Тъждествените трансформации на изрази са една от съдържателните линии на училищния курс по математика. Тъждествените преобразувания се използват широко при решаване на уравнения, неравенства, системи от уравнения и неравенства. В допълнение, еднаквите трансформации на изразите допринасят за развитието на интелигентността, гъвкавостта и рационалността на мисленето.
Предложените материали са предназначени за ученици от 8. клас и включват теоретичните основи на тъждествените преобразувания на рационални и ирационални изрази, типове задачи за преобразуване на такива изрази и текста на теста.
1. Теоретични основи на трансформациите на идентичността
Изразите в алгебрата са записи, състоящи се от цифри и букви, свързани със знаци за действие.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – алгебрични изрази.
В зависимост от операциите се разграничават рационални и ирационални изрази.
Алгебричните изрази се наричат рационални, ако са свързани с включените в тях букви А, b, с, ... не се извършват други операции освен събиране, умножение, изваждане, деление и степенуване.
Алгебрични изрази, съдържащи операции за извличане на корена на променлива или повдигане на променлива на рационална степен, която не е цяло число, се наричат ирационални по отношение на тази променлива.
Тъждествена трансформация на даден израз е замяната на един израз с друг, който е идентично равен на него в определено множество.
Следните теоретични факти са в основата на идентични трансформации на рационални и ирационални изрази.
1. Свойства на степени с цяло число:
, нНА; А 1=А;
, нНА, А¹0; А 0=1, А¹0;
, А¹0;
, А¹0;
, А¹0;
, А¹0, b¹0;
, А¹0, b¹0.
2. Формули за съкратено умножение:
Където А, b, с– всякакви реални числа;
Където А¹0, х 1 и х 2 – корени на уравнението 
.
3. Основното свойство на дробите и действията върху дроби:
, Където b¹0, с¹0;
; 
;
4. Дефиниция на аритметичен корен и неговите свойства:
; , b#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; 
,
Където А, b– неотрицателни числа, нНА, н³2, мНА, м³2.
1. Видове упражнения за преобразуване на изрази
Има различни видове упражнения за трансформации на идентичност на изрази. Първи тип: Преобразуването, което трябва да се извърши, е изрично посочено.
Например.
1. Представете го като полином.
При извършването на тази трансформация използвахме правилата за умножение и изваждане на полиноми, формулата за съкратено умножение и редукция на подобни членове.
2. Фактор в: 
.
При извършване на трансформацията използвахме правилото за поставяне на общия множител извън скоби и 2 съкратени формули за умножение.
3. Намалете фракцията:
.
При извършване на трансформацията използвахме премахване на общия множител от скобите, комутативни и контрактилни закони, 2 формули за съкратено умножение и операции върху степени.
4. Премахнете фактора под знака за корен if А³0, b³0, с³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Използвахме правилата за действия върху корени и дефинирането на модула на число.
5. Елиминиране на ирационалността в знаменателя на дроб. 
.
Втори видупражненията са упражнения, в които ясно е посочена основната трансформация, която трябва да се извърши. В такива упражнения изискването обикновено се формулира в една от следните форми: опростете израза, изчислете. При извършване на такива упражнения е необходимо преди всичко да се определи кои и в какъв ред трябва да се извършат трансформации, така че изразът да придобие по-компактна форма от дадената или да се получи числен резултат.
Например
6. Опростете израза:
Решение:
.
Използвани правила за работа с алгебрични дроби и формули за съкратено умножение.
7. Опростете израза:
.
Ако А³0, b³0, А¹ b.
Използвахме формули за съкратено умножение, правила за събиране на дроби и умножение на ирационални изрази, тъждеството https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.
Използвахме операцията за избиране на пълен квадрат, идентичността https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, ако .
Доказателство:
Тъй като , тогава и или или или , т.е.
Използвахме условието и формулата за сумата от кубове.
Трябва да се има предвид, че условията, свързващи променливите, също могат да бъдат посочени в упражнения от първите два типа.
Например.
10. Намерете дали .
Този урок ще покрие основна информация за рационални изрази и техните трансформации, както и примери за трансформации на рационални изрази. Тази тема обобщава темите, които сме изучавали досега. Трансформациите на рационални изрази включват събиране, изваждане, умножение, деление, степенуване на алгебрични дроби, редукция, разлагане на множители и т.н. Като част от урока ще разгледаме какво е рационален израз и ще анализираме примери за тяхното преобразуване.
Предмет:Алгебрични дроби. Аритметични действия върху алгебрични дроби
Урок:Основни сведения за рационалните изрази и техните трансформации
Определение
Рационално изразяванее израз, състоящ се от числа, променливи, аритметични операции и операцията за степенуване.
Нека да разгледаме пример за рационален израз:
Специални случаи на рационални изрази:
1-ва степен: 
;
2. моном: ;
3. дроб: .
Преобразуване на рационален изразе опростяване на рационален израз. Редът на действията при преобразуване на рационални изрази: първо има операции в скоби, след това операции за умножение (деление) и след това операции за добавяне (изваждане).
Нека да разгледаме няколко примера за трансформиране на рационални изрази.
Пример 1
Решение:
Нека решим този пример стъпка по стъпка. Действието в скобите се изпълнява първо.
Отговор:
Пример 2
Решение:
Отговор:
Пример 3
Решение:
Отговор: .
Забележка:Може би, когато сте видели този пример, е възникнала идея: намалете дробта, преди да я сведете до общ знаменател. Наистина, това е абсолютно правилно: първо е препоръчително да опростите израза, доколкото е възможно, и след това да го трансформирате. Нека се опитаме да решим същия пример по втория начин.
Както можете да видите, отговорът се оказа абсолютно подобен, но решението се оказа малко по-просто.
В този урок разгледахме рационални изрази и техните трансформации, както и няколко конкретни примера за тези трансформации.
Библиография
1. Башмаков M.I. Алгебра 8 клас. - М.: Образование, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.Алгебра 8. - 5-то изд. - М.: Образование, 2010.
Рационалните изрази и дроби са крайъгълният камък на целия курс по алгебра. Тези, които се научат да работят с такива изрази, да ги опростят и разложат на множители, по същество ще могат да решат всеки проблем, тъй като трансформирането на изрази е неразделна част от всяко сериозно уравнение, неравенство или дори проблем с думи.
В този видео урок ще разгледаме как правилно да използваме формули за съкратено умножение, за да опростим рационални изрази и дроби. Нека се научим да виждаме тези формули там, където на пръв поглед няма нищо. В същото време ще повторим такава проста техника като факторизиране на квадратен трином чрез дискриминант.
Както вероятно вече се досещате от формулите зад мен, днес ще изучаваме формули за съкратено умножение или по-точно не самите формули, а използването им за опростяване и намаляване на сложни рационални изрази. Но преди да преминем към решаване на примери, нека разгледаме по-отблизо тези формули или да ги запомним:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — разлика на квадратите;
- $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ е квадрат на сумата;
- $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — разлика на квадрат;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ е сборът от кубове;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ е разликата на кубовете.
Бих искал също да отбележа, че нашата училищна образователна система е устроена по такъв начин, че с изучаването на тази тема, т.е. рационални изрази, както и корени, модули, всички ученици имат един и същ проблем, който сега ще обясня.
Факт е, че в самото начало на изучаването на формули за съкратено умножение и съответно действия за намаляване на дроби (това е някъде в 8-ми клас), учителите казват нещо подобно: „Ако нещо не ви е ясно, тогава не безпокойте се, ние ще ви помогнем.” Ще се върнем на тази тема повече от веднъж, в гимназията със сигурност. Ще разгледаме това по-късно." Е, тогава, в края на 9-10 клас, същите учители обясняват на същите ученици, които все още не знаят как да решават рационални дроби, нещо подобно: „Къде беше предходните две години? Това се учеше по алгебра в 8 клас! Какво неясно може да има тук? Толкова е очевидно!“
Подобни обяснения обаче не улесняват обикновените ученици: те все още имаха бъркотия в главите си, така че точно сега ще разгледаме два прости примера, въз основа на които ще видим как да изолираме тези изрази в реални проблеми , което ще ни доведе до съкратени формули за умножение и как след това да приложим това за трансформиране на сложни рационални изрази.
Редуциране на прости рационални дроби
Задача No1
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]
Първото нещо, което трябва да научим, е да идентифицираме точни квадрати и по-високи степени в оригиналните изрази, въз основа на които след това да приложим формули. Нека да разгледаме:
Нека пренапишем нашия израз, като вземем предвид тези факти:
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]
Отговор: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.
Проблем No2
Да преминем към втората задача:
\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]
Тук няма какво да опростявам, защото числителят съдържа константа, но аз предложих тази задача точно за да се научите как да разлагате на множители полиноми, съдържащи две променливи. Ако вместо това имахме полинома по-долу, как бихме го разширили?
\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]
Нека решим уравнението и намерим $x$, който можем да поставим на мястото на точките:
\[((x)^(2))+5x-6=0\]
\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]
\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]
Можем да пренапишем тринома, както следва:
\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\наляво(x-1 \вдясно)\наляво(x+6 \вдясно)\]
Научихме как да работим с квадратен тричлен - затова трябваше да запишем този видео урок. Но какво ще стане, ако освен $x$ и константа има и $y$? Нека ги разглеждаме като друг елемент от коефициентите, т.е. Нека пренапишем нашия израз, както следва:
\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]
\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]
\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]
Нека напишем разширението на нашата квадратна конструкция:
\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]
Така че, ако се върнем към оригиналния израз и го пренапишем, като вземем предвид промените, получаваме следното:
\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]
Какво ни дава такъв рекорд? Нищо, защото не може да се намали, не се умножава или дели по нищо. Въпреки това, веднага щом тази фракция се окаже неразделна част от по-сложен израз, такова разширение ще бъде полезно. Ето защо, веднага щом видите квадратен тричлен (няма значение дали е обременен с допълнителни параметри или не), винаги се опитвайте да го факторизирате.
Нюанси на решението
Запомнете основните правила за преобразуване на рационални изрази:
- Всички знаменатели и числители трябва да бъдат разложени или чрез формули за съкратено умножение, или чрез дискриминант.
- Трябва да работите по следния алгоритъм: когато търсим и се опитваме да изолираме формулата за съкратено умножение, тогава първо се опитваме да преобразуваме всичко във възможно най-високата степен. След това изваждаме общата степен от скобата.
- Много често ще срещнете изрази с параметър: други променливи ще се появят като коефициенти. Намираме ги с помощта на формулата за квадратично разширение.
И така, след като видите рационални дроби, първото нещо, което трябва да направите, е да разделите числителя и знаменателя на линейни изрази, като използвате формулите за съкратено умножение или дискриминант.
Нека да разгледаме няколко от тези рационални изрази и да се опитаме да ги разделим на множители.
Решаване на по-сложни примери
Задача No1
\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]
Пренаписваме и се опитваме да разложим всеки термин:
Нека пренапишем целия си рационален израз, като вземем предвид тези факти:
\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y \right))^(3)))=\]
\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]
Отговор: $-1$.
Проблем No2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
Нека да разгледаме всички фракции.
\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\ляво(x-2 \дясно))^(2))\]
Нека пренапишем цялата структура, като вземем предвид промените:
\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]
\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \ляво(x-2 \дясно))\]
Отговор: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.
Нюанси на решението
И така, какво научихме току-що:
- Не всеки квадратен трином може да бъде разложен на множители; по-специално, това се отнася за непълния квадрат на сбора или разликата, които много често се намират като части от кубове сбор или разлика.
- Константи, т.е. обикновените числа, които нямат променливи, също могат да действат като активни елементи в процеса на разширяване. Първо, те могат да бъдат извадени от скоби, и второ, самите константи могат да бъдат представени под формата на степени.
- Много често след разлагането на всички елементи възникват противоположни конструкции. Тези дроби трябва да се редуцират изключително внимателно, защото при зачертаването им отгоре или отдолу се появява допълнителен множител $-1$ - това е именно следствие от това, че са противоположни.
Решаване на сложни проблеми
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
Нека разгледаме всеки термин поотделно.
Първа дроб:
\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]
\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]
Можем да пренапишем целия числител на втората дроб, както следва:
\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]
Сега нека да разгледаме знаменателя:
\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right ))^(2))\]
Нека пренапишем целия рационален израз, като вземем предвид горните факти:
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Отговор: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.
Нюанси на решението
Както видяхме още веднъж, непълните квадрати на сумата или непълните квадрати на разликата, които често се срещат в реални рационални изрази, обаче не се плашете от тях, защото след трансформиране на всеки елемент те почти винаги се анулират. Освен това в никакъв случай не трябва да се страхувате от големи конструкции в крайния отговор - напълно възможно е това да не е вашата грешка (особено ако всичко е факторизирано), но авторът е имал предвид такъв отговор.
В заключение бих искал да разгледам още един сложен пример, който вече не е пряко свързан с рационалните дроби, но съдържа всичко, което ви очаква на реални контролни и изпити, а именно: разлагане на множители, привеждане към общ знаменател, привеждане на подобни членове. Точно това ще направим сега.
Решаване на сложен проблем за опростяване и трансформиране на рационални изрази
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]
Първо, нека разгледаме и отворим първата скоба: в нея виждаме три отделни дроби с различни знаменатели, така че първото нещо, което трябва да направим, е да приведем и трите дроби към общ знаменател, а за да направим това, всяка от тях трябва да бъде факторизиран:
\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]
\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\ляво(x-2 \дясно)\ляво(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \вдясно)\]
Нека пренапишем цялата ни конструкция, както следва:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ ляво(x-2 \дясно)\ляво(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \дясно))=\]
\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Това е резултатът от изчисленията от първата скоба.
Нека се заемем с втората скоба:
\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\ляво(x-2 \дясно)\ляво(x+2 \ надясно)\]
Нека пренапишем втората скоба, като вземем предвид промените:
\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]
Сега нека запишем цялата оригинална конструкция:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
Отговор: $\frac(1)(x+2)$.
Нюанси на решението
Както виждате, отговорът се оказа съвсем разумен. Обърнете внимание обаче: много често по време на такива мащабни изчисления, когато единствената променлива се появява само в знаменателя, учениците забравят, че това е знаменателят и трябва да е в долната част на дробта и записват този израз в числителя - това е груба грешка.
Освен това бих искал да обърна специално внимание на това как се формализират такива задачи. При всякакви сложни изчисления всички стъпки се изпълняват една по една: първо броим отделно първата скоба, след това втората отделно и едва накрая комбинираме всички части и изчисляваме резултата. По този начин се застраховаме от глупави грешки, внимателно записваме всички изчисления и в същото време не губим допълнително време, както може да изглежда на пръв поглед.
Статията говори за трансформацията на рационални изрази. Нека разгледаме видовете рационални изрази, техните трансформации, групиране и поставяне в скоби на общия множител. Нека се научим да представяме дробни рационални изрази под формата на рационални дроби.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение и примери за рационални изрази
Определение 1Изрази, които са съставени от числа, променливи, скоби, степени с операциите събиране, изваждане, умножение, деление с наличието на дробна черта, се наричат рационални изрази.
Например, имаме това 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
Тоест, това са изрази, които не са разделени на изрази с променливи. Изучаването на рационални изрази започва в 8 клас, където те се наричат дробни рационални изрази. Особено внимание се обръща на дробите в числителя, които се преобразуват с помощта на правила за трансформация.
Това ни позволява да преминем към преобразуване на рационални дроби с произволна форма. Такъв израз може да се разглежда като израз с наличието на рационални дроби и цели числа със знаци за действие.
Основни видове преобразувания на рационални изрази
Рационалните изрази се използват за извършване на идентични трансформации, групиране, привеждане на подобни и извършване на други операции с числа. Целта на такива изрази е опростяване.
Пример 1
Преобразувайте рационалния израз 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Решение
Може да се види, че такъв рационален израз е разликата между 3 x x y - 1 и 2 x x y - 1. Забелязваме, че техният знаменател е идентичен. Това означава, че намаляването на подобни условия ще приеме формата
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Отговор: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Пример 2
Преобразувайте 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .
Решение
Първоначално изпълняваме действията в скоби 3 · x − x = 2 · x. Ние представяме този израз във формата 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Стигаме до израз, който съдържа операции с една стъпка, тоест има събиране и изваждане.
Отърваваме се от скобите, като използваме свойството за деление. Тогава получаваме, че 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.
Групираме числови фактори с променливата x, след което можем да извършваме операции със степени. Разбираме това
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Отговор: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.
Пример 3
Преобразувайте израз от формата x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Решение
Първо трансформираме числителя и знаменателя. След това получаваме израз от формата (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2 и действията в скобите се извършват първи. В числителя се извършват операции и се групират факторите. Тогава получаваме израз във формата x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Преобразуваме формулата за разликата на квадратите в числителя, след което получаваме това
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Отговор: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Рационално представяне на дроби
Алгебричните дроби най-често се опростяват, когато се решават. Всяка рационалност е доведена до това по различни начини. Необходимо е да се извършат всички необходими операции с полиноми, за да може рационалният израз в крайна сметка да даде рационална дроб.
Пример 4
Представете като рационална дроб a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Решение
Този израз може да бъде представен като 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Умножението се извършва предимно според правилата.
Трябва да започнем с умножение, тогава получаваме това
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a
Представяме получения резултат с оригиналния. Разбираме това
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Сега нека направим изваждането:
а + 5 а · а - 3 - а - 5 а + 3 · а = а + 5 · а + 3 а · (а - 3) · (а + 3) - (а - 5) · (а - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9
След което е очевидно, че оригиналният израз ще приеме формата 16 a 2 - 9.
Отговор: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Пример 5
Изразете x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x като рационална дроб.
Решение
Даденият израз е записан като дроб, в числителя на която е x x + 1 + 1, а в знаменателя 2 x - 1 1 + x. Необходимо е да се направят трансформации x x + 1 + 1 . За да направите това, трябва да съберете дроб и число. Получаваме, че x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1
От това следва, че x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
Получената дроб може да се запише като 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.
След разделянето стигаме до рационална част от формата
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Можете да разрешите това по различен начин.
Вместо да делим на 2 x - 1 1 + x, ние умножаваме по обратното му 1 + x 2 x - 1. Нека приложим разпределителното свойство и да намерим това
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Отговор: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter