Доста широк и свободен. Подобно формално прехвърляне на значение от природните към хуманитарните науки често води до подмяна на понятията. Междувременно този доста специфичен термин има специално значение, което обаче може да се тълкува в зависимост от контекста.
Думата "бифуркация" идва от латинския термин за бифуркация. Използва се в естествените науки, когато искат да опишат качественото преструктуриране на даден обект и метаморфозите, свързани с него.
Когато една система се развива, нейното състояние зависи от един или повече параметри, които могат да се променят плавно. Но понякога една от характеристиките придобива критично значение и системата навлиза в етапа на фундаментална качествена промяна.
Самият момент, в който се възстановява режимът на промяна в системата, се нарича точка на бифуркация. А под бифуркация разбираме преструктурирането на самата система.
Какво се случва, ако системата се променя непрекъснато? В този случай се наблюдават така наречените каскади от бифуркации, които последователно се заменят.
Описанието на тези системни промени представлява един от сценариите на преход от просто към сложно, от подредено движение към хаотично.
Бифуркационната точка като момент на истината
Описвайки система като последователност от бифуркации, които се сменят една друга, е възможно да се създаде модел на развитието на всяка повече или по-малко сложна система, независимо към коя област на знанието принадлежи.
Точките на бифуркация могат да се наблюдават не само в биологични и физически системи, но и в икономически и социални системи.
От гледна точка на ежедневието преходът на една система през точка на бифуркация може да се сравни с поведението на човек или жив организъм в ситуация, в която е възможен само един от многото избори. Ярък пример тук е рицарят на кръстопътя, спрял замислен пред камък с надписи.
Пред замисления воин се откриват две или дори три пътеки, всяка от които има еднакво значение за пътешественика. Кой път ще избере рицарят зависи от някои
Какво учи? теория на бифуркацията.
Бифуркация
Бифуркация(от лат. Bifurcus - раздвоен) е процес на качествен преход от състояние на равновесие към хаос чрез последователна много малка промяна (например удвояване на Фейгенбаум по време на удвояване на бифуркация) на периодични точки.
Задължително е да се отбележи, че има качествено изменение на свойствата на системата, т.нар. катастрофален скок. Моментът на скока (разцепването при бифуркацията на удвояване) настъпва в точката на бифуркация.
Хаосможе да възникне чрез бифуркация, както е показано от Мичъл Фейгенбаум. Когато създава своя собствена, Фейгенбаум анализира основно логистичното уравнение:
Xn+1=CXn - C(Xn) 2,
Където СЪС— външен параметър.
Откъде идва изводът, че при определени ограничения във всички подобни уравнения има преход от равновесно състояние към хаос.
Пример за бифуркация
По-долу е даден класически биологичен пример за това уравнение.
Например популация от индивиди с нормален размер живее изолирано Xn. Година по-късно, потомството номериране Xn +1. Нарастването на населението се описва с първия член от дясната страна на уравнението (СХn), където коефициентът C определя скоростта на растеж и е определящият параметър. Щетите по животните (поради пренаселеност, липса на храна и т.н.) се определят от втория, нелинеен член C(Xn) 2.
Резултатът от изчисленията са следните изводи:
- При СЪС<1 населението изчезва с увеличаване на n;
- В района 1<С<3 размерът на населението се доближава до постоянна стойност Х0=1-1/С, което е областта на стационарни, фиксирани решения. Когато стойност C=3точката на бифуркация става отблъскваща фиксирана точка. От този момент нататък функцията никога не се събира в една точка. Преди това точката беше фиксиран атрактор;
- В диапазон 3<С
- Когато C> 3.57, областите на различни решения се припокриват (изглеждат боядисани) и поведението на системата става хаотично.
Оттук и заключението – крайното състояние на физическите системи, които се развиват е състоянието динамичен хаос.
Зависимост на размера на популацията от параметъра СЪСпоказано на следващата фигура.
Фигура 1 — Преход към хаос чрез бифуркации, начален етап на уравнението Xn+1=CXn - C(Xn) 2
Динамични променливи Xnвземат стойности, които силно зависят от началните условия. Когато изчисленията се извършват на компютър, дори за много близки начални стойности на C, крайните стойности могат да се различават рязко. Освен това изчисленията стават неправилни, тъй като започват да зависят от случайни процеси в самия компютър (скокове на напрежение и т.н.).
По този начин състоянието на системата в момента на бифуркация е изключително нестабилно и безкрайно малко въздействие може да доведе до избора на по-нататъшен път на движение, а това, както вече знаем, е основната характеристика на хаотичната система (значителна зависимост върху началните условия).
Фейгенбаум установи универсални закони за преход към динамичен хаос, когато периодът се удвои, които бяха експериментално потвърдени за широк клас механични, хидродинамични, химични и други системи. Резултатът от изследванията на Файгенбаум е т.нар. "".
Фигура 2 - Дърво на Фейгенбаум (изчисление въз основа на модифицирана логическа формула)
Нека означим с 
стойността на параметъра, при който периодът е настъпил удвояване. През 1971 г. американският учен М. Фейгенбаум установи интересен модел: последователността образува нарастваща последователност, бързо се сближава с точка на натрупване от 3,5699... Разликата в стойностите, съответстващи на две последователни бифуркации, намалява всеки път с приблизително същото фактор:
Сега се извиква знаменателят на прогресията =4,6692 Константа на Фейгенбаум.
Концепцията за бифуркация
Какво представляват бифуркациите в ежедневието? Както знаем от определението, бифуркациивъзникват по време на прехода на системата от състояние на привидна стабилност и равновесие към хаос. Примери за такива преходи са дим, вода и много други обичайни природни явления. Така че димът, издигащ се нагоре, първо изглежда като подредена колона.
Димът като пример за появата на бифуркация по време на прехода на система от състояние на привидна стабилност и равновесие към хаос След известно време обаче започва да претърпява промени, като първоначално изглежда подредено, но след това става хаотично непредвидимо. Всъщност първият преход от стабилност към някаква форма на привидна подреденост, но вече променливост, се случва в първата точка на бифуркация. Освен това броят на бифуркациите се увеличава, достигайки огромни стойности. С всяка бифуркация функцията на димната турбуленция се доближава до хаоса.
Като се използва теория на бифуркациятавъзможно е да се предвиди естеството на движението, което се случва по време на прехода на системата към качествено различно състояние, както и региона на съществуване на системата и да се оцени нейната стабилност.
За съжаление, самото съществуване на теорията на хаоса е трудно да се примири с класическата наука. Разбира се, научните идеи се тестват въз основа на прогнози и тяхното сравнение с действителните резултати. Въпреки това, както вече знаем, хаосът е непредсказуем; когато изучавате хаотична система, можете само да предвидите нейния модел на поведение. Следователно с помощта на хаоса е не само невъзможно да се изгради точна прогноза, но и съответно да се провери. Това обаче не трябва да означава, че теорията за хаоса, потвърдена както в математическите изчисления, така и в живота, е неправилна.
В момента няма математически прецизен апарат за прилагане на теорията на хаоса за изследване на пазарните цени, така че не бързайте да прилагате знанията за хаоса. В същото време това е наистина най-обещаващата съвременна област на математиката от гледна точка на приложните изследвания на финансовите пазари.
„Странността“ на хаотичния атрактор се крие не толкова в неговия необичаен външен вид, а в новите свойства, които притежава. Странният атрактор е преди всичко привлекателен регион за траектории от околните региони. Освен това всички траектории вътре в странния атрактор са динамично нестабилни.
С други думи, ако си представим ограничението, зададено като „заплитане“ във фазовото пространство, тогава точката, характеризираща състоянието на системата, принадлежи към това „заплитане“ и няма да отиде в друга област на фазовото пространство. Не можем обаче да кажем къде в топката е точката в даден момент.
Положителен показател на Ляпунов
Едно от тези парадоксални свойства е чувствителността към първоначалните данни. Нека илюстрираме това. Нека изберем две близки точки x"(0) и x"(0), принадлежащи на траекторията на атрактора, и да видим как разстоянието d(t) = |x"(t) - x"(t) | с време. Ако атракторът е особена точка, тогава d(t) = 0. Ако атракторът е граничен цикъл, тогава d(t) ще бъде периодична функция на времето. Стойността на агнето се нарича Показател на Ляпунов. Положителният показател на Ляпунов характеризира средната скорост на ускорение на безкрайно близки траектории.
Положителните стойности на показателя на Ляпунов и чувствителността на системата към първоначалните данни ни позволиха да погледнем по съвсем различен начин проблема с прогнозирането. По-рано се предполагаше, че прогноза за поведението на детерминистичните системи, за разлика от стохастичните, може да бъде дадена за всяко желано време.
Изследванията през последните десетилетия обаче показаха, че съществува клас детерминистични системи (дори сравнително прости), чието поведение може да бъде предвидено само за ограничен период от време. В странен атрактор, след време две първоначално близки траектории престават да бъдат близки. Колкото и малка да е неточността в определянето на първоначалното състояние, тя се увеличава с течение на времето и по принцип не можем да дадем „дългосрочна прогноза“. По този начин има прогнозен хоризонт, който ограничава способността ни да предвиждаме.
Фрактална структура
Друга интересна характеристика на хаотичния режим е фрактална структура. Геометричната структура на странен атрактор не може да бъде представена под формата на криви или равнини, или геометрични елементи на цяло измерение. Размерът на един странен атрактор е дробен или, както се казва, фрактален.
Точка на бифуркация- промяна на установения режим на работа на системата. Термин от неравновесната термодинамика и синергетика.
Точка на бифуркация- критично състояние на системата, при което системата става нестабилна по отношение на флуктуации и възниква несигурност: дали състоянието на системата ще стане хаотично или ще премине към ново, по-диференцирано и по-високо ниво на ред. Термин от теорията на самоорганизацията.
Свойства на точката на бифуркация
- Непредсказуемост. Обикновено точката на бифуркация има няколко атракторни клона (стабилни режими на работа), един от които системата ще следва. Невъзможно е обаче да се предвиди предварително кой нов атрактор ще заеме системата.
- Точката на бифуркация е краткосрочна по природа и разделя по-дълго стабилни режими на системата.
- Ефектът на лавината на хеш функциите включва планирани точки на бифуркация, които умишлено въвеждат непредсказуеми промени в крайната форма на хеш низа, когато дори един знак в оригиналния низ се промени.
Вижте също
Напишете отзив за статията "Точка на бифуркация"
Литература
- // Лебедев С. А.Философия на науката: Речник на основните термини. - М.: Академичен проект, 2004. - 320 с. - (Поредица “Гаудеамус”).
Откъс, характеризиращ точката на бифуркация
— Cette pauvre armee — каза той изведнъж, — elle a bien diminue depuis Смоленск. La fortune est une franche courtisane, Rapp; je le disais toujours, et je commence a l "eprouver. Mais la garde, Rapp, la garde est intacte? [Горката армия! Тя значително намаля след Смоленск. Съдбата е истинска блудница, Рап. Винаги съм казвал това и започвам да го изпиташ. Но охраната, Рап, охраната непокътната?] – каза той въпросително.„Да, сър, [Да, сър.]“, отговори Рап.
Наполеон взе таблетката, сложи я в устата си и погледна часовника си. Той не искаше да спи; сутринта беше още далеч; и за да се убие времето, вече не можеше да се правят никакви заповеди, защото всичко беше направено и сега се изпълняваше.
– A t on distribue les biscuits et le riz aux regiments de la garde? [Раздаваха ли крекери и ориз на охраната?] - попита строго Наполеон.
– Да, сър. [Да сър.]
– Mais le riz? [Но ориз?]
Рап отговори, че е предал заповедите на суверена за ориза, но Наполеон поклати глава с недоволство, сякаш не вярваше, че заповедта му ще бъде изпълнена. Слугата влезе с удар. Наполеон нареди да донесат още една чаша на Рап и мълчаливо отпи от своята.
„Нямам нито вкус, нито обоняние“, каза той, помирисвайки чашата. „Омръзна ми тази хрема.“ Те говорят за медицина. Какво лекарство има, когато те не могат да излекуват хрема? Корвисар ми даде тези таблетки за смучене, но не помагат. Какво могат да лекуват? Не може да се лекува. Notre corps est une machine a vivre. Il est organize pour cela, c"est sa nature; laissez y la vie a son aise, qu"elle s"y defende elle meme: elle fera plus que si vous la paralysiez en l"encombrant de remedes. Notre corps est comme une montre parfaite qui doit aller un certain temps; l"horloger n"a pas la faculte de l"ouvrir, il ne peut la manier qu"a tatons et les yeux bandes. Notre corps est une machine a vivre, voila tout. [Нашето тяло е машина за цял живот. Това е, за което е предназначено. Оставете живота в него, нека се защитава, тя ще направи повече сама, отколкото когато й пречите с лекарства. Нашето тяло е като часовник, който трябва да работи за определено време; часовникарят не може да ги отвори и може да ги управлява само с допир и със завързани очи. Тялото ни е машина за цял живот. Това е всичко.] – И сякаш тръгнал по пътя на определенията, определения, които Наполеон обичаше, той внезапно даде ново определение. – Знаеш ли, Рап, какво е изкуството на войната? - попита той. – Изкуството да бъдеш по-силен от врага в даден момент. Готово. [Това е всичко.]
Дисипативни отворени системи. Точка на бифуркация.
Отворените системи, в които се наблюдава нарастване на ентропията, се наричат дисипативни. В такива системи енергията на подреденото движение се трансформира в енергията на безпорядъчното хаотично движение, в топлина. Ако една затворена система (хамилтонова система), извадена от състояние на равновесие, винаги се стреми да се върне към максимума на ентропията, тогава в отворена система изтичането на ентропия може да балансира растежа си в самата система и има възможност за възникване на стационарно състояние. Ако изтичането на ентропия надвиши нейния вътрешен растеж, тогава възникват широкомащабни флуктуации и нарастват до макроскопично ниво и при определени условия в системата започват да се случват процеси на самоорганизиране и създаване на подредени структури.
Когато се изучават системи, те често се описват чрез система от диференциални уравнения. Представянето на решението на тези уравнения като движение на определена точка в пространството с размерност, равна на броя на променливите, се нарича фазови траектории на системата. Поведението на фазовата траектория по отношение на стабилността показва, че има няколко основни вида, когато всички решения на системата в крайна сметка се фокусират върху определено подмножество. Такова подмножество се нарича атрактор. Атракторима област на привличане, набор от начални точки, така че с увеличаването на времето всички фазови траектории, които започват в тях, се стремят точно към този атрактор.
Основните видове атрактори са:
стабилни гранични точки
· стабилни цикли (траекторията клони към някаква затворена крива)
· тори (към повърхността на които се приближава траекторията)
Движението на точка в такива случаи има периодичен или квазипериодичен характер. Съществуват и така наречените странни атрактори, характерни само за дисипативните системи, които за разлика от обикновените не са подмногообразия на фазовото пространство (точка, цикъл, тор, хипертор) и движението на точка върху тях е нестабилно. , всеки две траектории по него винаги се разминават, малка промяна в първоначалните данни води до различни пътища на развитие. С други думи, динамиката на системите със странни атрактори е хаотична.
Уравненията със странни атрактори не са никаква екзотика. Пример за такава система е системата на Лоренц, получена от хидродинамичните уравнения в задачата за термоконвекция на течен слой, нагрят отдолу.
Структурата на странните атрактори е забележителна. Тяхното уникално свойство е структурата на мащабиране или широкомащабна самоповторяемост. Това означава, че чрез разширяване на част от атрактор, съдържаща безкраен брой криви, може да се провери неговата прилика с широкомащабно представяне на част от атрактора. За обекти, които имат способността безкрайно да повтарят собствената си структура на микро ниво, има специално име - фрактали.
Динамичните системи, които зависят от определен параметър, като правило се характеризират с плавна промяна в характера на поведението при промяна на параметъра. Въпреки това, параметърът може да има някаква критична (бифуркационна) стойност, при преминаване на която атракторът претърпява качествено преструктуриране и съответно динамиката на системата се променя рязко, например се губи стабилност. Загубата на стабилност възниква, като правило, чрез преход от точка на стабилност към стабилен цикъл (мека загуба на стабилност), излизане на траекторията от стабилна позиция (твърда загуба на стабилност) и раждането на цикли с двоен период. При по-нататъшни промени в параметъра могат да се появят тори и след това странни атрактори, тоест хаотични процеси.
Тук трябва да се каже, че в специалния смисъл на думата хаос означава неправилно движение, описано от детерминистични уравнения. Неравномерното движение предполага невъзможността да се опише чрез сумата от хармонични движения.
Точка на бифуркация- едно от най-значимите понятия в теорията на самоорганизацията. Това е период или момент в историята на една система, когато тя се трансформира от една системна сигурност в друга. Неговите качествени характеристики след достигане на точката на бифуркация са обречени на коренна промяна, водеща до промяна в същността на самата система. Механизмът за трансформация на системата, който работи в такива моменти, е свързан с разклоняването на траекторията на системата, което се определя от наличието на конкуренция между атракторите.
Бифуркационни точки- специални моменти в развитието на живи и неживи системи, когато устойчивото развитие, способността да се потискат случайни отклонения от основната посока, се заменят с нестабилност. Две или повече (вместо едно) нови състояния стават стабилни. Изборът между тях се определя от случайността, в явленията на социалния живот - от волевото решение. След като направите избор, механизмите за саморегулиране поддържат системата в едно състояние (на една траектория), преходът към друга траектория става труден. Например, еволюцията на живите организми и появата на нови видове напълно се вписват в тази схема. С промяната на условията предишният добре адаптиран вид губи стабилност и в резултат на бифуркацията два нови вида се различават от предишния и в още по-голяма степен - един от друг. Примери за бифуркационни точки: замръзване на преохладена вода; промяна на политическата структура на държавата чрез революция.
Точка на бифуркация- период в развитието на системата, когато предишният стабилен, линеен и предвидим път на развитие на системата става невъзможен, това е точка на критична нестабилност на развитието, в която системата се преустройва, избира един от възможните пътища на по-нататъшно развитие, тоест възниква определен фазов преход.
Примери за бифуркацияв различни системи могат да служат: речна бифуркация - разделяне на речното корито и долината му на два ръкава, които впоследствие не се сливат и се вливат в различни басейни; в медицината - разделянето на тръбен орган (съд или бронх) на 2 клона от същия калибър, простиращи се отстрани под същите ъгли; механична бифуркация - придобиване на ново качество в движенията на динамична система с малка промяна в нейните параметри; в образователната система - разделяне на старшите класове на образователна институция на два отдела; време-пространствена бифуркация (в научната фантастика) - разделяне на времето на няколко потока, всеки от които има свои собствени събития. В паралелното време-пространство героите имат различни животи.