ВЪЗМОЖНОСТ ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЛЕКСНИ ЧИСЛА
В КУРСА ПО МАТЕМАТИКА В ОБЩООБРАЗОВАТЕЛНОТО УЧИЛИЩЕ
Научен ръководител:
Общинско учебно заведение
Первомайская гимназия
с. Град Кичменгски
Св. Заречная 38
Представената работа е посветена на изучаването на комплексни числа. Уместност: решаването на много задачи във физиката и технологиите води до квадратни уравнения с отрицателен дискриминант. Тези уравнения нямат решение в областта на реалните числа. Но решението на много такива проблеми има съвсем определено физическо значение.
Практическо значение:комплексни числаи функции на комплексни променливи се използват в много въпроси на науката и технологиите и могат да се използват в училище за решаване на квадратни уравнения.
Обектна площ: математика. Обект на изследване: алгебрични понятия и действия. Предмет на изследване- комплексни числа. проблем: комплексните числа не се преподават в курсовете по математика средно училище, въпреки че могат да се използват за решаване на квадратни уравнения. Възможността за въвеждане на комплексни числа в Задачи за единен държавен изпитв бъдеще. Хипотеза:Можете да използвате комплексни числа за решаване на квадратни уравнения в средното училище. Мишена:да проучи възможността за използване на комплексни числа при изучаване на математика в 10 клас на средното училище. Задачи: 1. Изучете теорията на комплексните числа. 2. Обмислете възможността за използване на комплексни числа в курса по математика за 10-ти клас. 3. Разработете и тествайте задачи с комплексни числа.
За решения алгебрични уравненияНяма достатъчно реални числа. Затова е естествен стремежът тези уравнения да бъдат разрешими, което от своя страна води до разширяване на понятието число..gif" width="10" height="65 src=">
https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" height="62">.gif" width="97" height="28 src=">
просто трябва да се съгласите да действате върху такива изрази според правилата на обикновената алгебра и да приемете, че 
През 1572 г. е публикувана книга на италианския алгебраист Р. Бомбели, в която са установени първите правила за аритметични операции с такива числа, до извличането от тях кубични корени. Името "въображаеми числа" е въведено през 1637 г. френският математик и философ Р. Декарт, а през 1777 г. един от най-големите математици VIIIвек X..gif" width="58" height="19"> като пример за използване на комплексни числа при изучаване на математика в 10 клас. Следователно. Числото x, чийто квадрат е равен на –1, се нарича имагинерна единица и се обозначава с i. По този начин, , откъдето ..gif" width="120" height="27 src=">.gif" width="100" height="27 src=">8 клас " href="/text/category/8_klass/" rel ="bookmark">8 клас по алгебра.- М.: Образование, 1994.-С.134-139.
2. енциклопедичен речникмлад математик / Съст. Е-68. - М.: Педагогика, 19с
Текстова част от публикацията
Съдържание
Въведение……………………………………………………………………..3 Глава I. Из историята на комплексните числа……………………………… ……………………… ............4 Глава II. Основи на метода на комплексните числа……………………………………6 Глава III. Геометрия на триъгълник в комплексни числа…………………......12 Глава IV. Решение Проблеми на единния държавен изпити различни олимпиади, използващи метода на комплексните числа……………………………………………………………………..20 Заключение……………………………… ……… …………………………………….24 Библиография………………………………………………………………..25
Въведение
Голямото значение на комплексните числа в математиката и нейните приложения е широко известно. Алгебрата на комплексните числа може успешно да се използва в елементарна геометрия, тригонометрия, теория на движението и подобията, както и в електротехниката, различни механични и физически проблеми. В планиметрията методът на комплексните числа ви позволява да решавате проблеми чрез директно изчисление с помощта на готови формули. Това е простотата на този метод в сравнение с вектора и координатни методи, по метода на геометричните трансформации, изискващи от учениците значителна интелигентност и продължителни търсения. От няколко хилядолетия триъгълникът е символ на геометрията. Можете дори да кажете, че триъгълникът е атом на геометрията. Всеки многоъгълник може да бъде разделен на триъгълници и изучаването на неговите свойства се свежда до изучаване на свойствата на триъгълниците на неговите компоненти. Нека да разгледаме как работи методът на комплексните числа при доказване на свойствата на триъгълник от училищен курспланиметрия, както и за решаване на задачи С-4 от Единния държавен изпит. 2
Глава I. От историята на комплексните числа,,
За първи път, очевидно, въображаемите количества са споменати в известната творба „Великото изкуство, или за алгебрични правила» Кардано (1545), като част от формално решение на проблема за изчисляване на две числа, които се събират до 10 и когато се умножат дават 40. За този проблем той получава квадратно уравнение за един от членовете и намира корените му: 5 + √ − 15 и 5 − √ − 15 . В коментар към решението той написа: „тези най-сложните величинибезполезни, макар и много умни" и "Аритметичните съображения стават все по-неуловими, достигайки граница, толкова фина, колкото и безполезна." Възможността за използване на въображаеми величини при решаване на кубично уравнение, в така наречения несводим случай (когато реалните корени на полинома се изразяват чрез кубични коренина въображаеми количества), е описан за първи път от Bombelli (1572). Той е първият, който описва правилата за събиране, изваждане, умножение и деление на комплексни числа, но все пак ги смята за безполезно и хитро „изобретение“. Изрази, представими във формата a + b √ − 1, появяващи се при решаване на квадратни и кубични уравнения, започва да се нарича „въображаем“ в XVI-XVII векпо инициатива на Декарт, който ги нарича така, отхвърляйки тяхната реалност, и за много други основни учени XVIIвекове природата и правото на съществуване на въображаеми количества изглеждаха много съмнителни, точно както смятаха за съмнителни по онова време ирационални числа, и дори отрицателни стойности. Въпреки това математиците смело прилагат формални методиалгебри от реални величини и до комплексни, получиха правилни реални резултати дори от междинни комплекси и това не можеше да не започне да вдъхва доверие. Дълго време не беше ясно дали всички операции върху комплексни числа водят до комплексни или реални резултати или дали например извличането на корен може да доведе до откриването на някакъв нов тип числа. Задачата за изразяване на корени от степен n от дадено числое решен в трудовете на Moivre (1707) и Cotes (1722). Символът за обозначаване на въображаемата единица е предложен от Ойлер (1777, публикуван 1794), който взема първата буква от латинската дума за това. imaginarius - въображаем. Той също така разшири всички стандартни функции, включително логаритъма, до сложната област. Ойлер също изрази идеята през 1751 г., че полето на комплексните числа е алгебрично затворено. Д'Аламбер (1747) стига до същото заключение, но първото строго доказателство за този факт принадлежи на Гаус (1799). Гаус е този, който въвежда термина "комплексно число" в широка употреба през 1831 г., въпреки че терминът преди това е бил използван в същия смисъл от френския математик Лазар Карно през 1803 г. 3
Аритметичният (стандартен) модел на комплексните числа като двойки реални числа е конструиран от Хамилтън (1837); това доказа последователността на техните свойства. Много по-рано, през 1685 г., в своя труд "Алгебра", Уолис (Англия) показва, че сложни корени квадратно уравнениес реални коефициенти могат да бъдат представени геометрично, чрез точки на равнина. Но остана незабелязано. Следващият път геометрична интерпретация на комплексни числа и операции върху тях се появява в работата на Wessel (1799). Съвременното геометрично представяне, понякога наричано "диаграма на Арганд", влезе в употреба след публикуването на работата на Дж. Р. Арганд през 1806 и 1814 г., която независимо повтаря заключенията на Весел. Термините „модул“, „аргумент“ и „конюгирано число“ са въведени от Коши. Така беше открито, че комплексните числа са подходящи и за чисто изпълнение. алгебрични операциисъбиране, изваждане, умножение и деление на вектори в равнината, което значително промени векторната алгебра. 4
Глава II. Основи на метода на комплексните числа
[
1
]
,
[2], [3] [4] Геометрична интерпретация на комплексни числа Дължина на отсечка При даден правоъгълник Декартова системакоординати на равнината, комплексното число z = x+iy (i 2 = -1) може да бъде свързано едно към едно с точка M на равнината с координати x, y (фиг. 1): z = x + iy ↔M (x, y ) ↔M (z) . Тогава числото z се нарича комплексна координата на точка M. Тъй като множеството от точки на евклидовата равнина е във взаимно еднозначно съответствие с множеството от комплексни числа, тази равнина се нарича още равнина на комплексните числа. Началото O на декартовата координатна система се нарича начална или нулева точка на равнината на комплексните числа. Когато = 0, числото z е реално. Реалните числа са представени чрез точки на оста x, поради което тя се нарича реална ос. При x=0 числото z е чисто въображаемо: z=iy. Въображаемите числа са представени от точки на оста y, поради което се нарича въображаема ос. Нулата е както реално, така и чисто въображаемо число. Разстоянието от началото на равнината O до точката M(z) се нарича модул на комплексното число z и се означава с |z| или r: | z | = r = | ОМ | = √ x 2 + y 2 Ако φ е ориентираният ъгъл, образуван от вектора ⃗ OM с оста x, тогава по дефиниция на функцията синус и косинус sin φ = y r, cos φ = x r 5
откъдето x = r cos φ, y = r sin φ и следователно z = r (cos φ + sin φ). Това представяне на комплексно число z се нарича негово
тригонометрия
ческое
форма. Извиква се оригиналното представяне z=x+iy
алгебричен
форма на това число. При тригонометрично представянеъгълът се нарича аргумент на комплексно число и също се означава с arg z: φ = arg z Ако е дадено комплексно число z = x + iy, тогава числото ´ z = x − iy се нарича
комплексно спрегнат
(или просто
конюгат
) към това число z. Тогава, очевидно, числото z също е спрегнато на числото ´ z. Точките M(z) и M 1 (´ z) са симетрични спрямо оста x. От равенството z = ´ z следва, че y = 0 и обратно. Означава, че
число равно на
към неговия конюгат е реален и обратно.
Точките с комплексни координати z и -z са симетрични по отношение на началната точка O. Точките с комплексни координати z и − ´z са симетрични по отношение на оста y. От равенството z = ´ z следва, че x = 0 и обратно. Следователно условието z =− ´ z е критерий за чисто имагинерно число. За всяко число z, очевидно | z | = | ´ z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿ .
Сума и произведение
две спрегнати комплексни числа са реални числа: z + ´ z = 2 z, z ´ z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿. Число, спрегнато към сбор, произведение или частно на комплекс 6
числата са съответно сумата, произведението или частното от числа, спрегнати на дадени комплексни числа: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; ´ z 1 z 2 = ´ z 1 ´ z 2 ; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 Тези равенства могат лесно да се проверят с помощта на формули за операции с комплексни числа. Ако a и b са комплексните координати съответно на точки A и B, то числото c = a + b е координатата на точка C, така че ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (фиг. 3). Комплексно число d = a − b съответства на точка D, така че ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB . Разстоянието между точки A и B е | ⃗BA | = | ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) Тъй като ¿ z ∨ 2 = z ´ z , тогава ¿ AB ∨ 2 =(a − b) (´ a − ´ b) . (2)
Уравнението
z ´ z = r 2
определя кръг с център
Относно радиуса
r.
Отношението AC CB = λ, (λ ≠ − 1), в което се дели точка C този сегмент AB, се изразява чрез комплексните координати на тези точки, както следва: λ = c − a b − c, λ = ´ λ, откъдето c = a + λb 1 + λ (3) За λ = 1, точка C е средната точка на отсечката AB и обратно. Тогава: c = 1 2 (a + b) (4) Умножение на комплексни числа Умножението на комплексни числа се извършва по формулата, тоест | a b | = | а || б | и 7
Успоредност и перпендикулярност Колинеарност на три точки Нека точките A(a) и B(b) са дадени на равнината на комплексните числа. Векторите ⃗ OA и ⃗ OB са сънасочени тогава и само ако arg a = arg b, т.е. когато arg a – arg b=arg a b =0 (при деление на комплексни числа аргументът на делителя се изважда от аргумента на дивидент). Очевидно е също, че тези вектори са насочени в противоположни посоки тогава и само ако arg a - arg b= arg a b = ± π. Комплексните числа с аргументи 0, π, - π са реални.
Критерий за колинеарност за точки O, A, B:
За да бъдат точки A(a) и B(b) колинеарни с началната точка O, е необходимо и достатъчно частното a b да бъде реално число, т.е. a b = ´ a ´ b или a ´ b = ´ a b (6) Сега вземете точки A(a), B(b), C(c), D(d). Векторите ⃗ BA и ⃗ DC коли не са арични тогава и само ако точките, определени от комплекс числата a-bи с-d, са колинеарни с началото O. Забележка: 1. Въз основа на (6) имаме: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a − b) (´ c − ´ d) =(´ a − ´ b ) (c − d) ; (8) 2. Ако точките A, B, C, D принадлежат на единичната окръжност z ´ z = 1, то ´ a = 1 a; ´ b = 1 b ; ´ c = 1 c ; ´ d = 1 d и следователно условие (8) приема формата: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. Колинеарността на точки A, B, C се характеризира с колинеарността на векторите ⃗AB и ⃗AC. Използвайки (8), получаваме: (a − b) (´ a −´ c) = (´ a − ´ b) (a − c) (10) Това е критерият за принадлежност на точките A, B, C към същата права линия. Може да се представи в симетрична форма a (´ b −´ c) + b (´ c −´ a) + c (´ a − ´ b) = 0 (11) 8
Ако точките A и B принадлежат на единичната окръжност z ´ z = 1, то ´ a = 1 a; ´ b = 1 b и следователно всяко от отношенията (10) и (11) се трансформира (след редукция с (a-b) в следното: c + ab ´ c = a + b (12) Точките A и B са фиксирани, и точката Ще считаме C за променлива, преозначавайки нейната координата с z. Тогава всяко от получените отношения (10), (11), (12) ще бъде уравнение на правата линия AB: (´ a − ´ b) z + (b − a) ´ z + a ´ b − b ´ a = 0, (10a) z + ab ´ z = a + b. (12a) По-специално, директният OA има уравнението a ´ z = ´ a z. Комплексните числа с аргументи π 2 и − π 2 са чисто имагинерни. Следователно OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b или OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) Перпендикулярността на отсечките AB и CD се определя от равенството (a − b) (´ c − ´ d) + (´ a − ´ b) (c − d) = 0 (14) По-специално, когато точките A, B, C, D принадлежат на единичната окръжност z ´ z = 1, тогава зависимостта (14) е опростена: ab + cd = 0 (15) Скаларно произведение на вектори. скаларно произведениевектори ⃗ OA и ⃗ OB през комплексните координати a и b на точките A и B. Нека a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 . Тогава a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. И така, ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
Нека сега са дадени четири произволни точки A(a), B(b), C(c), D(d) с техните комплексни координати. Тогава 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) Ъгли Нека се съгласим да означим със символа ∠ (AB ,CD) положително ориентирания ъгъл през при което векторът ⃗ трябва да се завърти AB, така че да стане сънасочен с вектора ⃗ CD. Тогава cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (´ b − ´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 | d − c || b − a | (18) sin ∠ (AB ,CD)= (d − c) (´ b −´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 i | d − c || b − a | (19) Пресечна точка на секанти към окръжност Ако точките A, B, C и D лежат на окръжността z ´ z = 1, тогава комплексната координата на пресечната точка се намира по формулата ´ z = (a + b) − (c + d) ab − cd (20) Ако AB е перпендикулярна на CD, тогава z= 1 2 (a+b+c+d) (21) Пресечна точка на допирателните към окръжността 10
Комплексната координата на пресечната точка на допирателните към окръжността z ´ z =1 в нейните точки A(a) и B(b) се намира по формулата z= 2ab a + b (22) Ортогонална проекция на точка върху права Ортогонална проекция на точка M(m) върху права линия AB, където A(a) и B(b) се намират по формулата В случай, когато A и B принадлежат на единичната окръжност z= 1 2 (a + b + m − cb m) .
Глава III.
Триъгълна геометрия в комплексни числа
В равнината на комплексните числа триъгълникът се определя от три комплексни числа, съответстващи на неговите върхове. Центроид и ортоцентър на триъгълник. [ 2 ] Известно е, че за центроида G (пресечната точка на медианите) на триъгълник ABC и всяка точка O е вярно следното равенство: ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC). Следователно комплексната координата g на центроида G се изчислява по формулата g = 1 3 (a + b + c) (23) Нека изразим h комплексната координата на ортоцентъра H на триъгълник ABC чрез координатите a, b, c от неговите върхове. Нека правите AH, BH, CH пресичат описаната окръжност на триъгълника съответно в точки A1, B1, C1. Нека тази окръжност има уравнението z ´ z =1, тогава съгласно (15) имаме: a 1 = − bc a , b 1 = − ca b , c 1 = − ab c По формула (20) h = (a + a 1 ) −(b + b 1) a a 1 − bb 1 = ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c 11
Откъде идва h=a+b+c. (24) Полученият израз включва координатите на върховете на триъгълника симетрично, следователно третата надморска височина на триъгълника минава през пресечната точка на първите два Подобни триъгълници [2,1] Триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1 са подобни и еднакво ориентирани (сходство от първи род), ако B 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC и ъглите B 1 A 1 C 1 и BAC са равни (ъглите са ориентирани). Използвайки комплексни числа, тези равенства могат да бъдат записани по следния начин: |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − a 1 =arg c − a b − a . Двете равенства са еквивалентни на едно с 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) където σ е комплексно число, |σ|=k-коефициент на подобие. Ако σ е реално, тогава c 1 − a 1 c − a = ´ c 1 − ´ a 1 ´ c − ´ a , където AC║A 1 C 1. Следователно триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са хомотетични. Съотношението (25) е необходимо и достатъчно условиетака че триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са подобни и еднакво ориентирани. Може да му се даде симетрична форма ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) Еднакви триъгълници Ако | σ | = 1, то триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са равни. Тогава връзката (25) е знак за равенство на еднакво ориентирани триъгълници, а връзката (26) е знак за равенство на противоположно ориентирани триъгълници. Правилни триъгълници Ако изисквате ориентиран триъгълник ABCбеше подобен на ориентиран триъгълник BCA, тогава триъгълник ABC ще бъде правилен. 12
Следователно от (25) получаваме необходимо и достатъчно условие триъгълникът ABC да е правилен (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) Площ на триъгълника (доказано от автора) Извеждаме формула за лицето S на положително ориентиран триъгълник ABC: S = 1 2 | AB || AC | sin ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c − a) (´ b − ´ a) − (b − a) (´ c − ´ a)) = − 1 4i (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b)) или S = i 4 (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b )) (28) Ако триъгълник ABCвписана в окръжността z ´ z = 1, тогава формула (28) се трансформира до вида: S = i 4 (a − b)(b − c)(c − a) abc (29) Теорема за средната линия на a триъгълник (доказано от автора)
Теорема
. средна линияна триъгълника е успореден на основата и равен на половината от нея. Доказателство. Нека точките M и N са среди на страните AB и BC, тогава m = b 2 ; n = b + c 2 . Тъй като z 2 =z ´ z, тогава MN 2 =(m-n)(´ m - ´ n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 − b ´ b + b ´ c 4 − b ´ b + ´ b c 4 + b ´ b + b ´ c + ´ b c + c ´ c 4 = c ´ c 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c, следователно 4MN 2 = AC 2 или 2MN=AC. Условието (8) за колинеарност на векторите MN и AC също е изпълнено , и следователно MN ║AC. Теорема на Талес (доказана от автора)
Теорема
. Ако от едната страна на ъгъла успоредни прави отрязват равни сегменти, то от другата страна на ъгъла те отрязват равни сегменти. Доказателство Да приемем, че c=kb. Тогава, ако BD||CE, тогава имаме (b-d)(´ c − 2 ´ d ¿= (´ b − ´ d) (c − 2d) Отваряне на скобите и привеждане подобни условия, получаваме уравнението b ´ c − 2 b ´ d −´ c d = ´ b c − 2 ´ b d − c ´ d Заменяйки c с kb и ´ c с k ´ b , получаваме bk ´ b -2b ´ d -dk ´ b = ´ b kb-2 ´ b d-kb ´ d . Привеждайки отново подобни членове и премествайки всичко на една страна, получаваме 2b ´ d + dk ´ b − 2 ´ b d − kb ´ d =0. Ще го извадим общ множители получаваме 2(b ´ d − ´ b d ¿+ k (´ b d − b ´ d) = 0. Следователно k=2, т.е. c=2b. По същия начин се доказва, че f=3b и т.н. Питагорова теорема ( доказано от автора) Б правоъгълен триъгълникквадрат на хипотенузата равно на суматаквадратни крака 14
Доказателство. Разстоянието между точки B и C е равно на BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b. Тъй като |z| 2 = z ´ z , тогава AC 2 =(a-c)(c ´ a − ´ ¿ ¿=(a − 0) (´ a - 0)=a ´ a . AB 2 =(a-b)(´ a − ´ b ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b+b ´ b. Тъй като b е реално число, т.е. b= ´ b, тогава -a ´ b =− ab. Тъй като точка A лежи на оста Oy, тогава a = - ´ a, тоест - ´ ab = ab. Така AB 2 = a ´ a -a ´ b - ´ ab +b ´ b = a ´ a +b ´ b = AC 2 +BC 2. Теоремата Правата на Ойлер (доказано от автора) Нека докажем, че ортоцентърът, центроидът и центърът на описаната около триъгълника лежат на една и съща права (тази права се нарича права на Ойлер) и OG = 1/2GH. 15
Доказателство: Точка G(g) е центърът на триъгълник ABC, H(h) е ортоцентърът, а O(o) е центърът на описаната окръжност на триъгълника. За да бъдат тези точки колинеарни, трябва да е изпълнено равенство (10): (g-о)(´ g - ´ h ¿ -(´ g − ´ o ¿ (g − h) =0 Нека вземем точка O като произхода, тогава g(´ g - ´ h ¿ - ´ g (g − h) =g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) комплексната координата на ортоцентъра се изчислява по формула (24) h=a+b+c, (30a) и центроидът по формула (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) Заместете в ( 30), получаваме 1 3 (a+b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´ a + b + c 1 3 ¿)) = 0. Равенството (10) е удовлетворени, следователно, центроидът, ортоцентърът и центърът на описания триъгълник окръжностите лежат на една и съща права линия OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a+ b+c)= 2 3 (a+b+c) Получаваме, че OG= 1 2 GH Теоремата е доказана 16
Окръжност на Ойлер (окръжност от девет точки). Доказано от автора Разгледайте триъгълник ABC. Нека се съгласим, че | ОА | = | OB | = | OC | =1, т.е. всички върхове на триъгълника принадлежат на единичната окръжност z ´ z = 1 (центърът на описаната окръжност O е началото, а радиусът е единицата за дължина). Нека докажем, че основите имат три височини произволен триъгълник, средите на трите му страни и средите на трите сегмента, свързващи върховете му с ортоцентъра, лежат на една и съща окръжност, а центърът му е средата на сегмента OH, където H, припомнете си, е ортоцентърът на триъгълник ABC. Такъв кръг се нарича
кръг на Ойлер
. Нека точките K, L и M са средите на страните на триъгълника ABC, точките Q, N, P са основите на неговите височини, точките F, E, D са средите на три отсечки, свързващи върховете му с ортоцентъра. Нека докажем, че точките D, E, F, K, L, M, N, P, Q принадлежат на една и съща окръжност.Задайте съответните комплексни координати на точките: k = a + b 2 , l = b + c 2 ; m = a + c 2 ,o 1 = h 2 = a + b + c 2 d = 2a + b + c 2 ; e = 2 c + a + b 2 ; f = 2 b + a + c 2 n = 1 2 (a + b + c − ab c) , q = 1 2 (a + c + b − ac b) , p = 1 2 (c + b + a − cb a) O 1 K = | o 1 − k | = | c 2 | ,O 1 L = | o 1 − l | = | a 2 | , O 1 M = | o 1 − m | = | b 2 | O 1 D = | o 1 − d | = | a 2 | ,O 1 E = | o 1 − e | = | c 2 | ,O 1 F = | o 1 − f | = | b 2 | O 1 N= | o 1 − n | = 1 2 | ab c | = 1 2 | а || б | | c | , O 1 Q= 1 2 | а || c | | б | , O 1 F= 1 2 | b || c | | a | . 17
защото триъгълник ABC е вписан в окръжността z ´ z = 1, тогава | a | = | б | = | c | = 1,→ | a 2 | = | b 2 | = | c 2 | = 1 2 | а || б | | c | = 1 2 | а || c | | б | = 1 2 | b || c | | a | = 1 2 И така, точките D, E, F, K, L, M, N, Q, F принадлежат на една и съща окръжност Теорема на Гаус Ако права пресича правите, съдържащи страните BC, CA, AB съответно на триъгълник ABC, при точки A 1, B 1 , C 1, то средите на отсечките AA 1, BB 1, СС 1 са колинеарни. Използвайки (11), записваме условията за колинеарност на триплетите от точки AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c a b (31) Ако M, N, P са средните точки на отсечките AA 1, BB 1, CC 1 , тогава трябва да покажем, че 0) () () ( n m p m p n p n m (32) Тъй като), (2 1), (2 1), (2 1 1 1 1 c c p b b n a a m тогава доказаното равенство (31) е еквивалентно на това: 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b a a c c a c c b b c c b b a a или след умножение: 0) () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b a c b a с b a c b a c a c b a с b a c b a c b c b a c b a c b a c b a (33) Сега е лесно да се види че (33) се получава чрез добавяне член по член на равенствата (31). Доказателството е завършено. 18
Глава IV.
Решаване на USE задачи и различни олимпиади по метода на комплексните числа.
Задача 1. Единен държавен изпит -2012, П-4 На права, съдържаща медианата AD на правоъгълен триъгълник ABC с прав ъгъл C, е взета точка E, отдалечена от върха A на разстояние, равно на 4. Намерете лицето на триъгълник BCE, ако BC=6, AC= 4. Първо решение. Според Питагоровата теорема AD=5. Тогава ED=1 Нека точка E лежи на лъч AD. Медианата AD е по-дълга от AE, а точка E лежи вътре в триъгълника ABC (фиг. 1).Нека спуснем перпендикуляра EF от точка E към правата BC и разгледаме подобни правоъгълни триъгълници DEF и DAC. От подобието на тези триъгълници намираме: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
Следователно S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2,4. Нека сега точка A лежи между E и D (фиг. 2). В този случай ED=9 и EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . Тогава S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21,6. Отговор: 2,4; 21.6. Решаване на задачата с помощта на комплексни числа. Случай I: точка E лежи на лъч AD. Тъй като D е средата на CB, тогава CD=3. И тъй като CA=4, ясно е, че AD=5, т.е. DE=1. Нека вземем точка C като начална точка, а линиите CA и CB като реални и имагинерни оси. След това A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). Точките A, E и D са колинеарни, тогава e − 4 3i − e = 4, т.е. e= 12i + 4 5 . Съгласно формула (25) S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e − ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 Случай II: точка A лежи между точки D и E , тогава 4 − e 3i − 4 = 4 5 , т.е. e= 36 − 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 − 12 i 5 − − 36 − 12i 5) | =21,6 Отговор: 2,4 и 21,6 За решаване проблем, използвайки първия метод, е необходимо да има редица предположения, които може да не се появят веднага, но след доста дълъг период на разсъждение. Въпреки че, ако ученикът е добре подготвен, тогава самото решение се формира моментално. решавайки проблема с помощта на втория метод, Ние използваме готови формули, спестявайки време за търсене.Ние обаче разбираме, че без познаване на формулите проблемите не могат да бъдат решени с помощта на метода на комплексните числа.Както можете да видите, всеки метод има своя предимства и недостатъци.
Задача 2 (MIOO, 2011):
„Точка M лежи на отсечката AB. На окръжност с диаметър AB е взета точка C, отдалечена от точки A, M и B на разстояния съответно 20, 14 и 15. Намерете лицето на триъгълника BMC." 20
Решение: Тъй като AB е диаметърът на окръжност, тогава ∆ ABC е правоъгълен, ∠ C = 90 ° Нека вземем C като нулева точкаравнина, след това A(20i), B(15), M(z). Тъй като CM=14, равенството z ´ z = 196 е вярно, т.е. точка M ∈ окръжност с център в точка C и r=14. Нека намерим пресечните точки на тази окръжност с правата AB: Уравнение на правата AB (10a): 20 i (15 −´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 Замествайки ´ z със 196 z и умножавайки цялото уравнение по (4 i − 3) , получаваме квадратно уравнение за z: 25 z 2 + 120 i (4 i − 3) z + 196 (4 i − 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 Използвайки формула (28), намираме площта ∆ MBC: S = i 4 (z (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ z) + c (´ z − ´ b)) Където c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) След завършване еквивалентни трансформации, получаваме S = 54 ± 12 √ 13 кв. единици Отговор. 54 ± 12 √ 13 кв. единици Ако разрешите проблема геометрични методи, тогава е необходимо да се разгледат два различни случая: 1-ви - точка M лежи между A и D; 2-ро - между D и B. 21
При решаване на задача по метода на комплексните числа се получава двойствеността на решението поради наличието на две точки на пресичане на окръжност и права. Това обстоятелство ни позволява да избегнем често срещана грешка.
Проблем 3
Медианите AA 1, BB 1 и CC 1 на триъгълник ABC се пресичат в точка M. Известно е, че AB=6MC 1. Докажете, че триъгълник ABC е правоъгълен триъгълник. Решение: Нека C е нулевата точка на равнината и задайте реална единица на точка A. След това проблемът се свежда до доказване, че b е чисто имагинерно число. AB 2 = (b − 1) (´ b − 1) . M е центроидът, неговата координата е 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b − 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 − 1 2 ´ b − 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) Тъй като AB=6MC 1, тогава (b − 1) (´ b − 1) = (b + 1) (´ b + 1) . След извършване на трансформациите получаваме b =− ´ b, т.е. b е чисто имагинерно число, т.е. ъгълът C е права линия.
Задача 4.
22
В резултат на завъртане на 90° около точка О сегментът AB се превърна в сегмент A "B". Докажете, че медианата OM на триъгълника OAB " е перпендикулярна на правата A " B . Решение: Нека координатите O, A, B са равни съответно на 0,1, b. Тогава точките A " и B " ще имат координати a" = i и b" = bi, а средата M на отсечката AB " ще има координати m = 1 2 (1 + bi). Намираме: a " − b m − 0 = i − b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i − b) i − b = 2i числото е чисто въображаемо. Въз основа на критерия за перпендикулярност (сегментите AB и CD са перпендикулярни тогава и само ако числото a − b c − d е чисто въображаемо), правите OM и A ’ B са перпендикулярни.
Проблем 5
.
23
От основата на височината на триъгълника са пуснати перпендикуляри върху две страни, които не съответстват на тази височина. Докажете, че разстоянието между основите на тези перпендикуляри не зависи от избора на височина на триъгълника. Решение: Нека е даден триъгълник ABC и описаната около него окръжност има уравнението z ´ z = 1. Ако CD е височината на триъгълника, тогава d = 1 2 (a + b + c − ab c) Комплексните координати на основите M и N на перпендикулярите, пуснати съответно от точка D към AC и BC, са равни на m = 1 2 (a + c + d − ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ´ d 2) Намираме: m − n = 1 2 (a − b + c ´ d ( b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ´ d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab Тъй като | a | = | б | = 1, след това | m − n | = | (a − b) × (b − c) (c − a) | 4 . Този израз е симетричен спрямо a, b, c, т.е. разстоянието MN не зависи от избора на височина на триъгълника.
Заключение
24
„Със сигурност! Всички задачи могат да бъдат решени без комплексни числа. Но фактът е, че алгебрата на комплексните числа е друга ефективен методрешаване на планиметрични задачи. Можем да говорим само за избор на по-ефективен метод за дадена задача. Споровете за предимствата на даден метод са безсмислени, ако разглеждаме тези методи като цяло, без да ги прилагаме към конкретен проблем” [2]. Голямо място в изследването на метода заема набор от формули. Това е
основен недостатък
метод и в същото време
достойнство
, тъй като ви позволява да решите достатъчно сложни задачипо готови формули с елементарни изчисления. Освен това смятам, че при решаване на планиметрични задачи този методе универсален.
Библиография
1. Маркушевич А. И. Комплексни числа и конформни преобразувания - М.: Държавно издателство за техническа и теоретична литература, 1954. - 52 с. 25
2. Понарин Я. П. Алгебра на комплексни числа в геометрични задачи: Книга за ученици от математически класове на училища, учители и студенти от педагогически университети - М.: МЦНМО, 2004. - 160 с. 3. Швецов Д. От линията на Симсон до теоремата на Дроз-Фарни, Квант. - № 6, 2009. – с. 44-48 4. Яглом И.М. Геометрични трансформации. Линейни и кръгови трансформации. - Държавно издателство за техническа и теоретична литература, 1956. – 612 с. 5. Яглом И. М. Комплексни числа и тяхното приложение в геометрията - М.: Физматгиз, 1963. - 192 с. 6. Моркович А.Г. и др., Алгебра и началото на математическия анализ.10 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции (ниво на профил) - М.: Мнемозина, 2012. - 343 с. 7. Андронов И.К. Математика на реални и комплексни числа - М.: Просвещение, 1975. - 158 с. 26
Приложение
Класически теоремиелементарна геометрия
Теорема на Нютон.
В четириъгълник, описан около окръжност, средите на диагоналите са колинеарни с центъра на окръжността. 27
Доказателство. Нека вземем центъра на окръжността като начало, като радиусът му е равен на единица. Нека означим допирните точки на страните на този четириъгълен триъгълник A o B o C o D o с A, B, C, D (в кръгов ред) (фиг. 4). Нека M и N са средните точки съответно на диагоналите A o C o и B o D o. Тогава, съгласно формулата за пресечните точки на допирателните към окръжността z = 2ab a + b, точките A o , B o , C o , D o ще имат съответно комплексни координати: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a където a, b, c, d са комплексните координати на точки A, B, C, D. Следователно.) (2 1 ,) (2 1 0 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c a m Изчисли.))(())((a d c b d c b a n m Тъй като, 1 , 1 b b a a , 1 , 1 d d c c тогава директно е ясно, че n m n m Въз основа на (6) точките O, M, N са колинеарни.
Теорема на Паскал
.
Пресечните точки на прави, съдържащи противоположни страни на вписан шестоъгълник, лежат на една и съща права. 28
Доказателство. Нека шестоъгълникът ABCDEF и P FA CD N EF BC M DE AB ) () (,) () (,) () ( (фиг. 6) са вписани в окръжност (фиг. 6). Нека приемем центъра на окръжността за нулева точка на равнината, а нейният радиус е на единица дължина. Тогава съгласно (17) имаме: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n de ab e d b a m Изчисли) )(())((ef bc de ab fa ef de cd bc e b n m и подобни .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n След това намираме: .))(())((de ab c f fa cd e b p n n m Тъй като числата f e d c b a са равни съответно f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1 , 1, 1, то при устна проверка се установява, че намереният израз съвпада със своя спрегнат, т.е. е реално число. Това означава колинеарност на точките M, N, P.
Теорема на Монж.
В четириъгълник, вписан в окръжност, линиите, минаващи през средите на страните и. Всеки диагонал е перпендикулярен на противоположните страни и съответно другият диагонал се пресича в една точка. Нарича се точка на Монж на цикличен четириъгълник. Доказателство. Симетралните перпендикуляри на страните на четириъгълника ABCD се пресичат в центъра на описаната окръжност, която приемаме за начална точка. За всяка точка M(z) от ъглополовящата на [AB] числото b a b a z ) (2 1 чисто имагинерно. 29
По-специално, за z=0 то е равно на) (2) (b a b a . За всяка точка N(z) от правата, минаваща през средата на страната CD, перпендикулярна на (AB), числото b a d c z ) (2 1 ще трябва да бъде чисто въображаемо и обратно. Но за z=) (2 1 d c b a е равно) (2 b a b a т.е. чисто въображаемо. Следователно, точка E с комплексна координата) ( 2 1 d c b a лежи на посочената права И този израз е симетричен спрямо буквите a, b, c, d. Следователно останалите пет аналогично построени прави съдържат точка E. 30
- Ще се базираме на връзки, а не на механични формули.
- Нека разгледаме комплексните числа като допълнение към нашата бройна система, същото като нула, дробни или отрицателни числа.
- Ние визуализираме идеите в графики, за да разберем по-добре същността, а не просто да ги представяме в сух текст.
И нашата тайно оръжие: обучение по аналогия. Ще стигнем до комплексни числа, като започнем с техните предци, отрицателни числа. Ето малко ръководство за вас:
Засега тази таблица няма много смисъл, но нека бъде там. До края на статията всичко ще си дойде на мястото.
Нека наистина разберем какво са отрицателните числа
Отрицателните числа не са толкова прости. Представете си, че сте европейски математик от 18 век. Имате 3 и 4 и можете да напишете 4 – 3 = 1. Просто е.
Но какво е 3-4? Какво точно означава това? Как можеш да отнемеш 4 крави от 3? Как може да имаш по-малко от нищо?
Отрицателните числа се разглеждат като пълна глупост, нещо, което „хвърля сянка върху цялата теория на уравненията“ (Франсис Мацерес, 1759 г.). Днес би било пълна глупост да мислим за отрицателните числа като за нещо нелогично и безполезно. Попитайте учителя си дали отрицателните числа нарушават основната математика.
Какво стана? Ние изобретихме теоретично число, което имаше полезни свойства. Отрицателните числа не могат да бъдат докоснати или усетени, но те са добри в описването на определени взаимоотношения (като дълг, например). Това е много полезна идея.
Вместо да казвам „Дължа ти 30“ и да чета думите, за да видя дали съм на черно или на черно, мога просто да напиша „-30“ и да знам какво означава това. Ако направя пари и изплатя дълговете си (-30 + 100 = 70), мога лесно да напиша тази транзакция с няколко знака. Ще ми останат +70.
Знаците плюс и минус автоматично улавят посоката - нямате нужда от цяло изречение, за да опишете промените след всяка транзакция. Математиката стана по-проста, по-елегантна. Вече нямаше значение дали отрицателните числа са „осезаеми“ - те имаха полезни свойства и ние ги използвахме, докато не се наложиха здраво в ежедневието ни. Ако някой ваш познат все още не е разбрал същността на отрицателните числа, сега ще му помогнете.
Но да не омаловажаваме човешко страдание: Отрицателните числа бяха истинска промяна в съзнанието. Дори Ойлер, геният, който откри числото e и много повече, не разбираше отрицателните числа толкова добре, колкото ние днес. Те бяха разглеждани като "безсмислени" резултати от изчисления.
Странно е да се очаква от децата да разбират спокойно идеи, които някога са обърквали дори най-добрите математици.
Въвеждане на въображаеми числа
Същата е и с въображаемите числа. Можем да решаваме уравнения като това цял ден:
Отговорите ще бъдат 3 и -3. Но нека си представим, че някой умен човек е добавил минус тук:
Добре добре. Това е въпросът, който кара хората да настръхват, когато го видят за първи път. Искате ли да изчислите корен квадратен от число, по-малко от нула? Това е немислимо! (Исторически наистина е имало подобни въпроси, но ми е по-удобно да си представя някакъв безличен мъдрец, за да не смущавам учените от миналото).
Изглежда лудо, точно както отрицателните числа, нулата и ирационалните числа (неповтарящи се числа) погледнаха назад в деня. Няма "истинско" значение на този въпрос, нали?
Не, не е вярно. Така наречените „въображаеми числа“ са нормални като всички други (или също толкова ненормални): те са инструмент за описване на света. В същия дух, в който си представяме, че -1, 0,3 и 0 "съществуват", нека предположим, че има някакво число i, където:
С други думи, умножавате i по себе си, за да получите -1. какво се случва сега
Е, в началото със сигурност имаме главоболие. Но като играем играта „Да се преструваме, че i съществува“, ние всъщност правим математиката по-проста и по-елегантна. Появяват се нови връзки, които лесно можем да опишем.
Няма да повярвате в i, точно както онези стари заядливи математици не вярваха в съществуването на -1. Всички нови понятия, които извиват мозъка в тръба, са трудни за възприемане и значението им не изплува веднага, дори за брилянтния Ойлер. Но както ни показаха отрицателните числа, странните нови идеи могат да бъдат изключително полезни.
Не харесвам самия термин "въображаеми числа" - имам чувството, че е избран специално, за да обиди чувствата на i. Числото i е също толкова нормално, колкото и останалите, но псевдонимът „въображаем“ се е залепил за него, така че ние също ще го използваме.
Визуално разбиране на отрицателни и комплексни числа
Уравнението x^2 = 9 всъщност означава това:
Коя трансформация на x, приложена два пъти, превръща 1 в 9?
Има два отговора: "x = 3" и "x = -3". Тоест можете да „мащабирате с“ 3 пъти или „мащабирате с 3 и да обърнете“ (обръщането или вземането на реципрочната стойност на резултата са всички интерпретации на умножаване по отрицателно).
Сега нека помислим за уравнението x^2 = -1, което може да бъде написано така:
Коя трансформация на x, приложена два пъти, превръща 1 в -1? хм
- Не можем да умножим два пъти положително числозащото резултатът ще е положителен.
- Не можем да умножим отрицателно число два пъти, защото резултатът отново ще бъде положителен.
Ами... ротация! Звучи необичайно, разбира се, но какво ще стане, ако мислим за x като „завъртане на 90 градуса“, тогава чрез прилагане на x два пъти ще направим завъртане на 180 градуса с координатна ос, и 1 ще се превърне в -1!
Еха! И ако помислим малко повече, можем да направим две революции противоположна посока, а също и да преминете от 1 към -1. Това е "отрицателно" завъртане или умножение с -i:
Ако умножим по -i два пъти, тогава при първото умножение получаваме -i от 1, а при второто -1 от -i. Така че всъщност има две квадратни корени-1: i и -i.
Това е много готино! Имаме нещо като решение, но какво означава то?
- i е "новото имагинерно измерение" за измерване на число
- i (или -i) е какво "превръщат" числата при завъртане
- Умножаването по i е завъртане на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка
- Умножаването по -i е завъртане на 90 градуса по часовниковата стрелка.
- Завъртането два пъти във всяка посока дава -1: връща ни към „нормалното“ измерение на положителните и отрицателните числа (оста x).
Всички числа са двуизмерни. Да, трудно е да се приеме, но би било също толкова трудно за древните римляни да го приемат. десетични знациили дълго деление. (Как така има повече числа между 1 и 2?). Изглежда странно като всеки нов начинмислете по математика.
Попитахме "Как да превърнем 1 в -1 с две действия?" и намерих отговора: завъртете 1 на 90 градуса два пъти. Доста странен, нов начин на мислене в математиката. Но много полезно. (Между другото, тази геометрична интерпретация на комплексните числа се появява само десетилетия след откриването на самото число i).
Също така не забравяйте, че въртенето обратно на часовниковата стрелка е положителен резултат- това е чисто човешка конвенция и всичко можеше да бъде съвсем различно.
Търсене на комплекти
Нека навлезем малко по-дълбоко в детайлите. Когато умножавате отрицателни числа (като -1), получавате набор:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
Тъй като -1 не променя размера на числото, а само знака, получавате същото число или със знак „+“, или със знак „-“. За числото x получавате:
- x, -x, x, -x, x, -x…
Това е много полезна идея. Числото "x" може да представлява добри и лоши седмици. Нека си представим това добра седмицазамества лошия; Това е добра седмица; Каква ще бъде 47-та седмица?
X означава, че ще бъде лоша седмица. Вижте как отрицателните числа „следват знака“ – можем просто да въведем (-1)^47 в калкулатора, вместо да броим („Седмица 1 добра, седмица 2 лоша... седмица 3 добра...“). Нещата, които постоянно се редуват, могат да бъдат перфектно моделирани с помощта на отрицателни числа.
Добре, какво се случва, ако продължим да умножаваме по i?
Много смешно, нека го опростим малко:
Ето същото нещо представено графично:
Повтаряме цикъла на всеки 4-ти ход. Това определено има смисъл, нали? Всяко дете ще ви каже, че 4 завъртания наляво е същото като изобщо да не се завивате. Сега си починете от въображаемите числа (i, i^2) и погледнете общия набор:
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…
Как точно се моделират отрицателните числа огледално отражениечислата, въображаемите числа могат да моделират всичко, което се върти между две измерения "X" и "Y". Или нещо с циклична, кръгова зависимост - имате ли нещо предвид?
Разбиране на комплексните числа
Трябва да се вземе предвид още една подробност: може ли едно число да бъде едновременно „реално“ и „въображаемо“?
Дори не се съмнявайте. Кой каза, че трябва да се обърнем точно на 90 градуса? Ако стоим с единия си крак върху „реалното“ измерение, а с другия върху „въображаемото“, то ще изглежда така:
Намираме се на знака от 45 градуса, където реалната и въображаемата част са еднакви, а самото число е „1 + i“. Това е като хотдог, където има и кетчуп, и горчица - кой каза, че трябва да изберете едното или другото?
По принцип можем да изберем всяка комбинация от реални и въображаеми части и да направим триъгълник от всичко това. Ъгълът става "ъгъл на въртене". Комплексно число е фантастично име за числа, които имат реална и имагинерна част. Те се записват като "a + bi", където:
- а - реална част
- б - въображаема част
Не е зле. Но остана само един последен въпрос: Колко „голямо“ е едно комплексно число? Не можем да измерим поотделно реалната или въображаемата част, защото ще пропуснем голямата картина.
Да направим крачка назад. Размер отрицателно числое разстоянието от нулата:
Това е друг начин за намиране абсолютна стойност. Но как да измерим двата компонента на 90 градуса за комплексни числа?
Дали е птица в небето... или самолет... Питагор идва на помощ!
Тази теорема се появява навсякъде, където е възможно, дори в числа, измислени 2000 години след самата теорема. Да, правим триъгълник и неговата хипотенуза ще бъде равна на разстоянието от нулата:
Въпреки че измерването на комплексно число не е толкова просто като „просто пропускане на знака -“, комплексните числа имат много полезни приложения. Нека разгледаме някои от тях.
Реален пример: ротации
Няма да чакаме физиката в колежа, за да практикуваме комплексни числа. Ще направим това днес. Може да се каже много по темата за умножаването на комплексни числа, но засега трябва да разберете основното:
- Умножението по комплексно число се завърта по неговия ъгъл
Нека да видим как работи. Представете си, че съм на лодка, движеща се по курс от 3 единици на изток на всеки 4 единици на север. Искам да променя курса си на 45 градуса обратно на часовниковата стрелка. Какъв ще бъде моят нов курс?
Някой може да каже „Лесно е! Изчислете синус, косинус, потърсете в Google стойността на тангенса... и след това..." Мисля, че си счупих калкулатора...
Нека да преминем по прост начин: ние сме на курс 3 + 4i (няма значение какъв е ъгълът, засега не ни интересува) и искаме да завием на 45 градуса. Е, 45 градуса е 1 + i (идеален диагонал). Така че можем да умножим нашата ставка по това число!
Ето същината:
- Първоначален курс: 3 единици на изток, 4 единици на север = 3 + 4i
- Завъртете обратно на часовниковата стрелка на 45 градуса = умножете по 1 + i
При умножаване получаваме:
Нашите нова забележителност- 1 единица на запад (-1 на изток) и 7 единици на север, можете да начертаете координатите на графиката и да ги следвате.
Но! Намерихме отговора за 10 секунди, без синуси и косинуси. Нямаше вектори, нямаше матрици, нямаше проследяване в кой квадрант се намираме. Беше проста аритметика и малко алгебра, за да се изработи уравнението. Въображаемите числа са чудесни за ротация!
Освен това резултатът от такова изчисление е много полезен. Имаме курс (-1, 7) вместо ъгъл (atan(7/-1) = 98.13 и веднага става ясно, че сме във втория квадрант. Как точно планирахте да нарисувате и да следвате посочения ъгъл Използвате транспортир под ръка?
Не, трябва да преобразувате ъгъла в косинус и синус (-0,14 и 0,99), да намерите приблизителното съотношение между тях (около 1 към 7) и да скицирате триъгълник. И тук несъмнено печелят сложните числа – точно, светкавично и без калкулатор!
Ако сте като мен, ще намерите това откритие за умопомрачително. Ако не, страхувам се, че математиката изобщо не ви вълнува. Съжалявам!
Тригонометрията е добра, но сложните числа правят изчисленията много по-лесни (като намирането на cos(a + b)). Това е само малко съобщение; в следващите статии ще ви предоставя пълното меню.
Лирично отклонение: някои хора си мислят нещо подобно: „Хей, не е удобно да имаш курс север/изток вместо прост ъгълза преминаването на кораба!
Вярно ли е? Добре, погледни твоята дясна ръка. Какъв е ъгълът между основата на малкия ви пръст и върха показалец? Успех с вашия метод на изчисление.
Или можете просто да отговорите: „Е, върхът е X инча надясно и Y инча нагоре“ и можете да направите нещо по въпроса.
Сближават ли се комплексните числа?
Преминахме като торнадо през основните ми открития в областта на комплексните числа. Вижте първата илюстрация, сега трябва да стане по-ясна.
Има още толкова много за откриване в тези красиви, прекрасни числа, но мозъкът ми вече е уморен. Целта ми беше проста:
- Убедете ви, че комплексните числа са били разглеждани само като „луди“, но всъщност те могат да бъдат много полезни (точно като отрицателните числа)
- Покажете как сложните числа могат да опростят някои проблеми като ротация.
Ако изглеждам прекалено загрижен за тази тема, има причина за това. Имагинерните числа са моя мания от години - липсата на разбиране ме дразнеше.
Но да запалиш свещ е по-добре, отколкото да газиш в пълен мрак: това са моите мисли и съм сигурен, че светлината ще светне в умовете на моите читатели.
Епилог: Но те все пак са доста странни!
Знам, че и на мен все още изглеждат странни. Опитвам се да мисля като първия човек, открил нулева мисъл.
Нулата е толкова странна идея, „нещо“ представлява „нищо“ и това не може да бъде разбрано по никакъв начин в Древен Рим. Същото е и с комплексните числа – това е нов начин на мислене. Но както нулата, така и комплексните числа значително опростяват математиката. Ако никога не бяхме въвели странни неща като нови бройни системи, все още щяхме да броим всичко на пръсти.
Повтарям тази аналогия, защото е толкова лесно да започнете да мислите, че комплексните числа „не са нормални“. Нека бъдем отворени към иновациите: в бъдеще хората само ще се шегуват как някой до 21 век не е вярвал в сложни числа.
23 октомври 2015 г