В хода на средното и гимназияУчениците изучаваха темата „Дроби“. Това понятие обаче е много по-широко от това, което се дава в учебния процес. Днес концепцията за дроб се среща доста често и не всеки може да изчисли всеки израз, например умножаване на дроби.
Какво е дроб?
Исторически погледнато, дробните числа възникват поради необходимостта от измерване. Както показва практиката, често има примери за определяне на дължината на сегмент и обема на правоъгълен правоъгълник.
Първоначално учениците се запознават с понятието акция. Например, ако разделите диня на 8 части, тогава всеки човек ще получи една осма от динята. Тази част от осем се нарича дял.
Дял, равен на ½ от всяка стойност, се нарича половина; ⅓ - трети; ¼ - една четвърт. Записи от формата 5/8, 4/5, 2/4 се наричат обикновени дроби. Обикновената дроб се дели на числител и знаменател. Между тях е дробната лента, или фракционната лента. Дробната линия може да бъде начертана като хоризонтална или наклонена линия. IN в този случайпредставлява знака за деление.
Знаменателят представлява на колко равни части е разделено количеството или обектът; а числителят е колко еднакви акции са взети. Числителят е написан над дробната черта, а знаменателят е написан под нея.
Най-удобно е да показвате обикновени дроби координатен лъч. Ако единичен сегмент е разделен на 4 равни части, маркирайте всяка част латиница, тогава резултатът може да бъде отличен визуална помощ. И така, точка А показва дял, равен на 1/4 от целия единичен сегмент, а точка Б маркира 2/8 от даден сегмент.
Видове дроби
Дробите могат да бъдат обикновени, десетични и смесени числа. Освен това дробите могат да бъдат разделени на правилни и неправилни. Тази класификация е по-подходяща за обикновени дроби.
Под правилна дробразбират числото, чийто числител по-малко от знаменателя. Съответно, неправилна дроб е число, чийто числител е по-голям от знаменателя. Вторият тип обикновено се записва като смесено число. Този израз се състои от цяло число и дробна част. Например 1½. 1 е цяла част, ½ е дробна част. Въпреки това, ако трябва да извършите някои манипулации с израза (разделяне или умножаване на дроби, намаляване или преобразуване), смесеното число се преобразува в неправилна дроб.
Правилният дробен израз винаги е по-малък от единица, а неправилният винаги е по-голям или равен на 1.
Що се отнася до този израз, имаме предвид запис, в който е представено произволно число, чийто знаменател на дробния израз може да бъде изразен чрез единица с няколко нули. Ако дробта е правилна, тогава цялата част е правилна десетичен записще бъде равно на нула.
За да напишете десетична дроб, първо трябва да напишете цялата част, да я отделите от дробта със запетая и след това да напишете дробния израз. Трябва да се помни, че след десетичната запетая числителят трябва да съдържа същия брой цифрови знаци, колкото има нули в знаменателя.
Пример. Изразете дробта 7 21 / 1000 в десетичен запис.
Алгоритъм за преобразуване на неправилна дроб в смесено число и обратно
Неправилно е да се пише неправилна дроб в отговора на задача, затова трябва да се преобразува в смесено число:
- разделете числителя на съществуващия знаменател;
- V конкретен примернепълно частно – цяло;
- а остатъкът е числителят на дробната част, като знаменателят остава непроменен.
Пример. Преобразувайте неправилна дроб в смесено число: 47 / 5.
Решение. 47: 5. Частичното частно е 9, остатъкът = 2. И така, 47/5 = 9 2/5.
Понякога трябва да представите смесено число като неправилна дроб. След това трябва да използвате следния алгоритъм:
- цялата част се умножава по знаменателя на дробния израз;
- полученият продукт се добавя към числителя;
- резултатът се записва в числителя, знаменателят остава непроменен.
Пример. Представете смесеното число като неправилна дроб: 9 8 / 10.
Решение. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 е числителят.
отговор: 98 / 10.
Умножение на дроби
С обикновените дроби могат да се извършват различни операции. алгебрични операции. За да умножите две числа, трябва да умножите числителя с числителя и знаменателя със знаменателя. Освен това, умножаването на дроби с различни знаменателине се различава от произведението на дробни числа с същите знаменатели.
Случва се, че след като намерите резултата, трябва да намалите фракцията. Наложително е да се опрости полученият израз възможно най-много. Разбира се, не може да се каже, че неправилна дроб в отговор е грешка, но също така е трудно да се нарече правилен отговор.
Пример. Намерете произведението на две обикновени дроби: ½ и 20/18.
Както се вижда от примера, след намиране на продукта се получава редуцируема дробна нотация. И числителят, и знаменателят в този случай са разделени на 4 и резултатът е отговорът 5/9.
Умножаване на десетични дроби
Произведението на десетичните дроби е доста различно от произведението на обикновените дроби по своя принцип. И така, умножаването на дроби е както следва:
- две десетични дроби трябва да бъдат записани една под друга, така че най-десните цифри да са една под друга;
- трябва да умножите написаните числа, въпреки запетаите, тоест като естествени числа;
- пребройте броя на цифрите след десетичната запетая във всяко число;
- в резултата, получен след умножението, трябва да преброите отдясно толкова цифрови символи, колкото се съдържат в сумата в двата фактора след десетичната запетая, и да поставите разделителен знак;
- ако в продукта има по-малко числа, тогава трябва да напишете толкова нули пред тях, за да покриете това число, да поставите запетая и да добавите цялата част, равна на нула.
Пример. Изчислете произведението на две десетични дроби: 2,25 и 3,6.
Решение.
Умножение на смесени дроби
За да изчислите произведението на две смесени дроби, трябва да използвате правилото за умножение на дроби:
- преобразуват смесени числа в неправилни дроби;
- намерете произведението на числителите;
- намерете произведението на знаменателите;
- запишете резултата;
- опростете израза колкото е възможно повече.
Пример. Намерете произведението на 4½ и 6 2/5.
Умножение на число с дроб (дроби с число)
В допълнение към намирането на произведението на две дроби и смесени числа, има задачи, в които трябва да умножите по дроб.
И така, за да намерите продукта десетичен знаки естествено число, имате нужда от:
- напишете числото под дробта, така че най-десните цифри да са една над друга;
- намерете продукта въпреки запетаята;
- в получения резултат отделете цялата част от дробната част със запетая, като броите отдясно броя на цифрите, които се намират след десетичната запетая в дробта.
За да умножите обикновена дроб по число, трябва да намерите произведението на числителя и естествения фактор. Ако отговорът дава дроб, която може да бъде намалена, тя трябва да бъде преобразувана.
Пример. Изчислете произведението на 5/8 и 12.
Решение. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
отговор: 7 1 / 2.
Както можете да видите от предишния пример, беше необходимо да се намали полученият резултат и да се преобразува изразът на неправилната дроб в смесено число.
Умножението на дроби също се отнася до намирането на произведението на число в смесена форма и естествен фактор. За да умножите тези две числа, трябва да умножите цялата част от смесения фактор по числото, да умножите числителя по същата стойност и да оставите знаменателя непроменен. Ако е необходимо, трябва да опростите получения резултат възможно най-много.
Пример. Намерете произведението на 9 5/6 и 9.
Решение. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
отговор: 88 1 / 2.
Умножение с коефициенти 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001
от предишен параграфизтича следващото правило. За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000, 10000 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая надясно с толкова цифри, колкото нули има след единицата във фактора.
Пример 1. Намерете произведението на 0,065 и 1000.
Решение. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
отговор: 65.
Пример 2. Намерете произведението на 3,9 и 1000.
Решение. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
отговор: 3900.
Ако трябва да умножите естествено число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т.н., трябва да преместите запетаята в получения продукт наляво с толкова цифри, колкото нули има преди единица. Ако е необходимо, пред естественото число се записват достатъчен брой нули.
Пример 1. Намерете произведението на 56 и 0,01.
Решение. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.
отговор: 0,56.
Пример 2. Намерете произведението на 4 и 0,001.
Решение. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.
отговор: 0,004.
И така, намиране на продукта различни фракциине трябва да създава затруднения, освен може би изчисляването на резултата; в този случай просто не можете без калкулатор.
Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва обект не като цяло, а на отделни части. Започнете да изучавате тази тема - споделя. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи обект. В края на краищата не винаги е възможно да се изрази, например, дължината или цената на даден продукт като цяло число или дялове от някаква мярка; Образувана от глагола „разделяне“ - разделяне на части и имаща арабски корени, самата дума „фракция“ възниква на руски език през 8 век.
Дробни изрази за дълго времесмятан за най-трудния дял от математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат „счупени числа“, което е много трудно за разбиране от хората.
Модерна визияпрости дробни остатъци, чиито части са разделени с хоризонтална линия, са били насърчавани за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се умножават смесени дроби с различни знаменатели.
Умножение на дроби с различни знаменатели
Първоначално си струва да се определи видове дроби:
- правилно;
- неправилно;
- смесен.
След това трябва да запомните как се умножават дробни числа с еднакви знаменатели. Самото правило на този процес е лесно да се формулира независимо: резултатът от умножението прости дробис еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби. Това е по същество, нов знаменателима квадрат на един от първоначално съществуващите.
При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:
а/b * в/d = а*в / b*d.
Единствената разлика е, че образувано числопод дробната линия ще бъде произведението на различни числа и, естествено, квадратът на едно числено изражениеневъзможно е да го назовем.
Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Примерите използват методи за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителите с числата на знаменателите едно до друго ценни множителиНе можете да съкращавате над или под дробната черта.
Заедно с простите дробни числа, има концепция за смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Как работи умножението?
Дадени са няколко примера за разглеждане.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Примерът използва умножение на число по обикновени дробна част , правилото за това действие може да се запише като:
а* б/c = а*б/c.
Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Има друго решение за умножаване на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:
г* д/f = д/е: г.
Тази техника е полезна за използване, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, на цяло число.
Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Този пример включва начин за представяне на смесена дроб като неправилна дроб, тя може да бъде представена и като обща формула:
а bc = а*б+ c/c, където е знаменателят нова фракциясе формира чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му с числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.
Този процес работи и в обратна страна. За да разделите цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на нейния знаменател с помощта на „ъгъл“.
Умножение на неправилни дробипроизведени по общоприет начин. Когато пишете под една дробна линия, трябва да намалите дробите, ако е необходимо, за да намалите числата с помощта на този метод и да улесните изчисляването на резултата.
В интернет има много помощници за решаване дори на сложни проблеми. задачи по математикав различни варианти на програмата. Достатъчен брой такива услуги предлагат своята помощ при броене на умножение на дроби с различни числав знаменатели – т. нар. онлайн калкулатори за пресмятане на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции с обикновени дроби и смесени числа. Лесно е да работите с него; попълнете съответните полета на страницата на сайта и изберете знака математическа операцияи щракнете върху „изчисли“. Програмата изчислява автоматично.
Предмет аритметични операциис дробни числа е от значение за цялото обучение на ученици от средните и гимназиалните училища. В гимназията вече не разглеждат най-простите видове, но цяло дробни изрази , но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре научен основни познаниядават пълно доверие на успешно решениеповечето сложни задачи.
В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е част. Не е във властта на човека да увеличи своя числител - своите заслуги - но всеки може да намали своя знаменател - своето мнение за себе си, и с това намаляване да се доближи до своето съвършенство.
) и знаменател по знаменател (получаваме знаменателя на произведението).
Формула за умножение на дроби:
Например:
Преди да започнете да умножавате числители и знаменатели, трябва да проверите дали дробта може да бъде намалена. Ако можете да намалите фракцията, ще ви бъде по-лесно да правите допълнителни изчисления.
Деление на обикновена дроб на дроб.
Деление на дроби с естествени числа.
Не е толкова страшно, колкото изглежда. Както в случая със събирането, ние преобразуваме цялото число в дроб с единица в знаменателя. Например:
Умножение на смесени дроби.
Правила за умножение на дроби (смесени):
- преобразувайте смесени дроби в неправилни дроби;
- умножаване на числителите и знаменателите на дроби;
- намаляване на фракцията;
- Ако получите неправилна дроб, ние преобразуваме неправилната дроб в смесена дроб.
Обърнете внимание!Да се размножава смесена фракцияв друга смесена дроб, първо трябва да ги преобразувате във формата на неправилни дроби и след това да ги умножите според правилото за умножение на обикновени дроби.
Вторият начин за умножаване на дроб с естествено число.
Може да е по-удобно да използвате втория метод за умножаване на обикновена дроб по число.
Обърнете внимание!За да умножите дроб по естествено число, трябва да разделите знаменателя на дробта на това число и да оставите числителя непроменен.
От примера, даден по-горе, става ясно, че тази опция е по-удобна за използване, когато знаменателят на дроб е разделен без остатък на естествено число.
Многоетажни дроби.
В гимназията често се срещат триетажни (или повече) фракции. Пример:
За да приведете такава фракция в обичайната й форма, използвайте разделяне на 2 точки:
Обърнете внимание!При разделяне на дроби редът на делене е много важен. Бъдете внимателни, тук е лесно да се объркате.
Моля, обърнете внимание Например:
Когато разделяте едно на която и да е дроб, резултатът ще бъде същата дроб, само обърната:
Практически съвети за умножение и деление на дроби:
1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието. Правете всички изчисления внимателно и точно, съсредоточено и ясно. По-добре е да напишете няколко допълнителни реда в черновата си, отколкото да се изгубите в умствени изчисления.
2. В задачи със различни видоведроби - преминават към формата на обикновени дроби.
3. Намаляваме всички дроби, докато вече не е възможно да се намали.
4. Трансформираме многостепенни дробни изрази в обикновени, използвайки деление на 2 точки.
5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.
За да умножите правилно дроб по дроб или дроб по число, трябва да знаете прости правила. Сега ще анализираме подробно тези правила.
Умножение на обикновена дроб по дроб.
За да умножите дроб по дроб, трябва да изчислите произведението на числителите и произведението на знаменателите на тези дроби.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Да разгледаме един пример:
Умножаваме числителя на първата дроб с числителя на втората дроб и също така умножаваме знаменателя на първата дроб със знаменателя на втората дроб.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ по 3)(7 \пъти 3) = \frac(4)(7)\\\)
Дробта \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) беше намалена с 3.
Умножение на дроб по число.
Първо, нека си припомним правилото, всяко число може да бъде представено като дроб \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Нека използваме това правило, когато умножаваме.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Неправилна дроб \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) преобразувано в смесена дроб.
С други думи, Когато умножаваме число по дроб, умножаваме числото по числителя и оставяме знаменателя непроменен.Пример:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Умножение на смесени дроби.
За да умножите смесени дроби, първо трябва да представите всяка смесена дроб като неправилна дроб и след това да използвате правилото за умножение. Умножаваме числителя по числителя и умножаваме знаменателя по знаменателя.
Пример:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Умножение на реципрочни дроби и числа.
Дробта \(\bf \frac(a)(b)\) е обратна на дробта \(\bf \frac(b)(a)\), при условие че a≠0,b≠0.
Дробите \(\bf \frac(a)(b)\) и \(\bf \frac(b)(a)\) се наричат реципрочни дроби. Произведението на реципрочните дроби е равно на 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Пример:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Свързани въпроси:
Как да умножим дроб по дроб?
Отговор: Произведението на обикновените дроби е умножение на числител с числител, знаменател със знаменател. За да получите произведението на смесени дроби, трябва да ги преобразувате в неправилна дроб и да ги умножите според правилата.
Как да умножим дроби с различни знаменатели?
Отговор: няма значение дали дробите имат еднакви или различни знаменатели, умножението се извършва според правилото за намиране на произведението на числител с числител, знаменател със знаменател.
Как да умножим смесени дроби?
Отговор: първо трябва да преобразувате смесената дроб в неправилна дроб и след това да намерите продукта, като използвате правилата за умножение.
Как да умножим число по дроб?
Отговор: умножаваме числото с числителя, но оставяме знаменателя същия.
Пример #1:
Изчислете произведението: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Решение:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( червено) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Пример #2:
Изчислете произведенията на число и дроб: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Решение:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Пример #3:
Напишете реципрочната стойност на дробта \(\frac(1)(3)\)?
Отговор: \(\frac(3)(1) = 3\)
Пример #4:
Изчислете произведението на две реципрочни дроби: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Решение:
а) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Пример #5:
Могат ли реципрочните дроби да бъдат:
а) едновременно с правилните дроби;
б) едновременно неправилни дроби;
в) по едно и също време естествени числа?
Решение:
а) за да отговорим на първия въпрос, нека дадем пример. Дробта \(\frac(2)(3)\) е правилна, нейната обратна дроб ще бъде равна на \(\frac(3)(2)\) - неправилна дроб. Отговор: не.
б) в почти всички изброявания на дроби това условие не е изпълнено, но има някои числа, които изпълняват условието да бъдат едновременно неправилна дроб. Например неправилната дроб е \(\frac(3)(3)\), нейната обратна дроб е равна на \(\frac(3)(3)\). Получаваме две неправилни дроби. Отговор: не винаги при определени условия, когато числителят и знаменателят са равни.
в) естествените числа са числата, които използваме, когато броим, например 1, 2, 3, …. Ако вземем числото \(3 = \frac(3)(1)\), тогава неговата обратна дроб ще бъде \(\frac(1)(3)\). Дробта \(\frac(1)(3)\) не е естествено число. Ако преминем през всички числа, реципрочната стойност на числото винаги е дроб, с изключение на 1. Ако вземем числото 1, тогава неговата реципрочна дроб ще бъде \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Числото 1 е естествено число. Отговор: те могат да бъдат едновременно естествени числа само в един случай, ако това е числото 1.
Пример #6:
Направете произведението на смесени дроби: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Решение:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Пример #7:
Може две взаимно реципрочни числада са смесени числа едновременно?
Нека разгледаме един пример. Нека вземем смесената дроб \(1\frac(1)(2)\), намерим я реципрочна дроб, за да направите това, преобразувайте го в неправилна дроб \(1\frac(1)(2) = \frac(3)(2)\) . Неговата обратна дроб ще бъде равна на \(\frac(2)(3)\) . Дробта \(\frac(2)(3)\) е правилна дроб. Отговор: Две дроби, които са взаимно обратни, не могат да бъдат смесени числа едновременно.