Интеграли на тригонометрични функции.
Примери за решения

В този урок ще разгледаме интеграли на тригонометрични функции, тоест запълването на интегралите ще бъде синуси, косинуси, тангенси и котангенси в различни комбинации. Всички примери ще бъдат анализирани подробно, достъпни и разбираеми дори за чайник.

За да изучавате успешно интеграли на тригонометрични функции, трябва да имате добро разбиране на най-простите интеграли, както и да овладеете някои техники за интегриране. Можете да се запознаете с тези материали в лекции Неопределен интеграл. Примери за решенияИ .

И сега имаме нужда от: Таблица на интегралите, Таблица с производниИ Справочник с тригонометрични формули. Всички учебни помагала можете да намерите на страницата Математически формули и таблици. Препоръчвам да отпечатате всичко. Особено се фокусирам върху тригонометричните формули, те трябва да са пред очите ви– без това ефективността на работа ще намалее значително.

Но първо, какво представляват интегралите в тази статия не. Няма интеграли от вида, - косинус, синус, умножен по някакъв многочлен (по-рядко нещо с тангенс или котангенс). Такива интеграли се интегрират по части и за да научите метода, посетете урока Интегриране по части. Примери за решения Тук също няма интеграли с "арки" - арктангенс, арксинус и т.н., те също най-често се интегрират по части.

При намиране на интеграли на тригонометрични функции се използват редица методи:

(4) Използваме табличната формула , единствената разлика е, че вместо „X“ имаме сложен израз.

Пример 2

Пример 3

Намерете неопределения интеграл.

Класика в жанра за тези, които се давят в състезанието. Както вероятно сте забелязали, в таблицата на интегралите няма интеграл от тангенс и котангенс, но въпреки това такива интеграли могат да бъдат намерени.

(1) Използваме тригонометричната формула

(2) Подвеждаме функцията под диференциален знак.

(3) Използваме табличния интеграл .

Пример 4

Намерете неопределения интеграл.

Това е пример за самостоятелно решение, пълното решение и отговор са в края на урока.

Пример 5

Намерете неопределения интеграл.

Градусите ни постепенно ще се повишават =).
Първо решението:

(1) Използваме формулата

(2) Използваме основното тригонометрично тъждество , от което следва, че .

(3) Разделете числителя на знаменателя термин по термин.

(4) Използваме свойството за линейност на неопределения интеграл.

(5) Интегрираме с помощта на таблицата.

Пример 6

Намерете неопределения интеграл.

Това е пример за самостоятелно решение, пълното решение и отговор са в края на урока.

Има и интеграли от тангенси и котангенси, които са на по-високи степени. В урока се разглежда интегралът на допирателната в куб Как да изчислим площта на плоска фигура?Интеграли на тангенс (котангенс) на четвърта и пета степен могат да бъдат получени на страницата Комплексни интеграли.

Намаляване на степента на интегранта

Тази техника работи, когато интегралните функции са пълни със синуси и косинуси дажестепени. За да намалите степента, използвайте тригонометрични формули , и , а последната формула често се използва в обратна посока: .

Пример 7

Намерете неопределения интеграл.

Решение:

По принцип тук няма нищо ново, освен че приложихме формулата (понижаване степента на интегранта). Моля, обърнете внимание, че съкратих решението. С натрупването на опит интегралът на може да се намери устно; В този случай е препоръчително да не описвате правилото , първо устно вземаме интеграла от 1, след това от .

Пример 8

Намерете неопределения интеграл.

Това е пример за самостоятелно решение, пълното решение и отговор са в края на урока.

Това е обещаното увеличение на степента:

Пример 9

Намерете неопределения интеграл.

Първо решението, след това коментарите:

(1) Подгответе интегранта за прилагане на формулата .

(2) Всъщност прилагаме формулата.

(3) Поставяме на квадрат знаменателя и изваждаме константата от знака за интеграл. Можеше да се направи малко по-различно, но според мен беше по-удобно.

(4) Използваме формулата

(5) В третия член отново намаляваме степента, но по формулата .

(6) Представяме подобни термини (тук разделих термин по термин и направи добавянето).

(7) Всъщност вземаме интеграла, правилото за линейност и методът за подреждане на функция под диференциалния знак се извършва устно.

(8) Разресване на отговора.

! В неопределен интеграл отговорът често може да бъде написан по няколко начина

В току-що разгледания пример крайният отговор можеше да бъде написан по различен начин - отваряне на скобите и дори правене на това преди интегрирането на израза, тоест следният завършек на примера е напълно приемлив:

Напълно възможно е тази опция да е още по-удобна, просто го обясних по начина, по който съм свикнал да го решавам сам). Ето още един типичен пример за независимо решение:

Пример 10

Намерете неопределения интеграл.

Този пример може да бъде решен по два начина и може да успеете два напълно различни отговора(по-точно ще изглеждат съвсем различно, но от математическа гледна точка ще са еквивалентни). Най-вероятно няма да видите най-рационалния метод и ще страдате от отварянето на скоби и използването на други тригонометрични формули. Най-ефективното решение е дадено в края на урока.

За да обобщим параграфа, заключаваме: всеки интеграл от формата , където и – дажечисла, се решава по метода на намаляване на степента на подинтегралната функция.
На практика се натъкнах на интеграли с 8 и 10 степени и трябваше да разреша ужасната им бъркотия, като намалих степента няколко пъти, което доведе до дълги, дълги отговори.

Метод за заместване на променливи

Както се споменава в статията Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл, основната предпоставка за използване на метода на заместване е фактът, че в интегранта има определена функция и нейната производна:
(функциите не са непременно в продукта)

Пример 11

Намерете неопределения интеграл.

Разглеждаме таблицата с производни и забелязваме формулите, , тоест в нашия интегранд има функция и нейната производна. Виждаме обаче, че по време на диференцирането косинус и синус взаимно се трансформират един в друг и възниква въпросът как да извършим промяна на променливата и какво разбираме под синус или косинус?! Въпросът може да бъде решен чрез научно бъркане: ако извършим замяната неправилно, нищо добро няма да излезе от това.

Обща насока: в подобни случаи трябва да посочите функцията, която е в знаменателя.

Прекъсваме решението и правим замяна

В знаменателя всичко е наред, всичко зависи само от , сега остава да разберем в какво ще се превърне.
За да направим това, намираме диференциала:

Или накратко:
От полученото равенство, използвайки правилото за пропорцията, изразяваме израза, от който се нуждаем:

Така че:

Сега целият ни интегранд зависи само от и можем да продължим да решаваме

Готови. Нека ви напомня, че целта на замяната е да се опрости подинтегралната функция, в този случай всичко се сведе до интегриране на степенната функция според таблицата.

Неслучайно описах този пример толкова подробно, това беше направено с цел повторение и затвърждаване на материала от урока Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл.

А сега два примера за вашето собствено решение:

Пример 12

Намерете неопределения интеграл.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл.

Пълни решения и отговори в края на урока.

Пример 14

Намерете неопределения интеграл.

Тук отново в подинтегралната функция има синус и косинус (функция с производна), но в произведение и възниква дилемата - какво разбираме под синус или косинус?

Можете да опитате да извършите замяна с помощта на научен удар и ако нищо не работи, тогава го определете като друга функция, но има:

Обща насока: трябва да посочите функцията, която, образно казано, е в „неудобно положение“.

Виждаме, че в този пример ученическият косинус „страда” от степента, а синусът стои свободно, сам по себе си.

Затова нека направим замяна:

Ако някой все още има затруднения с алгоритъма за замяна на променлива и намиране на диференциала, тогава трябва да се върнете към урока Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл.

Пример 15

Намерете неопределения интеграл.

Нека анализираме интегранта, какво трябва да се обозначи с ?
Нека си припомним нашите насоки:
1) Функцията най-вероятно е в знаменателя;
2) Функцията е в „неудобно положение“.

Между другото, тези указания са валидни не само за тригонометрични функции.

Синусът отговаря и на двата критерия (особено на втория), така че замяната се предполага сама. По принцип подмяната вече може да се извърши, но първо би било хубаво да разберете какво да правите? Първо „отщипваме“ един косинус:

Запазваме за нашия „бъдещ“ диференциал

И ние го изразяваме чрез синус, използвайки основната тригонометрична идентичност:

Ето го замяната:

Общо правило: Ако в подинтегралната функция присъства една от тригонометричните функции (синус или косинус). странностепен, тогава трябва да „отхапете“ една функция от нечетната степен и да посочите друга функция зад нея.Говорим само за интеграли, където има косинуси и синуси.

В разглеждания пример имахме косинус на нечетна степен, така че извадихме един косинус от степента и го обозначихме като синус.

Пример 16

Намерете неопределения интеграл.

Градусите излитат =).
Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Универсално тригонометрично заместване

Универсалното тригонометрично заместване е често срещан случай на метода на заместване на променливи. Можете да опитате да го използвате, когато „не знаете какво да правите“. Но всъщност има някои насоки за прилагането му. Типичните интеграли, при които трябва да се приложи универсалното тригонометрично заместване, са следните интеграли: , , , и т.н.

Пример 17

Намерете неопределения интеграл.

Универсалното тригонометрично заместване в този случай се осъществява по следния начин. Да заменим: . Аз не използвам буквата, а буквата, това не е някакво правило, просто отново съм свикнал да решавам нещата по този начин.

Тук е по-удобно да се намери диференциала за това, от равенството, изразявам:
Прикрепям арктангенс към двете части:

Арктангенс и тангенс взаимно се компенсират:

Така:

На практика не е нужно да го описвате толкова подробно, а просто използвайте готовия резултат:

! Изразът е валиден само ако под синусите и косинусите имаме просто „X“ за интеграла (за което ще говорим по-късно) всичко ще бъде малко по-различно!

При замяна синусите и косинусите се превръщат в следните дроби:
, , тези равенства се основават на добре известни тригонометрични формули: ,

И така, окончателният дизайн може да изглежда така:

Нека извършим универсално тригонометрично заместване:

Представени са основни тригонометрични формули и основни замествания. Очертани са методи за интегриране на тригонометрични функции - интегриране на рационални функции, произведение на степенни функции на sin x и cos x, произведение на полином, експоненциал и синус или косинус, интегриране на обратни тригонометрични функции. Засягат се нестандартни методи.

Съдържание

Стандартни методи за интегриране на тригонометрични функции

Общ подход

Първо, ако е необходимо, интегралната функция трябва да се трансформира, така че тригонометричните функции да зависят от един аргумент, който е същият като променливата за интегриране.

Например, ако интегралната функция зависи от грях(x+a)И cos(x+b), тогава трябва да извършите преобразуването:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + sin (x+a) sin (b-a).
След това направете замяната z = x+a.

В резултат на това тригонометричните функции ще зависят само от интеграционната променлива z. Когато тригонометричните функции зависят от един аргумент, който съвпада с променливата за интегриране (да кажем, че е z), т.е. интегралната функция се състои само от функции като, грях z, защото z, tg z ctg z
.
, тогава трябва да направите замяна

Такова заместване води до интегриране на рационални или ирационални функции (ако има корени) и позволява да се изчисли интегралът, ако е интегриран в елементарни функции.

Въпреки това, често можете да намерите други методи, които ви позволяват да оцените интеграла по по-кратък начин, въз основа на спецификата на интегранта. По-долу е представено обобщение на основните такива методи.

Методи за интегриране на рационални функции на sin x и cos x Рационални функции отИ грях х cos x Рационални функции от, грях хса функции, образувани от и всякакви константи, използващи операциите събиране, изваждане, умножение, деление и повишаване на цяло число. Те са обозначени както следва: R(sin x, cos x)
Интегралите на рационалните функции имат формата:
.

Методите за интегриране на рационални тригонометрични функции са както следва.
1) Заместването винаги води до интеграла на рационална дроб. В някои случаи обаче има замествания (те са представени по-долу), които водят до по-кратки изчисления.
2) Ако Р и всякакви константи, използващи операциите събиране, изваждане, умножение, деление и повишаване на цяло число. Те са обозначени както следва: R cos x → - cos x Рационални функции от.
3) Ако Р и всякакви константи, използващи операциите събиране, изваждане, умножение, деление и повишаване на цяло число. Те са обозначени както следва: Rумножено по -1 при замяна sin x → - sin x, тогава заместването t = грях х.
4) Ако R и всякакви константи, използващи операциите събиране, изваждане, умножение, деление и повишаване на цяло число. Те са обозначени както следва: Rне се променя както при едновременна подмяна cos x → - cos x, И sin x → - sin x, тогава заместването t = tg xили t = ctg x.

Примери:
, , .

Произведение на степенни функции на cos x и sin x

Интеграли на формата

са интеграли на рационални тригонометрични функции. Следователно методите, описани в предишния раздел, могат да бъдат приложени към тях. Методите, базирани на спецификата на такива интеграли, са разгледани по-долу.

Ако m и n са рационални числа, тогава едно от заместванията t = Рационални функции отили t = грях хинтегралът се редуцира до интеграла на диференциалния бином.

Ако m и n са цели числа, тогава интегрирането се извършва с помощта на формули за редукция:

;
;
;
.

Пример:
.

Интеграли от произведението на полином и синус или косинус

Интеграли от формата:
, ,
където P(x) е полином от x, се интегрират по части. Това дава следните формули:

;
.

Примери:
, .

Интеграли от произведението на полином, експоненциал и синус или косинус

Интеграли от формата:
, ,
където P(x) е полином от x, интегриран с помощта на формулата на Ойлер
e iax = cos брадва + isin брадва(където i 2 = - 1 ).
За да направите това, като използвате метода, описан в предишния параграф, изчислете интеграла
.
Чрез отделяне на реалната и имагинерната част от резултата се получават оригиналните интеграли.

Пример:
.

Нестандартни методи за интегриране на тригонометрични функции

По-долу са дадени редица нестандартни методи, които ви позволяват да изпълнявате или опростявате интегрирането на тригонометрични функции.

Зависимост от (a sin x + b cos x)

Ако подинтегралната функция зависи само от a sin x + b cos x, тогава е полезно да приложите формулата:
,
Къде .

например

Разлагане на дроби от синуси и косинуси на по-прости дроби

Разгледайте интеграла
.
Най-простият метод на интегриране е да се разложи фракцията на по-прости, като се използва трансформацията:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)

Интегриране на дроби от първа степен

При изчисляване на интеграла
,
удобно е да се изолира цялата част от дробта и производната на знаменателя
а 1 sin x + b 1 cos x =А (a sin x + b cos x) +б (a sin x + b cos x)' .
Константите A и B се намират чрез сравняване на лявата и дясната страна.

Използвана литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, “Лан”, 2003 г.

Вижте също:

Подробно са разгледани примери за решения на интеграли по части, чиято интегрална функция е произведение на полином с експоненциал (e на степен x) или със синус (sin x) или косинус (cos x).

Съдържание

Вижте също: Метод на интегриране по части
Таблица на неопределените интеграли
Методи за изчисляване на неопределени интеграли
Основни елементарни функции и техните свойства

Формула за интегриране по части

При решаване на примери в този раздел се използва формулата за интегриране по части:
;
.

Примери за интеграли, съдържащи произведението на полином и sin x, cos x или e x

Ето примери за такива интеграли:
, , .

За да се интегрират такива интеграли, полиномът се означава с u, а останалата част с v dx.

След това приложете формулата за интегриране по части.

По-долу е дадено подробно решение на тези примери.

Примери за решаване на интеграли

Пример с показател, e на степен x
.

Определете интеграла:
Нека въведем показателя под диференциалния знак:.

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Нека интегрираме по части.
.
тук
.
.
.
Интегрираме и останалия интеграл по части.
.

Накрая имаме:

Пример за определяне на интеграл със синус
.

Изчислете интеграла:

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Нека въведем синус под диференциалния знак: тук u = x 2 , v = cos(2 x+3) ( , du = )′ х 2

dx


Интегрираме и останалия интеграл по части. За да направите това, въведете косинуса под диференциалния знак. тук u = x, v =грях (2 x+3)

Интегрираме и останалия интеграл по части.

, du = dx

Пример за определяне на интеграл със синус
.

Пример за произведение на полином и косинус

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Нека въведем косинуса под диференциалния знак: тук u = x 2 + 3 x + 5 , v = cos(2 x+3) ( грях 2 х )′ х 2

x 2 + 3 x + 5

Ще има и задачи за самостоятелно решаване, на които можете да видите отговорите.

Интегралната функция може да се преобразува от произведението на тригонометричните функции в сумата

Нека разгледаме интеграли, в които подинтегралната функция е произведение на синуси и косинуси от първа степен на x, умножени по различни множители, тоест интеграли от вида

(2)
(3)
(4)
Използване на добре познати тригонометрични формули

(5)

(6)

всеки от продуктите в интеграли от формата (31) може да се трансформира в алгебрична сума и да се интегрира по формулитеПример 1.

Намерете

Решение. Съгласно формула (2) приПример 2. Намерете

интеграл на тригонометрична функция

Решение. Съгласно формула (3) приПример 2. Намерете

Пример 3. Решение. Съгласно формула (4) при

получаваме следната трансформация на интегранта:

Прилагайки формула (6), получаваме

Нека сега разгледаме интеграли на функции, които са произведение на степени на синус и косинус на един и същ аргумент, т.е.

(7)

В специални случаи един от индикаторите ( мили п) може да бъде нула.

При интегрирането на такива функции се използва четна степен на косинус може да се изрази чрез синус, а диференциалът на синус е равен на cos x dx(или дори степен на синус може да бъде изразена чрез косинус, а диференциалът на косинус е равен на - sin x dx ) .

Трябва да се разграничат два случая: 1) поне един от показателите мИ пстранно; 2) двата показателя са четни.

Нека се случи първият случай, а именно индикаторът п = 2к+ 1 - странно. Тогава, предвид това

Интеграндът е представен по такъв начин, че едната му част е функция само на синуса, а другата е диференциала на синуса. Сега се използва замяна на променливи t= грях хрешението се свежда до интегриране на полинома по отношение на t. Ако само степента ме странно, тогава те правят същото, изолирайки фактора sin х, изразяваща остатъка от интегранта по отношение на cos хи вярвайки t=cos х. Тази техника може да се използва и когато интегриране на частните степени на синус и косинус , Кога поне един от показателите е нечетен . Цялата работа е в това частното на степените на синус и косинус е частен случай на тяхното произведение : Когато тригонометрична функция е в знаменателя на интегранд, нейната степен е отрицателна. Но има и случаи на частични тригонометрични функции, когато техните степени са само четни. За тях - в следващия параграф.

Ако и двата показателя мИ п– дори тогава, използвайки тригонометрични формули

редуцират експонентите на синус и косинус, след което се получава интеграл от същия тип като горния. Следователно интегрирането трябва да продължи по същата схема. Ако един от четните експоненти е отрицателен, т.е. се взема предвид частното от четните степени на синус и косинус, тогава тази схема не е подходяща . След това се използва промяна на променлива в зависимост от това как интегралната функция може да бъде трансформирана. Такъв случай ще бъде разгледан в следващия параграф.

Пример 4.Пример 2. Намерете

Решение. Показателят по косинус е нечетен. Затова нека си представим

t= грях х(Тогава дт=cos х dx ). Тогава получаваме

Връщайки се към старата променлива, най-накрая намираме

Пример 5.Пример 2. Намерете

.

Решение. Косинус експонентата, както в предишния пример, е странна, но по-голяма. Нека си представим

и направете промяна на променливата t= грях х(Тогава дт=cos х dx ). Тогава получаваме

Нека отворим скобите

и получаваме

Връщайки се към старата променлива, получаваме решението

Пример 6.Пример 2. Намерете

Решение. Показателите на синус и косинус са четни. Следователно трансформираме функцията интегранд както следва:

Тогава получаваме

Във втория интеграл правим промяна на променлива, настройка t= грях2 х. Тогава (1/2)дт= cos2 х dx . следователно

Накрая получаваме

Използване на метода за заместване на променливи

Метод за заместване на променливипри интегриране на тригонометрични функции може да се използва в случаите, когато интеграндът съдържа само синус или само косинус, произведението на синус и косинус, в който или синус, или косинус е на първа степен, тангенс или котангенс, както и частното от четни степени на синус и косинус на един и същи аргумент. В този случай е възможно да се извършват пермутации не само грях х = tи грях х = t, но също и tg х = tи ctg х = t .

Пример 8.Пример 2. Намерете

.

Решение. Нека променим променливата: , тогава . Полученият интеграл може лесно да се интегрира с помощта на таблицата с интеграли:

.

Пример 9.Пример 2. Намерете

Решение. Нека трансформираме тангенса в съотношението на синус и косинус:

Нека променим променливата: , тогава . Полученият интегрант е табличен интегралсъс знак минус:

.

Връщайки се към оригиналната променлива, най-накрая получаваме:

.

Пример 10.Пример 2. Намерете

Решение. Нека променим променливата: , тогава .

Нека трансформираме интегранта, за да приложим тригонометричното тъждество :

Променяме променливата, като не забравяме да поставим знак минус пред интеграла (вижте по-горе, какво е равно на дт). След това факторизираме интегранта и интегрираме с помощта на таблицата:

Връщайки се към оригиналната променлива, най-накрая получаваме:

.

Намерете сами интеграла на тригонометрична функция и след това вижте решението

Универсално тригонометрично заместване

Универсално тригонометрично заместване може да се използва в случаите, когато интегралната функция не попада в случаите, разгледани в предходните параграфи. По принцип, когато синус или косинус (или и двете) е в знаменателя на дроб. Доказано е, че синус и косинус могат да бъдат заменени с друг израз, съдържащ тангенс на половината от първоначалния ъгъл, както следва:

Но имайте предвид, че универсалното тригонометрично заместване често включва доста сложни алгебрични трансформации, така че е най-добре да се използва, когато никой друг метод не работи. Нека разгледаме примери, при които заедно с универсалната тригонометрична замяна се използва замяна под диференциалния знак и метода на неопределените коефициенти.

Пример 12.Пример 2. Намерете

.

Решение. Решение. Да се ​​възползваме универсално тригонометрично заместване. Тогава
.

Умножаваме дробите в числителя и знаменателя по и изваждаме двете и ги поставяме пред знака за интеграл. Тогава

Таблица на първоизводните ("интеграли"). Таблица на интегралите. Таблични неопределени интеграли. (Най-прости интеграли и интеграли с параметър). Формули за интегриране по части. Формула на Нютон-Лайбниц.

Таблица на първоизводните ("интеграли").
Таблични неопределени интеграли.	Таблични неопределени интеграли.
(Най-прости интеграли и интеграли с параметър).
	Интеграл на степенна функция.
Интеграл, който се редуцира до интеграла на степенна функция, ако x е под знака на диференциала.	Интеграл от експонента, където a е постоянно число.
Интеграл на комплексна експоненциална функция.	Интеграл на експоненциална функция.
	Интеграл на експоненциална функция.
Интеграл, равен на натурален логаритъм.	Интеграл: "Дълъг логаритъм".
Интеграл, равен на натурален логаритъм.
Интеграл: "Голям логаритъм".	Интеграл, където x в числителя е поставен под диференциалния знак (константата под знака може да бъде добавена или извадена), в крайна сметка е подобен на интеграл, равен на натурален логаритъм.
Косинус интеграл.	Синус интеграл.
Интеграл, равен на тангенса.
Интеграл, равен на котангенс.	Интеграл, равен както на аркусинус, така и на аркосинус
Интеграл, равен както на аркусинус, така и на аркосинус.	Интеграл, равен както на арктангенс, така и на арккотангенс.
Интеграл, равен на косеканс.	Интеграл, равен на секанс.
Интеграл, равен на косеканс.	Интеграл, равен на косеканс.
Интеграл, равен на арсеканс.	Интеграл, равен на аркосеканс.
Интеграл, равен на хиперболичния синус.	Интеграл, равен на хиперболичен косинус.
Интеграл, равен на хиперболичния синус, където sinhx е хиперболичният синус в английската версия.	Интеграл, равен на хиперболичния косинус, където sinhx е хиперболичният синус в английската версия.
Интеграл, равен на хиперболичния тангенс.	Интеграл, равен на хиперболичния котангенс.

Интеграл, равен на хиперболичния секанс.

Интеграл, равен на хиперболичния косеканс.
Формули за интегриране по части. Правила за интегриране.
Формули за интегриране по части. Формула на Нютон-Лайбниц.
Интегриране на продукт (функция) чрез константа:
Интегриране на сумата от функции: неопределени интеграли:
Формула за интегриране по части неопределени интеграли:	определени интеграли:

Формула на Нютон-Лайбниц

Където F(a),F(b) са стойностите на антипроизводните съответно в точки b и a.

Таблица на производните. Таблични производни."table derivative" - ​​​​да, за съжаление, точно така се търсят в интернет
	Производна на степенна функция
	Производна на показателя
Производна на комплексна експоненциална функция	Производна на експоненциална функция
Производна на логаритмична функция	Производна на натурален логаритъм
	Производна на натурален логаритъм на функция
Производна на синус	Производна на косинус
Производна на косеканс	Производна на секанс
Производна на арксинус	Производна на аркосинус
Производна на арксинус	Производна на аркосинус
Тангенсна производна	Производна на котангенс
Производна на арктангенса	Производна на аркотангенс
Производна на арктангенса	Производна на аркотангенс
Производна на арсеканс	Производна на аркосеканс
Производна на арсеканс	Производна на аркосеканс
Производна на хиперболичния синус Производна на хиперболичния синус в английската версия	Производна на хиперболичен косинус Производна на хиперболичен косинус в английската версия
Производна на хиперболичен тангенс	Производна на хиперболичен котангенс
Производна на хиперболичния секанс	Производна на хиперболичния косеканс

Правила за диференциране. Производно на продукта. Производна на частното.
Производна на сложна функция.
Производна на продукт (функция) по константа:
Производна на сумата (функции):
Производна на продукта (функции):
Производна на частното (на функции):

Производна на сложна функция:

Свойства на логаритмите. Основни формули за логаритми. Десетични (lg) и естествени логаритми (ln).
Основно логаритмично тъждество
Нека покажем как всяка функция от формата a b може да бъде направена експоненциална. Тъй като функция от вида e x се нарича експоненциална, тогава

Всяка функция от формата a b може да бъде представена като степен на десет

Натурален логаритъм ln (логаритъм при основа e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Серия Тейлър. Разширение в ред на Тейлър на функция. Оказва се, че мнозинствотопрактически се срещат

математическите функции могат да бъдат представени с всякаква точност в близост до определена точка под формата на степенни редове, съдържащи степени на променлива в нарастващ ред. Например в близост до точката x=1: При използване на серия т.нарРедовете на Тейлър,

смесените функции, съдържащи, да речем, алгебрични, тригонометрични и експоненциални функции, могат да бъдат изразени като чисто алгебрични функции. Използвайки серии, често можете бързо да извършите диференциране и интегриране.

1) , където f(x) е функция, която има производни от всички порядъци при x = a. R n - остатъчният член в реда на Тейлър се определя от израза

2)

K-тият коефициент (при x k) на серията се определя по формулата

3) Специален случай на серията Taylor е серията Maclaurin (=McLaren). (разширяването става около точката a=0)

при a=0

членовете на серията се определят по формулата

Условия за използване на серия Тейлър.

1. За да може функцията f(x) да бъде разширена в серия на Тейлър на интервала (-R;R), е необходимо и достатъчно остатъчният член във формулата на Тейлър (Маклаурин (=Макларън)) за това функция клони към нула при k →∞ на посочения интервал (-R;R).

2. Необходимо е да има производни на дадена функция в точката, в близост до която ще построим редицата на Тейлър.

Свойства на редовете на Тейлър.

Ако f е аналитична функция, тогава нейният ред на Тейлър във всяка точка a в областта на дефиниция на f се събира към f в някаква околност на a.

Има безкрайно диференцируеми функции, чийто ред на Тейлър се събира, но в същото време се различава от функцията във всяка околност на a. Например:

Сериите на Тейлър се използват за апроксимация (апроксимацията е научен метод, който се състои в замяна на някои обекти с други, в един или друг смисъл близки до оригиналните, но по-прости) на функция чрез полиноми. По-специално, линеаризация ((от linearis - линеен), един от методите за приблизително представяне на затворени нелинейни системи, при който изследването на нелинейна система се заменя с анализ на линейна система, в известен смисъл еквивалентна на оригиналната .) уравненията се получават чрез разширяване в серия на Тейлър и прекъсване на всички членове над първи ред.

Така почти всяка функция може да бъде представена като полином с дадена точност.

Примери за някои често срещани разширения на степенни функции в редове на Маклорен (= Макларън, Тейлър в близост до точка 0) и Тейлър в близост до точка 1. Първите членове на разширения на основните функции в редове на Тейлър и Макларън.

Примери за някои често срещани разширения на степенни функции в редица на Maclaurin (=McLaren, Taylor в близост до точка 0)

Примери за някои често срещани разширения в ред на Тейлър в близост до точка 1