Най-голяма и най-малка стойност на функция

Най-голямата стойност на функцията е най-голямата, най-малката стойност е най-малката от всички нейни стойности.

Една функция може да има само една най-голяма и само една най-малка стойност или може да няма никаква. Намирането на най-големите и най-малките стойности на непрекъснати функции се основава на следните свойства на тези функции:

1) Ако в даден интервал (краен или безкраен) функцията y=f(x) е непрекъсната и има само един екстремум и ако това е максимум (минимум), то това ще бъде най-голямата (най-малката) стойност на функцията в този интервал.

2) Ако функцията f(x) е непрекъсната на определен сегмент, тогава тя задължително има най-големите и най-малките стойности на този сегмент. Тези стойности се достигат или в екстремни точки, разположени вътре в сегмента, или в границите на този сегмент.

За да намерите най-големите и най-малките стойности на сегмент, се препоръчва да използвате следната схема:

1. Намерете производната.

2. Намерете критични точки на функцията, при които =0 или не съществува.

3. Намерете стойностите на функцията в критични точки и в краищата на сегмента и изберете от тях най-големия f max и най-малкия f max.

При решаване приложни проблеми, по-специално оптимизация, важноимат задачи за намиране на най-големите и най-малките стойности (глобален максимум и глобален минимум) на функция в интервала X. За решаване на такива проблеми трябва, въз основа на условието, да изберете независима променлива и да изразите изследваната стойност чрез тази променлива. След това намерете желаната най-голяма или най-малка стойност на получената функция. В този случай интервалът на промяна на независимата променлива, който може да бъде краен или безкраен, също се определя от условията на задачата.

Пример.Резервоар с форма на отворен връх правоъгълен паралелепипедс квадратно дъно, трябва да калайдисате вътрешността. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара, ако капацитетът му е 108 литра? вода, така че разходите за калайдисването й да са минимални?

Решение.Цената за покриване на резервоар с калай ще бъде минимална, ако за даден капацитет повърхността му е минимална. Нека означим с a dm страната на основата, b dm височината на резервоара. Тогава площта S на неговата повърхност е равна на

И

Получената връзка установява връзката между повърхността на резервоара S (функция) и страната на основата a (аргумент). Нека разгледаме функцията S за екстремум. Нека намерим първата производна, приравним я към нула и решим полученото уравнение:

Следователно a = 6. (a) > 0 за a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Пример. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция на интервала.

Решение: Определена функциянепрекъсната на цялата числова ос. Производна на функция

Производна за и за . Нека изчислим стойностите на функцията в тези точки:

.

Стойностите на функцията в краищата на дадения интервал са равни. Следователно най-голямата стойност на функцията е равна на at , най-малката стойност на функцията е равна на at .

Въпроси за самопроверка

1. Формулирайте правилото на L'Hopital за разкриване на несигурности на формата. списък различни видовенесигурности, за които може да се използва правилото на L'Hopital.

2. Формулирайте признаците на нарастваща и намаляваща функция.

3. Дефинирайте максимума и минимума на функция.

4. Формулирайте необходимо условиеналичие на екстремум.

5. Какви стойности на аргумента (кои точки) се наричат ​​критични? Как да намерите тези точки?

6. Кои са достатъчни признаци за съществуването на екстремум на функция? Очертайте схема за изследване на функция при екстремум, използвайки първата производна.

7. Очертайте схема за изследване на функция при екстремум с помощта на втората производна.

8. Дефиниране на изпъкналост и вдлъбнатост на крива.

9. Какво се нарича инфлексна точка на графиката на функция? Посочете метод за намиране на тези точки.

10. Формулирайте необходимите и достатъчни признаци на изпъкналост и вдлъбнатост на крива върху за този сегмент.

11. Дефинирайте асимптотата на крива. Как да намерите вертикални, хоризонтални и наклонени асимптотифункционална графика?

12. Контур обща схемаизследване на функция и начертаване на нейната графика.

13. Формулирайте правило за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция на даден интервал.

И за да го решите, ще ви трябват минимални познания по темата. Следващият свършва учебна година, всеки иска да отиде на почивка и за да доближа този момент, ще премина направо към въпроса:

Да започнем с района. Посочената в условието площ е ограничен затворен набор от точки на равнина. Например множеството точки, ограничени от триъгълник, включително ЦЕЛИЯ триъгълник (ако от граници„извадете“ поне една точка, тогава регионът вече няма да бъде затворен). На практика има и области, които са правоъгълни, кръгли и малко по-големи. сложни форми. Трябва да се отбележи, че на теория математически анализдадени са строги определения ограничения, изолация, граници и др., но мисля, че всеки е наясно с тези понятия на интуитивно ниво и сега не е необходимо нищо повече.

Плоската площ стандартно се обозначава с буквата и, като правило, се определя аналитично - чрез няколко уравнения (не непременно линеен); по-рядко неравенства. Типично многословие: „затворена зона, ограничени с линии ».

Неразделна частВъпросната задача е да се построи област в чертежа. Как да стане това? Трябва да начертаете всички изброени линии (в в този случай 3 прав) и анализирайте случилото се. Търсената зона обикновено е леко засенчена, а границата й е маркирана с дебела линия:


Същата област също може да бъде зададена линейни неравенства: , които по някаква причина често се записват като изброен списък, а не като система.
Тъй като границата принадлежи на региона, тогава всички неравенства, разбира се, отпуснат.

А сега същността на задачата. Представете си, че оста излиза право към вас от началото. Помислете за функция, която непрекъснато във всякаплощна точка. Графиката на тази функция представлява някои повърхност, а малкото щастие е, че за да решим днешния проблем, не е нужно да знаем как изглежда тази повърхност. Тя може да бъде разположена по-високо, по-ниско, да пресича равнината - всичко това няма значение. А важно е следното: съгл Теореми на Вайерщрас, непрекъснато V ограничено затворенплощ функцията достига най-голямата си стойност („най-високият“)и най-малкото („най-ниската“)стойности, които трябва да бъдат намерени. Такива стойности се постигат или V стационарни точки, принадлежащи към регионаг , илив точки, които лежат на границата на тази област. Това води до прост и прозрачен алгоритъм за решение:

Пример 1

В ограничено затворена зона

Решение: Първо, трябва да изобразите областта на чертежа. За съжаление, за мен е технически трудно да направя интерактивен модел на проблема и затова веднага ще представя окончателната илюстрация, която показва всички „подозрителни“ точки, открити по време на изследването. Те обикновено са изброени един след друг, когато бъдат открити:

Въз основа на преамбюла решението може удобно да се раздели на две точки:

I) Намерете стационарни точки. Това е стандартно действие, което изпълнявахме многократно в клас. за екстремуми на няколко променливи:

Намерена неподвижна точка принадлежиобласти: (маркирайте го на чертежа), което означава, че трябва да изчислим стойността на функцията в дадена точка:

- както е в статията Най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент, важни резултатиЩе подчертая в удебелен шрифт. Удобно е да ги очертаете в тетрадка с молив.

Обърнете внимание на второто ни щастие - няма смисъл да проверявате достатъчно условие за екстремум. защо Дори ако в даден момент функцията достигне, напр. местен минимум, то това НЕ ОЗНАЧАВА, че получената стойност ще бъде минималенв целия регион (вижте началото на урока за безусловните крайности) .

Какво да направите, ако стационарната точка НЕ ​​принадлежи към областта? Почти нищо! Трябва да се отбележи това и да преминете към следващата точка.

II) Изследваме границата на региона.

Тъй като границата се състои от страни на триъгълник, е удобно изследването да се раздели на 3 подраздела. Но е по-добре да не го правите така или иначе. От моя гледна точка е по-изгодно първо да разгледаме сегментите успоредни координатни оси, и на първо място тези, които лежат върху самите оси. За да разберете цялата последователност и логика на действията, опитайте се да изучите края „на един дъх“:

1) Нека се заемем с долната страна на триъгълника. За да направите това, заменете директно във функцията:

Като алтернатива можете да го направите по следния начин:

Геометрично това означава, че координатна равнина (което също е дадено от уравнението)"издълбава" от повърхности"пространствена" парабола, чийто връх веднага попада под съмнение. Нека разберем къде се намира тя:

– получената стойност „падна“ в зоната и може да се окаже, че в точката (отбелязано на чертежа)функцията достига своя максимум или най-ниска стойноств целия регион. По един или друг начин, нека направим изчисленията:

Другите „кандидати” са, разбира се, края на сегмента. Нека изчислим стойностите на функцията в точки (отбелязано на чертежа):

Тук, между другото, можете да извършите устна мини-проверка, като използвате „съкратена“ версия:

2) За изследване дясната страназаместваме триъгълника във функцията и „подреждаме нещата“:

Тук веднага ще извършим груба проверка, „звънейки“ на вече обработения край на сегмента:
, Страхотно.

Геометричната ситуация е свързана предишна точка:

– получената стойност също „попадна в сферата на нашите интереси“, което означава, че трябва да изчислим на какво е равна функцията в появилата се точка:

Нека разгледаме втория край на сегмента:

Използване на функцията , нека направим контролна проверка:

3) Вероятно всеки може да се досети как да изследва останалата страна. Ние го заместваме във функцията и извършваме опростявания:

Краища на сегмента вече са проучени, но в черновата все още проверяваме дали сме намерили функцията правилно :
– съвпадна с резултата от алинея 1;
– съвпадна с резултата от 2-ра алинея.

Остава да разберем дали има нещо интересно вътре в сегмента:

- Има! Замествайки правата линия в уравнението, получаваме ординатата на тази „интересност“:

Маркираме точка на чертежа и намираме съответната стойност на функцията:

Нека проверим изчисленията с помощта на „бюджетната“ версия :
, ред.

И последната стъпка: Ние ВНИМАТЕЛНО преглеждаме всички „удебелени“ числа, препоръчвам на начинаещите дори да направят един списък:

от които избираме най-голямата и най-малката стойност. отговорНека запишем в стила на задачата за намиране най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент:

За всеки случай пак ще коментирам геометричен смисълрезултат:
- тук е най висока точкаповърхности в района;
- тук е най ниска точкаповърхности в района.

В анализираната задача идентифицирахме 7 „съмнителни“ точки, но техният брой варира от задача до задача. За триъгълен регион минималният "набор за изследване" се състои от три точки. Това се случва, когато функцията например указва самолет– напълно ясно е, че стационарни точки няма и функцията може да достигне своите максимални/най-малки стойности само във върховете на триъгълника. Но има само един или два подобни примера - обикновено трябва да се справите с някакъв вид повърхност от 2-ри ред.

Ако се опитате да решите малко такива задачи, тогава триъгълниците могат да ви замаят главата и затова подготвих за вас необичайни примеритака че да стане квадрат :))

Пример 2

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена зона, ограничена с линии

Пример 3

Намерете най-големите и най-малките стойности на функция в ограничена затворена област.

Специално вниманиеОбърнете внимание на рационалния ред и техника на изучаване на границата на региона, както и на веригата от междинни проверки, които почти напълно ще избегнат изчислителните грешки. Най-общо казано, можете да го решите както искате, но в някои задачи, например в Пример 2, има всички шансове да направите живота си много по-труден. Приблизителна пробазавършване на задачите в края на урока.

Нека систематизираме алгоритъма за решение, иначе с моето старание като паяк някак си се изгуби в дългата нишка от коментари на 1-вия пример:

– На първата стъпка изграждаме зона, препоръчително е да я засенчваме и да подчертаем границата с удебелена линия. По време на решението ще се появят точки, които трябва да бъдат маркирани на чертежа.

– Намерете стационарни точки и изчислете стойностите на функцията само в тези от тяхкоито принадлежат към региона. Маркираме получените стойности в текста (например, кръгирайте ги с молив). Ако стационарна точка НЕ ​​принадлежи към региона, тогава отбелязваме този факт с икона или устно. Ако стационарни точкиизобщо не, тогава правим писмено заключение, че липсват. Във всеки случай тази точка не може да бъде пропусната!

– Проучваме границата на региона. Първо, полезно е да разберете правите линии, които са успоредни на координатните оси (ако изобщо ги има). Ние също така подчертаваме стойностите на функцията, изчислени в „подозрителни“ точки. По-горе беше казано много за техниката на решение и още нещо ще бъде казано по-долу - четете, препрочитайте, задълбавайте в нея!

– От избраните числа изберете най-голямата и най-малката стойност и дайте отговора. Понякога се случва функцията да достигне такива стойности в няколко точки наведнъж - в този случай всички тези точки трябва да бъдат отразени в отговора. нека например и се оказа, че това е най-малката стойност. След това записваме това

Последните примери са посветени на др полезни идеикоито ще бъдат полезни на практика:

Пример 4

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена област .

Запазих формулировката на автора, в която площта е дадена под формата на двойно неравенство. Това условие може да бъде написано чрез еквивалентна система или в по-традиционна форма за този проблем:

Напомням ви, че с нелинейнисрещнахме неравенства на и ако не разбирате геометричния смисъл на нотацията, моля, не отлагайте и изяснете ситуацията точно сега;-)

Решение, както винаги, започва с изграждането на област, която представлява един вид „подметка“:

Хм, понякога трябва да дъвчете не само гранита на науката...

I) Намерете стационарни точки:

Системата е мечта на идиот :)

Стационарна точка принадлежи на региона, а именно лежи на неговата граница.

И така, всичко е наред... урокът мина добре - ето какво означава да пиете правилния чай =)

II) Изследваме границата на региона. Без повече шум, нека започнем с оста x:

1) Ако , тогава

Нека намерим къде е върхът на параболата:
– ценете такива моменти – „уцелили“ сте точно до точката, от която вече всичко е ясно. Но все пак не забравяме проверката:

Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента:

2) В отдолуНека да разберем „дъната“ „на едно заседание“ - ние ги заместваме във функцията без никакви комплекси и ще се интересуваме само от сегмента:

Контрол:

Това вече носи известно вълнение в монотонното шофиране по назъбената писта. Нека намерим критичните точки:

Нека решим квадратно уравнение, помниш ли още нещо по въпроса? ...Въпреки това, не забравяйте, разбира се, иначе нямаше да четете тези редове =) Ако в двата предишни примера изчисленията в десетични знаци(което между другото е рядкост), тогава тук ни очакват обичайните обикновени дроби. Намираме корените „X“ и използваме уравнението, за да определим съответните координати на „играта“ на точките „кандидат“:


Нека изчислим стойностите на функцията в намерените точки:

Проверете сами функцията.

Сега внимателно проучваме спечелените трофеи и ги записваме отговор:

Това са „кандидати“, това са „кандидати“!

За да го решите сами:

Пример 5

Намерете най-малката и най-висока стойностфункции в затворена зона

Запис с фигурни скоби гласи така: „набор от точки, такива, че.“

Понякога в подобни примериизползване Метод на умножителя на Лагранж, но едва ли ще има реална нужда от използването му. Така например, ако е дадена функция със същата площ „de“, то след заместване в нея – с производна от без затруднения; Освен това всичко е начертано в „един ред“ (със знаци), без да е необходимо да се разглеждат отделно горните и долните полукръгове. Но, разбира се, има и още сложни случаи, къде без функцията на Лагранж (където например е същото уравнение на кръг)Трудно е да минеш – както е трудно да минеш без добра почивка!

Приятно прекарване на всички и до скоро следващия сезон!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: Нека изобразим областта на чертежа:

Процесът на търсене на най-малките и най-големите стойности на функция в сегмент напомня на завладяващ полет около обект (функционална графика) в хеликоптер, стрелба в определени точки от оръдие с голям обсег и избиране на много специални точки от тези точки за контролни изстрели. Точките се избират по определен начин и според определени правила. По какви правила? Ще говорим за това по-нататък.

Ако функцията г = f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b] , тогава достига до този сегмент най-малко и най-високи стойности . Това може да се случи или в екстремни точки, или в краищата на сегмента. Следователно, за да намерите най-малко и най-големите стойности на функцията , непрекъснато на интервала [ а, b], трябва да изчислите стойностите му във всички критични точкии в краищата на сегмента, след което изберете най-малкия и най-големия от тях.

Нека, например, искате да определите най-голямата стойност на функцията f(х) на сегмента [ а, b] . За да направите това, трябва да намерите всички негови критични точки, лежащи на [ а, b] .

Критична точка наречена точката, в която дефинирана функция, и нея производнаили е равно на нула, или не съществува. След това трябва да изчислите стойностите на функцията в критичните точки. И накрая, трябва да сравните стойностите на функцията в критични точки и в краищата на сегмента ( f(а) И f(b)). Най-голямото от тези числа ще бъде най-голямата стойност на функцията върху сегмента [а, b] .

Проблеми с намирането най-малките стойности на функцията .

Търсим най-малката и най-голямата стойност на функцията заедно

Пример 1. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента [-1, 2] .

Решение. Намерете производната на тази функция. Нека приравним производната към нула () и да получим две критични точки: и . За да намерите най-малката и най-голямата стойност на функция на даден сегмент, достатъчно е да изчислите нейните стойности в краищата на сегмента и в точката, тъй като точката не принадлежи на сегмента [-1, 2]. Тези стойности на функцията са както следва: , , . От това следва, че най-малката стойност на функцията(обозначено в червено на графиката по-долу), равно на -7, се постига в десния край на сегмента - в точка , и най-великият(също червено на графиката), е равно на 9, - в критичната точка.

Ако една функция е непрекъсната в определен интервал и този интервал не е сегмент (но е, например, интервал; разликата между интервал и сегмент: граничните точки на интервала не са включени в интервала, но граничните точки на сегмента са включени в сегмента), тогава сред стойностите на функцията може да няма най-малката и най-голямата. Така например функцията, показана на фигурата по-долу, е непрекъсната върху ]-∞, +∞[ и няма най-голямата стойност.

Въпреки това, за всеки интервал (затворен, отворен или безкраен), следното свойство на непрекъснатите функции е вярно.

Пример 4. Намерете най-малките и най-големите стойности на функция на сегмента [-1, 3] .

Решение. Намираме производната на тази функция като производна на частното:

.

Приравняваме производната на нула, което ни дава една критична точка: . Принадлежи към сегмента [-1, 3] . За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Нека сравним тези стойности. Заключение: равно на -5/13, в точка и най-висока стойностравно на 1 в точка .

Продължаваме да търсим най-малката и най-голямата стойност на функцията заедно

Има учители, които по темата за намиране на най-малката и най-голямата стойност на функция не дават на учениците примери за решаване, които са по-сложни от току-що обсъдените, тоест тези, в които функцията е полином или дроб, чиито числител и знаменател са полиноми. Но ние няма да се ограничим до такива примери, тъй като сред учителите има такива, които обичат да принуждават учениците да мислят изцяло (таблицата на производните). Следователно ще се използват логаритъм и тригонометрична функция.

Пример 6. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намираме производната на тази функция като производно на продукта :

Приравняваме производната на нула, което дава една критична точка: . Принадлежи към сегмента. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Резултат от всички действия: функцията достига минималната си стойност, равно на 0, в точката и в точката и най-висока стойност, равен д², в точката.

Пример 7. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намерете производната на тази функция:

Приравняваме производната на нула:

Единствената критична точка принадлежи на сегмента. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Заключение: функцията достига минималната си стойност, равно на , в точката и най-висока стойност, равен , в точката .

В приложните екстремални проблеми намирането на най-малките (максимални) стойности на функция, като правило, се свежда до намиране на минимума (максимум). Но не самите минимуми или максимуми са от по-голям практически интерес, а тези стойности на аргумента, при които те са постигнати. При решаване на приложни задачи възниква допълнителна трудност- компилация от функции, описващи разглежданото явление или процес.

Пример 8.Резервоар с вместимост 4, имащ формата на паралелепипед с квадратна основаи отворена отгоре, трябва да я калайдисате. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара, така че да поеме най-малко количествоматериал?

Решение. Нека х- основна страна, ч- височина на резервоара, С- неговата повърхност без покритие, V- обемът му. Площта на резервоара се изразява с формулата, т.е. е функция на две променливи. Да изразя Скато функция на една променлива използваме факта, че , от където . Заместване на намерения израз чвъв формулата за С:

Нека разгледаме тази функция до нейния екстрем. Той е дефиниран и диференцируем навсякъде в ]0, +∞[ и

.

Приравняваме производната на нула () и намираме критичната точка. Освен това, когато производната не съществува, но тази стойност не е включена в областта на дефиниция и следователно не може да бъде точка на екстремум. Така че това е единствената критична точка. Нека го проверим за наличие на екстремум, като използваме втория достатъчен знак. Нека намерим втората производна. Когато втората производна е по-голяма от нула (). Това означава, че когато функцията достигне минимум . Тъй като това minimum е единственият екстремум на тази функция, това е нейната най-малка стойност. Така че страната на основата на резервоара трябва да бъде 2 m, а височината му трябва да бъде .

Пример 9.От точка Анамиращ се на жп линията, до пункта СЪС, разположен на разстояние от него л, товарът трябва да бъде транспортиран. Разходите за транспортиране на единица тегло на единица разстояние с железопътен транспорт са равни на , а по магистрала са равни на . До кой момент Млинии ж.птрябва да се построи магистрала за превоз на товари А V СЪСбеше най-икономичният (раздел ABжелезопътната линия се приема за права)?

Стандартният алгоритъм за решаване на такива задачи включва след намиране на нулите на функцията определяне на знаците на производната на интервалите. След това се изчисляват стойностите в намерените максимални (или минимални) точки и на границата на интервала, в зависимост от това какъв въпрос е в условието.

Съветвам ви да правите нещата малко по-различно. защо Писах за това.

Предлагам решаване на такива проблеми както следва:

1. Намерете производната.
2. Намерете нулите на производната.
3. Определете кои от тях принадлежат даден интервал.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в границите на интервала и точките на стъпка 3.
5. Правим заключение (отговорете на поставения въпрос).

При решаването на представените примери решението не е разгледано подробно квадратни уравнения, трябва да можете да направите това. Те също трябва да знаят.

Нека да разгледаме примери:

77422. Намерете най-голямата стойност на функцията y=x 3 –3x+4 върху сегмента [–2;0].

Нека намерим нулите на производната:

Точката x = –1 принадлежи на посочения в условието интервал.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки –2, –1 и 0:

Най-голямата стойност на функцията е 6.

Отговор: 6

77425. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – 3x 2 + 2 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната:

Точката x = 2 принадлежи на зададения в условието интервал.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки 1, 2 и 4:

Най-малката стойност на функцията е –2.

Отговор: –2

77426. Намерете най-голямата стойност на функцията y = x 3 – 6x 2 на отсечката [–3;3].

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната:

Интервалът, посочен в условието, съдържа точката x = 0.

Изчисляваме стойностите на функцията в точки –3, 0 и 3:

Най-малката стойност на функцията е 0.

Отговор: 0

77429. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – 2x 2 + x +3 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Получаваме корените: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Интервалът, посочен в условието, съдържа само x = 1.

Нека намерим стойностите на функцията в точки 1 и 4:

Открихме, че най-малката стойност на функцията е 3.

Отговор: 3

77430. Намерете най-голямата стойност на функцията y = x 3 + 2x 2 + x + 3 върху отсечката [– 4; –1].

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната и решим квадратното уравнение:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Нека вземем корените:

Коренът x = –1 принадлежи на интервала, посочен в условието.

Намираме стойностите на функцията в точки –4, –1, –1/3 и 1:

Открихме, че най-голямата стойност на функцията е 3.

Отговор: 3

77433. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 3 – x 2 – 40x +3 върху отсечката.

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека намерим нулите на производната и решим квадратното уравнение:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Нека вземем корените:

Интервалът, посочен в условието, съдържа корена x = 4.

Намерете стойностите на функцията в точки 0 и 4:

Открихме, че най-малката стойност на функцията е –109.

Отговор: –109

Нека разгледаме начин за определяне на най-големите и най-малките стойности на функции без производна. Този подход може да се използва, ако имате големи проблеми. Принципът е прост - заместваме всички цели числа от интервала във функцията (факт е, че във всички такива прототипи отговорът е цяло число).

77437. Намерете най-малката стойност на функцията y=7+12x–x 3 на отсечката [–2;2].

Заместете точки от –2 на 2: Вижте решението

77434. Намерете най-голямата стойност на функцията y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 на отсечката [–2;0].

това е всичко Успех на теб!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Често във физиката и математиката се изисква да се намери най-малката стойност на функция. Сега ще ви кажем как да направите това.

Как да намерите най-малката стойност на функция: инструкции

1. За изчисляване на най-малката стойност непрекъсната функцияна даден сегмент трябва да следвате следния алгоритъм:
2. Намерете производната на функцията.
3. Намерете на дадена отсечка точките, в които производната е равна на нула, както и всички критични точки. След това разберете стойностите на функцията в тези точки, тоест решете уравнението, където x е равно на нула. Разберете коя стойност е най-малката.
4. Определете каква стойност има функцията крайни точки. Определете най-малката стойност на функцията в тези точки.
5. Сравнете получените данни с най-ниската стойност. По-малкото от получените числа ще бъде най-малката стойност на функцията.

Обърнете внимание, че ако функция в сегмент няма най-малките точки, това означава, че в даден сегмент се увеличава или намалява. Следователно най-малката стойност трябва да се изчисли върху крайните сегменти на функцията.

Във всички останали случаи стойността на функцията се изчислява по посочения алгоритъм. Във всяка точка от алгоритъма ще трябва да решите проста линейно уравнениес един корен. Решете уравнението с помощта на картина, за да избегнете грешки.

Как да намерим най-малката стойност на функция на полуотворен сегмент? При полуотворен или отворен период на функцията най-малката стойност трябва да се намери, както следва. В крайните точки на стойността на функцията изчислете едностранната граница на функцията. С други думи, решете уравнение, в което клонящите точки са дадени от стойностите a+0 и b+0, където a и b са имената критични точки.

Сега знаете как да намерите най-малката стойност на функция. Основното е да правите всички изчисления правилно, точно и без грешки.