Как да решаваме рационални уравнения с дроби. Видео урок „Рационални уравнения

Цели на урока:

Образователни:

формиране на понятието дробни рационални уравнения;
разглеждат различни начини за решаване на дробни рационални уравнения;
разгледайте алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения, включително условието, че дробта е равна на нула;
преподават решаване на дробни рационални уравнения с помощта на алгоритъм;
проверка на нивото на усвояване на темата чрез провеждане на тест.

Развитие:

развиване на способността за правилно опериране с придобитите знания и логическо мислене;
развитие на интелектуални умения и умствени операции- анализ, синтез, сравнение и синтез;
развитие на инициативност, способност за вземане на решения и не спиране дотук;
развитие критично мислене;
развитие на изследователски умения.

Образование:

възпитание познавателен интерескъм предмета;
насърчаване на независимостта при вземане на решения образователни задачи;
възпитаване на воля и постоянство за постигане на крайни резултати.

Тип урок: урок - обяснение на нов материал.

Напредък на урока

1. Организационен момент.

Здравейте момчета! На дъската има написани уравнения, разгледайте ги внимателно. Можете ли да решите всички тези уравнения? Кои не са и защо?

Уравнения, в които лявата и дясната страна са дробни рационални изрази, се наричат дробни рационални уравнения. Какво мислите, че ще учим в клас днес? Формулирайте темата на урока. И така, отворете тетрадките си и запишете темата на урока „Решаване на дробни рационални уравнения“.

2. Актуализиране на знанията. Фронтално проучване, устна работас класа.

И сега ще повторим основния теоретичен материал, който трябва да изучим нова тема. Моля, отговорете на следните въпроси:

Какво е уравнение? ( Равенство с променлива или променливи.)
Какво е името на уравнение номер 1? ( Линеен.) Решение линейни уравнения. (Прехвърлете всичко с неизвестното на лявата странауравнения, всички числа са отдясно. Олово подобни условия. Намерете неизвестен фактор).
Какво е името на уравнение номер 3? ( Квадрат.) Решения квадратни уравнения. (Избор пълен квадрат, по формули, използвайки теоремата на Виета и нейните следствия.)
Какво е пропорция? ( Равенство на две съотношения.) Основното свойство на пропорцията. ( Ако пропорцията е правилна, тогава произведението на нейните крайни членове е равно на произведението на средните членове.)
Какви свойства се използват при решаване на уравнения? ( 1. Ако преместите член в уравнение от една част в друга, като промените знака му, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото. 2. Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, получавате уравнение, еквивалентно на даденото.)
Кога една дроб е равна на нула? ( Дроб е равна на нула, когато числителят равно на нула, а знаменателят не е нула.)

3. Обяснение на нов материал.

Решете уравнение No2 в тетрадките и на дъската.

отговор: 10.

Което дробно рационално уравнениеМожете ли да опитате да решите, като използвате основното свойство на пропорцията? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Решете уравнение No4 в тетрадките и на дъската.

отговор: 1,5.

Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като умножите двете страни на уравнението по знаменателя? (№ 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

отговор: 3;4.

Сега опитайте да решите уравнение номер 7, като използвате един от следните методи.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
отговор: 0;5;-2.			отговор: 5;-2.

Обяснете защо това се случи? Защо в единия случай има три корена, а в другия два? Кои числа са корените на това дробно рационално уравнение?

Досега учениците не са се сблъсквали с концепцията за външен корен; наистина им е много трудно да разберат защо това се е случило. Ако никой в класа не може да даде ясно обяснение на тази ситуация, тогава учителят задава насочващи въпроси.

По какво уравнения № 2 и 4 се различават от уравнения № 5,6,7? ( В уравнения № 2 и 4 има числа в знаменателя, № 5-7 са изрази с променлива.)
Какъв е коренът на едно уравнение? ( Стойността на променливата, при която уравнението става истинско равенство .)
Как да разберете дали дадено число е корен на уравнение? ( Направете проверка.)

При тестване някои ученици забелязват, че трябва да делят на нула. Заключават, че числата 0 и 5 не са корени дадено уравнение. Възниква въпросът: има ли начин за решаване на дробни рационални уравнения, който ни позволява да елиминираме тази грешка? Да, този метод се основава на условието дробта да е равна на нула.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ако x=5, тогава x(x-5)=0, което означава, че 5 е външен корен.

Ако x=-2, тогава x(x-5)≠0.

отговор: -2.

Нека се опитаме да формулираме алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения по този начин. Децата сами формулират алгоритъма.

Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения:

Преместете всичко от лявата страна.
Намалете дробите до общ знаменател.
Създайте система: една дроб е равна на нула, когато числителят е равен на нула, а знаменателят не е равен на нула.
Решете уравнението.
Проверете неравенството, за да изключите външни корени.
Запишете отговора.

Дискусия: как да се формализира решението, ако се използва основното свойство на пропорцията и двете страни на уравнението се умножават по общ знаменател. (Добавете към решението: изключете от неговите корени тези, които правят общия знаменател изчезващ).

4. Първоначално разбиране на нов материал.

Работете по двойки. Учениците сами избират как да решат уравнението в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника “Алгебра 8”, Ю.Н. Макаричев, 2007: No 600(b,c,i); № 601(a,e,g). Учителят следи изпълнението на задачата, отговаря на всички възникнали въпроси и оказва помощ на учениците с по-ниски резултати. Самопроверка: отговорите се записват на дъската.

б) 2 – чужд корен. Отговор: 3.

в) 2 – чужд корен. Отговор: 1.5.

а) Отговор: -12,5.

ж) Отговор: 1;1,5.

5. Поставяне на домашна работа.

Прочетете параграф 25 от учебника, анализирайте примери 1-3.
Научете алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения.
Решете в тетрадки No 600 (а, г, д); No. 601(g,h).
Опитайте се да решите № 696(a) (по избор).

6. Изпълнение на контролна задача по изучаваната тема.

Работата се извършва върху листове хартия.

Примерна задача:

А) Кои от уравненията са дробно рационални?

Б) Дробта е равна на нула, когато числителят е ______________________, а знаменателят е _______________________.

В) Числото -3 корен ли е на уравнение номер 6?

Г) Решете уравнение №7.

Критерии за оценка на заданието:

„5“ се дава, ако ученикът е изпълнил повече от 90% от задачата правилно.
"4" - 75%-89%
"3" - 50%-74%
„2“ се дава на ученик, който е изпълнил по-малко от 50% от задачата.
Оценка 2 не се дава в дневника, 3 не е задължителна.

7. Рефлексия.

На листовете за самостоятелна работа напишете:

1 – ако урокът ви е бил интересен и разбираем;
2 – интересно, но неясно;
3 – неинтересно, но разбираемо;
4 – неинтересно, неясно.

8. Обобщаване на урока.

И така, днес в урока се запознахме с дробни рационални уравнения, научихме как да решаваме тези уравнения по различни начини, провериха знанията си с помощта на тренинг самостоятелна работа. Резултатите от самостоятелната си работа ще научите в следващия урок, а у дома ще имате възможност да затвърдите знанията си.

Кой метод за решаване на дробни рационални уравнения според вас е по-лесен, по-достъпен и по-рационален? Независимо от метода за решаване на дробни рационални уравнения, какво трябва да запомните? Каква е „хитростта“ на дробните рационални уравнения?

Благодаря на всички, урокът приключи.

Най-малкият общ знаменател се използва за опростяване на това уравнение.Този метод се използва, когато не можете да напишете дадено уравнение с един рационален израз от всяка страна на уравнението (и използвате метода на кръстосано умножение). Този метод се използва, когато ви е дадено рационално уравнение с 3 или повече дроби (в случай на две дроби е по-добре да използвате кръстосано умножение).

Намерете най-малкия общ знаменател на дробите (или най-малкото общо кратно).НОЗ е най-малкото число, което се дели равномерно на всеки знаменател.

Понякога NPD е очевидно число. Например, ако е дадено уравнението: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, тогава е очевидно, че най-малкото общо кратно на числата 3, 2 и 6 е 6.
Ако NCD не е очевидна, запишете кратните на най-големия знаменател и намерете сред тях такъв, който ще бъде кратно на другите знаменатели. Често NOD може да се намери чрез просто умножаване на два знаменателя. Например, ако уравнението е дадено x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, тогава NOS = 8*9 = 72.
Ако един или повече знаменатели съдържат променлива, процесът става малко по-сложен (но не и невъзможен). В този случай NOC е израз (съдържащ променлива), който е разделен на всеки знаменател. Например в уравнението 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), тъй като този израз е разделен на всеки знаменател: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Умножете както числителя, така и знаменателя на всяка дроб по число, равно на резултата от разделянето на NOC на съответния знаменател на всяка дроб.

Тъй като умножавате и числителя, и знаменателя по едно и също число, вие на практика умножавате дробта по 1 (например 2/2 = 1 или 3/3 = 1).
Така че в нашия пример умножете x/3 по 2/2, за да получите 2x/6, и 1/2 умножете по 3/3, за да получите 3/6 (дробта 3x +1/6 не трябва да се умножава, защото знаменателят е 6).

Продължете по същия начин, когато променливата е в знаменателя. Във втория ни пример NOZ = 3x(x-1), така че умножете 5/(x-1) по (3x)/(3x), за да получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножено по 3(x-1)/3(x-1) и получавате 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножено по (x-1)/(x-1) и получавате 2(x-1)/3x(x-1).Сега, след като сте намалили дробите до общ знаменател, можете да се отървете от знаменателя. За да направите това, умножете всяка страна на уравнението по общия знаменател. След това решете полученото уравнение, тоест намерете „x“. За да направите това, изолирайте променливата от едната страна на уравнението.

В нашия пример: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Можете да добавите 2 фракции с същия знаменател, така че напишете уравнението като: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножете двете страни на уравнението по 6 и се отървете от знаменателите: 2x+3 = 3x +1. Решете и получете x = 2.
Във втория ни пример (с променлива в знаменателя) уравнението изглежда (след редуциране до общ знаменател): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Като умножите двете страни на уравнението по N3, вие се отървавате от знаменателя и получавате: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), или 15x = 3x - 3 + 2x -2, или 15x = x - 5 Решете и получете: x = -5/14.

Смирнова Анастасия Юриевна

Тип урок:урок за изучаване на нов материал.

Форма на организация образователни дейности : челен, индивидуален.

Целта на урока: да се въведе нов тип уравнения - дробни рационални уравнения, да се даде представа за алгоритъма за решаване на дробни рационални уравнения.

Цели на урока.

Образователни:

формиране на понятието дробно рационално уравнение;
разгледайте алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения, включително условието, че дробта е равна на нула;
научите да решавате дробни рационални уравнения с помощта на алгоритъм.

Развитие:

създават условия за развиване на умения за прилагане на придобитите знания;
насърчаване на развитието на познавателния интерес на учениците към предмета;
развиване на способността на учениците да анализират, сравняват и правят заключения;
развитие на умения за взаимен контрол и самоконтрол, внимание, памет, устна и писане, независимост.

Образование:

насърчаване на познавателния интерес към предмета;
възпитаване на самостоятелност при решаване на образователни проблеми;
възпитаване на воля и постоянство за постигане на крайни резултати.

Оборудване:учебник, дъска, пастели.

Учебник "Алгебра 8". Ю.Н.Макаричев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.А.Суворова. Москва "Просвещение". 2010 г

включено тази темаса предвидени пет часа. Това е първият урок. Основното нещо е да изучавате алгоритъма за решаване на дробни рационални уравнения и да практикувате този алгоритъм в упражнения.

Напредък на урока

1. Организационен момент.

Здравейте момчета! Днес бих искал да започна нашия урок с четиристишие:
За да улесним живота на всички,
Какво би било решено, какво би било възможно,
Усмихнете се, късмет на всички,
За да няма проблеми,
Усмихнахме се един на друг и творихме добро настроениеи започна работа.

На дъската има написани уравнения, разгледайте ги внимателно. Можете ли да решите всички тези уравнения? Кои не са и защо?

2. Актуализиране на знанията. Фронтално проучване, устна работа с класа.

И сега ще повторим основния теоретичен материал, който ще ни е необходим за изучаване на нова тема. Моля, отговорете на следните въпроси:

Какво е уравнение? ( Равенство с променлива или променливи.)
Какво е името на уравнение номер 1? ( Линеен.) Метод за решаване на линейни уравнения. ( Преместете всичко с неизвестното в лявата страна на уравнението, всички числа вдясно. Дайте подобни условия. Намерете неизвестен фактор).
Какво е името на уравнение номер 3? ( Квадрат.) Методи за решаване на квадратни уравнения. (П относно формулите)
Какво е пропорция? ( Равенство на две съотношения.) Основното свойство на пропорцията. ( Ако пропорцията е правилна, тогава произведението на нейните крайни членове е равно на произведението на средните членове.)
Какви свойства се използват при решаване на уравнения? ( 1. Ако преместите член в уравнение от една част в друга, като промените знака му, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото. 2. Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, получавате уравнение, еквивалентно на даденото.)
Кога една дроб е равна на нула? ( Една дроб е равна на нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула..)

3. Обяснение на нов материал.

Решете уравнение No2 в тетрадките и на дъската.

отговор: 10.

Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като използвате основното свойство на пропорцията? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Решете уравнение No4 в тетрадките и на дъската.

отговор: 1,5.

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

отговор: 3;4.

Ще разгледаме решаването на уравнения като уравнение № 7 в следващите уроци.

По какво уравнения № 2 и 4 се различават от уравнения № 5 и 6? ( В уравнения № 2 и 4 има числа в знаменателя, № 5-6 - изрази с променлива.)
Какъв е коренът на едно уравнение? ( Стойността на променливата, при която уравнението става вярно.)
Как да разберете дали дадено число е корен на уравнение? ( Направете проверка.)

При тестване някои ученици забелязват, че трябва да делят на нула. Те заключават, че числата 0 и 5 не са корените на това уравнение. Възниква въпросът: има ли начин за решаване на дробни рационални уравнения, който ни позволява да елиминираме тази грешка? Да, този метод се основава на условието дробта да е равна на нула.

Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения:

Преместете всичко от лявата страна.
Намалете дробите до общ знаменател.
Създайте система: една дроб е равна на нула, когато числителят е равен на нула, а знаменателят не е равен на нула.
Решете уравнението.
Проверете неравенството, за да изключите външни корени.
Запишете отговора.

4. Първоначално разбиране на нов материал.

Работете по двойки. Учениците сами избират как да решат уравнението в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника “Алгебра 8”, Ю.Н. Макаричев, 2007: No 600(b,c); № 601(a,e). Учителят следи изпълнението на задачата, отговаря на всички възникнали въпроси и оказва помощ на учениците с по-ниски резултати. Самопроверка: отговорите се записват на дъската.

б) 2 - външен корен. Отговор: 3.

в) 2 - външен корен. Отговор: 1.5.

а) Отговор: -12,5.

5. Поставяне на домашна работа.

Прочетете параграф 25 от учебника, анализирайте примери 1-3.
Научете алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения.
Решете в тетрадки No 600 (г, г); No. 601(g,h).

6. Обобщаване на урока.

И така, днес в урока се запознахме с дробни рационални уравнения и се научихме да решаваме тези уравнения по различни начини. Какво трябва да имате предвид, независимо как решавате дробни рационални уравнения? Каква е „хитростта“ на дробните рационални уравнения?

Благодаря на всички, урокът приключи.

Презентация и урок на тема: "Рационални уравнения. Алгоритъм и примери за решаване на рационални уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина Интеграл за 8 клас
Ръководство към учебника на Макаричев Ю.Н. Ръководство към учебника на Мордкович А.Г.

Въведение в ирационалните уравнения

Момчета, научихме как да решаваме квадратни уравнения. Но математиката не се ограничава само до тях. Днес ще научим как да решаваме рационални уравнения. Концепцията за рационални уравнения е в много отношения подобна на концепцията рационални числа. Само в допълнение към числата, сега имаме въведена променлива $x$. И така получаваме израз, в който присъстват операциите събиране, изваждане, умножение, деление и повдигане на цяла степен.

Нека $r(x)$ е рационално изразяване. Такъв израз може да бъде прост полином от променливата $x$ или съотношение на полиноми (въвежда се операция деление, както при рационалните числа).
Извиква се уравнението $r(x)=0$ рационално уравнение.
Всяко уравнение от вида $p(x)=q(x)$, където $p(x)$ и $q(x)$ са рационални изрази, също ще бъде рационално уравнение.

Нека да разгледаме примери за решаване на рационални уравнения.

Пример 1.
Решете уравнението: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Решение.
Нека преместим всички изрази в лявата страна: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ако лявата страна на уравнението беше представена обикновени числа, тогава бихме привели две дроби към общ знаменател.
Нека направим това: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Получихме уравнението: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Една дроб е равна на нула тогава и само ако числителят на дробта е нула, а знаменателят е различен от нула. След това отделно приравняваме числителя на нула и намираме корените на числителя.
$3(x^2+2x-3)=0$ или $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Сега нека проверим знаменателя на дробта: $(x-3)*x≠0$.
Произведението на две числа е равно на нула, когато поне едно от тези числа е равно на нула. Тогава: $x≠0$ или $x-3≠0$.
$x≠0$ или $x≠3$.
Получените корени в числителя и знаменателя не съвпадат. Така че записваме двата корена на числителя в отговора.
Отговор: $x=1$ или $x=-3$.

Ако внезапно един от корените на числителя съвпадне с корена на знаменателя, тогава той трябва да бъде изключен. Такива корени се наричат външни!

Алгоритъм за решаване на рационални уравнения:

1. Прехвърлете всички изрази, съдържащи се в уравнението към лявата странаот знака за равенство.
2. Преобразувайте тази част от уравнението в алгебрична дроб: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Приравнете получения числител на нула, тоест решете уравнението $p(x)=0$.
4. Приравнете знаменателя на нула и решете полученото уравнение. Ако корените на знаменателя съвпадат с корените на числителя, тогава те трябва да бъдат изключени от отговора.

Пример 2.
Решете уравнението: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Решение.
Нека решим според точките на алгоритъма.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Приравнете числителя към нула: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Нека приравним знаменателя към нула:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ и $x=-1$.
Един от корените $x=1$ съвпада с корена на числителя, тогава не го записваме в отговора.
Отговор: $x=-1$.

Удобно е да се решават рационални уравнения, като се използва методът на промяната на променливите. Нека демонстрираме това.

Пример 3.
Решете уравнението: $x^4+12x^2-64=0$.

Решение.
Нека въведем замяната: $t=x^2$.
Тогава нашето уравнение ще приеме формата:
$t^2+12t-64=0$ - обикновено квадратно уравнение.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Нека въведем обратното заместване: $x^2=4$ или $x^2=-16$.
Корените на първото уравнение са двойка числа $x=±2$. Второто нещо е, че няма корени.
Отговор: $x=±2$.

Пример 4.
Решете уравнението: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Решение.
Нека въведем нова променлива: $t=x^2+x+1$.
Тогава уравнението ще приеме формата: $t=\frac(15)(t+2)$.
След това ще продължим според алгоритъма.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - корените не съвпадат.
Нека въведем обратно заместване.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Нека решим всяко уравнение поотделно:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - не корени.
И второто уравнение: $x^2+x-2=0$.
Корените на това уравнение ще бъдат числата $x=-2$ и $x=1$.
Отговор: $x=-2$ и $x=1$.

Пример 5.
Решете уравнението: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Решение.
Нека въведем замяната: $t=x+\frac(1)(x)$.
След това:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ или $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Получихме уравнението: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Корените на това уравнение са двойката:
$t=-3$ и $t=2$.
Нека въведем обратното заместване:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ще решим отделно.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Нека решим второто уравнение:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Коренът на това уравнение е числото $x=1$.
Отговор: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Проблеми за самостоятелно решаване

Решете уравнения:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

„Решаване на дробни рационални уравнения“

Цели на урока:

Образователни:

формиране на понятието дробни рационални уравнения; разглеждат различни начини за решаване на дробни рационални уравнения; разгледайте алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения, включително условието, че дробта е равна на нула; преподават решаване на дробни рационални уравнения с помощта на алгоритъм; проверка на нивото на усвояване на темата чрез провеждане на тест.

Развитие:

развиване на способността за правилно опериране с придобитите знания и логическо мислене; развитие на интелектуални умения и мисловни операции - анализ, синтез, сравнение и обобщение; развитие на инициативност, способност за вземане на решения и не спиране дотук; развитие на критичното мислене; развитие на изследователски умения.

Образование:

насърчаване на познавателния интерес към предмета; възпитаване на самостоятелност при решаване на образователни проблеми; възпитаване на воля и постоянство за постигане на крайни резултати.

Тип урок: урок - обяснение на нов материал.

Напредък на урока

1. Организационен момент.

2. Актуализиране на знанията. Фронтално проучване, устна работа с класа.

1. Какво е уравнение? ( Равенство с променлива или променливи.)

2. Как се казва уравнение №1? ( Линеен.) Метод за решаване на линейни уравнения. ( Преместете всичко с неизвестното в лявата страна на уравнението, всички числа вдясно. Дайте подобни условия. Намерете неизвестен фактор).

3. Как се казва уравнение №3? ( Квадрат.) Методи за решаване на квадратни уравнения. ( Изолиране на пълен квадрат с помощта на формули, използващи теоремата на Vieta и нейните следствия.)

4. Какво е пропорция? ( Равенство на две съотношения.) Основното свойство на пропорцията. ( Ако пропорцията е правилна, тогава произведението на нейните крайни членове е равно на произведението на средните членове.)

5. Какви свойства се използват при решаване на уравнения? ( 1. Ако преместите член в уравнение от една част в друга, като промените знака му, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото. 2. Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, получавате уравнение, еквивалентно на даденото.)

6. Кога една дроб е нула? ( Една дроб е равна на нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула..)

3. Обяснение на нов материал.

Решете уравнение No2 в тетрадките и на дъската.

отговор: 10.

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Решете уравнение No4 в тетрадките и на дъската.

отговор: 1,5.

D=1›0, x1=3, x2=4.

отговор: 3;4.

Сега опитайте да решите уравнение номер 7, като използвате един от следните методи.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

отговор: 0;5;-2.			отговор: 5;-2.

В уравнения № 2 и 4 има числа в знаменателя, № 5-7 са изрази с променлива

Стойността на променливата, при която уравнението става вярно

Направете проверка

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ако x=5, тогава x(x-5)=0, което означава, че 5 е външен корен.

Ако x=-2, тогава x(x-5)≠0.

отговор: -2.

Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения:

1. Преместете всичко отляво.

2. Приведете дробите към общ знаменател.

3. Създайте система: една дроб е равна на нула, когато числителят е равен на нула, а знаменателят не е равен на нула.

4. Решете уравнението.

5. Проверете неравенството, за да изключите външните корени.

6. Запишете отговора.

Дискусия: как да се формализира решението, ако се използва основното свойство на пропорцията и умножението на двете страни на уравнението с общ знаменател. (Добавете към решението: изключете от неговите корени онези, които правят общия знаменател изчезващ).

4. Първоначално разбиране на нов материал.

Работете по двойки. Учениците сами избират как да решат уравнението в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника “Алгебра 8”, 2007: No 000 (б, в, и); № 000(a, d, g). Учителят следи изпълнението на задачата, отговаря на всички възникнали въпроси и оказва помощ на учениците с по-ниски резултати. Самопроверка: отговорите се записват на дъската.

б) 2 – чужд корен. Отговор: 3.

в) 2 – чужд корен. Отговор: 1.5.

а) Отговор: -12,5.

ж) Отговор: 1;1,5.

5. Поставяне на домашна работа.

2. Научете алгоритъма за решаване на дробни рационални уравнения.

3. Решете в тетрадки No 000 (а, г, д); № 000(g, h).

4. Опитайте се да решите номер 000(a) (по избор).

6. Изпълнение на контролна задача по изучаваната тема.

Работата се извършва върху листове хартия.

Примерна задача:

А) Кои от уравненията са дробно рационални?

Б) Дробта е равна на нула, когато числителят е ______________________, а знаменателят е _______________________.

В) Числото -3 корен ли е на уравнение номер 6?

Г) Решете уравнение №7.

Критерии за оценка на заданието:

„5“ се дава, ако ученикът е изпълнил повече от 90% от задачата правилно. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” се дава на ученик, който е изпълнил по-малко от 50% от задачата. Оценка 2 не се дава в дневника, 3 не е задължителна.

7. Рефлексия.

На листовете за самостоятелна работа напишете:

1 – ако урокът ви е бил интересен и разбираем; 2 – интересно, но неясно; 3 – неинтересно, но разбираемо; 4 – неинтересно, неясно.

8. Обобщаване на урока.

И така, днес в урока се запознахме с дробни рационални уравнения, научихме се да решаваме тези уравнения по различни начини и проверихме знанията си с помощта на самостоятелна учебна работа. Резултатите от самостоятелната си работа ще научите в следващия урок, а у дома ще имате възможност да затвърдите знанията си.

Благодаря на всички, урокът приключи.