Как да сравняваме числа с еднакви степени. Преобразуване на изрази с корени и степени

Първо ниво

Сравнение на числата. Изчерпателно ръководство (2019)

Когато решавате уравнения и неравенства, както и задачи с модули, трябва да поставите намерените корени на числовата линия. Както знаете, намерените корени може да са различни. Те могат да бъдат така: , или могат да бъдат така: , .

Съответно, ако числата не са рационални, а ирационални (ако сте забравили какви са, вижте в темата), или са комплексни математически изрази, тогава поставянето им на числовата ос е много проблематично. Освен това не можете да използвате калкулатори по време на изпита, а приблизителните изчисления не дават 100% гаранция, че едно число е по-малко от друго (ами ако има разлика между сравняваните числа?).

Разбира се, вие знаете, че положителните числа винаги са по-големи от отрицателните и че ако си представим числова ос, тогава когато сравняваме, най-големи числаще бъдат разположени вдясно от най-малките: ; ; и т.н.

Но винаги ли всичко е толкова лесно? Където на числовата ос отбелязваме, .

Как могат да бъдат сравнени например с число? Това е проблемът...)

Първо, нека поговорим общ контуркак и какво да сравнявам.

Важно: препоръчително е да правите трансформации така, че знакът за неравенство да не се променя!Тоест, по време на трансформации е нежелателно да се умножава по отрицателно число, И забранено еквадрат, ако една от частите е отрицателна.

Сравнение на дроби

И така, трябва да сравним две дроби: и.

Има няколко варианта как да направите това.

Вариант 1. Приведете дробите към общ знаменател.

Нека го запишем под формата на обикновена дроб:

- (както виждате, също намалих числителя и знаменателя).

Сега трябва да сравним дроби:

Сега можем да продължим да сравняваме по два начина. Ние можем:

  1. просто донесете всичко общ знаменател, представяйки и двете дроби като неправилни (числителят е по-голям от знаменателя):

    Кое число е по-голямо? Точно така, този с по-голям числител, тоест първият.

  2. „да изхвърлим“ (помислете, че сме извадили по едно от всяка фракция и съотношението на фракциите една към друга съответно не се е променило) и сравнете фракциите:

    Ние също ги привеждаме към общ знаменател:

    Получихме абсолютно същия резултат като в предишния случай - първото число е по-голямо от второто:

    Да проверим дали сме извадили правилно единица? Нека изчислим разликата в числителя при първото изчисление и второто:
    1)
    2)

И така, разгледахме как да сравняваме дроби, привеждайки ги към общ знаменател. Нека да преминем към друг метод - сравняване на дроби, привеждането им към общ... числител.

Вариант 2. Сравняване на дроби чрез привеждане към общ числител.

Да да. Това не е правописна грешка. Този метод рядко се преподава на някого в училище, но много често е много удобен. За да разберете бързо същността му, ще ви задам само един въпрос - „в кои случаи стойността на една дроб е най-голяма?“ Разбира се, ще кажете „когато числителят е възможно най-голям, а знаменателят възможно най-малък“.

Например, можете със сигурност да кажете, че е вярно? Ами ако трябва да сравним следните дроби: ? Мисля, че веднага ще поставите знака правилно, защото в първия случай те са разделени на части, а във втория на цели, което означава, че във втория случай парчетата се оказват много малки и съответно: . Както можете да видите, знаменателите тук са различни, но числителите са едни и същи. Въпреки това, за да сравните тези две дроби, не е нужно да търсите общ знаменател. Въпреки че... намерете го и вижте дали знакът за сравнение все още е грешен?

Но знакът е същият.

Да се ​​върнем към първоначалната ни задача - да сравним и... Ще сравним и... Нека сведем тези дроби не до общ знаменател, а до общ числител. За да направите това просто числител и знаменателумножете първата дроб по. Получаваме:

И. Коя част е по-голяма? Точно така, първият.

Вариант 3: Сравняване на дроби чрез изваждане.

Как да сравняваме дроби с помощта на изваждане? Да, много просто. Изваждаме друга от една дроб. Ако резултатът е положителен, тогава първата дроб (minuend) е по-голяма от втората (subtrahend), а ако е отрицателен, тогава обратното.

В нашия случай нека се опитаме да извадим първата дроб от втората: .

Както вече разбирате, ние също преобразуваме в обикновена дроб и получаваме същия резултат - . Нашият израз приема формата:

След това пак ще трябва да прибегнем до привеждане до общ знаменател. Въпросът е: по първия начин, преобразуване на дроби в неправилни, или по втория начин, сякаш „премахване“ на единицата? Между другото, това действие има напълно математическа обосновка. Виж:

Вторият вариант ми харесва повече, тъй като умножаването в числителя, когато се редуцира до общ знаменател, става много по-лесно.

Нека го приведем към общ знаменател:

Основното тук е да не се объркваме от кое число сме извадили и къде. Внимателно погледнете напредъка на решението и не случайно объркайте знаците. Извадихме първото число от второто число и получихме отрицателен отговор, така че?.. Точно така, първото число е по-голямо от второто.

Схванах го? Опитайте да сравните дроби:

Спрете, спрете. Не бързайте да довеждате до общ знаменател или да изваждате. Вижте: можете лесно да го преобразувате в десетична дроб. Колко дълго ще бъде? вярно Какво повече в крайна сметка?

Това е друг вариант - сравняване на дроби чрез преобразуване в десетичен знак.

Вариант 4: Сравняване на дроби чрез деление.

Да да. И това също е възможно. Логиката е проста: когато разделим по-голям бройза по-малко, отговорът, който получаваме, е числото повече от един, и ако разделим по-малък бройза повече, тогава отговорът попада в интервала от до.

За да запомните това правило, сравнете произволни две прости числа, например, и. Знаете ли какво има повече? Сега нека разделим на. Нашият отговор е. Съответно теорията е вярна. Ако разделим на, това, което получаваме, е по-малко от едно, което от своя страна потвърждава, че всъщност е по-малко.

Нека се опитаме да приложим това правило към обикновени дроби. Да сравним:

Разделете първата дроб на втората:

Нека съкращаваме постепенно.

Полученият резултат е по-малък, което означава дивидент по-малко от делителя, това е:

Подредихме всичко възможни вариантисравняване на дроби. Как ги виждате 5:

  • привеждане към общ знаменател;
  • свеждане до общ числител;
  • свеждане до формата на десетична дроб;
  • изваждане;
  • разделение.

Готови ли сте да тренирате? Сравнете дробите по оптималния начин:

Нека сравним отговорите:

  1. (- конвертиране в десетична)
  2. (разделете една дроб на друга и намалете с числител и знаменател)
  3. (изберете цялата част и сравнете дроби на принципа на същия числител)
  4. (разделете една дроб на друга и намалете с числител и знаменател).

2. Сравнение на степени

Сега си представете, че трябва да сравним не само числа, но и изрази, където има степен ().

Разбира се, можете лесно да поставите знак:

В крайна сметка, ако заменим степента с умножение, получаваме:

От този малък и примитивен пример следва правилото:

Сега опитайте да сравните следното: . Можете също така лесно да поставите знак:

Защото ако заменим степенуването с умножение...

Като цяло разбирате всичко и изобщо не е трудно.

Трудности възникват само когато при сравнение степените имат различни бази и показатели. В този случай трябва да се опитате да доведете до общо основание. Например:

Разбира се, знаете, че това, съответно, изразът приема формата:

Нека отворим скобите и да сравним какво получаваме:

някои специален случай, когато основата на степента () е по-малка от единица.

Ако, тогава от две степени и по-голямата е тази, чийто индекс е по-малък.

Нека се опитаме да докажем това правило. Нека бъде.

Нека въведем някакво естествено число като разлика между и.

Логично, нали?

А сега нека отново обърнем внимание на условието - .

Съответно: . Следователно, .

Например:

Както разбирате, разгледахме случая, когато основите на степените са равни. Сега нека видим кога основата е в интервала от до, но показателите са равни. Тук всичко е много просто.

Нека си припомним как да сравним това с пример:

Разбира се, направихте сметката бързо:

Ето защо, когато срещнете подобни задачи за сравнение, имайте предвид някой прост подобен пример, който можете бързо да изчислите, и въз основа на този пример поставете знаци в по-сложен.

Когато извършвате трансформации, не забравяйте, че ако умножавате, добавяте, изваждате или разделяте, тогава всички действия трябва да се извършват както с лявата, така и с дясната страна (ако умножавате по, тогава трябва да умножите и двете).

Освен това има случаи, когато е просто неизгодно да се правят каквито и да било манипулации. Например, трябва да сравните. IN в такъв случай, не е толкова трудно да се повдигне на степен и да се подреди знакът въз основа на това:

Да се ​​упражняваме. Сравнете степени:

Готови ли сте да сравните отговорите? Ето какво получих:

  1. - същото като
  2. - същото като
  3. - същото като
  4. - същото като

3. Сравняване на числа с корени

Първо, нека си спомним какво представляват корените? Помните ли този запис?

Коренът на степен на реално число е число, за което е валидно равенството.

корениот нечетна степен съществуват за отрицателни и положителни числа, А дори корени- само за положителни.

Стойността на корена често е безкрайна десетичен знак, което затруднява точното изчисляване, така че е важно да можете да сравнявате корени.

Ако сте забравили какво е и с какво се яде - . Ако си спомняте всичко, нека се научим да сравняваме корените стъпка по стъпка.

Да кажем, че трябва да сравним:

За да сравните тези два корена, не е нужно да правите никакви изчисления, просто анализирайте самата концепция за „корен“. Разбирате ли за какво говоря? Да, за това: иначе може да се запише като трета степен на някакво число, равно на радикалния израз.

Какво още? или? Разбира се, можете да сравните това без никакви затруднения. Колкото по-голямо е числото, което повдигаме на степен, толкова по-голяма ще бъде стойността.

Така. Нека изведем правило.

Ако показателите на корените са еднакви (в нашия случай това е), тогава е необходимо да се сравнят радикалните изрази (и) - колкото по-голямо е радикалното число, толкова повече стойносткорени с равни скорости.

Трудно за запомняне? Тогава просто запазете пример в главата си и... Това повече?

Показателите на корените са еднакви, тъй като коренът е квадратен. Коренното изражение на едно число () е по-голямо от друго (), което означава, че правилото наистина е вярно.

Ами ако радикалните изрази са еднакви, но степените на корените са различни? Например: .

Също така е съвсем ясно, че при извличане на корен в по-голяма степенще получите по-малко число. Да вземем за пример:

Нека обозначим стойността на първия корен като, а вторият - като, тогава:

Лесно можете да видите, че трябва да има повече в тези уравнения, следователно:

Ако радикалните изрази са еднакви(в нашия случай), и показателите на корените са различни(в нашия случай това е и), тогава е необходимо да се сравнят показателите(И) - колкото по-висок е индикаторът, толкова по-малко този израз .

Опитайте се да сравните следните корени:

Да сравним резултатите?

Решихме това успешно :). Възниква друг въпрос: ами ако всички сме различни? И степен, и радикален израз? Не всичко е толкова сложно, просто трябва... да се „отървем“ от корена. Да да. Просто се отървете от него)

Ако имаме различни степени и радикални изрази, трябва да намерим най-малкото общо кратно (прочетете раздела за) за показателите на корените и да повдигнем двата израза на степен, равна на най-малкото общо кратно.

Че всички сме в думи и думи. Ето един пример:

  1. Разглеждаме индикаторите на корените - и. Тяхното най-малко общо кратно е .
  2. Нека повдигнем двата израза на степен:
  3. Нека трансформираме израза и отворим скобите (повече подробности в главата):
  4. Да преброим какво сме направили и да поставим знак:

4. Сравнение на логаритми

И така, бавно, но сигурно стигнахме до въпроса как да сравняваме логаритми. Ако не си спомняте какво е това животно, съветвам ви първо да прочетете теорията от раздела. чел ли си го След това отговорете на няколко важни въпроса:

  1. Какъв е аргументът на логаритъм и каква е неговата основа?
  2. Какво определя дали една функция нараства или намалява?

Ако помните всичко и сте го усвоили перфектно, нека започваме!

За да сравнявате логаритмите един с друг, трябва да знаете само 3 техники:

  • намаляване на същата база;
  • свеждане до същия аргумент;
  • сравнение с третото число.

Първоначално обърнете внимание на основата на логаритъма. Нали се сещате, че ако е по-малко, тогава функцията намалява, а ако е повече, тогава се увеличава. На това ще се базират нашите преценки.

Нека разгледаме сравнение на логаритми, които вече са били редуцирани до една и съща основа или аргумент.

Като начало, нека опростим проблема: нека сравним логаритмите равни основания . Тогава:

  1. Функцията, за, нараства на интервала от, което означава, по дефиниция, тогава („директно сравнение“).
  2. Пример:- основанията са същите, сравняваме аргументите съответно: , следователно:
  3. Функцията for намалява на интервала от, което означава, по дефиниция, тогава („обратно сравнение“). - основите са еднакви, съответно сравняваме аргументите: , но знакът на логаритмите ще бъде „обратен“, тъй като функцията намалява: .

Сега разгледайте случаите, когато причините са различни, но аргументите са едни и същи.

  1. Основата е по-голяма.
    • . В този случай използваме „обратно сравнение“. Например: - аргументите са еднакви и. Нека сравним основите: обаче знакът на логаритмите ще бъде „обратен“:
  2. Основата a е в празнината.
    • . В този случай използваме „директно сравнение“. Например:
    • . В този случай използваме „обратно сравнение“. Например:

Нека запишем всичко в обща таблична форма:

, при което , при което

Съответно, както вече разбрахте, когато сравняваме логаритми, трябва да стигнем до една и съща основа, или аргумент Ние стигаме до една и съща база, използвайки формулата за преминаване от една база към друга.

Можете също така да сравните логаритмите с третото число и въз основа на това да направите заключение кое е по-малко и кое е повече. Например, помислете как да сравните тези два логаритма?

Малка подсказка - за сравнение ще ви помогне много логаритъм, чийто аргумент ще бъде равен.

Мисъл? Нека решим заедно.

Можем лесно да сравним тези два логаритъма с вас:

не знам как? Виж по-горе. Току що решихме това. Какъв знак ще има? дясно:

Съгласен?

Нека да сравним един с друг:

Трябва да получите следното:

Сега комбинирайте всички наши заключения в едно. Се случи?

5. Сравнение на тригонометрични изрази.

Какво е синус, косинус, тангенс, котангенс? За какво служи единичната окръжност и как да намерим стойността върху нея тригонометрични функции? Ако не знаете отговорите на тези въпроси, горещо ви препоръчвам да прочетете теорията по тази тема. И ако знаете, тогава сравняването на тригонометрични изрази помежду си не е трудно за вас!

Нека си освежим малко паметта. Нека начертаем единична тригонометрична окръжност и вписан в нея триъгълник. успяхте ли Сега отбележете от коя страна нанасяме косинуса и от коя синуса, използвайки страните на триъгълника. (вие, разбира се, помните, че синусът е съотношението противоположната странакъм хипотенузата и косинуса на съседната?). Ти ли го нарисува? Страхотен! Последният щрих е да напишем къде ще го имаме, къде и т.н. Ти остави ли го? Пфу) Нека сравним какво се случи с теб и мен.

уф! Сега нека започнем да сравняваме!

Да кажем, че трябва да сравним и. Начертайте тези ъгли, като използвате подсказките в рамките (където сме отбелязали къде), поставяйки точки единична окръжност. успяхте ли Ето какво имам.

Сега нека спуснем перпендикуляр от точките, които маркирахме върху окръжността, върху оста... Кой? Коя ос показва стойността на синусите? Правилно, . Ето какво трябва да получите:

Гледайки тази снимка, кое е по-голямо: или? Разбира се, защото точката е над точката.

По подобен начин сравняваме стойността на косинусите. Спускаме само перпендикуляра върху оста... Точно така, . Съответно, гледаме коя точка е вдясно (или по-висока, както в случая със синусите), тогава стойността е по-голяма.

Вероятно вече знаете как да сравнявате допирателните, нали? Всичко, което трябва да знаете, е какво е тангенс. И така, какво е тангенс?) Точно така, отношението на синус към косинус.

За да сравним допирателните, начертаваме ъгъл по същия начин, както в предишния случай. Да кажем, че трябва да сравним:

Ти ли го нарисува? Сега също маркираме стойностите на синуса координатна ос. Забеляза ли? Сега посочете стойностите на косинуса върху координатната линия. Се случи? Да сравним:

Сега анализирай какво си написал. - Ние дълъг сегментразделете на малко. Отговорът ще съдържа стойност, която определено е по-голяма от единица. нали

И когато разделим малкото на голямото. Отговорът ще бъде число, което е точно по-малко от едно.

И така, какъв е смисълът тригонометричен изразПовече ▼?

дясно:

Както вече разбирате, сравняването на котангенси е едно и също нещо, само че в обратен ред: ние разглеждаме как сегментите, които определят косинус и синус, се отнасят един към друг.

Опитайте сами да сравните следните тригонометрични изрази:

Примери.

Отговори.

СРАВНЕНИЕ НА ЧИСЛАТА. СРЕДНО НИВО.

Кое число е по-голямо: или? Отговорът е очевиден. А сега: или? Вече не е толкова очевидно, нали? И така: или?

Често трябва да знаете кой числов израз е по-голям. Например, за да поставите точките на оста в правилния ред при решаване на неравенство.

Сега ще ви науча как да сравнявате такива числа.

Ако трябва да сравните числа и, ние поставяме знак между тях (идва от латинска думаСрещу или съкратено vs. - против): . Този знак замества неизвестния знак за неравенство (). След това ще извършим идентични трансформации, докато не стане ясно кой знак трябва да бъде поставен между числата.

Същността на сравняването на числа е следната: ние се отнасяме към знака като към някакъв знак за неравенство. И с израза можем да направим всичко, което обикновено правим с неравенствата:

  • добавете произволно число към двете страни (и, разбира се, можем да извадим също)
  • „преместете всичко на една страна“, тоест извадете един от сравняваните изрази от двете части. На мястото на извадения израз ще остане: .
  • умножете или разделете на едно и също число. Ако това число е отрицателно, знакът за неравенство се обръща: .
  • повдигнете двете страни на еднаква степен. Ако тази степен е четна, трябва да се уверите, че и двете страни имат същия знак; ако и двете части са положителни, знакът не се променя, когато се повдигне на степен, но ако са отрицателни, тогава се променя на противоположния.
  • извлечете корен от една и съща степен от двете части. Ако извличаме корен от четна степен, първо трябва да се уверим, че и двата израза са неотрицателни.
  • всякакви други еквивалентни трансформации.

Важно: препоръчително е да правите трансформации така, че знакът за неравенство да не се променя! Тоест, по време на трансформации е нежелателно да се умножава по отрицателно число и не можете да го поставите на квадрат, ако една от частите е отрицателна.

Нека да разгледаме няколко типични ситуации.

1. Степенуване.

Пример.

Кое е повече: или?

Решение.

Тъй като и двете страни на неравенството са положителни, можем да го повдигнем на квадрат, за да се отървем от корена:

Пример.

Кое е повече: или?

Решение.

Тук също можем да го повдигнем на квадрат, но това само ще ни помогне да се отървем от корен квадратен. Тук е необходимо да се повиши до такава степен, че и двата корена да изчезнат. Това означава, че показателят на тази степен трябва да се дели на двете (степен на първия корен) и на. Следователно това число се повдига на степен th:

2. Умножение с неговия спрегнат.

Пример.

Кое е повече: или?

Решение.

Нека умножим и разделим всяка разлика на спрегнатата сума:

Очевидно знаменателят от дясната страна е по-голям от знаменателя отляво. Следователно дясната дроб е по-малка от лявата:

3. Изваждане

Нека помним това.

Пример.

Кое е повече: или?

Решение.

Разбира се, можем да изравним всичко, да прегрупираме и да го изравним отново. Но можете да направите нещо по-умно:

Може да се види, че от лявата страна всеки член е по-малък от всеки член от дясната страна.

Съответно сумата от всички членове от лявата страна е по-малка от сумата от всички членове от дясната страна.

Но внимавай! Попитаха ни какво повече...

Дясната страна е по-голяма.

Пример.

Сравнете числата и...

Решение.

Нека си припомним тригонометричните формули:

Да проверим на кои четвърти тригонометричен кръгима точки и.

4. Разделяне.

Тук също използваме просто правило: .

При или, т.е.

При смяна на знака: .

Пример.

Сравнете: .

Решение.

5. Сравнете числата с третото число

Ако и, тогава (закон за преходност).

Пример.

Сравнете.

Решение.

Нека да сравним числата не едно с друго, а с числото.

Това е очевидно.

От друга страна, .

Пример.

Кое е повече: или?

Решение.

И двете числа са по-големи, но по-малки. Нека изберем число, така че да е по-голямо от едното, но по-малко от другото. Например, . Да проверим:

6. Какво да правим с логаритмите?

Нищо специално. Как да се отървете от логаритмите е описано подробно в темата. Основните правила са:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \клин (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \клин y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Можем също да добавим правило за логаритмите с по различни причинии същия аргумент:

Това може да се обясни по следния начин: колкото по-голяма е базата, толкова по-малка степен ще трябва да се повиши, за да се получи същото. Ако основата е по-малка, тогава е вярно обратното, тъй като съответната функция е монотонно намаляваща.

Пример.

Сравнете числата: и.

Решение.

Съгласно горните правила:

А сега формулата за напреднали.

Правилото за сравняване на логаритми може да бъде написано по-кратко:

Пример.

Кое е повече: или?

Решение.

Пример.

Сравнете кое число е по-голямо: .

Решение.

СРАВНЕНИЕ НА ЧИСЛАТА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

1. Степенуване

Ако и двете страни на неравенството са положителни, те могат да бъдат повдигнати на квадрат, за да се отървем от корена

2. Умножение с конюгат

Конюгатът е фактор, който допълва израза към формулата за разликата на квадратите: - спрегнат за и обратно, т.к. .

3. Изваждане

4. Разделяне

Кога или това е

Когато знакът се промени:

5. Сравнение с третото число

Ако и тогава

6. Сравнение на логаритми

Основни правила.

Изрази, преобразуване на изрази

Степенен израз (изрази със степен) и тяхното преобразуване

В тази статия ще говорим за преобразуване на изрази със степени. Първо, ще се съсредоточим върху трансформациите, които се извършват с изрази от всякакъв вид, включително мощни изрази, като отваряне на скоби и въвеждане на подобни термини. И тогава ще анализираме трансформациите, присъщи конкретно на изразите със степени: работа с основата и показателя, използване на свойствата на степените и т.н.

Навигация в страницата.

Какво представляват изразите на властта?

Терминът „силови изрази” почти никога не се използва училищни учебнициматематика, но се появява доста често в сборниците със задачи, особено тези, предназначени за подготовка за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит, например. След анализ на задачите, в които е необходимо да се извършват каквито и да било действия със степенни изрази, става ясно, че степенните изрази се разбират като изрази, съдържащи мощности в своите записи. Следователно можете да приемете следното определение за себе си:

Определение.

Силови изразиса изрази, съдържащи степени.

Да дадем примери за степенни изрази. Нещо повече, ние ще ги представим според това как става развитието на възгледите от степен на степен. естествен показателна степен с реален показател.

Както е известно, на този етап първо се запознават със степента на число с естествен показател, първите най-прости степенни изрази от вида 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1); 4, 3 a 2 се появяват −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.н.

Малко по-късно се изучава степента на число с цяло число, което води до появата на степенни изрази с цели числа отрицателни сили, като следното: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 +c 2 .

В гимназията се връщат към степени. Там се въвежда степента рационален показател, което води до появата на съответните степенни изрази: , , и така нататък. Накрая се разглеждат степени с ирационални показатели и изрази, които ги съдържат: , .

Въпросът не се ограничава до изброените степенни изрази: по-нататък променливата прониква в експонента и например възникват следните изрази: 2 x 2 +1 или . И след като се запознаем с , започват да се появяват изрази със степени и логаритми, например x 2·lgx −5·x lgx.

И така, ние се справихме с въпроса какво представляват изразите на мощност. След това ще се научим да ги трансформираме.

Основни типове преобразувания на степенни изрази

С мощни изрази можете да направите всяко от основните трансформации на идентичност на изрази. Например, можете да разширите скобите, да замените числови изразитехните значения, дайте подобни условияи т.н. Естествено е необходимо да се спазват приетите ред на действията. Да дадем примери.

Пример.

Изчислете стойността на степенния израз 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според реда на изпълнение на действията първо изпълнете действията в скоби. Там, първо, заместваме степента 4 2 с нейната стойност 16 (ако е необходимо, вижте), и второ, изчисляваме разликата 16−12=4. Ние имаме 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В получения израз заместваме степента 2 3 с нейната стойност 8, след което изчисляваме произведението 8·4=32. Това е желаната стойност.

Така, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Отговор:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Пример.

Опростете изрази със степени 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очевидно този израз съдържа подобни условия 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 , и можем да им дадем: .

Отговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз със степени като произведение.

Решение.

Можете да се справите със задачата, като представите числото 9 като степен на 3 2 и след това използвате формули за съкратено умножениеразлика на квадратите:

Отговор:

Има и редица трансформации на идентичността, присъщи конкретно на силовите изрази. Ще ги анализираме допълнително.

Работа с основа и степен

Има степени, чиято основа и/или степен не са просто числа или променливи, а някои изрази. Като пример даваме записите (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Когато работите с подобни изрази, можете да замените както израза в основата на степента, така и израза в степента идентично равно изражениеНа ОДЗнеговите променливи. С други думи, според известните ни правила, можем отделно да трансформираме основата на степента и отделно експонентата. Ясно е, че в резултат на тази трансформация ще се получи израз, който е идентично равен на първоначалния.

Такива трансформации ни позволяват да опростим изрази със способности или да постигнем други цели, от които се нуждаем. Например в израза на степен, споменат по-горе (2+0,3 7) 5−3,7, можете да извършвате операции с числата в основата и степента, което ще ви позволи да преминете към степен 4,1 1,3. И след отваряне на скобите и привеждане на подобни членове към основата на степента (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) получаваме степенен израз повече прост тип a 2·(x+1) .

Използване на свойства на степен

Един от основните инструменти за трансформиране на изрази със степени са равенствата, които отразяват . Нека си припомним основните. За всякакви положителни числа a и b и произволни реални числа r и s са валидни следните свойства на степените:

  • a r ·a s =a r+s ;
  • a r:a s =a r−s ;
  • (a·b) r =a r ·b r ;
  • (a:b) r =a r:b r ;
  • (a r) s =a r·s .

Обърнете внимание, че за natural, integer и също положителни показателистепените на ограничение на числата a и b може да не са толкова строги. Например за естествени числа m и n равенството a m ·a n =a m+n е вярно не само за положително a, но и за отрицателно a, и за a=0.

В училище основният фокус при трансформиране на изрази на мощност е върху способността да се избере подходящото свойство и да се приложи правилно. В този случай основите на степените обикновено са положителни, което позволява свойствата на степените да се използват без ограничения. Същото важи и за преобразуването на изрази, съдържащи променливи в основите на степените - площ приемливи стойностипроменливите обикновено са такива, че базата върху тях приема само положителни стойности, което ви позволява свободно да използвате свойствата на степените. Като цяло, трябва постоянно да се питате дали е възможно да използвате някакво свойство на степени в този случай, тъй като неточното използване на свойства може да доведе до стесняване на образователната стойност и други проблеми. Тези точки са разгледани подробно и с примери в статията. преобразуване на изрази с помощта на свойствата на степените. Тук ще се ограничим до разглеждането на няколко прости примера.

Пример.

Изразете израза a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 като степен с основа a.

Решение.

Първо, трансформираме втория множител (a 2) −3, използвайки свойството за повишаване на степен на степен: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Оригиналният израз на степента ще приеме формата a 2,5 ·a −6:a −5,5. Очевидно остава да използваме свойствата на умножение и деление на степени с една и съща основа, която имаме
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Отговор:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Свойствата на степените при преобразуване на степенни изрази се използват както отляво надясно, така и отдясно наляво.

Пример.

Намерете стойността на степенния израз.

Решение.

Равенството (a·b) r =a r ·b r, приложено отдясно наляво, ни позволява да преминем от оригиналния израз към продукт на формата и по-нататък. И при умножаване на степени с на същото основаниепоказателите се сумират: .

Беше възможно да се трансформира оригиналният израз по друг начин:

Отговор:

.

Пример.

При даден степенен израз a 1,5 −a 0,5 −6, въведете нова променлива t=a 0,5.

Решение.

Степента a 1,5 може да бъде представена като 0,5 3 и след това, въз основа на свойството на степента към степен (a r) s =a r s, приложено отдясно наляво, да го трансформира във формата (a 0,5) 3. По този начин, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Сега е лесно да въведем нова променлива t=a 0,5, получаваме t 3 −t−6.

Отговор:

t 3 −t−6 .

Преобразуване на дроби, съдържащи степени

Изразите на степен могат да съдържат или представляват дроби със степени. Всеки от основните е напълно приложим за такива дроби преобразувания на дроби, които са присъщи на дроби от всякакъв вид. Тоест дроби, които съдържат степени, могат да бъдат намалени, намалени до нов знаменател, да се работи отделно с техния числител и отделно със знаменателя и т.н. За да илюстрирате тези думи, помислете за решения на няколко примера.

Пример.

Опростете израза на мощността .

Решение.

Този израз на мощност е дроб. Нека работим с неговия числител и знаменател. В числителя отваряме скобите и опростяваме получения израз, използвайки свойствата на степените, а в знаменателя представяме подобни термини:

И нека също да променим знака на знаменателя, като поставим минус пред дробта: .

Отговор:

.

Намаляването на дроби, съдържащи степени, до нов знаменател се извършва по същия начин като редукция до нов знаменател рационални дроби. В този случай се намира и допълнителен множител и числителят и знаменателят на дробта се умножават по него. Когато извършвате това действие, си струва да запомните, че намаляването до нов знаменател може да доведе до стесняване на VA. За да предотвратите това да се случи, е необходимо допълнителният коефициент да не отива на нула за никакви стойности на променливите от ODZ променливите за оригиналния израз.

Пример.

Намалете дробите до нов знаменател: а) до знаменател а, б) към знаменателя.

Решение.

а) В този случай е доста лесно да разберете какъв допълнителен множител помага да се постигне желан резултат. Това е множител на 0,3, тъй като a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Обърнете внимание, че в диапазона от допустими стойности на променливата a (това е наборът от всички положителни реални числа), силата на a 0,3 не изчезва, следователно имаме право да умножим числителя и знаменателя на даден част от този допълнителен фактор:

б) Като погледнете по-отблизо знаменателя, можете да откриете това

и умножаването на този израз по ще даде сумата от кубове и , т.е. И това е нов знаменател, до която трябва да намалим първоначалната дроб.

Ето как намерихме допълнителния фактор. В обхвата на допустимите стойности на променливите x и y изразът не изчезва, следователно можем да умножим числителя и знаменателя на фракцията по него:

Отговор:

а) , б) .

Също така няма нищо ново в намаляването на дроби, съдържащи степени: числителят и знаменателят са представени като редица множители и същите множители на числителя и знаменателя са намалени.

Пример.

Намалете дроба: а) , б) .

Решение.

а) Първо, числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с числата 30 и 45, което е равно на 15. Също така очевидно е възможно да се извърши намаление с x 0,5 +1 и с . Ето какво имаме:

б) В този случай еднаквите множители в числителя и знаменателя не се виждат веднага. За да ги получите, ще трябва да извършите предварителни трансформации. В този случай те се състоят в разлагане на знаменателя на множители с помощта на формулата за разликата на квадратите:

Отговор:

а)

б) .

Преобразуването на дроби в нов знаменател и съкращаването на дроби се използват главно за извършване на неща с дроби. Действията се извършват по известни правила. При събиране (изваждане) на дроби те се свеждат до общ знаменател, след което числителите се събират (изваждат), но знаменателят остава същият. Резултатът е дроб, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите. Делението с дроб е умножение с обратното му.

Пример.

Следвай стъпките .

Решение.

Първо, изваждаме дробите в скобите. За да направим това, ги привеждаме към общ знаменател, който е , след което изваждаме числителите:

Сега умножаваме дробите:

Очевидно е възможно да се намали със степен x 1/2, след което имаме .

Можете също така да опростите израза на степента в знаменателя, като използвате формулата за разликата на квадратите: .

Отговор:

Пример.

Опростете Power Expression .

Решение.

очевидно, дадена дробможе да се намали с (x 2,7 +1) 2, това дава дробта . Ясно е, че трябва да се направи нещо друго със правомощията на X. За да направим това, трансформираме получената фракция в продукт. Това ни дава възможност да се възползваме от свойството на деление на степени с еднакви бази: . И в края на процеса, от който се движим последна работадо дроб.

Отговор:

.

И нека добавим, че е възможно и в много случаи желателно да се използват множители с отрицателни показателиградуси се прехвърлят от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя, като се променя знакът на степента. Такива трансформации често опростяват по-нататъшни действия. Например, степенен израз може да бъде заменен с .

Преобразуване на изрази с корени и степени

Често в изрази, в които се изискват някои трансформации, заедно със степени с дробни показателиприсъстват и корени. Превръщам подобен израздо желаната форма, в повечето случаи е достатъчно да отидете само до корени или само до степени. Но тъй като е по-удобно да се работи с правомощия, те обикновено преминават от корени към правомощия. Въпреки това е препоръчително да извършите такъв преход, когато ODZ на променливите за оригиналния израз ви позволява да замените корените със степени, без да е необходимо да се позовавате на модула или да разделяте ODZ на няколко интервала (обсъдихме това подробно в членът преход от корен към степен и обратно След запознаване със степента с рационален показател се въвежда степен c ирационален показател, което ни позволява да говорим за степен с произволен реален показател. На този етап училището започва да учи експоненциална функция , което е аналитично дадено чрез степен, чиято основа е число, а показателят е променлива. Така се сблъскваме със степенни изрази, съдържащи числа в основата на степента, а в степента - изрази с променливи, и естествено възниква необходимостта да се извършват трансформации на такива изрази.

Трябва да се каже, че трансформиращите изрази определен типобикновено трябва да се направи при решаването експоненциални уравненияИ експоненциални неравенства и тези преобразувания са доста прости. В преобладаващата част от случаите те се основават на свойствата на степента и са насочени в по-голямата си част към въвеждане на нова променлива в бъдеще. Уравнението ще ни позволи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Първо, степените, в експонентите на които е сумата от определена променлива (или израз с променливи) и число, се заменят с продукти. Това се отнася за първия и последния член на израза от лявата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

След това двете страни на равенството се разделят на израза 7 2 x, който на ODZ на променливата x за оригиналното уравнение приема само положителни стойности (това е стандартна техника за решаване на уравнения от този тип, ние не сме говорим за това сега, така че се фокусирайте върху последващите трансформации на изрази със степени):

Сега можем да съкратим дроби със степен, което дава .

И накрая, съотношението на правомощията с същите показателисе заменя със степени на отношения, водещи до уравнението , което е еквивалентно . Направените трансформации ни позволяват да въведем нова променлива, която намалява решението до оригинала експоненциално уравнениеза решаване на квадратно уравнение

  • И. В. Бойков, Л. Д. РомановаСборник от задачи за подготовка за единния държавен изпит. Част 1. Пенза 2003 г.