إلى جانب الحركات الانتقالية والدورانية للأجسام في الميكانيكا، تعد الحركات التذبذبية أيضًا ذات أهمية كبيرة. الاهتزازات الميكانيكية هي حركات الأجسام التي تتكرر بالضبط (أو تقريبًا) على فترات زمنية متساوية. يتم تحديد قانون حركة الجسم المتأرجح باستخدام دالة زمنية معينة س = F (ر). يعطي التمثيل الرسومي لهذه الوظيفة تمثيلاً مرئيًا لمسار العملية التذبذبية مع مرور الوقت.
من أمثلة الأنظمة التذبذبية البسيطة الحمل على زنبرك أو بندول رياضي (الشكل 2.1.1).
يمكن أن تكون الاهتزازات الميكانيكية، مثل العمليات التذبذبية من أي طبيعة فيزيائية أخرى حرو قسري. اهتزازات مجانية يرتكبون تحت تأثير القوى الداخليةالنظام بعد أن يخرج النظام عن التوازن. تعتبر تذبذبات الوزن على الزنبرك أو تذبذبات البندول تذبذبات حرة. الاهتزازات التي تحدث تحت التأثير خارجييتم استدعاء القوى المتغيرة بشكل دوري قسري .
أبسط نوع من العمليات التذبذبية بسيط الاهتزازات التوافقية ، والتي وصفتها المعادلة
|
س = سمكوس(ω ر + φ 0). |
هنا س- إزاحة الجسم من موضع التوازن، سم - سعة التذبذبات، أي أقصى إزاحة من موضع التوازن، ω - تردد دوري أو دائري تردد، ر- وقت. الكمية تحت علامة جيب التمام φ = ω ريتم استدعاء + φ 0 مرحلةعملية توافقية. في ر= 0 φ = φ 0، لذلك يسمى φ 0 المرحلة الأولى. يسمى الحد الأدنى للفاصل الزمني الذي تتكرر خلاله حركة الجسم فترة التذبذب ت. تسمى الكمية الفيزيائية المعكوسة لفترة التذبذب تردد الاهتزاز:
تردد التذبذب Fيوضح عدد التذبذبات التي تحدث في ثانية واحدة. وحدة التردد - هيرتز(هرتز). تردد التذبذب Fالمتعلقة بالتردد الدوري ω وفترة التذبذب تالنسب:
في التين. 2.1.2 يوضح أوضاع الجسم على فترات زمنية متساوية أثناء الاهتزازات التوافقية. يمكن الحصول على مثل هذه الصورة تجريبيا عن طريق إضاءة جسم مهتز بومضات ضوئية دورية قصيرة ( الإضاءة القوية). تمثل الأسهم متجهات سرعة الجسم في أوقات مختلفة.
أرز. 2.1.3 يوضح التغيرات التي تحدث على الرسم البياني للعملية التوافقية في حالة تغير سعة التذبذبات سم، أو الفترة ت(أو التردد F)، أو المرحلة الأولية φ 0.
عندما يهتز جسم على خط مستقيم (المحور ثور) يتم توجيه متجه السرعة دائمًا على طول هذا الخط المستقيم. السرعة υ = υ سيتم تحديد حركة الجسم من خلال التعبير
في الرياضيات، الإجراء الخاص بإيجاد نهاية النسبة عند Δ ر→ 0 يسمى حساب مشتق الدالة س (ر) بالوقت رويشار إليه باسم أو كما س"(ر) أو أخيرًا مثل . بالنسبة لقانون الحركة التوافقي، فإن حساب المشتقة يؤدي إلى النتيجة التالية:
ظهور المصطلح + π / 2 في وسيطة جيب التمام يعني تغييراً في المرحلة الأولية. القيم المطلقة القصوى للسرعة υ = ω سيتم تحقيق m في تلك اللحظات الزمنية التي يمر فيها الجسم عبر أوضاع التوازن ( س= 0). يتم تحديد التسارع بطريقة مماثلة أ = أسالأجسام أثناء الاهتزازات التوافقية:
ومن هنا التسارع أيساوي مشتقة الدالة υ ( ر) بالوقت رأو المشتقة الثانية للدالة س (ر). الحسابات تعطي:
علامة الطرح في هذا التعبير تعني أن التسارع أ (ر) دائمًا لديه علامة معاكسة لعلامة الإزاحة س (ر) ، وبالتالي، وفقًا لقانون نيوتن الثاني، فإن القوة التي تسبب الجسم في أداء اهتزازات توافقية تكون دائمًا موجهة نحو موضع التوازن ( س = 0).
(خط العرض. السعة- الحجم) هو أكبر انحراف لجسم مهتز عن موضع توازنه.
بالنسبة للبندول، هذه هي المسافة القصوى التي تتحركها الكرة بعيدًا عن موضع توازنها (الشكل أدناه). بالنسبة للتذبذبات ذات السعات الصغيرة، يمكن اعتبار هذه المسافة بمثابة طول القوس 01 أو 02، وأطوال هذه الأجزاء.
يتم قياس سعة التذبذبات بوحدات الطول - الأمتار، السنتيمترات، وما إلى ذلك. في الرسم البياني للتذبذبات، يتم تعريف السعة على أنها الحد الأقصى (المعياري) للإحداثيات الجيبية (انظر الشكل أدناه).
فترة التذبذب.
فترة التذبذب- هذه هي أقصر فترة زمنية يعود خلالها النظام المتذبذب مرة أخرى إلى نفس الحالة التي كان عليها في اللحظة الأولى من الزمن، والتي تم اختيارها بشكل تعسفي.
وبعبارة أخرى، فترة التذبذب ( ت) هو الوقت الذي يحدث فيه تذبذب كامل. على سبيل المثال، في الشكل أدناه، هذا هو الوقت الذي يستغرقه البندول للانتقال من أقصى نقطة إلى اليمين عبر نقطة التوازن عنإلى أقصى نقطة اليسار والعودة من خلال هذه النقطة عنمرة أخرى إلى أقصى اليمين.
وعلى مدى فترة كاملة من التذبذب، يتحرك الجسم في مسار يساوي أربعة اتساع. يتم قياس فترة التذبذب بوحدات زمنية - الثواني والدقائق وما إلى ذلك. ويمكن تحديد فترة التذبذب من خلال رسم بياني معروف للتذبذبات (انظر الشكل أدناه).
إن مفهوم "فترة التذبذب"، بالمعنى الدقيق للكلمة، يكون صالحًا فقط عندما تتكرر قيم الكمية المتذبذبة تمامًا بعد فترة زمنية معينة، أي للتذبذبات التوافقية. ومع ذلك، ينطبق هذا المفهوم أيضًا على حالات الكميات المتكررة تقريبًا، على سبيل المثال تذبذبات مثبطة.
تردد التذبذب.
تردد التذبذب- هذا هو عدد التذبذبات التي يتم إجراؤها لكل وحدة زمنية، على سبيل المثال، في 1 ثانية.
تم تسمية وحدة التردد SI هيرتز(هرتز) تكريما للفيزيائي الألماني ج.هيرتز (1857-1894). إذا كان تردد التذبذب ( الخامس) مساوي ل 1 هرتزوهذا يعني أن كل ثانية هناك تذبذب واحد. يرتبط تكرار وفترة التذبذبات بالعلاقات:
في نظرية التذبذبات يستخدمون هذا المفهوم أيضًا دورية، أو تردد دائري ω . ويرتبط بالتردد الطبيعي الخامسوفترة التذبذب تالنسب:
.
التردد الدوريهو عدد التذبذبات التي يتم إجراؤها لكل 2πثواني
التذبذب التوافقي هو ظاهرة التغير الدوري لأي كمية، حيث يكون الاعتماد على الوسيطة بمثابة دالة الجيب أو جيب التمام. على سبيل المثال، تتأرجح الكمية بشكل متناغم وتتغير بمرور الوقت على النحو التالي:
حيث x هي قيمة الكمية المتغيرة، t هو الوقت، والمعلمات المتبقية ثابتة: A هي سعة التذبذبات، ω هو التردد الدوري للتذبذبات، هي المرحلة الكاملة للتذبذبات، هي المرحلة الأولية للتذبذبات.
التذبذب التوافقي المعمم في الشكل التفاضلي
(أي حل غير تافه لهذه المعادلة التفاضلية هو تذبذب توافقي بتردد دوري)
أنواع الاهتزازات
تحدث الاهتزازات الحرة تحت تأثير القوى الداخلية للنظام بعد إزالة النظام من موضع توازنه. لكي تكون التذبذبات الحرة توافقية، من الضروري أن يكون النظام التذبذبي خطيًا (موصوفًا بمعادلات الحركة الخطية)، ولا يوجد فيه تبديد للطاقة (الأخير من شأنه أن يسبب التوهين).
تحدث الاهتزازات القسرية تحت تأثير قوة دورية خارجية. لكي تكون متناسقة، يكفي أن يكون النظام التذبذبي خطيًا (موصوفًا بمعادلات الحركة الخطية)، وأن القوة الخارجية نفسها تتغير بمرور الوقت كتذبذب متناغم (أي أن الاعتماد الزمني لهذه القوة جيبي). .
المعادلة التوافقية
|
المعادلة (1)
|
يعطي اعتماد القيمة المتقلبة S على الوقت t؛ هذه هي معادلة التذبذبات التوافقية الحرة بصيغة صريحة. ومع ذلك، عادة ما يتم فهم معادلة الاهتزاز على أنها تمثيل مختلف لهذه المعادلة، في شكل تفاضلي. للتأكيد، دعونا نأخذ المعادلة (1) في الصورة
دعونا نفرقها مرتين في الوقت المناسب:
ويمكن ملاحظة أن العلاقة التالية قائمة:
والتي تسمى بمعادلة التذبذبات التوافقية الحرة (بالشكل التفاضلي). المعادلة (1) هي حل للمعادلة التفاضلية (2). وبما أن المعادلة (2) هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية، فإن هناك حاجة إلى شرطين أوليين للحصول على حل كامل (أي تحديد الثوابتين A و المتضمنتين في المعادلة (1)؛ على سبيل المثال، موضع وسرعة النظام التذبذبي عند t = 0.
البندول الرياضي هو مذبذب، وهو نظام ميكانيكي يتكون من نقطة مادية تقع على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد أو على قضيب عديم الوزن في مجال موحد لقوى الجاذبية. فترة التذبذبات الطبيعية الصغيرة لبندول رياضي طوله l، معلق بلا حراك في مجال جاذبية منتظم مع تسارع السقوط الحر g، تساوي
ولا يعتمد على سعة البندول وكتلته.
البندول الفيزيائي هو المذبذب، وهو جسم صلب يهتز في مجال من أي قوى نسبة إلى نقطة ليست مركز كتلة هذا الجسم، أو محور ثابت عمودي على اتجاه عمل القوى وليس مروراً بمركز كتلة هذا الجسم.
هذا تذبذب دوري يتغير فيه الإحداثيات والسرعة والتسارع الذي يميز الحركة وفقًا لقانون الجيب أو جيب التمام. تحدد معادلة التذبذب التوافقي اعتماد إحداثيات الجسم على الوقت
الرسم البياني لجيب التمام في اللحظة الأولية له قيمة قصوى، والرسم البياني الجيب له قيمة صفر في اللحظة الأولية. إذا بدأنا في فحص التذبذب من موضع التوازن، فإن التذبذب سيتكرر بشكل جيبي. إذا بدأنا في النظر في التذبذب من موضع الانحراف الأقصى، فسيتم وصف التذبذب بواسطة جيب التمام. أو يمكن وصف مثل هذا التذبذب بصيغة الجيب بمرحلة أولية.
بندول الرياضيات
|
تذبذبات البندول الرياضي. |
|
|
بندول الرياضيات - نقطة مادية معلقة على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد (نموذج مادي). |
|
|
وسوف ننظر في حركة البندول بشرط أن تكون زاوية الانحراف صغيرة، فإذا قسنا الزاوية بالراديان تكون العبارة التالية صحيحة: . |
|
|
تؤثر قوة الجاذبية وشد الخيط على الجسم. محصلة هذه القوى لها مكونان: مماسي، والذي يغير التسارع من حيث الحجم، وطبيعي، الذي يغير التسارع في الاتجاه (تسارع الجاذبية، يتحرك الجسم في قوس). |
|
|
لأن إذا كانت الزاوية صغيرة، فإن المكون العرضي يساوي إسقاط الجاذبية على مماس المسار: . الزاوية بالراديان تساوي نسبة طول القوس إلى نصف القطر (طول الخيط)، وطول القوس يساوي تقريبًا الإزاحة (): | |
|
س ≈ ث دعونا نقارن المعادلة الناتجة مع معادلة الحركة التذبذبية. | |
|
يمكن ملاحظة ذلك أو هو التردد الدوري أثناء تذبذبات البندول الرياضي. |
فترة التذبذب أو (صيغة جاليليو). |
|
صيغة جاليليو | |
|
الاستنتاج الأهم: فترة تذبذب البندول الرياضي لا تعتمد على كتلة الجسم! ويمكن إجراء حسابات مماثلة باستخدام قانون الحفاظ على الطاقة. |
|
|
لنأخذ في الاعتبار أن الطاقة الكامنة لجسم في مجال الجاذبية تساوي الطاقة الميكانيكية الكلية تساوي الحد الأقصى للطاقة المحتملة أو الحركية: لنكتب قانون حفظ الطاقة ونأخذ مشتقة الطرفين الأيسر والأيمن للمعادلة: . لأن | |
|
مشتقة قيمة ثابتة تساوي صفراً، إذن . | |
.
|
مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات: و. لذلك: وبالتالي. |
|
|
معادلة الغاز المثالي للحالة (معادلة مندليف – كلابيرون). معادلة الحالة هي معادلة تربط بين معلمات النظام الفيزيائي وتحدد حالته بشكل فريد.في عام 1834، الفيزيائي الفرنسي ب. كلابيرون، الذي عمل لفترة طويلة في سانت بطرسبرغ، اشتق معادلة حالة الغاز المثالي لكتلة ثابتة من الغاز. في عام 1874 | |
|
دي آي مندليف اشتق معادلة لعدد تعسفي من الجزيئات. | |
|
. لذلك،. معتبرا أن |
|
|
حاصل ضرب الكميات الثابتة هو كمية ثابتة، وبالتالي: - ثابت الغاز العالمي (عالمي لأنه واحد لجميع الغازات). | |
|
وهكذا لدينا: |
|
|
معادلة الحالة (معادلة مندليف – كلابيرون). أشكال أخرى لكتابة معادلة حالة الغاز المثالي. 1. معادلة 1 مول من المادة. |
|
|
إذا كانت n = 1 مول، فإننا نشير إلى حجم مول واحد V m، ونحصل على: . | |
|
3. في الظروف العادية نحصل على: غالبًا ما يكون من الضروري التحقيق في الموقف الذي تتغير فيه حالة الغاز بينما تظل كميته دون تغيير (m=const) وفي غياب التفاعلات الكيميائية (M=const). وهذا يعني أن كمية المادة ن = ثابت. ثم: | |
|
هذا الإدخال يعني ذلك لكتلة معينة من غاز معينالمساواة صحيحة: | |
|
بالنسبة لكتلة ثابتة من الغاز المثالي، تكون نسبة حاصل ضرب الضغط والحجم إلى درجة الحرارة المطلقة في حالة معينة قيمة ثابتة: . | |
|
قوانين الغاز. |
|
|
1. قانون أفوجادرو. تحتوي الحجوم المتساوية من الغازات المختلفة تحت نفس الظروف الخارجية على نفس العدد من الجزيئات (الذرات). الحالة: V 1 = V 2 =...= V n; ص 1 = ع 2 =…= ع ن ; ت 1 = ت 2 =…=ت ن | |
|
دليل: وبالتالي، في ظل نفس الظروف (الضغط، الحجم، درجة الحرارة)، لا يعتمد عدد الجزيئات على طبيعة الغاز وهو نفسه. | |
|
2. قانون دالتون. إن ضغط خليط الغازات يساوي مجموع الضغوط الجزئية (الخاصة) لكل غاز. إثبات: ع=ع1 +ص2+…+عن دليل: | |
|
3. قانون باسكال. ينتقل الضغط المؤثر على السائل أو الغاز في جميع الاتجاهات دون تغيير. | |
في MCT والديناميكا الحرارية للغاز المثالي، المعلمات العيانية هي: p، V، T، m. 
نحن نعرف ذلك
، نحن نحصل:.
معادلة حالة الغاز المثالي قوانين الغاز.
عدد درجات الحرية: هذا هو عدد المتغيرات المستقلة (الإحداثيات) التي تحدد موقع النظام في الفضاء بشكل كامل. في بعض المسائل، يعتبر جزيء الغاز أحادي الذرة (الشكل 1، أ) بمثابة نقطة مادية، والتي تعطى ثلاث درجات من حرية الحركة الانتقالية. في هذه الحالة، لا تؤخذ طاقة الحركة الدورانية بعين الاعتبار. في الميكانيكا، يعتبر جزيء الغاز ثنائي الذرة، للتقريب الأول، عبارة عن مجموعة من نقطتين ماديتين مرتبطتين بشكل صارم برابطة غير قابلة للتشوه (الشكل 1، ب). بالإضافة إلى ثلاث درجات من حرية الحركة الانتقالية، يتمتع هذا النظام بدرجتين أخريين من حرية الحركة الدورانية. فالدوران حول محور ثالث يمر عبر الذرتين لا معنى له. وهذا يعني أن الغاز ثنائي الذرة لديه خمس درجات من الحرية ( أنا= 5). يمتلك الجزيء غير الخطي ثلاثي الذرات (الشكل 1ج) ومتعدد الذرات ست درجات من الحرية: ثلاث انتقالية وثلاثة دورانية. ومن الطبيعي أن نفترض أنه لا يوجد اتصال جامد بين الذرات. لذلك، بالنسبة للجزيئات الحقيقية، من الضروري أيضًا مراعاة درجات حرية الحركة الاهتزازية.
بالنسبة لأي عدد من درجات الحرية لجزيء معين، تكون ثلاث درجات من الحرية دائمًا متعدية. لا تتمتع أي من درجات الحرية الانتقالية بميزة على غيرها، مما يعني أن كل واحدة منها تمثل في المتوسط نفس الطاقة، أي ما يعادل ثلث القيمة<ε 0 >(طاقة الحركة الانتقالية للجزيئات): 
في الفيزياء الإحصائية مشتقة قانون بولتزمان بشأن التوزيع الموحد للطاقة على درجات حرية الجزيئات: بالنسبة للنظام الإحصائي الذي يكون في حالة من التوازن الديناميكي الحراري، فإن كل درجة حرية انتقالية ودورانية لها متوسط طاقة حركية تساوي kT/2، وكل درجة حرية اهتزازية لها متوسط طاقة يساوي kT. درجة الاهتزاز لديها ضعف الطاقة، لأن فهو يمثل كلا من الطاقة الحركية (كما في حالة الحركات الانتقالية والدورانية) والإمكانات، ومتوسط قيم الطاقة الكامنة والطاقة الحركية هي نفسها. وهذا يعني أن متوسط طاقة الجزيء 
أين أنا- مجموع عدد الترجمات وعدد التناوبات وضعف عدد درجات حرية الاهتزاز للجزيء: أنا=أناآخر + أناتدوير +2 أناالاهتزازات في النظرية الكلاسيكية، تعتبر الجزيئات ذات الروابط الصلبة بين الذرات؛ بالنسبة لهم أنايتزامن مع عدد درجات حرية الجزيء. بما أن طاقة الوضع المتبادل للتفاعل بين الجزيئات في الغاز المثالي هي صفر (الجزيئات لا تتفاعل مع بعضها البعض)، فإن الطاقة الداخلية لمول واحد من الغاز ستكون مساوية لمجموع الطاقات الحركية N A للجزيئات: (1 ) الطاقة الداخلية لكتلة تعسفية م من الغاز. حيث M هي الكتلة المولية، ν
- كمية المادة .
يتم وصف التغييرات في أي كمية باستخدام قوانين الجيب أو جيب التمام، ثم تسمى هذه التذبذبات التوافقية. لنفكر في دائرة تتكون من مكثف (تم شحنه قبل تضمينه في الدائرة) ومحث (الشكل 1).
الصورة 1.
يمكن كتابة معادلة الاهتزاز التوافقي على النحو التالي:
$q=q_0cos((\أوميغا )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
حيث $t$ هو الوقت؛ رسوم $q$، $q_0$-- الحد الأقصى لانحراف الرسوم عن متوسط قيمتها (الصفر) أثناء التغييرات؛ $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- مرحلة التذبذب; $(\alpha )_0$- المرحلة الأولية؛ $(\omega )_0$ - التردد الدوري. خلال الفترة، تتغير المرحلة بمقدار $2\pi $.
معادلة النموذج:
معادلة التذبذبات التوافقية في الشكل التفاضلي لدائرة تذبذبية لا تحتوي على مقاومة نشطة.
يمكن تمثيل أي نوع من التذبذبات الدورية بدقة على شكل مجموع التذبذبات التوافقية، وهو ما يسمى بالسلسلة التوافقية.
بالنسبة لفترة تذبذب الدائرة التي تتكون من ملف ومكثف، نحصل على صيغة طومسون:
إذا اشتقنا التعبير (1) بالنسبة للوقت، فيمكننا الحصول على صيغة الدالة $I(t)$:
يمكن العثور على الجهد عبر المكثف على النحو التالي:
من الصيغتين (5) و (6) يترتب على ذلك أن شدة التيار تسبق جهد المكثف بمقدار $\frac(\pi )(2).$
يمكن تمثيل التذبذبات التوافقية في شكل معادلات ووظائف ومخططات متجهة.
تمثل المعادلة (1) تذبذبات حرة غير مخمدة.
معادلة التذبذب المخمد
سيتم وصف التغير في الشحن ($q$) على لوحات المكثف في الدائرة، مع مراعاة المقاومة (الشكل 2)، بمعادلة تفاضلية بالشكل:
الشكل 2.
إذا كانت المقاومة التي تشكل جزءًا من الدائرة $R\
حيث $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ هو تردد التذبذب الدوري. $\beta =\frac(R)(2L)-$معامل التخميد. يتم التعبير عن سعة التذبذبات المخمدة على النحو التالي:
إذا كانت الشحنة على المكثف عند $t=0$ تساوي $q=q_0$ ولا يوجد تيار في الدائرة، فبالنسبة لـ $A_0$ يمكننا أن نكتب:
مرحلة التذبذبات في اللحظة الأولى من الزمن ($(\alpha )_0$) تساوي:
عندما يكون $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ لا يكون التغير في الشحن تذبذبًا، فإن تفريغ المكثف يسمى غير دوري.
مثال 1
يمارس:الحد الأقصى لقيمة الرسوم هو $q_0=10\ C$. ويتغير بشكل متناغم مع فترة $T= 5 s$. تحديد الحد الأقصى الحالي الممكن.
حل:
كأساس لحل المشكلة نستخدم:
للعثور على القوة الحالية، يجب التمييز بين التعبير (1.1) فيما يتعلق بالوقت:
حيث الحد الأقصى (قيمة السعة) للقوة الحالية هو التعبير:
من شروط المشكلة نعرف قيمة سعة الشحنة ($q_0=10\ C$). يجب أن تجد التردد الطبيعي للتذبذبات. دعنا نعبر عنها بالشكل التالي:
\[(\أوميغا )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]
وفي هذه الحالة سيتم إيجاد القيمة المطلوبة باستخدام المعادلتين (1.3) و(1.2) على النحو التالي:
وبما أن جميع الكميات في ظروف المشكلة معروضة في نظام SI، فسوف نقوم بإجراء الحسابات:
إجابة:$I_0=12.56\ أ.$
مثال 2
يمارس:ما هي فترة التذبذب في دائرة تحتوي على ملف حث $L=1$H ومكثف، إذا تغيرت شدة التيار في الدائرة وفقًا للقانون: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ ما هي سعة المكثف؟
حل:
من معادلة التقلبات الحالية الواردة في شروط المشكلة:
نرى أن $(\omega )_0=20\pi $، لذلك يمكننا حساب فترة التذبذب باستخدام الصيغة:
\ \
وفقا لصيغة طومسون للدائرة التي تحتوي على ملف حث ومكثف، لدينا:
دعونا نحسب السعة:
إجابة:$T=0.1$ ج، $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$