Калкулаторът ви помага бързо да увеличите число на степен онлайн. Основата на степента може да бъде всяко число (както цели, така и реални). Показателят може също да бъде цяло число или реално число, а също така може да бъде положителен или отрицателен. Имайте предвид, че за отрицателни числа повдигането до степен, която не е цяло число, е недефинирано, така че калкулаторът ще докладва грешка, ако опитате да го направите.
Калкулатор за степен
Издигнете се на власт
Степени: 20880
Какво е естествена степен на число?
Числото p се нарича n-та степен на число, ако p е равно на числото a, умножено по себе си n пъти: p = a n = a·...·a
n - наречен експонент, а числото a е степен основа.
Как да повдигнем число на естествена степен?
За да разберете как да строите различни числакъм природните сили, разгледайте няколко примера:
Пример 1. Повишете числото три на четвърта степен. Тоест, необходимо е да се изчисли 3 4
Решение: както бе споменато по-горе, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Отговор: 3 4 = 81 .
Пример 2. Повишете числото пет на пета степен. Тоест, необходимо е да се изчисли 5 5
Решение: по същия начин, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Отговор: 5 5 = 3125 .
По този начин, за да се повиши числото до естествена степен, просто трябва да го умножите по себе си n пъти.
Какво е отрицателна степен на число?
Отрицателната степен -n на a е единица, разделена на a на степен n: a -n = .В този случай отрицателна степен съществува само за ненулеви числа, тъй като в в противен случайще се получи деление на нула.
Как да повдигна число на отрицателна цяло число?
За да повдигнете ненулево число на отрицателна степен, трябва да изчислите стойността на това число на същата положителна степен и да разделите едно на резултата.
Пример 1. Повишете числото две на отрицателна четвърта степен. Тоест, трябва да изчислите 2 -4
Решение: както е посочено по-горе, 2 -4 = = = 0,0625.Отговор: 2 -4 = 0.0625 .
В тази статия ще разберем какво е то степен на. Тук ще дадем дефиниции на степента на число, като същевременно ще разгледаме подробно всички възможни показатели, като започнем от естествения показател и завършим с ирационалния. В материала ще намерите много примери за степени, покриващи всички тънкости, които възникват.
Навигация в страницата.
Степен с естествен показател, квадрат на число, куб на число
Да започнем с. Гледайки напред, нека кажем, че дефиницията на степента на число a с естествен показател n е дадено за a, което ще наречем степен основа, и n, които ще наречем експонент. Също така отбелязваме, че степен с естествен показател се определя чрез произведение, така че за да разберете материала по-долу, трябва да имате разбиране за умножаване на числа.
Определение.
Степен на число с естествен показател nе израз на формата a n, чиято стойност е равна на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a, т.е.
По-специално, степента на число a с показател 1 е самото число a, тоест a 1 =a.
Струва си да споменем веднага за правилата за четене на степени. Универсален методчетенето на записа a n е: „a на степен n“. В някои случаи са приемливи и следните опции: „a на n-та степен“ и „n-та степен на a“. Например, нека вземем степен 8 12, това е „осем на степен дванадесет“, или „осем на дванадесета степен“, или „дванадесета степен на осем“.
Втората степен на числото, както и третата степен на числото имат свои имена. Втората степен на число се нарича квадрат на числото, например, 7 2 се чете като „седем на квадрат“ или „квадрат на числото седем“. Третата степен на число се нарича кубични числа, например, 5 3 може да се чете като „пет кубчета“ или можете да кажете „куб на числото 5“.
Време е да донесете примери за степени с естествен показател. Нека започнем със степен 5 7, тук 5 е основата на степента, а 7 е степента. Нека дадем друг пример: 4.32 е основата и естествено число 9 – показател (4.32) 9 .
Моля, имайте предвид, че в последен примерОсновата на степента 4.32 е записана в скоби: за да избегнем несъответствия, ще поставим в скоби всички основи на степента, които са различни от естествените числа. Като пример даваме следните степени с естествени показатели 
, основите им не са естествени числа, затова се записват в скоби. Е, за пълна яснота, в този момент ще покажем разликата, съдържаща се в записите под формата (−2) 3 и −2 3. Изразът (−2) 3 е степен на −2 с естествен показател 3, а изразът −2 3 (може да бъде записан като −(2 3) ) съответства на числото, стойността на степента 2 3 .
Обърнете внимание, че има нотация за степента на число a с показател n във формата a^n. Освен това, ако n е многозначно естествено число, тогава показателят се взема в скоби. Например, 4^9 е друга нотация за степента на 4 9 . И ето още няколко примера за записване на степени с помощта на символа “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В това, което следва, ние ще използваме основно запис на степен на формата a n.
Един от проблемите, обратни на повдигането на степен с естествен показател, е проблемът за намиране на основата на степента чрез известна стойностстепени и известен индикатор. Тази задача води до.
Известно е, че мнозина рационални числасе състои от цели и дробни числа, всяко дробно числоможе да се представи като положителна или отрицателна обикновена дроб. Дефинирахме степен с цяло число като предишен параграф, следователно, за да завършите дефиницията на степен с рационален показател, трябва да дадете значението на степента на числото a с дробен индикатор m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Хайде да го направим.
Нека разгледаме степен с дробен показател от формата . За да остане валидно свойството мощност към степен, равенството трябва да е спазено 
. Ако вземем предвид полученото равенство и как сме определили , тогава е логично да го приемем при условие, че за дадени m, n и a изразът има смисъл.
Лесно се проверява, че за всички свойства на степен с цял показател са валидни (това беше направено в раздела свойства на степен с рационален показател).
Горното разсъждение ни позволява да направим следното заключение: ако са дадени m, n и a, изразът има смисъл, тогава степента на a с дробен показател m/n се нарича n-ти корен от a на степен m.
Това твърдение ни доближава до дефиницията на степен с дробен показател. Всичко, което остава, е да се опише при какви m, n и a изразът има смисъл. В зависимост от ограниченията, наложени на m, n и a, има два основни подхода.
Най-лесният начин е да наложите ограничение на a, като вземете a≥0 за положително m и a>0 за отрицателно m (тъй като за m≤0 степента 0 на m не е дефинирана). Тогава получаваме следното определениестепени с дробен показател.
Определение.
Степен на положително число a с дробен показател m/n, където m е цяло число и n е естествено число, се нарича n-ти корен на числото a на степен m, т.е.
Дробната степен на нула също се определя с единственото предупреждение, че индикаторът трябва да е положителен.
Определение.
Степен на нула с дробна положителен показателм/н, където m е положително цяло число и n е естествено число, се дефинира като 
.
Когато степента не е дефинирана, тоест степента на числото нула с дробен отрицателен показател няма смисъл.
Трябва да се отбележи, че при тази дефиниция на степен с дробен показател има един нюанс: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние отхвърлихме тези случаи, като въведохме условието a≥0. Например, записите имат смисъл 
или , и дадената по-горе дефиниция ни принуждава да кажем, че степените с дробен показател на формата 
нямат смисъл, тъй като основата не трябва да е отрицателна.
Друг подход за определяне на степен с дробен показател m/n е отделно разглеждане на четните и нечетните показатели на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на число, чийто показател е , се счита за степен на число, чийто показател е съответният несъкратима дроб(Значението на това условие ще бъде обяснено по-долу). Тоест, ако m/n е несъкратима дроб, тогава за всяко естествено число k степента първо се заменя с .
За четно n и положително m, изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (четен корен от отрицателно числоняма смисъл), за отрицателно m числото a все още трябва да е различно от нула (в противен случай ще има деление на нула). И за нечетно n и положително m числото a може да бъде всяко (коренът на нечетна степен е дефиниран за всяко реално число), а за отрицателно m числото a трябва да е различно от нула (така че да няма деление на нула).
Горното разсъждение ни води до тази дефиниция на степен с дробен показател.
Определение.
Нека m/n е несъкратима дроб, m е цяло число и n е естествено число. За всяка съкратима дроб степента се заменя с . Степента на число с несъкратим дробен показател m/n е за
Нека обясним защо степен с редуцируем дробен показател първо се заменя със степен с нередуцируем показател. Ако просто дефинираме степента като и не направим уговорка относно несводимостта на дробта m/n, тогава ще се сблъскаме със ситуации, подобни на следното: тъй като 6/10 = 3/5, тогава равенството трябва да е спазено 
, Но 
, А .
Когачислото се самоумножава на себе си, работаНаречен степен.
Така че 2,2 = 4, квадрат или втора степен на 2
2.2.2 = 8, куб или трета степен.
2.2.2.2 = 16, четвърта степен.
Освен това 10,10 = 100, втората степен на 10.
10.10.10 = 1000, трета степен.
10.10.10.10 = 10000 четвърта степен.
И a.a = aa, втора степен на a
a.a.a = aaa, трета степен на a
a.a.a.a = aaaa, четвърта степен на a
Извиква се оригиналният номер коренстепени на това число, защото това е числото, от което са създадени степените.
Това обаче не е съвсем удобно, особено в случая високи градуси, запишете всички фактори, които съставят степените. Следователно се използва метод за стенографско означение. Коренът на степента се изписва само веднъж, а вдясно и малко по-нагоре близо до него, но с малко по-малък шрифт, е написано колко пъти коренът действа като фактор. Това число или буква се нарича експонентили степенчисла. И така, a 2 е равно на a.a или aa, защото коренът a трябва да се умножи по себе си два пъти, за да се получи степента aa. Освен това 3 означава ааа, тоест тук а се повтаря три пътикато множител.
Показателят на първа степен е 1, но обикновено не се записва. И така, 1 се записва като a.
Не трябва да бъркате степените с коефициенти. Коефициентът показва колко често се приема стойността Частцялото. Силата показва колко често се приема дадено количество факторв работата.
И така, 4a = a + a + a + a. Но 4 = a.a.a.a
Схемата за нотиране на мощност има особеното предимство, че ни позволява да изразяваме неизвестенстепен. За тази цел степента се записва вместо число писмо. В процеса на решаване на задача можем да получим количество, което знаем, че е някоистепен на друга величина. Но засега не знаем дали е квадрат, куб или друга, по-висока степен. И така, в израза a x степенният показател означава, че този израз има някоистепен, макар и неопределена каква степен. И така, b m и d n са повдигнати на степени на m и n. Когато степенният показател бъде намерен, номерсе замества вместо буква. Така че, ако m=3, тогава b m = b 3 ; но ако m = 5, тогава b m = b 5.
Методът за писане на стойности с помощта на мощности също е голямо предимство при използване изрази. Така (a + b + d) 3 е (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), тоест кубът на тричлена (a + b + d) . Но ако напишем този израз, след като го повдигнем до куб, той ще изглежда така
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .
Ако вземем поредица от степени, чиито показатели нарастват или намаляват с 1, ще открием, че произведението нараства с общ множител или намалява с общ делител и този множител или делител е оригиналното число, което е повдигнато на степен.
И така, в поредицата ааааа, аааа, ааа, аа, а;
или 5, 4, 3, 2, 1;
индикаторите, ако се броят отдясно наляво, са 1, 2, 3, 4, 5; а разликата между стойностите им е 1. Ако започнем на дясно умножават сечрез a, ние успешно ще получим множество стойности.
Така че a.a = a 2 , втори член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , трети член. a 4 .a = a 5 .
Ако започнем наляво разделямдо а,
получаваме 5:a = a 4 и a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1
Но този процес на разделяне може да бъде продължен по-нататък и получаваме нов комплектстойности.
И така, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.
Пълният ред ще бъде: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.
Или 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.
Ето ги и стойностите на дясноот един има обратенстойности вляво от едно. Следователно тези степени могат да бъдат наречени обратни степениа. Можем също да кажем, че степените отляво са обратни на степените отдясно.
И така, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3) = a 3.
Същият план за запис може да се приложи към полиноми. И така, за a + b получаваме множеството,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.
За удобство се използва друга форма на писане на реципрочни правомощия.
Според тази форма 1/a или 1/a 1 = a -1 . И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .
И да направя пълна серия с 1 с показатели как обща разлика, a/a или 1, се счита, че няма степен и се записва като 0 .
След това, като се вземат предвид преките и обратните правомощия
вместо аааа, ааа, аа, а, а/а, 1/а, 1/аа, 1/ааа, 1/аааа
можете да напишете 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4.
Или +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.
И поредица от само отделни степени ще изглежда така:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
Коренът на степен може да бъде изразен с повече от една буква.
Така aa.aa или (aa) 2 е втората степен на aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 е третата степен на aa.
Всички степени на числото 1 са еднакви: 1.1 или 1.1.1. ще бъде равно на 1.
Степенуването е намиране на стойността на всяко число чрез умножаване на това число по себе си. Правило за степенуване:
Умножете количеството по себе си толкова пъти, колкото е посочено в степента на числото.
Това правило е общо за всички примери, които могат да възникнат по време на процеса на степенуване. Но е редно да се даде обяснение как се прилага в конкретни случаи.
Ако само един член е повдигнат на степен, тогава той се умножава по себе си толкова пъти, колкото е посочено от експонентата.
Четвъртата степен на а е 4 или aaaa. (Чл. 195.)
Шестата степен на y е y 6 или yyyyyy.
N-та степен на x е x n или xxx..... повторено n пъти.
Ако е необходимо да се повдигне израз на няколко члена на степен, принципът, че степента на произведението на няколко фактора е равна на произведението на тези фактори, повдигнато на степен.
Така че (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
И така, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .
Следователно, при намирането на мощността на продукт, можем или да работим с целия продукт наведнъж, или можем да работим с всеки фактор поотделно и след това да умножим техните стойности със степените.
Пример 1. Четвъртата степен на dhy е (dhy) 4, или d 4 h 4 y 4.
Пример 2. Третата степен е 4b, има (4b) 3, или 4 3 b 3, или 64b 3.
Пример 3. N-тата степен на 6ad е (6ad) n или 6 n и n d n.
Пример 4. Третата степен на 3m.2y е (3m.2y) 3, или 27m 3 .8y 3.
Степента на бином, състоящ се от членове, свързани с + и -, се изчислява чрез умножаване на неговите членове. да
(a + b) 1 = a + b, първа степен.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, втора степен (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, трета степен.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, четвърта степен.
Квадратът на a - b е a 2 - 2ab + b 2.
Квадратът на a + b + h е a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2
Упражнение 1. Намерете куба a + 2d + 3
Упражнение 2. Намерете четвъртата степен на b + 2.
Упражнение 3. Намерете петата степен на x + 1.
Упражнение 4. Намерете шестата степен 1 - b.
Сборни квадрати сумиИ различиябиномите се срещат толкова често в алгебрата, че е необходимо да ги познаваме много добре.
Ако умножим a + h по себе си или a - h по себе си,
получаваме: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 също, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .
От това става ясно, че във всеки случай първият и последният член са квадратите на a и h, и среден члене два пъти произведението на a и h. От тук квадратът на сбора и разликата на биномите може да се намери с помощта на следното правило.
Квадрат на бином, двата члена на който са положителни, равно на квадратпървият член + два пъти произведението на двата члена, + квадратът на последния член.
Квадрат различиябиноми е равно на квадрата на първия член минус два пъти произведението на двата члена плюс квадрата на втория член.
Пример 1. Квадрат 2a + b, има 4a 2 + 4ab + b 2.
Пример 2. Квадрат ab + cd, има 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.
Пример 3. Квадрат 3d - h, има 9d 2 + 6dh + h 2.
Пример 4. Квадратът a - 1 е a 2 - 2a + 1.
За метод за намиране на по-високи степени на биноми вижте следващите раздели.
В много случаи е ефективно да се запише степенибез умножение.
И така, квадратът на a + b е (a + b) 2.
N-та степен на bc + 8 + x е (bc + 8 + x) n
В такива случаи скобите покриват всичкочленове под степен.
Но ако коренът на степента се състои от няколко умножители, скобите могат да покриват целия израз или могат да се прилагат отделно към факторите в зависимост от удобството.
Така квадратът (a + b)(c + d) е или [(a + b).(c + d)] 2, или (a + b) 2. (c + d) 2.
За първия от тези изрази резултатът е квадратът на произведението на два фактора, а за вторият резултатът е произведението на техните квадрати. Но те са равни помежду си.
Куб a.(b + d) е 3 или a 3.(b + d) 3.
Знакът пред участващите членове също трябва да се вземе предвид. Много е важно да запомните, че когато коренът на една степен е положителен, всичките му положителни степени също са положителни. Но когато коренът е отрицателен, стойностите с странномощности са отрицателни, докато стойностите дориградусите са положителни.
Втора степен (- a) е +a 2
Третата степен (-a) е -a 3
Четвъртата степен (-a) е +a 4
Петата степен (-a) е -a 5
Следователно всякакви странностепента има същия знак като числото. Но дористепента е положителна, независимо дали числото е с отрицателен или положителен знак.
И така, +a.+a = +a 2
И -a.-a = +a 2
Количество, което вече е било повдигнато на степен, се повдига отново на степен чрез умножаване на показателите.
Третата степен на 2 е 2,3 = 6.
За a 2 = aa; куб aa е aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; което е шестата степен на а, но третата степен на 2.
Четвъртата степен на a 3 b 2 е a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8
Третата степен на 4a 2 x е 64a 6 x 3.
Петата степен на (a + b) 2 е (a + b) 10.
N-тата степен на 3 е 3n
N-та степен на (x - y) m е (x - y) mn
(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6
(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12
Правилото важи еднакво и за отрицателенстепени.
Пример 1. Третата степен на a -2 е a -3,3 =a -6.
За a -2 = 1/aa и третата степен на това
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6
Четвъртата степен на a 2 b -3 е a 8 b -12 или a 8 /b 12.
Квадратът е b 3 x -1, има b 6 x -2.
N-та степен на ax -m е x -mn или 1/x.
Тук обаче трябва да помним, че ако знакът предишенстепента е "-", тогава трябва да се промени на "+", когато степента е четно число.
Пример 1. Квадратът -a 3 е +a 6. Квадратът на -a 3 е -a 3 .-a 3, което според правилата за знаците при умножение е +a 6.
2. Но кубът -a 3 е -a 9. За -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .
3. N-та степен -a 3 е a 3n.
Тук резултатът може да бъде положителен или отрицателен в зависимост от това дали n е четно или нечетно.
Ако фракциясе повдига на степен, тогава числителят и знаменателят се повдигат на степен.
Квадратът на a/b е a 2 /b 2 . Според правилото умножение на дроби,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2
Втората, третата и n-та степен на 1/a са 1/a 2, 1/a 3 и 1/a n.
Примери биноми, в която един от членовете е дроб.
1. Намерете квадрата на x + 1/2 и x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4
2. Квадратът на a + 2/3 е a 2 + 4a/3 + 4/9.
3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.
4 Квадратът на x - b/m е x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .
По-рано беше показано, че дробен коефициент може да се премести от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя. Използвайки схемата за изписване на реципрочни правомощия, става ясно, че всеки множителможе също да се мести, ако се промени знакът на степента.
И така, в дробта ax -2 /y можем да преместим x от числителя към знаменателя.
Тогава ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2.
В дробта a/по 3 можем да преместим y от знаменателя към числителя.
Тогава a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.
По същия начин можем да преместим фактор, който има положителен показател в числител или фактор с отрицателна степенв знаменателя.
И така, ax 3 /b = a/bx -3. За x 3 обратното е x -3 , което е x 3 = 1/x -3 .
Следователно знаменателят на всяка дроб може да бъде напълно премахнат или числителят може да бъде намален до единица, без да се променя значението на израза.
И така, a/b = 1/ba -1 или ab -1.
Разбрахме какво всъщност е степен на число. Сега трябва да разберем как да го изчислим правилно, т.е. повишаване на числата до степени. В този материал ще анализираме основните правила за изчисляване на степени в случай на цели, естествени, дробни, рационални и ирационални показатели. Всички определения ще бъдат илюстрирани с примери.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Концепцията за степенуване
Нека започнем с формулирането на основни дефиниции.
Определение 1
степенуване- това е изчисляването на стойността на степента на определено число.
Тоест, думите „изчисляване на стойността на степен“ и „повдигане на степен“ означават едно и също нещо. Така че, ако проблемът казва „Повишете числото 0, 5 на пета степен“, това трябва да се разбира като „изчислете стойността на степен (0, 5) 5.
Сега представяме основните правила, които трябва да се спазват при извършване на такива изчисления.
Нека си припомним какво е степен на число с естествен показател. За степен с основа а и показател n, това ще бъде произведението на n-тия брой множители, всеки от които е равен на а. Това може да се напише така:
За да изчислите стойността на степента, трябва да извършите действие за умножение, тоест да умножите основите на степента посочен номерведнъж. Самата концепция за степен с естествен показател се основава на способността за бързо умножаване. Да дадем примери.
Пример 1
Условие: повдигнете - 2 на степен 4.
Решение
Използвайки дефиницията по-горе, записваме: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . След това просто трябва да следваме тези стъпки и да получим 16.
Да вземем един по-сложен пример.
Пример 2
Изчислете стойността 3 2 7 2
Решение
Този запис може да се пренапише като 3 2 7 · 3 2 7 . Преди това разгледахме как да умножим правилно смесените числа, споменати в условието.
Нека изпълним тези стъпки и да получим отговора: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Ако проблемът показва необходимостта от повдигане на ирационални числа на естествена степен, ще трябва първо да закръглим основите им до цифрата, която ще ни позволи да получим отговор с необходимата точност. Нека разгледаме един пример.
Пример 3
Извършете квадрат на π.
Решение
Първо, нека го закръглим до стотни. Тогава π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ако π ≈ 3. 14159, тогава получаваме по-точен резултат: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
Имайте предвид, че необходимостта от изчисляване на степени на ирационални числа възниква сравнително рядко на практика. След това можем да запишем отговора като самата степен (ln 6) 3 или да преобразуваме, ако е възможно: 5 7 = 125 5 .
Отделно трябва да се посочи каква е първата степен на числото. Тук можете просто да запомните, че всяко число, повдигнато на първа степен, ще остане себе си:
Това става ясно от записа 
.
Не зависи от основата на степента.
Пример 4
И така, (− 9) 1 = − 9 и 7 3, повдигнато на първа степен, ще остане равно на 7 3.
За удобство ще разгледаме три случая поотделно: ако показателят е положително цяло число, ако е нула и ако е отрицателно цяло число.
В първия случай това е същото като издигане до естествена мощност: в края на краищата, цяло положителни числапринадлежат към набора от естествени. Вече говорихме по-горе за това как да работим с такива степени.
Сега нека видим как правилно да изградим нулева степен. За основа, различна от нула, това изчисление винаги извежда 1. По-рано обяснихме, че 0-та степен на a може да бъде дефинирана за всяко реално число, което не е равно на 0, и a 0 = 1.
Пример 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - не е определено.
Остава ни само случай на степен с цяло число отрицателен показател. Вече обсъдихме, че такива степени могат да бъдат записани като дроб 1 a z, където a е произволно число, а z е цяло число отрицателен показател. Виждаме, че знаменателят на тази дроб не е нищо повече от обикновена степен с цяло положително число и вече сме се научили как да го изчисляваме. Нека дадем примери за задачи.
Пример 6
Повдигнете 3 на степен - 2.
Решение
Използвайки дефиницията по-горе, записваме: 2 - 3 = 1 2 3
Нека изчислим знаменателя на тази дроб и ще получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.
Тогава отговорът е: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Пример 7
Повишете 1,43 на степен -2.
Решение
Нека преформулираме: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
Изчисляваме квадрата в знаменателя: 1,43·1,43. Десетичните числа могат да се умножат по следния начин: 
В резултат на това получихме (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Всичко, което трябва да направим, е да запишем този резултат под формата на обикновена дроб, за което трябва да го умножим по 10 хиляди (вижте материала за преобразуване на дроби).
Отговор: (1, 43) - 2 = 10000 20449
Специален случай е повдигането на число на минус първа степен. Стойността на тази степен е равна на реципрочната на първоначалната стойност на основата: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.
Пример 8
Пример: 3 − 1 = 1/3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Как да повдигнем число на дробна степен
За да извършим тази операция, трябва да запомним основно определениестепени с дробен показател: a m n = a m n за всяко положително a, цяло число m и естествено n.
Определение 2
По този начин изчисляването на дробна степен трябва да се извърши в две стъпки: повдигане до цяло число и намиране на корена n та степен.
Имаме равенството a m n = a m n, което, като се вземат предвид свойствата на корените, обикновено се използва за решаване на задачи във формата a m n = a n m. Това означава, че ако повдигнем число a на дробна степен m / n, тогава първо вземаме корен n-та от a, след което повдигаме резултата на степен с цяло число m.
Нека илюстрираме с пример.
Пример 9
Пресметнете 8 - 2 3 .
Решение
Метод 1: Съгласно основната дефиниция, можем да представим това като: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
Сега нека изчислим степента под корена и извлечем третия корен от резултата: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Метод 2. Преобразувайте основното равенство: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
След това изваждаме корена 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 и повдигаме резултата на квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Виждаме, че решенията са идентични. Можете да го използвате както желаете.
Има случаи, когато степента има изразен показател смесено числоили десетичен знак. За по-лесно изчисление е по-добре да го замените обикновена дроби пребройте както по-горе.
Пример 10
Повдигнете 44, 89 на степен 2, 5.
Решение
Нека трансформираме стойността на индикатора в обикновена дроб - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .
Сега изпълняваме по ред всички действия, посочени по-горе: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107
Отговор: 13 501, 25107.
Ако числителят и знаменателят на дробен показател съдържат големи числа, тогава изчисляването на такива мощности с рационални показатели- достатъчно тежка работа. Обикновено изисква компютърна технология.
Нека се спрем отделно на степените с нулева основа и дробен показател. На израз от формата 0 m n може да се придаде следното значение: ако m n > 0, тогава 0 m n = 0 m n = 0; ако m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положителна степенводи до нула: 0 7 12 = 0, 0 3 2 5 = 0, 0 0, 024 = 0 и до цяло отрицателно число - няма значение: 0 - 4 3.
Как да повдигнем число на ирационална степен
Необходимостта да се изчисли стойността на степента, чийто показател е ирационално число, не се среща много често. На практика задачата обикновено се ограничава до пресмятане приблизителна стойност(до определен брой десетични знаци). Това обикновено се изчислява на компютър поради сложността на такива изчисления, така че няма да се спираме на това подробно, ще посочим само основните разпоредби.
Ако трябва да изчислим стойността на степен a с ирационален показател a, тогава вземаме десетичното приближение на степента и броим от него. Резултатът ще бъде приблизителен отговор. Колкото по-точно е десетичното приближение, толкова по-точен е отговорът. Нека покажем с пример:
Пример 11
Изчислете приблизителната стойност на 21, 174367....
Решение
Нека се ограничим до десетичното приближение a n = 1, 17. Нека направим изчисления, като използваме това число: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Ако вземем, например, приближението a n = 1, 1743, тогава отговорът ще бъде малко по-точен: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Степенуването е операция, тясно свързана с умножението; тази операция е резултат от многократно умножаване на число само по себе си. Нека го представим с формулата: a1 * a2 * … * an = an.
Например a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
По принцип степенуването често се използва в различни формулипо математика и физика. Тази функция има по-научна цел от четирите основни: събиране, изваждане, умножение, деление.
Повдигане на число на степен
Повишаването на число на степен не е сложна операция. Свързано е с умножението по подобен начин на връзката между умножение и събиране. Нотацията an е кратка нотация на n-тия брой числа "a", умножени едно по друго.
Помислете най-много за степенуване прости примери, преминавайки към сложни.
Например 42. 42 = 4 * 4 = 16. Четири на квадрат (на втора степен) е равно на шестнадесет. Ако не разбирате умножението 4 * 4, тогава прочетете нашата статия за умножението.
Нека да разгледаме друг пример: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Пет на куб (на трета степен) е равно на сто двадесет и пет.
Друг пример: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Девет на куб се равнява на седемстотин двадесет и девет.
Формули за степенуване
За да повдигнете правилно на степен, трябва да запомните и знаете формулите, дадени по-долу. В това няма нищо особено естествено, основното е да разберете същността и тогава те не само ще бъдат запомнени, но и ще изглеждат лесни.
Повдигане на моном на степен
Какво е моном? Това е произведение на числа и променливи във всяко количество. Например две е моном. И тази статия е точно за повдигането на такива мономи на степени.
Използвайки формулите за степенуване, няма да е трудно да се изчисли степенуването на моном.
Например, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ако повдигнете моном на степен, тогава всеки компонент на монома се повдига на степен.
Чрез повишаване на променлива, която вече има степен на степен, степените се умножават. Например (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Повдигане на отрицателна степен
Отрицателна степен – реципрочно число. Какво е реципрочното число? Реципрочната стойност на всяко число X е 1/X. Това е X-1=1/X. Това е същността на отрицателния градус.
Разгледайте примера (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Защо така? Тъй като в степента има минус, просто го прехвърляме в знаменателя този израз, и след това го повдигнете на трета степен. Просто, нали?
Повдигане на дробна степен
Нека започнем да разглеждаме въпроса от конкретен пример. 43/2. Какво означава степен 3/2? 3 – числител, означава повишаване на числото (до в такъв случай 4) на кубичен метър Числото 2 е знаменателят; това е извличането на втория корен на число (в този случай 4).
След това получаваме корен квадратен от 43 = 2^3 = 8. Отговор: 8.
И така, знаменателят на дробна степен може да бъде 3 или 4 или произволно число до безкрайност и това число определя степента корен квадратен, извлечено от дадено число. Разбира се, знаменателят не може да бъде нула.
Издигане на корен до степен
Ако коренът се повдигне на степен, по равносамият корен, тогава отговорът ще бъде радикалният израз. Например (√x)2 = x. И така във всеки случай степента на корена и степента на издигане на корена са равни.
Ако (√x)^4. Тогава (√x)^4=x^2. За да проверим решението, преобразуваме израза в израз с дробна степен. Тъй като коренът е квадратен, знаменателят е 2. И ако коренът е повдигнат на четвърта степен, тогава числителят е 4. Получаваме 4/2=2. Отговор: x = 2.
Така или иначе най-добрият вариантпросто преобразувайте израза в израз с дробна степен. Ако дробта не се съкращава, тогава това е отговорът, при условие че коренът на даденото число не е изолиран.
Повдигане на комплексно число на степен
Какво е комплексно число? Комплексно число– израз с формулата a + b * i; а, б – реални числа. i е число, което, когато се повдигне на квадрат, дава числото -1.
Нека разгледаме един пример. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Запишете се за курса „Ускорете менталната аритметика, НЕ ментална аритметика"за да научите как бързо и правилно да събирате, изваждате, умножавате, разделяте, квадратирате числа и дори да вадите корен. След 30 дни ще научите как да използвате лесни трикове за опростяване аритметични операции. Всеки урок съдържа нови техники, ясни примериИ полезни задачи.
Степенене онлайн
С помощта на нашия калкулатор можете да изчислите повишаването на число на степен:
Степенуване 7 клас
Учениците започват да се издигат на степен едва в седми клас.
Степенуването е операция, тясно свързана с умножението; тази операция е резултат от многократно умножаване на число само по себе си. Нека го представим с формулата: a1 * a2 * … * an=an.
Например, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Примери за решение:
Представяне на степенуване
Презентация за издигане на степени, предназначена за седмокласници. Презентацията може да изясни някои неясни моменти, но вероятно такива моменти няма да се случат благодарение на нашата статия.
Долен ред
Разгледахме само върха на айсберга, за да разберете по-добре математиката - запишете се за нашия курс: Ускоряване на менталната аритметика - НЕ на менталната аритметика.
От курса вие не само ще научите десетки техники за опростени и бързо умножение, събиране, умножение, деление, изчисляване на проценти, но ще ги упражнявате и в специални задачи и образователни игри! Менталната аритметика също изисква много внимание и концентрация, които активно се тренират при решаване на интересни задачи.