Разделянето по „ъгъл” според мен е най-трудната, най-досадната тема в цялата училищна математика. Тук ще трябва сериозно да се напрегнем. Нека обаче се вдъхновяваме от мисълта, че всички следващи материали ще бъдат много по-лесни и приятни.
Първо, помислете за разделяне по едноцифрено число. Да кажем, че искаме да изчислим стойността на израза
Използвайки свойствата на умножението, можем да напишем дивидента по следния начин:
6 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 8 =
3 ∙ 2 ∙ 100 + 2 ∙ 2 ∙ 10 + 4 ∙ 2 =
( 3 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 4 ) ∙ 2 =
3 2 4 ∙ 2 .
След това става очевидно, че частното при деление е равно на
Но взехме най-доброто най-простият случай, когато всяка отделна цифра на дивидента може да бъде разделена на делителя. Ето малко по-сложен пример:
Тук е първата цифра по-малко от делителя. Следователно, когато описваме дивидента, няма да го отделяме от втората цифра:
15 ∙ 10 + 6 .
Тъй като числото 15 не се дели равномерно на 2, ще трябва да прибегнем до деление с остатък. Нека представим резултата от това разделение като:
15 = 7 ∙ 2 + 1 = 14 + 1 .
Сега можем да продължим да описваме нашия дивидент по-нататък:
15 ∙ 10 + 6 =
( 14 + 1 ) ∙ 10 + 6 =
14 ∙ 10 + 1 ∙ 10 + 6 =
14 ∙ 10 + 16 =
7 ∙ 2 ∙ 10 + 8 ∙ 2 =
( 7 ∙ 10 + 8 ) ∙ 2 =
7 8 ∙ 2 .
От тук незабавно получаваме отговора:
Този вид изчисление може да се направи наум и веднага да напишете отговора. Но сега ще ги пренапишем във формата къса маса. Способността да съставяме такива таблици ще ни бъде полезна, когато се занимаваме с деление по многоцифрени числа, когато всичко се оказва не толкова просто. Записваме дивидента и делителя, както следва:
Когато разделите първите две цифри (15) на две, резултатът е 7 плюс някакъв друг остатък. Ще се занимаем с този остатък малко по-късно, но засега ще напишем седемте под чертата под делителя (тук евентуално ще напишем пълния отговор):
Умножаваме нашия делител (2) по това седем и записваме отговора (14) под първите две цифри на дивидента (15):
Сега е време да изчислим остатъка при деление на 15 на 2. Очевидно е равно на
15 − 2 ∙ 7 = 15 − 14 .
Вече имаме всичко подготвено за извършване на това изваждане в „колона“:
Получаваме единица, на която приписваме шестица от следната цифра на дивидента:
В резултат на това приписване получаваме числото 16. Разделяме го на нашия делител (2) и получаваме 8. Записваме тази осмица в реда за отговор, под реда под делителя:
Отговорът получихме, но правилата за създаване на таблицата са такива, че трябва да добавим още два реда към нея. Трябва официално да се уверим, че не сме загубили остатъка от дивизията. Умножаваме делителя (2) по последната цифра на отговора (8), присвояваме резултата (16) отдолу към нашата таблица в последните две цифри на дивидента:
Извадете последния ред от предпоследния и вземете 0:
Тази последна нула не е нищо повече от остатъка от делението, което би се образувало, ако разгледаме делението с остатък:
156: 2 = 78 (оставащи 0).
За да разберем това по-добре, нека вземем подобен пример, в който обаче остатъкът го няма равно на нула:
157: 2 = 78 (остава 1).
Таблицата за този пример изглежда така:
Тук отново остатъкът е равен на последен ред. За да завършим картината, нека напишем нашия дивидент в тази форма:
14 ∙ 10 + 17 =
7 ∙ 2 ∙ 10 + 8 ∙ 2 + 1 =
( 7 ∙ 10 + 8 ) ∙ 2 + 1 =
7 8 ∙ 2 + 1
Вече сме готови да разделим (с цяло или с остатък) на многоцифрени числа. Това се прави с помощта на подобна таблица (именно поради нейната специален тип тази процедураполучи името ъглово разделение). Да кажем, че трябва да извършите деление с остатък:
Нека започнем да попълваме таблицата:
IN в този случайЗа да намерите първата цифра на частното, трябва да вземете първите четири цифри от дивидента (1356) и да разделите полученото число (с остатък) на делителя (259). Защо трябва да вземете първите четири цифри от дивидента? Защото ако вземем поне една цифра по-малко, тогава полученото число (135) ще бъде по-малко от делителя (259), а това изобщо не е нещо, от което бихме могли полезна информация. И така, вземете първите четири цифри от дивидента и разгледайте следното деление с остатък:
1356 : 259 = ?
Тук ще ни помогнат приблизителни изчисления, за които, както знаем, изобщо не е необходимо числата да се делят едно на друго:
1356 / 259 ≈ 1356 / 300 ≈ 1500 / 300 = 15 / 3 = 5 .
Познавайки резултата от приблизителното разделяне, можем да приемем, че най-вероятно,
1356 : 259 = 5 (остатъкът - няма значение кой).
със сигурност абсолютна увереностние нямаме. Тук вместо петица може да има четворка или шестица, но едва ли сме сбъркали с повече от една единица. Имайки това предвид, ние все пак вземаме тази петица и я въвеждаме в нашата таблица в реда за отговор. След това умножаваме делителя (259) по него и в същото време записваме отговора под дивидента в съответните цифри:
|
259 ∙ 5 = |
Тук „малките“ числа са страничен продукт от процедурата за умножение: ние се запознахме с тях, когато се научихме да умножаваме „в колона“. След като умножението приключи, те вече не са необходими: можете просто да ги игнорирате. Изразът 259 ∙ 5, записан отляво на таблицата, е поставен тук само за да изясним какво правим. То всъщност не принадлежи към масата и в бъдеще няма да пишем подобни обяснения. Тук е важно да се отбележи, че резултатът от нашето умножение (1295) се оказа по-малък от изписаното над него число 1356, съставено от първите четири цифри на дивидента. Ако това не беше така, това би означавало, че приблизителното разделяне ни е дало надценен резултат. След това ще трябва да задраскаме петицата в реда за отговор, да поставим четворка на нейно място - и след това да задраскаме и повторим всички наши последващи изчисления. Но този път имахме късмет и не се наложи да преправяме нищо.
Сега извършваме изваждане на колона и получаваме:
|
259 ∙ 5 = |
|||||||||
Нека разгледаме по-отблизо получената разлика (61). Много е важно, че се оказа по-малко от делителя (259). IN иначещяхме да стигнем до извода, че приблизителното деление ни е дало подценен резултат и сега ще трябва да коригираме петицата в реда за отговор на шест, както и да повторим всички последващи изчисления. За щастие това не се случи. Приблизителното изчисление не ни подведе и сега знаем със сигурност, че
1356: 259 = 5 (ост. 61).
Да се върнем на масата. Добавяме седем от следващата цифра на дивидента към нашия остатък (61) и продължаваме да намираме втората цифра на отговора. Това се прави по същата процедура, както преди. След това е време за третото число. В крайна сметка таблицата изглежда така:
|
259 ∙ 5 = |
|||||||||
|
259 ∙ 2 = |
|||||||||
|
259 ∙ 3 = |
|||||||||
Можете да запишете крайния отговор:
135674: 259 = 523 (ост. 217).
Най-големият проблем с разделянето с „ъгъл“ е, че приблизителните изчисления, до които трябва да се прибегне по пътя, не са гарантирани веднага, че ще дадат правилен резултати понякога изискват последваща корекция. Въпреки това, докато практикуваме, ние ще развием специален инстинкт и почти сигурно веднага ще знаем какви числа трябва да бъдат записани в реда за отговор, така че по-късно да не се налага да коригираме или преправяме нещо друго.
Разбира се, ще срещнем случаи, в които частното съдържа нули. Всяка такава нула ще ви позволи да направите малки намаления в таблицата. Ето пример за такава таблица:
Както в случая на умножение „в колона“, за да направим по-удобно да пишем „малки“ числа, може да се нуждаем
Сега остава само да тренираме, тренираме и тренираме.
Преди няколко години бях изненадан да науча, че днес в училищата (дори в много училища по физика и математика), в клубовете и дори в случаите на „репетиция“ не учат как да разделят полиноми или полиноми в колона. Най-смешното в това е, че учениците знаят схемата на Хорнер и я използват за разделяне на полиноми. Изглежда, че дългото деление се смята за твърде трудно за слаб ум, но той е напълно способен да запомни таблица, която му позволява да дели на полином от първа степен. Естествено, никой не се интересува от това учениците да разберат защо това може да бъде разделено по този начин. За да запълня явната празнина в образованието на такива деца, представям тук метод за разделяне на полином на полином чрез колона, който всъщност е доста прост и ви позволява да разделяте на полиноми с произволна степен.
Нека започнем с факта, че за два полинома и ( не трябва да е идентично равно на нула) е вярно. Ако остатъкът е нула, тогава се казва, че се дели на без остатък.
Сега нека да разгледаме примерите: по-лесно е да се научите да разделяте полиноми с тях.
Пример 1.Разделете на (обърнете внимание, че и двата полинома са записани в низходящ ред на степен). Първо ще напиша какво трябва да се случи и след това ще обясня как да го получа.
Първо, водещият член на дивидента е - нека разделим на водещия член на делителя, тоест на . Полученият резултат, който е равен на , ще бъде водещ член на коефициента. Сега умножаваме делителя по този полином (получаваме) и изваждаме получения резултат от дивидента. Ние ще вземем останалото. Водещият член на този остатък, който е равен, отново се дели на водещия член на делителя, който е равен на, получаваме, което ще бъде вторият член на частното. Делителят, умножен по този член, се изважда от първия остатък. Получаваме втория остатък, който е равен на нула. Това завършва процеса на разделяне.
Лесно е да проверите това
Най-общо казано, делението завършва веднага щом степента на получения остатък е по-малка (строго по-малка!) от степента на делителя. Нека да разгледаме друг пример.
Пример 2.Нека разделим на.
Делението е пълно, защото степента на последния остатък е по-малко степенделител (), с други думи, водещият член на остатъка не се дели равномерно на водещия член на делителя.
преглед.Всъщност не е трудно да се провери това
Когато се решават уравнения и неравенства, често е необходимо да се разлага на множители полином, чиято степен е три или по-висока. В тази статия ще разгледаме най-лесния начин да направите това.
Както обикновено, нека се обърнем към теорията за помощ.
Теорема на Безузаявява, че остатъкът при деление на полином на бином е .
Но за нас е важна не самата теорема, а следствие от него:
Ако числото е корен на полином, тогава полиномът се дели на бинома без остатък.
Изправени сме пред задачата по някакъв начин да намерим поне един корен на полинома, след което да разделим полинома на , където е коренът на полинома. В резултат на това получаваме полином, чиято степен е с единица по-малка от степента на първоначалния. И след това, ако е необходимо, можете да повторите процеса.
Тази задача се разделя на две: как да намерите корена на полином и как да разделите полином на бином.
Нека разгледаме по-отблизо тези точки.
1. Как да намерим корена на полином.
Първо проверяваме дали числата 1 и -1 са корени на полинома.
Тук ще ни помогнат следните факти:
Ако сборът от всички коефициенти на полином е нула, тогава числото е коренът на полинома.
Например в полином сумата от коефициентите е нула: . Лесно е да проверите какъв е коренът на полином.
Ако сборът от коефициентите на полином при четни степени е равен на сбора от коефициентите при нечетни степени, тогава числото е коренът на полинома.Свободният член се счита за коефициент за четна степен, тъй като , a е четно число.
Например в полином сумата от коефициентите за четни степени е : , а сумата от коефициентите за нечетни степени е : . Лесно е да проверите какъв е коренът на полином.
Ако нито 1, нито -1 са корени на полинома, тогава продължаваме напред.
За полином с намалена степен (т.е. полином, в който водещият коефициент е коефициентът при - равно на едно) Валидна е формулата на Vieta:
Къде са корените на многочлена.
Има и формули на Виета относно останалите коефициенти на полинома, но ние се интересуваме от тази.
От тази формула на Виета следва, че ако корените на полином са цели числа, тогава те са делители на неговия свободен член, който също е цяло число.
Въз основа на това, трябва да разложим свободния член на полинома и последователно, от най-малкия към най-големия, да проверим кой от факторите е коренът на полинома.
Помислете например за полинома
Делители на свободния член: ;
;
Сума на коефициентите за четни степени:
Сума от коефициентите за нечетни степени:
Следователно числото -1 също не е корен на полинома.
Нека проверим дали числото 2 е коренът на полинома: следователно числото 2 е коренът на полинома. Това означава, че според теоремата на Безу полиномът се дели на бином без остатък.
2. Как се разделя многочлен на бином.
Полиномът може да бъде разделен на бином чрез колона.
Разделете полинома на бином с помощта на колона:
Има и друг начин за разделяне на полином на бином - схема на Хорнер.
Гледайте това видео, за да разберете как да разделим полином на бином с колона и използвайки схемата на Хорнер.
Отбелязвам, че ако при разделяне на колона липсва някаква степен на неизвестното в оригиналния полином, на негово място пишем 0 - по същия начин, както при съставянето на таблица за схемата на Хорнер.
Така че, ако трябва да разделим полином на бином и в резултат на разделянето получим полином, тогава можем да намерим коефициентите на полинома, използвайки схемата на Хорнер:
Можем също да използваме Схема на Хорнерза да проверите дали е така дадено числокорен на полином: ако дадено число е корен на полином, тогава остатъкът при разделянето на полинома на е равен на нула, т.е. в последната колона на втория ред на схемата на Хорнер получаваме 0.
Използвайки схемата на Хорнер, ние „убиваме две птици с един камък“: едновременно проверяваме дали числото е корен на полином и разделяме този полином на бином.
Пример.Решете уравнението:
1. Нека запишем делителите на свободния член и потърсим корените на многочлена сред делителите на свободния член.
Делители на 24:
2. Да проверим дали числото 1 е корен на многочлена.
Сумата от коефициентите на полином, следователно числото 1 е коренът на полинома.
3. Разделете оригиналния полином на бином, като използвате схемата на Horner.
А) Нека запишем коефициентите на оригиналния полином в първия ред на таблицата.
Тъй като съдържащият член липсва, в колоната на таблицата, в която трябва да бъде записан коефициентът, записваме 0. Отляво записваме намерения корен: числото 1.
Б) Попълнете първия ред на таблицата.
В последната колона, както очаквахме, получихме нула; разделихме оригиналния полином на бином без остатък. Коефициентите на полинома, получен от деленето, са показани в синьо във втория ред на таблицата:
Лесно е да се провери, че числата 1 и -1 не са корени на полинома
Б) Да продължим таблицата. Нека проверим дали числото 2 е корен на многочлена:
Така че степента на полинома, който се получава в резултат на делене на едно, е по-малка от степента на оригиналния полином, следователно броят на коефициентите и броят на колоните са с един по-малко.
В последната колона получихме -40 - число, не равно на нулаСледователно полиномът се дели на бином с остатък и числото 2 не е корен на многочлена.
В) Да проверим дали числото -2 е корен на многочлена. Тъй като предишният опит беше неуспешен, за да избегна объркване с коефициентите, ще изтрия реда, съответстващ на този опит:
Страхотно! Получихме нула като остатък, следователно полиномът беше разделен на бином без остатък, следователно числото -2 е коренът на полинома. Коефициентите на полинома, който се получава чрез разделяне на полином на бином, са показани в зелено в таблицата.
В резултат на разделението получихме квадратен тричлен 
, чиито корени могат лесно да бъдат намерени с помощта на теоремата на Vieta:
И така, корените на оригиналното уравнение са:
{
}
Отговор: ( 
}
Да започнем с някои дефиниции. Полином n-тистепен (или n-ти ред) ще наречем израз от формата $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^( n) +a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Например изразът $4x^(14)+87x^2+4x-11$ е полином, чиято степен е $14$. Може да се означи по следния начин: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
Коефициентът $a_0$ се нарича водещ коефициент на полинома $P_n(x)$. Например за полинома $4x^(14)+87x^2+4x-11$ водещият коефициент е $4$ (числото преди $x^(14)$). Числото $a_n$ се нарича свободен член на полинома $P_n(x)$. Например за $4x^(14)+87x^2+4x-11$ безплатният термин е $(-11)$. Сега нека се обърнем към теоремата, на която всъщност ще се основава представянето на материала на тази страница.
За всеки два полинома $P_n(x)$ и $G_m(x)$ могат да се намерят полиноми $Q_p(x)$ и $R_k(x)$, така че равенството
\begin(equation) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(equation)
и $k< m$.
Фразата „разделете полинома $P_n(x)$ на полинома $G_m(x)$“ означава „представете полинома $P_n(x)$ във формата (1).“ Ще наричаме полинома $P_n(x)$ делим, полинома $G_m(x)$ делител, полинома $Q_p(x)$ частното при деление на $P_n(x)$ на $G_m(x)$ , а полиномът $ R_k(x)$ - остатъци от деление на $P_n(x)$ на $G_m(x)$. Например за полиномите $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ и $G_4(x)=3x^4+4x^2 +2 $ можете да получите следното равенство:
$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$
Тук полиномът $P_6(x)$ се дели, полиномът $G_4(x)$ е делител, полиномът $Q_2(x)=4x^2+x$ е частното на $P_6(x)$ делено на $G_4(x) $, а полиномът $R_3(x)=2x^3+1$ е остатъкът от деленето на $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Обърнете внимание, че степента на остатъка (т.е. 3) е по-малка от степента на делителя (т.е. 4), следователно условието за равенство е изпълнено.
Ако $R_k(x)\equiv 0$, тогава се казва, че полиномът $P_n(x)$ се дели на полинома $G_m(x)$ без остатък. Например полиномът $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ се дели на полинома $3x^4+15$ без остатък, тъй като равенството е изпълнено:
$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$
Тук полиномът $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ се дели; полином $G_4(x)=3x^4+15$ - делител; и полиномът $Q_2(x)=7x^2+2x$ е частното от $P_6(x)$ делено на $G_4(x)$. Остатъкът е нула.
За да разделите полином на полином, често се използва разделяне на „колона“ или, както се нарича още, „ъгъл“. Нека да разгледаме изпълнението на този метод с примери.
Преди да премина към примери, ще въведа още един термин. той не е общоприето, и ще го използваме единствено за удобство на представянето на материала. До края на тази страница ще наричаме най-високия елемент на полинома $P_n(x)$ израза $a_(0)x^(n)$. Например за полинома $4x^(14)+87x^2+4x-11$ водещият елемент ще бъде $4x^(14)$.
Пример №1
Разделете $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ на $5x^2-x+2$, като използвате дълго деление.
Така че имаме два полинома, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ и $G_2(x)=5x^2-x+2$. Степента на първия е $5$, а степента на втория е $2$. Полиномът $P_5(x)$ е дивидентът, а полиномът $G_2(x)$ е делителят. Нашата задача е да намерим частното и остатъка. Ще решим проблема стъпка по стъпка. Ще използваме същата нотация като за деление на числа:
Първа стъпка
Нека разделим най-високия елемент от полинома $P_5(x)$ (т.е. $10x^5$) на най-високия елемент от полинома $Q_2(x)$ (т.е. $5x^2$):
$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$
Полученият израз $2x^3$ е първият елемент на частното:
Умножете полинома $5x^2-x+2$ по $2x^3$, получавайки:
$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$
Нека запишем резултата:
Сега извадете от полинома $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ полинома $10x^5-2x^4+4x^3$:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$
Това приключва първата стъпка. Резултатът, който получихме, може да бъде написан в разширена форма:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$
Тъй като степента на полинома е $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (т.е. 4) повече степенполином $5x^2-x+2$ (т.е. 2), тогава процесът на деление трябва да продължи. Да преминем към втората стъпка.
Втора стъпка
Сега ще работим с полиномите $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. По абсолютно същия начин, както в първата стъпка, разделяме най-високия елемент от първия полином (т.е. $5x^4$) на най-високия елемент от втория полином (т.е. $5x^2$):
$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$
Полученият израз $x^2$ е вторият елемент на частното. Нека добавим $x^2$ към частното
Умножете полинома $5x^2-x+2$ по $x^2$, получавайки:
$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$
Нека запишем резултата:
Сега извадете полинома $5x^4-x^3+2x^2$ от полинома $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$:
$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$
Нека добавим този полином под линията:
Това завършва втората стъпка. Полученият резултат може да бъде записан в разширена форма:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$
Тъй като степента на полинома $-15x^3+23x^2-2x+5$ (т.е. 3) е по-голяма от степента на полинома $5x^2-x+2$ (т.е. 2), продължаваме делението процес. Да преминем към третата стъпка.
Трета стъпка
Сега ще работим с полиномите $-15x^3+23x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. По абсолютно същия начин, както в предишните стъпки, разделяме най-високия елемент от първия полином (т.е. $-15x^3$) на най-високия елемент от втория полином (т.е. $5x^2$):
$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$
Полученият израз $(-3x)$ е третият елемент на частното. Нека добавим $-3x$ към частното
Умножете полинома $5x^2-x+2$ по $(-3x)$, получавайки:
$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$
Нека запишем резултата:
Сега извадете полинома $-15x^3+3x^2-6x$ от полинома $-15x^3+23x^2-2x+5$:
$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$
Нека добавим този полином под линията:
Това завършва третата стъпка. Полученият резултат може да бъде записан в разширена форма:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$
Тъй като степента на полинома $20x^2+4x+5$ (т.е. 2) е равна на степента на полинома $5x^2-x+2$ (т.е. 2), ние продължаваме процеса на деление. Да преминем към четвъртата стъпка.
Четвърта стъпка
Сега ще работим с полиномите $20x^2+4x+5$ и $5x^2-x+2$. По абсолютно същия начин, както в предишните стъпки, разделяме най-високия елемент от първия полином (т.е. $20x^2$) на най-високия елемент от втория полином (т.е. $5x^2$):
$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$
Полученото число $4$ е четвъртият елемент от частното. Нека добавим $4$ към частното
Умножете полинома $5x^2-x+2$ по $4$, получавайки:
$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$
Нека запишем резултата:
Сега извадете полинома $20x^2-4x+8$ от полинома $20x^2+4x+5$:
$$ 20x^2+4x+5-(20x^2-4x+8)=8x-3 $$
Ще добавим този полином под линията.
Използвайки това програма по математикаможете да разделите полиноми по колони.
Програмата за деление на многочлен на многочлен не просто дава отговор на задачата, тя дава подробно решениес обяснения, т.е. показва процеса на решаване за тестване на знания по математика и/или алгебра.
Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията средни училищав подготовка за тестовеи изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-бързо?домашна работа
по математика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения. По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или свое обучение.по-малки братя
или сестри, докато нивото на образование в областта на решаваните проблеми се повишава. Ако имате нужда илиопростете полином илиумножете полиноми
Например: 3x-1 Разделяне на полиноми
Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
JavaScript е деактивиран във вашия браузър.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.
защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу. моля изчакайте
сек... Ако виезабеляза грешка в решението
, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка. не забравяйтепосочете коя задача вие решавате какво.
въведете в полетата
Нашите игри, пъзели, емулатори:
Малко теория.
Разделяне на полином на полином (бином) чрез колона (ъгъл) По алгебраделение на полиноми с колона (ъгъл)
Алгоритъмът за деление на полином по полином е обобщена форма на колонно деление на числа, която може лесно да се приложи на ръка.
За всякакви полиноми \(f(x) \) и \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), има уникални полиноми \(q(x) \) и \(r( x ) \), така че
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
и \(r(x)\) има по-ниска степен от \(g(x)\).
Целта на алгоритъма за разделяне на полиноми в колона (ъгъл) е да намери частното \(q(x) \) и остатъка \(r(x) \) за даден дивидент \(f(x) \) и ненулев делител \(g(x) \)
Пример
Нека разделим един полином на друг полином (бином), използвайки колона (ъгъл):
\(\голям \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)
Коефициентът и остатъкът от тези полиноми могат да бъдат намерени чрез изпълнение на следните стъпки:
1. Разделете първия елемент на дивидента на най-големия елемент на делителя, поставете резултата под линията \((x^3/x = x^2)\)
|
3. Извадете полинома, получен след умножението, от делителя, запишете резултата под реда \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)
|
|
4. Повторете предишните 3 стъпки, като използвате полинома, написан под чертата, като дивидент.
|
|
5. Повторете стъпка 4.
|
|
6. Край на алгоритъма.
По този начин полиномът \(q(x)=x^2-9x-27\) е частното от делението на полиноми, а \(r(x)=-123\) е остатъкът от деленето на полиноми.
Резултатът от разделянето на полиноми може да се запише под формата на две равенства:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
или
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)