Най-малкият общ знаменател се използва за опростяване дадено уравнение. Този метод се използва, когато не можете да напишете дадено уравнение с един рационален израз от всяка страна на уравнението (и използвате метода на кръстосано умножение). Този метод се използва, когато ви е дадено рационално уравнение с 3 или повече дроби (в случай на две дроби е по-добре да използвате кръстосано умножение).
Намерете най-малкия общ знаменател на дробите (или най-малкото общо кратно).НОЗ е най-малкото число, което се дели равномерно на всеки знаменател.
- Понякога NPD е очевидно число. Например, ако е дадено уравнението: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, тогава е очевидно, че най-малкото общо кратно на числата 3, 2 и 6 е 6.
- Ако NCD не е очевидна, запишете кратните на най-големия знаменател и намерете сред тях такъв, който ще бъде кратно на другите знаменатели. Често NOD може да се намери чрез просто умножаване на два знаменателя. Например, ако уравнението е дадено x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, тогава NOS = 8*9 = 72.
- Ако един или повече знаменатели съдържат променлива, процесът става малко по-сложен (но не и невъзможен). В този случай NOC е израз (съдържащ променлива), който е разделен на всеки знаменател. Например в уравнението 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), тъй като този израз е разделен на всеки знаменател: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Умножете както числителя, така и знаменателя на всяка дроб по число, равно на резултата от разделянето на NOC на съответния знаменател на всяка дроб.
- Тъй като умножавате и числителя, и знаменателя по едно и също число, вие на практика умножавате дробта по 1 (например 2/2 = 1 или 3/3 = 1).
- Така че в нашия пример умножете x/3 по 2/2, за да получите 2x/6, и 1/2 умножете по 3/3, за да получите 3/6 (дробта 3x +1/6 не трябва да се умножава, защото знаменателят е 6).
Продължете по същия начин, когато променливата е в знаменателя. Във втория ни пример NOZ = 3x(x-1), така че умножете 5/(x-1) по (3x)/(3x), за да получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножено по 3(x-1)/3(x-1) и получавате 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножено по (x-1)/(x-1) и получавате 2(x-1)/3x(x-1).Намерете x. общ знаменател, можете да се отървете от знаменателя. За да направите това, умножете всяка страна на уравнението по общия знаменател. След това решете полученото уравнение, тоест намерете „x“. За да направите това, изолирайте променливата от едната страна на уравнението.
- В нашия пример: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Можете да съберете 2 дроби с еднакъв знаменател, така че напишете уравнението като: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножете двете страни на уравнението по 6 и се отървете от знаменателите: 2x+3 = 3x +1. Решете и получете x = 2.
- Във втория ни пример (с променлива в знаменателя) уравнението изглежда (след редуциране до общ знаменател): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Като умножите двете страни на уравнението по N3, вие се отървавате от знаменателя и получавате: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), или 15x = 3x - 3 + 2x -2, или 15x = x - 5 Решете и получете: x = -5/14.
Решение дробни рационални уравнения
Рационални уравненияса уравнения, в които са и лявата, и дясната страна рационални изрази.
(Припомнете си: рационалните изрази са цели числа и дробни изразибез радикали, включващи операции събиране, изваждане, умножение или деление - например: 6x; (m – n)2; x/3y и т.н.)
Дробните рационални уравнения обикновено се свеждат до формата:
Къде П(х) И Q(х) са полиноми.
За да разрешите такива уравнения, умножете двете страни на уравнението по Q(x), което може да доведе до появата на външни корени. Следователно, когато се решават дробни рационални уравнения, е необходимо да се проверят намерените корени.
Рационалното уравнение се нарича цяло или алгебрично, ако не се дели на израз, съдържащ променлива.
Примери за цяло рационално уравнение:
5x – 10 = 3(10 – x)
3x
- = 2x – 10
4
Ако в рационално уравнение има деление с израз, съдържащ променлива (x), тогава уравнението се нарича дробно рационално.
Пример за дробно рационално уравнение:
15
x + - = 5x – 17
х
Обикновено се решават дробни рационални уравнения както следва:
1) намерете общия знаменател на дробите и умножете двете страни на уравнението по него;
2) решаване на полученото цяло уравнение;
3) изключете от корените си онези, които намаляват общия знаменател на дробите до нула.
Примери за решаване на цели и дробни рационални уравнения.
Пример 1. Да решим цялото уравнение
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Решение:
Намиране на най-малкия общ знаменател. Това е 6. Разделете 6 на знаменателя и умножете получения резултат по числителя на всяка дроб. Получаваме уравнение, еквивалентно на това:
3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
Защото от лявата и дясната страна същия знаменател, може да се пропусне. Тогава получаваме по-просто уравнение:
3(x – 1) + 4x = 5x.
Решаваме го, като отворим скобите и комбинираме подобни термини:
3x – 3 + 4x = 5x
3x + 4x – 5x = 3
Примерът е решен.
Пример 2. Решаване на дробно рационално уравнение
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)
Намиране на общ знаменател. Това е x(x – 5). Така че:
x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Сега отново се отърваваме от знаменателя, тъй като той е един и същ за всички изрази. Намаляваме подобни членове, приравняваме уравнението към нула и получаваме квадратно уравнение:
x 2 – 3x + x – 5 = x + 5
x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
x 2 – 3x – 10 = 0.
След като решихме квадратното уравнение, намираме неговите корени: –2 и 5.
Нека проверим дали тези числа са корените на оригиналното уравнение.
При x = –2 общият знаменател x(x – 5) не изчезва. Това означава –2 е коренът на първоначалното уравнение.
При x = 5 общият знаменател отива на нула и два от три израза стават безсмислени. Това означава, че числото 5 не е коренът на първоначалното уравнение.
Отговор: x = –2
Още примери
Пример 1.
x 1 =6, x 2 = - 2,2.
Отговор: -2,2;6.
Пример 2.
\(\bullet\) Рационално уравнение е уравнение, представено във формата \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] където \(P(x), \Q(x)\ ) - полиноми (сумата от „X“ в различни степени, умножена по различни числа).
Изразът от лявата страна на уравнението се нарича рационален израз.
ОДЗ (обл приемливи стойности) на рационално уравнение са всички стойности на \(x\), за които знаменателят НЕ изчезва, т.е. \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Например уравнения \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]са рационални уравнения.
В първия ODZ уравнение– това са всички \(x\) такива, че \(x\ne 3\) (пишете \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); във второто уравнение – това са всички \(x\), така че \(x\ne -1; x\ne 1\) (напишете \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); и в третото уравнение няма ограничения за ODZ, тоест ODZ е всичко \(x\) (те пишат \(x\in\mathbb(R)\)).
\(\bullet\) Теореми: 1) Произведението на два фактора е равно на нула тогава и само ако единият от тяхравен на нула , а другото не губи смисъл, следователно уравнението \(f(x)\cdot g(x)=0\) е еквивалентно на системата 2) Една дроб е равна на нула тогава и само ако числителят е равен на нула и знаменателят не е равен на нула, следователно уравнението \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) е еквивалентно на система от уравнения \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Нека да разгледаме няколко примера.
1) Решете уравнението \(x+1=\dfrac 2x\) .
Нека намерим ODZ на това уравнение - това е \(x\ne 0\) (тъй като \(x\) е в знаменателя).
Това означава, че ОДЗ може да се запише по следния начин: . Нека преместим всички термини в една част и да ги приведем към общ знаменател:\[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( случаи) x^2+x-2=0\\x\ne 0\край (случаи)\]
Решението на първото уравнение на системата ще бъде \(x=-2, x=1\) . Виждаме, че и двата корена са различни от нула. Следователно отговорът е: \(x\in \(-2;1\)\) . 2) Решете уравнението\(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\) ..
Нека намерим ODZ на това уравнение. Виждаме, че единствената стойност на \(x\), за която лявата страна няма смисъл, е \(x=0\) . И така, ODZ може да бъде написан така:
\(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\)По този начин това уравнение е еквивалентно на системата:
\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(gathered) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(gathered) \right.\]
Наистина, въпреки факта, че \(x=0\) е коренът на втория фактор, ако заместите \(x=0\) в оригиналното уравнение, тогава няма да има смисъл, защото израз \(\dfrac 40\) не е дефиниран. По този начин решението на това уравнение е \(x\in \(1;2\)\) . 3) Решете уравнението
\[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] В нашето уравнение \(4x^2-1\ne 0\) , от което \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , тоест \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .Нека преместим всички условия на
лявата страна
\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered) \begin( подравнен) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(gathered) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Стрелка наляво надясно \quad x=-3\)
Отговор: \(x\in \(-3\)\) .
Коментирайте. Ако отговорът се състои от краен набор от числа, тогава те могат да бъдат написани разделени с точка и запетая във фигурни скоби, както е показано в предишните примери.
Проблеми, които изискват решаване на рационални уравнения, се срещат всяка година на Единния държавен изпит по математика, така че когато се подготвят да преминат сертификационния тест, завършилите определено трябва да повторят теорията по тази тема самостоятелно. Завършилите, които вземат както основните, така и ниво на профилизпит. След като усвоихте теорията и се справихте с практически упражненияпо темата „Рационални уравнения“ учениците ще могат да решават проблеми с произволен брой действия и да разчитат на получаване на конкурентни оценки въз основа на резултатите от преминаването на Единния държавен изпит.
Как да се подготвим за изпита с помощта на образователния портал Школково?
Понякога можете да намерите източник, който напълно представя основната теория за решаване математически задачисе оказва доста трудно. Учебникът може просто да не е под ръка. И намери необходимите формулипонякога може да бъде доста трудно дори в интернет.
Образователният портал на Школково ще ви освободи от необходимостта да търсите необходимия материали ще ви помогне да се подготвите добре за преминаване на сертификационния тест.
Всички необходима теорияпо темата “Рационални уравнения” нашите специалисти подготвиха и представиха максимално достъпна форма. След като проучат представената информация, учениците ще могат да попълнят пропуските в знанията.
За успешна подготовкадо Единен държавен изпит за висшистинеобходимо е не само да освежите основното теоретичен материалпо темата “Рационални уравнения”, но да се упражняват да изпълняват задачи по конкретни примери. Голям избор от задачи е представен в раздела „Каталог“.
За всяко упражнение в сайта нашите експерти са написали алгоритъм за решение и са посочили верния отговор. Учениците могат да практикуват решаване на проблеми различни степенитрудности в зависимост от нивото на обучение. Списъкът със задачи в съответния раздел постоянно се допълва и актуализира.
Изучете теоретичен материал и усъвършенствайте уменията за решаване на проблеми по темата „Рационални уравнения“, подобни на тези, включени в Тестове за единен държавен изпит, може да се направи онлайн. Ако е необходимо, всяка от представените задачи може да бъде добавена в секцията „Любими“. Пак повтарям основна теорияпо темата „Рационални уравнения“, гимназист ще може да се върне към проблема в бъдеще, за да обсъди напредъка на неговото решение с учителя в урок по алгебра.
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост, в съответствие със закона, съдебна процедура, В изпитание, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.