти

Основни свойства

Наборът от рационални числа отговаря на шестнадесет основни свойства, които могат лесно да бъдат извлечени от свойствата на целите числа.

Подреденост.За всякакви рационални числа има правило, което ви позволява еднозначно да идентифицирате едно и само едно от трите отношения между тях: “”, “” или “”. Това правило се нарича правило за подрежданеи се формулира по следния начин: две положителни числа и са свързани със същата връзка като две цели числа и ; две неположителни числа и са свързани със същата връзка като две неотрицателни числа и ; ако изведнъж не е отрицателен, а - отрицателен, тогава .
Събиране на дроби
Операция добавяне. правило за сумиране количествочисла и и се означава с , а процесът на намиране на такова число се нарича сумиране. Правилото за сумиране има следния вид: .
Операция умножение.За всякакви рационални числа има т.нар правило за умножение, което ги поставя в съответствие с някакво рационално число. В този случай се извиква самият номер работачисла и и се означава с , а процесът на намиране на такова число също се нарича умножение. Правилото за умножение има следния вид: .
Транзитивност на отношението на поръчка.За всяка тройка от рационални числа, и ако става все по-малко, тогава по-малко, и ако е равно и равно, тогава равно.
Комутативност на събирането.Смяната на местата на рационалните членове не променя сумата.
Асоциативност на добавянето.Редът, в който се добавят три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличие на нула.Има рационално число 0, което запазва всяко друго рационално число при добавяне.
Наличието на противоположни числа.Всяко рационално число има противоположно рационално число, което, когато се добави към, дава 0.
Комутативност на умножението.Смяната на местата на рационалните фактори не променя продукта.
Асоциативност на умножението.Редът, в който се умножават три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличност на единица.Има рационално число 1, което запазва всяко друго рационално число, когато се умножи.
Наличие на реципрочни числа.Всяко ненулево рационално число има обратно рационално число, което, умножено по, дава 1.
Разпределимост на умножението спрямо събирането.Операцията за умножение се координира с операцията за събиране чрез закона за разпределение:
Връзка на отношението на реда с операцията събиране.Едно и също рационално число може да се добави към лявата и дясната страна на рационално неравенство.
Връзката между отношението на ред и операцията умножение.Лявата и дясната страна на рационално неравенство могат да бъдат умножени по едно и също положително рационално число.
Аксиома на Архимед.Каквото и да е рационалното число, можете да вземете толкова много единици, че сборът им да надвишава.

Допълнителни имоти

Всички останали свойства, присъщи на рационалните числа, не се отличават като основни, тъй като, най-общо казано, те вече не се основават директно на свойствата на целите числа, но могат да бъдат доказани въз основа на дадени основни свойства или директно чрез дефиницията на някакъв математически обект . Има много такива допълнителни имоти. Тук има смисъл да изброим само няколко от тях.

Изброимост на множество

За да оцените броя на рационалните числа, трябва да намерите кардиналността на техния набор. Лесно се доказва, че множеството от рационални числа е изброимо. За да направите това, достатъчно е да дадете алгоритъм, който изброява рационални числа, т.е. установява биекция между наборите от рационални и естествени числа. Пример за такава конструкция е следният прост алгоритъм. Съставя се безкрайна таблица от обикновени дроби, на всеки ред във всяка колона от които е разположена дроб. За категоричност се приема, че редовете и колоните на тази таблица са номерирани от едно. Клетките на таблицата са обозначени с , където е номерът на реда на таблицата, в който се намира клетката, а е номерът на колоната.

Получената таблица се преминава с помощта на „змия“ съгласно следния формален алгоритъм.

Тези правила се търсят отгоре надолу и следващата позиция се избира въз основа на първото съвпадение.

В процеса на такова обхождане всяко ново рационално число се свързва с друго естествено число. Тоест на дробите се присвоява номер 1, на дробите се присвоява номер 2 и т.н. Трябва да се отбележи, че се номерират само несъкратимите дроби. Формален признак за несъкратимост е, че най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дробта е равен на едно.

Следвайки този алгоритъм, можем да изброим всички положителни рационални числа. Това означава, че множеството от положителни рационални числа е изброимо. Лесно е да се установи биекция между наборите от положителни и отрицателни рационални числа, като просто присвоите на всяко рационално число неговата противоположност. Че. множеството от отрицателни рационални числа също е изброимо. Тяхното обединение също е изброимо по свойството на изброими множества. Множеството от рационални числа също е изброимо като обединение на изброимо множество с крайно.

Разбира се, има и други начини за изброяване на рационални числа. Например, за това можете да използвате структури като дървото Kalkin-Wilf, дървото Stern-Broko или серията Farey.

Твърдението за изброимостта на множеството от рационални числа може да предизвика известно объркване, тъй като на пръв поглед изглежда, че то е много по-обширно от множеството от естествени числа. Всъщност това не е така и има достатъчно естествени числа, за да изброим всички рационални.

Липса на рационални числа

Вижте също


	Цели числа

Рационални числа

Реални числа Комплексни числа Кватерниони

Бележки

Литература

И. Кушнир. Наръчник по математика за ученици. - Киев: АСТАРТА, 1998. - 520 с.
П. С. Александров. Въведение в теорията на множествата и общата топология. - М.: глава. изд. физика и математика осветен изд. "Наука", 1977 г
И. Л. Хмелницки. Въведение в теорията на алгебричните системи

По-големите ученици и студентите по математика вероятно ще отговорят с лекота на този въпрос. Но за тези, които са далеч от това по професия, ще бъде по-трудно. Какво всъщност е?

Същност и предназначение

Рационалните числа са тези, които могат да бъдат представени като обикновена дроб. Положителни, отрицателни и нула също са включени в този набор. Числителят на дробта трябва да е цяло число, а знаменателят трябва да бъде

Това множество в математиката се означава като Q и се нарича „поле на рационални числа“. Включва всички цели и естествени числа, означени съответно като Z и N. Самото множество Q е включено в множеството R. Именно с тази буква се обозначават т.нар. реални или

производителност

Както вече споменахме, рационалните числа са набор, който включва всички цели и дробни стойности. Те могат да бъдат под различни форми. Първо, под формата на обикновена дроб: 5/7, 1/5, 11/15 и т.н. Разбира се, целите числа също могат да бъдат записани в подобна форма: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 и т.н. Второ, друг вид представяне е десетична дроб с последна дробна част: 0,01, -15,001006 и т.н. Това е може би една от най-често срещаните форми.

Но има и трета - периодична дроб. Този тип не е много разпространен, но все още се използва. Например дробта 10/3 може да се запише като 3,33333... или 3,(3). В този случай различни представяния ще се считат за подобни числа. Дроби, които са равни една на друга, също ще се наричат еднакви, например 3/5 и 6/10. Изглежда, че стана ясно какво са рационални числа. Но защо този термин се използва за тях?

произход на името

Думата „рационален“ в съвременния руски като цяло има малко по-различно значение. По-скоро е "разумно", "обмислено". Но математическите термини са близки до прякото значение на това.На латински "ratio" е "съотношение", "фракция" или "деление". По този начин името улавя същността на това какво представляват рационалните числа. Въпреки това, второто значение

не е далеч от истината.

Действия с тях

Когато решаваме математически задачи, ние постоянно се натъкваме на рационални числа, без сами да го знаем. И те имат редица интересни свойства. Всички те следват или от определението на набор, или от действия.

Първо, рационалните числа имат свойството отношение на реда. Това означава, че може да има само една връзка между две числа - те или са равни едно на друго, или едното е по-голямо или по-малко от другото. Това е:

или a = b;или a > b,или а< b.

Освен това от това свойство следва и транзитивността на отношението. Тоест, ако аПовече ▼ b, bПовече ▼ ° С, Че аПовече ▼ ° С. На математически език това изглежда така:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Второ, има аритметични операции с рационални числа, тоест събиране, изваждане, деление и, разбира се, умножение. В същото време в процеса на трансформации могат да бъдат идентифицирани и редица свойства.

a + b = b + a (смяна на местата на термините, комутативност);
0 + a = a + 0;
(a + b) + c = a + (b + c) (асоциативност);
а + (-а) = 0;
ab = ba;
(ab)c = a(bc) (разпределимост);
a x 1 = 1 x a = a;
a x (1 / a) = 1 (в този случай a не е равно на 0);
(a + b)c = ac + ab;
(a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Когато говорим за обикновени числа, а не за цели, работата с тях може да предизвика определени трудности. По този начин събирането и изваждането са възможни само ако знаменателите са равни. Ако първоначално са различни, трябва да намерите общото, като умножите цялата дроб по определени числа. Сравнението също най-често е възможно само ако това условие е изпълнено.

Разделянето и умножаването на обикновени дроби се извършва в съответствие с доста прости правила. Привеждане до общ знаменател не е необходимо. Числителите и знаменателите се умножават отделно, като в процеса на извършване на действието, ако е възможно, фракцията трябва да бъде намалена и опростена възможно най-много.

Що се отнася до разделянето, това действие е подобно на първото с малка разлика. За втората дроб трябва да намерите обратната, т.е

"обърнете" го. Така числителят на първата дроб ще трябва да се умножи със знаменателя на втората и обратно.

И накрая, друго свойство, присъщо на рационалните числа, се нарича аксиома на Архимед. Често в литературата се среща и наименованието „принцип“. Валидно е за целия набор от реални числа, но не навсякъде. Следователно този принцип не се прилага за някои набори от рационални функции. По същество тази аксиома означава, че като се има предвид съществуването на две величини a и b, винаги можете да вземете достатъчно a, за да надвишите b.

Област на приложение

Така че за тези, които са научили или си спомнят какво представляват рационалните числа, става ясно, че те се използват навсякъде: в счетоводството, икономиката, статистиката, физиката, химията и други науки. Естествено те имат място и в математиката. Не винаги знаейки, че имаме работа с тях, ние постоянно използваме рационални числа. Дори малки деца, които се учат да броят предмети, да режат ябълка на парчета или да извършват други прости действия, се сблъскват с тях. Те буквално ни заобикалят. И все пак те не са достатъчни за решаване на някои проблеми; по-специално, използвайки питагоровата теорема като пример, може да се разбере необходимостта от въвеждане на понятието

Темата за рационалните числа е доста обширна. Можете да говорите за това безкрайно и да пишете цели произведения, като всеки път се изненадвате от нови функции.

За да избегнем грешки в бъдеще, в този урок ще навлезем малко по-дълбоко в темата за рационалните числа, ще извлечем необходимата информация от нея и ще продължим напред.

Съдържание на урока

Какво е рационално число

Рационалното число е число, което може да бъде представено като дроб, където а-това е числителят на дробта, bе знаменателят на дробта. освен това bне трябва да е нула, защото деленето на нула не е разрешено.

Рационалните числа включват следните категории числа:

цели числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.н.)

десетични дроби (например 0,2 и т.н.)

безкрайни периодични дроби (например 0, (3) и т.н.)

Всяко число в тази категория може да бъде представено като дроб.

Пример 1.Цялото число 2 може да бъде представено като дроб. Това означава, че числото 2 се отнася не само за цели числа, но и за рационални.

Пример 2.Смесено число може да бъде представено като дроб. Тази дроб се получава чрез преобразуване на смесено число в неправилна дроб

Това означава, че едно смесено число е рационално число.

Пример 3.Десетичната 0,2 може да бъде представена като дроб. Тази дроб е получена чрез преобразуване на десетичната дроб 0,2 в обикновена дроб. Ако имате затруднения в този момент, повторете темата.

Тъй като десетичната дроб 0,2 може да бъде представена като дроб, това означава, че тя също принадлежи към рационалните числа.

Пример 4.Безкрайната периодична дроб 0, (3) може да бъде представена като дроб. Тази дроб се получава чрез преобразуване на чиста периодична дроб в обикновена дроб. Ако имате затруднения в този момент, повторете темата.

Тъй като безкрайната периодична дроб 0, (3) може да бъде представена като дроб, това означава, че тя също принадлежи към рационалните числа.

В бъдеще все по-често ще наричаме всички числа, които могат да бъдат представени като дроб с една фраза - рационални числа.

Рационални числа на координатната права

Разгледахме координатната права, когато изучавахме отрицателни числа. Спомнете си, че това е права линия, върху която лежат много точки. Както следва:

Тази фигура показва малък фрагмент от координатната линия от −5 до 5.

Маркирането на цели числа от формата 2, 0, −3 върху координатната права не е трудно.

Нещата са много по-интересни с други числа: с обикновени дроби, смесени числа, десетични и т.н. Тези числа се намират между целите числа и има безкрайно много от тези числа.

Например, нека отбележим рационално число на координатната права. Това число се намира точно между нула и едно

Нека се опитаме да разберем защо дробта изведнъж се намира между нула и едно.

Както бе споменато по-горе, между целите числа лежат други числа - обикновени дроби, десетични числа, смесени числа и т.н. Например, ако увеличите част от координатната линия от 0 до 1, можете да видите следната картина

Вижда се, че между целите числа 0 и 1 има други рационални числа, които са познати десетични дроби. Тук можете да видите нашата дроб, която се намира на същото място като десетичната дроб 0,5. Внимателното разглеждане на тази фигура дава отговор на въпроса защо фракцията се намира точно там.

Дроб означава деление на 1 на 2. И ако разделим 1 на 2, получаваме 0,5

Десетичната дроб 0,5 може да бъде маскирана като други дроби. От основното свойство на дробта знаем, че ако числителят и знаменателят на дроб се умножат или разделят на едно и също число, тогава стойността на дробта не се променя.

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат по произволно число, например по числото 4, тогава получаваме нова дроб и тази дроб също е равна на 0,5

Това означава, че на координатната линия фракцията може да бъде поставена на същото място, където се намира фракцията

Пример 2.Нека се опитаме да отбележим рационално число върху координатата. Това число се намира точно между числата 1 и 2

Стойността на фракцията е 1,5

Ако увеличим сечението на координатната линия от 1 на 2, ще видим следната картина:

Вижда се, че между целите числа 1 и 2 има други рационални числа, които са познати десетични дроби. Тук можете да видите нашата дроб, която се намира на същото място като десетичната дроб 1,5.

Увеличихме определени сегменти на координатната права, за да видим останалите числа, лежащи на този сегмент. В резултат на това открихме десетични дроби, които имат една цифра след десетичната запетая.

Но това не бяха единствените числа в тези сегменти. На координатната права има безкрайно много числа.

Не е трудно да се досетите, че между десетичните дроби, които имат една цифра след десетичната запетая, има други десетични дроби, които имат две цифри след десетичната запетая. С други думи, стотни от сегмента.

Например, нека се опитаме да видим числата, които се намират между десетичните дроби 0,1 и 0,2

Друг пример. Десетичните дроби, които имат две цифри след десетичната запетая и се намират между нулата и рационалното число 0,1, изглеждат така:

Пример 3.Нека отбележим рационално число на координатната права. Това рационално число ще бъде много близо до нула

Стойността на фракцията е 0,02

Ако увеличим сегмента от 0 на 0,1, ще видим къде точно се намира рационалното число

Вижда се, че нашето рационално число се намира на същото място като десетичната дроб 0,02.

Пример 4.Нека отбележим рационалното число 0 на координатната права, (3)

Рационалното число 0, (3) е безкрайна периодична дроб. Неговата дробна част никога не свършва, тя е безкрайна

И тъй като числото 0,(3) има безкрайна дробна част, това означава, че няма да можем да намерим точното място на координатната права, където се намира това число. Това място можем да посочим само приблизително.

Рационалното число 0,33333... ще се намира много близо до обикновената десетична дроб 0,3

Тази фигура не показва точното местоположение на числото 0,(3). Това е само илюстрация, която показва колко близка може да бъде периодичната дроб 0.(3) до обикновената десетична дроб 0,3.

Пример 5.Нека отбележим рационално число на координатната права. Това рационално число ще се намира в средата между числата 2 и 3

Това е 2 (две цели числа) и (една секунда). Дробта се нарича още „половина“. Затова отбелязахме два цели сегмента и още един половин сегмент върху координатната права.

Ако преобразуваме смесено число в неправилна дроб, получаваме обикновена дроб. Тази фракция на координатната линия ще бъде разположена на същото място като фракцията

Стойността на дробта е 2,5

Ако увеличим сечението на координатната линия от 2 на 3, ще видим следната картина:

Вижда се, че нашето рационално число се намира на същото място като десетичната дроб 2,5

Минус пред рационално число

В предишния урок, който беше наречен, научихме как да делим цели числа. Както положителните, така и отрицателните числа могат да действат като дивидент и делител.

Нека разгледаме най-простия израз

(−6) : 2 = −3

В този израз дивидентът (−6) е отрицателно число.

Сега разгледайте втория израз

6: (−2) = −3

Тук делителят (−2) вече е отрицателно число. Но и в двата случая получаваме един и същ отговор -3.

Като се има предвид, че всяко деление може да бъде написано като дроб, ние също можем да напишем примерите, обсъдени по-горе, като дроб:

И тъй като и в двата случая стойността на дробта е една и съща, минусът или в числителя, или в знаменателя може да стане общ, като го поставите пред дробта

Следователно можете да поставите знак за равенство между изразите и и, тъй като имат едно и също значение

В бъдеще, когато работим с дроби, ако срещнем минус в числителя или знаменателя, ще направим този минус общ, като го поставим пред дробта.

Противоположни рационални числа

Подобно на цяло число, рационалното число има своето противоположно число.

Например, за рационално число противоположното число е . Той се намира на координатната линия симетрично на местоположението спрямо началото на координатите. С други думи, и двете числа са на еднакво разстояние от началото

Преобразуване на смесени числа в неправилни дроби

Знаем, че за да преобразуваме смесено число в неправилна дроб, трябва да умножим цялата част по знаменателя на дробната част и да го добавим към числителя на дробната част. Полученото число ще бъде числителят на новата дроб, но знаменателят остава същият.

Например, нека преобразуваме смесено число в неправилна дроб

Умножете цялата част по знаменателя на дробната част и добавете числителя на дробната част:

Нека изчислим този израз:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Полученото число 5 ще бъде числителят на новата дроб, но знаменателят ще остане същият:

Тази процедура е написана изцяло, както следва:

За да върнете първоначалното смесено число, е достатъчно да изберете цялата част във фракцията

Но този метод за преобразуване на смесено число в неправилна дроб е приложим само ако смесеното число е положително. Този метод няма да работи за отрицателно число.

Нека разгледаме дробта. Нека изберем цялата част от тази дроб. Получаваме

За да върнете първоначалната дроб, трябва да преобразувате смесеното число в неправилна дроб. Но ако използваме старото правило, а именно, умножим цялата част по знаменателя на дробната част и добавим числителя на дробната част към полученото число, получаваме следното противоречие:

Получихме дроб, но трябваше да получим дроб.

Заключаваме, че смесеното число е преобразувано неправилно в неправилна дроб

За да преобразувате правилно отрицателно смесено число в неправилна дроб, трябва да умножите цялата част по знаменателя на дробната част и от полученото число извадетечислител на дробната част. В този случай всичко ще си дойде на мястото за нас

Отрицателно смесено число е обратното на смесено число. Ако положително смесено число се намира от дясната страна и изглежда така

В тази статия ще започнем да изследваме рационални числа. Тук ще дадем дефиниции на рационални числа, ще дадем необходимите обяснения и ще дадем примери за рационални числа. След това ще се съсредоточим върху това как да определим дали дадено число е рационално или не.

Навигация в страницата.

Определение и примери за рационални числа

В този раздел ще дадем няколко дефиниции на рационални числа. Въпреки разликите във формулировката, всички тези определения имат едно и също значение: рационалните числа обединяват цели числа и дроби, точно както целите числа обединяват естествените числа, техните противоположности и числото нула. С други думи, рационалните числа обобщават цели и дробни числа.

Да започнем с дефиниции на рационални числа, което се възприема най-естествено.

От дадената дефиниция следва, че рационално число е:

Всяко естествено число n. Всъщност можете да представите всяко естествено число като обикновена дроб, например 3=3/1.
Всяко цяло число, по-специално числото нула. Всъщност всяко цяло число може да бъде записано като положителна дроб, отрицателна дроб или нула. Например 26=26/1, .
Всяка обикновена дроб (положителна или отрицателна). Това се потвърждава пряко от дадената дефиниция на рационалните числа.
Всяко смесено число. Всъщност винаги можете да представите смесено число като неправилна дроб. Например и.
Всяка крайна десетична дроб или безкрайна периодична дроб. Това се дължи на факта, че посочените десетични дроби се превръщат в обикновени дроби. Например, и 0,(3)=1/3.

Също така е ясно, че всяка безкрайна непериодична десетична дроб НЕ е рационално число, тъй като не може да бъде представена като обикновена дроб.

Сега можем лесно да дадем примери за рационални числа. Числата 4, 903, 100,321 са рационални числа, защото са естествени числа. Целите числа 58, −72, 0, −833,333,333 също са примери за рационални числа. Обикновените дроби 4/9, 99/3 също са примери за рационални числа. Рационалните числа също са числа.

От горните примери става ясно, че има както положителни, така и отрицателни рационални числа, а рационалното число нула не е нито положително, нито отрицателно.

Горната дефиниция на рационалните числа може да се формулира в по-сбита форма.

Определение.

Рационални числаса числа, които могат да бъдат записани като дроб z/n, където z е цяло число, а n е естествено число.

Нека докажем, че тази дефиниция на рационални числа е еквивалентна на предишната дефиниция. Знаем, че можем да разглеждаме чертата на дробта като знак за деление, тогава от свойствата за деление на цели числа и правилата за деление на цели числа следва валидността на следните равенства и. Така че това е доказателството.

Нека дадем примери за рационални числа въз основа на това определение. Числата −5, 0, 3 и са рационални числа, тъй като могат да бъдат записани като дроби с цял числител и естествен знаменател от вида и съответно.

Дефиницията на рационални числа може да се даде в следната формулировка.

Определение.

Рационални числаса числа, които могат да бъдат записани като крайна или безкрайна периодична десетична дроб.

Тази дефиниция също е еквивалентна на първата дефиниция, тъй като всяка обикновена дроб съответства на крайна или периодична десетична дроб и обратно, и всяко цяло число може да бъде свързано с десетична дроб с нули след десетичната запетая.

Например числата 5, 0, −13 са примери за рационални числа, защото могат да бъдат записани като следните десетични дроби 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 и −7, (18).

Нека завършим теорията на тази точка със следните твърдения:

цели числа и дроби (положителни и отрицателни) съставляват множеството от рационални числа;
всяко рационално число може да бъде представено като дроб с цял числител и естествен знаменател и всяка такава дроб представлява определено рационално число;
всяко рационално число може да бъде представено като крайна или безкрайна периодична десетична дроб и всяка такава дроб представлява рационално число.

Това число рационално ли е?

В предишния параграф разбрахме, че всяко естествено число, всяко цяло число, всяка обикновена дроб, всяко смесено число, всяка крайна десетична дроб, както и всяка периодична десетична дроб е рационално число. Това знание ни позволява да „разпознаем“ рационални числа от набор от записани числа.

Но какво, ако числото е дадено под формата на някои , или като и т.н., как да отговоря на въпроса дали това число е рационално? В много случаи е много трудно да се отговори. Нека посочим някои посоки на мислене.

Ако дадено число е дадено като числов израз, който съдържа само рационални числа и аритметични знаци (+, −, · и:), тогава стойността на този израз е рационално число. Това следва от това как се дефинират операциите с рационални числа. Например, след като извършим всички операции в израза, получаваме рационалното число 18.

Понякога, след опростяване на изразите и усложняване, става възможно да се определи дали дадено число е рационално.

Да отидем по-нататък. Числото 2 е рационално число, тъй като всяко естествено число е рационално. Какво ще кажете за номера? Рационално ли е? Оказва се, че не, това не е рационално число, а ирационално число (доказателството на този факт от противно е дадено в учебника по алгебра за 8 клас, посочен по-долу в списъка с литература). Доказано е също, че квадратният корен от естествено число е рационално число само в случаите, когато под корена има число, което е идеалният квадрат на някакво естествено число. Например и са рационални числа, тъй като 81 = 9 2 и 1 024 = 32 2, а числата и не са рационални, тъй като числата 7 и 199 не са перфектни квадрати на естествени числа.

Числото рационално ли е или не? В този случай е лесно да се забележи, че следователно това число е рационално. Числото рационално ли е? Доказано е, че k-ти корен от цяло число е рационално число само ако числото под корена е k-та степен на някакво цяло число. Следователно това не е рационално число, тъй като няма цяло число, чиято пета степен да е 121.

Методът от противното позволява да се докаже, че логаритмите на някои числа не са рационални числа по някаква причина. Например, нека докажем, че - не е рационално число.

Нека приемем обратното, тоест да кажем, че това е рационално число и може да се запише като обикновена дроб m/n. Тогава даваме следните равенства: . Последното равенство е невъзможно, тъй като от лявата страна има нечетно число 5 n, а от дясната страна е четното число 2 m. Следователно нашето предположение е неправилно, следователно не е рационално число.

В заключение, заслужава да се отбележи, че когато се определя рационалността или ирационалността на числата, трябва да се въздържате от внезапни заключения.

Например, не трябва веднага да твърдите, че произведението на ирационалните числа π и e е ирационално число; това е „привидно очевидно“, но не е доказано. Това повдига въпроса: „Защо един продукт би бил рационално число?“ И защо не, защото можете да дадете пример за ирационални числа, чието произведение дава рационално число: .

Също така не е известно дали числата и много други числа са рационални или не. Например, има ирационални числа, чиято ирационална степен е рационално число. За илюстрация представяме степен от формата , основата на тази степен и показателят не са рационални числа, а , а 3 е рационално число.

Библиография.

Математика. 6 клас: учебен. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро издание, рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Цели числа

Дефиницията на естествените числа са положителни цели числа. Естествените числа се използват за броене на обекти и за много други цели. Това са числата:

Това е естествена поредица от числа.
Нулата естествено число ли е? Не, нулата не е естествено число.
Колко естествени числа има? Има безкраен брой естествени числа.
Кое е най-малкото естествено число? Едно е най-малкото естествено число.
Кое е най-голямото естествено число? Невъзможно е да се уточни, защото има безкраен брой естествени числа.

Сборът от естествените числа е естествено число. И така, добавяйки естествените числа a и b:

Произведението на естествените числа е естествено число. И така, произведението на естествените числа a и b:

c винаги е естествено число.

Разлика на естествените числа Не винаги има естествено число. Ако умаляваното е по-голямо от изважданото, тогава разликата на естествените числа е естествено число, в противен случай не е.

Частното на естествените числа не винаги е естествено число. Ако за естествени числа a и b

където c е естествено число, това означава, че a се дели на b. В този пример a е дивидент, b е делител, c е частно.

Делителят на естествено число е естествено число, на което първото число се дели на цяло.

Всяко естествено число се дели на единица и на себе си.

Простите естествени числа се делят само на единица и себе си. Тук имаме предвид разделени изцяло. Пример, числа 2; 3; 5; 7 се дели само на единица и себе си. Това са прости естествени числа.

Едно не се счита за просто число.

Числата, които са по-големи от едно и които не са прости, се наричат съставни числа. Примери за съставни числа:

Едно не се счита за съставно число.

Множеството от естествени числа се състои от единица, прости числа и съставни числа.

Множеството от естествени числа се обозначава с латинската буква N.

Свойства на събиране и умножение на естествени числа:

комутативно свойство на събирането

асоциативно свойство на добавяне

(a + b) + c = a + (b + c);

комутативно свойство на умножението

асоциативно свойство на умножението

(ab) c = a (bc);

разпределително свойство на умножението

A (b + c) = ab + ac;

Цели числа

Целите числа са естествените числа, нулата и противоположните на естествените числа.

Обратното на естествените числа са отрицателните цели числа, например:

1; -2; -3; -4;...

Множеството от цели числа се обозначава с латинската буква Z.

Рационални числа

Рационалните числа са цели числа и дроби.

Всяко рационално число може да бъде представено като периодична дроб. Примери:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

От примерите става ясно, че всяко цяло число е периодична дроб с период нула.

Всяко рационално число може да бъде представено като дроб m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Нека си представим числото 3,(6) от предишния пример като такава дроб.