Този онлайн калкулатор ви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн. Достатъчно е да въведете вашето уравнение в съответното поле, като обозначите производната на функцията с апостроф и щракнете върху бутона „решаване на уравнение“ и системата, реализирана на базата на популярния уебсайт WolframAlpha, ще ви даде подробности решаване на диференциално уравнениеабсолютно безплатно. Можете също така да дефинирате задача на Коши, за да изберете от целия набор от възможни решения частното, което съответства на дадените начални условия. Задачата на Коши се въвежда в отделно поле.
Диференциално уравнение
По подразбиране функцията в уравнението ге функция на променлива х. Можете обаче да зададете собствено обозначение за променливата; ако напишете например y(t) в уравнението, калкулаторът автоматично ще го разпознае гима функция от променлива T. С помощта на калкулатор можете решаване на диференциални уравненияот всякаква сложност и тип: хомогенни и нехомогенни, линейни или нелинейни, първи ред или втори и по-високи редове, уравнения с разделими или неразделими променливи и др. Решение разл. уравнението е дадено в аналитична форма и има подробно описание. Диференциалните уравнения са много често срещани във физиката и математиката. Без тяхното изчисляване е невъзможно да се решат много проблеми (особено в математическата физика).
Един от етапите на решаване на диференциални уравнения е интегрирането на функции. Съществуват стандартни методи за решаване на диференциални уравнения. Необходимо е да се редуцират уравненията до форма с разделими променливи y и x и отделно да се интегрират разделените функции. За да направите това, понякога трябва да се направи определена подмяна.
Решаване на диференциални уравнения. Благодарение на нашата онлайн услуга можете да решавате диференциални уравнения от всякакъв вид и сложност: нехомогенни, хомогенни, нелинейни, линейни, от първи, втори ред, с разделими или неразделими променливи и др. Получавате решение на диференциални уравнения в аналитична форма с подробно описание. Много хора се интересуват: защо е необходимо да се решават диференциални уравнения онлайн? Този тип уравнение е много често срещано в математиката и физиката, където ще бъде невъзможно да се решат много проблеми без изчисляване на диференциалното уравнение. Диференциалните уравнения също са често срещани в икономиката, медицината, биологията, химията и други науки. Решаването на такова уравнение онлайн значително опростява задачите ви, дава ви възможност да разберете по-добре материала и да се тествате. Предимства на решаването на диференциални уравнения онлайн. Модерен уебсайт за математически услуги ви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн с всякаква сложност. Както знаете, има голям брой видове диференциални уравнения и всяко от тях има свои собствени методи за решаване. В нашата услуга можете да намерите онлайн решения на диференциални уравнения от всякакъв ред и вид. За да получите решение, предлагаме да попълните първоначалните данни и да щракнете върху бутона „Решение“. Грешки в работата на услугата са изключени, така че можете да сте 100% сигурни, че сте получили правилния отговор. Решете диференциални уравнения с нашата услуга. Решете диференциални уравнения онлайн. По подразбиране в такова уравнение функцията y е функция на променливата x. Но можете също да зададете свое собствено обозначение на променлива. Например, ако посочите y(t) в диференциално уравнение, тогава нашата услуга автоматично ще определи, че y е функция на променливата t. Редът на цялото диференциално уравнение ще зависи от максималния ред на производната на функцията, присъстваща в уравнението. Решаването на такова уравнение означава намиране на желаната функция. Нашата услуга ще ви помогне да решавате диференциални уравнения онлайн. Не са необходими много усилия от ваша страна, за да решите уравнението. Просто трябва да въведете лявата и дясната страна на вашето уравнение в задължителните полета и да щракнете върху бутона „Решение“. При въвеждане производната на функция трябва да се обозначи с апостроф. След секунди ще получите готово подробно решение на диференциалното уравнение. Нашата услуга е абсолютно безплатна. Диференциални уравнения с разделими променливи. Ако в едно диференциално уравнение има израз от лявата страна, който зависи от y, а от дясната страна има израз, който зависи от x, тогава такова диференциално уравнение се нарича с разделими променливи. Лявата страна може да съдържа производна на y; решението на диференциалните уравнения от този тип ще бъде под формата на функция на y, изразена чрез интеграла на дясната страна на уравнението. Ако от лявата страна има диференциал на функцията на y, тогава в този случай двете страни на уравнението са интегрирани. Когато променливите в диференциалното уравнение не са разделени, те ще трябва да бъдат разделени, за да се получи отделно диференциално уравнение. Линейно диференциално уравнение. Диференциално уравнение, чиято функция и всички негови производни са на първа степен, се нарича линейно. Обща форма на уравнението: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) са непрекъснати функции на x. Решаването на диференциални уравнения от този тип се свежда до интегриране на две диференциални уравнения с разделени променливи. Ред на диференциалното уравнение. Диференциалното уравнение може да бъде от първи, втори, n-ти ред. Редът на диференциалното уравнение определя реда на най-високата производна, която съдържа. В нашата услуга можете да решавате онлайн диференциални уравнения за първо, второ, трето и т.н. поръчка. Решението на уравнението ще бъде всяка функция y=f(x), замествайки я в уравнението, ще получите идентичност. Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича интегриране. Проблем на Коши. Ако в допълнение към самото диференциално уравнение е дадено началното условие y(x0)=y0, тогава това се нарича проблем на Коши. Индикаторите y0 и x0 се добавят към решението на уравнението и се определя стойността на произволна константа C, след което се определя конкретно решение на уравнението при тази стойност на C. Това е решението на задачата на Коши. Задачата на Коши се нарича още задача с гранични условия, която е много разпространена във физиката и механиката. Също така имате възможност да зададете задачата на Коши, тоест от всички възможни решения на уравнението да изберете частно, което отговаря на дадените начални условия.
Нека си припомним задачата, която ни изправи при намирането на определени интеграли:
или dy = f(x)dx. Нейното решение:
и се свежда до изчисляване на неопределения интеграл. На практика по-често се среща по-сложна задача: намирането на функцията г, ако е известно, че той удовлетворява отношение на формата
Тази връзка свързва независимата променлива х, неизвестна функция ги неговите производни до реда нвключително, се наричат .
Диференциалното уравнение включва функция под знака на производни (или диференциали) от един или друг ред. Най-високият ред се нарича ред (9.1) .
Диференциални уравнения:
- първа поръчка,
Втора поръчка
- пети ред и др.
Функцията, която удовлетворява дадено диференциално уравнение, се нарича негово решение , или интегрална . Решаването му означава намиране на всички негови решения. Ако за необходимата функция гуспяхме да получим формула, която дава всички решения, тогава казваме, че сме намерили нейното общо решение , или общ интеграл .
Общо решение
съдържа нпроизволни константи 
и изглежда като
Ако се получи връзка, която се отнася x, yИ нпроизволни константи във форма, непозволена по отношение на г -
тогава такава връзка се нарича общ интеграл на уравнение (9.1).
Проблем на Коши
Всяко конкретно решение, т.е. всяка специфична функция, която удовлетворява дадено диференциално уравнение и не зависи от произволни константи, се нарича конкретно решение , или частичен интеграл. За да се получат частни решения (интеграли) от общите, на константите трябва да се дадат конкретни числени стойности.
Графиката на определено решение се нарича интегрална крива. Общото решение, което съдържа всички частични решения, е семейство от интегрални криви. За уравнение от първи ред това семейство зависи от една произволна константа за уравнението н-та поръчка - от нпроизволни константи.
Проблемът на Коши е да се намери конкретно решение на уравнението н-ти ред, задоволителен нначални условия:
чрез които се определят n константи c 1, c 2,..., c n.
Диференциални уравнения от 1-ви ред
За диференциално уравнение от първи ред, което е неразрешено по отношение на производната, то има формата
или за разрешено относително
Пример 3.46. Намерете общото решение на уравнението
Решение.Интегрирайки, получаваме
където C е произволна константа. Ако присвоим конкретни числени стойности на C, получаваме конкретни решения, например,
Пример 3.47. Помислете за нарастваща сума пари, депозирана в банката, при начисляване на 100 r сложна лихва на година. Нека Yo е първоначалната сума пари, а Yx - в края хгодини. Ако лихвата се изчислява веднъж годишно, получаваме
където x = 0, 1, 2, 3,.... Когато лихвата се изчислява два пъти годишно, получаваме
където x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... При изчисляване на лихвата нведнъж годишно и ако хприема последователни стойности 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогава
Обозначете 1/n = h, тогава предишното равенство ще изглежда така:
С неограничено увеличение н(при 
) в лимита стигаме до процеса на увеличаване на сумата пари с непрекъснато начисляване на лихва:
Така става ясно, че при непрекъсната промяна хзаконът за изменението на паричното предлагане се изразява чрез диференциално уравнение от първи ред. Където Y x е неизвестна функция, х- независима променлива, r- постоянен. Нека да решим това уравнение, пренаписваме го по следния начин:
където 
, или 
, където P означава e C .
От началните условия Y(0) = Yo намираме P: Yo = Pe o, откъдето Yo = P. Следователно решението има формата:
Нека разгледаме втория икономически проблем. Макроикономическите модели също се описват с линейни диференциални уравнения от първи ред, описващи промените в дохода или продукцията Y като функции на времето.
Пример 3.48. Нека националният доход Y нараства със скорост, пропорционална на неговата стойност:
и нека дефицитът в държавните разходи е правопропорционален на дохода Y с коефициента на пропорционалност р. Дефицитът на разходите води до увеличаване на националния дълг D:
Начални условия Y = Yo и D = Do при t = 0. От първото уравнение Y= Yoe kt. Като заместим Y, получаваме dD/dt = qYoe kt. Общото решение има формата
D = (q/ k) Yoe kt +С, където С = const, което се определя от началните условия. Замествайки началните условия, получаваме Do = (q/ k)Yo + C. И така, накрая,
D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),
това показва, че националният дълг нараства със същата относителна скорост к, същото като националния доход.
Нека разгледаме най-простите диференциални уравнения нти ред, това са уравнения от формата
Неговото общо решение може да се получи с помощта на нпъти интеграции.
Пример 3.49.Разгледайте примера y """ = cos x.
Решение.Интегрирайки, намираме
Общото решение има формата
Линейни диференциални уравнения
Те се използват широко в икономиката; нека разгледаме решаването на такива уравнения. Ако (9.1) има формата:
тогава се нарича линейна, където рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) са зададени функции. Ако f(x) = 0, тогава (9.2) се нарича хомогенно, в противен случай се нарича нехомогенно. Общото решение на уравнение (9.2) е равно на сумата от всяко негово частно решение y(x)и съответстващото му общо решение на хомогенното уравнение:
Ако коефициентите р o (x), р 1 (x),..., р n (x) са постоянни, тогава (9.2)
(9.4) се нарича линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти на ред н .
За (9.4) има формата:
Без загуба на общност можем да зададем p o = 1 и да запишем (9.5) във формата
Ще търсим решение на (9.6) във формата y = e kx, където k е константа. Ние имаме: ; y " = ke kx, y "" = k 2 e kx, ..., y (n) = kne kx. Замествайки получените изрази в (9.6), ще имаме:
(9.7) е алгебрично уравнение, неговото неизвестно е к, тя се нарича характеристика. Характеристичното уравнение има степен нИ нкорени, сред които може да има както множество, така и сложни. Тогава нека k 1 , k 2 ,..., k n са реални и различни 
- частни решения (9.7) и общи
Разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти:
Неговото характеристично уравнение има формата
(9.9)
неговият дискриминант D = p 2 - 4q, в зависимост от знака на D са възможни три случая.
1. Ако D>0, тогава корените k 1 и k 2 (9.9) са реални и различни, а общото решение има формата:
Решение.Характеристично уравнение: k 2 + 9 = 0, откъдето k = ± 3i, a = 0, b = 3, общото решение има формата:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Линейни диференциални уравнения от 2-ри ред се използват, когато се изучава уеб-тип икономически модел със запаси от стоки, където скоростта на промяна на цената P зависи от размера на запасите (вижте параграф 10). Ако търсенето и предлагането са линейни функции на цената, т.е
a е константа, която определя скоростта на реакция, тогава процесът на промяна на цената се описва от диференциалното уравнение:
За конкретно решение можем да вземем константа
смислена равновесна цена. Отклонение 
удовлетворява хомогенното уравнение
(9.10)
Характеристичното уравнение ще бъде както следва:
В случай, че срокът е положителен. Нека обозначим 
. Корените на характеристичното уравнение k 1,2 = ± i w, следователно общото решение (9.10) има формата:
където C и са произволни константи, те се определят от началните условия. Получихме закона за промяната на цените във времето:
6.1. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
При решаването на различни задачи по математика и физика, биология и медицина доста често не е възможно незабавно да се установи функционална връзка под формата на формула, свързваща променливите, които описват изследвания процес. Обикновено трябва да използвате уравнения, които съдържат, в допълнение към независимата променлива и неизвестната функция, също нейни производни.
Определение.Извиква се уравнение, свързващо независима променлива, неизвестна функция и нейните производни от различен порядък диференциал.
Обикновено се обозначава неизвестна функция y(x)или просто y,и неговите производни - y", y"и т.н.
Възможни са и други обозначения, например: ако г= x(t), тогава x"(t), x""(t)- неговите производни, и T- независима променлива.
Определение.Ако една функция зависи от една променлива, тогава диференциалното уравнение се нарича обикновено. Обща форма обикновено диференциално уравнение:
или
Функции ЕИ fможе да не съдържа някои аргументи, но за да бъдат уравненията диференциални, наличието на производна е от съществено значение.
Определение.Редът на диференциалното уравнениесе нарича порядъкът на включената в него най-висока производна.
Например, x 2 y"- г= 0, y" + sin х= 0 са уравнения от първи ред, и y"+ 2 y"+ 5 г= х- уравнение от втори ред.
При решаване на диференциални уравнения се използва операцията интегриране, която е свързана с появата на произволна константа. Ако се приложи интеграционното действие нпъти, тогава очевидно решението ще съдържа нпроизволни константи.
6.2. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ПЪРВИ РЯД
Обща форма диференциално уравнение от първи редсе определя от израза
Уравнението може да не съдържа изрично хИ y,но задължително съдържа y".
Ако уравнението може да бъде написано като
тогава получаваме диференциално уравнение от първи ред, разрешено по отношение на производната.
Определение.Общото решение на диференциалното уравнение от първи ред (6.3) (или (6.4)) е множеството от решения 
, Където СЪС- произволна константа.
Графиката на решението на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.
Даване на произволна константа СЪСразлични стойности, могат да се получат частични решения. На повърхността xOyобщото решение е семейство от интегрални криви, съответстващи на всяко конкретно решение.
Ако поставите точка A (x 0, y 0),през които трябва да премине интегралната крива, тогава, като правило, от набор от функции 
Може да се открои едно - частно решение.
Определение.Частно решениена диференциално уравнение е неговото решение, което не съдържа произволни константи.
Ако 
е общо решение, то от условието
можете да намерите константа СЪС.Условието се нарича първоначално състояние.
Проблемът за намиране на конкретно решение на диференциалното уравнение (6.3) или (6.4), удовлетворяващо началното условие 
при 
Наречен Проблем на Коши.Този проблем винаги ли има решение? Отговорът се съдържа в следната теорема.
Теорема на Коши(теорема за съществуване и единственост на решение). Пуснете диференциалното уравнение y"= f(x,y)функция f(x,y)и тя
частична производна 
определени и непрекъснати в някои
регион Д,съдържаща точка 
След това в района дсъществува
единственото решение на уравнението, което удовлетворява началното условие 
при 
Теоремата на Коши гласи, че при определени условия има уникална интегрална крива г= f(x),преминаващ през точка 
Точки, в които не са изпълнени условията на теоремата
Коши се наричат специален.В тези точки се счупва f(x, y) или.
Няколко интегрални криви или нито една не минават през особена точка.
Определение.Ако решението (6.3), (6.4) се намери във формата f(x, y, ° С)= 0, не е позволено спрямо y, тогава се извиква общ интегралдиференциално уравнение.
Теоремата на Коши гарантира само съществуването на решение. Тъй като няма единен метод за намиране на решение, ще разгледаме само някои видове диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат интегрирани в квадратури.
Определение.Диференциалното уравнение се нарича интегрируеми в квадратури,ако намирането на неговото решение се свежда до интегриране на функции.
6.2.1. Диференциални уравнения от първи ред с разделими променливи
Определение.Диференциално уравнение от първи ред се нарича уравнение с разделими променливи,
Дясната страна на уравнение (6.5) е произведението на две функции, всяка от които зависи само от една променлива.
Например уравнението 
е уравнение с разделяне
смесени с променливи 
и уравнението 
не могат да бъдат представени във формата (6.5).
Като се има предвид това 
, пренаписваме (6.5) във формата 
От това уравнение получаваме диференциално уравнение с разделени променливи, в което диференциалите са функции, които зависят само от съответната променлива:
Интегрирайки термин по термин, имаме
където C = C 2 - C 1 - произволна константа. Израз (6.6) е общият интеграл на уравнение (6.5).
Като разделим двете страни на уравнение (6.5) на, можем да загубим тези решения, за които, 
Наистина, ако 
при 
Че 
очевидно е решение на уравнение (6.5).
Пример 1.Намерете решение на уравнението, което удовлетворява
състояние: г= 6 ат х= 2 (г(2) = 6).
Решение.Ние ще заменим y"тогава 
. Умножете двете страни по
dx,тъй като по време на по-нататъшната интеграция е невъзможно да се напусне dxв знаменателя:
и след това разделяне на двете части на 
получаваме уравнението,
които могат да бъдат интегрирани. Нека интегрираме: 
Тогава 
; потенциране, получаваме y = C. (x + 1) - ob-
общо решение.
Използвайки първоначалните данни, ние определяме произволна константа, като ги заместваме в общото решение
Накрая получаваме г= 2(x + 1) е конкретно решение. Нека да разгледаме още няколко примера за решаване на уравнения с разделими променливи.
Пример 2.Намерете решението на уравнението 
Решение.Като се има предвид това 
, получаваме 
.
Интегрирайки двете страни на уравнението, имаме
където 
Пример 3.Намерете решението на уравнението Решение.Разделяме двете страни на уравнението на онези фактори, които зависят от променлива, която не съвпада с променливата под диференциалния знак, т.е. 
и интегрирайте. Тогава получаваме
и накрая
Пример 4.Намерете решението на уравнението
Решение.Като знаем какво ще получим. Раздел
lim променливи. Тогава 
Интегрирайки, получаваме
Коментирайте.В примери 1 и 2 търсената функция е гизразено експлицитно (общо решение). В примери 3 и 4 - неявно (общ интеграл). В бъдеще формата на решението няма да бъде уточнена.
Пример 5.Намерете решението на уравнението Решение.
Пример 6.Намерете решението на уравнението 
, задоволително
състояние y(e)= 1.
Решение.Нека напишем уравнението във формата 
Умножавайки двете страни на уравнението по dxи нататък, получаваме
Интегрирайки двете страни на уравнението (интегралът от дясната страна се взема на части), получаваме 
Но според състоянието г= 1 at х= д. Тогава
Нека заместим намерените стойности СЪСкъм общото решение:
Полученият израз се нарича частично решение на диференциалното уравнение.
6.2.2. Хомогенни диференциални уравнения от първи ред
Определение.Диференциалното уравнение от първи ред се нарича хомогенен,ако може да се представи във формата
Нека представим алгоритъм за решаване на хомогенно уравнение.
1.Вместо това гтогава нека въведем нова функция 
и следователно 
2. По отношение на функцията uуравнение (6.7) приема формата
тоест заместването редуцира едно хомогенно уравнение до уравнение с разделими променливи.
3. Решавайки уравнение (6.8), първо намираме u и след това г= ux.
Пример 1.Решете уравнението 
Решение.Нека напишем уравнението във формата
Правим замяната: 
Тогава 
Ние ще заменим 
Умножете по dx: 
Разделете на хи на 
Тогава
След като сме интегрирали двете страни на уравнението върху съответните променливи, имаме
или, връщайки се към старите променливи, най-накрая получаваме
Пример 2.Решете уравнението 
Решение.Позволявам 
Тогава
Нека разделим двете страни на уравнението на х2: 
Нека отворим скобите и пренаредим термините:
Преминавайки към старите променливи, стигаме до крайния резултат:
Пример 3.Намерете решението на уравнението 
предвид това
Решение.Извършване на стандартна подмяна 
получаваме
или 
или
Това означава, че конкретното решение има формата 
Пример 4.Намерете решението на уравнението
Решение.
Пример 5.Намерете решението на уравнението 
Решение.
Самостоятелна работа
Намерете решения на диференциални уравнения с разделими променливи (1-9).
Намерете решение на хомогенни диференциални уравнения (9-18).
6.2.3. Някои приложения на диференциални уравнения от първи ред
Проблем с радиоактивното разпадане
Скоростта на разпадане на Ra (радий) във всеки момент от времето е пропорционална на наличната му маса. Намерете закона за радиоактивното разпадане на Ra, ако е известно, че в началния момент е имало Ra и времето на полуразпад на Ra е 1590 години.
Решение.Нека в момента масата Ra е х= x(t) g и 
Тогава скоростта на разпадане Ra е равна на
Според условията на проблема 
Където к
Разделяйки променливите в последното уравнение и интегрирайки, получаваме
където 
За определяне ° Сизползваме началното условие: когато 
.
Тогава 
и следователно, 
Фактор на пропорционалност копределя се от допълнителното условие:
Ние имаме
Оттук 
и необходимата формула
Проблем със скоростта на размножаване на бактерии
Скоростта на размножаване на бактериите е пропорционална на техния брой. В началото имаше 100 бактерии. За 3 часа броят им се е удвоил. Намерете зависимостта на броя на бактериите от времето. Колко пъти ще се увеличи броят на бактериите в рамките на 9 часа?
Решение.Позволявам х- брой бактерии в даден момент T.Тогава, според условието, 
Където к- коефициент на пропорционалност.
Оттук 
От условието се знае, че 
. означава,
От допълнителното условие 
. Тогава
Функцията, която търсите: 
Така че, когато T= 9 х= 800, т.е. за 9 часа броят на бактериите се е увеличил 8 пъти.
Проблемът с увеличаването на количеството ензим
В културата на бирена мая скоростта на растеж на активния ензим е пропорционална на първоначалното му количество х.Първоначално количество ензим асе удвои в рамките на час. Намерете зависимост
x(t).
Решение.По условие диференциалното уравнение на процеса има вида 
оттук
Но 
. означава, ° С= аи тогава 
Известно е също, че 
следователно
6.3. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ВТОРИ РЯД
6.3.1. Основни понятия
Определение.Диференциално уравнение от втори реде отношение, което свързва независимата променлива, желаната функция и нейните първа и втора производни.
В специални случаи x може да липсва в уравнението, приили y". Уравнението от втори ред обаче задължително трябва да съдържа y." В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като:
или, ако е възможно, във формата, разрешена по отношение на втората производна:
Както в случая на уравнение от първи ред, за уравнение от втори ред може да има общи и частни решения. Общото решение е:
Намиране на конкретно решение
при начални условия – дадени
числа) се нарича Проблем на Коши.Геометрично това означава, че трябва да намерим интегралната крива при= y(x),преминаващ през дадена точка 
и има допирателна в тази точка, която е
подравнява с положителната посока на оста волопределен ъгъл. д. 
(фиг. 6.1). Проблемът на Коши има уникално решение, ако дясната страна на уравнение (6.10), 
непрестанен
е прекъснат и има непрекъснати частни производни по отношение на ъъъъ"в някакъв квартал на началната точка
За намиране на константи 
включена в частно решение, системата трябва да бъде разрешена
Ориз. 6.1.Интегрална крива
