በሁለተኛ ደረጃ የሂሳብ ትምህርት ውስጥ ውስብስብ ቁጥሮችን የመጠቀም እድል. እውነተኛ ምሳሌ፡ ሽክርክሪቶች

የሕትመቱን ክፍል ይጻፉ

ይዘት
መግቢያ ………………………………………………………………………………….. 3 ምዕራፍ I. ከታሪክ ውስብስብ ቁጥሮች………………………………………………………………………………………………………………………… 4 ምዕራፍ II. ውስብስብ የቁጥር ዘዴ መሰረታዊ ነገሮች ………………………………………………………………………………………………………………… የሶስት ማዕዘን ጂኦሜትሪ በውስብስብ ቁጥሮች ………………………………… 12 ምዕራፍ IV። መፍትሄ የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ችግሮችእና የተለያዩ ኦሊምፒያዶች ውስብስብ የቁጥር ዘዴን በመጠቀም ………………………………………………………………………….20 ማጠቃለያ …………………………………………… ………………………………………………….24 መጽሃፍ ቅዱስ ………………………………………………………………………………………….25

መግቢያ
ውስብስብ ቁጥሮች በሂሳብ እና አፕሊኬሽኑ ውስጥ ያለው ትልቅ ጠቀሜታ በሰፊው ይታወቃል. የተወሳሰቡ ቁጥሮች አልጀብራ በተሳካ ሁኔታ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል። የመጀመሪያ ደረጃ ጂኦሜትሪ, ትሪግኖሜትሪ, የእንቅስቃሴ እና ተመሳሳይነት ንድፈ ሃሳብ, እንዲሁም በኤሌክትሪክ ምህንድስና, የተለያዩ ሜካኒካል እና የአካል ችግሮች. በፕላኒሜትሪ ውስጥ, ውስብስብ ቁጥሮች ዘዴው ዝግጁ የሆኑ ቀመሮችን በመጠቀም በቀጥታ ስሌት ችግሮችን ለመፍታት ያስችልዎታል. ከቬክተር እና ጋር ሲነፃፀር ይህ የዚህ ዘዴ ቀላልነት ነው ዘዴዎችን ማስተባበር፣ በጂኦሜትሪክ ትራንስፎርሜሽን ዘዴ ፣ተማሪዎች ከፍተኛ እውቀት እና ረጅም ፍለጋዎች እንዲኖራቸው ይፈልጋል። ለብዙ ሺህ ዓመታት, ትሪያንግል የጂኦሜትሪ ምልክት ነው. እንዲያውም ትሪያንግል የጂኦሜትሪ አቶም ነው ማለት ትችላለህ። ማንኛውም ፖሊጎን ወደ ትሪያንግል ሊከፋፈል ይችላል, እና የንብረቶቹ ጥናት የሶስት ማዕዘን ክፍሎችን ባህሪያት ለማጥናት ይወርዳል. የሶስት ማዕዘን ባህሪያትን በሚያረጋግጥበት ጊዜ ውስብስብ የቁጥር ዘዴ እንዴት እንደሚሰራ እንመልከት የትምህርት ቤት ኮርስፕላኒሜትሪ, እንዲሁም ችግሮችን ለመፍታት የተዋሃደ የስቴት ፈተና C-4. 2

ምዕራፍ I. ከተወሳሰቡ ቁጥሮች ታሪክ,,
ለመጀመሪያ ጊዜ “ታላቅ ጥበብ ወይም ስለ” በተሰኘው ታዋቂ ሥራ ውስጥ ምናባዊ መጠኖች ተጠቅሰዋል። የአልጀብራ ደንቦች» ካርዳኖ (1545)፣ ሁለት ቁጥሮችን በማስላት እስከ 10 የሚደርሱ እና ሲባዙ 40 ስጡ ለችግሩ መደበኛ የመፍትሄ አካል ሆኖ። 5 + √ - 15 እና 5 - √ - 15። ለውሳኔው በሰጠው አስተያየት፡ “እነዚህ በጣም ውስብስብ መጠኖችከንቱ፣ ምንም እንኳን በጣም ጎበዝ ቢሆንም" እና "የሂሳብ አተያይ ከጊዜ ወደ ጊዜ እየቀለለ ይሄዳል፣ የማይጠቅም ያህል ረቂቅ የሆነ ገደብ ላይ ይደርሳል።" ኪዩቢክ እኩልታን በሚፈታበት ጊዜ ምናባዊ መጠኖችን የመጠቀም እድሉ ፣ ሊቀንስ የማይችል በሚባለው ጉዳይ (የፖሊኖሚል እውነተኛ ሥሮች በሚገለጹበት ጊዜ) የኩብ ሥሮችበምናባዊ መጠኖች) ፣ በመጀመሪያ የተገለፀው በቦምቤሊ (1572) ነው። የመደመር፣ የመቀነስ፣ የማባዛት እና የተወሳሰቡ ቁጥሮችን የመከፋፈል ሕጎችን ለመጀመሪያ ጊዜ የገለጸው እሱ ቢሆንም አሁንም እንደ እርባና ተንኮለኛ “ፈጠራ” ይቆጠራቸዋል። አገላለጾች በ a + b √ - 1 ቅጽ የሚወከሉ፣ አራት እና አራት ሲፈቱ ይታያሉ። ኪዩቢክ እኩልታዎች፣ ውስጥ “ምናባዊ” መባል ጀመረ XVI-XVII ክፍለ ዘመናትበዴካርት አነሳሽነት, ያንን ብለው የጠሯቸው, እውነታውን በመቃወም እና ለብዙ ሌሎች ዋና ዋናዎች ሳይንቲስቶች XVIIበጊዜው አጠራጣሪ እንደሆኑ አድርገው እንደቆጠሩት ለዘመናት፣ የምናባዊ መጠኖች ተፈጥሮ እና መብት በጣም አጠራጣሪ ይመስላል። ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች, እና እንዲያውም አሉታዊ እሴቶች. ይህ ሆኖ ግን የሂሳብ ሊቃውንት በድፍረት አመለከቱ መደበኛ ዘዴዎችየእውነተኛ መጠን እና ውስብስብ የሆኑት አልጀብራዎች ከመካከለኛ ውስብስብዎች እንኳን ትክክለኛ ትክክለኛ ውጤቶችን አግኝተዋል ፣ እና ይህ በራስ መተማመንን ማነሳሳት አልቻለም። በውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉ ሁሉም ክዋኔዎች ወደ ውስብስብ ወይም እውነተኛ ውጤቶች ይመሩ እንደሆነ ወይም ለምሳሌ ሥሩን ማውጣት ሌላ አዲስ ዓይነት ቁጥሮችን ወደመፈለግ ሊያመራ እንደሚችል ለረጅም ጊዜ ግልጽ አልነበረም። የዲግሪን ሥር የመግለጽ ችግር ከ n የተሰጠው ቁጥርበሞኢቭር (1707) እና በኮት (1722) ሥራዎች ተፈትቷል ። ምናባዊውን ክፍል ለማመልከት ምልክት የቀረበው በዩለር (1777 ፣ የታተመ 1794) ሲሆን ለዚህም የላቲን ቃል የመጀመሪያውን ፊደል ወሰደ። ምናባዊ - ምናባዊ. እንዲሁም ሎጋሪዝምን ጨምሮ ሁሉንም መደበኛ ተግባራትን ወደ ውስብስብ ጎራ ዘርግቷል። በተጨማሪም ኡለር በ 1751 የተወሳሰቡ ቁጥሮች መስክ በአልጀብራ የተዘጋ መሆኑን ሀሳቡን ገልጿል. ዲአልምበርት (1747) ተመሳሳይ መደምደሚያ ላይ ደርሰዋል፣ ነገር ግን የዚህ እውነታ የመጀመሪያው ጥብቅ ማረጋገጫ የጋውስ (1799) ነው። እ.ኤ.አ. በ1831 “ውስብስብ ቁጥር” የሚለውን ቃል በስፋት ጥቅም ላይ እንዲውል ያደረገው ጋውስ ነበር፣ ምንም እንኳን ቃሉ ቀደም ሲል በፈረንሳዊው የሂሳብ ሊቅ ላዛር ካርኖት በ1803 በተመሳሳይ መልኩ ጥቅም ላይ ውሏል። 3
እንደ እውነተኛ ቁጥሮች ጥንድ የሆኑ ውስብስብ ቁጥሮች አርቲሜቲክ (መደበኛ) ሞዴል በሃሚልተን (1837) ተገንብቷል; ይህ የንብረታቸውን ወጥነት አረጋግጧል. ብዙ ቀደም ብሎ በ1685 ዋሊስ (እንግሊዝ) “አልጀብራ” በተሰኘው ሥራው ይህን አሳይቷል። ውስብስብ ሥሮችኳድራቲክ እኩልታ ከእውነተኝነቶች ጋር በጂኦሜትሪ ፣ በአውሮፕላን ላይ ባሉ ነጥቦች ሊወከል ይችላል። ግን ሳይስተዋል ቀረ። በሚቀጥለው ጊዜ ውስብስብ ቁጥሮች እና ኦፕሬሽኖች የጂኦሜትሪክ ትርጓሜ በቬሰል (1799) ሥራ ላይ ታየ. ዘመናዊው የጂኦሜትሪክ ውክልና አንዳንድ ጊዜ "አርጋንድ ዲያግራም" ተብሎ የሚጠራው በ 1806 እና 1814 የጄ አር አርጋንድ ሥራ ከታተመ በኋላ ጥቅም ላይ የዋለ ሲሆን ይህም ራሱን የቻለ የቬሰልን መደምደሚያ ደግሟል. “ሞዱሉስ”፣ “ክርክር” እና “የተጣመረ ቁጥር” የሚሉት ቃላት በካውቺ አስተዋውቀዋል። ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥሮችም ለንጹህ አፈፃፀም ተስማሚ እንደሆኑ ታወቀ. የአልጀብራ ስራዎችበአውሮፕላኑ ላይ የቬክተሮች መደመር፣ መቀነስ፣ ማባዛትና ማከፋፈል፣ ይህም የቬክተር አልጀብራን በእጅጉ ለውጦታል። 4

ምዕራፍ II. ውስብስብ የቁጥር ዘዴ መሰረታዊ ነገሮች
[ 1 ]
,
[2], [3] [4] የተወሳሰቡ ቁጥሮች ጂኦሜትሪክ ትርጉም የአንድ ክፍል ርዝመት አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ነው. የካርቴሲያን ስርዓትበአውሮፕላኑ ላይ መጋጠሚያዎች፣ ውስብስብ ቁጥሩ z = x+iy (i 2 = -1) ከአውሮፕላኑ ነጥብ M ጋር ከመጋጠሚያዎች ጋር አንድ ለአንድ ሊሆን ይችላል x፣ y (ምስል 1): z = x + iy ↔M (x, y) ↔M (z) . ቁጥር z ከዚያ የነጥብ ውስብስብ መጋጠሚያ ተብሎ ይጠራል M. የ Euclidean አውሮፕላን የነጥቦች ስብስብ ከአንድ-ለአንድ መጻጻፍ ውስብስብ ቁጥሮች ስብስብ ጋር ስለሆነ ይህ አውሮፕላን ውስብስብ ቁጥሮች አውሮፕላን ተብሎም ይጠራል. የካርቴሲያን መጋጠሚያ ስርዓት መነሻው የአውሮፕላኑ ውስብስብ ቁጥሮች የመጀመሪያ ወይም ዜሮ ነጥብ ይባላል። መቼ = 0 ቁጥሩ z እውን ነው። እውነተኛ ቁጥሮች በ x-ዘንግ ላይ ባሉ ነጥቦች ይወከላሉ, ለዚህም ነው እውነተኛው ዘንግ ተብሎ የሚጠራው. በ x=0፣ ቁጥር z ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ነው፡ z=iy። ምናባዊ ቁጥሮች በ y ዘንግ ላይ ባሉ ነጥቦች ይወከላሉ, ለዚህም ነው ምናባዊ ዘንግ ተብሎ የሚጠራው. ዜሮ ትክክለኛ እና ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ቁጥር ነው። ከኦ አውሮፕላን መጀመሪያ አንስቶ እስከ ነጥብ M(z) ያለው ርቀት ውስብስብ ቁጥር z ሞዱል ተብሎ የሚጠራ ሲሆን በ |z| ወይ አር፡ | ዝ | = አር = | OM | = √ x 2 + y 2 φ በቬክተር የተሰራው ተኮር አንግል ከሆነ ⃗ OM ከ x ዘንግ ጋር፣ ከዚያም በሳይን እና ኮሳይን ተግባር ኃጢአት φ = y r ፣ cos φ = x r 5
ከየት ነው x = r cos φ፣ y = r sin φ፣ እና ስለዚህ z = r (cos φ + sin φ)። ይህ የተወሳሰበ ቁጥር z ውክልና ይባላል
ትሪጎኖሜትሪ

ቼስኮ
ቅጽ. የመጀመሪያው ውክልና z=x+iy ይባላል
አልጀብራ
የዚህ ቁጥር ቅጽ. በ ትሪግኖሜትሪክ ውክልናአንግል  የውስብስብ ቁጥር ክርክር ተብሎ የሚጠራ ሲሆን በ arg z ይገለጻል፡ φ = arg z ውስብስብ ቁጥር z = x + iy ከተሰጠ ‹z = x - iy› ይባላል።
ውስብስብ conjugate
(ወይም በቀላሉ
conjugate
) ወደዚህ ቁጥር z. ከዚያም፣ በግልጽ፣ ቁጥር z ከቁጥር 'z ጋር የተቆራኘ ነው። ነጥቦቹ M(z) እና M 1 ('z) በ x ዘንግ ላይ ተመሣሣይ ናቸው ከእኩልነት z = ‹z› y = 0 እና በተቃራኒው። ማለት ነው።
ጋር እኩል የሆነ ቁጥር

ወደ conjugate እውን ነው እና በተቃራኒው።
ውስብስብ መጋጠሚያዎች z እና -z ያላቸው ነጥቦች ከመጀመሪያው ነጥብ O ጋር ተመሳሳይ ናቸው. ከእኩልነት z = ´ z ቀጥሎ x = 0 እና በተቃራኒው። ስለዚህ፣ ሁኔታው ​​z =- 'z ለንጹህ ምናባዊ ቁጥር መስፈርት ነው። ለማንኛውም ቁጥር z, ግልጽ | ዝ | = | ዝ | =¿- z ∨¿∨-' z ∨¿ .
ድምር እና ምርት
ሁለት የተዋሃዱ ውስብስብ ቁጥሮች ትክክለኛ ቁጥሮች ናቸው፡ z + ’z = 2 z, z ’z = x 2 + y 2 = ¿ z 2 ∨¿. አንድ ቁጥር ከድምር፣ ምርት ወይም ውስብስብ 6 ጋር ያገናኛል።
ቁጥሮች እንደቅደም ተከተላቸው የቁጥሮች ድምር፣ ምርት ወይም ኮታ ከተሰጡት ውስብስብ ቁጥሮች ጋር ይጣመራሉ፡ ′ z 1 + z 2 = ′ z 1 + ′ z 2; z 1 z 2 = 'z 1' z 2; 'z 1: z 2 = 'z 1:' z 2 እነዚህ እኩልነቶች ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ለመስራት ቀመሮችን በመጠቀም በቀላሉ ሊረጋገጡ ይችላሉ። a እና b የነጥብ A እና B ውስብስብ መጋጠሚያዎች ከሆኑ፣ ቁጥሩ c = a + b የነጥብ C መጋጠሚያ ነው፣ እንደ ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (ምስል 3)። ውስብስብ ቁጥር d = a - b ከሚለው ነጥብ D ጋር ይዛመዳል ⃗ OD = ⃗ OA - ⃗ OB . በ A እና B መካከል ያለው ርቀት | ⃗ቢኤ | = | ⃗ ኦዲ | =¿ a - b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a - b ∨¿ (1) ከ ¿ z ∨ 2 = z ´ z , ከዚያም ¿ AB ∨ 2 = (a - b) (' a - 'b) . (2)
እኩልታው
z'z = r 2
መሃል ያለው ክበብ ይገልጻል

ስለ ራዲየስ

አር.
ግንኙነቱ AC CB = λ፣ (λ ≠ - 1) ሐ የሚከፋፈለው ይህ ክፍል AB, በእነዚህ ነጥቦች ውስብስብ መጋጠሚያዎች እንደሚከተለው ይገለጻል: λ = c - a b - c, λ = ´ λ, ከየት c = a + λb 1 + λ (3) ለ λ = 1, ነጥብ C መካከለኛ ነጥብ ነው. የ AB ክፍል, እና በተቃራኒው. ከዚያም፡ c = 1 2 (a + b) (4) የተወሳሰቡ ቁጥሮችን ማባዛት ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት በቀመሩ መሠረት ይከናወናል፣ ማለትም | አ ለ | = | ሀ || ለ | እና 7
ትይዩ እና አቀባዊነት የሶስት ነጥብ ኮሊኔሪቲ ነጥቦች ሀ(ሀ) እና ለ(ለ) በውስብስብ ቁጥሮች አውሮፕላኑ ላይ ይሰጡ። ቬክተሮች ⃗ OA እና ⃗ OB በጋራ የሚመሩ ከሆነ እና arg a = arg b, ማለትም arg a - arg b=arg a b =0 ከሆነ (ውስብስብ ቁጥሮችን በሚከፋፍሉበት ጊዜ, የአከፋፋዩ ክርክር ከተቀነሰበት ክርክር ከተቀነሰ ብቻ ነው). ክፍፍል)። በተጨማሪም እነዚህ ቬክተሮች በተቃራኒ አቅጣጫዎች የሚመሩ ከሆነ እና arg a - arg b= arg a b = ± π ከሆነ ብቻ እንደሆነ ግልጽ ነው። ከክርክር 0, π, - π ጋር ውስብስብ ቁጥሮች እውነተኛ ናቸው.
የነጥብ O፣ A፣ B የመግባቢያ መስፈርት፡
ነጥቦች A(a) እና B (b) ከመጀመሪያው ነጥብ O ጋር እንዲጣመሩ፣ አስፈላጊ እና በቂ ነው a b ትክክለኛ ቁጥር ማለትም a b = 'a' b or a 'b = ' a b (6) አሁን ነጥብ A(a)፣ B(b)፣ C(c)፣ D(d) ውሰድ። ቬክተሮች ⃗ BA እና ⃗ DC collie ነጥቦቹ በውስብስብ ከተገለጹ ብቻ ary ያልሆኑ ናቸው። ቁጥሮች a-bእና с-d፣ ከመጀመሪያዎቹ ጋር ኮላይኔር ናቸው። ማስታወሻ፡ 1. በ (6) ላይ በመመስረት፡- ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a - b) (' c - ′ d) =(' a -' b) አለን። (ሐ - መ); (8) 2. ነጥቦች A, B, C, D የዩኒት ክበብ ከሆነ z ´ z = 1, ከዚያም 'a = 1 a; ለ = 1 ለ; c = 1 c; ′ d = 1 ዲ እና ስለዚህ ሁኔታ (8) ቅጹን ይወስዳል: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd; (9) 3. የነጥብ A፣ B፣ C ውህድነት በቬክተሮች ⃗AB እና ⃗AC ውህድነት ተለይቶ ይታወቃል። (8) በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን: (a - b) ('a -' c) = ('a -' b) (a - c) (10) ይህ ነጥብ A, B, C አባል ለመሆን መስፈርት ነው. ወደ ተመሳሳይ ቀጥታ መስመር. በተመጣጣኝ ቅርጽ a ('b -' c) + b ('c -' a) + c ('a -' b) = 0 (11) 8 ሊወከል ይችላል.
ነጥቦች A እና B የዩኒት ክበብ ከሆኑ z ´z = 1፣ እንግዲያውስ 'a = 1 a; ' b = 1 b እና ስለዚህ እያንዳንዱ ግንኙነቶች (10) እና (11) ይቀየራሉ (በ (a-b) ከተቀነሰ በኋላ ወደሚከተለው ይቀየራሉ፡- c + ab ′ c = a + b (12) ነጥቦች A እና B ተስተካክለዋል። እና ነጥቡ Cን እንደ ተለዋዋጭ እንመለከታለን ፣ አስተባባሪነቱን በ z እንደገና እንቀይራለን ። ከዚያ እያንዳንዱ የውጤት ግንኙነት (10) ፣ (11) ፣ (12) የቀጥታ መስመር AB እኩልታ ይሆናል ። z + (b-a) 'z + a' b - b 'a = 0, (10a) z + ab'z = a + b. (12a) በተለይ ቀጥታ OA ‹z = › a እኩልታ አለው። ⊥ OB↔ a b = - 'a' b ወይም OA ⊥ OB↔a ´ b + ' a b = 0 (13) የክፍሎቹ ቋሚነት ከግጭት ጋር π 2 እና − π 2 ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ናቸው። AB እና ሲዲ የሚወሰኑት በእኩልነት (a - b) ('c -' d) + ('a -'b) (c -d) = 0 (14) በተለይም ነጥቦች A፣ B፣ C፣ D ሲሆኑ ነው። የዩኒት ክብ ነው z ´ z = 1፣ ከዚያ ጥገኝነት (14) ይቀላል፡ ab + cd = 0 (15) የቬክተር ስክላር ምርት። scalar ምርት vectors ⃗ OA እና ⃗ OB በውስብስብ መጋጠሚያዎች ሀ እና ለ ነጥብ A እና B. Let a=x 1 +iy 1, b=x 2 +iy 2 . ከዚያም a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 -iy 2)+(x 1 -iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. ስለዚህ፣ ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
አሁን አራት ይሰጥ የዘፈቀደ ነጥቦች A(a)፣ B(b)፣ C(c)፣ D(d) በውስብስብ መጋጠሚያዎቻቸው። ከዚያም 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c -d)+(a - b)(c-d) (17) ማዕዘኖች በምልክቱ ∠ (AB, ሲዲ) በአዎንታዊ መልኩ ያለውን አንግል በ ምልክት ለማመልከት እንስማማለን። የትኛው ቬክተር ⃗ ከቬክተር ⃗ ሲዲ ጋር አብሮ እንዲመራ AB መዞር አለበት. ከዚያም, cos ∠ (AB, CD)= (d - c) ('b -' a) +('d -′ c) (b - a) 2 | መ - ሐ || ለ - ሀ | (18) ኃጢአት ∠ (AB , CD) = (d - c) (' b -' a) +(' d -' c) (b - a) 2 i | መ - ሐ || ለ - ሀ | (19) የሴክተሮች መገናኛ ነጥብ ወደ ክበብ ነጥብ A፣ B፣ C እና D በክበብ ላይ ቢተኛ z 'z = 1፣ ከዚያም የመገናኛ ነጥብ ውስብስብ መጋጠሚያ በቀመር ´ z = (a + b) ይገኛል። - (c + d) ab - cd (20) AB በሲዲ ቀጥ ያለ ከሆነ፣ ከዚያም z= 1 2 (a+b+c+d) (21) የታንጀኖቹ መገናኛ ነጥብ ወደ ክብ 10
የታንጀንቶች መገናኛ ነጥብ ወደ ክበብ z ´ z =1 በነጥቦቹ A(a) እና B(b) ያለው ውስብስብ ነጥብ የሚገኘው በ z= 2ab a + b (22) የአንድ ነጥብ ኦርቶጎናል ትንበያ ነው። ቀጥታ መስመር ላይ የነጥብ M(m) ቀጥተኛ መስመር AB ላይ፣ A(a) እና B(b) በቀመርው ይገኛሉ ሀ እና ለ የክፍሉ ክብ ሲሆኑ z= 1 2 (a + b + m - cb m) .
ምዕራፍ III.

የሶስት ማዕዘን ጂኦሜትሪ ውስብስብ ቁጥሮች
ውስብስብ በሆኑ ቁጥሮች አውሮፕላኑ ላይ አንድ ትሪያንግል ከጫፎቹ ጋር በሚዛመዱ ሦስት ውስብስብ ቁጥሮች ይገለጻል። የሶስት ማዕዘን ሴንትሮይድ እና orthocenter. [2] ለሴንትሮይድ ጂ (የመገናኛዎች መገናኛ ነጥብ) የሶስት ማዕዘን ኤቢሲ እና ማንኛውም ነጥብ ኦ የሚከተለው እኩልነት እውነት እንደሆነ ይታወቃል: ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC). ስለዚህ የሴንትሮይድ G ውስብስብ መጋጠሚያ g በቀመር g = 1 3 (a + b + c) (23) እንግለጽ h orthocenter H of triangle ABC በመጋጠሚያዎች a, b. ሐ ከ ጫፎች. መስመሮቹ AH፣ BH፣ CH በቅደም ተከተል የሶስት ማዕዘኑን ክብ በ A1፣ B1፣ C1 ያቋርጡ። ይህ ክበብ እኩልታው z ´ z =1 ይኑር፣ ከዚያም በ (15) መሰረት አለን፡ a 1 = - bc a , b 1 = - ca b , c 1 = - ab c በቀመር (20) h = (a) + a 1 ) -(b + b 1) a a 1 - bb 1 = ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c 11
h=a+b+c የሚመጣው ከየት ነው። (24) የውጤቱ አገላለጽ የሶስት ማዕዘኑ ጫፎች በተመጣጣኝ ሁኔታ መጋጠሚያዎችን ያካትታል ስለዚህ የሶስት ማዕዘኑ ሶስተኛው ከፍታ በመጀመሪያዎቹ ሁለቱ መገናኛ ነጥብ ውስጥ ያልፋል ተመሳሳይ ትሪያንግሎች [2,1] ትሪያንግሎች ABC እና A 1 B 1 C 1 ተመሳሳይ እና ተመሳሳይነት ያላቸው (የመጀመሪያው ዓይነት ተመሳሳይነት)፣ B 1 = kAB፣ A 1 B 1 = kAC እና አንግል B 1 A 1 C 1 እና BAC እኩል ከሆኑ (አንግሎች ተኮር ናቸው።) ውስብስብ ቁጥሮችን በመጠቀም፣ እነዚህ እኩልነቶች እንደሚከተለው ሊጻፉ ይችላሉ፡ |a 1 -b 1 |=k|a−b| - a 1 =arg c - a b - a. ሁለቱ እኩልነቶች ከአንድ ጋር እኩል ናቸው 1 - a 1 c - a = b 1 - a 1 b - a = σ, (25) σ ውስብስብ ቁጥር ነው, |σ|=k-similarity coefficient. σ እውነት ከሆነ፣ c 1 - a 1 c - a = 'c 1 - 'a 1' c - 'a፣ AC║A 1 C 1. በዚህ ምክንያት፣ ትሪያንግሎች ABC እና A 1 B 1 C 1 ግብረ ሰዶማዊ ናቸው። ግንኙነት (25) አስፈላጊ ነው እና በቂ ሁኔታስለዚህ ትሪያንግሎች ABC እና A 1 B 1 C 1 ተመሳሳይ እና እኩል ተኮር እንዲሆኑ። የተመጣጠነ ቅርጽ ሊሰጠው ይችላል ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) እኩል ትሪያንግሎች ከሆነ | σ | = 1, ከዚያም ትሪያንግሎች ABC እና A 1 B 1 C 1 እኩል ናቸው. ከዚያ ግንኙነት (25) ተመሳሳይ ተኮር ትሪያንግሎች የእኩልነት ምልክት ነው፣ እና ግንኙነት (26) በተቃራኒ ተኮር ትሪያንግሎች የእኩልነት ምልክት ነው። መደበኛ ትሪያንግሎች ያንን ተኮር (oriented) ከፈለጉ ትሪያንግል ኤቢሲተኮር ትሪያንግል BCA ጋር ተመሳሳይ ነበር፣ ከዚያ ትሪያንግል ABC መደበኛ ይሆናል። 12
ስለዚህ ከ (25) የሶስት ማዕዘን ABC መደበኛ (a-b) 2 + (b-c) 2 + (c-a) 2 = 0 (27) የሶስት ማዕዘን አካባቢ እንዲሆን አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ እናገኛለን. (በጸሐፊው የተረጋገጠ) ለአካባቢው ቀመር (S) አወንታዊ አቅጣጫ ያለው ትሪያንግል ABC እናወጣለን፡ S = 1 2 | ኣብ || AC | ኃጢአት ∠ (AB፣ AC)= 1 4i ((c-a) ('b-'a) - (b - a) (' c - 'a)) = - 1 4i (a ('b-'c)) + b ('c-'a) + c ('a-'b)) ወይም S = i 4 ('b -' c) + b (' c - 'a) + c (' a - 'b )) (28) ከሆነ ትሪያንግል ኤቢሲበክበብ ውስጥ ተቀርጿል z 'z = 1, ከዚያም ቀመር (28) ወደ ቅጹ ይቀየራል: S = i 4 (a - b) (b - c) (c - a) abc (29) ስለ ሀ መካከለኛ መስመር ንድፈ ሃሳብ. ትሪያንግል (በጸሐፊው የተረጋገጠ)
ቲዎረም
. መካከለኛ መስመርየሶስት ማዕዘኑ ከመሠረቱ ጋር ትይዩ እና ከግማሽ ጋር እኩል ነው. ማረጋገጫ። ነጥቦች M እና N የጎን AB እና BC መካከለኛ ነጥቦች ይሁኑ፣ ከዚያም m = b 2; n = b + c 2 . ከ z 2 =z 'z ጀምሮ፣ ከዚያ MN 2 =(m-n)('m -' n)=(b 2 - b + c 2)('b 2 – ´ b + ′ c 2)= b ′ b 4 - b'b+ b'c 4 - b'b+' bc 4+ b' b+ b'c+' bc+c'c 4 = c 'c 4 13
4MN 2 =c 'c፣ AC 2 =(c-0)(c-0)=c 'c፣ስለዚህ 4MN 2 = AC 2 or 2MN=AC. የቬክተር ኤምኤን እና ኤሲ ኮሊኔሪቲ ሁኔታ (8) እንዲሁ ረክቷል። እና ስለዚህ ኤምኤን ║AC. የታሌስ ቲዎረም (በጸሐፊው የተረጋገጠ)
ቲዎረም
. በአንደኛው የማዕዘን ትይዩ መስመሮች እኩል ክፍሎችን ከቆረጡ, በሌላኛው የማዕዘን ክፍል ደግሞ እኩል ክፍሎችን ቆርጠዋል. ማረጋገጫ c=kb ብለን እናስብ። ከዚያ BD||CE ከሆነ (b-d)(' c - 2 ′ d ¿= (' b - ′ d) (c - 2d) ቅንፍ ከፍቶ ማምጣት አለን ። ተመሳሳይ ቃላትእኩልታውን እናገኛለን b 'c - 2 b' d -' d = b c - 2 ' bd - c ' d c በ kb እና 'c በ k 'b በመተካት bk' b -2b' d -dk እናገኛለን። b = ' b kb-2 ' b d-kb' d. ተመሳሳይ ቃላትን እንደገና በማምጣት ሁሉንም ነገር ወደ አንድ ጎን በማንቀሳቀስ 2b ′ d + dk ′ b - 2 ′ b d - kb ′ d = 0 እናገኛለን። እናወጣዋለን የጋራ ብዜትእና 2(b 'd -' b d ¿+ k ('bd - b'd) = 0.ስለዚህ k=2 ማለትም c=2b.እንደዚሁ ተረጋግጧል f=3b ወዘተ ፒይታጎሪያን ቲዎሬም ( በጸሐፊው የተረጋገጠ) B የቀኝ ሶስት ማዕዘንየ hypotenuse ካሬ ከድምሩ ጋር እኩል ነው።ካሬ እግሮች 14
ማረጋገጫ። በነጥብ B እና ሐ መካከል ያለው ርቀት ከBC=|b-c|=b፣ BC 2 = b ′ b ጋር እኩል ነው። ጀምሮ |z| 2 = z'z፣ ከዚያ AC 2 =(a-c)(c'a -'' ¿=(a - 0)('a - 0)=a 'a. AB 2 =(a-b)('a -' b) ¿= a ‹a - a› b - ‹ a b+b› b። b እውነተኛ ቁጥር ስለሆነ ማለትም b= ′ b፣ ከዚያ -a ′ b =- ab። ነጥብ ሀ በኦኦይ ዘንግ ላይ ስለሚገኝ፣ ከዚያም a = - ' a፣ ማለትም - ' ab = ab. ስለዚህ፣ AB 2 = a' a -a' b - ' ab +b' b = a' a +b ' b = AC 2 +BC 2. ቲዎሬም የተረጋገጠ ነው የዩለር ቀጥተኛ መስመር (በደራሲው የተረጋገጠ) ኦርቶሴንተር ፣ ሴንትሮይድ እና የሶስት ማዕዘኑ ዙሪያ በተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር ላይ እንደሚተኛ እናረጋግጥ (ይህ ቀጥተኛ መስመር ኡለር ቀጥተኛ መስመር ይባላል) እና OG = 1/2GH . 15
ማረጋገጫ፡ ነጥብ G(g) የሶስት ማዕዘን ኤቢሲ ሴንትሮይድ ነው፣ H(h) orthocenter ነው፣ እና O(o) የተከበበው የሶስት ማዕዘን ክብ መሃል ነው። እነዚህ ነጥቦች ኮላይነር እንዲሆኑ፣ እኩልነት (10) መሟላት አለበት፡ (g-о)(' g - ´ h ¿ -(' g - ´ o ¿ (g - h) =0 ነጥብ O እንደ እንውሰድ። መነሻው፣ ከዚያም g ('g -' h ¿ -' g (g - h) = g 2 -g ´ h -¿ (g 2 - h ’ g ¿ = - g ’ h + h ’ g (30) የ orthocenter ውስብስብ መጋጠሚያ በቀመር (24) h=a+b+c፣ (30a) እና ሴንትሮይድ በቀመር (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) ምትክ ይሰላል ( 30)፣ 1 3 (a+b +c)('a+b+c)-(a+b+c)('a+b+c 1 3 ¿))) = 0. እኩልነት (10) እናገኛለን። ረክቷል፣ ስለዚህም ሴንትሮይድ፣ ኦርቶሴንተር እና የተገረዘው ትሪያንግል መሃል ክበቦቹ በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a+) ላይ ይተኛሉ። b+c)= 2 3 (a+b+c) ደርሰናል፣ ያ OG= 1 2 GH. ቲዎሬም ተረጋግጧል 16
የኡለር ክበብ (ዘጠኝ ነጥብ ክበብ)። በጸሐፊው የተረጋገጠው ABC ትሪያንግልን ተመልከት። በዚህ እንስማማ | ኦአ | = | ኦብ | = | ኦሲ | =1, ማለትም. ሁሉም የሶስት ማዕዘን ጫፎች የዩኒት ክብ ናቸው z ´ z = 1 (የክበቡ መሃል O መነሻው ነው፣ እና ራዲየስ የርዝመቱ አሃድ ነው)። የዘፈቀደ ትሪያንግል ሦስቱ ከፍታዎች መሠረቶች ፣ የሶስቱ ጎኖቹ መካከለኛ ነጥቦች እና የሶስቱ ክፍሎች መካከለኛ ነጥቦቹ ከኦርቶዶክስ ማእከል ጋር የሚያገናኙት የሶስቱ ክፍሎች መሃከል በተመሳሳይ ክበብ ላይ እንደሚተኛ እናረጋግጥ ፣ እና ማእከሉ የክፍሉ መካከለኛ ነጥብ ነው ። , የት H, አስታውስ, ትሪያንግል ABC መካከል orthocenter ነው. እንዲህ ዓይነቱ ክበብ ይባላል
የኡለር ክበብ
. ነጥቦች K ፣ L እና M የሶስት ማዕዘን ኤቢሲ ጎኖች መካከለኛ ነጥቦች ፣ ነጥቦች Q ፣ N ፣ P የከፍታዎቹ መሠረቶች ፣ ነጥቦች F ፣ E ፣ D የሶስት ክፍሎች መካከለኛ ነጥቦች ከኦርኬሴንት ጋር የሚያገናኙ ይሁኑ ። ነጥቦች D, E, F, K, L, M, N, P, Q ተመሳሳይ ክበብ መሆናቸውን እናረጋግጥ ወደ ነጥቦች ተዛማጅ ውስብስብ መጋጠሚያዎች መድብ: k = a + b 2 , l = b + c 2 ; m = a + c 2,o 1 = h 2 = a + b + c 2 d = 2a + b + c 2; ሠ = 2 ሐ + a + b 2; f = 2 b + a + c 2 n = 1 2 (a + b + c - ab c)፣ q = 1 2 (a + c + b – ac b)፣ p = 1 2 (c + b + a –) cb a) O 1 K = | o 1 - k | = | ሐ 2 | ,ኦ 1 ኤል = | o 1 - l | = | አንድ 2 | ፣ O 1 M = | o 1 - ሜትር | = | ለ 2 | ኦ 1 ዲ = | o 1 - መ | = | አንድ 2 | ,ኦ 1 ኢ = | o 1 - ሠ | = | ሐ 2 | ,ኦ 1 ረ = | o 1 - ረ | = | ለ 2 | ኦ 1 N= | o 1 - n | = 1 2 | አብ c | = 1 2 | ሀ || ለ | | ሐ | , O 1 Q= 1 2 | ሀ || ሐ | | ለ | , O 1 F= 1 2 | ለ || ሐ | | ሀ | . 17
ምክንያቱም ትሪያንግል ABC በክበብ ውስጥ ተጽፏል z ´z = 1፣ ከዚያ | ሀ | = | ለ | = | ሐ | = 1,→ | አንድ 2 | = | ለ 2 | = | ሐ 2 | = 1 2 | ሀ || ለ | | ሐ | = 1 2 | ሀ || ሐ | | ለ | = 1 2 | ለ || ሐ | | ሀ | = 1 2 ስለዚህ, ነጥቦች D, E, F, K, L, M, N, Q, F የአንድ ክበብ ናቸው የጋውስ ቲዎረም አንድ መስመር ከክርስቶስ ልደት በፊት, CA, AB የሶስት ማዕዘን ABC, በቅደም ተከተል, በ. ነጥቦች A 1 ፣ B 1 ፣ C 1 ፣ ከዚያ የክፍል AA 1 ፣ BB 1 ፣ СС 1 መካከለኛ ነጥቦች ኮሊነር ናቸው ። ማረጋገጫ። (11) በመጠቀም የነጥብ AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () ሐ ነጥቦችን የሶስትዮሽ ውህደት ሁኔታዎችን እንጽፋለን. - b (a 0,) c - b a () b - a () a - c b (0,) a - c b () c - b () b - a c (0,) b - a (c) a - c () ሐ - ቢ - ቢ (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ክፍሎቹ AA 1, BB 1, CC 1, ከዚያም ማሳየት አለብን 0) () () (      n m p m p n pn m (32) ጀምሮ), (2 1), (2 1), (2 1) 1 1 1 c c p b n a m       ከዚያም እየተረጋገጠ ያለው እኩልነት (31) ከዚህ ጋር ይመሳሰላል፡ 0)) (())                          b b b b c b c b b ወይም () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) 1 1 1 1 1 1           b a c b a with b a c b a c ac b a with b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a (33) አሁን በቀላሉ ማየት ይቻላል ያ (33) የሚገኘው በጊዜ-ጊዜ የእኩልነት መጨመር ነው (31)።ማስረጃው ሙሉ ነው 18.

ምዕራፍ IV.

ውስብስብ የቁጥር ዘዴን በመጠቀም የUSE ችግሮችን እና የተለያዩ ኦሊምፒያዶችን መፍታት።
ችግር 1. የተዋሃደ የግዛት ፈተና -2012, P-4 የቀኝ ትሪያንግል ኤቢሲ ከቀኝ አንግል C ጋር መካከለኛውን AD በያዘ መስመር ላይ አንድ ነጥብ E ይወሰዳል ከ 4 ጋር እኩል በሆነ ርቀት ከ vertex A ርቀት ላይ። ትሪያንግል BCE ከBC=6፣ AC= 4 ከሆነ። የመጀመሪያው መፍትሄ. በፓይታጎሪያን ቲዎረም AD=5 መሠረት። ከዚያ ED=1 ነጥብ ኢ በ ray AD ላይ ይተኛ። መካከለኛው AD ከ AE የበለጠ ይረዝማል እና ነጥብ E በሶስት ማዕዘን ABC ውስጥ ይገኛል (ምስል 1) ቀጥ ያለ EF ከ ነጥብ E እስከ መስመር ዓ.ዓ. እንጥል እና ተመሳሳይ የቀኝ ትሪያንግሎችን DEF እና DAC እንይ። ከእነዚህ ትሪያንግሎች ተመሳሳይነት እናገኛለን፡ EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
ስለዚህ, S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2.4. አሁን በ E እና D መካከል ያለውን ውሸት እንጠቁም (ምስል 2)። በዚህ ሁኔታ ED=9 እና EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . ከዚያም S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21.6. መልስ፡ 2.4; 21.6. ውስብስብ ቁጥሮችን በመጠቀም ችግሩን መፍታት. ጉዳይ I፡ ነጥብ ኢ በ ray AD ላይ ይገኛል። D የCB መሃል ስለሆነ፣ ከዚያም ሲዲ=3። እና ከCA=4 ጀምሮ፣ AD=5፣ ማለትም DE=1 መሆኑ ግልጽ ነው። ነጥብ Cን እንደ መጀመሪያው ነጥብ፣ እና መስመሮችን CA እና CB እንደ እውነተኛ እና ምናባዊ መጥረቢያዎች እንውሰድ። ከዚያ A(4)፣ C(0)፣ B(6i)፣ D(3i)፣ ኢ(ሠ)። ነጥቦች A, E እና D ኮላይኔር ናቸው, ከዚያም e - 4 3i - e = 4 i.e. e= 12i + 4 5 . በቀመር (25) S CBE =│ 'i 4 (e6 ' i +6i(-' e)│= e e - '¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 ጉዳይ II፡ ነጥብ A በነጥብ D እና E መካከል ይገኛል። ከዚያም 4 - ሠ 3i - 4 = 4 5, ማለትም e= 36 - 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 - 12 i 5 - - 36 - 12i 5) | =21.6 መልስ፡ 2.4 እና 21.6 ለመፍታት የመጀመሪያውን ዘዴ በመጠቀም ችግር ፣ ብዙ ግምቶች ሊኖሩት ይገባል ፣ ወዲያውኑ ላይታዩ ይችላሉ ፣ ግን ብዙ ጊዜ ካለፈ በኋላ ፣ ምንም እንኳን ፣ ተማሪው በደንብ ከተዘጋጀ ፣ መፍትሄው ራሱ ወዲያውኑ ይመሰረታል ። ሁለተኛውን ዘዴ በመጠቀም ችግሩን ለመፍታት ዝግጁ የሆኑ ቀመሮችን እንጠቀማለን, ለመፈለግ ጊዜን እንቆጥባለን, ነገር ግን ቀመሮቹን ሳናውቅ ውስብስብ የቁጥር ዘዴን በመጠቀም ችግሮችን መፍታት እንደማይቻል እንረዳለን, እርስዎ እንደሚመለከቱት እያንዳንዱ ዘዴ የራሱ አለው. ጥቅሞች እና ጉዳቶች
ተግባር 2 (MIOO፣ 2011)፡-
ነጥብ M ክፍል AB ላይ ነው። ዲያሜትር AB ባለው ክብ ላይ, ነጥብ C ይወሰዳል, ከ A, M እና B በ 20, 14 እና 15 ርቀቶች ርቀት ላይ. የሶስት ማዕዘኑ BMC አካባቢ ይፈልጉ። 20
መፍትሄ፡ AB የክበብ ዲያሜትር ስለሆነ ∆ ኤቢሲ አራት ማዕዘን ነው፡ ∠ C = 90 ° C እንውሰድ ዜሮ ነጥብአውሮፕላን፣ ከዚያ A(20i)፣ B(15)፣ M(z)። ከCM=14 ጀምሮ፣ እኩልነት z ´z = 196 እውነት ነው፣ ማለትም ነጥብ M∈ ነጥብ C እና r=14 ላይ መሃል ያለው ክብ። የዚህን ክበብ መገናኛ ነጥቦች ከመስመር AB ጋር እንፈልግ፡ የመስመር AB (10a) እኩልነት፡ 20 i (15 -′ z) + 15 ('z + 20 i) + z (- 20 i - 15) = 0 በመተካት '' z በ 196 z እና ሙሉውን እኩልታ በ (4 i - 3) በማባዛት, ለ z: 25 z 2 + 120 i (4 i - 3) z + 196 (4 i - 3) 2 = 0 z እናገኛለን 1,2 = 2 (3 - 4 i) (6 i± √ 13) 5 ቀመር (28) በመጠቀም አካባቢውን ∆ MBC: S = i 4 (z ('b -' c) + b ('c) እናገኛለን - 'z) + c ('z -' b)) የት c = 0, ′ c = 0, b = 15, ′ b = 15, ′ z = 196 ∗ 5 2 (3 - 4 i) (6 i ±) √ 13) ከጨረሰ ተመጣጣኝ ለውጦች, S = 54 ± 12 √ 13 ካሬ ሜትር እናገኛለን. ክፍሎች መልስ። 54 ± 12 √ 13 ካሬ. ክፍሎች ችግሩን ከፈቱ የጂኦሜትሪክ ዘዴዎች, ከዚያም ሁለት የተለያዩ ጉዳዮችን ግምት ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው: 1 ኛ - ነጥብ M በ A እና D መካከል ይገኛል; 2ኛ - በዲ እና ለ 21 መካከል

ውስብስብ የቁጥሮች ዘዴን በመጠቀም ችግርን በሚፈታበት ጊዜ የመፍትሄው ድብልታ የሚገኘው በክበብ እና በመስመር ላይ ሁለት መገናኛ ነጥቦች በመኖራቸው ነው። ይህ ሁኔታ የተለመደ ስህተትን ለማስወገድ ያስችለናል.
ችግር 3
መካከለኛዎቹ AA 1፣ BB 1 እና CC 1 የሶስት ማዕዘን ኤቢሲ ይገናኛሉ ነጥብ M. AB=6MC 1 መሆኑ ይታወቃል። ትሪያንግል ኤቢሲ ትክክለኛ ትሪያንግል መሆኑን ያረጋግጡ። መፍትሄ፡ C የአውሮፕላኑ ዜሮ ነጥብ ይሁን እና ለ ነጥብ ሀ እውነተኛ ክፍል ይመድቡ። ችግሩ በመቀጠል b ብቻ ምናባዊ ቁጥር መሆኑን ለማረጋገጥ ይቀንሳል። AB 2 = (b - 1) ('b - 1) ኤም ሴንትሮይድ ነው ፣ አስተባባሪው 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 - 1 2 b - 1 2) (1 3 'b + 1 3 - 1 2' b - 1 2) = 1 3 ለ (b + 1) ('b + 1) ከ AB=6MC 1፣ ከዚያ (b - 1) (' b - 1) = (b + 1) ('b + 1)። ለውጦቹን ካደረግን በኋላ b = - 'b እናገኛለን ፣ ማለትም b ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ቁጥር ነው ፣ ማለትም አንግል ሐ ቀጥተኛ መስመር ነው።
ተግባር 4.
22
በነጥብ O ዙሪያ በ90° ሽክርክር ምክንያት፣ AB ክፍል ወደ ክፍል A "B" ተለወጠ። የሶስት ማዕዘኑ OAB "መካከለኛው OM ከመስመሩ A" B ጋር ቀጥ ያለ መሆኑን ያረጋግጡ። መፍትሄ፡ መጋጠሚያዎቹ O፣ A፣ B ከ 0.1፣ ለ፣ በቅደም ተከተል እኩል ይሁኑ። ከዚያም ነጥቦች A "እና B" መጋጠሚያዎች a" = i እና b" = bi ይኖሯቸዋል እና AB "ክፍል AB" መካከለኛ M = 1 2 (1 + bi) መጋጠሚያዎች ይኖራቸዋል: a" - b m - 0 = i - b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i - b) i - b = 2i ቁጥር ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ነው። በቋሚነት መስፈርት (ኤቢ እና ሲዲ ክፍሎች ቀጥ ያሉ ናቸው - b c -d ቁጥሩ ምናባዊ ከሆነ ብቻ) ፣ OM እና A 'B ቀጥ ያሉ ናቸው።
ችግር 5
. 23
ከሶስት ማዕዘኑ ከፍታ ግርጌ ጀምሮ፣ ከዚህ ከፍታ ጋር የማይዛመዱ ቋሚዎች ወደ ሁለት ጎኖች ይጣላሉ። በእነዚህ ቋሚዎች መሠረቶች መካከል ያለው ርቀት በሦስት ማዕዘኑ ቁመት ምርጫ ላይ የተመካ አለመሆኑን ያረጋግጡ. መፍትሄ፡- ትሪያንግል ኤቢሲ ይስጥ እና በዙሪያው የተከበበው ክበብ z ´z = 1 እኩልታ አለው። ሲዲ የሶስት ማዕዘኑ ቁመት ከሆነ d = 1 2 (a + b + c - ab c) ከ D ወደ AC እና BC የወረደው የመሠረቶቹ ውስብስብ መጋጠሚያዎች M እና N የቋሚዎቹ መጋጠሚያዎች እኩል ናቸው. m = 1 2 (a + c + d - ac ′ d 2) n = 1 2 (b + c + d - bc ′ d 2) እናገኛለን: m - n = 1 2 (a - b + c ’d) b - a)) = 1 2 (a - b) (1 - c 'd) = (a - b) (a - ሐ) (b - ሐ) 4 ab ጀምሮ | ሀ | = | ለ | = 1, ከዚያም | m - n | = | (a - ለ) × (b - ሐ) (ሐ - ሀ) | 4 . ይህ አገላለጽ ከ a, b, c, i.e ጋር ተመጣጣኝ ነው. ርቀቱ MN በሶስት ማዕዘን ቁመት ምርጫ ላይ የተመካ አይደለም.
ማጠቃለያ
24
"በእርግጥ! ሁሉም ችግሮች ያለ ውስብስብ ቁጥሮች ሊፈቱ ይችላሉ. የጉዳዩ እውነታ ግን የተወሳሰቡ ቁጥሮች አልጀብራ ሌላ ነው። ውጤታማ ዘዴየፕላኒሜትሪክ ችግሮችን መፍታት. ለአንድ ተግባር የበለጠ ውጤታማ ዘዴ ስለመምረጥ ብቻ መነጋገር እንችላለን. በአንድ የተወሰነ ችግር ላይ ሳንተገበር እነዚህን ዘዴዎች በአጠቃላይ ከግምት ውስጥ ካስገባን ስለ አንድ የተወሰነ ዘዴ ጥቅም አለመግባባቶች ትርጉም የለሽ ናቸው” [2]። በስልቱ ጥናት ውስጥ ትልቅ ቦታ በቀመሮች ስብስብ ተይዟል. ይህ ነው
ዋና ጉዳቱ
ዘዴ እና በተመሳሳይ ጊዜ
ክብር
, በበቂ ሁኔታ እንዲፈቱ ስለሚያደርግ ውስብስብ ተግባራትከአንደኛ ደረጃ ስሌቶች ጋር በተዘጋጁ ቀመሮች መሠረት. በተጨማሪም, የፕላኒሜትሪ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ አምናለሁ ይህ ዘዴሁለንተናዊ ነው።
መጽሃፍ ቅዱስ
1. ማርኩሼቪች አ.አይ. ውስብስብ ቁጥሮች እና የተጣጣሙ ካርታዎች - ኤም.: የስቴት ማተሚያ ቴክኒካዊ እና ቲዎሬቲካል ስነ-ጽሁፍ, 1954. - 52 p. 25
2. ፖናሪን ያ.ፒ. አልጀብራ ውስብስብ ቁጥሮች በጂኦሜትሪክ ችግሮች ውስጥ: ለትምህርት ቤቶች የሂሳብ ክፍሎች ተማሪዎች, መምህራን እና ተማሪዎች የመማሪያ ዩኒቨርሲቲዎች መጽሐፍ - M.: MTsNMO, 2004. - 160 p. 3. Shvetsov D. ከሲምሶን መስመር ወደ ድሮዝ-ፋርኒ ቲዎረም, ክቫንት. - ቁጥር 6, 2009. - ገጽ. 44-48 4. ያግሎም አይ.ኤም. የጂኦሜትሪክ ለውጦች. መስመራዊ እና ክብ ለውጦች. - የስቴት የቴክኒካዊ እና የቲዎሬቲካል ስነ-ጽሁፍ ማተሚያ ቤት, 1956. - 612 p. 5. Yaglom I.M. ውስብስብ ቁጥሮች እና አተገባበር በጂኦሜትሪ - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 p. 6. ሞርኮቪች ኤ.ጂ. እና ሌሎች፣ አልጀብራ እና የሂሳብ ትንተና ጅምር 10ኛ ክፍል። በ 2 ሰዓታት ውስጥ ክፍል 1. የአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት ተማሪዎች የመማሪያ መጽሀፍ (የመገለጫ ደረጃ) - M.: Mnemosyne, 2012. - 343 p. 7. አንድሮኖቭ አይ.ኬ. የእውነተኛ እና ውስብስብ ቁጥሮች ሒሳብ - M.: Prosveshchenie, 1975. - 158 p. 26

መተግበሪያ

ክላሲካል ንድፈ ሃሳቦችየመጀመሪያ ደረጃ ጂኦሜትሪ

የኒውተን ቲዎሪ.
በክበብ ዙሪያ በተከበበ ባለ አራት ማዕዘን ውስጥ ፣ የዲያግኖቹ መካከለኛ ነጥቦች ከክበቡ መሃል ጋር ኮላይንየር ናቸው። 27
ማረጋገጫ። ራዲየሱን ከአንድ እኩል እናስቀምጠው, የክበቡን መሃል እንደ መነሻው እንውሰድ. የዚህን ባለአራት ጎን ትሪያንግል A o B o C o D o በ A, B, C, D (በክብ ቅደም ተከተል) (ምስል 4) ላይ ያሉትን የመገናኛ ነጥቦች እንጠቁም. M እና N እንደየቅደም ተከተላቸው የ A o C o እና B o D o የዲያግራኖች መካከለኛ ነጥቦች ይሁኑ። ከዚያም የታንጀሮች መገናኛ ነጥብ ወደ ክበብ z = 2ab a + b, ነጥቦች A o, B o, C o, D o እንደ ቅደም ተከተላቸው ውስብስብ መጋጠሚያዎች ይኖራቸዋል: 0 0 0 ዲ ሲ ሲ ዲ ሲ ቢ ቢ ሲ ቢ አብ ቢ ዲ አድ a (2 1 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c am 1 ፣ 1 b a  , 1, 1 d d c c   ከዚያም በቀጥታ n m n m  (6) ላይ በመመስረት, ነጥቦች O, M, N ኮሊንየር እንደሆኑ ግልጽ ነው.
የፓስካል ቲዎሪ

.
የተቀረጸ ባለ ስድስት ጎን ተቃራኒ ጎኖች የያዙ የመስመሮች መገናኛ ነጥቦች በተመሳሳይ መስመር ላይ ይተኛሉ። 28
ማረጋገጫ። ባለ ስድስት ጎን ABCDEF እና P FA CD N EF BC M DE AB   ) () (,) () (,) () (   (ምስል 6) በክበብ ውስጥ እንዲቀረጽ ያድርጉ (ምስል 6). የክበቡን መሃል እንደ አውሮፕላኑ ዜሮ ነጥብ እንውሰድ እና ራዲየሱ በአንድ ክፍል ርዝመት ነው ከዚያም በ (17) መሠረት እኛ አለን:,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n) ደ ab e d b am    እና በተመሳሳይ .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n)       ቁጥሮች f e dc b a እኩል ስለሆኑ በቅደም ተከተል f e dc b a 1, 1, 1, 1, 1, 1, ከዚያም የቃል ቼክ የተገኘው አገላለጽ ከተጣመረው ጋር እንደሚጣጣም ያሳያል, ማለትም, እውነተኛ ቁጥር ነው. ይህ ማለት የነጥቦች M፣ N፣ P ጥምረት ነው።
የሞንጅ ቲዎሪ.
በክበብ ውስጥ በተፃፈ ባለ አራት ማዕዘን ውስጥ, በጎኖቹ መካከለኛ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፉ መስመሮች እና. እያንዳንዱ ሰያፍ ወደ ተቃራኒው ጎን ቀጥ ያለ ነው እና በዚህ መሠረት ሌላኛው ሰያፍ በአንድ ነጥብ ይገናኛል። የሳይክል ኳድሪተራል ሞንጎ ነጥብ ይባላል። ማረጋገጫ። በአራት ማዕዘን ABCD ጎኖች ላይ ያሉት ቀጥ ያሉ ብስክሌቶች በተከበበው ክበብ መሃል ላይ ይገናኛሉ, ይህም እንደ መነሻ እንወስዳለን. ለእያንዳንዱ ነጥብ M(z) የቋሚ ቢሴክተር እስከ [AB] ቁጥር b a b a z   ) (2 1 ሙሉ በሙሉ ምናባዊ። 29
በተለይም ለ z=0 እኩል ነው) (2) (b a b a    . ለእያንዳንዱ ነጥብ N (z) በጎን ሲዲ መካከል በቋሚ (AB) በኩል የሚያልፈው መስመር፣ ቁጥሩ b a d c z   ) (2 1 ሙሉ በሙሉ ምናባዊ እና በተገላቢጦሽ መሆን ያስፈልገዋል። ግን ለ z=) (2 1d c b a    እኩል ነው) (2 b a b a   ማለትም ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ነው። ስለዚህም ነጥብ ኢ ከተወሳሰበ አስተባባሪ ጋር) 2 1 d c b a    በተጠቆመው መስመር ላይ ተኝቷል እናም ይህ አገላለጽ ከሀ፣ ለ፣ ሐ፣ መ ፊደሎችን በተመለከተ ሚዛናዊ ነው።

• በሜካኒካል ቀመሮች ላይ ሳይሆን በግንኙነቶች ላይ የተመሰረተ እንሆናለን።
• ውስብስብ ቁጥሮችን እንደ ዜሮ፣ ክፍልፋይ ወይም አሉታዊ ቁጥሮች እንደ የቁጥር ስርዓታችን ማሟያ እንይ።
• ፅንሰ-ሀሳቡን በተሻለ ለመረዳት በግራፊክስ ውስጥ እናያለን እንጂ በደረቅ ጽሁፍ ብቻ አናቀርባቸውም።

እና የእኛ ሚስጥራዊ መሳሪያ፡ በአመሳስሎ መማር። ከቅድመ አያቶቻቸው በመጀመር ወደ ውስብስብ ቁጥሮች እንሄዳለን አሉታዊ ቁጥሮች . ለእርስዎ ትንሽ መመሪያ ይኸውና፡-

ለአሁን, ይህ ጠረጴዛ ትንሽ ትርጉም አይሰጥም, ግን እዚያ ይሁን. በአንቀጹ መጨረሻ ሁሉም ነገር ወደ ቦታው ይደርሳል.

አሉታዊ ቁጥሮች ምን እንደሆኑ በትክክል እንረዳ

አሉታዊ ቁጥሮች በጣም ቀላል አይደሉም. በ18ኛው ክፍለ ዘመን የአውሮፓ የሂሳብ ሊቅ እንደሆንክ አድርገህ አስብ። 3 እና 4 አለህ፣ እና 4 – 3 = 1 መፃፍ ትችላለህ። ቀላል ነው።

ግን 3-4 ምንድን ነው? ይህ በትክክል ምን ማለት ነው? 4 ላሞችን ከ3 እንዴት መውሰድ ይቻላል? ከምንም ያነሰ እንዴት ሊኖርዎት ይችላል?

አሉታዊ ቁጥሮች እንደ ፍፁም ከንቱ ተደርገው ይታዩ ነበር፣ ነገር ግን “በአጠቃላይ የእኩልታዎች ፅንሰ-ሀሳብ ላይ ጥላ የሚጥል ነገር” (ፍራንሲስ ማሴሬስ፣ 1759)። ዛሬ አሉታዊ ቁጥሮችን እንደ ምክንያታዊ ያልሆነ እና የማይጠቅም ነገር አድርጎ ማሰብ ፍጹም ከንቱነት ነው። አሉታዊ ቁጥሮች መሰረታዊ ሂሳብን የሚጥሱ ከሆነ አስተማሪዎን ይጠይቁ።

ምን ሆነ? ጠቃሚ ባህሪያት ያለው ቲዎሬቲካል ቁጥር ፈጠርን. አሉታዊ ቁጥሮች ሊነኩ ወይም ሊሰማቸው አይችሉም, ነገር ግን አንዳንድ ግንኙነቶችን (እንደ ዕዳ, ለምሳሌ) በመግለጽ ጥሩ ናቸው. ይህ በጣም ጠቃሚ ሀሳብ ነው.

“30 እዳ አለብኝ” ከማለት እና ቃላቶቹን በማንበብ በጥቁር ወይም በጥቁር መሆኔን ለማየት “-30”ን ብቻ መፃፍ እና ምን ማለት እንደሆነ ማወቅ እችላለሁ። ገንዘብ ካገኘሁ እና እዳዬን ከከፈልኩ (-30 + 100 = 70) ይህን ግብይት በጥቂት ቁምፊዎች በቀላሉ መጻፍ እችላለሁ. +70 እተወዋለሁ።

የመደመር እና የመቀነስ ምልክቶች አቅጣጫውን በቀጥታ ይይዛሉ - ከእያንዳንዱ ግብይት በኋላ ለውጦቹን ለመግለጽ ሙሉ ዓረፍተ ነገር አያስፈልግዎትም። ሒሳብ ቀለል ያለ፣ ይበልጥ የሚያምር ሆኗል። አሉታዊ ቁጥሮች “ተጨባጭ” መሆናቸው ምንም ችግር የለውም - ጠቃሚ ንብረቶች ነበሯቸው እና በዕለት ተዕለት ህይወታችን ውስጥ ጠንካራ እስኪሆኑ ድረስ እንጠቀማቸዋለን። የሚያውቁት ሰው የአሉታዊ ቁጥሮችን ምንነት ገና ካልተረዳ አሁን እርስዎ ይረዱዎታል።

ግን አናሳንስ የሰው ስቃይአሉታዊ ቁጥሮች የንቃተ ህሊና ለውጥ ነበሩ። ኢ ቁጥርን ያገኘው ሊቅ እና ሌሎችም ኡለር እንኳን እንደ ዛሬው ሁሉ አሉታዊ ቁጥሮችን አልተረዳም። እንደ "ትርጉም የለሽ" ስሌት ውጤቶች ይታዩ ነበር.

በአንድ ወቅት ምርጥ የሂሳብ ሊቃውንትን እንኳን ግራ ያጋቡ ሀሳቦችን ልጆች በእርጋታ እንዲረዱ መጠበቅ እንግዳ ነገር ነው።

ምናባዊ ቁጥሮችን ማስገባት

በምናባዊ ቁጥሮች ተመሳሳይ ታሪክ ነው። ቀኑን ሙሉ እነዚህን እኩልታዎች መፍታት እንችላለን፡-

መልሶች 3 እና -3 ይሆናሉ። ግን አንድ ብልህ ሰው እዚህ ላይ ተቀንሶ እንደጨመረ እናስብ፡-

ደህና. ሰዎች ለመጀመሪያ ጊዜ ሲያዩት የሚያስጨንቃቸው ይህ አይነት ጥያቄ ነው። ከዜሮ በታች ያለውን የቁጥር ካሬ ስር ማስላት ይፈልጋሉ? ይህ የማይታሰብ ነው! (በታሪክ በእውነቱ ነበሩ። ተመሳሳይ ጥያቄዎችነገር ግን ያለፈውን ሳይንቲስቶች ላለማሳፈር አንዳንድ ፊት የሌለው ጠቢብ ሰው መገመት ለእኔ የበለጠ አመቺ ነው).

እብድ ይመስላል፣ ልክ እንደ አሉታዊ ቁጥሮች፣ ዜሮ እና ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች (የማይደጋገሙ ቁጥሮች) በቀኑ ውስጥ ወደ ኋላ ተመለከቱ። ለዚህ ጥያቄ ምንም "እውነተኛ" ትርጉም የለም, አይደል?

አይ እውነት አይደለም. “ምናባዊ ቁጥሮች” የሚባሉት እንደሌሎች መደበኛ ናቸው (ወይም ልክ እንደ መደበኛ ያልሆነ)፡ ዓለምን የሚገልጹ መሣሪያዎች ናቸው። በተመሳሳይ መንፈስ -1፣ 0.3 እና 0 “አሉ” ብለን በምናስበው መንፈስ፣ የተወሰነ ቁጥር እንዳለ እናስብ፡-

በሌላ አገላለጽ፣ -1 ለማግኘት በራሳችሁ ያባዛሉ። አሁን ምን እየሆነ ነው?

ደህና, መጀመሪያ ላይ በእርግጠኝነት ራስ ምታት አለብን. ነገር ግን "እኔ እንዳለሁ እናስመስል" የሚለውን ጨዋታ በመጫወት በእውነቱ ሂሳብን ቀላል እና የበለጠ ቆንጆ እናደርገዋለን። በቀላሉ ልንገልጽላቸው የምንችላቸው አዳዲስ ግንኙነቶች ብቅ አሉ።

በኔ አያምኑም ፣ ልክ እነዚያ የድሮ ገራሚ የሒሳብ ሊቃውንት -1 መኖርን እንዳላመኑት ሁሉ ። አንጎልን ወደ ቱቦ ውስጥ የሚያጣምሙ ሁሉም አዳዲስ ፅንሰ-ሀሳቦች ለመረዳት አስቸጋሪ ናቸው, እና ትርጉማቸው ወዲያውኑ አይወጣም, ለአስደናቂው ኡለር እንኳን. ግን አሉታዊ ቁጥሮች እንዳሳዩን እንግዳ የሆኑ አዲስ ሀሳቦች እጅግ በጣም ጠቃሚ ሊሆኑ ይችላሉ.

"ምናባዊ ቁጥሮች" የሚለውን ቃል እራሱ አልወደውም - የ i ስሜትን ለማስከፋት የተመረጠ ይመስላል። ቁጥሩ ልክ እንደሌሎቹ የተለመደ ነው, ነገር ግን "ምናባዊ" የሚለው ቅጽል ስም በእሱ ላይ ተጣብቋል, ስለዚህ እኛም እንጠቀማለን.

ስለ አሉታዊ እና ውስብስብ ቁጥሮች ምስላዊ ግንዛቤ

እኩልታው x^2 = 9 በትክክል ይህ ማለት ነው።

ሁለት ጊዜ የተተገበረው የትኛው የ x ለውጥ 1 ወደ 9 ይቀየራል?

ሁለት መልሶች አሉ: "x = 3" እና "x = -3". ማለትም፣ በ3 ጊዜ “መመዘን” ወይም “ሚዛን በ3 እና መገልበጥ” ይችላሉ (የውጤቱን መቀልበስ ወይም መውሰድ ሁሉም በአሉታዊ የመባዛት ትርጓሜዎች ናቸው።)

አሁን ደግሞ እንደሚከተለው ሊጻፍ ስለሚችለው ቀመር x^2 = -1 እናስብ።

ሁለት ጊዜ የተተገበረው የትኛው የ x ለውጥ 1 ወደ -1 ይቀየራል? እም

• ሁለት ጊዜ ማባዛት አንችልም። አዎንታዊ ቁጥርምክንያቱም ውጤቱ አዎንታዊ ይሆናል.
• አሉታዊ ቁጥርን ሁለት ጊዜ ማባዛት አንችልም ምክንያቱም ውጤቱ እንደገና አዎንታዊ ይሆናል.

ስለ... መዞር! ለነገሩ ያልተለመደ ይመስላል ነገር ግን xን እንደ “90 ዲግሪ መዞር” ካሰብን ፣ ከዚያ x ሁለት ጊዜ በመተግበር የ 180 ዲግሪ ሽክርክሪት እናደርጋለን ዘንግ አስተባባሪ, እና 1 ወደ -1 ይቀየራል!

ዋዉ! ትንሽ ካሰብን ደግሞ ሁለት አብዮቶችን መፍጠር እንችላለን ተቃራኒ አቅጣጫ, እና እንዲሁም ከ 1 ወደ -1 ይሂዱ. ይህ "አሉታዊ" ማዞር ወይም በ -i ማባዛት ነው፡-

በ -i ሁለት ጊዜ ብናባዛው በመጀመሪያው ማባዛት -i ከ 1 እና በሁለተኛው -1 ከ -i እናገኛለን። ስለዚህ በትክክል ሁለት ናቸው ካሬ ስሮች-1: እኔ እና - እኔ.

ይህ በጣም ጥሩ ነው! እኛ እንደ መፍትሄ የሆነ ነገር አለን, ግን ምን ማለት ነው?

• ቁጥርን ለመለካት "አዲሱ ምናባዊ ልኬት" ነኝ
• i (or -i) ቁጥሮች ሲሽከረከሩ "ይሆናሉ" ማለት ነው።
• በ i ማባዛት 90 ዲግሪ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ እየዞረ ነው።
• በ -i ማባዛት በ90 ዲግሪ በሰዓት አቅጣጫ መዞር ነው።
• በሁለቱም አቅጣጫ ሁለት ጊዜ መሽከርከር -1 ይሰጣል፡ ወደ “የተለመደ” የአዎንታዊ እና አሉታዊ ቁጥሮች (የ x-ዘንግ) መጠን ይመልሰናል።

ሁሉም ቁጥሮች ባለ2-ልኬት ናቸው። አዎን፣ መቀበል ከባድ ነው፣ ነገር ግን ለጥንቶቹ ሮማውያን ለመቀበል ያን ያህል ከባድ ይሆን ነበር። አስርዮሽወይም ረጅም ክፍፍል. (እንዴት ነው በ1 እና 2 መካከል ብዙ ቁጥሮች ያሉት?) እንደማንኛውም ሰው እንግዳ ይመስላል አዲስ መንገድበሂሳብ አስብ.

"በሁለት ድርጊቶች 1 ወደ -1 እንዴት መቀየር ይቻላል?" እና መልሱን አገኘ: 1 90 ዲግሪ ሁለት ጊዜ አሽከርክር. በሂሳብ ውስጥ በጣም እንግዳ፣ አዲስ የአስተሳሰብ መንገድ። ግን በጣም ጠቃሚ። (በነገራችን ላይ፣ ይህ ውስብስብ ቁጥሮች የጂኦሜትሪክ ትርጉም የሚታየው ቁጥሩ ከተገኘ ከአሥርተ ዓመታት በኋላ ነው)።

እንዲሁም አብዮት መውሰድ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ መሆኑን አይርሱ አዎንታዊ ውጤት- ይህ ሙሉ በሙሉ የሰዎች ስምምነት ነው ፣ እና ሁሉም ነገር ፍጹም የተለየ ሊሆን ይችላል።

ስብስቦችን ይፈልጉ

ወደ ዝርዝሮቹ ትንሽ ጠለቅ ብለን እንሂድ። አሉታዊ ቁጥሮችን (እንደ -1) ሲያባዙ፣ ስብስብ ያገኛሉ፡-

• 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

-1 የቁጥሩን መጠን ስለማይለውጥ, ምልክቱ ብቻ, ተመሳሳይ ቁጥር በ "+" ምልክት ወይም በ "-" ምልክት ያገኛሉ. ለ x ቁጥር እርስዎ ያገኛሉ፡-

• x, -x, x, -x, x, -x…

ይህ በጣም ጠቃሚ ሀሳብ ነው. "x" የሚለው ቁጥር ጥሩ እና መጥፎ ሳምንታትን ሊያመለክት ይችላል. እንደዚያ እናስብ መልካም ሳምንትመጥፎውን ይተካዋል; ጥሩ ሳምንት ነው; 47ኛው ሳምንት ምን ይመስላል?

X ማለት መጥፎ ሳምንት ይሆናል ማለት ነው። አሉታዊ ቁጥሮች እንዴት "ምልክቱን እንደሚከተሉ ይመልከቱ" - እኛ በቀላሉ (-1) ^ 47 ወደ ካልኩሌተር ከመቁጠር ይልቅ ማስገባት እንችላለን ("ሳምንት 1 ጥሩ, ሳምንት 2 መጥፎ ... ሳምንት 3 ጥሩ..."). ያለማቋረጥ የሚለዋወጡ ነገሮች አሉታዊ ቁጥሮችን በመጠቀም ፍጹም በሆነ መልኩ መቅረጽ ይችላሉ።

እሺ፣ በ i ማባዛታችንን ከቀጠልን ምን ይሆናል?

በጣም አስቂኝ፣ ሁሉንም በጥቂቱ እናቅልለው፡-

በግራፊክ መልክ የቀረበው ተመሳሳይ ነገር ይኸውና፡-

ዑደቱን በየ 4 ኛ ዙር እንደግመዋለን. ያ በእርግጠኝነት ምክንያታዊ ነው ፣ ትክክል? ማንኛውም ልጅ 4 ወደ ግራ መታጠፍ ምንም ሳይታጠፍ አንድ አይነት እንደሆነ ይነግርዎታል. አሁን ከምናባዊ ቁጥሮች (i, i^2) እረፍት ይውሰዱ እና አጠቃላይ ስብስቡን ይመልከቱ፡-

• X፣ Y፣ -X፣ -Y፣ X፣ Y፣ -X፣ -Y…

አሉታዊ ቁጥሮች እንዴት እንደሚቀረጹ በትክክል የመስታወት ነጸብራቅቁጥሮች፣ ምናባዊ ቁጥሮች በሁለት ልኬቶች "X" እና "Y" መካከል የሚሽከረከር ማንኛውንም ነገር ሞዴል ማድረግ ይችላሉ። ወይም ማንኛውም ነገር ሳይክሊካል ፣ ክብ ጥገኝነት - በአእምሮህ ውስጥ የሆነ ነገር አለ?

ውስብስብ ቁጥሮችን መረዳት

ሊታሰብበት የሚገባ አንድ ተጨማሪ ዝርዝር አለ: ቁጥሩ ሁለቱም "እውነተኛ" እና "ምናባዊ" ሊሆኑ ይችላሉ?

እንኳን አትጠራጠር። በትክክል 90 ዲግሪ መዞር አለብን ያለው ማነው? በአንድ እግራችን “በእውነተኛ” ልኬት ላይ ሁለተኛውን “ምናባዊ” ላይ ብንቆም እንደዚህ ያለ ነገር ይመስላል።

እኛ በ 45 ዲግሪ ምልክት ላይ እንገኛለን, እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቹ ተመሳሳይ ናቸው, እና ቁጥሩ ራሱ "1 + i" ነው. ልክ እንደ ሞቃታማ ውሻ ፣ ኬትጪፕ እና ሰናፍጭ ያሉበት - አንዱን ወይም ሌላውን መምረጥ አለቦት ያለው ማን ነው?

በመሠረቱ, ማንኛውንም የእውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች ጥምረት መምረጥ እና ከሁሉም ሶስት ማዕዘን መስራት እንችላለን. አንግል "የመዞር አንግል" ይሆናል. ውስብስብ ቁጥር እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍል ላላቸው ቁጥሮች የሚያምር ስም ነው። እነሱም እንደ “a + bi” ተጽፈዋል፣ እዚያም፡-

• ሀ - እውነተኛ ክፍል
• ለ - ምናባዊ ክፍል

መጥፎ አይደለም. ግን አንድ ብቻ ነው የቀረው የመጨረሻ ጥያቄውስብስብ ቁጥር ምን ያህል "ትልቅ" ነው? ትክክለኛውን ክፍል ወይም ምናባዊውን ክፍል ለይተን መለካት አንችልም ምክንያቱም ትልቁን ምስል ስለምናጣው ነው።

አንድ እርምጃ ወደ ኋላ እንመለስ። መጠን አሉታዊ ቁጥርከዜሮ ያለው ርቀት፡-

ይህ ለማግኘት ሌላ መንገድ ነው ፍጹም ዋጋ. ግን ሁለቱንም አካላት በ 90 ዲግሪ ውስብስብ ቁጥሮች እንዴት መለካት ይቻላል?

በሰማይ ላይ ያለ ወፍ ነው...ወይስ አውሮፕላን... ፓይታጎረስ ሊታደገው ነው!

ይህ ቲዎሬም ከተቻለ ከ2000 ዓመታት በኋላ በተፈጠሩ ቁጥሮች እንኳን ብቅ ይላል። አዎ፣ ሶስት ማዕዘን እየሰራን ነው፣ እና ሃይፖቴኑሱ ከዜሮ ካለው ርቀት ጋር እኩል ይሆናል።

ምንም እንኳን ውስብስብ ቁጥርን መለካት “ምልክቱን ብቻ እንደ ማስቀረት” ቀላል ባይሆንም ውስብስብ ቁጥሮች ግን በጣም ቀላል ናቸው። ጠቃሚ መተግበሪያዎች. አንዳንዶቹን እንይ።

እውነተኛ ምሳሌ፡ ሽክርክሪቶች

ውስብስብ ቁጥሮችን ለመለማመድ የኮሌጅ ፊዚክስ ድረስ አንጠብቅም። ዛሬ ይህንን እናደርጋለን። ውስብስብ ቁጥሮችን በማባዛት ርዕስ ላይ ብዙ ማለት ይቻላል, አሁን ግን ዋናውን ነገር መረዳት ያስፈልግዎታል.

• ውስብስብ በሆነ ቁጥር ማባዛት በማዕዘኑ ይሽከረከራል

እንዴት እንደሚሰራ እንይ. በጀልባ ላይ እንደሆንኩ አድርገህ አስብ፣ በ 3 ክፍሎች እየተጓዝኩ ወደ ምስራቅ በየ 4 ዩኒቶች ወደ ሰሜን። ኮርሴን 45 ዲግሪ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ መቀየር እፈልጋለሁ። አዲሱ ኮርሴ ምን ይሆን?

አንድ ሰው “ቀላል ነው! ሳይን፣ ኮሳይን አስላ፣ የታንጀንት እሴቱን ጎግል አድርግ... እና ከዛ..." ካልኩሌተር የሰበርኩት መሰለኝ...

እንሻገር በቀላል መንገድ: በ 3 + 4i ኮርስ ላይ ነን (አንግሉ ምንም አይደለም, አሁን ምንም ግድ የለብንም) እና 45 ዲግሪዎች መዞር እንፈልጋለን. ደህና፣ 45 ዲግሪዎች 1+ i (ተስማሚ ሰያፍ) ነው። ስለዚህ ዋጋችንን በዚህ ቁጥር ማባዛት እንችላለን!

ቁምነገሩ እነሆ፡-

• የመጀመሪያ ርዕስ፡ 3 ክፍሎች ምስራቅ፣ 4 ክፍሎች ሰሜን = 3 + 4i
• 45 ዲግሪ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ አሽከርክር = በ1 + i ማባዛት።

ሲባዛ፡-

የእኛ አዲስ የመሬት ምልክት- 1 ክፍል ወደ ምዕራብ (-1 ወደ ምስራቅ) እና 7 ክፍሎች ወደ ሰሜን, በግራፉ ላይ መጋጠሚያዎችን መሳል እና እነሱን መከተል ይችላሉ.

ግን! መልሱን በ10 ሰከንድ ውስጥ አገኘነው፣ ያለ ምንም ሳይን እና ኮሳይን። ምንም አይነት ቬክተር አልነበረም፣ማትሪክስ የለም፣የትኛው ኳድራንት ውስጥ እንዳለን መከታተል የለም። እኩልታውን ለመስራት ቀላል አርቲሜቲክ እና ትንሽ አልጀብራ ነበር። ምናባዊ ቁጥሮች ለማሽከርከር በጣም ጥሩ ናቸው!

ከዚህም በላይ እንዲህ ዓይነቱ ስሌት ውጤቱ በጣም ጠቃሚ ነው. እኛ ኮርስ አለን (-1, 7) ከማእዘን ይልቅ (አታን(7/-1) = 98.13, እና ወዲያውኑ በሁለተኛው ኳድራንት ውስጥ መሆናችን ግልጽ ነው, እንዴት በትክክል, የተጠቆመውን ማዕዘን ለመሳል እና ለመከተል አስበዋል. በእጅ ላይ ፕሮትራክተር እየተጠቀሙ ነው?

አይ፣ አንግልን ወደ ኮሳይን እና ሳይን (-0.14 እና 0.99) ትቀይራለህ፣ በመካከላቸው ያለውን ግምታዊ ሬሾ (ከ1 እስከ 7 አካባቢ) አግኝ እና ትሪያንግል ይሳሉ። እና እዚህ ውስብስብ ቁጥሮች ያለምንም ጥርጥር ያሸንፋሉ - በትክክል ፣ በፍጥነት መብረቅ እና ያለ ካልኩሌተር!

እንደ እኔ ከሆንክ ይህ ግኝት አእምሮን የሚስብ ሆኖ ታገኘዋለህ። ካልሆነ፣ ሒሳብ ጨርሶ እንዳያስደስትህ እፈራለሁ። አዝናለሁ!

ትሪጎኖሜትሪ ጥሩ ነው፣ ግን ውስብስብ ቁጥሮች ስሌቶችን በጣም ቀላል ያደርጉታል (እንደ cos(a + b) ማግኘት)። ይህ ትንሽ ማስታወቂያ ነው; በሚቀጥሉት ጽሁፎች ውስጥ ሙሉውን ምናሌ እሰጥዎታለሁ.

የግጥም መረበሽ፡- አንዳንድ ሰዎች እንዲህ ብለው ያስባሉ፡- “ሄይ፣ ከሰሜን/ምስራቅ ኮርስ ይልቅ መኖሩ አይመችም። ቀላል ማዕዘንለመርከቡ መተላለፊያ!

እውነት ነው? እሺ የአንተን ተመልከት ቀኝ እጅ. በትንሽ ጣትዎ እና በጫፉ መካከል ያለው አንግል ምንድነው? አውራ ጣት? በስሌት ዘዴዎ መልካም ዕድል.

ወይም በቀላሉ "እሺ ጫፉ ወደ ቀኝ X ኢንች እና Y ኢንች ወደ ላይ ነው" ብለው መልስ መስጠት ይችላሉ እና አንድ ነገር ማድረግ ይችላሉ.

ውስብስብ ቁጥሮች እየቀረቡ ነው?

እንደ አውሎ ነፋስ ባሉ ውስብስብ ቁጥሮች መስክ የእኔን መሠረታዊ ግኝቶች አልፈናል. የመጀመሪያውን ምሳሌ ተመልከት፣ አሁን የበለጠ ግልጽ መሆን አለበት።

በእነዚህ ውብ፣ አስደናቂ ቁጥሮች ውስጥ ብዙ ተጨማሪ ነገሮች አሉ፣ ነገር ግን አንጎሌ ደክሞታል። ግቤ ቀላል ነበር፡-

• ውስብስብ ቁጥሮች እንደ “እብድ” ብቻ ይታዩ እንደነበር ያሳምኑት፣ ነገር ግን በእርግጥ እነሱ በጣም ጠቃሚ ሊሆኑ ይችላሉ (ልክ እንደ አሉታዊ ቁጥሮች)
• ውስብስብ ቁጥሮች እንደ ማሽከርከር ያሉ አንዳንድ ችግሮችን እንዴት እንደሚያቃልሉ አሳይ።

በዚህ ርዕስ ላይ ከልክ በላይ የተጨነቅኩ ከመሰለኝ, ለዚያ ምክንያት አለ. ምናባዊ ቁጥሮች ለአመታት አባዜ ሆነውብኛል - የማስተዋል ማነስ አበሳጨኝ።

ነገር ግን ሻማ ማብራት በድቅድቅ ጨለማ ውስጥ ከመሄድ ይሻላል፡ እነዚህ የእኔ ሀሳቦች ናቸው እና ብርሃኑ በአንባቢዎቼ አእምሮ ውስጥ እንደሚበራ እርግጠኛ ነኝ።

Epilogue: ግን አሁንም በጣም እንግዳ ናቸው!

አሁንም ለእኔም እንግዳ እንደሚመስሉ አውቃለሁ። እንደ መጀመሪያው ሰው ዜሮን እንዳወቀ ለማሰብ እየሞከርኩ ነው።

ዜሮ እንደዚህ አይነት እንግዳ ሀሳብ ነው፣ “የሆነ ነገር” “ምንም” አይወክልም እና ይህ በምንም መንገድ ሊረዳ አልቻለም። የጥንት ሮም. ከተወሳሰቡ ቁጥሮች ጋር ተመሳሳይ ነው - ይህ አዲስ የአስተሳሰብ መንገድ ነው. ግን ሁለቱም ዜሮ እና ውስብስብ ቁጥሮች ሂሳብን በእጅጉ ያቃልላሉ። እንደ አዲስ የቁጥር ስርዓቶች ያሉ እንግዳ ነገሮችን አስተዋውቀን ባናውቅ ኖሮ ሁሉንም ነገር በጣቶቻችን እንቆጥራለን።

ውስብስብ ቁጥሮች "መደበኛ አይደሉም" ብሎ ማሰብ ለመጀመር በጣም ቀላል ስለሆነ ይህን ተመሳሳይነት እደግመዋለሁ. ለፈጠራ ክፍት እንሁን፡ ወደፊት ሰዎች እስከ 21ኛው ክፍለ ዘመን ድረስ አንድ ሰው ውስብስብ ቁጥሮችን እንዴት እንደማያምን ይቀልዱበታል።

ጥቅምት 23 ቀን 2015 ዓ.ም

ውስብስብ ቁጥሮችን የመጠቀም እድል

በአጠቃላይ የትምህርት ትምህርት ቤት ውስጥ በሂሳብ ትምህርት

ሳይንሳዊ አማካሪ;

የማዘጋጃ ቤት የትምህርት ተቋም

Pervomaiskaya ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት

ጋር። ኪችሜንግስኪ ከተማ

ሴንት. Zarechnaya 38

የቀረበው ሥራ ውስብስብ ቁጥሮችን ለማጥናት ያተኮረ ነው. አግባብነትበፊዚክስ እና በቴክኖሎጂ ውስጥ ብዙ ችግሮችን መፍታት ወደ ኳድራቲክ እኩልታዎች ያመራል። አሉታዊ አድሎአዊ. እነዚህ እኩልታዎች በክልሉ ውስጥ ምንም መፍትሄ የላቸውም እውነተኛ ቁጥሮች. ነገር ግን ለብዙ እንደዚህ ያሉ ችግሮች መፍትሄው በጣም ትክክለኛ የሆነ አካላዊ ትርጉም አለው.

ተግባራዊ ጠቀሜታ፡-ውስብስብ ቁጥሮች እና የተወሳሰቡ ተለዋዋጮች ተግባራት በብዙ የሳይንስ እና ቴክኖሎጂ ጥያቄዎች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ ፣ ለመፍታት በትምህርት ቤት ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች.

የነገር አካባቢ፡ ሒሳብ። የምርምር ነገርአልጀብራ ጽንሰ-ሀሳቦች እና ድርጊቶች. የምርምር ርዕሰ ጉዳይ- ውስብስብ ቁጥሮች. ችግር: ውስብስብ ቁጥሮች በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት የሂሳብ ትምህርት አይማሩም, ምንም እንኳን ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ. ውስብስብ ቁጥሮችን ወደ ውስጥ የማስተዋወቅ እድል የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ምደባዎችወደፊት. መላምት፡-በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጾችን ለመፍታት ውስብስብ ቁጥሮችን መጠቀም ይችላሉ. ዒላማ፡የሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት በ 10 ኛ ክፍል ውስጥ ሂሳብን ሲያጠና ውስብስብ ቁጥሮችን የመጠቀም እድልን ለማጥናት. ተግባራት፡ 1. የተወሳሰቡ ቁጥሮች ንድፈ ሐሳብን አጥኑ 2. ውስብስብ ቁጥሮችን በ10ኛ ክፍል የሂሳብ ትምህርት የመጠቀም እድልን አስቡበት። 3. በተወሳሰቡ ቁጥሮች ስራዎችን ማዘጋጀት እና መሞከር.

ለመፍትሄዎች የአልጀብራ እኩልታዎችበቂ ትክክለኛ ቁጥሮች የሉም። ስለዚህ እነዚህን እኩልታዎች ለመፍታት መጣር ተፈጥሯዊ ነው፣ ይህ ደግሞ የቁጥር ጽንሰ-ሐሳብ እንዲስፋፋ ያደርጋል..gif" width="10" height="65 src=">

https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" height="62">.gif" width="97" height="28 src=">

በተለመደው የአልጀብራ ህጎች መሰረት እንደዚህ ባሉ አገላለጾች ላይ እርምጃ ለመውሰድ መስማማት ብቻ ያስፈልግዎታል እና ያንን ያስቡ

እ.ኤ.አ. በ 1572 የጣሊያን አልጀብራሊስት አር. ቦምቤሊ መጽሐፍ ታትሞ ነበር ፣ በእነዚህ ቁጥሮች ላይ የሂሳብ ስራዎች የመጀመሪያ ህጎች የተቋቋሙበት ፣ ከእነሱ እስከሚወጣ ድረስ ኩብ ሥሮች. "ምናባዊ ቁጥሮች" የሚለው ስም በ 1637 ተጀመረ. ፈረንሳዊው የሂሳብ ሊቅ እና ፈላስፋ አር. ዴካርት ፣ እና በ 1777 ትልቁ የሂሳብ ሊቃውንት VIIIክፍለ ዘመን X..gif" width="58" height="19">10ኛ ክፍል ላይ ሒሳብ ሲያጠና ውስብስብ ቁጥሮችን ለመጠቀም ምሳሌ።ስለዚህ ቁጥር x፣ የካሬው ካሬ -1 እኩል ነው። ሃሳባዊ አሃድ ይባላል እና ይገለጻል i. ስለዚህም፣ ከየት ..gif" width="120" height="27 src=">.gif" width="100" height="27 src=">8ኛ ክፍል "href="/text/category/8_klass/" rel ="bookmark">8ኛ ክፍል በአልጀብራ።-ኤም.፡ ትምህርት፣ 1994.-P.134-139።

2. ኢንሳይክሎፔዲክ መዝገበ ቃላትወጣት የሂሳብ ሊቅ / ኮም. ኢ-68. - ኤም.፡ ፔዳጎጂ፣ 19 ሴ