Цели на урока:

• учат учениците да решават уравнения по-високи степениизползване на схемата на Horner;
• развиват способността за работа по двойки;
• създайте, във връзка с основните раздели на курса, основа за развитие на способностите на учениците;
• помогнете на ученика да оцени своя потенциал, развийте интерес към математиката, способността да мислите и да говорите по темата.

Оборудване:карти за групова работа, плакат с диаграма на Хорнер.

Метод на обучение:лекция, разказ, обяснение, изпълнение на тренировъчни упражнения.

Контролна форма:задачи за проверка независимо решение, самостоятелна работа.

Напредък на урока

1. Организационен момент

2. Актуализиране на знанията на учениците

Коя теорема ви позволява да определите дали едно число е корен? дадено уравнение(формулирайте теорема)?

Теорема на Безу. Остатъкът от деленето на полинома P(x) на бинома x-c е равно P(c), числото c се нарича корен на полинома P(x), ако P(c)=0. Теоремата позволява, без да се извършва операцията деление, да се определи дали дадено числокоренът на полинома.

Какви твърдения улесняват намирането на корени?

а) Ако водещият коефициент на полинома равно на едно, то корените на многочлена трябва да се търсят сред делителите на свободния член.

б) Ако сумата от коефициентите на полином е 0, тогава един от корените е 1.

в) Ако сумата от коефициентите на четни места е равна на сумата от коефициентите на нечетни места, тогава един от корените е равен на -1.

г) Ако всички коефициенти са положителни, тогава корените на полинома са отрицателни числа.

д) Полином от нечетна степен има поне един реален корен.

3. Учене на нов материал

При решаване на цели числа алгебрични уравнениятрябва да намерите стойностите на корените на полиномите. Тази операция може да бъде значително опростена, ако изчисленията се извършват с помощта на специален алгоритъм, наречен схема на Horner. Тази верига е кръстена на английския учен Уилям Джордж Хорнър. Схемата на Хорнер е алгоритъм за изчисляване на частното и остатъка от деленето на полинома P(x) на x-c. Накратко как работи.

Нека е даден произволен полином P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Разделянето на този полином на x-c е неговото представяне във формата P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Частично g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +…+in n-2 x + in n-1, където in 0 =a 0, in n =st n-1 +a n, n =1,2,3,...n-1. Остатък r(x)= st n-1 +a n. Този метод на изчисление се нарича схема на Хорнер. Думата „схема“ в името на алгоритъма се дължи на факта, че неговото изпълнение обикновено е формализирано както следва. Първо начертайте таблица 2(n+2). В долната лява клетка напишете числото c, а в горния ред коефициентите на полинома P(x). В този случай горната лява клетка остава празна.

	в 0 =a 0	в 1 =st 1 +a 1	в 2 = св 1 + А 2		в n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Числото, което след изпълнение на алгоритъма се оказва записано в долната дясна клетка, е остатъкът от деленето на полинома P(x) на x-c. Останалите числа в 0, в 1, в 2,... в долния ред са коефициентите на частното.

Например: Разделете полинома P(x)= x 3 -2x+3 на x-2.

Получаваме, че x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Затвърдяване на изучения материал

Пример 1:Разложете полинома P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 на фактори с цели коефициенти.

Търсим цели корени сред делителите на свободния член -1: 1; -1. Нека направим таблица:

X = -1 – корен

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Да проверим 1/2.

					X=1/2 - корен

Следователно полиномът P(x) може да бъде представен във формата

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Пример 2:Решете уравнението 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Тъй като сборът от коефициентите на полинома, записан в лявата страна на уравнението, е равен на нула, тогава един от корените е 1. Нека използваме схемата на Хорнер:

						X=1 - корен

Получаваме P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Ще търсим корени сред делителите на свободния член 2.

Разбрахме, че вече няма здрави корени. Да проверим 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - корен

Отговор: 1; -1/2.

Пример 3:Решете уравнението 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Корените на това уравнение ще търсим сред делителите на свободния член 5: 1;-1;5;-5. x=1 е коренът на уравнението, тъй като сборът на коефициентите е нула. Нека използваме схемата на Horner:

Нека представим уравнението като произведение на три фактора: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Решаване квадратно уравнение 5x 2 -7x+5=0, получаваме D=49-100=-51, няма корени.

Карта 1

1. Разложете полинома на множители: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Решете уравнението: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Карта 2

1. Разложете полинома на множители: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Решете уравнението: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Карта 3

1. Разложете на фактор: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Решете уравнението: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Карта 4

1. Разложете на фактор: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Решете уравнението: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Обобщаване

Проверката на знанията при решаване по двойки се извършва в клас чрез разпознаване на начина на действие и наименованието на отговора.

домашна работа:

Решете уравненията:

а) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

б) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

в) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

г) x 4 +2x 3 -x-2=0

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др., Алгебра и начало на анализа, 10 клас ( задълбочено проучванеМатематика): Просвещение, 2005г.
2. U.I. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение на уравнения от по-високи степени: Волгоград, 2007.
3. С.Б. Гашков, Бройни системи и тяхното приложение.

Слайд 3

Хорнър Уилямс Джордж (1786-22.9.1837) - английски математик. Роден в Бристол. Учи и работи там, след това в училища в Бат. Основни трудове по алгебра. През 1819г публикува метод за приблизително изчисляване на реалните корени на полином, който сега се нарича метод на Руфини-Хорнер (този метод е известен на китайците още през 13 век. Схемата за разделяне на полином на бином x-a). след Хорнер.

Слайд 4

СХЕМА НА ХОРНЕР

Метод на разделяне n-ти полиномстепен върху линеен бином - a, въз основа на факта, че коефициентите на непълното частно и остатъка са свързани с коефициентите на делимия полином и с формулите:

Слайд 5

Изчисленията по схемата на Хорнер са поставени в таблицата:

Пример 1. Деление Частичното частно е x3-x2+3x - 13, а остатъкът е 42=f(-3).

Слайд 6

Основното предимство на този метод е компактността на записа и възможността бързо разделянеполином към бином. Всъщност схемата на Хорнер е друга форма на записване на метода на групиране, въпреки че, за разлика от последния, тя е напълно невизуална. Отговорът (факторизирането) тук се получава сам по себе си и ние не виждаме процеса на получаването му. Няма да се занимаваме със строго обосноваване на схемата на Хорнер, а само ще покажем как работи.

Слайд 7

Пример 2.

Нека докажем, че полиномът P(x)=x4-6x3+7x-392 се дели на x-7, и да намерим частното от делението. Решение. Използвайки схемата на Хорнер, намираме P(7): От тук получаваме P(7)=0, т.е. остатък при деление на полином на x-7 равно на нулаи, следователно, полиномът P(x) е кратен на (x-7), освен това числата във втория ред на таблицата са коефициентите на частното на P(x), делено на (x-7), следователно P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).

Слайд 8

Разложете полинома на множители x3 – 5x2 – 2x + 16.

Този полином има цели коефициенти. Ако цяло число е коренът на този полином, тогава то е делител на 16. Следователно, ако y даден полиномима цели корени, тогава това могат да бъдат само числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Чрез пряка проверка се убеждаваме, че числото 2 е коренът на този полином, т.е. x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), където Q(x) е полином от втора степен

Слайд 9

Получените числа 1, −3, −8 са коефициентите на полинома, който се получава чрез разделяне на оригиналния полином на x – 2. Това означава, че резултатът от делението е: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Степента на полином, получен от деление, винаги е с 1 по-малка от степента на първоначалния. И така: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Назад Напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Тип урок: Урок за овладяване и затвърдяване на началните знания.

Цел на урока:

• Запознайте учениците с понятието корени на многочлен и ги научете как да ги намират.
• Подобряване на уменията за прилагане на схемата на Хорнер за разширяване на полином по степени и деление на полином на бином.
• Научете се да намирате корените на уравнение с помощта на диаграмата на Хорнер.
• Развийте абстрактното мислене.
• Насърчавайте компютърна култура.

Развитие на междупредметни връзки.

Напредък на урока

1. Организационен момент.

Информирайте темата на урока, формулирайте цели.

2. Проверка на домашните.

3. Изучаване на нов материал. = Нека Fn(x) - a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 полином за x от степен n, където a 0 , a 1 ,...,a n са дадени числа и a 0 не е равно на 0. Ако полиномът F n (x) се раздели с остатъка набином x-a , тогава частното (непълно частно) е полином Q n-1 (x) от степен n-1, остатъкът R е число и равенството е вярно F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.

Полиномът F n (x) се дели на бинома (x-a) само в случай на R=0.

Теорема на Безу: Остатъкът R от деленето на полинома F n (x) на бинома (x-a) е равен на стойността на полинома F n (x) при x=a, т.е. R=Pn(a). Малко история. Теоремата на Безу, въпреки привидната си простота и очевидност, е една отфундаментални теореми теория на полиномите. В тази теорема алгебричните свойства на полиномите (които ни позволяват да работим с полиноми като цели числа) са свързани с техните(които позволяват полиномите да се третират като функции). Един от начините за решаване на уравнения с по-висока степен е разлагането на полинома от лявата страна на уравнението. Изчисляването на коефициентите на полинома и остатъка се записва под формата на таблица, наречена схема на Хорнер.

Схемата на Хорнер е алгоритъм за деление на полиноми, написан за специалния случай, когато частното е равно на бином x–a.

Хорнър Уилям Джордж (1786 - 1837), английски математик. Основните изследвания се отнасят до теорията на алгебричните уравнения. Разработил метод за приближено решаване на уравнения от произволна степен. През 1819 г. той въвежда важен метод за алгебрата за разделяне на полином на бином x - a (схема на Хорнер).

Заключение обща формулаза схемата на Хорнер.

Разделянето на полином f(x) с остатък на бином (x-c) означава намиране на полином q(x) и число r, така че f(x)=(x-c)q(x)+r

Нека напишем това равенство подробно:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Нека приравним коефициентите при същите градуси:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Демонстрация на веригата на Хорнер с помощта на пример.

Задача 1.Използвайки схемата на Хорнер, разделяме полинома f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 с остатък на бинома x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, където g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 остатък.

Развиване на полином по степени на бином.

Използвайки схемата на Хорнър, разширяваме полинома f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 по степени на бинома (x+2).

В резултат на това трябва да получим разширението f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

Схемата на Хорнер често се използва при решаване на уравнения от трета, четвърта и по-високи степени, когато е удобно полиномът да се разшири в бином x-a. Номер анаречен корен на полинома F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ако при х=астойността на полинома F n (x) е равна на нула: F n (a)=0, т.е. ако полиномът се дели на бинома x-a.

Например числото 2 е коренът на полинома F 3 (x)=3x 3 -2x-20, тъй като F 3 (2)=0. това означава. Че факторизацията на този полином съдържа фактор x-2.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

Всеки полином F n(x) от степен п 1 не може да има повече пистински корени.

Всякакви цял коренуравнение с цели коефициенти е делител на неговия свободен член.

Ако водещият коефициент на уравнението е 1, тогава всички рационални корениуравненията, ако съществуват, са цели числа.

Затвърдяване на изучения материал.

За консолидиране на новия материал учениците са поканени да попълнят числа от учебника 2.41 и 2.42 (стр. 65).

(2 ученика решават на дъската, а останалите, след като са решили, проверяват задачите в тетрадката с отговорите на дъската).

Обобщавайки.

След като разбере структурата и принципа на работа на схемата на Хорнер, тя може да се използва и в уроците по информатика, когато се разглежда въпросът за преобразуването на цели числа от десетичната бройна система в двоичната система и обратно. Основата за прехвърляне от една бройна система в друга е следната обща теорема

Теорема.За преобразуване на цяло число Апот стр-арна бройна система към основна бройна система dнеобходимо Аппоследователно деление с остатък на число d, написано в същия стр-арна система, докато полученото частно стане равно на нула. Остатъците от делението ще бъдат d- цифрови цифри реклама, започвайки от най-младата категория до най-старшата. Всички действия трябва да се извършват в стр-арна бройна система. За човек това правило е удобно само когато стр= 10, т.е. при превод отдесетична система. Що се отнася до компютъра, напротив, за него е „по-удобно“ да извършва изчисления в двоичната система. Следователно, за да се преобразува „2 към 10“, се използва последователно деление на десет в двоичната система, а „10 към 2“ е добавяне на степени на десет. За оптимизиране на изчисленията на процедурата “10 в 2”, компютърът използва икономичната изчислителна схема на Horner.

домашна работа. Предлага се изпълнението на две задачи.

1-во Използвайки схемата на Horner, разделете полинома f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 на бинома (x-3).

2-ро. Намерете целочислените корени на полинома f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (като се има предвид, че всеки цял корен на уравнение с цели коефициенти е делител на неговия свободен член).

Литература.

1. Курош А.Г. „Курс по висша алгебра“.
2. Николски С.М., Потапов М.К. и др.10 клас “Алгебра и началото на математическия анализ”.
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

Използвайки това програма по математикаможете да разделите полиноми по колони.
Програмата за деление на многочлен на многочлен не просто дава отговор на задачата, тя предоставя подробно решение с обяснения, т.е. показва процеса на решаване за тестване на знания по математика и/или алгебра.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията средни училищав подготовка за тестовеи изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-бързо?домашна работа

по математика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения. По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или свое обучение.по-малки братя

или сестри, докато нивото на образование в областта на решаваните проблеми се повишава. Ако имате нужда илиопростете полином илиумножете полиноми

, тогава за това имаме отделна програма Опростяване (умножение) на полином

Например: x^2-3x+5

Например: 3x-1

Разделяне на полиноми
Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.

В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.
JavaScript е деактивиран във вашия браузър.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.

Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.
защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу. моля изчакайте

сек... Ако виезабеляза грешка в решението
, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка. не забравяйтепосочете коя задача вие решавате какво.

въведете в полетата

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Разделяне на полином на полином (бином) чрез колона (ъгъл) По алгебраделение на полиноми с колона (ъгъл)

- алгоритъм за разделяне на полином f(x) на полином (бином) g(x), чиято степен е по-малка или равна на степента на полинома f(x).

Алгоритъмът за деление на полином по полином е обобщена форма на колонно деление на числа, която може лесно да се приложи на ръка.
За всякакви полиноми \(f(x) \) и \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), има уникални полиноми \(q(x) \) и \(r( x ) \), така че
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)

и \(r(x)\) има по-ниска степен от \(g(x)\).

Целта на алгоритъма за разделяне на полиноми в колона (ъгъл) е да намери частното \(q(x) \) и остатъка \(r(x) \) за даден дивидент \(f(x) \) и ненулев делител \(g(x) \)

Пример
Нека разделим един полином на друг полином (бином), използвайки колона (ъгъл):

Коефициентът и остатъкът от тези полиноми могат да бъдат намерени чрез изпълнение на следните стъпки:
1. Разделете първия елемент на дивидента на най-големия елемент на делителя, поставете резултата под линията \((x^3/x = x^2)\)

\(x\) \(-3 \) \(x^2\)

3. Извадете полинома, получен след умножението, от делителя, запишете резултата под реда \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2\)

4. Повторете предишните 3 стъпки, като използвате полинома, написан под чертата, като дивидент.

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2\) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2\) \(-9x\)

5. Повторете стъпка 4.

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2\) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \) \(-27x\) \(+81 \) \(-123 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2\) \(-9x\) \(-27 \)

6. Край на алгоритъма.
По този начин полиномът \(q(x)=x^2-9x-27\) е частното от делението на полиноми, а \(r(x)=-123\) е остатъкът от деленето на полиноми.

Резултатът от разделянето на полиноми може да се запише под формата на две равенства:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
или
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)