اللحظات الأولية والمركزية للمتغيرات العشوائية المنفصلة. حساب القيم المركزية للبيانات غير المجمعة

لحظة البداية ك ذ طلب متغير عشوائيX X ك :

بخاصة،

لحظة مركزية ك ذ طلب متغير عشوائيXويسمى التوقع الرياضي للكمية ك :

. (5.11)

بخاصة،

وباستخدام تعريفات وخصائص التوقع والتشتت الرياضي، يمكننا الحصول على ذلك

,

,

نادرًا ما يتم استخدام لحظات الترتيب الأعلى.

لنفترض أن توزيع المتغير العشوائي متماثل بالنسبة للتوقع الرياضي. إذن جميع السنترالات ذات الرتب الفردية تساوي صفرًا. يمكن تفسير ذلك من خلال حقيقة أنه لكل قيمة موجبة للانحراف X – M [X] هناك (بسبب تماثل التوزيع) قيمة سالبة تساوي القيمة المطلقة، وستكون احتمالاتها هي نفسها. إذا كان العزم المركزي ذو ترتيب فردي ولا يساوي الصفر، فهذا يشير إلى عدم تناسق التوزيع وكلما زاد العزم، زاد عدم التماثل. ولذلك، فمن المعقول أن نأخذ لحظة مركزية غريبة كخاصية لعدم تناسق التوزيع. بما أن العزم المركزي من الدرجة الأولى يساوي دائمًا الصفر، فمن المستحسن استخدام العزم المركزي من الدرجة الثالثة لهذا الغرض. ومع ذلك، فمن غير المناسب قبول هذه النقطة لتقييم عدم التماثل لأن قيمتها تعتمد على الوحدات التي يقاس بها المتغير العشوائي. ولإزالة هذا العيب، يتم قسمة  3 على  3 وبالتالي الحصول على خاصية.

معامل عدم التماثل أ تسمى الكمية

. (5.12)

أرز. 5.1

إذا كان معامل عدم التماثل سالباً، فهذا يشير إلى تأثير كبير على قيمة  3 انحرافات سلبية. في هذه الحالة، تكون منحنيات التوزيع أكثر استواءً على يسار M[X]. إذا كان المعامل A موجبًا، يكون المنحنى مسطحًا على اليمين.

وكما هو معروف فإن التشتت (العزم المركزي الثاني) يعمل على وصف تشتت قيم المتغير العشوائي حول التوقع الرياضي. كلما زاد التشتت، كلما كان منحنى التوزيع المقابل أكثر استواءً. ومع ذلك، فإن العزم المعياري من الرتبة الثانية  2 / 2 لا يمكن أن يكون بمثابة خاصية للتوزيع "مسطح القمة" أو "ذو قمة حادة" لأنه بالنسبة لأي توزيع D[ س]/ 2 =1. في هذه الحالة، يتم استخدام اللحظة المركزية من الدرجة الرابعة.

إفراط ه تسمى الكمية

. (5.13)

ح

أرز. 5.2

تم اختيار الرقم 3 هنا لأنه بالنسبة لقانون التوزيع الطبيعي الأكثر شيوعًا  4 / 4 =3. ولذلك، فإن التفرطح يعمل على مقارنة التوزيعات الموجودة مع التوزيع الطبيعي، الذي يكون التفرطح فيه صفرًا. وهذا يعني أنه إذا كان التوزيع يحتوي على تفرطح إيجابي، فإن منحنى التوزيع المقابل يكون أكثر "ذروة" مقارنة بمنحنى التوزيع الطبيعي؛ إذا كان التوزيع يحتوي على تفرطح سلبي، فإن المنحنى المقابل يكون أكثر "سطحًا".

مثال 5.6.يتم إعطاء DSV X بواسطة قانون التوزيع التالي:

أوجد معامل التواء والتفرطح.

أرز. 5.4

حل . دعونا أولا نجد اللحظات الأولية حتى الترتيب الرابع

الآن دعونا نحسب اللحظات المركزية:

تسمى اللحظات المركزية لحظات التوزيع، عند حساب انحراف الخيارات عن الوسط الحسابي لسلسلة معينة يتم أخذه كقيمة أولية.

1. احسب العزم المركزي من الدرجة الأولى باستخدام الصيغة:

2. احسب العزم المركزي من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة:

أين هي قيمة منتصف الفترات؛

وهذا هو المتوسط ​​المرجح.

Fi هو عدد القيم.

3. احسب العزم المركزي من الدرجة الثالثة باستخدام الصيغة:

أين هي قيمة منتصف الفترات؛ - هذا هو المتوسط ​​المرجح. - عدد فاي من القيم.

4. احسب العزم المركزي من الدرجة الرابعة باستخدام الصيغة:

أين هي قيمة منتصف الفترات؛ - هذا هو المتوسط ​​المرجح. - عدد فاي من القيم.

حساب الجدول 3.2

حساب الجدول 3.4

1. احسب العزم المركزي من الدرجة الأولى باستخدام الصيغة (7.1):

2. احسب العزم المركزي من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة (7.2):

3. احسب العزم المركزي من الدرجة الثالثة باستخدام الصيغة (7.3):

4. احسب العزم المركزي من الدرجة الرابعة باستخدام الصيغة (7.4):

حساب الجدول 3.6

1. احسب العزم المركزي من الدرجة الأولى باستخدام الصيغة (7.1):

2. احسب العزم المركزي من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة (7.2):

3. احسب العزم المركزي من الدرجة الثالثة باستخدام الصيغة (7.3):

4. احسب العزم المركزي من الدرجة الرابعة باستخدام الصيغة (7.4):

تم حساب لحظات الأوامر 1، 2، 3، 4 لثلاث مسائل. حيث تكون لحظة الترتيب الثالثة مطلوبة لحساب عدم التماثل، وتكون لحظة الترتيب الرابعة ضرورية لحساب التفرطح.

حساب عدم تناسق التوزيع

في الممارسة الإحصائية، تمت مواجهة توزيعات مختلفة. هناك الأنواع التالية من منحنيات التوزيع:

· منحنيات أحادية الرأس: متماثلة، وغير متماثلة إلى حد ما، وغير متماثلة إلى حد كبير؛

· منحنيات متعددة الرؤوس.

تتميز المجموعات المتجانسة، كقاعدة عامة، بتوزيعات أحادية الرأس. يشير Multivertex إلى عدم تجانس السكان قيد الدراسة. إن ظهور رأسين أو أكثر يجعل من الضروري إعادة تجميع البيانات من أجل تحديد مجموعات أكثر تجانساً.

تحديد الطبيعة العامة للتوزيع ينطوي على تقييم تجانسه، وكذلك حساب مؤشرات عدم التماثل والتفرطح. بالنسبة للتوزيعات المتماثلة، فإن ترددات أي خيارين يقعان بالتساوي على جانبي مركز التوزيع تكون متساوية مع بعضها البعض. المتوسط ​​والمنوال والوسيط المحسوب لمثل هذه التوزيعات متساوون أيضًا.

عند الدراسة المقارنة لعدم تناسق عدة توزيعات بوحدات قياس مختلفة، يتم حساب مؤشر عدم التماثل النسبي ():

أين هو المتوسط ​​المرجح؟ مو الموضة؛ - جذر متوسط ​​مربع التشتت المرجح؛ أنا متوسط.

يمكن أن تكون قيمتها إيجابية أو سلبية. في الحالة الأولى، نحن نتحدث عن عدم التماثل في الجانب الأيمن، وفي الثانية، حول عدم التماثل في الجانب الأيسر.

مع عدم التماثل في الجانب الأيمن Mo>Me>x. الأكثر استخدامًا (كمؤشر لعدم التماثل) هو نسبة العزم المركزي من الدرجة الثالثة إلى الانحراف المعياري لسلسلة معينة مكعبة:

أين هي اللحظة المركزية من الدرجة الثالثة؟ - الانحراف المعياري مكعب.

إن استخدام هذا المؤشر يجعل من الممكن تحديد ليس فقط حجم عدم التماثل، ولكن أيضًا التحقق من وجوده في عموم السكان. من المقبول عمومًا أن الانحراف الأكبر من 0.5 (بغض النظر عن الإشارة) يعتبر مهمًا؛ وإذا كان أقل من 0.25 فهو غير مهم.

يتم تقييم الأهمية على أساس متوسط ​​مربع الخطأ، ومعامل عدم التماثل ()، الذي يعتمد على عدد الملاحظات (ن) ويتم حسابه باستخدام الصيغة:

حيث n هو عدد الملاحظات.

في هذه الحالة، يكون عدم التماثل كبيرًا ويكون توزيع الخاصية في السكان غير متماثل. خلاف ذلك، يكون عدم التماثل غير مهم وقد يكون وجوده بسبب ظروف عشوائية.

حساب الجدول 3.2تجميع السكان حسب متوسط ​​الراتب الشهري، فرك.

عدم تناسق كبير في الجانب الأيسر.

حساب الجدول 3.4تجميع المتاجر حسب حجم مبيعات التجزئة، مليون روبل.

1. دعونا نحدد عدم التماثل باستخدام الصيغة (7.5):

الجانب الأيمن، عدم التماثل الكبير.

حساب الجدول 3.6تجميع منظمات النقل حسب حجم مبيعات وسائل النقل العام (مليون طن كم)

1. دعونا نحدد عدم التماثل باستخدام الصيغة (7.5):

الجانب الأيمن، وعدم التماثل طفيف.

حساب كورتيس التوزيع

بالنسبة للتوزيعات المتماثلة، يمكن حساب مؤشر التفرطح () كما يلي:

أين هي اللحظة المركزية من الدرجة الرابعة؟ - الانحراف المعياري للقوة الرابعة.

حساب الجدول 3.2تجميع السكان حسب متوسط ​​الراتب الشهري، فرك.

حساب الجدول 3.4تجميع المتاجر حسب حجم مبيعات التجزئة، مليون روبل.

لنحسب مؤشر التفرطح باستخدام الصيغة (7.7)

توزيع الذروة.

حساب الجدول 3.6تجميع منظمات النقل حسب حجم مبيعات وسائل النقل العام (مليون طن كم)

لنحسب مؤشر التفرطح باستخدام الصيغة (7.7)

توزيع قمة مسطحة.

تقييم تجانس السكان

تقييم التجانس للجدول 3.2تجميع السكان حسب متوسط ​​الراتب الشهري، فرك.

تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من أن مؤشرات عدم التماثل والتفرطح تميز بشكل مباشر فقط شكل توزيع الخاصية ضمن السكان قيد الدراسة، فإن تعريفها ليس له أهمية وصفية فقط. في كثير من الأحيان، يوفر عدم التماثل والتفرطح مؤشرات معينة لمزيد من البحث في الظواهر الاجتماعية والاقتصادية. تشير النتيجة التي تم الحصول عليها إلى وجود عدم تناسق كبير الحجم وسلبي بطبيعته، وتجدر الإشارة إلى أن عدم التماثل هو من الجانب الأيسر. وبالإضافة إلى ذلك، فإن السكان لديهم توزيع مسطح.

تقييم التجانس للجدول 3.4تجميع المتاجر حسب حجم مبيعات التجزئة، مليون روبل.

تشير النتيجة التي تم الحصول عليها إلى وجود عدم تناسق كبير الحجم وإيجابي بطبيعته، وتجدر الإشارة إلى أن عدم التماثل هو من الجانب الأيمن. وكذلك السكان لديهم توزيع حاد الرأس.

تقييم التجانس للجدول 3.6تجميع منظمات النقل حسب حجم مبيعات وسائل النقل العام (مليون طن كم)

تشير النتيجة التي تم الحصول عليها إلى وجود عدم تناسق غير مهم من حيث الحجم وإيجابي بطبيعته، تجدر الإشارة إلى أن عدم التماثل هو من الجانب الأيمن. وبالإضافة إلى ذلك، فإن السكان لديهم توزيع مسطح القمة.

لنفكر في متغير عشوائي منفصل يحدده قانون التوزيع:

القيمة المتوقعة يساوي:

ونحن نرى أن الأمر أكثر من ذلك بكثير. ويمكن تفسير ذلك من خلال حقيقة أن القيمة س= -150، تختلف كثيرًا عن القيم الأخرى، وتزداد بشكل حاد عند التربيع؛ احتمال هذه القيمة منخفض (0.02). وبذلك يكون الانتقال من م (س)ل م (× 2)جعل من الممكن أن نأخذ في الاعتبار بشكل أفضل التأثير على التوقع الرياضي لمثل هذه القيم لمتغير عشوائي كبير القيمة المطلقة، ولكن احتمال حدوثها منخفض. وبطبيعة الحال، إذا كان للكمية عدة قيم كبيرة وغير محتملة، فإن الانتقال إلى الكمية × 2، وأكثر من ذلك بالنسبة للكميات , وما إلى ذلك، سيسمح لنا بمواصلة "تعزيز دور" هذه القيم الكبيرة ولكن غير المحتملة. ولهذا السبب، فمن المستحسن النظر في التوقع الرياضي للقوة الإيجابية الصحيحة لمتغير عشوائي، ليس فقط منفصلاً، بل مستمرًا أيضًا.

التعريف 6.10.اللحظة الأولية للترتيب العاشر للمتغير العشوائي هي التوقع الرياضي للكمية:

بخاصة:

باستخدام هذه النقاط، يمكن كتابة صيغة حساب التباين بشكل مختلف

بالإضافة إلى لحظات المتغير العشوائي، من المستحسن النظر في لحظات الانحراف.

التعريف 6.11.اللحظة المركزية للترتيب العاشر للمتغير العشوائي هي التوقع الرياضي للكمية.

(6.23)

بخاصة،

يتم بسهولة استخلاص العلاقات التي تربط بين اللحظات الأولية والمركزية. وبمقارنة (6.22) و (6.24) نحصل على:

ليس من الصعب إثبات العلاقات التالية:

على نفس المنوال:

نادرًا ما يتم استخدام لحظات الترتيب الأعلى. في تحديد العزوم المركزية، يتم استخدام انحرافات المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي (المركز). لهذا السبب تسمى اللحظات وسط.

في تحديد اللحظات الأولية، يتم أيضًا استخدام انحرافات المتغير العشوائي، ولكن ليس من التوقع الرياضي، ولكن من النقطة التي يساوي الإحداثيات فيها الصفر، وهي أصل الإحداثيات. لهذا السبب تسمى اللحظات أولي.

في حالة المتغير العشوائي المستمر، يتم حساب العزم الأولي للترتيب الأول باستخدام الصيغة:

(6.27)

يتم حساب اللحظة المركزية للترتيب العاشر لمتغير عشوائي مستمر بالصيغة:

(6.28)

لنفترض أن توزيع المتغير العشوائي متماثل بالنسبة للتوقع الرياضي. إذن كل العزوم المركزية ذات الرتبة الفردية تساوي صفرًا. ويمكن تفسير ذلك من خلال حقيقة أنه لكل قيمة إيجابية للكمية X-M(X)يوجد (بسبب تماثل التوزيع النسبي لـ م (س)) تساوي القيمة المطلقة للقيمة السالبة لهذه الكمية، وستكون احتمالاتهما واحدة.

إذا كانت العزم المركزي لترتيب فردي لا يساوي الصفر، فهذا يشير إلى عدم تناسق التوزيع، وكلما زاد العزم، زاد عدم التماثل. ولذلك، فمن المعقول أن نأخذ لحظة مركزية غريبة كخاصية لعدم تناسق التوزيع. نظرًا لأن العزم المركزي من الدرجة الأولى يكون دائمًا صفرًا، فمن المستحسن استخدام العزم المركزي من الدرجة الثالثة لهذا الغرض.

التعريف 6.12.معامل عدم التماثل هو الكمية:

إذا كان معامل عدم التماثل سلبيا، فهذا يدل على تأثير كبير على حجم الانحرافات السلبية. في هذه الحالة، منحنى التوزيع (الشكل 6.1). أ) أكثر مسطحة على يسار . إذا كان المعامل موجبًا، مما يعني أن تأثير الانحرافات الإيجابية هو السائد، فإن منحنى التوزيع يكون مسطحًا على اليمين.

وكما هو معروف فإن اللحظة المركزية الثانية (التباين) تعمل على توصيف تشتت قيم المتغير العشوائي حول توقعه الرياضي. إذا كانت هذه اللحظة لبعض المتغيرات العشوائية كبيرة بما فيه الكفاية، أي. إذا كان التشتت كبيرًا، فإن منحنى التوزيع المقابل يكون مسطحًا من منحنى التوزيع لمتغير عشوائي مع عزم ثانوي أصغر. ومع ذلك، فإن اللحظة لا يمكن أن تخدم هذا الغرض بسبب أي توزيع .

في هذه الحالة، يتم استخدام اللحظة المركزية من الدرجة الرابعة.

التعريف 6.13.التفرطح هو الكمية:

بالنسبة لقانون التوزيع الطبيعي الأكثر شيوعًا في الطبيعة، فإن النسبة هي . ولذلك فإن التفرطح المعطى بالصيغة (6.28) يعمل على مقارنة هذا التوزيع بالتوزيع الطبيعي (الشكل 6.1) ب).

3.4. لحظات متغير عشوائي.

أعلاه، تعرفنا على الخصائص الشاملة لـ SV: وظيفة التوزيع وسلسلة التوزيع لـ SV المنفصلة، ​​ووظيفة التوزيع وكثافة الاحتمال لـ SV المستمر. هذه الخصائص المكافئة الزوجية من حيث محتوى المعلومات هي المهامووصف SV بشكل كامل من وجهة نظر احتمالية. ومع ذلك، في العديد من المواقف العملية، يكون من المستحيل أو غير الضروري وصف متغير عشوائي بطريقة شاملة. في كثير من الأحيان يكفي تحديد واحد أو أكثر عدديالمعلمات التي تصف إلى حد ما السمات الرئيسية للتوزيع، وفي بعض الأحيان يكون العثور على خصائص شاملة، على الرغم من أنه مرغوب فيه، صعبًا للغاية من الناحية الرياضية، والعمل مع المعلمات الرقمية، فإننا نقتصر على وصف تقريبي، ولكن أبسط. يتم استدعاء المعلمات الرقمية المحددة الخصائص العدديةوتلعب المتغيرات العشوائية دوراً رئيسياً في تطبيقات نظرية الاحتمالات في مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا، مما يسهل حل المشكلات ويسمح بعرض نتائج الحل في شكل بسيط ومرئي.

يمكن تقسيم الخصائص العددية الأكثر استخداماً إلى نوعين: لحظات وخصائص الموقف.هناك عدة أنواع من اللحظات، وأكثرها استخدامًا هما: الابتدائية والمركزية. أنواع أخرى من اللحظات، على سبيل المثال. لحظات مطلقة، لحظات عاملية، نحن لا نعتبر. من أجل تجنب استخدام تعميم التكامل - ما يسمى بتكامل Stieltjes، نقدم تعريفات للعزوم بشكل منفصل للSVs المستمرة والمنفصلة.

تعريفات. 1. لحظة البدايةك-الأمر المنفصل SVتسمى الكمية

أين F(س) هي الكثافة الاحتمالية لـ SV معين.

3. لحظة مركزيةك-الأمر المنفصل SVتسمى الكمية

في الحالات التي يتم فيها النظر في العديد من SVs في نفس الوقت، من المناسب تجنب سوء الفهم، للإشارة إلى هوية اللحظة؛ سنفعل ذلك من خلال الإشارة إلى تسمية SV المقابلة بين قوسين، على سبيل المثال، ، وما إلى ذلك. لا ينبغي الخلط بين هذا التعيين وترميز الوظيفة، ولا ينبغي الخلط بين الحرف الموجود بين قوسين ووسيطة الوظيفة. يمكن أن تتقارب أو تتباعد المجاميع والتكاملات الموجودة على الجانب الأيمن من المتساويات (3.4.1 - 3.4.4) اعتمادًا على القيمة كوتوزيع محدد . في الحالة الأولى يقولون أن هذه اللحظة لا وجود لها أو تختلف، في الثانية - ماذا اللحظة موجودة أو متقاربة.إذا كان SV المنفصل يحتوي على عدد محدود من القيم المحدودة ( نبالطبع)، فإن كل لحظاته تكون ذات ترتيب محدود كيخرج. في لا نهاية لها ن، بدءًا من بعض كوبالنسبة للطلبات الأعلى، قد لا تكون لحظات SV المنفصلة (الابتدائية والمركزية) موجودة. يتم التعبير عن لحظات SV المستمرة، كما يتبين من التعريفات، من خلال تكاملات غير صحيحة، والتي يمكن أن تتباعد بدءًا من نقطة معينة كوللطلبات العليا (الأولي والمركزي في نفس الوقت). لحظات الترتيب الصفري تتلاقى دائمًا.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل أولاً في اللحظات الأولية ثم اللحظات المركزية. من وجهة نظر رياضية، اللحظة الأولى ك- الترتيب هو "المتوسط ​​المرجح" ك- درجات قيم SV؛ في حالة SV المنفصلة، ​​الأوزان هي احتمالات القيم، في حالة SV المستمر، دالة الوزن هي كثافة الاحتمال. تُستخدم العمليات من هذا النوع على نطاق واسع في الميكانيكا لوصف توزيع الكتل (العزوم الساكنة، وعزوم القصور الذاتي، وما إلى ذلك)؛ وتناقش أدناه القياسات الناشئة في هذا الصدد.

من أجل فهم أفضل للحظات الأولية، فإننا نعتبرها بشكل منفصل أمرا مفروغا منه ك. في نظرية الاحتمالات، لحظات الطلبات الدنيا هي الأكثر أهمية، أي عند الصغر كولذلك ينبغي أن يتم النظر في ترتيب زيادة القيم ك. اللحظة الأولية للترتيب الصفري تساوي

1، للSV المنفصلة؛

=1، لـ SV المستمر،

أولئك. بالنسبة لأي SV، فهو يساوي نفس القيمة - واحد، وبالتالي لا يحمل أي معلومات حول الخصائص الإحصائية لـ SV.

اللحظة الأولية من الدرجة الأولى (أو اللحظة الأولية الأولى) تساوي

بالنسبة للـ SV المنفصلة؛

، لـ SV المستمر.

هذه النقطة هي أهم خاصية عددية لأي SV، والتي توجد لها عدة أسباب مترابطة. أولاً، وفقًا لنظرية تشيبيشيف (انظر القسم 7.4)، مع عدد غير محدود من الاختبارات على SV، يميل الوسط الحسابي للقيم المرصودة (بمعنى ما) إلى، وبالتالي، بالنسبة لأي SV، هذا رقم مميز حيث يتم تجميع قيمها حول الخبرة. ثانياً، بالنسبة للسيرة الذاتية المستمرة فهي تساوي عددياً X-الإحداثي الرابع لمركز ثقل شبه المنحرف المنحني الذي يتكون من المنحنى F(س) (خاصية مماثلة تحدث في حالة SV المنفصلة)، لذلك يمكن تسمية هذه اللحظة بـ "مركز ثقل التوزيع". ثالثا، إن لهذه العزم خصائص رياضية ملحوظة ستتضح خلال الدورة بشكل خاص، ولذلك تدخل قيمتها في تعبيرات العزوم المركزية (انظر (3.4.3) و (3.4.4)).

أدت أهمية هذه اللحظة للمشاكل النظرية والعملية لنظرية الاحتمالات وخصائصها الرياضية الرائعة إلى حقيقة أنه بالإضافة إلى تسمية واسم "اللحظة الأولية الأولى"، يتم استخدام تسميات وأسماء أخرى في الأدبيات، بشكل أو بآخر مريحة وتعكس الخصائص المذكورة. الأسماء الأكثر شيوعًا هي: القيمة المتوقعة, متوسط ​​القيمة، والتدوين: م, م[X]، . سوف نستخدم في أغلب الأحيان مصطلح "التوقع الرياضي" والترميز م; إذا كان هناك العديد من SVs، فسنستخدم حرفًا منخفضًا يشير إلى هوية التوقع الرياضي، على سبيل المثال، م س , م ذإلخ.

اللحظة الأولية من الدرجة الثانية (أو اللحظة الأولية الثانية) تساوي

بالنسبة للـ SV المنفصلة؛

، لـ SV المستمر؛

في بعض الأحيان يطلق عليه متوسط ​​مربع المتغير العشوائيويتم تعيينه م.

اللحظة الأولية من الدرجة الثالثة (أو اللحظة الأولية الثالثة) تساوي

بالنسبة للـ SV المنفصلة؛

، لـ SV المستمر

في بعض الأحيان يطلق عليه المكعب المتوسط ​​للمتغير العشوائيويتم تعيينه م[X 3 ].

ليس هناك فائدة من الاستمرار في سرد ​​النقاط الأولية. دعونا نتناول التفسير المهم لحظات النظام ك>1. دعونا، جنبا إلى جنب مع SV Xهناك أيضًا SV ي، و ص = س ك (ك=2، 3، ...). هذه المساواة تعني أن المتغيرات العشوائية Xو يترتبط بشكل حتمي بمعنى أنه عندما SV Xيأخذ القيمة س، ني ييأخذ القيمة ص=س ك(في المستقبل، سيتم النظر في اتصال SV هذا بمزيد من التفصيل). ثم حسب (3.4.1) و (3.4.2)

=م ذ , ك=2, 3, ...,

أي. كاللحظة الأولية لـ SV تساوي التوقع الرياضي ك-القوة لهذا المتغير العشوائي. على سبيل المثال، العزم الأولي الثالث لطول حافة مكعب عشوائي يساوي التوقع الرياضي لحجم المكعب. إن إمكانية فهم اللحظات كتوقعات رياضية معينة هي وجه آخر لأهمية مفهوم التوقع الرياضي.

دعنا ننتقل إلى النظر في النقاط المركزية. وبما أنه، كما سيتضح أدناه، يتم التعبير عن اللحظات المركزية بشكل لا لبس فيه من خلال اللحظات الأولية والعكس، فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو لماذا هناك حاجة إلى لحظات مركزية على الإطلاق ولماذا اللحظات الأولية ليست كافية. دعونا نفكر في SV X(مستمر أو منفصل) وSV Y آخر، يتعلق بالأول كـ ص=س+أ، أين أ 0 هو رقم حقيقي غير عشوائي. كل قيمة سمتغير عشوائي Xيتوافق مع القيمة ص=س+أمتغير عشوائي يوبالتالي توزيع SV يسيكون له نفس الشكل (معبرًا عنه بمضلع التوزيع في الحالة المنفصلة أو كثافة الاحتمال في الحالة المستمرة) كتوزيع SV X، ولكن تم إزاحتها على طول المحور السيني بمقدار أ. وبالتالي، فإن اللحظات الأولى من SV يسوف تختلف عن اللحظات المقابلة لـ SV X. على سبيل المثال، فمن السهل أن نرى م ذ =م س +أ(ترتبط اللحظات ذات الترتيب الأعلى بعلاقات أكثر تعقيدًا). لذلك أثبتنا ذلك اللحظات الأولية ليست ثابتة فيما يتعلق بتحول التوزيع ككل. سيتم الحصول على نفس النتيجة إذا لم تقم بتحويل التوزيع، ولكن بداية المحور السيني أفقيًا بمقدار - أ، أي. الاستنتاج المعادل صحيح أيضًا: اللحظات الأولية ليست ثابتة بالنسبة للتحول الأفقي لبداية المحور السيني.

العزوم المركزية، التي تهدف إلى وصف خصائص التوزيعات التي لا تعتمد على تحولها ككل، خالية من هذا العيب. في الواقع، كما يتبين من (3.4.3) و(3.4.4)، عندما ينزاح التوزيع ككل بمقدار أ، أو ما هو نفسه، إزاحة بداية المحور السيني بمقدار - أ، كل القيم س، بنفس الاحتمالات (في الحالة المنفصلة) أو نفس كثافة الاحتمال (في الحالة المستمرة)، سوف تتغير بمقدار ألكن الكمية ستتغير بنفس المقدار ملذا فإن قيم الأقواس الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة لن تتغير. هكذا، تكون العزوم المركزية ثابتة بالنسبة إلى إزاحة التوزيع ككل، أو، وهو نفس الشيء، بالنسبة إلى الإزاحة الأفقية لبداية المحور السيني.تلقت هذه اللحظات اسم "المركزي" في تلك الأيام عندما كانت اللحظة الأولية الأولى تسمى "المركز". من المفيد أن نلاحظ أن اللحظة المركزية لـ SV Xيمكن فهمها على أنها اللحظة الأولية المقابلة لـ SV X 0 متساوي

X 0 =X-م س .

شمال شرق X 0 يسمى تركزت(نسبة إلى SV X)، وتسمى العملية المؤدية إليها، أي طرح توقعها الرياضي من متغير عشوائي توسيط. وكما سنرى لاحقًا، سيكون هذا المفهوم وهذه العملية مفيدًا طوال الدورة. لاحظ أن اللحظة المركزية للنظام ك> 1 يمكن اعتباره التوقع الرياضي (المتوسط) ك-الدرجة الرابعة من SV المتمركزة: .

دعونا نفكر بشكل منفصل في اللحظات المركزية للأوامر الدنيا. العزم المركزي من الدرجة الصفرية يساوي

، للمركبات SV المنفصلة؛

، لـ SV المستمر؛

أي لأي SV ولا يحمل أي معلومات حول الخصائص الإحصائية لهذا SV.

اللحظة المركزية من الدرجة الأولى (أو اللحظة المركزية الأولى) تساوي

للSV المنفصلة؛

لCB المستمر. أي لأي SV ولا يحمل أي معلومات حول الخصائص الإحصائية لهذا SV.

اللحظة المركزية من الدرجة الثانية (أو اللحظة المركزية الثانية) تساوي

، للـ SV المنفصلة؛

، لـ SV المستمر.

وكما سيتضح أدناه، تعتبر هذه النقطة من أهم النقاط في نظرية الاحتمالات، حيث أنها تستخدم كخاصية لقياس التشتت (أو التشتت) لقيم SV، ولذلك يطلق عليها غالبًا تشتتويتم تعيينه د X. لاحظ أنه يمكن فهم ذلك على أنه المربع المتوسط ​​لـ SV المتمركز.

اللحظة المركزية من الدرجة الثالثة (العزم المركزي الثالث) تساوي

القيمة المتوقعة. التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل X، مع أخذ عدد محدود من القيم Xأنامع الاحتمالات رأنا، ويسمى المبلغ:

التوقع الرياضيمتغير عشوائي مستمر Xويسمى تكامل منتج قيمه Xعلى كثافة التوزيع الاحتمالي F(س):

(6ب)

التكامل غير الصحيح (6 ب) من المفترض أن تكون متقاربة تمامًا (وإلا فإنهم يقولون أن التوقع الرياضي م(X) غير موجود). يتميز التوقع الرياضي متوسط ​​القيمةمتغير عشوائي X. ويتطابق بعده مع بعد المتغير العشوائي.

خصائص التوقع الرياضي:

تشتت. التباينمتغير عشوائي Xالرقم يسمى:

التباين هو خاصية التشتتقيم متغيرة عشوائية Xنسبة إلى متوسط ​​قيمته م(X). بعد التباين يساوي مربع أبعاد المتغير العشوائي. بناءً على تعريفات التباين (8) والتوقع الرياضي (5) للمتغير العشوائي المنفصل و(6) للمتغير العشوائي المستمر، نحصل على تعبيرات مماثلة للتباين:

(9)

هنا م = م(X).

خصائص التشتت:

الانحراف المعياري:

(11)

وبما أن الانحراف المعياري له نفس البعد كمتغير عشوائي، فإنه غالبا ما يستخدم كمقياس للتشتت من التباين.

لحظات التوزيع. يعتبر مفهوما التوقع الرياضي والتشتت حالات خاصة لمفهوم أكثر عمومية للخصائص العددية للمتغيرات العشوائية – لحظات التوزيع. يتم تقديم لحظات توزيع المتغير العشوائي كتوقعات رياضية لبعض الدوال البسيطة للمتغير العشوائي. إذن، لحظة النظام كنسبة إلى النقطة X 0 يسمى التوقع الرياضي م(X–X 0 )ك. لحظات حول الأصل X= 0 يتم استدعاؤها اللحظات الأوليةويتم تعيينها:

(12)

اللحظة الأولية للترتيب الأول هي مركز توزيع المتغير العشوائي قيد النظر:

(13)

لحظات حول مركز التوزيع X= موتسمى النقاط المركزيةويتم تعيينها:

(14)

من (7) يترتب على ذلك أن العزم المركزي من الدرجة الأولى يساوي دائمًا الصفر:

لا تعتمد العزوم المركزية على أصل قيم المتغير العشوائي، إذ عندما يتم إزاحتها بقيمة ثابتة معيتغير مركز التوزيع بنفس القيمة معولا يتغير الانحراف عن المركز: X – م = (X – مع) – (م – مع).
الآن أصبح من الواضح ذلك تشتت- هذا اللحظة المركزية من الدرجة الثانية:

عدم التماثل. اللحظة المركزية من الدرجة الثالثة:

(17)

يخدم للتقييم عدم تناسق التوزيع. إذا كان التوزيع متماثلا حول هذه النقطة X= م، فإن العزم المركزي من الدرجة الثالثة سيكون مساوياً للصفر (مثل كل العزوم المركزية ذات الرتب الفردية). لذلك، إذا كانت العزم المركزي من الدرجة الثالثة مختلفًا عن الصفر، فلا يمكن أن يكون التوزيع متماثلًا. يتم تقييم حجم عدم التماثل باستخدام الأبعاد معامل عدم التماثل:

(18)

تشير علامة معامل عدم التماثل (18) إلى عدم التماثل في الجانب الأيمن أو الجانب الأيسر (الشكل 2).

أرز. 2. أنواع عدم تناسق التوزيع.

إفراط. اللحظة المركزية من الدرجة الرابعة:

(19)

يعمل على تقييم ما يسمى إفراط، الذي يحدد درجة الانحدار (الذروة) لمنحنى التوزيع بالقرب من مركز التوزيع بالنسبة إلى منحنى التوزيع الطبيعي. نظرًا لأنه بالنسبة للتوزيع الطبيعي، فإن القيمة المأخوذة للتفرطح هي:

(20)

في التين. ويبين الشكل 3 أمثلة على منحنيات التوزيع بقيم التفرطح المختلفة. للتوزيع الطبيعي ه= 0. المنحنيات التي تكون مدببة أكثر من المعتاد لها تتفلح إيجابي، وتلك التي تكون ذات قمة مسطحة أكثر يكون لها تتفلح سلبي.

أرز. 3. منحنيات التوزيع بدرجات متفاوتة من الانحدار (التفرطح).

لا تُستخدم عادةً العزوم ذات الترتيب الأعلى في التطبيقات الهندسية للإحصاء الرياضي.

موضة منفصلةالمتغير العشوائي هو قيمته الأكثر احتمالا. موضة مستمرالمتغير العشوائي هو قيمته التي تكون فيها كثافة الاحتمال القصوى (الشكل 2). إذا كان لمنحنى التوزيع حد أقصى واحد، فسيتم استدعاء التوزيع com.unimodal. إذا كان لمنحنى التوزيع أكثر من حد أقصى واحد، فسيتم استدعاء التوزيع الوسائط المتعددة. في بعض الأحيان توجد توزيعات تحتوي منحنياتها على حد أدنى وليس حد أقصى. تسمى هذه التوزيعات مضاد للوسائط. في الحالة العامة، لا يتطابق الوضع والتوقع الرياضي للمتغير العشوائي. وفي حالة خاصة، ل مشروط، أي. وجود نمط، توزيع متماثل، وبشرط وجود توقع رياضي، فإن الأخير يتزامن مع نمط ومركز تناظر التوزيع.

الوسيط متغير عشوائي X- وهذا هو معناها مه، والتي تقوم عليها المساواة: أي. فمن المحتمل أيضا أن المتغير العشوائي Xسيكون أقل أو أكثر مه. هندسيا الوسيطهي النقطة التي تنقسم عندها المنطقة الواقعة تحت منحنى التوزيع إلى النصف (الشكل 2). في حالة التوزيع النموذجي المتماثل، يكون الوسيط والوضع والتوقع الرياضي متماثلين.