Това е задължително при решаване на система от експоненциални уравнения? със сигурност трансформациятази система в система от прости уравнения.
Примери.
Решете системи от уравнения:
Да изразим припрез хот (2) системното уравнение и заместете тази стойност в (1) системното уравнение.
Решаваме (2) уравнението на получената система:
2 x +2 x +2 =10, приложете формулата: a x + г=a x∙ a y.
2 x +2 x ∙2 2 =10, нека извадим общия множител 2 x извън скобите:
2 x (1+2 2)=10 или 2 x ∙5=10, следователно 2 x =2.
2 x =2 1, оттук х=1. Да се върнем към системата от уравнения.
Отговор: (1; 2).
Решение.
Представяме лявата и дясната страна на (1) уравнение под формата на степени с основа 2 , а дясната страна на (2) уравнението като нулева степен на числото 5 .
Ако две степени с еднакви основи са равни, то показателите на тези степени са равни - приравняваме степените с основите 2 и показатели с бази 5 .
Решаваме получената система от линейни уравнения с две променливи, като използваме метода на добавяне.
Намираме х=2и вместо това заместваме тази стойност хвъв второто уравнение на системата.
Намираме при.
Отговор: (2; 1,5).
Решение.
Ако в предишните два примера преминахме към по-проста система, като приравнихме показателите на две степени с еднакви бази, то в третия пример тази операция е невъзможна. Удобно е да се решават такива системи чрез въвеждане на нови променливи. Ще въведем променливи uИ v,и след това изразете променливата uпрез vи получаваме уравнение за променливата v.
Решаваме (2) тото уравнение на системата.
v 2 +63v-64=0. Нека изберем корените с помощта на теоремата на Vieta, като знаем, че: v 1 +v 2 = -63; v 1 ∙v 2 =-64.
Получаваме: v 1 =-64, v 2 =1. Връщаме се в системата и намираме u.
Тъй като стойностите на експоненциалната функция винаги са положителни, уравненията 4 x = -1 и 4 y = -64 нямат решения.
Урок и презентация на тема: "Показателни уравнения и показателни неравенства"
Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.
Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин Интеграл за 11 клас
Интерактивно помагало за 9–11 клас „Тригонометрия“
Интерактивно ръководство за 10–11 клас „Логаритми“
Дефиниция на експоненциалните уравнения
Момчета, изучавахме експоненциални функции, научихме техните свойства и изградихме графики, анализирахме примери за уравнения, в които бяха намерени експоненциални функции. Днес ще изучаваме експоненциални уравнения и неравенства.Определение. Уравнения от вида: $a^(f(x))=a^(g(x))$, където $a>0$, $a≠1$ се наричат експоненциални уравнения.
Припомняйки си теоремите, които изучавахме в темата "Експоненциална функция", можем да въведем нова теорема:
Теорема. Експоненциалното уравнение $a^(f(x))=a^(g(x))$, където $a>0$, $a≠1$ е еквивалентно на уравнението $f(x)=g(x) $.
Примери за експоненциални уравнения
Пример.Решете уравнения:
а) $3^(3x-3)=27$.
б) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
в) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Решение.
а) Знаем добре, че $27=3^3$.
Нека пренапишем нашето уравнение: $3^(3x-3)=3^3$.
Използвайки горната теорема, откриваме, че нашето уравнение се свежда до уравнението $3x-3=3$; решавайки това уравнение, получаваме $x=2$.
Отговор: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Тогава нашето уравнение може да бъде пренаписано: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
Отговор: $x=0$.
В) Първоначалното уравнение е еквивалентно на уравнението: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ и $x_2=-3$.
Отговор: $x_1=6$ и $x_2=-3$.
Пример.
Решете уравнението: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Решение:
Нека извършим поредица от действия последователно и приведем двете страни на нашето уравнение към едни и същи основи.
Нека извършим няколко операции от лявата страна:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Да преминем към дясната страна:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Оригиналното уравнение е еквивалентно на уравнението:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Отговор: $x=0$.
Пример.
Решете уравнението: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Решение:
Нека пренапишем нашето уравнение: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Нека направим промяна на променливите, нека $a=3^x$.
В новите променливи уравнението ще приеме формата: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ и $a_2=3$.
Нека извършим обратната промяна на променливите: $3^x=-12$ и $3^x=3$.
В последния урок научихме, че експоненциалните изрази могат да приемат само положителни стойности, запомнете графиката. Това означава, че първото уравнение няма решения, второто уравнение има едно решение: $x=1$.
Отговор: $x=1$.
Нека си припомним как се решават експоненциални уравнения:
1. Графичен метод.Ние представяме двете страни на уравнението под формата на функции и изграждаме техните графики, намираме точките на пресичане на графиките. (Използвахме този метод в миналия урок).
2. Принципът на равенство на показателите.Принципът се основава на факта, че два израза с еднакви основи са равни тогава и само ако степените (експонентите) на тези основи са равни. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод на променлива замяна.Този метод трябва да се използва, ако уравнението при замяна на променливи опростява формата си и е много по-лесно за решаване.
Пример.
Решете системата от уравнения: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \край (случаи)$.
Решение.
Нека разгледаме двете уравнения на системата поотделно:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Разгледайте второто уравнение:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Нека използваме метода за промяна на променливите, нека $y=2^(x+y)$.
Тогава уравнението ще приеме формата:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ и $y_2=-3$.
Нека преминем към началните променливи, от първото уравнение получаваме $x+y=2$. Второто уравнение няма решения. Тогава нашата първоначална система от уравнения е еквивалентна на системата: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \край (случаи)$.
Извадете второто от първото уравнение, получаваме: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \край (случаи)$.
$\begin (cases) y=-1, \\ x=3. \край (случаи)$.
Отговор: $(3;-1)$.
Експоненциални неравенства
Да преминем към неравенствата. При решаване на неравенства е необходимо да се обърне внимание на основата на степента. Има два възможни сценария за развитие на събитията при решаване на неравенства.Теорема. Ако $a>1$, тогава експоненциалното неравенство $a^(f(x))>a^(g(x))$ е еквивалентно на неравенството $f(x)>g(x)$.
Ако $0
Пример.
Решаване на неравенства:
а) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Решение.
а) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Нашето неравенство е еквивалентно на неравенството:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) В нашето уравнение основата е когато степента е по-малко от 1, тогава При замяна на неравенство с еквивалентно е необходимо да се смени знака.
$2x-4>2$.
$x>3$.
В) Нашето неравенство е еквивалентно на неравенството:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Нека използваме метода на интервално решение:
Отговор: $(-∞;-5]U \ \
Отговор: $(-4,6)$.
Пример 2
Решете система от уравнения
Фигура 3.
Решение.
Тази система е еквивалентна на системата
Фигура 4.
Нека приложим четвъртия метод за решаване на уравнения. Нека $2^x=u\ (u >0)$ и $3^y=v\ (v >0)$, получаваме:
Фигура 5.
Нека решим получената система с помощта на метода на добавяне. Нека съберем уравненията:
\ \
Тогава от второто уравнение получаваме това
Връщайки се към замяната, получих нова система от експоненциални уравнения:
Фигура 6.
Получаваме:
Фигура 7.
Отговор: $(0,1)$.
Системи от експоненциални неравенства
Определение 2
Системи от неравенства, състоящи се от показателни уравнения, се наричат системи от показателни неравенства.
Ще разгледаме решаването на системи от експоненциални неравенства с помощта на примери.
Пример 3
Решете системата от неравенства
Фигура 8.
Решение:
Тази система от неравенства е еквивалентна на системата
Фигура 9.
За да разрешите първото неравенство, припомнете си следната теорема за еквивалентността на експоненциалните неравенства:
Теорема 1.Неравенството $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, където $a >0,a\ne 1$ е еквивалентно на съвкупността от две системи
\}