Материалната точка се движи по праволинеен закон. Физическо значение на производната

Физически смисълпроизводна. Единният държавен изпит по математика включва група задачи, за решаването на които е необходимо познаване и разбиране на физическия смисъл на производната. По-специално има проблеми, при които е даден законът за движение на определена точка (обект), изразено с уравнениетои трябва да намерите неговата скорост в определен момент от времето на движение или времето, след което обектът ще придобие определена зададена скорост.Задачите са много прости, решават се с едно действие. Така:

Нека е даден законът за движение материална точка x(t) по дължината координатна ос, където x е координатата на движещата се точка, t е времето.

Скоростта в определен момент от времето е производната на координатата по време. Ето какво механичен смисълпроизводна.

По същия начин ускорението е производната на скоростта спрямо времето:

Така физическият смисъл на производната е скоростта. Това може да бъде скоростта на движение, скоростта на промяна на даден процес (например растеж на бактерии), скоростта на извършената работа (и т.н. приложни проблеминяколко).

Освен това трябва да знаете таблицата за производни (трябва да я знаете точно като таблицата за умножение) и правилата за диференциране. По-конкретно, за решаване на посочените задачи е необходимо познаване на първите шест производни (виж таблицата):

Нека разгледаме задачите:

x (t) = t 2 – 7t – 20

където x t е времето в секунди, измерено от началото на движението. Намерете неговата скорост (в метри в секунда) в момент t = 5 s.

Физическото значение на производната е скоростта (скорост на движение, скорост на промяна на процес, скорост на работа и т.н.)

Нека намерим закона за промяна на скоростта: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

При t = 5 имаме:

Отговор: 3

Решете сами:

Материалната точка се движи праволинейно по закона x (t) = 6t 2 – 48t + 17, където х- разстояние от референтната точка в метри, T- време в секунди, измерено от началото на движението. Намерете неговата скорост (в метри в секунда) в момент t = 9 s.

Материалната точка се движи праволинейно по закона x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, където хT- време в секунди, измерено от началото на движението. Намерете неговата скорост (в метри в секунда) в момент t = 6 s.

Материалната точка се движи праволинейно по закона

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Където х- разстояние от референтната точка в метри,T- време в секунди, измерено от началото на движението. Намерете неговата скорост (в метри в секунда) в момент t = 3 s.

Материалната точка се движи праволинейно по закона

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

където x е разстоянието от референтната точка в метри, t е времето в секунди, измерено от началото на движението. В кой момент от време (в секунди) скоростта му е била равна на 6 m/s?

Нека намерим закона за промяна на скоростта:

За да разберете в кой моментTскоростта е била 3 m/s, е необходимо да се реши уравнението:

Отговор: 3

Решете сами:

Материалната точка се движи праволинейно по закона x (t) = t 2 – 13t + 23, където х- разстояние от референтната точка в метри, T- време в секунди, измерено от началото на движението. В кой момент от време (в секунди) скоростта му е била равна на 3 m/s?

Материалната точка се движи праволинейно по закона

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Където х- разстояние от референтната точка в метри, T- време в секунди, измерено от началото на движението. В кой момент от време (в секунди) скоростта му е била равна на 2 m/s?

Бих искал да отбележа, че не трябва да се съсредоточавате само върху този тип задачи на Единния държавен изпит. Те могат напълно неочаквано да въведат проблеми, които са противоположни на представените. Когато е даден законът за промяна на скоростта и въпросът ще бъде за намиране на закона за движение.

Съвет: в този случай трябва да намерите интеграла на скоростната функция (това също е задача от една стъпка). Ако трябва да намерите изминатото разстояние в определен момент от времето, трябва да замените времето в полученото уравнение и да изчислите разстоянието. Но ние също ще анализираме такива проблеми, не го пропускайте!Пожелавам ти успех!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Точката се движи праволинейно по закона S = t 4 +2t (S -в метри, T-за секунди). Намерете средното му ускорение в интервала между моментите t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, както и истинското му ускорение в момента T 3 = 6 s.

Решение.

1. Намерете скоростта на точката като производна на пътя S спрямо времето T,тези.

2. Замествайки вместо t неговите стойности t 1 = 5 s и t 2 = 7 s, намираме скоростите:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Определете увеличението на скоростта ΔV за времето Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Така средното ускорение на точката ще бъде равно на

5. За да определим истинската стойност на ускорението на точка, вземаме производната на скоростта по отношение на времето:

6. Заместване вместо това Tстойност t 3 = 6 s, получаваме ускорение в този момент от време

a av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Криволинейно движение.При криволинейно движениескоростта на една точка се променя по величина и посока.

Нека си представим една точка М,които през време Δt, движейки се по някои криволинейна траектория, преместен на позиция М 1(фиг. 6).

Вектор на нарастване (промяна) на скоростта ΔV ще

За за да намерите вектора ΔV, преместете вектора V 1 до точката Ми постройте триъгълник на скоростта. Да определим вектора на средното ускорение:

вектор сре успореден на вектора ΔV, тъй като разделянето на вектора на скаларно количествопосоката на вектора не се променя. Истинският вектор на ускорението е границата, към която отношението на вектора на скоростта към съответния интервал от време Δt клони към нула, т.е.

Тази граница се нарича векторна производна.

По този начин, истинското ускорение на точка по време на криволинейно движение е равно на векторната производна по отношение на скоростта.

От фиг. 6 е ясно, че векторът на ускорението при криволинейно движение винаги е насочен към вдлъбнатината на траекторията.

За удобство на изчисленията ускорението се разлага на два компонента на траекторията на движение: по допирателна, наречена тангенциално (тангенциално) ускорение А, и по нормалата, наречена нормално ускорение a n (фиг. 7).

В този случай общото ускорение ще бъде равно на

Тангенциалното ускорение съвпада по посока със скоростта на точката или е противоположно на нея. Той характеризира промяната в скоростта и съответно се определя по формулата

Нормалното ускорение е перпендикулярно на посоката на скоростта на точката и числова стойностопределя се по формулата

където r - радиус на кривина на траекторията в разглежданата точка.

Тъй като тангенциалните и нормалните ускорения са взаимно перпендикулярни, следователно стойността на общото ускорение се определя по формулата

и неговата посока

Ако , тогава тангенциалното ускорение и векторите на скоростта са насочени в една посока и движението ще бъде ускорено.

Ако , тогава векторът на тангенциалното ускорение е насочен настрани, противоположно на вектораскорост и движението ще бъде бавно.

вектор нормално ускорениевинаги насочена към центъра на кривината, поради което се нарича центростремителна.

− Учителят Думбадзе V.A.
от училище 162 на Кировски район на Санкт Петербург.

Нашата група VKontakte
Мобилни приложения:

(Където х T- време в секунди, измерено от началото на движението). Намерете неговата скорост (в m/s) в даден момент T= 9 s.

При T= 9 s имаме:

Защо пропускаме числото 17 от първоначалното уравнение?

намерете производната на оригиналната функция.

в производната няма число 17

Защо да намерим производната?

Скоростта е производна на координата по отношение на времето.

Проблемът ви моли да намерите скоростта

х- разстояние от референтната точка в метри, T- време в секунди, измерено от началото на движението). Намерете скоростта му в (m/s) в дадения момент T= 6 s.

Нека намерим закона за промяна на скоростта:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, а не 20

запомни процедурата

Откога събирането е за предпочитане пред изваждането?

Умножението има предимство пред събирането и изваждането. Спомнете си за децата училищен пример: 2 + 2 · 2. Нека ви напомня, че тук се оказва не 8, както някои си мислят, а 6.

Не разбрахте отговора на госта.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Така че всичко е правилно, направете си сметката.

2) умножение/деление (зависи от реда в уравнението; първо се решава първо);

3) събиране/изваждане (подобно зависи от реда в примера).

Умножение = деление, събиране = изваждане =>

Не 54 - (36+2), а 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Първо за вас - Сергей Баткович. Второ, разбра ли какво искаш да кажеш и на кого? Аз не ви разбирам.

Материалната точка се движи праволинейно по закона (където x е разстоянието от референтната точка в метри, t е времето в секунди, измерено от началото на движението). Намерете неговата скорост в (m/s) в момент s.

Нека намерим закона за промяна на скоростта: m/s. Когато имаме:

Урок на тема: “Правила за диференциране”, 11. клас

Раздели:Математика

Тип урок: обобщаване и систематизиране на знанията.

Цели на урока:

образователен:
- обобщават и систематизират материала по темата за намиране на производната;
- консолидират правилата за диференциация;
- разкриват на учениците политехническото и приложното значение на темата;
развитие:
- осъществява контрол върху усвояването на знанията и уменията;
- развиват и подобряват способността за прилагане на знания в променена ситуация;
- развиват култура на речта и способността да се правят изводи и обобщават;
образователен:
- развиват когнитивния процес;
- Да възпитава у учениците точност в дизайна и решителността.

Оборудване:

шрайбпроектор, екран;
карти;
компютри;
маса;
диференцирани задачи под формата на мултимедийни презентации.

I. Проверка на домашните.

1. Слушайте докладите на учениците за примери за използване на производни.

2. Обмислете примери за използване на производни във физиката, химията, инженерството и други области, предложени от учениците.

II. Актуализиране на знанията.

Учител:

Определете производната на функция.
Каква операция се нарича диференциране?
Какви правила за диференциране се използват при изчисляване на производната? (Желаните ученици са поканени да дойдат пред дъската).
- производна на сумата;
- производно на произведението;
- производна, съдържаща постоянен фактор;
- производна на частно;
- производна на сложна функция;
Дайте примери за приложни задачи, които водят до понятието производна.

Редица частни проблеми от различни области на науката.

Задача No1.Тялото се движи праволинейно по закона x(t). Запишете формулата за намиране на скоростта и ускорението на тяло в момент t.

Задача No2.Радиусът на окръжността R варира според закона R = 4 + 2t 2. Определете скоростта, с която се променя неговата площ Vмомент t = 2 s. Радиусът на окръжност се измерва в сантиметри. Отговор: 603 cm 2 /s.

Задача No3.Материална точка с маса 5 kg се движи праволинейно по закона

S(t) = 2t+ , къде С— разстояние в метри, T– време в секунди. Намерете силата, действаща върху точката в момента t = 4 s.

Отговор:Н.

Задача No4.Маховикът, задържан от спирачката, се върти назад t sпод ъгъл 3t - 0.1t 2 (rad). Намирам:

а) ъглова скорост на въртене на маховика в момент t = 7 С;
б) в кой момент от време маховикът ще спре.

Отговор:а) 2,86; б) 150 s.

Примерите за използване на производни могат също да включват проблеми с намирането на: специфичен топлинен капацитетвещества дадено тяло, линейна плътност и кинетична енергия на тялото и др.

III. Изпълнение на диференцирани задачи.

Желаещите да изпълнят задачи от ниво “А” сядат пред компютъра и изпълняват тест с програмиран отговор. ( Приложение. )

1. Намерете стойността на производната на функцията в точката x 0 = 3.

2. Намерете стойността на производната на функцията y = xe x в точката x 0 = 1.

1) 2e;
2) д;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Решете уравнението f / (x) = 0, ако f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Изчислете f/(1), ако f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Намерете стойността на производната на функцията f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) в точка t0 = 1.

6. Точката се движи праволинейно по закона: S(t) = t 3 – 3t 2. Изберете формула, която определя скоростта на движение на тази точка в момент t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Приложение на производните във физиката, техниката, биологията, живота

Презентация към урока

внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представят всички функции на презентацията. Ако си заинтересован тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Тип урок:интегриран.

Целта на урока:изучаване на някои аспекти на приложението на производни в различни областифизика, химия, биология.

Задачи:разширяване на кръгозора и познавателна дейностученици, развитие логично мисленеи способността да прилагат знанията си.

Техническа поддръжка: интерактивна дъска; компютър и диск.

I. Организационен момент

II. Поставяне на цел на урока

– Бих искал да проведа урок под мотото на Алексей Николаевич Крилов, съветски математик и корабостроител: „Теорията без практика е мъртва или безполезна, практиката без теория е невъзможна или пагубна.“

– Нека прегледаме основните понятия и отговорим на въпросите:

– Кажете ми основната дефиниция на дериват?
– Какво знаете за производната (свойства, теореми)?
– Знаете ли примери за задачи, използващи производни във физиката, математиката и биологията?

Разглеждане на основната дефиниция на дериват и неговата обосновка (отговор на първия въпрос):

Производна – едно от основните понятия на математиката. Способността за решаване на проблеми с помощта на производни изисква добри познания теоретичен материалспособност за провеждане на изследвания в различни ситуации.

Затова днес в урока ще консолидираме и систематизираме получените знания, ще разгледаме и оценим работата на всяка група и, като използваме примера на някои проблеми, ще покажем как да решаваме други проблеми, използвайки производната и нестандартни задачиизползване на производни.

III. Обяснение на нов материал

1. Моментната мощност е производната на работата по отношение на времето:

W = lim ΔA/Δt ΔA –смяна на работа.

2. Ако едно тяло се върти около ос, тогава ъгълът на завъртане е функция на времето T
Тогава ъглова скоросте равно на:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ T → 0

3. Силата на тока е производна Ι = lim Δg/Δt = g′,Където ж– положителен електрически заряд, пренесен през напречното сечение на проводника във времето Δt.

4. Нека ΔQ– количеството топлина, необходимо за промяна на температурата Δtвреме, тогава lim ΔQ/Δt = Q′ = C –специфична топлина.

5. Задача за скоростта на химична реакция

m(t) – m(t0) –количество вещество, което реагира с течение на времето t0преди T

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Нека m е маса радиоактивно вещество. Скорост на радиоактивно разпадане: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

В диференцирана форма законът за радиоактивното разпадане има формата: dN/dt = – λN,Където н– брой ядра, които не са се разпаднали във времето T.

Интегрирайки този израз, получаваме: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = constпри t = 0брой радиоактивни ядра N = N0, от тук имаме: ln N0 = const,следователно

n N = – λt + ln N0.

Потенцирайки този израз, получаваме:

– законът за радиоактивното разпадане, където N0– брой ядра наведнъж t0 = 0, N– брой ядра, които не са се разпаднали през времето T.

7. Според уравнението за пренос на топлина на Нютон скоростта на топлинния поток dQ/dtе право пропорционална на площта на прозореца S и температурната разлика ΔT между вътрешното и външното стъкло и обратно пропорционална на неговата дебелина d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Явлението Дифузия е процес на установяване на равновесно разпределение

Във фазите на концентрация. Дифузията отива настрани, изравнявайки концентрациите.

m = D Δc/Δx c –концентрация
m = D c׳x x –координирам, Д -коефициент на дифузия

9. Известно е, че електрическото поле възбужда или електрически заряди, или магнитно поле, което има един източник - електрически ток. Джеймс Кларк Максуел въвежда едно изменение в законите на електромагнетизма, открити преди него: магнитно поле възниква и при промяна електрическо поле. Една на пръв поглед малка поправка имаше огромни последици: напълно нова физически обект – електромагнитна вълна. Максуел майсторски, за разлика от Фарадей, който смяташе, че съществуването му е възможно, изведе уравнението за електрическото поле:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Промяна в електрическото поле причинява появата магнитно полевъв всяка точка на пространството, с други думи, скоростта на промяна на електрическото поле определя величината на магнитното поле. Под големия токов удар– по-голямо магнитно поле.

IV. Затвърдяване на наученото

– Ние с теб изучавахме производната и нейните свойства. Бих искал да прочета философско изявлениеГилбърт: „Всеки човек има определена перспектива. Когато този хоризонт се стесни до безкрайно малкото, той се превръща в точка. Тогава човекът казва, че това е неговата гледна точка.”
Нека се опитаме да измерим гледната точка върху приложението на производната!

Сюжетът на "Лист"(използване на производни в биологията, физиката, живота)

Разгледайте падането като неравномерно движениезависим от времето.

Така: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Теоретичен преглед: механично значение на производната).

1. Разрешаване на проблем

Решавайте проблемите сами.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Нека запишем закона на Портън II и като вземем предвид механичния смисъл на производната, го пренапишем във формата: F = mV′ F = mS″

Сюжетът на "Вълци, гофери"

Нека се върнем към уравненията: Разгледайте диференциалните уравнения на експоненциалния растеж и намаляване: F = ma F = mV’ F = mS"
Решаване на много задачи по физика, техническа биологияИ социални наукисе свеждат до задачата за намиране на функции f"(x) = kf(x),отговарящи на диференциалното уравнение, където k = const .

Човешка формула

Човек е толкова пъти по-голям от атом, колкото е по-малък от звезда:

Следва, че
Това е формулата, която определя мястото на човека във Вселената. В съответствие с него размерът на човек представлява средната пропорционалност на звезда и атом.

Бих искал да завърша урока с думите на Лобачевски: „Няма нито една област на математиката, колкото и абстрактна да е тя, която някой ден да не е приложима към явленията от реалния свят.“

V. Решение на числата от колекцията:

Самостоятелно решаване на проблеми на дъската, колективен анализ на решенията на проблемите:

№ 1 Намерете скоростта на движение на материална точка в края на 3-тата секунда, ако движението на точката е дадено от уравнението s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Точката се движи праволинейно по закона s = 6t – t^2. В кой момент ще бъде скоростта му равен на нула?

№ 3 Две тела се движат праволинейно: едното по закона s = t^3 – t^2 – 27t, другото по закона s = t^2 + 1. Определете момента, в който скоростите на тези тела се оказват равни .

№ 4 За автомобил, движещ се със скорост 30 m/s, спирачният път се определя по формулата s(t) = 30t-16t^2, където s(t) е разстоянието в метри, t е спирачното време в секунди . Колко време отнема спирането, докато автомобилът спре напълно? Който разстоянието ще отидеколата от началото на спирането до пълното й спиране?

№5 Тяло с тегло 8 kg се движи праволинейно по закона s = 2t^2+ 3t – 1. Намерете кинетичната енергия на тялото (mv^2/2) 3 секунди след началото на движението.

Решение: Да намерим скоросттадвижения на тялото по всяко време:
V = ds / dt = 4t + 3
Нека изчислим скоростта на тялото в момент t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
Нека определим кинетичната енергия на тялото в момент t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Намерете кинетичната енергия на тялото 4 s след началото на движението, ако масата му е 25 kg, а законът за движение има вида s = 3t^2- 1.

№7 Тяло с маса 30 kg се движи праволинейно по закона s = 4t^2 + t. Докажете, че движението на тялото става под действието на постоянна сила.
Решение: Имаме s’ = 8t + 1, s” = 8. Следователно a(t) = 8 (m/s^2), т.е. при този закон на движение тялото се движи с постоянно ускорение 8 m/s^2. Освен това, тъй като масата на тялото е постоянна (30 kg), тогава, съгласно втория закон на Нютон, силата, действаща върху него F = ma = 30 * 8 = 240 (H), също е постоянна стойност.

№8 Тяло с тегло 3 kg се движи праволинейно по закона s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Намерете силата, действаща върху тялото в момент t = 4s.

№9 Материалната точка се движи по закона s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Намерете неговото ускорение в края на 3-тата секунда.

VI. Приложение на производната в математиката:

Производната в математиката показва числов изразстепента на изменение на величина, намираща се в една и съща точка под влияние на различни условия.

Производната формула датира от 15 век. Големият италиански математик Тартали, разглеждайки и развивайки въпроса доколко обхватът на полета на снаряд зависи от наклона на пистолета, го прилага в своите трудове.

Производната формула често се среща в произведенията известни математици 17-ти век. Използван е от Нютон и Лайбниц.

Известният учен Галилео Галилей посвещава цял трактат на ролята на производните в математиката. След това производната и различни презентации с нейното приложение започват да се откриват в трудовете на Декарт, френския математик Робервал и англичанина Грегъри. Голям принос в изследването на производната са направени от такива умове като L'Hopital, Bernoulli, Langrange и други.

1. Начертайте графика и разгледайте функцията:

Решение на този проблем:

Момент на релакс

VII. Приложение на производната във физиката:

При изучаването на определени процеси и явления често възниква задачата да се определи скоростта на тези процеси. Неговото решение води до понятието производна, което е основното понятие диференциално смятане.

Методът на диференциалното смятане е създаден през 17-ти и 18-ти век. С появата на този метод се свързват имената на двама велики математици – И. Нютон и Г.В. Лайбниц.

Нютон стига до откритието на диференциалното смятане при решаване на задачи за скоростта на движение на материална точка в този моментвреме (моментна скорост).

Във физиката производната се използва главно за изчисляване на най-голямата или най-ниски стойностивсякакви количества.

№1 Потенциална енергия Uполето на частица, в която има друга, точно същата частица, има формата: U = a/r 2 – б/р, Където аИ b- положителни константи, r- разстояние между частиците. Намерете: а) стойност r0съответстващ на равновесното положение на частицата; б) разберете дали тази ситуация е стабилна; V) Fмаксстойността на силата на привличане; г) изобразяват примерни графикизависимости U(r)И F(r).

Решение на този проблем: Да се определи r0съответстващ на равновесното положение на частицата, която изследваме f = U(r)до крайност.

Използвайки връзката между потенциална енергияполета

UИ Е, Тогава F = – dU/dr, получаваме F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; при което r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Устойчив или нестабилно равновесиеопределяме по знака на втората производна:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Помислете за случая, когато пясъкът се разсипва от пълна платформа.
Промяна в импулса за кратък период от време:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ T
Срок Δ µtuе импулсът на количеството пясък, излял от платформата за време Δ T.Тогава:
Δ p = МΔ u – µtΔ ти – Δ µtΔ u = FΔ T
Разделете на Δ Tи преминете към границата Δ T → 0
(M – µt)du/dt = F
Или a1= du/dt= F/(M – µt)

Отговор: a = FM / (M + µt) 2, a1= F/(M – µt)

VIII. Самостоятелна работа:

Намерете производни на функции:

Правата линия y = 2x е допирателна към функцията: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Намерете абсцисата на точката на допиране.

IX. Обобщаване на урока:

– На какви въпроси беше посветен урокът?
– Какво научихте в урока?
– Какви теоретични факти бяха обобщени в урока?
– Кои разглеждани задачи се оказаха най-трудни? Защо?

Библиография:

Амелкин В.В., Садовски А.П. Математически моделии диференциални уравнения. – Минск: висше училище, 1982. – 272 с.
Амелкин В.В.Диференциални уравнения в приложенията. М.: Наука. Главна редакция на физико-математическата литература, 1987. – 160 с.
Еругин Н.П.Книга за четене общ курс диференциални уравнения. – Минск: Наука и техника, 1979. – 744 с.
.Списание "Потенциал" ноември 2007 г. No11
“Алгебра и началото на анализа” 11 клас С.М. Николски, М.К. Потапов и др.
“Алгебра и математически анализ” N.Ya. Виленкин и др.
"Математика" В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, 1991г

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Физическо значение на производната. Задачи!

Физическо значение на производната. Единният държавен изпит по математика включва група задачи, за решаването на които е необходимо познаване и разбиране на физическия смисъл на производната. По-специално, има задачи, при които е даден законът за движение на определена точка (обект), изразен чрез уравнение, и се изисква да се намери нейната скорост в определен момент от времето на движение или времето, след което обектът ще придобие определена зададена скорост. Задачите са много прости, решават се с едно действие. Така:

Нека е даден законът за движение на материална точка x (t) по координатната ос, където x е координатата на движещата се точка, t е времето.

Скоростта в определен момент от времето е производната на координатата по време. Това е механичният смисъл на производната.

По същия начин ускорението е производната на скоростта спрямо времето:

Така физическият смисъл на производната е скоростта. Това може да бъде скоростта на движение, скоростта на промяна на даден процес (например растеж на бактерии), скоростта на работа (и т.н., има много приложни проблеми).

Освен това трябва да знаете таблицата за производни (трябва да я знаете точно като таблицата за умножение) и правилата за диференциране. По-конкретно, за решаване на посочените проблеми е необходимо познаване на първите шест производни (виж таблицата):

x (t) = t 2 – 7t – 20

където x е разстоянието от референтната точка в метри, t е времето в секунди, измерено от началото на движението. Намерете неговата скорост (в метри в секунда) в момент t = 5 s.

Нека намерим закона за промяна на скоростта: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Материалната точка се движи праволинейно по закона x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, където х- разстояние от референтната точка в метри, T- време в секунди, измерено от началото на движението. Намерете неговата скорост (в метри в секунда) в момент t = 6 s.

Материалната точка се движи праволинейно по закона

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Където х- разстояние от референтната точка в метри, T- време в секунди, измерено от началото на движението. Намерете неговата скорост (в метри в секунда) в момент t = 3 s.

Материалната точка се движи праволинейно по закона

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

Нека намерим закона за промяна на скоростта:

За да разберете в кой момент Tскоростта е била 3 m/s, е необходимо да се реши уравнението:

Материалната точка се движи праволинейно по закона

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

matematikalegko.ru

Алгебра и начала математически анализ, 11 клас (С. М. Николски, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2009 г.

Страница № 094.

учебник:

OCR версия на страницата от учебника (текстът на страницата се намира по-горе):

Както следва от проблемите, разгледани в началото на този параграф, следните твърдения са верни:

1. Ако при право движениепътят s, изминат от точка, е функция на времето t, т.е. s = f(t), тогава скоростта на точката е производната на пътя по отношение на времето, т.е. v(t) =

Този факт изразява механичния смисъл на производната.

2. Ако в точка x 0 е начертана допирателна към графиката на функцията y = f (jc), тогава числото f"(xo) е тангенса на ъгъла a между тази допирателна и положителната посока на оста Ox , т.е. /"(x 0) =

Tga. Този ъгъл се нарича допирателен.

Този факт изразява геометричен смисълпроизводна.

ПРИМЕР 3. Да намерим тангенса на ъгъла на наклона на допирателната към графиката на функцията y = 0,5jc 2 - 2x + 4 в точката с абсцисата x = 0.

Нека намерим производната на функцията f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 във всяка точка x, като използваме равенство (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Нека изчислим стойността на тази производна в точката x = 0:

Следователно tga = -2. Графиката x на функцията y = /(jc) и допирателната към нейната графика в точката с абсцисата jc = 0 са показани на фигура 95.

4.1 Нека точката се движи праволинейно по закона s = t 2. Намирам:

а) нарастване на времето D£ за времевия интервал от t x = 1 до £ 2 - 2;

б) нарастване на пътя As за периода от време от t x = 1 до t 2 = 2;

V) Средната скоростпрез интервала от време от t x = 1 до t 2 = 2.

4.2 В задача 4.1 намерете:

б) средна скорост за интервала от време от t до t + At;

V) моментна скороств момент t;

г) моментна скорост в момент t = 1.

4.3 Нека точката се движи праволинейно по закона:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

а) нарастване на пътя As за периода от време от t до t + At;

учебник:Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас: учебен. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [С. М. Николски, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 8-мо изд. - М.: Образование, 2009. - 464 с.: ил.