أساسيات نظرية التذبذبات. تصنيف الأنظمة التذبذبية

برنامج المقرر نظرية التذبذبات للطلاب 4 دورة FACI

يعتمد هذا التخصص على نتائج تخصصات مثل الجبر العام الكلاسيكي، ونظرية المعادلات التفاضلية العادية، والميكانيكا النظرية، ونظرية دوال المتغير المعقد. من سمات دراسة الانضباط الاستخدام المتكرر للجهاز التحليل الرياضيوغيرها من التخصصات الرياضية ذات الصلة، والاستخدام العملي أمثلة مهمةمن موضوع النقاش الميكانيكا النظرية، الفيزياء، الهندسة الكهربائية، الصوتيات.

1. التحليل النوعي للحركة في نظام محافظ بدرجة واحدة من الحرية

طريقة مستوى المرحلة
اعتماد فترة التذبذب على السعة. الأنظمة الناعمة والصعبة

2. معادلة النفخ

تعبير عن الحل العام لمعادلة دافينج في الدوال الإهليلجية

3. الأنظمة شبه الخطية

متغيرات فان دير بول
طريقة المتوسط

4. تقلبات الاسترخاء

معادلة فان دير بول
أنظمة مضطربة بشكل فردي من المعادلات التفاضلية

5. ديناميات الأنظمة المستقلة غير الخطية منظر عامبدرجة واحدة من الحرية

مفهوم "خشونة" النظام الديناميكي
تشعبات الأنظمة الديناميكية

6. عناصر نظرية فلوكيه

الحلول العادية والمضاعفات الأنظمة الخطيةالمعادلات التفاضلية ذات المعاملات الدورية
الرنين البارامترى

7. معادلة هيل

تحليل سلوك الحلول لمعادلة من نوع هيل كتوضيح لتطبيق نظرية فلوكيه على الأنظمة الهاملتونية الخطية ذات المعاملات الدورية
معادلة ماتيو كما حالة خاصةمعادلات نوع التل. مخطط إينس-ستريت

8. التذبذبات القسرية في نظام ذو قوة استعادة غير خطية

العلاقة بين سعة التذبذبات وحجم القوة الدافعة المطبقة على النظام
تغيير وضع القيادة عند تغيير تردد القوة الدافعة. مفهوم التباطؤ "الديناميكي".

9. الثوابت الأدياباتيكية

متغيرات زاوية العمل
حفظ الثوابت الأديباتية تحت التغيير النوعيطبيعة الحركة

10. ديناميات الأنظمة الديناميكية متعددة الأبعاد

مفهوم الإرغوديسية والاختلاط الأنظمة الديناميكية
خريطة بوانكاريه

11. معادلات لورنتز. جاذب غريب

معادلات لورنتز كنموذج للحمل الحراري
تشعبات الحلول لمعادلات لورنتز. الانتقال إلى الفوضى
البنية الكسورية لجاذب غريب

12. شاشات عرض أحادية البعد. براعة فيجنباوم

رسم الخرائط التربيعية - أبسط رسم خرائط غير خطية
المدارات الدورية للخرائط. تشعبات المدارات الدورية

الأدب (الرئيسي)

1. مويسيف ن. الطرق المقاربة للميكانيكا غير الخطية. - م: ناوكا، 1981.

2. رابينوفيتش إم. آي.، تروبيتسكوف دي. مقدمة في نظرية التذبذبات والأمواج. إد. الثاني. مركز أبحاث "الديناميكيات المنتظمة والفوضوية"، 2000.

3. بوغوليوبوف ن.ن.، ميتروبولسكي يو.أ. الطرق المقاربة في نظرية التذبذبات غير الخطية. - م: ناوكا، 1974.

4. بوتينين إن.في.، نيمارك يو.آي.، فوفايف إن.إيه. مقدمة في نظرية التذبذبات غير الخطية. - م: ناوكا، 1987.

5. لوسكوتوف أ.يو، ميخائيلوف أ.س. مقدمة في التآزر. - م: ناوكا، 1990.

6. كارلوف ن.ف.، كيريتشينكو ن.أ. التذبذبات، الأمواج، الهياكل.. - م: فيزماتليت، 2003.

الأدب (إضافي)

7. Zhuravlev V.F.، Klimov D.M. الأساليب التطبيقيةفي نظرية التذبذبات دار النشر "العلم" 1988.

8. Stocker J. التذبذبات غير الخطية في الأنظمة الميكانيكية والكهربائية. – م.: الأدب الأجنبي, 1952.

9. Starzhinsky V.M.، الطرق التطبيقية للتذبذبات غير الخطية. - م: ناوكا، 1977.

10. هاياشي تي. التذبذبات غير الخطية في الأنظمة الفيزيائية. - م: مير، 1968.

11. أندرونوف أ.أ.، ويت أ.أ.، كايكين إس.إي. نظرية التذبذب. - م: فيزماتجيز، 1959.

مفهوم التذبذبات.لننظر إلى نظام معين، أي مجموعة من الكائنات التي تتفاعل مع بعضها البعض ومع البيئة وفق قانون معين. يمكن أن يكون مثل النظام الميكانيكي النقاط المادية، قطعاً المواد الصلبةوالأجسام المرنة والمشوهة عمومًا، وما إلى ذلك، بالإضافة إلى الأنظمة الكهربائية والبيولوجية والمختلطة (على سبيل المثال، الكهروميكانيكية). دع حالة النظام في كل لحظة يتم وصفها بواسطة مجموعة معينة من المعلمات. مهمة النظرية هي التنبؤ بتطور النظام مع مرور الوقت، بالنظر إلى الحالة الأولية للنظام والتأثير الخارجي عليه.

لنأخذ إحدى المعلمات العددية للنظام، ونشير إليها بـ و. يمكن ان تكون كمية عددية، أحد مكونات المتجه أو الموتر، وما إلى ذلك. دعونا نفكر في التغيير في هذه المعلمة خلال فترة زمنية معينة، على سبيل المثال، في يمكن أن يكون هذا التغيير رتيبًا وغير رتيبًا وغير رتيبًا بشكل أساسي (الشكل 1) ). الحالة الأخيرة هي الأكثر أهمية.

تسمى عملية تغيير المعلمة، التي تتميز بزيادات ونقصان متناوبة متعددة للمعلمة مع مرور الوقت، بعملية تذبذبية أو ببساطة تذبذبات، وتسمى المعلمة المقابلة قيمة متذبذبة.

من المستحيل إنشاء حدود واضحة فاصلة العمليات التذبذبيةمن عدم التذبذب. على سبيل المثال، في الاقتصاد، هناك عملية من النوع الموضح في الشكل. يمكن أن يعزى الشكل 1 ب إلى العمليات التذبذبية. من الممكن صياغة المزيد تعريف عامعملية تذبذبية: يتم تنفيذ المعلمة شريحة معينةوقت التذبذب بالنسبة للمعلمة (والعكس صحيح)، إذا تغير الفرق في هذا الجزء عدة مرات (الشكل 1 د). على سبيل المثال، يمكننا الحديث عن تغير تذبذبي في زاوية دوران القرص بالنسبة للدوران المنتظم مع ثابت السرعة الزاوية

إذا كانت جميع أو أهم معلمات النظام هي كميات متذبذبة، يقال أن النظام يعاني من التذبذبات. يسمى النظام القادر على التذبذب في ظل ظروف معينة بالنظام التذبذبي. بالمعنى الدقيق للكلمة، أي نظام يناسب هذا التعريف، لأنه بالنسبة لأي نظام من الممكن اختيار مثل هذا التأثير الذي سيتم بموجبه الأداء حركة متذبذبة. لذلك، عادة ما يستخدمون أكثر تعريف ضيق: يسمى النظام متذبذبًا إذا كان قادرًا على التذبذب في غياب التأثيرات الخارجية (فقط بسبب الطاقة المتراكمة في البداية).

مكان العمليات التذبذبية في العلوم والتكنولوجيا.معظم العمليات التي لوحظت في الطبيعة والتكنولوجيا متذبذبة. تشمل العمليات التذبذبية مجموعة واسعة من الظواهر: من إيقاعات الدماغ ونبضات القلب إلى اهتزازات النجوم والسدم وغيرها. الأجسام الفضائية; من اهتزازات الذرات أو الجزيئات في المادة الصلبة إلى التغيرات المناخية على الأرض، من اهتزازات وتر السبر إلى الزلازل. جميع الظواهر الصوتية والانتشارية موجات كهرومغناطيسية، مصحوبة أيضًا بعمليات تذبذبية.

أرز. I. تغيير المعلمة: أ - رتيب. ب - غير رتيب. ج - غير رتيب في الأساس؛ ص - التغيير النسبي في المعلمات

في هذا الحجمسيتم النظر في الأنظمة الميكانيكية بشكل رئيسي. تسمى العمليات التذبذبية التي تحدث في هذه الأنظمة بالتذبذبات الميكانيكية. في مجال التكنولوجيا، وخاصة في الهندسة الميكانيكية، يستخدم مصطلح الاهتزاز أيضًا على نطاق واسع. إنه مرادف تقريبًا للمصطلحات الاهتزازات الميكانيكيةأو اهتزازات النظام الميكانيكي. غالبًا ما يستخدم مصطلح الاهتزاز عندما تكون الاهتزازات ذات سعة صغيرة نسبيًا وتردد ليس منخفضًا جدًا (على سبيل المثال، يصعب قبول مصطلح الاهتزاز عند الحديث عن اهتزازات بندول الساعة أو تأرجح التأرجح).

النظرية التطبيقية للاهتزازات وهندسة الاهتزازات.تسمى مجموعة الطرق والوسائل لقياس الكميات التي تميز الاهتزازات بقياس الاهتزاز. مجموعة من الأساليب والوسائل للحد تأثيرات مؤذيةتسمى الاهتزازات التي يتعرض لها الأشخاص والأجهزة والآليات بحماية الاهتزازات. تسمى مجموعة التقنيات التكنولوجية القائمة على الاستخدام المستهدف للاهتزاز بمعالجة الاهتزاز، ويسمى استخدام الاهتزاز لنقل المواد والمنتجات وما إلى ذلك بنقل الاهتزاز. للتأكد من قدرة الكائنات على أداء وظائفها والحفاظ على المعلمات ضمن الحدود المعايير المعمول بها، وأيضًا للحفاظ على القوة في ظل ظروف الاهتزاز، يلزم إجراء حسابات لمقاومة الاهتزاز وقوة الاهتزاز أو، بصيغة أكثر عمومية، لموثوقية الاهتزاز. الغرض من اختبار الاهتزاز هو دراسة مقاومة الاهتزاز وقوة الاهتزاز وكفاءة الأجسام تحت ظروف الاهتزاز، وكذلك دراسة فعالية الحماية من الاهتزاز؛ تتمثل مهمة تشخيص الاهتزازات في دراسة حالة الجسم بناءً على تحليل الاهتزازات التشغيلية أو المثارة صناعيًا.

تطوير التقنية الحديثةيطرح مجموعة واسعة من المهام للمهندسين المتعلقة بحساب الهياكل المختلفة وتصميم وإنتاج وتشغيل جميع أنواع الآلات والآليات.

تبدأ دراسة سلوك أي نظام ميكانيكي دائمًا باختيار النموذج المادي. عند الانتقال من نظام حقيقي إلى نموذجه المادي، عادة ما يقوم المرء بتبسيط النظام، وإهمال العوامل غير المهمة لمشكلة معينة. وبالتالي، عند دراسة نظام يتكون من حمل معلق على خيط، يتم إهمال حجم الحمل، وكتلة الخيط وامتثاله، ومقاومة الوسط، والاحتكاك عند نقطة التعليق، وما إلى ذلك؛ وهذا ينتج نموذجًا فيزيائيًا معروفًا - البندول الرياضي.

القيد النماذج الماديةيلعب دورا هاما في البحث الظواهر التذبذبيةفي الأنظمة الميكانيكية.

النماذج الفيزيائية الموصوفة بواسطة أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية ذات معاملات ثابتةعادة ما تسمى الخطية.

اختيار النماذج الخطيةيتم استدعاؤه إلى فئة خاصة لعدد من الأسباب:

باستخدام النماذج الخطية، مجموعة واسعة من الظواهر التي تحدث في مختلف الأنظمة الميكانيكيةأوه؛

يعد دمج المعادلات التفاضلية الخطية مع المعاملات الثابتة، من وجهة نظر رياضية، مهمة أولية ولذلك يسعى مهندس البحث إلى وصف سلوك النظام باستخدام نموذج خطي كلما أمكن ذلك.

المفاهيم والتعاريف الأساسية

تعتبر تذبذبات النظام صغيرة إذا أمكن اعتبار الانحرافات والسرعات كميات من الدرجة الأولى من الصغر مقارنة بالأحجام والسرعات المميزة لنقاط النظام.

يمكن للنظام الميكانيكي إجراء تذبذبات صغيرة فقط بالقرب من موضع التوازن المستقر. يمكن أن يكون توازن النظام مستقرًا وغير مستقر وغير مبال (الشكل 3. 8).

أرز. 3.8 أنواع مختلفةحالة توازن

يكون موضع توازن النظام مستقرًا إذا اختل توازن النظام بسبب انحراف أولي صغير جدًا و/أو صغيرة السرعة الأولية، يقوم بالحركة حول هذا الموقف.

معيار استقرار موقف التوازن للأنظمة المحافظة مع هولونوميك و اتصالات ثابتةيتم تحديده من خلال نوع اعتماد الطاقة المحتملة للنظام على الإحداثيات المعممة. لنظام محافظ ج
درجات الحرية، معادلات التوازن لها الشكل

، أي.
، أين
.

معادلات التوازن نفسها لا تجعل من الممكن تقييم طبيعة استقرار أو عدم استقرار موضع التوازن. ويترتب على ذلك فقط أن موضع التوازن يتوافق مع القيمة القصوى للطاقة الكامنة.

يتم تحديد حالة الاستقرار لموضع التوازن (الكافي) بواسطة نظرية لاغرانج-ديريتشليت:

إذا كان في وضع توازن النظام الطاقة الكامنةلديه الحد الأدنى، فهذا الوضع مستقر.

شرط الحد الأدنى لأي دالة هو أن تكون مشتقتها الثانية موجبة عندما تكون المشتقة الأولى تساوي صفرًا. لهذا

إذا كانت المشتقة الثانية صفرًا أيضًا، فمن الضروري لتقييم الاستقرار حساب المشتقات المتعاقبة

وإذا لم يفعل الأول يساوي الصفرالمشتق له ترتيب زوجي وموجب، ثم الطاقة الكامنة عند
لديه حد أدنى، وبالتالي فإن موضع التوازن هذا للنظام مستقر. إذا كان لهذه المشتقة ترتيب فردي، فمتى
لا يوجد حد أقصى أو أدنى. يتم تقديم تقييم لحالة توازن النظام في وضع لا يحتوي فيه على الحد الأدنى من الطاقة الكامنة في نظريات خاصة بواسطة A. M. Lyapunov.

وزارة التربية والتعليم في الاتحاد الروسي
ولاية أوختا جامعة فنية

VC. خيجي، د.ن. ليفيتسكي،
هو. خارين، أ.س. بوبوف

أساسيات نظرية الاهتزاز
الأنظمة الميكانيكية
درس تعليمي

اعترف الجمعية التربوية والمنهجيةالجامعات
في التعليم العالي للنفط والغاز والتعليم
أدلة لطلاب جامعات النفط والغاز الذين يدرسون
حسب التخصص 090800، 170200، 553600

يو دي سي 534.01
X-35
أساسيات نظرية اهتزازات الأنظمة الميكانيكية / ف.ك. خجاي،
د.ن. ليفيتسكي، أ.ن. خارين، أ.س. بوبوف. – أوختا: USTU، 2002. – 108 ص.
ردمك 5-88179-285-8
يتناول الكتاب المدرسي أساسيات نظرية اهتزازات الأنظمة الميكانيكية، والتي تقوم عليها دورة عامةالميكانيكا النظرية. انتباه خاصمخصص لتطبيق معادلات لاغرانج الثانية
صف. يتكون الدليل من ستة فصول، كل منها مخصص لنوع معين من التذبذب. ويخصص فصل واحد لأساسيات نظرية استقرار الحركة وتوازن الأنظمة الميكانيكية.
ل تطوير أفضل المادة النظرية، في الدليل، نظرا
عدد كبير من الأمثلة والمشاكل من مختلف مجالات التكنولوجيا.
الكتاب المدرسي مخصص لطلاب التخصصات الميكانيكية الذين يدرسون مقرر الميكانيكا النظرية بالكامل،
قد تكون مفيدة أيضًا لطلاب التخصصات الأخرى.
المراجعون: قسم الميكانيكا النظرية في سانت بطرسبرغ
أكاديمية الغابات الحكومية (رئيس القسم، دكتوراه في العلوم التقنية، البروفيسور يو.أ. دوبرينين)؛ رئيس قسم الحفر المتكامل بشركة سيفيرنيبيجاز، دكتوراه، أستاذ مشارك يو.إم. غيرزبيرج.

3
جدول المحتويات
مقدمة................................................. .......................................................... ............. .................. 4
الفصل الأول. معلومات مختصرةمن الميكانيكا التحليلية ........................................... .... 5
1.1 الطاقة الكامنة للنظام ........................................... .......................................... 5
1.2. الطاقة الحركية للنظام ........................................... ...................................... 6
1.3. وظيفة تبديد .............................................. ................................................... 8
1.4. معادلة لانجرانج ........................................... ... .............................................................. 9
1.5. أمثلة على تركيب معادلات لانجرانج من النوع الثاني ........................................... 11
الباب الثاني. استقرار الحركة وتوازن الأنظمة المحافظة......... 20
2.1. مقدمة................................................. .......................................................... ............. ................... 20
2.2. وظائف لابونوف. معيار سيلفستر ........................................... ... ............. 21
2.3. معادلة الحركة المضطربة ........................................... ..... ........................... 23
2.4. نظرية ليابونوف حول استقرار الحركة ........................................... ........... .......... 26
2.5. نظرية لاغرانج على استقرار التوازن
النظام المحافظ ........................................... ... .............................................................. ......... 29
2.6. استقرار توازن النظام المحافظ مع واحد
درجات الحرية............................................... ......................................................... ............... ........... ثلاثون
2.7. أمثلة على استقرار توازن النظام المحافظ ........................................... 31
الفصل الثالث. التذبذبات الحرة لنظام بدرجة واحدة من الحرية ............................ 39
3.1. التذبذبات الحرة للنظام المحافظ
بدرجة واحدة من الحرية ........................................ ........................................................... .................. 39
3.2. اهتزازات حرة للنظام مع وجود درجة واحدة من الحرية
قوى المقاومة، يتناسب مع السرعة......................................................... 42
3.3. أمثلة على التذبذبات الحرة لنظام بدرجة واحدة من الحرية .............................. 46
الفصل الرابع. التذبذبات القسرية لنظام بدرجة واحدة من الحرية ............ 59
4.1. التذبذبات القسرية للنظام بدرجة واحدة من الحرية
في حالة وجود قوة مزعجة دورية ........................................... ......... ................... 59
4.2. ظاهرة الرنين ........................................... ... .............................................................. ......... .... 63
4.3. ظاهرة الضرب ........................................... ... .............................................................. ......... ........... 66
4.4. معامل ديناميكي .............................................. ... .................................... 68
4.5. أمثلة على التذبذبات القسريةأنظمة
بدرجة واحدة من الحرية ........................................ ........................................................... ............. 70
الفصل الخامس. الاهتزازات الحرة لنظام ذو درجتين من الحرية................................ 78
5.1. المعادلات التفاضلية للتذبذبات الحرة لنظام ذو اثنين
درجات الحرية وخصائصها قرار مشترك........................................................................ 78
5.2. النماذج الخاصة.................................................................................................. 80
5.3. أمثلة على التذبذب الحر لنظام ذو درجتين من الحرية .............................. 81
الفصل السادس. التذبذبات القسرية لنظام ذو درجتين من الحرية ........... 93
6.1. المعادلات التفاضلية للتذبذبات القسرية للنظام وخصائصها
القرار المشترك ........................................... .................................................. ...... ................. 93
6.2. مخمد الاهتزاز الديناميكي ........................................... .................... ........................... 95
6.3. أمثلة على الاهتزازات القسرية لنظام ذو درجتين من الحرية ..... 98
فهرس................................................. ............... ................................... .........107

4
مقدمة
على المرحلة الحديثةتطوير المدرسة الثانويةإشكالية و نماذج البحوثتمرين.
تعتبر العمليات الديناميكية في الآلات والآليات ذات أهمية حاسمة سواء بالنسبة للحسابات في مرحلة تصميم الهياكل الجديدة أو لتحديد الأوضاع التكنولوجية أثناء التشغيل. من الصعب تسمية مجال تكنولوجي لا يوجد فيه
المشكلات الموضعية لدراسة الاهتزازات المرنة واستقرار التوازن وحركة الأنظمة الميكانيكية. إنهم يمثلون خاصًا
أهمية للمهندسين الميكانيكيين العاملين في الهندسة الميكانيكية والنقل وغيرها من مجالات التكنولوجيا.
يناقش الدليل بعض القضايا الفرديةمن النظرية
الاهتزازات واستقرار الأنظمة الميكانيكية. المعلومات النظرية
وأوضح مع الأمثلة.
الغرض الرئيسي من هذا دليل منهجي- الرابط
مجال تطبيقات الميكانيكا النظرية والتحليلية مع المشاكل
أقسام خاصة بتدريب المهندسين الميكانيكيين.

5
الفصل الأول. معلومات مختصرة من التحليل
علم الميكانيكا
أنا. الطاقة المحتملة للنظام
الطاقة الكامنة للنظام مع درجات الحرية، يجري
تعتمد طاقة الموقع فقط على الإحداثيات المعممة

ف = ف (q1، q2، .....، qs)،
حيث ف ي

(j = 1, 2,K, s) – الإحداثيات المعممة للنظام.

مع الأخذ في الاعتبار الانحرافات الصغيرة للنظام عن الوضع المستقر
التوازن، يمكن اعتبار الإحداثيات المعممة qj كميات من الدرجة الأولى من الصغر. على افتراض أن موقف التوازن للنظام
يتوافق مع أصل الإحداثيات المعممة، نقوم بتوسيع التعبير عن الطاقة المحتملة P إلى سلسلة Maclaurin في صلاحيات qj

∂П
1 س س ∂2 ص
ف = ف (Ο) + ∑ (
)0 ف ي + ∑∑ (
)0 تشي ف ي + ك .
∂
س
2
∂
س
∂
س
ي =1
ط =1 ي =1
ي
أنا
ي
س

مع الأخذ في الاعتبار أن الطاقة الكامنة يتم تحديدها بدقة
حتى يصل إلى بعض الثابت الإضافي، يمكن اعتبار الطاقة الكامنة في موضع التوازن مساوية للصفر
ف (0) = 0.

وفي حالة القوى المحافظة، يتم تحديد القوى المعممة بالصيغة

∂П
∂ ف ي

(ي = 1, 2,ك , ق) .

منذ متى كان نظام القوى في حالة توازن

(ي = 1، 2، ك، ق) ,

ومن ثم فإن شروط التوازن لنظام القوى المحافظ لها الشكل

⎛ ∂P
⎜⎜
⎝ ∂ ف ي

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(ي = 1، 2، ك، ق) ,

⎛ ∂P
∑⎜
ي =1 ⎜ ∂q
⎝ي

⎞
⎟⎟ ف ي = 0 .
⎠0

لذلك،
س

6
ثم تأخذ المساواة (1.2)، حتى شروط الرتبة الثانية من الصغر، الشكل

1 س س ⎛ ∂2 ص
ص = ∑∑⎜
2 i =1 j =1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ تشي ف ي .
⎠0

دعونا نشير

⎛ ∂2 ص
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q ي

⎞
⎟⎟ = cij = ج جي ,
⎠0

حيث cij هي معاملات الصلابة المعممة.
التعبير النهائي للطاقة الكامنة هو

1 س س
П = ∑∑cij qi q j .
2 ط =1 ي =1

من (1.9) يتضح أن الطاقة الكامنة للنظام متجانسة وظيفة من الدرجة الثانيةالإحداثيات المعممة.
1.2. الطاقة الحركية للنظام
الطاقة الحركية لنظام يتكون من نقاط مادية n هي
يساوي

1 ن
تي = ∑mk vk2 ,
2 ك =1

حيث mk وvk هما كتلة وسرعة النقطة k في النظام.
عند الانتقال إلى الإحداثيات المعممة، سنضع ذلك في الاعتبار
_

(ك = 1، 2،...، ن) ,

ص ك (Q1، Q2،...، QS)

حيث r k هو متجه نصف القطر للنقطة k في النظام.
−

دعونا نستخدم الهوية vk2 = v k ⋅ v k ونستبدل متجه السرعة
−

V ك قيمته
_

∂رك
∂q1

∂رك
∂q2

∂رك
∂س

ومن ثم فإن التعبير عن الطاقة الحركية (1.10) سوف يأخذ الشكل

7
2
2
2

1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1,S q S −1 q S) ,(1.13)
2

⎛ _
∂رك
A11 = ∑ مر ⎜
⎜ ∂q1
ك =1
⎝
ن

⎛ _
∂رك
الحمار = ∑ م ك ⎜
⎜ ∂ س
ك =1
⎝
ن

⎞
⎛ _
ن
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
ك =1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
ص
ص
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ م ك ⋅ ك ,...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

مثل −1,s = ∑ mk
ك =1

∂ ر ∂ ر
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

وبتوسيع كل من هذه المعاملات في متسلسلة ماكلورين في قوى الإحداثيات المعممة، نحصل على ذلك

⎛ ∂إيج
آيج = (إيج)0 + ∑ ⎜
⎜
ي =1 ⎝ ∂أ ي
س

⎞
⎟⎟ ف ي + ...
⎠0

(ط = ي = 1، 2،...، ق) .

يتوافق الفهرس 0 مع قيم الوظائف في وضع التوازن. حيث يتم أخذ الانحرافات الصغيرة للنظام عن الموضع في الاعتبار
التوازن، ثم في المساواة (1.14) نقتصر على الحدود الثابتة الأولى فقط

(ط = ي = 1، 2،...، ق) .

آيج = (إيج)0 = آيج

ومن ثم فإن التعبير عن الطاقة الحركية (1.13) سوف يأخذ الشكل
2
2

⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

أو بشكل عام

1 س
تي= ∑
2 ط=1

الثوابت aij هي معاملات القصور الذاتي المعممة.
من (1.16) يتضح أن الطاقة الحركية للنظام T متجانسة
الدالة التربيعية للسرعات المعممة.

8
1.3. وظيفة تبديدية
في ظروف حقيقيةيتم تثبيط التذبذبات الحرة للنظام، لذلك
وكيف تتصرف قوى المقاومة على نقاطها. في وجود قوى المقاومة، تتبدد الطاقة الميكانيكية.
−

لنفترض أن قوى المقاومة R k (k = 1, 2,..., n) تعمل
إلى نقاط النظام بما يتناسب مع سرعتها
_

R ك = - μk v ك

(ك = 1، 2،...، ن) ,

حيث μ k هو معامل التناسب.
يتم تحديد قوى المقاومة المعممة لنظام هولونومي من خلال الصيغ
ن

س ي ر = ∑ ر
ك =1

∂رك
∂ ص
= −∑ μ ك vk ك
∂ ف ي
∂ ف ي
ك =1
ن

(ي = 1، 2،...، ق) .

لأن
_

∂رك
∂رك
∂رك
س1 +
ف2+...+
سؤال وجواب
∂q1
∂q2
∂qS

∂رك
.
∂ ف ي

ومع مراعاة (1.18) نعيد كتابة قوى المقاومة المعممة (1.17) بالشكل
ن

س = −∑ μκ vκ
ر
ي

(ي = 1، 2،...، ق) .

دعونا نقدم دالة تبديدية، والتي يتم تحديدها بواسطة الصيغة
ن

ثم يتم تحديد قوى المقاومة المعممة بواسطة الصيغ

(ي = 1، 2،...، ق) .

يمكن تمثيل الدالة التبددية، قياسًا على الطاقة الحركية للنظام، كدالة تربيعية متجانسة
سرعات معممة

1 س س
Φ = ∑∑ вij q i q j ,
2 ط =1 ي =1

حيث вij هي معاملات التبديد المعممة.
1.4. معادلة لاغرانج من النوع الثاني
يتم تحديد موقع النظام الهولوموني الذي يتمتع بدرجات الحرية بواسطة الإحداثيات المعممة qj (j = 1, 2,..., s) .
لاشتقاق معادلات لاغرانج من النوع الثاني نستخدم العام
معادلة ديناميكية
س

س иj)δ ف ي = 0 ,

حيث Qj هي القوة المعممة للقوى النشطة المقابلة للإحداثيات المعممة j؛
Q uj - القوة المعممة لقوى القصور الذاتي المقابلة للإحداثيات المعممة j؛
δ q j – زيادة الإحداثيات المعممة j.
مع الأخذ في الاعتبار أن جميع δ q j (j = 1, 2,..., s) مستقلة عن بعضها البعض،
لن تكون المساواة (1.23) صالحة إلا في الحالة التي يكون فيها كل من معاملات δ q j بشكل منفصل يساوي الصفر، أي.

س ي + Qиj = 0 (ي = 1، 2،...، ق)
أو

(ي = 1، 2،...، ق) .

دعونا نعبر عن Q uj بدلالة الطاقة الحركية للنظام.
من خلال تعريف القوة المعممة، لدينا

س иj = ∑ Φ ك
ك =1

∂رك
د فك ∂ ص ك
= − ∑ م.ك
⋅
1
=
ك
∂ ف ي
د ∂ ف ي
ن

(ي = 1، 2، ك، ق) ,

د فك
حيث Φ ك = - عضو الكنيست ل ك = - عضو الكنيست
- قوة القصور الذاتي عند النقطة العاشرة للنظام.
dt
_

⎛_ _
د vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
كيه ⋅
⎜
دينارا ∂ ف ي دينارا
∂ ف ي
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ − ك ⋅ د ⎜ ∂ ص ك
⎟
د ⎜ ∂ ف ي
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

ص ك = ص ك (q1، q2،...، qs)،
_

د ر ∂ ر
∂رك
∂رك
فك =
=
س1 +
ف2+...+
سؤال
dt
∂q1
∂q2
∂س
_

⎛ _
د ⎜ ∂ ر
د ⎜ ∂ ف ي
⎝

_
_
⎞
∂
د
ص
∂
الخامس
ك
ك
⎟=
=
.
⎟ ∂ ف ي د.ت
∂ ف ي
⎠

بالتعويض بالقيمتين (1.27) و (1.28) في المساواة (1.26) نجد
_
⎛_
∂ فك ∂ ص ك د ⎜
∂vk
كيه ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂vk2
∂
الخامس
د
ك
⎜
⎟ − ك ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
ي
⎠
⎝

⎞
2
⎟ − ∂ ك .
⎟⎟ 2∂ف ي
⎠

ومع مراعاة المساواة (1.29)، نعيد كتابة التعبير (1.25) بالشكل

⎡ ⎛
د ⎜ ∂vk2
و
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ دت ⎜⎜
ك =1
⎣⎢ ⎝2∂ ف ي
ن

∂
−
∂ ف ي

⎞
⎛
2 ⎤
الخامس
∂
د⎜ ∂
ك ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ ف
2
س
∂
ي ⎦
ي
⎥
⎠
⎝

⎛
عضو الكنيست vk2 د ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ ف
ك =1
ي
⎝
ن

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂ف ي
⎠

⎞
عضو الكنيست vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
ك =1
⎠
ن

11
ويؤخذ في الاعتبار هنا أن مجموع المشتقات يساوي مشتقة المجموع،
ن م v2
و∑ k k = T هي الطاقة الحركية للنظام.
ك =1
2
مع الأخذ في الاعتبار المساواة (1.24)، نجد أخيرا

⎛
د ⎜ ∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ ف
⎝ي

⎞
⎟ − ∂Τ = س
ي
⎟⎟ ∂ف ي
⎠

(ي = 1, 2,ك , ق) .

تسمى المعادلات (1.30) بمعادلات لاغرانج من النوع الثاني.
وعدد هذه المعادلات يساوي عدد درجات الحرية.
إذا كانت القوى المؤثرة على نقاط النظام لها إمكانات، إذن
بالنسبة للقوى المعممة، تكون الصيغة صالحة

∂П
∂ ف ي

(ي = 1، 2، ك، ق) ,

حيث P هي الطاقة الكامنة للنظام.
وهكذا بالنسبة للنظام المحافظ لمعادلة لاغرانج

وزارة التعليم في الاتحاد الروسي

ولاية قبردينو بلقاريا

جامعة سميت باسم. خ. بيربيكوفا

أساسيات نظرية التذبذبات

أساسيات النظرية، مهام الواجبات المنزلية،

أمثلة على الحلول

لطلاب الهندسة الميكانيكية بالجامعة

نالتشيك 2003

المراجعون:

– تكريم دكتوراه في العلوم الفيزيائية والرياضية، أستاذ ومدير معهد أبحاث الرياضيات التطبيقية والأتمتة التابع للأكاديمية الروسية للعلوم. عالم الاتحاد الروسي، أكاديمي أمان.

دكتوراه في العلوم الفيزيائية والرياضية، أستاذ، رئيس قسم الرياضيات التطبيقية في الأكاديمية الزراعية الحكومية قبردينو-بلقاريا.

نظرية كولتربايف للتذبذبات. النظرية الأساسية، مشاكل الواجبات المنزلية، أمثلة للحلول.

كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم الفني العالي الذين يدرسون في مجالات التدريب متخصصون معتمدون 657800 - التصميم والدعم التكنولوجي صناعات بناء الآلات, 655800 الهندسة الغذائية. - نالتشيك: دار نشر تابعة لجامعة KBSU سميت باسمها. ، 20 ثانية.

يوضح الكتاب أساسيات نظرية تذبذبات الأنظمة الميكانيكية الخطية، ويقدم أيضًا مسائل الواجبات المنزلية مع أمثلة لحلولها. يستهدف محتوى النظرية والواجبات طلاب التخصصات الميكانيكية.

يتم أخذ كل من الأنظمة المنفصلة والموزعة بعين الاعتبار. يسمح عدد الخيارات غير المتطابقة للواجبات المنزلية باستخدامها لتدفق كبير من الطلاب.

قد يكون المنشور مفيدًا أيضًا للمعلمين وطلاب الدراسات العليا والمتخصصين في مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا المهتمين بتطبيقات نظرية التذبذبات.

مقدمة

الكتاب يعتمد على دورة قراءة من قبل المؤلففي كلية الهندسة والتكنولوجيا بجامعة قباردينو بلقاريا الحكومية لطلاب التخصصات الميكانيكية.

إن آليات وهياكل التكنولوجيا الحديثة غالبا ما تعمل في ظل ظروف تحميل ديناميكية معقدة، وبالتالي فإن الاهتمام المستمر بنظرية الاهتزازات تدعمه الاحتياجات العملية. تحتوي نظرية التذبذبات وتطبيقاتها على ببليوغرافيا واسعة النطاق، بما في ذلك عدد كبير من الكتب المدرسية والوسائل التعليمية. وقد ورد بعضها في قائمة المراجع في نهاية هذا الدليل. جميع المؤلفات التعليمية الموجودة تقريبًا مخصصة للقراء الذين يدرسون هذه الدورة صوت عاليوالمتخصصة في المجالات الأنشطة الهندسيةبطريقة أو بأخرى، ترتبط بشكل كبير بديناميكيات الهياكل. وفي الوقت نفسه، في الوقت الحاضر، يشعر جميع المهندسين الميكانيكيين بالحاجة إلى إتقان نظرية الاهتزازات على مستوى خطير إلى حد ما. وتؤدي محاولة تلبية هذه المتطلبات إلى إدخال جامعات صغيرة الحجم في البرامج التعليمية للعديد من الجامعات. دورات خاصة. تم تصميم هذا الكتاب المدرسي لتلبية هذه الطلبات، ويحتوي على أساسيات النظرية ومسائل الواجبات المنزلية وأمثلة حول كيفية حلها. وهذا ما يبرر محدودية حجم الكتاب المدرسي واختيار محتواه وعنوانه: "أساسيات نظرية التذبذبات". في الواقع، يحدد الكتاب المدرسي فقط القضايا والأساليب الأساسية للانضباط. يمكن للقارئ المهتم الاستفادة من الدراسات العلمية المعروفة و وسائل تعليميةنظرا في النهاية هذه الطبعة، ل دراسة متعمقةالنظرية وتطبيقاتها المتعددة.

الكتاب مخصص للقارئ الذي حصل على تدريب في نطاق الدورات الجامعية العادية. الرياضيات العلياوالميكانيكا النظرية وقوة المواد.

في دراسة مثل هذه الدورة، تشغل الواجبات المنزلية قدرًا كبيرًا في شكل الدورات الدراسية والاختبارات والحساب والتصميم والحساب والأعمال الرسومية وغيرها من الأعمال التي تتطلب الكثير من الوقت. إن كتب المشكلات الموجودة وأدوات حل المشكلات ليست مخصصة لهذه الأغراض. بالإضافة إلى ذلك، هناك استصواب واضح للجمع بين النظرية والواجبات المنزلية في منشور واحد، مجتمعة المحتوى العاموالتركيز الموضوعي والتكميلية.

عند الانتهاء من الواجبات المنزلية وإتمامها، يواجه الطالب العديد من الأسئلة التي لم يتم ذكرها أو شرحها بشكل غير كافٍ في الجزء النظري من التخصص؛ يواجه صعوبات في وصف التقدم المحرز في حل المشكلة، وطرق تبرير القرارات المتخذة، وتنظيم الملاحظات وكتابتها.

ويواجه المعلمون أيضًا صعوبات، ولكن ذات طبيعة تنظيمية. يتعين عليهم مراجعة حجم الواجبات المنزلية ومحتواها وبنيتها بشكل متكرر، وإعداد إصدارات عديدة من المهام، وضمان تسليم المهام غير المتطابقة بشكل جماعي في الوقت المناسب، وإجراء العديد من المشاورات والتوضيحات، وما إلى ذلك.

يهدف هذا الدليل، من بين أمور أخرى، إلى تقليل وإزالة الصعوبات والصعوبات ذات الطبيعة المذكورة في ظروف التعليم الجماعي. ويحتوي على مهمتين تغطيان أهم القضايا الأساسية للدورة:

1. تذبذبات الأنظمة بدرجة واحدة من الحرية.

2. تذبذبات الأنظمة بدرجتين من الحرية.

يمكن أن تصبح هذه المهام، في نطاقها ومحتواها، بمثابة أعمال حسابية وتصميمية للطلاب المتفرغين. نماذج بدوام جزئيالتدريب أو الاختبارات للطلاب نموذج المراسلةتمرين.

لراحة القراء، يستخدم الكتاب ترقيمًا مستقلاً للصيغ (المعادلات) والأرقام داخل كل فقرة باستخدام المعتاد عدد عشريبين قوسين. تتم الإشارة ضمن الفقرة الحالية بمجرد الإشارة إلى هذا الرقم. إذا كان من الضروري الإشارة إلى صيغة الفقرات السابقة، فاذكر رقم الفقرة ثم رقم الصيغة نفسها مفصولة بنقطة. لذلك، على سبيل المثال، يتوافق الترميز (3.2.4) مع الصيغة (4) في الفقرة 3.2 من هذا الفصل. تتم الإشارة إلى صيغة الفصول السابقة بنفس الطريقة، ولكن مع الإشارة إلى رقم الفصل والنقطة في المقام الأول.

الكتاب هو محاولة لتلبية الاحتياجات تدريب مهنيطلاب اتجاهات معينة. يدرك المؤلف أنه، على ما يبدو، لن يكون خاليًا من العيوب، وبالتالي سيقبل بامتنان الانتقادات والتعليقات المحتملة من القراء لتحسين الإصدارات اللاحقة.

وقد يكون الكتاب مفيدًا أيضًا للمتخصصين المهتمين بتطبيقات نظرية التذبذبات مناطق مختلفةالفيزياء والتكنولوجيا والبناء وغيرها من مجالات المعرفة وأنشطة الإنتاج.

الفصلأنا

مقدمة

1. موضوع نظرية الاهتزاز

يتحرك نظام معين في الفضاء بحيث يتم وصف حالته في كل لحظة من الزمن بواسطة مجموعة معينة من المعلمات: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif" width="31" الارتفاع = "23 src =>.gif" العرض = "48" الارتفاع = "24"> و تأثيرات خارجية. ومن ثم المهمة هي التنبؤ مزيد من التطورالنظم في الوقت المناسب: (الشكل 1).

ولتكن إحدى خصائص النظام المتغيرة هي . قد تكون مختلفة الأصناف المميزةتغيراته مع مرور الوقت: رتابة (الشكل 2)، غير رتيبة (الشكل 3)، غير رتيبة إلى حد كبير (الشكل 4).

تسمى عملية تغيير المعلمة، والتي تتميز بالزيادات والنقصان المتناوب المتعددة للمعلمة مع مرور الوقت عملية تذبذبيةأو ببساطة التقلبات.التذبذبات منتشرة على نطاق واسع في الطبيعة والتكنولوجيا و النشاط البشري: إيقاعات الدماغ، تذبذبات البندول، نبض القلب، اهتزازات النجوم، اهتزازات الذرات والجزيئات، تقلبات القوة الحالية دائرة كهربائية، تقلبات في درجة حرارة الهواء، تقلبات في أسعار المواد الغذائية، اهتزاز الصوت، اهتزاز أوتار الآلة الموسيقية.

موضوع الدراسة هذه الدورةهي اهتزازات ميكانيكية، أي اهتزازات في الأنظمة الميكانيكية.

2. التصنيف الأنظمة التذبذبية

يترك ش(X، ر) - ناقل حالة النظام، F(X، ر) – ناقل التأثيرات على النظام من الخارج بيئة(رسم بياني 1). يتم وصف ديناميكيات النظام بواسطة معادلة المشغل

ل ش(X، ر) = F(X، ر)، (1)

حيث يتم إعطاء العامل L بواسطة معادلات التذبذبات و شروط إضافية(الحدود، الأولي). في مثل هذه المعادلة، يمكن أيضًا أن تكون u وf كميات عددية.

معظم تصنيف بسيطيمكن إنتاج الأنظمة التذبذبية وفقًا لها عدد درجات الحرية. عدد درجات الحرية هو عدد المعلمات العددية المستقلة التي تحدد بشكل فريد تكوين النظام في أي وقت t. بناءً على هذه الميزة، يمكن تصنيف الأنظمة التذبذبية إلى واحدة من ثلاث فئات:

1)الأنظمة بدرجة واحدة من الحرية.

2)الأنظمة ذات عدد محدوددرجات الحرية. وغالبا ما يطلق عليهم أيضا أنظمة منفصلة.

3)أنظمة ذات عدد لا نهائي من درجات الحرية (الأنظمة المستمرة والموزعة).

في التين. 2 يقدم عددا من الأمثلة التوضيحية لكل فئة من فئاتها. لكل مخطط، يشار إلى عدد درجات الحرية في الدوائر. على المخطط الأخيريتم تقديم النظام الموزع على شكل شعاع مرن قابل للتشوه. لوصف تكوينها، مطلوب وظيفة u(x, t)، أي. مجموعة لا نهائيةش القيم.

كل فئة من الأنظمة التذبذبية لها خصائصها الخاصة نموذج رياضي. على سبيل المثال، يتم وصف النظام ذو درجة واحدة من الحرية بواسطة معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية، والأنظمة ذات عدد محدود من درجات الحرية - بواسطة نظام المعادلات التفاضلية العادية، والأنظمة الموزعة - المعادلات التفاضليةفي المشتقات الجزئية.

حسب نوع المشغل L في النموذج (1) تنقسم الأنظمة التذبذبية إلى الخطية وغير الخطية. ويعتبر النظام خطي، إذا كان العامل المقابل له خطيًا، أي يفي بالشرط

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif" width="20 height=24" height="24">.jpg" width="569" height="97">
صالحة للأنظمة الخطية مبدأ التراكب(مبدأ استقلال عمل القوات). جوهرها باستخدام مثال (الشكل..gif" width="36" height="24 src="> كما يلي..gif" width="39" height="24 src=">..gif" العرض = "88" الارتفاع = "24">.

الأنظمة الثابتة وغير الثابتة.ش أنظمة ثابتةخلال الفترة الزمنية قيد النظر، لا تتغير الخصائص مع مرور الوقت. في خلاف ذلكيسمى النظام غير ثابتة.يوضح الشكلان التاليان بوضوح التذبذبات في مثل هذه الأنظمة. في التين. ويبين الشكل 4 التذبذبات في نظام ثابت في حالة مستقرة، الشكل 4. 5- التذبذبات في النظام غير الثابت.

يتم وصف العمليات في الأنظمة الثابتة بواسطة معادلات تفاضلية ذات معاملات ثابتة بمرور الوقت، في الأنظمة غير الثابتة - مع معاملات متغيرة.

الأنظمة المستقلة وغير المستقلة.في أنظمة الحكم الذاتي لا توجد تأثيرات خارجية. لا يمكن أن تحدث العمليات التذبذبية فيها إلا بسبب مصادر داخليةالطاقة أو بسبب الطاقة المنقولة إلى النظام لحظة البدايةوقت. في معادلة المشغل (1)، فإن الجانب الأيمن لا يعتمد على الزمن، أي. F(س، ر) = F(س). الأنظمة المتبقية هي غير مستقلة.

الأنظمة المحافظة وغير المحافظة. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg" محاذاة = "left hspace = 12" width = "144" height = "55"> اهتزازات مجانية. اهتزازات مجانيةيتم إجراؤها في غياب التأثير الخارجي المتغير، دون تدفق الطاقة من الخارج. لا يمكن أن تحدث مثل هذه التذبذبات إلا في الأنظمة المستقلة (الشكل 1).

الاهتزازات القسرية.وتحدث مثل هذه التقلبات في الأنظمة غير المستقلة، ومصادرها هي تأثيرات خارجية متغيرة (الشكل 2).

التذبذبات البارامترية.يمكن أن تتغير معلمات النظام التذبذبي بمرور الوقت، ويمكن أن يصبح هذا مصدرًا للتذبذبات. تسمى هذه التذبذبات حدودي.أعلى نقطة تعليق البندول الجسدي(الشكل..gif" width="28" height="23 src=">، والذي يتسبب في حدوث اهتزازات حدودية عرضية (الشكل 5).

التذبذبات الذاتية(تذبذبات ذاتية الإثارة). مصادر هذه التذبذبات ذات طبيعة غير تذبذبية، والمصادر نفسها مدرجة في النظام التذبذبي. في التين. يوضح الشكل 6 كتلة على زنبرك موضوعة على حزام متحرك. تؤثر عليه قوتان: قوة الاحتكاك وقوة الشد المرنة للزنبرك، وتتغيران بمرور الوقت. الأول يعتمد على الفرق بين سرعات الحزام والكتلة، والثاني على مقدار وعلامة تشوه الزنبرك، وبالتالي فإن الكتلة تكون تحت تأثير قوة محصلة موجهة إما إلى اليسار أو إلى اليمين ويتأرجح.

في المثال الثاني (الشكل 7)، يتحرك الطرف الأيسر من الزنبرك إلى اليمين سرعة ثابتة v، ونتيجة لذلك يقوم الزنبرك بتحريك الحمل على طول سطح ثابت. تنشأ حالة مشابهة لتلك الموصوفة في الحالة السابقة، ويبدأ الحمل في التأرجح.

4. حركيات العمليات التذبذبية الدورية

ولتتميز العملية بمتغير عددي واحد، وهو الإزاحة على سبيل المثال. ثم - السرعة - التسارع..gif" width=11 height=17" height=17"> تم استيفاء الشرط

ثم يتم استدعاء التذبذبات دورية(رسم بياني 1). في هذه الحالة، يتم استدعاء أصغر هذه الأرقام فترة التذبذب. غالبًا ما تكون وحدة قياس فترة التذبذب هي الثانية، ويُشار إليها بـ s أو sec. يتم استخدام وحدات قياس أخرى في الدقائق والساعات وما إلى ذلك. وهناك خاصية أخرى مهمة أيضًا للعملية التذبذبية الدورية. تردد التذبذب

القياس الكمي دورات كاملةالتذبذبات لكل وحدة زمنية (على سبيل المثال، في الثانية). ويقاس هذا التردد بالهرتز (هرتز)، أي 5 دورات كاملة من التذبذب في ثانية واحدة. في الحسابات الرياضية لنظرية التذبذبات، اتضح أنها أكثر ملاءمة التردد الزاوي

تم قياسه بـ https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif" width="115 height=24" height="24">.

أبسط التذبذبات الدورية، ولكنها مهمة للغاية للبناء اساس نظرىنظرية التذبذبات هي تذبذبات توافقية (جيبية) تتغير حسب القانون

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif" width = "17" height = "17 src = "> - السعة، - مرحلة التذبذب، - المرحلة الأولى..gif" العرض = "196" الارتفاع = "24">،

ومن ثم التسارع

بدلاً من (1)، غالباً ما يتم استخدام تدوين بديل

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif" width = "80" height = "21 src = ">. يمكن أيضًا تقديم الوصف (1) و (2) في النموذج

توجد علاقات يمكن إثباتها بسهولة بين الثوابت في الصيغ (1)، (2)، (3)

إن استخدام أساليب ومفاهيم نظرية وظائف المتغيرات المعقدة يبسط إلى حد كبير وصف التذبذبات. موقع مركزيفي هذه الحالة يستغرق صيغة أويلر

هنا https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif" width="111" height="28">. (4)

الصيغتان (1) و (2) واردة في (4). على سبيل المثال، يمكن تمثيل التذبذبات الجيبية (1) كمكون وهمي (4)

و (2) - على شكل مكون حقيقي

التذبذبات متعددة التوافقيات.مجموع اثنين الاهتزازات التوافقيةبنفس الترددات سيكون هناك تذبذب توافقي بنفس التردد

يمكن أن يكون للمصطلحات ترددات مختلفة

فيكون المجموع (5). وظيفة دوريةمع الفترة، فقط إذا، وأين، وأعداد صحيحة، و جزء غير قابل للاختزال, رقم منطقي. بشكل عام، إذا كان هناك ذبذبتان توافقيتان أو أكثر لها ترددات ونسب في الشكل الكسور العقلانية، فإن مجموعها يكون دوريًا، لكن ليس تذبذبات توافقية. تسمى هذه التذبذبات متعدد التوافقيات.

لو التقلبات الدوريةليست توافقية، لا يزال من المفيد في كثير من الأحيان تمثيلها كمجموع من التذبذبات التوافقية باستخدام سلسلة فورييه

هنا https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif" width="15" height="19"> هو الرقم التوافقي الذي يميز متوسط قيمة الانحرافات، https://pandia. ru/text /78/502/images/image077_14.gif" width="139 height=24" height="24"> - التوافقي الأساسي الأول (https://pandia.ru/text/78/502/ Images/image080_11.gif" width="207" height="24"> النماذج الطيف التردديتردد.

ملحوظة. التبرير النظريإمكانية تمثيل وظيفة عملية تذبذبية مع سلسلة فورييه هي نظرية ديريشليت لوظيفة دورية:

إذا تم إعطاء دالة على قطعة وكانت متواصلة ورتيبة ومحدودة عليها، فإن متسلسلة فورييه الخاصة بها تتقارب في جميع نقاط القطعة https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif " العرض = "28" الارتفاع = "23 src = "> – المبلغ سلسلة مثلثيةدالة فورييه f(t)، ثم عند جميع نقاط استمرارية هذه الوظيفة

وفي جميع نقاط الانقطاع

بجانب،

ومن الواضح أن العمليات التذبذبية الحقيقية تستوفي شروط نظرية ديريشليت.

في طيف التردد، يتوافق كل تردد مع السعة Ak والمرحلة الأولية .

أنها تشكل طيف السعة https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif" width="35" height="24">. التمثيل البصريعن طيف السعةيعطي الأرز 2.

يسمى تحديد طيف التردد ومعاملات فورييه التحليل الطيفي . من نظرية متسلسلة فورييه تُعرف الصيغ التالية: