Сайтът „Професионален учител по математика” продължава поредицата от методически статии за обучението. Публикувам описания на методите на моята работа с най-сложните и проблемни темиучилищна програма. Този материалще бъде полезно за учители и преподаватели по математика, работещи с ученици от 8-11 клас редовна програма, и по програмата на часовете по математика.
Учителят по математика не винаги може да обясни материал, който е слабо представен в учебника. За съжаление подобни теми стават все повече и масово се допускат грешки в представянето след авторите на ръководствата. Това се отнася не само за начинаещи преподаватели по математика и задочни преподаватели (преподавателите са студенти и преподаватели), но и за опитни учители, професионални преподаватели, преподаватели с опит и квалификация. Талантът на компетентен коректор на грапавостта училищни учебнициНе всички учители по математика имат това. Не всеки разбира също, че тези корекции (или допълнения) са необходими. Малко деца участват в адаптирането на материала за качественото му възприемане от децата. За съжаление отмина времето, когато учителите по математика, заедно с методисти и автори на публикации, масово обсъждаха всяка буква от учебника. Преди това, преди да се пусне учебник в училищата, се правеха сериозни анализи и проучвания на резултатите от обучението. Дойде време за аматьори, които се стремят да направят учебниците универсални, приспособявайки ги към стандартите на силните класове по математика.
Надпреварата за увеличаване на количеството информация води само до намаляване на качеството на нейното усвояване и, като следствие, намаляване на нивото на истинско познаниепо математика. Но никой не обръща внимание на това. И нашите деца са принудени още в 8-ми клас да учат това, което ние сме учили в института: теория на вероятностите, решаване на уравнения високи градусии още нещо. Адаптирането на материала в книгите за пълното възприятие на детето оставя много да се желае и учителят по математика е принуден по някакъв начин да се справи с това.
Нека поговорим за методологията за преподаване на такава специфична тема като „разделяне на полином на полином с ъгъл“, по-известна в математиката за възрастни като „теорема на Безу и схема на Хорнер“. Само преди няколко години въпросът не беше толкова належащ за учител по математика, защото не беше част от основните училищна програма. Сега уважаваните автори на учебника, редактиран от Теляковски, направиха промени в последното издание на това, което според мен е най-добрият учебник, и, след като го развалиха напълно, само добавиха ненужни притеснения на учителя. Учителите на училища и класове, които нямат статут на математика, фокусирайки се върху иновациите на авторите, започнаха по-често да включват допълнителни параграфи в уроците си, а любознателните деца, гледайки красивите страници на своя учебник по математика, все по-често питат учител: „Какво е това разделение с ъгъл? Ще преминем ли през това? Как да споделим кът? От такива директни въпроси няма скриване. Учителят ще трябва да каже нещо на детето.
как? Вероятно нямаше да описвам метода на работа с темата, ако тя беше представена компетентно в учебниците. Как върви всичко при нас? Учебниците трябва да се печатат и продават. И за това те трябва да се актуализират редовно. Оплакват ли се преподавателите в университетите, че децата идват при тях с празни глави, без знания и умения? Изисквания към математически знаниярасте? Страхотно! Нека премахнем някои упражнения и вместо тях да вмъкнем теми, които се изучават в други програми. Защо нашият учебник е по-лош? Нека включим малко допълнителни глави. Учениците не знаят правилото за разделяне на ъгъл? Това е същото елементарна математика. Този параграф трябва да бъде незадължителен, озаглавен „за тези, които искат да знаят повече“. Преподавателите против ли са? Защо ни е грижа за преподавателите като цяло? Методиците и учителите също са против? Няма да усложняваме материала и ще разгледаме най-простата му част.
И тук започва. Простотата на темата и качеството на нейното усвояване се крият преди всичко в разбирането на нейната логика, а не в изпълнението, в съответствие с инструкциите на авторите на учебника, определен набор от операции, които не са ясно свързани помежду си . В противен случай ще има мъгла в главата на ученика. Ако изчисленията на авторите се основават на относително силни ученици(но учат по редовната програма), тогава не трябва да представяте темата в командна форма. Какво виждаме в учебника? Деца, трябва да разделим според това правило. Вземете полинома под ъгъла. Така оригиналният полином ще бъде факторизиран. Не е ясно обаче защо членовете под ъгъла са избрани точно по този начин, защо трябва да се умножат по полинома над ъгъла и след това да се извадят от текущия остатък. И най-важното, не е ясно защо избраните мономи трябва в крайна сметка да бъдат добавени и защо получените скоби ще бъдат разширение на оригиналния полином. Всеки компетентен математик ще сложи удебелен знаквъпрос върху дадените обяснения в учебника.
Предлагам на вниманието на учителите и учителите по математика моето решение на задачата, което на практика прави всичко, което е посочено в учебника, очевидно за ученика. Всъщност ще докажем теоремата на Безу: ако числото a е корен на полином, то този полином може да се разложи на множители, единият от които е x-a, а вторият се получава от оригиналния по един от трите начина: чрез изолиране на линеен фактор чрез трансформации, чрез разделяне с ъгъл или чрез схема на Хорнер. Именно с тази формулировка ще бъде по-лесно да работи учителят по математика.
Какво е методология на преподаване? На първо място, това е ясен ред в последователността от обяснения и примери, въз основа на които се правят математически заключения. Тази темабез изключение. Много е важно учителят по математика да запознае детето с теоремата на Безу преди разделяне с ъгъл. Това е много важно! Най-добрият начин да постигнете разбирателство е да конкретен пример. Нека вземем някакъв полином с избран корен и покажем техниката за разлагането му на фактори, използвайки метод, познат на учениците от 7-ми клас трансформации на идентичността. С подходящи придружаващи обяснения, акценти и съвети от преподавател по математика е напълно възможно да се предаде материалът без общи математически изчисления, произволни коефициенти и степени.
Важен съвет за учител по математика- следвайте инструкциите от началото до края и не променяйте тази последователност.
И така, да кажем, че имаме полином. Ако заместим числото 1 вместо неговото X, тогава стойността на полинома ще бъде равна на нула. Следователно x=1 е неговият корен. Нека се опитаме да разложим на два члена, така че единият от тях да е продуктът линеен изрази някои мономи, а вторият ще има една степен по-малка от . Тоест, нека го представим във формата
Избираме монома за червеното поле така, че когато се умножи по водещия член, той напълно съвпада с водещия член на оригиналния полином. Ако ученикът не е най-слабият, тогава той ще бъде напълно способен да каже на учителя по математика необходимия израз: . Учителят трябва незабавно да бъде помолен да го постави в червеното поле и да покаже какво ще се случи, когато се отворят. Най-добре е да подпишете този виртуален временен полином под стрелките (под малката снимка), като го подчертаете с някакъв цвят, например син. Това ще ви помогне да изберете термин за червеното поле, наречено остатък от селекцията. Бих посъветвал учителите да посочат тук, че този остатък може да се намери чрез изваждане. Извършвайки тази операция получаваме:
Учителят по математика трябва да насочи вниманието на ученика към факта, че като заместим единица в това равенство, гарантирано ще получим нула от лявата му страна (тъй като 1 е коренът на първоначалния полином), а от дясната страна, очевидно, също ще нулира първия член. Това означава, че без никаква проверка можем да кажем, че едно е коренът на „зеления остатък“.
Нека се справим с него по същия начин, както направихме с оригиналния полином, изолирайки от него същия линеен фактор. Учителят по математика рисува две рамки пред ученика и ги кара да попълнят отляво надясно.
Студентът избира за учителя моном за червеното поле, така че, когато се умножи по водещия член на линейния израз, той дава водещия член на разширяващия се полином. Поставяме го в рамката, веднага отваряме скобата и подчертаваме в синьо изражението, което трябва да се извади от сгъваемия. Извършвайки тази операция получаваме
И накрая, правя същото с последния остатък
ще го получим най-накрая
Сега нека извадим израза от скобата и ще видим разлагането на оригиналния полином на множители, един от които е „x минус избрания корен“.
За да не си помисли ученикът, че последният „зелен остатък“ случайно е разложен на необходимите множители, учителят по математика трябва да посочи важна собственостна всички зелени остатъци - всеки от тях има корен 1. Тъй като степените на тези остатъци намаляват, без значение каква степен на началния полином ни е дадена, рано или късно ще получим линеен "зелен остатък" с корен 1, и следователно то задължително ще се разложи в произведението някакво число и израз.
След това подготвителна работаЗа учителя по математика няма да е трудно да обясни на ученик какво се случва при разделяне с ъгъл. Това е същият процес, само че в по-кратка и по-компактна форма, без знаци за равенство и без пренаписване на едни и същи подчертани термини. Полиномът, от който се извлича линейният фактор, се записва вляво от ъгъла, избраните червени мономи се събират под ъгъл (сега става ясно защо трябва да се сумират), за да получите „сините полиноми“, трябва да умножите „червените“ с x-1 и след това ги извадете от текущо избраните как се прави това кога обикновено делениечисла в колона (тук има аналогия с това, което беше изучено по-рано). Получените „зелени остатъци“ подлежат на ново изолиране и селекция на „червени мономи“. И така докато получите нулев „зелен баланс“. Най-важното е ученикът да разбира по-нататъшна съдбанаписани полиноми над и под ъгъла. Очевидно това са скоби, чието произведение е равно на оригиналния полином.
Следващият етап от работата на учителя по математика е формулирането на теоремата на Bezout. Всъщност неговата формулировка с този подход на учителя става очевидна: ако числото a е корен на полином, то може да бъде разложено на фактори, единият от които е , а другият се получава от оригинала по един от трите начина :
- директно разлагане (аналогично на метода на групиране)
- разделяне с ъгъл (в колона)
- чрез веригата на Хорнер
Трябва да се каже, че не всички преподаватели по математика показват диаграмата на Хорнер на учениците и не всички учители в училище(за щастие на самите преподаватели) те навлизат толкова дълбоко в темата по време на уроците. Въпреки това, за ученика час по математикаНе виждам причина да спирам на дълго деление. Освен това най-удобният и бързоТехниката на разлагане се основава точно на схемата на Хорнер. За да се обясни на детето откъде идва, достатъчно е да се проследи, използвайки примера за деление с ъгъл, появата на по-високи коефициенти в зелените остатъци. Става ясно, че водещият коефициент на първоначалния полином се пренася в коефициента на първия „червен моном“ и по-нататък от втория коефициент на текущия горен полином приспаднатрезултатът от умножаването на текущия коефициент на „червения моном“ по . Следователно е възможно добаветерезултатът от умножаването по . След като фокусира вниманието на ученика върху спецификата на действията с коефициенти, учителят по математика може да покаже как обикновено се извършват тези действия, без да записва самите променливи. За да направите това, е удобно да въведете корена и коефициентите на оригиналния полином по ред на приоритет в следната таблица:
Ако липсва някаква степен в полином, неговият нулев коефициент се принуждава в таблицата. Коефициентите на "червените полиноми" се въвеждат един по един в долния ред според правилото "кука": 
Коренът се умножава по последния червен коефициент, добавя се към следващия коефициент в горния ред и резултатът се записва на долния ред. В последната колона гарантирано ще получим най-високия коефициент на последния „зелен остатък“, тоест нула. След като процесът приключи, числата поставени между съответстващия корен и нулевия остатъксе оказват коефициенти на втория (нелинеен) фактор.
Тъй като коренът a дава нула в края на долния ред, схемата на Horner може да се използва за проверка на числа за заглавието на корена на полином. Ако специална теорема за избор на рационален корен. Всички кандидати за това заглавие, получени с негова помощ, просто се вмъкват на свой ред отляво в диаграмата на Хорнер. Веднага щом получим нула, тестваното число ще бъде корен и в същото време ще получим коефициентите на разлагане на множители на оригиналния полином на неговата права. Много удобно.
В заключение бих искал да отбележа, че за точното въвеждане на схемата на Хорнер, както и за практическо консолидиране на темата, учителят по математика трябва да има на разположение достатъчен брой часове. Учител, работещ с режима „веднъж седмично“, не трябва да се занимава с ъглово разделение. На Единния държавен изпит по математика и на Държавната академия по математика по математика е малко вероятно в първата част някога да срещнете уравнение от трета степен, което може да бъде решено по този начин. Ако преподавател подготвя дете за изпит по математика в Московския държавен университет, изучаването на темата става задължително. Университетските преподаватели, за разлика от съставителите на Единния държавен изпит, наистина обичат да тестват дълбочината на знанията на кандидата.
Колпаков Александър Николаевич, учител по математика Москва, Строгино
Назад Напред
внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Тип урок: Урок за овладяване и затвърдяване на началните знания.
Цел на урока:
- Запознайте учениците с понятието корени на многочлен и ги научете как да ги намират.
- Подобрете уменията за използване на схемата на Horner за разширяване на полином по степени и деление на полином на бином.
- Научете се да намирате корените на уравнение, използвайки схемата на Хорнер.
- Развийте абстрактното мислене.
- Насърчавайте компютърна култура.
Развитие на междупредметни връзки.
Напредък на урока
1. Организационен момент.
Информирайте темата на урока, формулирайте цели.
2. Проверка на домашните.
3. Изучаване на нов материал. = Нека Fn(x) - a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 полином за x от степен n, където a 0 , a 1 ,...,a n са дадени числа и a 0 не е равно на 0. Ако полиномът F n (x) се раздели с остатъка набином x-a , тогава частното (непълно частно) е полином Q n-1 (x) от степен n-1, остатъкът R е число и равенството е вярно F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.
Полиномът F n (x) се дели на бинома (x-a) само в случай на R=0.
Теорема на Безу: Остатъкът R от деленето на полинома F n (x) на бинома (x-a) е равен на стойността на полинома F n (x) при x=a, т.е. R=Pn(a). Малко история. Теоремата на Безу, въпреки привидната си простота и очевидност, е една отфундаментални теореми теория на полиномите. Тази теорема свързва алгебричните свойства на полиномите (които ни позволяват да работим с полиноми като цели числа) с технитефункционални свойства
(които позволяват полиномите да се третират като функции). Един от начините за решаване на уравнения с по-висока степен е разлагането на полинома от лявата страна на уравнението. Изчисляването на коефициентите на полинома и остатъка се записва под формата на таблица, наречена схема на Хорнер. Схемата на Хорнер е алгоритъм за деление на полиноми, написан за специалния случай, когато частното е равно на бином.
x–a Хорнър Уилям Джордж (1786 - 1837), английски математик. Основните изследвания са свързани с теориятаалгебрични уравнения
. Разработил метод за приближено решаване на уравнения от произволна степен. През 1819 г. той въвежда важен метод за алгебрата за разделяне на полином на бином x - a (схема на Хорнер). Заключениеобща формула
за схемата на Хорнер.
Разделянето на полином f(x) с остатък на бином (x-c) означава намиране на полином q(x) и число r, така че f(x)=(x-c)q(x)+r
Нека напишем това равенство подробно:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Нека приравним коефициентите при същите градуси: xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Демонстрация на веригата на Хорнер с помощта на пример.
Задача 1.Използвайки схемата на Хорнер, разделяме полинома f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 с остатък на бинома x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, където g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 остатък.
Развиване на полином по степени на бином.
Използвайки схемата на Хорнер, разширяваме полинома f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 по степени на бинома (x+2).
В резултат на това трябва да получим разширението f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Схемата на Хорнер често се използва при решаване на уравнения от трета, четвърта и по-високи степени, когато е удобно полиномът да се разшири в бином x-a. Номер анаречен корен на полинома F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ако при х=астойността на полинома F n (x) е равна на нула: F n (a)=0, т.е. ако многочленът се дели на бинома x-a.
Например числото 2 е коренът на полинома F 3 (x)=3x 3 -2x-20, тъй като F 3 (2)=0. това означава. Че факторизирането на този полином съдържа фактор x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Всеки полином F n(x) от степен п 1 не може да има повече пистински корени.
Всякакви цял коренуравнение с цели коефициенти е делител на неговия свободен член.
Ако водещият коефициент на уравнение е 1, тогава всички рационални корени на уравнението, ако съществуват, са цели числа.
Затвърдяване на изучения материал.
За консолидиране на новия материал учениците са поканени да попълнят числа от учебника 2.41 и 2.42 (стр. 65).
(2 ученика решават на дъската, а останалите, след като са решили, проверяват задачите в тетрадката с отговорите на дъската).
Обобщавайки.
След като разбере структурата и принципа на работа на схемата на Хорнер, тя може да се използва и в уроците по информатика, когато се разглежда въпросът за преобразуването на цели числа от десетичната бройна система в двоичната система и обратно. Основата за прехвърляне от една бройна система в друга е следната обща теорема
Теорема.За преобразуване на цяло число Апот стр-арна бройна система към основна бройна система dнеобходимо Аппоследователно деление с остатък на число d, написано в същ стр-арна система, докато полученото частно стане равно на нула. Остатъците от делението ще бъдат d- цифрови цифри реклама, започвайки от най-младата категория до най-старшата. Всички действия трябва да се извършват в стр-арна бройна система. За човек това правило е удобно само когато стр= 10, т.е. при превод отдесетична система. Що се отнася до компютъра, напротив, за него е „по-удобно“ да извършва изчисления двоична система. Следователно, за да се преобразува „2 към 10“, се използва последователно деление на десет в двоичната система, а „10 към 2“ е добавяне на степени на десет. За оптимизиране на изчисленията на процедурата “10 в 2”, компютърът използва икономичната изчислителна схема на Horner.
домашна работа. Предлага се изпълнението на две задачи.
1-во Използвайки схемата на Horner, разделете полинома f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 на бинома (x-3).
2-ро. Намерете целочислените корени на полинома f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (като се има предвид, че всеки цял корен на уравнение с цели коефициенти е делител на неговия свободен член).
Литература.
- Курош А.Г. „Курс по висша алгебра“.
- Николски С.М., Потапов М.К. и др.10 клас “Алгебра и началото на математическия анализ”.
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Слайд 3
Хорнър Уилямс Джордж (1786-22.9.1837) - английски математик. Роден в Бристол. Учи и работи там, след това в училища в Бат. Основни трудове по алгебра. През 1819г публикува метод за приблизително изчисляване на реалните корени на полином, който сега се нарича метод на Руфини-Хорнер (този метод е известен на китайците още през 13 век. Схемата за разделяне на полином на бином x-a). след Хорнер.
Слайд 4
СХЕМА НА ХОРНЕР
Метод на разделяне n-ти полиномстепен върху линеен бином - a, въз основа на факта, че коефициентите на непълното частно и остатъка са свързани с коефициентите на делимия полином и с формулите:
Слайд 5
Изчисленията по схемата на Хорнер са поставени в таблицата:
Пример 1. Деление Частичното частно е x3-x2+3x - 13, а остатъкът е 42=f(-3).
Слайд 6
Основното предимство на този метод е компактността на записа и възможността бързо разделянеполином към бином. Всъщност схемата на Хорнер е друга форма на записване на метода на групиране, въпреки че, за разлика от последния, тя е напълно невизуална. Отговорът (факторизацията) тук се получава сам по себе си и не виждаме процеса на получаването му. Няма да се занимаваме със строго обосноваване на схемата на Хорнер, а само ще покажем как работи.
Слайд 7
Пример 2.
Нека докажем, че полиномът P(x)=x4-6x3+7x-392 се дели на x-7, и да намерим частното от делението. Решение. Използвайки схемата на Хорнер, намираме P(7): От тук получаваме P(7)=0, т.е. остатък при деление на полином на x-7 равно на нулаи, следователно, полиномът P(x) е кратен на (x-7), освен това числата във втория ред на таблицата са коефициентите на частното на P(x), делено на (x-7), следователно P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).
Слайд 8
Разложете полинома на множители x3 – 5x2 – 2x + 16.
Този полином има цели коефициенти. Ако цяло число е коренът на този полином, тогава то е делител на 16. Следователно, ако y даден полиномима цели корени, тогава това могат да бъдат само числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Чрез пряка проверка се убеждаваме, че числото 2 е коренът на този полином, т.е. x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), където Q(x) е полином от втора степен
Слайд 9
Получените числа 1, −3, −8 са коефициентите на полинома, който се получава чрез разделяне на оригиналния полином на x – 2. Това означава, че резултатът от делението е: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Степента на полином, получен от деление, винаги е с 1 по-малка от степента на първоначалния. И така: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Схема на Хорнер - метод за разделяне на полином
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
върху бинома $x-a$. Ще трябва да работите с таблица, чийто първи ред съдържа коефициентите на даден полином. Първият елемент от втория ред ще бъде числото $a$, взето от бинома $x-a$:
След като разделим полином от n-та степен на бином $x-a$, получаваме полином, чиято степен е с единица по-малка от първоначалната, т.е. е равно на $n-1$. Директното приложение на схемата на Хорнер е най-лесно да се демонстрира с примери.
Пример №1
Разделете $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$, като използвате схемата на Horner.
Нека направим таблица от два реда: в първия ред записваме коефициентите на полинома $5x^4+5x^3+x^2-11$, подредени в низходящ ред на степените на променливата $x$. Обърнете внимание, че този полином не съдържа $x$ на първа степен, т.е. коефициентът на $x$ на първа степен е 0. Тъй като делим на $x-1$, записваме единица във втория ред:
Нека започнем да попълваме празните клетки във втория ред. Във втората клетка на втория ред записваме числото $5$, като просто го преместваме от съответната клетка на първия ред:
Нека попълним следващата клетка според този принцип: $1\cdot 5+5=10$:
Нека попълним четвъртата клетка на втория ред по същия начин: $1\cdot 10+1=11$:
За петата клетка получаваме: $1\cdot 11+0=11$:
И накрая, за последната, шеста клетка, имаме: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Задачата е решена, остава само да напишем отговора:
Както можете да видите, числата, разположени на втория ред (между едно и нула), са коефициентите на полинома, получен след разделянето на $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. Естествено, тъй като степента на първоначалния полином $5x^4+5x^3+x^2-11$ е равна на четири, степента на получения полином $5x^3+10x^2+11x+11$ е едно по-малко, т.е. е равно на три. Последното число във втория ред (нула) означава остатъка при деление на многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. В нашия случай остатъкът е нула, т.е. полиномите се делят равномерно. Този резултат може да се характеризира и по следния начин: стойността на полинома $5x^4+5x^3+x^2-11$ за $x=1$ е равна на нула.
Изводът може да се формулира и в следната форма: тъй като стойността на полинома $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ е равна на нула, то единица е коренът на полинома $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Пример №2
Разделете полинома $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$, като използвате схемата на Horner.
Нека веднага уточним, че изразът $x+3$ трябва да бъде представен във формата $x-(-3)$. Схемата на Horner ще включва точно $-3$. Тъй като степента на първоначалния полином $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ е равна на четири, тогава в резултат на разделяне получаваме полином от трета степен:
Резултатът означава, че
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
В тази ситуация остатъкът при деление на $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ е $4$. Или, което е същото, стойността на полинома $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ за $x=-3$ е равна на $4$. Между другото, това е лесно да се провери отново чрез директно заместване на $x=-3$ в дадения полином:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Тези. Схемата на Хорнер може да се използва, ако е необходимо да се намери стойността на полином при зададена стойностпроменлива. Ако целта ни е да намерим всички корени на полином, тогава схемата на Хорнер може да се прилага няколко пъти подред, докато изчерпим всички корени, както беше обсъдено в пример № 3.
Пример №3
Намерете всички цели корени на полинома $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$, като използвате схемата на Horner.
Коефициентите на разглеждания полином са цели числа, а коефициентът преди старша степенпроменлива (т.е. преди $x^6$) равно на едно. В този случай целочислените корени на полинома трябва да се търсят сред делителите на свободния член, т.е. сред делителите на числото 45. За даден полином такива корени могат да бъдат числата $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ и $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Да проверим например числото $1$:
Както можете да видите, стойността на полинома $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ с $x=1$ е равна на $192$ (последното число във втория ред), а не $0 $, следователно единицата не е коренът на този полином. Тъй като проверката за един е неуспешна, нека проверим стойността $x=-1$. Нова масаЗа целта няма да компилираме, а ще продължим да използваме таблицата. № 1, добавяйки към него нов (трети) ред. Вторият ред, в който е отбелязана стойността на $1$, ще бъде маркиран в червено и няма да се използва в по-нататъшни дискусии.
Можете, разбира се, просто да пренапишете таблицата отново, но попълването й ръчно ще отнеме много време. Освен това може да има няколко числа, чиято проверка ще бъде неуспешна и е трудно всеки път да се пише нова таблица. При изчисляване „на хартия“ червените линии могат просто да бъдат задраскани.
И така, стойността на полинома $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=-1$ е равна на нула, т.е. числото $-1$ е коренът на този полином. След разделянето на полинома $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ на бинома $x-(-1)=x+1$ получаваме полинома $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, чиито коефициенти са взети от третия ред на таблицата. № 2 (вижте пример № 1). Резултатът от изчисленията може да бъде представен и в следната форма:
\begin(equation)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\край (уравнение)
Нека продължим търсенето на цели корени. Сега трябва да потърсим корените на полинома $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Отново целочислените корени на този полином се търсят сред делителите на неговия свободен член, числата $45$. Нека се опитаме да проверим отново числото $-1$. Няма да създаваме нова таблица, а ще продължим да използваме предишната таблица. No2, т.е. Нека добавим още един ред към него:
И така, числото $-1$ е коренът на полинома $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Този резултат може да се запише така:
\begin(equation)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(equation)
Като се вземе предвид равенството (2), равенството (1) може да бъде пренаписано в следната форма:
\begin(equation)\begin(aligned) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\край (подравнено)\край (уравнение)
Сега трябва да потърсим корените на многочлена $x^4-22x^2+24x+45$ - естествено сред делителите на неговия свободен член (числата $45$). Нека проверим отново числото $-1$:
Числото $-1$ е коренът на полинома $x^4-22x^2+24x+45$. Този резултат може да се запише така:
\begin(equation)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(equation)
Като вземем предвид равенството (4), пренаписваме равенството (3) в следната форма:
\begin(equation)\begin(aligned) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\край (подравнено)\край (уравнение)
Сега търсим корените на полинома $x^3-x^2-21x+45$. Нека проверим отново числото $-1$:
Проверката завърши с неуспех. Нека маркираме шестия ред в червено и се опитаме да проверим друго число, например числото $3$:
Остатъкът е нула, следователно числото $3$ е коренът на въпросния полином. И така, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Сега равенството (5) може да се пренапише по следния начин.