Решаване на параметрични неравенства. Учебник "уравнения и неравенства с параметри"

Преглед:

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА МОСКОВСКАТА ОБЛАСТ

Държавна образователна институция NPO Професионално училище № 37

ПРОЕКТ:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРИ"

Завършено –

Мацук Галина Николаевна,

Учител по математика, Държавно учебно заведение НПО

професионално училище № 37 МО.

Г. Ногинск, 2011

1. Въведение

4. Методика за решаване на квадратни уравнения при начални условия.

6. Методика за решаване на квадратни неравенства с параметри в общ вид.

7. Методика за решаване на квадратни неравенства при начални условия.

8. Заключение.

9.Литература.

1. Въведение.

Основната задача на обучението по математика в професионалното училище е да осигури на учениците силно и съзнателно овладяване на системата от математически знания и умения, необходими в ежедневието и работата, достатъчни за изучаване на свързани дисциплини и продължаващо обучение, както и в професионални дейности, които изискват достатъчно висока математическа култура.

Профилираното обучение по математика се осъществява чрез решаване на приложни задачи, свързани с професиите металообработване, електромонтажни работи и дървообработване. За живота в съвременното общество е важно да се развие математически стил на общуване, който се проявява в определени умствени умения. Проблемите с параметрите имат диагностична и прогностична стойност. С тяхна помощ можете да проверите знанията си по основните раздели на елементарната математика, нивото на логическо мислене и първоначалните изследователски умения.

Учебните задачи с параметри изискват от учениците големи умствени и волеви усилия, развито внимание и култивиране на такива качества като активност, творческа инициатива и колективна когнитивна работа. Задачите с параметри са ориентирани за изучаване по време на общо повтаряне през 2-ра година при подготовка за окончателно държавно атестиране и през 3-та година в допълнителни часове при подготовка за ученици, които са изявили желание да положат окончателни изпити под формата на Единен държавен изпит. .

Основната посока на модернизиране на обучението по математика е разработването на механизми за окончателно сертифициране чрез въвеждане на Единен държавен изпит. През последните години в задачите по математика се въвеждат задачи с параметри. Такива задачи са задължителни за кандидатстудентските изпити. Появата на такива проблеми е много важна, тъй като с тяхна помощ те проверяват владеенето на кандидата с формули на елементарна математика, методи за решаване на уравнения и неравенства, способността за изграждане на логическа верига от разсъждения и нивото на логическо мислене на кандидата . Анализът на предишните резултати от Единния държавен изпит за няколко предишни години показва, че завършилите изпитват големи трудности при решаването на такива задачи и много дори не ги започват. Повечето или изобщо не могат да се справят с такива задачи, или предоставят тромави изчисления. Причината за това е липсата на система от задачи по тази тема в училищните учебници. В тази връзка възникна необходимостта от провеждане на специални теми в завършилите групи при подготовка за изпити за решаване на задачи с параметри и задачи от приложен характер, свързани с професионалното ориентиране.

Изучаването на тези теми е предназначено за студенти от 3-та година, които искат да се научат как да решават проблеми с повишено ниво на сложност в алгебрата и началото на анализа. Решаването на такива проблеми им създава значителни затруднения. Това се дължи на факта, че всяко уравнение или неравенство с параметри представлява цял клас обикновени уравнения и неравенства, за всяко от които трябва да се получи решение.

В процеса на решаване на задачи с параметри арсеналът от техники и методи на човешкото мислене естествено включва индукция и дедукция, обобщение и спецификация, анализ, класификация и систематизация, аналогия. Тъй като учебната програма в професионалните училища предвижда консултации по математика, които са включени в разписанието на часовете, тогава за ученици, които имат достатъчна математическа подготовка, проявяват интерес към изучавания предмет и имат по-нататъшна цел да влязат в университет, е препоръчително да използват посочените часове за решаване на задачи с параметри за подготовка за олимпиади, математически състезания, различни видове изпити, по-специално Единния държавен изпит. Решаването на такива проблеми е особено актуално за приложен и практически характер, което ще помогне при провеждането на различни изследвания.

2. Цели, основни задачи, методи, технологии, изисквания към знанията.

Цели на проекта:

• Формиране на способности и умения за решаване на задачи с параметри, които се свеждат до изучаване на квадратни уравнения и неравенства.
• Формиране на интерес към предмета, развитие на математически способности, подготовка за Единния държавен изпит.
• Разширяване на математическото разбиране на техники и методи за решаване на уравнения и неравенства.
• Развитие на логическо мислене и изследователски умения.
• Включване в творческа, изследователска и образователна дейност.
• Осигуряване на условия за самостоятелна творческа работа.
• Насърчаване на умствените и волеви усилия на учениците, развито внимание, активност, творческа инициатива и умения за колективна познавателна работа.

Основни цели на проекта:

• Да се ​​даде възможност на учениците да реализират своя интерес към математиката и индивидуални възможности за нейното развитие.
• Насърчаване на придобиването на фактически знания и умения.
• Покажете практическото значение на проблемите с параметри в областта на приложните изследвания.
• Научете как да решавате стандартни и нестандартни уравнения и неравенства.
• Задълбочаване на знанията по математика, осигуряване на формирането на устойчив интерес към предмета.
• Идентифицирайте и развивайте математическите способности на учениците.
• Осигурете подготовка за влизане в университети.
• Осигурява подготовка за професионални дейности, изискващи висока математическа култура.
• Организиране на изследователски и проектни дейности, които насърчават развитието на интелектуални и комуникационни умения.

Методи, използвани по време на занятията:

• Лекция – за предаване на теоретичен материал, придружен от разговор със студентите.
• Семинари - за консолидиране на материал за обсъждане на теория.
• Работилници – за решаване на математически задачи.
• Дискусии – за да аргументирате варианти за вашите решения.
• Различни форми на групова и индивидуална дейност.
• Изследователска дейност, която се организира чрез: работа с дидактически материал, подготовка на съобщения, защита на реферати и творчески работи.
• Лекции – презентации с компютър и проектор.

Използвани технологии:

• Лекционно-семинарна система на обучение.
• Информационни и комуникационни технологии.
• Изследователски метод в обучението, насочен към развиване на мисловните способности.
• Проблемно базирано обучение, което осигурява мотивация за изследване чрез поставяне на проблем, обсъждане на различни варианти за проблема.
• Технология на метода на дейност, която спомага за развитието на познавателните интереси на учениците.

Изисквания към знанията на студентите.

В резултат на изучаването на различни начини за решаване на квадратни уравнения и неравенства с параметри, учениците трябва да придобият следните умения:

• Усвоете здраво концепцията за параметър в квадратно уравнение и квадратно неравенство;
• Да може да решава квадратни уравнения с параметри.
• Да може да решава квадратни неравенства с параметри.
• Намерете корените на квадратна функция.
• Изграждане на графики на квадратични функции.
• Разгледайте квадратния трином.
• Прилагайте рационални методи за трансформация на идентичността.
• Използвайте най-често използваните евристични техники.
• Умее да прилага придобитите знания при работа на персонален компютър.

Форми на контрол.

• Уроци – самооценки и оценки на другари.
• Представяне на образователни проекти.
• Тестване.
• Рейтинг – таблица.
• Задачи за домашни от сборници от Единен държавен изпит от предходни години.
• Тестове.

3. Методика за решаване на квадратни уравнения с параметри в общ вид.

Не се страхувайте от проблеми с параметрите. На първо място, когато решавате уравнения и неравенства с параметри, трябва да направите това, което се прави при решаване на всяко уравнение и неравенство - да намалите дадените уравнения или неравенства до по-проста форма, ако е възможно: разложете рационалния израз на множители, редуцирайте го, поставете фактор извън скоби и т.н. .d. Има проблеми, които могат да бъдат разделени на два големи класа.

Първият клас включва примери, в които е необходимо да се реши уравнение или неравенство за всички възможни стойности на параметър.

Вторият клас включва примери, в които е необходимо да се намерят не всички възможни решения, а само тези, които отговарят на някои допълнителни условия. Класът от подобни проблеми е неизчерпаем.

Най-разбираемият за учениците начин за решаване на такива проблеми е първо да намерят всички решения и след това да изберат тези, които отговарят на допълнителни условия.

Когато решавате проблеми с параметри, понякога е удобно да се конструират графики в обичайната равнина (x, y), а понякога е по-добре да се разглеждат графики в равнината (x, a), където x е независимата променлива и „a“ е параметърът. Това е възможно преди всичко в задача, в която трябва да конструирате познати елементарни графики: прави линии, параболи, кръгове и т.н. В допълнение, скиците на графиките понякога помагат ясно да се види „напредъкът“ на решението.

Когато решаваме уравненията f (x,a) = 0 и неравенствата f (x,a) › 0, трябва да помним, че първо се разглежда решението за тези стойности на параметъра, при които коефициентът при най-висок степен x на квадратния трином f (x,a), като по този начин намалява степента. Квадратно уравнение A(a) x 2 + B(a) x + C(a) = 0 при A(a) = 0 се превръща в линейно, ако B(a) ≠ 0, и методите за решаване на квадратни и линейни уравнения са различни.

Нека си припомним основните формули за работа с квадратни уравнения.

Уравнение от формата ah 2 + in + c = 0, където x  R са неизвестни, a, b, c са изрази, които зависят само от параметри, а a ≠ 0 се нарича квадратно уравнение, а D = b 2 – 4ac се нарича дискриминант на квадратен тричлен.

Ако Д

Ако D > 0, тогава уравнението има два различни корена

x 1 = , x 2 = и след това ax 2 + in + c = a (x – x 1) (x – x 2).

Тези корени са свързани чрез коефициентите на уравнението с формулите на Виета

Ако D = 0, тогава уравнението има два съвпадащи корена x 1 = x 2 = и след това ax 2 + in + c = a (x – x 1) 2 . В този случай се казва, че уравнението има едно решение.

Когато, т.е. = 2k, корените на квадратното уравнение се определят от формулата x 1,2 = ,

За решаване на редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0

Използваната формула е x 1,2 = - , както и формулите на Виета

Примери. Решете уравнения:

Пример 1. + =

Решение:

За a ≠ - 1, x ≠ 2 получаваме x 2 + 2ax – 3b + 4 = 0 и корени

x 1 = - a - , x 2 = -a + , съществуващ при

A 2 + 2a – 4  0, т.е. при

Сега нека проверим дали има такива, че или x 1 или х 2 е равно на 2. Заместете x = 2 в квадратното уравнение и получаваме a = - 8.

Вторият корен в този случай е равен на(според теоремата на Виета) и за a = - 8 е равно на 14.

Отговор: за a = - 8, единственото решение е x = 14;

Ако a  (- ∞; - 8)  (- 8; - 4)  (1; + ∞) – два корена x 1 и х 2;

Ако a = - единственото решение x =съответно;

Ако a  (- 4; 1), тогава x   .

Понякога уравненията с дробни членове се свеждат до квадратни. Разгледайте следното уравнение.

Пример 2. - =

Решение: Когато a = 0 няма смисъл, стойността x трябва да отговаря на условията: x -1, x  -2. Умножаване на всички членове на уравнението по a (x + 1) (x +2) 0,

Получаваме x 2 – 2(a – 1)x + a 2 – 2a – 3 = 0, еквивалентно на това. Корените му:

x 1 = a + 1, x 2 = - 3. Нека изберем външни корени от тези корени, т.е. тези, които са равни на – 1 и – 2:

X 1 = a + 1 = - 1, a = - 2, но с a = - 2 x 2 = - 5;

X 1 = a + 1 = - 2, a = - 3, но с a = - 3 x 2 = - 6;

X 2 = a - 3 = - 1, a = 2, но с a = 2 x 1 = 3;

X 2 = a - 3 = - 2, a = 1, но с a = 1 x 1 = 2.

Отговор: за a ≠ 0, a ≠ 2, a ≠ - 3, a ≠ 1 x 1 = a + 1, x 2 = a – 3;

Когато a = - 2 x = - 5; когато a = - 3 x = - 6.

4. Методика за решаване на квадратни уравнения при начални условия.

Условията за параметричните квадратни уравнения са разнообразни. Например, трябва да намерите стойността на параметър, за който корените са: положителни, отрицателни, с различни знаци, по-големи или по-малки от определено число и т.н. За да ги решите, трябва да използвате свойствата на корените на квадратното уравнение ax 2 + in + c = 0.

Ако D > 0, a > 0, то уравнението има два реални различни корена, знаците на които при c > 0 са еднакви и противоположни на знака на коефициента b, а при c

Ако D = 0, a > 0, то уравнението има реални и равни корени, чийто знак е противоположен на знака на коефициента b.

Ако D 0, тогава уравнението няма реални корени.

По подобен начин можем да установим свойствата на корените на квадратното уравнение за a

1. Ако в едно квадратно уравнение разменим коефициентите a и c, получаваме уравнение, чиито корени са обратни на корените на даденото.
2. Ако в едно квадратно уравнение сменим знака на коефициента b, получаваме уравнение, чиито корени са противоположни на корените на даденото.
3. Ако в едно квадратно уравнение коефициентите a и c имат различни знаци, то то има реални корени.
4. Ако a > 0 и D = 0, тогава лявата страна на квадратното уравнение е пълен квадрат и обратно, ако лявата страна на уравнението е пълен квадрат, тогава a > 0 и D = 0.
5. Ако всички коефициенти на уравнението са рационални и дискриминантът изразява перфектен квадрат, тогава корените на уравнението са рационални.
6. Ако разгледаме местоположението на корените спрямо нулата, тогава прилагаме теоремата на Vieta.

Избор на корени на квадратен тричлен според условията и разположението на нулите на квадратна функция върху числовата ос.

Нека f (x) = ax 2 + in + c, a  0, корени x 1 ˂ x 2,  ˂ .

	Местоположението на корените на числовата ос.	Необходимо и достатъчно условие.
	х 1, х 2 	и f ( ) > 0, D  0, x 0 
	x 1, x 2 > 	и f ( ) > 0, D  0, x 0 > 
	х 1  2	и f ( )
	 1, х 2  .	и f ( ) > 0, D  0 и f ( ) > 0  0  .
	 1  2	и f ( ) > 0 и f ( )
	х 1  2 	и f ( )  ) > 0
	х 1   2	и f ( )  )

Пример 3. Определете при какви стойности на a уравнението

х 2 – 2 (a – 1) x + 2a + 1 = 0

• няма корени:

необходимо и достатъчно условие Г

D = (a – 1) 2 – 2a – 1 = a 2 – 4a

• има корени:

D  0, D = (a – 1) 2 – 2a – 1  0, a 

• има един корен:

• има два корена:

D > 0, т.е. а 

• има положителни корени:

2(a – 1) > 0   a  4

Ако въпросът е „има два положителни корена“, тогава системата трябва да се замени D > 0;

• има отрицателни корени:

2(a – 1)  

• има корени от различни знаци, т.е. единият е положителен, а другият е отрицателен:

  а ;

Състояние Не е необходимо да се използва, х е достатъчно 1 х 2

• има един от корените равен на 0:

необходимо достатъчно условие е свободният член на уравнението да е равен на нула, т.е. 2a + 1 = 0, a = -1/2.

Знакът на втория корен се определя или чрез заместване на a = -1/2 в оригиналното уравнение, или по-просто чрез теоремата на Vieta x 1 + х 2 = 2 (a – 1), а след заместване на a = -1/2 получаваме x 2 = - 3, т.е. за a = -1/2 два корена: x 1 = 0, x 2 = - 3.

Пример 4 . При какви стойности на параметъра a прави уравнението

(a – 2) x 2 – 4ax +3 -2a = 0 има уникално решение, което удовлетворява неравенството x

Решение.

Дискриминант 2 – (a – 2)(3 – 2a)

4a 2 – 3a + 6 + 2a 2 – 4a = 6a 2 – 7a + 6

От 49 – 144 = - 95 и първият коефициент е 6тогава 6a 2 – 7a + 6 за всички x  R.

Тогава x 1,2 = .

Според условията на задачата x2, тогава получаваме неравенството

Ние имаме:

вярно за всички a  R.

6a 2 – 7a + 6 6a 2 – 7a - 10 2

A 1,2 = 1/12 (7  17) и 1 = 2 и 2 = - 5/6.

Следователно -5/6

Отговор: -

5. Параметър като равна променлива.

Във всички анализирани задачипараметърът се третира като фиксирано, но неизвестно число. Междувременно, от формална гледна точка, параметърът е променлива и е „равен“ на другите, присъстващи в примера. Например, с този изглед на параметъра на формата f (x; a), функциите се дефинират не с една (както преди), а с две променливи. Такава интерпретация естествено формира друг тип (или по-скоро метод за решаване, който дефинира този тип) задачи с параметри. Нека покажем аналитично решение от този тип.

Пример 5. В равнината xy посочете всички точки, през които не минава нито една от кривите на семейството y = x 2 – 4рх + 2р 2 – 3, където p е параметър.

Решение: Ако (x 0; y 0 ) е точка, през която нито една от кривите на дадено семейство не минава, тогава координатите на тази точка не отговарят на първоначалното уравнение. Следователно проблемът се свеждаше до намирането на връзка между x и y, така че уравнението, дадено в условието, да няма решения. Лесно е да се получи желаната зависимост, като се фокусира не върху променливите x и y, а върху параметъра p. В този случай възниква продуктивна идея: разглеждайте това уравнение като квадратно по отношение на p. Имаме

2р 2 – 4рх+ х 2 – y – 3 = 0. Дискриминант= 8x 2 + 8y + 24 трябва да е отрицателно. От тук получаваме y ˂ - x 2 – 3, следователно търсеният набор е всички точки от координатната равнина, лежащи „под“ параболата y = - x 2 – 3.

Отговор: y 2 – 3

6. Методика за решаване на квадратни неравенства с параметри

В общи линии.

Квадратни (строги и нестроги) неравенства на вида

Приемливите стойности са тези стойности на параметрите, за които a, b, c са валидни. Удобно е да се решават квадратни неравенства аналитично или графично. Тъй като графиката на квадратична функция е парабола, тогава при a > 0 клоновете на параболата са насочени нагоре, при a

Различни позиции на параболата f (x) = ax 2 + in + s, a  0 за a > 0 е показано на фиг. 1

А) б) в)

а) Ако f (x) > 0 и D  R;

b) Ако f (x) > 0 и D = 0, тогава x ;

в) Ако f (x) > 0 и D > 0, тогава x (-  ; x 1 )  (x 2 ; +  ).

Позициите на параболата се разглеждат по подобен начин за a

Например един от трите случая, когато

за a 0 и f (x) > 0 x  (x 1; x 2);

за a 0 и f (x)  (-  ; x 1 )  (x 2 ; +  ).

Като пример, разгледайте решаването на неравенство.

Пример 6. Решете неравенство x 2 + 2x + a > 0.

Нека D е дискриминантът на тринома x 2 + 2x + a > 0. За D = 0, за a = 1, неравенството приема формата:

(x + 1) 2 > 0

Вярно е за всякакви реални стойности на x с изключение на x = - 1.

Когато D > 0, т.е. при х, тричлен x 2 + 2x + a има два корена: - 1 –И

1 + а решението на неравенството е интервалът

(-  ; - 1 – )  (- 1 + ; +  )

Това неравенство се решава лесно графично. За да направите това, нека го представим във формата

X 2 + 2x > - а

и построете графика на функцията y = x 2 + 2x

Абсцисите на точките на пресичане на тази графика с правата y = - a са корените на уравнението x 2 + 2x = - а.

отговор:

за –a > - 1, т.е. при а, x  (-  ; x 1 )  (x 2 ;+  );

при – a = - 1, т.е. за a = 1, x е всяко реално число с изключение на - 1;

при – а , тоест за a > 1, x е всяко реално число.

Пример 7 . Решете неравенство cx 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2)

Когато c = 0, той приема формата: 2x + 2решението ще бъде x

Нека въведем обозначението f (x) = cx 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2)където c ≠ 0.

В този случай неравенството f(x)

Нека D е дискриминантът на f(x). 0,25 D = 1 – 4s.

Ако D > 0, т.е. ако с> 0,25, тогава знакът на f (x) съвпада със знака на c за всякакви реални стойности на x, т.е. f(x)> 0 за всяко x  R, което означава за c > 0,25 неравенство f(x)

Ако D = 0, т.е. c = 0,25, тогава f (x) = (0,25 x + 1,5) 2, т.е. f (x)  0 за всяко

X  R. Следователно за c = 0,25 неравенството f (x)

Разгледайте случая D  0). f (x) = 0 за две реални стойности на x:

x 1 = (c – 1 – ) и x 2 = (c – 1 + ).

Тук могат да възникнат два случая:

Решете неравенство f(x)

f(x) съвпада със знака на c. За да отговорите на този въпрос, имайте предвид, че - , т.е. s – 1 – ˂ s – 1 + , но тъй като s (s – 1 – ) (s – 1 + ) и следователно решението на неравенството ще бъде:

(-  ; (s – 1 – ))  ( (s – 1 + ); +  ).

Сега, за да разрешите неравенството, достатъчно е да посочите тези стойности на c, за които знакът на f (x) е противоположен на знака на c. От 01 2, след това x  (x 1; x 2).

Отговор: когато c = 0 x  R;

с  (-  ; x 2 )  (x 1 ; +  );

На 0  (x 1; x 2);

За c  0,25 няма решения.

Гледката на параметър като равна променлива е отразена в графични методи за решаване и квадратни неравенства. Всъщност, тъй като параметърът е „равен по права“ на променливата, естествено е той да може да бъде „разпределен“ към собствената си координатна ос. Така възниква координатна равнина (x; a). Такъв незначителен детайл като изоставянето на традиционния избор на буквите x и y за обозначаване на осите определя един от най-ефективните методи за решаване на проблеми с параметри.

Удобно е, когато проблемът включва един параметър a и една променлива x. Самият процес на решение изглежда схематично така. Първо се изгражда графично изображение, след което пресичайки получената графика с прави линии, перпендикулярни на параметричната ос, ние „премахваме“ необходимата информация.

Отказът от традиционния избор на буквите x и y за обозначаване на осите определя един от най-ефективните методи за решаване на проблеми с параметри - "домейн метод"

1. Методика за решаване на квадратни неравенства при начални условия.

Нека разгледаме аналитично решение на квадратно неравенство с параметри, резултатите от което се разглеждат на числовата ос.

Пример 8.

Намерете всички стойности на x, за всяка от които неравенството

(2x)a 2 +(x 2 -2x+3)a-3x≥0

е изпълнено за всяка стойност на a, принадлежаща към интервала [-3;0].

Решение. Нека трансформираме лявата страна на това неравенство, както следва:

(2-x)a 2 + (x 2 -2x+3)a-3x=ax 2 - a 2 x - 2ax + 2a 2 + 3a - 3x =

Ax (x - a)-2a(x - a)- 3(x-a) = (x - a)(ax- 2a - 3).

Това неравенство ще приеме формата: (x - a) (ax - 2a - 3) ≥ 0.

Ако a = 0, получаваме - Zx ≥ 0 x ≤ 0.

Ако a ≠ 0, тогава -3 a

защото А 0, тогава решението на това неравенство ще бъде интервалът на числовата ос, разположен между корените на уравнението, съответстващо на неравенството.

Нека разберем относителната позиция на числатаа и , като се вземе предвид условието - 3 ≤ a

3 ≤a

А = -1.

Нека представим във всички разглеждани случаи решенията на това неравенство в зависимост от стойностите на параметрите:

Откриваме, че само x = -1 е решение на това неравенство за всяка стойност на параметър a .

Отговор: -1

8. Заключение.

Защо избрах проект на тема „Разработване на методически препоръки за решаване на квадратни уравнения и неравенства с параметри“? Тъй като при решаването на всякакви тригонометрични, експоненциални, логаритмични уравнения, неравенства, системи най-често се разглеждат понякога линейни, а най-често квадратни уравнения и неравенства. При решаване на сложни задачи с параметри повечето задачи се свеждат, като се използват еквивалентни трансформации, до избора на решения от типа: a (x – a) (x – c) > 0 (

Разгледахме теоретичните основи за решаване на квадратни уравнения и неравенства с параметри. Запомнихме необходимите формули и трансформации, разгледахме различните подредби на графики на квадратична функция в зависимост от стойността на дискриминанта, знака на водещия коефициент, местоположението на корените и върховете на параболата. Набелязахме схема за решаване и избор на резултати и съставихме таблица.

Проектът демонстрира аналитични и графични методи за решаване на квадратни уравнения и неравенства. Учениците в професионалното училище се нуждаят от визуално възприемане на материала за по-добро усвояване на материала. Показано е как променливата x може да се промени и параметърът да се приеме за еднаква стойност.

За ясно разбиране на тази тема се разглежда решението на 8 задачи с параметри, по 1 – 2 за всеки раздел. В пример № 1 се разглежда броят на решенията за различни стойности на параметъра; в пример № 3 се анализира решението на квадратно уравнение при различни начални условия. Направена е графична илюстрация за решаване на квадратни неравенства. В пример № 5 се използва методът за замяна на параметър като равностойна стойност. Проектът включва разглеждане на пример № 8 от задачите, включени в раздел C за интензивна подготовка за полагане на Единния държавен изпит.

За висококачествено обучение на студентите при решаване на проблеми с параметри се препоръчва пълното използване на мултимедийни технологии, а именно: използване на презентации за лекции, електронни учебници и книги и собствени разработки от медийната библиотека. Бинарните уроци по математика + информатика са много ефективни. Интернет е незаменим помощник за учители и ученици. Презентацията изисква импортирани обекти от съществуващи образователни ресурси. Най-удобен и приемлив за работа е центърът „Използване на Microsoft Office в училище“.

Разработването на методически препоръки по тази тема ще улесни работата на младите учители, които идват да работят в училището, ще допълни портфолиото на учителя, ще служи като модел за специални предмети, а примерните решения ще помогнат на учениците да се справят със сложни задачи.

9. Литература.

1. Gornshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Проблеми с параметрите. “Илекса”, “Гимназия”, Москва - Харков, 2002 г.

2. Балаян E.N. Сборник от задачи по математика за подготовка за Единен държавен изпит и олимпиади. 9-11 клас. "Феникс", Ростов на Дон, 2010 г.

3. Yastrebinetsky G.A. Проблеми с параметрите. М., "Просвещение", 1986 г.

4. Колесникова С.И. Математика. Решаване на сложни задачи на Единния държавен изпит. М. "ИРИС - преса", 2005 г.

5. Родионов Е.М., Синякова С.Л. Математика. Наръчник за кандидатстващи в университети. Учебен център "Ориентир" MSTU на името на. Н.Е. Бауман, М., 2004.

6. Сканави M.I. Сборник задачи по математика за постъпващи: В 2 кн. Книга 1, М., 2009.

Тип работа: 18

Състояние

За какви стойности на параметъра a неравенството

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1е изпълнено за всички стойности на x?

Покажи решение

Решение

Това неравенство е еквивалентно на двойното неравенство 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

Нека \sin x=t, тогава получаваме неравенството:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , който трябва да се изпълни за всички стойности на -1 \leq t \leq 1 . Ако a=0, тогава неравенството (*) е в сила за всяко t\in [-1;1] .

Нека \neq 0 . Функцията f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t нараства на интервала [-1;1], тъй като производната f"(t)=3t^(2) +4при +5a^(2) > 0 за всички стойности на t \in \mathbb(R) и a \neq 0 (дискриминант D< 0 и старший коэффициент больше нуля).

Неравенството (*) ще бъде изпълнено за t \in [-1;1] при условията

\begin(cases) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(cases) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5)\leq a< 0 .

И така, условието е изпълнено, когато -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 .

отговор

\left [ -\frac(2)(5); 0\вдясно]

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2016 г. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 18
Тема: Неравенства с параметър

Състояние

Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които неравенството

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

има уникално решение.

Покажи решение

Решение

Неравенството е еквивалентно на набор от системи от неравенства

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(cases) \\ \begin(cases)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(cases)\end(array)\right.

В координатната система Oxa ще построим графики на функции a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

Полученото множество се удовлетворява от точките, затворени между графиките на функциите a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2xна интервала x\in (защрихована област).

От графиката определяме: оригиналното неравенство има уникално решение за a=-4 и a=5, тъй като в защрихованата област ще има една точка с ордината a равна на -4 и равна на 5.

решение на неравенствотов режим онлайн решениепочти всяко дадено неравенство онлайн. Математически неравенства онлайнда решавам математика. Намерете бързо решение на неравенствотов режим онлайн. Уебсайтът www.site ви позволява да намерите решениепочти всяко дадено алгебричен, тригонометриченили трансцедентално неравенство онлайн. Когато изучавате почти всеки клон на математиката на различни етапи, трябва да решите неравенства онлайн. За да получите незабавен отговор и най-важното точен отговор, имате нужда от ресурс, който ви позволява да направите това. Благодарение на сайта www.site решаване на неравенство онлайнще отнеме няколко минути. Основното предимство на www.site при решаване на математически неравенства онлайн- това е скоростта и точността на предоставения отговор. Сайтът е в състояние да реши всеки алгебрични неравенства онлайн, тригонометрични неравенства онлайн, трансцендентални неравенства онлайн, а също така неравенствас неизвестни параметри в режим онлайн. Неравенстваслужат като мощен математически апарат решенияпрактически проблеми. С помощта на математически неравенствавъзможно е да се изразят факти и отношения, които на пръв поглед изглеждат объркващи и сложни. Неизвестни количества неравенстваможе да се намери чрез формулиране на проблема в математическиезик във формата неравенстваИ решиполучена задача в режим онлайнна уебсайта www.site. Всякакви алгебрично неравенство, тригонометрично неравенствоили неравенствасъдържащи трансценденталенфункции, които можете лесно решионлайн и получете точния отговор. Когато изучавате природни науки, вие неизбежно се сблъсквате с необходимостта решения на неравенства. В този случай отговорът трябва да е точен и да се получи веднага в режим онлайн. Следователно за решаване на математически неравенства онлайнпрепоръчваме сайта www.site, който ще стане вашият незаменим калкулатор за решаване на алгебрични неравенства онлайн, тригонометрични неравенства онлайн, а също така трансцендентални неравенства онлайнили неравенствас неизвестни параметри. За практически проблеми за намиране на онлайн решения на различни математически неравенстваресурс www.. Решаване неравенства онлайнсами, е полезно да проверите получения отговор с помощта на онлайн решение на неравенствана уебсайта www.site. Трябва да напишете неравенството правилно и незабавно да получите онлайн решение, след което остава само да сравните отговора с вашето решение на неравенството. Проверката на отговора ще отнеме не повече от минута, това е достатъчно решаване на неравенство онлайни сравнете отговорите. Това ще ви помогне да избегнете грешки в решениеи коригирайте отговора навреме, когато решаване на неравенства онлайнбъдете така алгебричен, тригонометричен, трансценденталенили неравенствос неизвестни параметри.

Приложение

Решаване на неравенства онлайн в Math24.biz за студенти и ученици за затвърдяване на преминатия материал. И трениране на вашите практически умения. Неравенството в математиката е твърдение за относителния размер или ред на два обекта (единият от обектите е по-малък или не по-голям от другия) или че два обекта не са еднакви (отричане на равенството). В елементарната математика се изучават числови неравенства, в общата алгебра, анализ и геометрия се разглеждат и неравенства между обекти с нечислов характер. За да се реши неравенство, двете му части трябва да се определят с един от знаците за неравенство между тях. Строгите неравенства предполагат неравенство между два обекта. За разлика от строгите неравенства, нестрогите неравенства позволяват равенството на включените в него обекти. Линейните неравенства са най-простите изрази за начало и се използват най-простите техники за решаване на такива неравенства. Основната грешка, която учениците правят, когато решават неравенства онлайн, е, че не правят разлика между характеристиките на строги и нестроги неравенства, което определя дали граничните стойности ще бъдат включени или не в крайния отговор. Няколко неравенства, свързани помежду си с няколко неизвестни, се наричат ​​система от неравенства. Решението на неравенствата от системата е определена площ на равнина, или триизмерна фигура в триизмерното пространство. Заедно с това те се абстрахират от n-мерни пространства, но при решаването на такива неравенства често е невъзможно да се направи без специални компютри. За всяко неравенство поотделно трябва да намерите стойностите на неизвестното в границите на областта на решението. Множеството от всички решения на неравенството е неговият отговор. Замяната на едно неравенство с друго равностойно на него неравенство се нарича еквивалентен преход от едно неравенство към друго. Подобен подход се среща и в други дисциплини, защото помага да се приведат изразите в стандартна форма. Ще оцените всички предимства на решаването на неравенства онлайн на нашия уебсайт. Неравенството е израз, съдържащ един от знаците =>. По същество това е логичен израз. То може да бъде вярно или невярно - в зависимост от това какво е отдясно и отляво в това неравенство. Обяснение на значението на неравенствата и основните техники за решаване на неравенства се изучават в различни курсове, както и в училище. Решаване на всякакви неравенства онлайн - неравенства с модул, алгебрични, тригонометрични, трансцендентни неравенства онлайн. Идентичните неравенства, както строгите и нестрогите неравенства, опростяват процеса на постигане на крайния резултат и са спомагателен инструмент за решаване на проблема. Решението на всякакви неравенства и системи от неравенства, независимо дали са логаритмични, експоненциални, тригонометрични или квадратни неравенства, се осигурява чрез първоначално правилен подход към този важен процес. Решаването на неравенства онлайн на сайта е винаги достъпно за всички потребители и е абсолютно безплатно. Решенията на неравенство в една променлива са стойностите на променливата, които я преобразуват в правилен числов израз. Уравнения и неравенства с модул: модулът на реално число е абсолютната стойност на това число. Стандартният метод за решаване на тези неравенства е да се повдигнат двете страни на неравенството на желаната степен. Неравенствата са изрази, които показват сравнението на числа, така че правилното решаване на неравенства гарантира точността на тези сравнения. Те могат да бъдат строги (по-голямо от, по-малко от) и нестроги (по-голямо или равно на, по-малко или равно на). Решаването на неравенство означава намиране на всички онези стойности на променливи, които, когато бъдат заменени в оригиналния израз, го превръщат в правилното числено представяне. Концепцията за неравенство, неговата същност и характеристики, класификация и разновидности - това е, което определя спецификата на този математически раздел. Основните свойства на числовите неравенства, приложими за всички обекти от този клас, трябва да бъдат изучавани от учениците в началния етап на запознаване с тази тема. Неравенствата и интервалите на числовата линия са много тясно свързани, когато става въпрос за решаване на неравенства онлайн. Графичното обозначение на решението на неравенство ясно показва същността на такъв израз; става ясно към какво трябва да се стремим при решаването на даден проблем. Концепцията за неравенство включва сравняване на два или повече обекта. Неравенствата, съдържащи променлива, се решават като подобно съставени уравнения, след което се прави избор на интервали, които ще бъдат взети като отговор. Можете лесно и незабавно да решите всяко алгебрично неравенство, тригонометрично неравенство или неравенства, съдържащи трансцендентни функции, като използвате нашата безплатна услуга. Число е решение на неравенство, ако при заместване на това число вместо променлива получим правилния израз, т.е. знакът за неравенство показва истинската концепция.. Решаване на неравенства онлайн на сайта всеки ден, за да могат учениците да учат напълно обхванатия материал и затвърдяват практическите си умения. Често темата за онлайн неравенството в математиката се изучава от ученици след завършване на раздела с уравнения. Както се очаква, всички принципи на решение се прилагат за определяне на интервалите на решение. Намирането на отговор в аналитична форма може да бъде по-трудно, отколкото да направите същото нещо в числена форма. Този подход обаче дава по-ясна и пълна картина на целостта на решението на неравенството. Трудност може да възникне на етапа на конструиране на абсцисната линия и начертаване на точки на решение за подобно уравнение. След това решаването на неравенствата се свежда до определяне на знака на функцията на всеки идентифициран интервал, за да се определи нарастването или намаляването на функцията. За да направите това, трябва последователно да замените стойностите, съдържащи се във всеки интервал, в оригиналната функция и да проверите нейната стойност за положителност или отрицателност. Това е същността на намирането на всички решения, включително интервалите на решения. Когато решите сами неравенството и видите всички интервали с решения, ще разберете колко приложим е този подход за по-нататъшни действия. Уебсайтът ви кани да проверите отново резултатите от изчисленията си, като използвате мощен модерен калкулатор на тази страница. Можете лесно да идентифицирате неточностите и недостатъците във вашите изчисления, като използвате уникален инструмент за решаване на неравенства. Студентите често се чудят къде да намерят такъв полезен ресурс? Благодарение на иновативния подход към възможността за определяне на нуждите на инженерите, калкулаторът е създаден на базата на мощни изчислителни сървъри, използващи само нови технологии. По същество решаването на неравенства онлайн включва решаване на уравнение и изчисляване на всички възможни корени. Получените решения се маркират на линията и след това се извършва стандартна операция за определяне на стойността на функцията на всеки интервал. Но какво да направите, ако корените на уравнението се окажат сложни, как в този случай можете да решите неравенството в пълна форма, което би удовлетворило всички правила за записване на резултата? Отговорът на този и много други въпроси може лесно да бъде отговорен от нашия сервизен уебсайт, за който няма нищо невъзможно при решаването на математически задачи онлайн. В полза на горното добавяме следното: всеки, който сериозно се занимава с изучаване на дисциплина като математиката, е длъжен да изучава темата за неравенствата. Има различни видове неравенства и решаването на неравенства онлайн понякога не е лесно, тъй като трябва да знаете принципите на подходите към всяко от тях. Това е основата на успеха и стабилността. Например, можем да разгледаме типове като логаритмични неравенства или трансцендентални неравенства. Това като цяло е специален вид такива, на пръв поглед, трудни задачи за ученици, особено за ученици. Учителите на института отделят много време за обучение на стажантите за постигане на професионални умения в работата си. Ние включваме тригонометрични неравенства сред същите типове и обозначаваме общ подход за решаване на много практически примери от поставен проблем. В някои случаи първо трябва да сведете всичко до уравнение, да го опростите, да го разложите на различни фактори, накратко, да го доведете до напълно ясна форма. Във всички времена човечеството се е стремило да намери оптималния подход във всяко начинание. Благодарение на съвременните технологии човечеството направи огромен пробив в бъдещото си развитие. Иновациите се вливат в живота ни все по-често, ден след ден. Основата на компютърните технологии е, разбира се, математиката със собствени принципи и строг подход към бизнеса. сайтът е общ математически ресурс, който включва разработен калкулатор за неравенства и много други полезни услуги. Използвайте нашия сайт и ще имате увереност в коректността на решените проблеми. От теорията е известно, че обекти с нечислов характер също се изучават с помощта на неравенства онлайн, само че този подход е специален начин за изучаване на този раздел в алгебрата, геометрията и други области на математиката. Неравенствата могат да бъдат решени по различни начини; окончателната проверка на решенията остава непроменена и това се прави най-добре чрез директно заместване на стойности в самото неравенство. В много случаи даденият отговор е очевиден и лесен за проверка наум. Да предположим, че сме помолени да решим дробно неравенство, в което желаните променливи присъстват в знаменателите на дробните изрази. Тогава решаването на неравенствата ще се сведе до привеждане на всички членове към общ знаменател, като първо се премести всичко от лявата и дясната страна на неравенството. След това трябва да решите хомогенното уравнение, получено в знаменателя на фракцията. Тези числени корени ще бъдат точки, които не са включени в интервалите на общото решение на неравенството, или те също се наричат ​​пунктирани точки, в които функцията отива до безкрайност, тоест функцията не е дефинирана, но можете да получите само нейната гранична стойност в дадена точка. След като решим уравнението, получено в числителя, нанасяме всички точки върху числовата ос. Нека защриховаме точките, в които числителят на дробта става нула. Съответно оставяме всички останали точки празни или пробити. Нека намерим знака за дроб на всеки интервал и след това запишем крайния отговор. Ако има защриховани точки на границите на интервала, тогава ние включваме тези стойности в решението. Ако има пробити точки на границите на интервала, ние не включваме тези стойности в решението. След като решите неравенството, ще трябва да проверите резултата си. Можете да направите това ръчно, да замените всяка стойност от интервалите на отговор една по една в първоначалния израз и да идентифицирате грешките. Сайтът лесно ще ви даде всички решения на неравенството и веднага ще сравните получените отговори с калкулатора. Ако въпреки това възникне грешка, тогава решаването на неравенства онлайн на нашия ресурс ще ви бъде много полезно. Препоръчваме на всички ученици първо да започнат да не решават неравенството директно, а първо да получат резултата на уебсайта, защото в бъдеще ще бъде много по-лесно сами да направите правилното изчисление. При текстовите задачи решението почти винаги се свежда до съставяне на система от неравенства с няколко неизвестни. Нашият ресурс ще ви помогне да разрешите неравенството онлайн за няколко секунди. В този случай решението ще бъде произведено от мощна изчислителна програма с висока точност и без никакви грешки в крайния отговор. По този начин можете да спестите огромно количество време за решаване на примери с този калкулатор. В редица случаи учениците изпитват затруднения, когато се сблъскват с логаритмични неравенства на практика или в лабораторни упражнения и още по-лошо, когато виждат тригонометрични неравенства със сложни дробни изрази със синуси, косинуси или дори обратни тригонометрични функции. Каквото и да се каже, ще бъде много трудно да се справим без помощта на калкулатор за неравенства и са възможни грешки на всеки етап от решаването на проблема. Използвайте ресурса на сайта напълно безплатно, той е достъпен за всеки потребител всеки ден. Много добра идея е да започнете да използвате нашата асистентска услуга, тъй като има много аналози, но има само няколко наистина висококачествени услуги. Ние гарантираме точността на изчисленията, когато търсенето на отговор отнема няколко секунди. Всичко, което трябва да направите, е да запишете неравенствата онлайн, а ние от своя страна веднага ще ви предоставим точния резултат от решаването на неравенството. Търсенето на такъв ресурс може да се окаже безсмислено упражнение, тъй като е малко вероятно да намерите същото висококачествено обслужване като нашето. Можете без теория за решаване на неравенства онлайн, но не можете без висококачествен и бърз калкулатор. Желаем ви успех в обучението! Наистина избирането на оптималното решение за неравенство онлайн често включва логичен подход към случайна променлива. Ако пренебрегнем малкото отклонение на затвореното поле, тогава векторът на нарастващата стойност е пропорционален на най-малката стойност в интервала на намаляващата ординатна линия. Инвариантът е пропорционален на два пъти картографираните функции заедно с изходящия ненулев вектор. Най-добрият отговор винаги съдържа точността на изчислението. Нашето решение на неравенствата ще приеме формата на хомогенна функция от последователно спрегнати числени подмножества от главното направление. За първия интервал ще вземем точно най-лошата по отношение на точността стойност на нашето представяне на променливата. Нека изчислим предишния израз за максималното отклонение. Ние ще използваме услугата по преценка на предложените опции при необходимост. Дали решение на неравенствата ще бъде намерено онлайн с помощта на добър калкулатор в неговия клас е риторичен въпрос, разбира се, учениците ще се възползват само от такъв инструмент и ще донесат голям успех по математика. Нека наложим ограничение на областта с набор, който ще намалим до елементи с възприемане на импулси на напрежение. Физическите стойности на такива екстремуми математически описват нарастването и намаляването на частично непрекъснатите функции. По пътя учените са открили доказателства за съществуването на елементи на различни нива на изследване. Нека подредим всички последователни подгрупи на едно сложно пространство в един ред с обекти като топка, куб или цилиндър. От нашия резултат можем да направим недвусмислено заключение и когато решите неравенството, резултатът със сигурност ще хвърли светлина върху заявеното математическо предположение за интегрирането на метода на практика. При сегашното състояние на нещата необходимо условие ще бъде и достатъчно условие. Критериите за несигурност често предизвикват разногласия сред учениците поради ненадеждни данни. Университетските учители, както и учителите в училищата, трябва да поемат отговорност за този пропуск, тъй като в началния етап на обучението също е необходимо да се вземе предвид това. От горното заключение, според мнението на опитни хора, можем да заключим, че решаването на неравенство онлайн е много трудна задача, когато се въвежда неравенство от неизвестни на различни типове данни. Това беше заявено на научна конференция в западния окръг, на която бяха изложени различни обосновки относно научни открития в областта на математиката и физиката, както и молекулярния анализ на биологично изградени системи. При намирането на оптималното решение абсолютно всички логаритмични неравенства имат научна стойност за цялото човечество. Нека разгледаме този подход за логически изводи относно редица несъответствия на най-високо ниво на концепции за съществуващ обект. Логиката диктува нещо различно от това, което изглежда на пръв поглед на неопитен ученик. Поради появата на широкомащабни аналогии ще бъде рационално първо да се приравнят отношенията към разликата между обектите на изследваната област и след това да се покаже на практика наличието на общ аналитичен резултат. Решаването на неравенства е абсолютно зависимо от приложението на теорията и ще бъде важно за всеки да изучава този дял от математиката, който е необходим за по-нататъшни изследвания. Въпреки това, когато решавате неравенства, трябва да намерите всички корени на съставеното уравнение и едва след това да начертаете всички точки на ординатната ос. Някои точки ще бъдат пробити, а останалите ще бъдат включени в интервали с общо решение. Нека започнем да изучаваме раздела по математика с основите на най-важната дисциплина от училищната програма. Ако тригонометричните неравенства са неразделна част от текстов проблем, тогава използването на ресурса за изчисляване на отговора е просто необходимо. Въведете правилно лявата и дясната страна на неравенството, натиснете бутона и получете резултата в рамките на няколко секунди. За бързи и точни математически изчисления с числови или символни коефициенти пред неизвестни, както винаги ще ви е необходим универсален калкулатор за неравенства и уравнения, който може да даде отговор на проблема ви за секунди. Ако нямате време да напишете цяла поредица от писмени упражнения, тогава валидността на услугата е неоспорима дори с просто око. За студентите този подход е по-оптимален и оправдан от гледна точка на спестяване на материални ресурси и време. Срещу катета лежи ъгъл и за да го измерите, ви е необходим компас, но можете да използвате подсказките по всяко време и да решите неравенството, без да използвате никакви формули за намаляване. Това означава ли успешното завършване на започнатото действие? Отговорът определено ще бъде положителен.

Решаване на неравенства с параметър.

Неравенства, които имат вида ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются линейни неравенства.

Принципите за решаване на линейни неравенства с параметър са много подобни на принципите за решаване на линейни уравнения с параметър.

Пример 1.

Решете неравенството 5x – a > ax + 3.

Решение.

Първо, нека трансформираме първоначалното неравенство:

5x – ax > a + 3, нека поставим x от лявата страна на неравенството извън скоби:

(5 – a)x > a + 3. Сега разгледайте възможните случаи за параметър a:

Ако a > 5, тогава x< (а + 3) / (5 – а).

Ако a = 5, тогава няма решения.

Ако a< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).

Това решение ще бъде отговорът на неравенството.

Пример 2.

Решете неравенството x(a – 2) / (a ​​​​– 1) – 2a/3 ≤ 2x – a за a ≠ 1.

Решение.

Нека трансформираме първоначалното неравенство:

x(a – 2) / (a ​​​​– 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Умножавайки двете страни на неравенството по (-1), получаваме:

ax/(a – 1) ≥ a/3. Нека проучим възможните случаи за параметър a:

1 случай.

Нека a/(a – 1) > 0 или a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогава x ≥ (a – 1)/3.

Случай 2.< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Нека a/(a – 1) = 0, т.е. a = 0. Тогава x е всяко реално число.
Случай 3.
Нека a/(a – 1)

Пример 3.

Отговор: x € [(a – 1)/3; +∞) за € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);

Решение.

x € [-∞; (a – 1)/3] за € (0; 1);

x € R за a = 0.

Решете неравенството |1 + x| ≤ ax спрямо x.
От условието следва, че дясната страна на оста на неравенството трябва да е неотрицателна, т.е. ax ≥ 0. По правилото за разкриване на модула от неравенството |1 + x| ≤ ax имаме двойно неравенство

Ax ≤ 1 + x ≤ ax. Нека пренапишем резултата под формата на система:

(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

Нека го трансформираме в: ((a – 1)x ≥ 1;:

((a + 1)x ≥ -1.

Изучаваме получената система на интервали и точки< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

(фиг. 1)

За a ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].< а ≤ 1 решений нет.

При -1

Изграждането на графики значително опростява решаването на уравнения, съдържащи параметър. Използването на графичния метод при решаване на неравенства с параметър е още по-ясно и по-целесъобразно.

Графичното решаване на неравенства под формата f(x) ≥ g(x) означава намиране на стойностите на променливата x, за които графиката на функцията f(x) лежи над графиката на функцията g(x). За да направите това, винаги е необходимо да намерите пресечните точки на графиките (ако съществуват).

Пример 1.

Решете неравенството |x + 5|< bx.

Решение.

Изграждаме графики на функции y = |x + 5| и y = bx (фиг. 2). Решението на неравенството ще бъдат тези стойности на променливата x, за които графиката на функцията y = |x + 5| ще бъде под графиката на функцията y = bx.

Картината показва:

1) При b > 1 правите се пресичат. Абсцисата на пресечната точка на графиките на тези функции е решението на уравнението x + 5 = bx, откъдето x = 5/(b – 1). Графиката y = bx е разположена по-горе при x от интервала (5/(b – 1); +∞), което означава, че този набор е решението на неравенството.

2) По подобен начин откриваме, че при -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) За b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) При 0 ≤ b ≤ 1 графиките не се пресичат, което означава, че неравенството няма решения.

Отговор: x € (-∞; 5/(b – 1)) за b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1< b < 0;
няма решения за 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) за b > 1.

Пример 2.

Решете неравенството a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

Решение.

1) Нека намерим „контролните“ стойности за параметър a: a 1 = 0 и 2 = -1.

2) Нека решим това неравенство за всяко подмножество от реални числа: (-∞; -1); (-1); (-1; 0); (0); (0; +∞).

а)а< -1, из данного неравенства следует, что х >(а + 4)/а;

б) a = -1, тогава това неравенство ще приеме вида 0 x > 0 – няма решения;

в) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

г) a = 0, то това неравенство има вида 0 x > 4 – няма решения;

д) a > 0, от това неравенство следва, че x > (a + 4)/a.

Пример 3.

Решете неравенството |2 – |x||< a – x.

Решение.

Построяваме графика на функцията y = |2 – |x|| (фиг. 3)и разгледайте всички възможни случаи на местоположението на правата линия y = -x + a.

Отговор: неравенството няма решения при a ≤ -2;
x € (-∞; (a – 2)/2) за a € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) за a > 2.

При решаването на различни задачи, уравнения и неравенства с параметри се откриват значителен брой евристични техники, които след това могат успешно да се прилагат във всички други клонове на математиката.

Задачите с параметри играят важна роля за формирането на логическо мислене и математическа култура. Ето защо, след като усвоите методите за решаване на проблеми с параметри, вие успешно ще се справите с други проблеми.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате неравенства?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.