ይህ ጽሑፍ ስለ ርዕሰ ጉዳዩ ይናገራል « ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ርቀት », የማስተባበር ዘዴን በመጠቀም ከነጥብ ወደ መስመር ያለውን ርቀት ፍቺ ከተገለጹ ምሳሌዎች ጋር ይወያያል። በመጨረሻው ላይ ያለው እያንዳንዱ የንድፈ ሐሳብ እገዳ ተመሳሳይ ችግሮችን የመፍታት ምሳሌዎችን አሳይቷል.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት የሚገኘው ከነጥብ ወደ ነጥብ ያለውን ርቀት በመወሰን ነው. እስቲ ጠለቅ ብለን እንመርምር።

ከተሰጠው መስመር ጋር የማይያያዝ መስመር ሀ እና ነጥብ M 1 ይኑር። በእሱ በኩል ቀጥ ያለ መስመር እንሳልለን ለ, ወደ ቀጥታ መስመር ቀጥ ብሎ ይገኛል ሀ. የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ እንደ H 1 እንውሰድ። M 1 H 1 ከ ነጥብ M 1 ወደ ቀጥታ መስመር ሀ ዝቅ የተደረገ ቀጥ ያለ ነው ።

ፍቺ 1

ከ M 1 ወደ ቀጥታ መስመር ያለው ርቀት ሀበ M 1 እና H 1 መካከል ያለው ርቀት ይባላል።

የቋሚውን ርዝመት የሚያካትቱ ፍቺዎች አሉ.

ፍቺ 2

ከነጥብ ወደ መስመር ርቀትከተወሰነ ነጥብ ወደ አንድ መስመር የተዘረጋው የቋሚው ርዝመት ነው.

ትርጓሜዎቹ እኩል ናቸው። ከታች ያለውን ምስል አስቡበት።

ከአንድ ነጥብ እስከ መስመር ያለው ርቀት ከሁሉም በጣም ትንሹ እንደሆነ ይታወቃል. ይህንን በምሳሌ እንመልከት።

ከ ነጥብ M 1 ጋር የማይገጣጠም ቀጥታ መስመር ሀ ላይ የተኛን ነጥብ ከወሰድን M 1 Q ክፍል ከ M 1 ወደ ቀጥታ መስመር ሀ ዝቅ ያለ ዘንበል ያለ ክፍል ይባላል። ከነጥብ M 1 ያለው ቀጥተኛ መስመር ከነጥቡ ወደ ቀጥታ መስመር ከተሰየመ ከማንኛውም መስመር ያነሰ መሆኑን ማመልከት ያስፈልጋል.

ይህንን ለማረጋገጥ፣ M 1 Q 1 hypotenuse የሆነውን ትሪያንግል M 1 Q 1 H 1ን ተመልከት። ርዝመቱ ሁልጊዜ ከማንኛውም እግሮች ርዝመት እንደሚበልጥ ይታወቃል. ይህ ማለት M 1 H 1 አለን ማለት ነው።< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

ከነጥብ ወደ መስመር ለመፈለግ የመጀመሪያው መረጃ ብዙ የመፍትሄ ዘዴዎችን እንዲጠቀሙ ይፈቅድልዎታል-በፓይታጎሪያን ቲዎረም ፣ ሳይን መወሰን ፣ ኮሳይን ፣ አንግል እና ሌሎችም። አብዛኛዎቹ የዚህ አይነት ተግባራት በጂኦሜትሪ ትምህርቶች ወቅት በትምህርት ቤት ውስጥ መፍትሄ ያገኛሉ.

ከአንድ ነጥብ እስከ መስመር ያለውን ርቀት ሲፈልጉ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት ማስተዋወቅ ሲቻል, ከዚያም የማስተባበር ዘዴው ጥቅም ላይ ይውላል. በዚህ አንቀጽ ውስጥ, ከተጠቀሰው ነጥብ አስፈላጊውን ርቀት ለማግኘት ዋናዎቹን ሁለት ዘዴዎች እንመለከታለን.

የመጀመሪያው ዘዴ ርቀቱን ከ M 1 ወደ ቀጥታ መስመር ሀ. ሁለተኛው ዘዴ የሚፈለገውን ርቀት ለማግኘት ቀጥተኛ መስመር ሀ መደበኛውን እኩልታ ይጠቀማል።

በአውሮፕላኑ ላይ አንድ ነጥብ ካለ መጋጠሚያዎች M 1 (x 1, y 1), በአራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው የአስተባባሪ ስርዓት ውስጥ የሚገኝ, ቀጥተኛ መስመር a, እና ርቀቱን M 1 H 1 ማግኘት ያስፈልግዎታል, ስሌቱን በሁለት ማድረግ ይችላሉ. መንገዶች. እስቲ እንያቸው።

የመጀመሪያው መንገድ

የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎች ከ x 2, y 2 ጋር እኩል ከሆኑ, ከነጥቡ እስከ መስመር ያለው ርቀት ከቀመር M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) መጋጠሚያዎችን በመጠቀም ይሰላል. - 1) 2.

አሁን የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎችን ወደ መፈለግ እንሂድ።

በ O x y ውስጥ ያለው ቀጥተኛ መስመር በአውሮፕላኑ ላይ ካለው ቀጥተኛ መስመር እኩልነት ጋር እንደሚመሳሰል ይታወቃል. ቀጥ ያለ መስመርን የመግለጫ ዘዴን እንውሰድ አጠቃላይ የቀጥታ መስመር ወይም እኩልታ ከአንግላር ኮፊሸንት ጋር በመፃፍ። በነጥብ M 1 በኩል የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ከተሰጠው ቀጥታ መስመር ጋር እንሰራለን ሀ. ቀጥተኛውን መስመር በደብዳቤ ለ. H 1 የመስመሮች ሀ እና ለ መገናኛ ነጥብ ነው, ይህም ማለት የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥቦችን መጋጠሚያዎች የሚመለከተውን ጽሑፉን ለመጠቀም የሚያስፈልግዎትን መጋጠሚያዎች ለመወሰን ነው.

ከተጠቀሰው ነጥብ M 1 (x 1, y 1) ወደ ቀጥታ መስመር ሀ ያለውን ርቀት ለመፈለግ ስልተ ቀመር በነጥቦቹ መሰረት ይከናወናል.

ፍቺ 3

• የቀጥታ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ማግኘት ሀ ፣ ቅጽ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ፣ ወይም ከማዕዘን ጋር እኩልነት ያለው ፣ ቅጽ y = k 1 x + b 1;
• መስመር ለ አጠቃላይ እኩልታ ማግኘት፣ ቅጽ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ወይም እኩልነት ከአንግላር ኮፊሸን y = k 2 x + b 2 ጋር፣ መስመር b ነጥቡን M 1 ካቋረጠ እና ቀጥ ያለ ከሆነ የተሰጠ መስመር a;
• መጋጠሚያዎች x 2, y 2 ነጥብ H 1, ይህም የ a እና b መገናኛ ነጥብ ነው, ለዚሁ ዓላማ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ተፈቷል A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 or y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• ቀመሩን M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 በመጠቀም አስፈላጊውን ርቀት ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር በማስላት።

ሁለተኛ መንገድ

ንድፈ ሃሳቡ ከተሰጠው ነጥብ ወደ አውሮፕላን በተሰጠው ቀጥተኛ መስመር ላይ ያለውን ርቀት ለመፈለግ ጥያቄን ለመመለስ ይረዳል.

ቲዎረም

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት ኦ x y ነጥብ M 1 (x 1, y 1) አለው, ከእሱ ቀጥታ መስመር ወደ አውሮፕላኑ ይሳባል, በአውሮፕላኑ መደበኛ እኩልታ ይሰጠዋል, መልክ cos α x + cos β y አለው. - p = 0, እኩል ከሆነ በ x = x 1, y = y 1 የሚሰላው በተለመደው የመስመሩ እኩልታ በግራ በኩል የተገኘው ፍጹም እሴት M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β ማለት ነው. · y 1 - ገጽ.

ማረጋገጫ

መስመር a ከመደበኛው የአውሮፕላኑ እኩልታ ጋር ይዛመዳል፣ መልክ cos α x + cos β y - p = 0፣ ከዚያም n → = (cos α፣ cos β) ካለው ርቀት ላይ እንደ መደበኛ የመስመር ቬክተር ይቆጠራል a መነሻ ወደ መስመር ከ p አሃዶች ጋር . በሥዕሉ ላይ ያሉትን ሁሉንም መረጃዎች ማሳየት አስፈላጊ ነው, ከመጋጠሚያዎች M 1 (x 1, y 1) ጋር አንድ ነጥብ ይጨምሩ, የነጥብ ራዲየስ ቬክተር M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). እንደ M 1 H 1 የምንለውን ከአንድ ነጥብ ወደ ቀጥታ መስመር ቀጥታ መስመር መሳል አስፈላጊ ነው. የነጥቦቹን M 1 እና H 2 ትንበያዎችን በ N → = (cos α, cos β) አቅጣጫ ቬክተር በነጥብ O በኩል በሚያልፈው ቀጥታ መስመር ላይ ማሳየት እና የቬክተር አሃዛዊ ትንበያ እንደ O M 1 → = (x 1, y 1) ወደ አቅጣጫ n → = (cos α, cos β) እንደ n p n → O M 1 → .

ልዩነቶቹ በ M1 ነጥብ በራሱ ቦታ ላይ ይወሰናሉ. ከታች ያለውን ምስል እንመልከት።

ውጤቶቹን እናስተካክላለን M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. ከዚያም እኩልነትን ወደዚህ ቅጽ እናመጣለን M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p n pn → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

የቬክተር ስክላር ምርት የተለወጠ ቀመርን ያስገኛል n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , እሱም በተቀናጀ ቅርጽ የሚገኝ ምርት ነው. የቅጹ n →፣ O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1። ይህ ማለት n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 እናገኛለን ማለት ነው። በመቀጠልም M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

በአውሮፕላኑ ላይ ከ M 1 (x 1 ፣ y 1) ወደ ቀጥታ መስመር ሀ ያለውን ርቀት ለማግኘት ብዙ እርምጃዎችን ማከናወን እንዳለቦት አግኝተናል።

ፍቺ 4

• በተግባሩ ውስጥ ካልሆነ የቀጥታ መስመርን መደበኛ እኩልታ ማግኘት a cos α · x + cos β · y - p = 0;
• የቃላት ስሌት cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, ውጤቱም ዋጋ M 1 H 1 ይወስዳል.

ከአንድ ነጥብ እስከ አውሮፕላን ያለውን ርቀት በመፈለግ ችግሮችን ለመፍታት እነዚህን ዘዴዎች እንተገብራቸው።

ምሳሌ 1

ከቦታው ያለውን ርቀት በመጋጠሚያዎች M 1 (- 1, 2) ወደ ቀጥታ መስመር 4 x - 3 y + 35 = 0 ያግኙ.

መፍትሄ

ለመፍታት የመጀመሪያውን ዘዴ እንጠቀም.

ይህንን ለማድረግ በተሰጠው ነጥብ M 1 (- 1, 2) በኩል የሚያልፍ የመስመሩን አጠቃላይ እኩልታ ማግኘት አስፈላጊ ነው 4 x - 3 y + 35 = 0. ከሁኔታው መረዳት እንደሚቻለው መስመር b ከመስመር ሀ ጋር ቀጥ ያለ ነው ፣ ከዚያ አቅጣጫው ቬክተር ከ (4 ፣ - 3) ጋር እኩል መጋጠሚያዎች አሉት። በመሆኑም መስመር ለ ያለውን ነጥብ M 1 መካከል መጋጠሚያዎች አሉ ጀምሮ, መስመር b ያለውን ቀኖናዊ እኩልታ ለመጻፍ ዕድል አለን። የቀጥታ መስመር ዳይሬክተሩ ቬክተር መጋጠሚያዎችን እንወስን ለ. ያንን x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 እናገኛለን። የተገኘው ቀኖናዊ እኩልታ ወደ አጠቃላይ መቀየር አለበት። ከዚያም ያንን እናገኛለን

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

የመስመሮቹ መገናኛ ነጥቦች መጋጠሚያዎችን እናገኛለን, ይህም እንደ H 1 ስያሜ እንወስዳለን. ለውጦቹ ይህን ይመስላል።

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

ከላይ ከተጻፈው አንጻር የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎች (- 5; 5) እኩል ናቸው.

ከ M 1 እስከ ቀጥታ መስመር ሀ ያለውን ርቀት ማስላት አስፈላጊ ነው. የነጥቦቹ መጋጠሚያዎች M 1 (- 1, 2) እና H 1 (- 5, 5) አለን, ከዚያም ርቀቱን ለማግኘት እና ያንን ለማግኘት በቀመር ውስጥ እንተካቸዋለን.

M 1 ሸ 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

ሁለተኛው መፍትሄ.

በሌላ መንገድ ለመፍታት, የመስመሩን መደበኛ እኩልታ ማግኘት አስፈላጊ ነው. የመደበኛ ፋክተሩን ዋጋ እናሰላለን እና ሁለቱንም የእኩልታ 4 x - 3 y + 35 = 0 እናባዛለን። ከዚህ በመነሳት የመደበኛነት መለኪያው እኩል ነው - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, እና መደበኛው እኩልነት በቅጹ ይሆናል - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

በስሌቱ ስልተ ቀመር መሰረት የመስመሩን መደበኛ እኩልታ ማግኘት እና በ x = - 1, y = 2 ዋጋዎች ማስላት አስፈላጊ ነው. ከዚያም ያንን እናገኛለን

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

ከዚህ በመነሳት ከ M 1 (- 1, 2) ወደ ተሰጠው ቀጥታ መስመር 4 x - 3 y + 35 = 0 ያለው ርቀት ዋጋ አለው - 5 = 5.

መልስ፡- 5 .

በዚህ ዘዴ ውስጥ ይህ ዘዴ በጣም አጭር ስለሆነ መደበኛውን የመስመሩን እኩልነት መጠቀም አስፈላጊ መሆኑን ማየት ይቻላል. ነገር ግን የመጀመሪያው ዘዴ ምቹ ነው, ምክንያቱም ወጥነት ያለው እና ምክንያታዊ ነው, ምንም እንኳን ተጨማሪ የስሌት ነጥቦች አሉት.

ምሳሌ 2

በአውሮፕላኑ ላይ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት O x y ነጥብ M 1 (8, 0) እና ቀጥተኛ መስመር y = 1 2 x + 1 ነው. ከተሰጠው ነጥብ ወደ ቀጥታ መስመር ያለውን ርቀት ይፈልጉ.

መፍትሄ

የመጀመሪያው ዘዴ የተሰጠውን እኩልታ ከአንግላር ኮፊሸን ወደ አጠቃላይ እኩልነት መቀነስን ያካትታል። ለማቃለል, በተለየ መንገድ ማድረግ ይችላሉ.

የቋሚ መስመሮች የማዕዘን ጥምርታዎች ምርት እሴት ካለው - 1 ፣ ከዚያም የአንድ መስመር የማዕዘን ኮፊሸን በአንድ የተሰጠ አንድ y = 1 2 x + 1 እሴት 2 ነው። አሁን ከመጋጠሚያዎች M 1 (8, 0) ጋር በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ የመስመር እኩልታ እናገኛለን። ያ y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 አለን።

የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎችን ለማግኘት እንቀጥላለን ፣ ማለትም ፣ የመገናኛ ነጥቦች y = - 2 x + 16 እና y = 1 2 x + 1። የእኩልታዎች ስርዓት አዘጋጅተናል እና የሚከተሉትን እናገኛለን

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ ሸ 1 (6, 4)

በመቀጠልም ከቦታው መጋጠሚያዎች M 1 (8, 0) ወደ ቀጥታ መስመር y = 1 2 x + 1 ያለው ርቀት ከመጀመሪያው ነጥብ እና ከማጠናቀቂያው ርቀት ጋር እኩል ነው M 1 (8, 0) እና ሸ 1 (6፣ 4) እናሰላው እና M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 እናገኛለን።

በሁለተኛው መንገድ መፍትሄው ከአንድ እኩልታ (coefficient) ጋር ወደ መደበኛው ቅርፅ መሄድ ነው. ማለትም ፣ y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 እናገኛለን ፣ ከዚያ የመደበኛነት ሁኔታ ዋጋ - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 ይሆናል። በመቀጠልም የመስመሩ መደበኛ እኩልታ ቅጹን ይወስዳል - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. ስሌቱን ከቁጥር M 1 8, 0 ወደ ቅጹ መስመር - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 እናከናውን. እናገኛለን፡-

M 1 ሸ 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

መልስ፡- 2 5 .

ምሳሌ 3

ከቦታው መጋጠሚያዎች M 1 (- 2, 4) ወደ መስመሮች 2 x - 3 = 0 እና y + 1 = 0 ያለውን ርቀት ማስላት አስፈላጊ ነው.

መፍትሄ

የቀጥታ መስመር መደበኛውን ቅጽ 2 x - 3 = 0 እናገኛለን።

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

ከዚያም ከ M 1 - 2, 4 ወደ ቀጥታ መስመር x - 3 2 = 0 ያለውን ርቀት በማስላት እንቀጥላለን. እናገኛለን፡-

M 1 ሸ 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

የቀጥታ መስመር y + 1 = 0 እኩልነት ከ -1 ጋር እኩል የሆነ መደበኛ ነገር አለው። ይህ ማለት ቀመር ቅጹን ይወስዳል - y - 1 = 0። ከ M 1 (- 2, 4) ወደ ቀጥታ መስመር - y - 1 = 0 ያለውን ርቀት ለማስላት እንቀጥላለን. ከ - 4 - 1 = 5 ጋር እኩል ሆኖ እናገኘዋለን።

መልስ፡- 3 1 2 እና 5

በአውሮፕላኑ ላይ ከተጠቀሰው ነጥብ አንስቶ እስከ አስተባባሪ መጥረቢያዎች ኦ x እና ኦ y ያለውን ርቀት ለማግኘት ጠለቅ ብለን እንመርምር።

አራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው መጋጠሚያ ሥርዓት ውስጥ፣ O ዘንግ y የቀጥታ መስመር እኩልታ አለው፣ እሱም ያልተሟላ እና ቅጽ x = 0፣ እና O x - y = 0። እኩልታዎቹ ለመጋጠሚያ መጥረቢያዎች የተለመዱ ናቸው, ከዚያም ከቦታው መጋጠሚያዎች M 1 x 1, y 1 እስከ መስመሮች ድረስ ያለውን ርቀት መፈለግ አስፈላጊ ነው. ይህ የሚደረገው M 1 H 1 = x 1 እና M 1 H 1 = y 1 ቀመሮችን መሰረት በማድረግ ነው። ከታች ያለውን ምስል እንመልከት።

ምሳሌ 4

ከ M 1 (6, - 7) ነጥብ በ O x y አውሮፕላን ውስጥ ወደሚገኘው መጋጠሚያ መስመሮች ያለውን ርቀት ያግኙ.

መፍትሄ

እኩልታው y = 0 ቀጥተኛውን O x ስለሚያመለክት፣ ቀመሩን በመጠቀም ከ M 1 በተሰጡ መጋጠሚያዎች ወደዚህ ቀጥተኛ መስመር ያለውን ርቀት ማግኘት ይችላሉ። 6 = 6 እናገኛለን።

እኩልታው x = 0 የሚያመለክተው ቀጥተኛውን መስመር O y ስለሆነ፣ ቀመሩን በመጠቀም ከ M 1 እስከዚህ ቀጥተኛ መስመር ያለውን ርቀት ማግኘት ይችላሉ። ከዚያ ያንን እናገኛለን - 7 = 7.

መልስ፡-ከ M 1 እስከ O x ያለው ርቀት 6 እሴት አለው፣ ከ M 1 እስከ O y ደግሞ 7 እሴት አለው።

ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ከመጋጠሚያዎች M 1 (x 1, y 1, z 1) ጋር ነጥብ ሲኖረን, ከ A ወደ ቀጥታ መስመር ሀ ያለውን ርቀት መፈለግ አስፈላጊ ነው.

በጠፈር ውስጥ የሚገኝን ርቀት ከአንድ ነጥብ ወደ ቀጥታ መስመር ለማስላት የሚያስችሉዎትን ሁለት ዘዴዎችን እንመልከት። የመጀመሪያው ጉዳይ ከ M 1 እስከ መስመር ያለውን ርቀት ያገናዘበ ሲሆን በመስመሩ ላይ ያለው ነጥብ H 1 ተብሎ የሚጠራው እና ከ M 1 እስከ መስመር ሀ ያለው የቋሚ ቋሚ መሰረት ነው. ሁለተኛው ጉዳይ የዚህ አውሮፕላን ነጥቦች እንደ ትይዩው ቁመት መፈለግ እንዳለባቸው ይጠቁማል.

የመጀመሪያው መንገድ

ከትርጓሜው እኛ በቀጥታ መስመር ሀ ላይ ከሚገኘው ነጥብ M 1 ያለው ርቀት የቋሚው M 1 H 1 ርዝመት ነው ፣ ከዚያ በተገኙት የ H 1 መጋጠሚያዎች እናገኛለን ፣ ከዚያ በ M 1 መካከል ያለውን ርቀት እናገኛለን x 1, y 1, z 1) እና H 1 (x 1, y 1, z 1), በቀመር M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z መሠረት. 12 .

አጠቃላይ መፍትሔው ከኤም 1 ወደ ቀጥታ መስመር ሀ የተሳለውን የቋሚውን መሠረት መጋጠሚያዎች ለማግኘት የሚሄድ ሆኖ አግኝተነዋል። ይህ እንደሚከተለው ይከናወናል-H 1 ቀጥተኛ መስመር በተሰጠው ነጥብ ውስጥ ከሚያልፈው አውሮፕላን ጋር የሚቆራረጥበት ነጥብ ነው.

ይህ ማለት ከ M 1 (x 1, y 1, z 1) በቦታ ውስጥ ለመደርደር ያለውን ርቀት ለመወሰን አልጎሪዝም ብዙ ነጥቦችን ያሳያል.

ፍቺ 5

• የአውሮፕላኑን እኩልነት መሳል χ ልክ እንደ አውሮፕላኑ በአንድ የተወሰነ ነጥብ መስመር በኩል የሚያልፈው እኩልነት;
• የነጥብ H 1 ንብረት የሆኑትን መጋጠሚያዎች (x 2, y 2, z 2) መወሰን, እሱም ቀጥተኛ መስመር a እና አውሮፕላን መገናኛ ነጥብ;
• ቀመር M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 በመጠቀም ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለውን ርቀት በማስላት።

ሁለተኛ መንገድ

ከሁኔታው እኛ ቀጥ ያለ መስመር አለን ፣ ከዚያ አቅጣጫውን መወሰን እንችላለን ቬክተር a → = a x ፣ a y ፣ a z መጋጠሚያዎች x 3 ፣ y 3 ፣ z 3 እና የተወሰነ ነጥብ M 3 ቀጥተኛ የሆነ። የነጥቦቹ መ 1 (x 1፣ y 1) እና M 3 x 3፣ y 3፣ z 3 መጋጠሚያዎች ካሉህ M 3 M 1 →፡ ማስላት ትችላለህ።

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3፣ y 1 - y 3፣ z 1 - z 3)

ቬክተሮችን a → = a x, a y, a z እና M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ከ ነጥብ M 3 ለይተን እናያይዛቸዋለን እና ትይዩአዊ ምስል አግኝ። . M 1 H 1 የትይዩው ቁመት ነው.

ከታች ያለውን ምስል እንመልከት።

እኛ ቁመቱ M 1 H 1 የሚፈለገው ርቀት ነው, ከዚያም ቀመሩን በመጠቀም ማግኘት አስፈላጊ ነው. ማለትም፣ M 1 H 1 እየፈለግን ነው።

የትይዩውን ስፋት በ S ፊደል እንጥቀስ፣ በቀመር የተገኘው ቬክተር a → = (a x፣ a y፣ a z) እና M 3 M 1 → = x 1 - x 3። y 1 - y 3፣ z 1 - z 3። የቦታው ቀመር S = a → × M 3 M 1 → ነው። እንዲሁም የስዕሉ ስፋት ከጎኖቹ ርዝመቶች እና ከቁመቱ ምርት ጋር እኩል ነው, S = a → · M 1 H 1 ከ → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ጋር እናገኛለን. የቬክተር ርዝመት a → = (a x, a y, a z) ሲሆን ይህም ከትይዩው ጎን ጋር እኩል ነው. ይህ ማለት M 1 H 1 ከነጥቡ እስከ መስመር ያለው ርቀት ነው. ቀመሩን M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → በመጠቀም ይገኛል።

ከአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች M 1 (x 1 ፣ y 1 ፣ z 1) ወደ ቀጥታ መስመር ሀ በጠፈር ያለውን ርቀት ለማግኘት የአልጎሪዝም ብዙ እርምጃዎችን ማከናወን ያስፈልግዎታል።

ትርጉም 6

• የቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር መወሰን a - a → = (a x, a y, a z);
• የአቅጣጫውን ቬክተር ርዝመት በማስላት a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• መጋጠሚያዎችን ማግኘት x 3 ፣ y 3 ፣ z 3 የነጥብ M 3 በቀጥታ መስመር ላይ ይገኛል a;
• የቬክተር M 3 M 1 → መጋጠሚያዎችን በማስላት ላይ;
• የቬክተርን የቬክተር ምርት ማግኘት a → (a x, a y, a z) እና M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 እንደ → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 ርዝመቱን ለማግኘት → × M 3 M 1 → ;
• ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለውን ርቀት በማስላት M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

በጠፈር ውስጥ ከተሰጠው ነጥብ እስከ አንድ መስመር ድረስ ያለውን ርቀት የመፈለግ ችግሮችን መፍታት

ምሳሌ 5

ከቦታው ያለውን ርቀት በመጋጠሚያዎች M 1 2, - 4, - 1 ወደ መስመር x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ያግኙ.

መፍትሄ

የመጀመሪያው ዘዴ የሚጀምረው የአውሮፕላኑን እኩልነት በመጻፍ ነው χ በ M 1 በኩል የሚያልፍ እና በአንድ የተወሰነ ነጥብ ላይ. እንደዚህ ያለ አገላለጽ እናገኛለን

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (ዝ - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎችን ማግኘት አስፈላጊ ነው, ይህም ከ χ አውሮፕላን ጋር በሁኔታው በተገለፀው መስመር ላይ ያለው መገናኛ ነጥብ ነው. ከቀኖናዊ እይታ ወደ መገናኛው መሄድ አለብዎት. ከዚያ የቅጹን እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን-

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (ዝ + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

ስርዓቱን ማስላት አስፈላጊ ነው x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 በ Cramer’s ዘዴ፣ ከዚያ ይህን እናገኛለን፡-

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z -∆ 60 = 0

ከዚህ እኛ H 1 (1, - 1, 0) አለን.

M 1 ሸ 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

ሁለተኛው ዘዴ በቀኖናዊው እኩልታ ውስጥ መጋጠሚያዎችን በመፈለግ መጀመር አለበት. ይህንን ለማድረግ ለክፋዩ ክፍልፋዮች ትኩረት መስጠት አለብዎት. ከዚያም a → = 2, - 1, 5 የመስመሩ አቅጣጫ ቬክተር ነው x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. በቀመር a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 በመጠቀም ርዝመቱን ማስላት ያስፈልጋል።

ቀጥተኛው መስመር x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ነጥቡን M 3 (- 1, 0, - 5) እንደሚያቋርጥ ግልጽ ነው, ስለዚህም እኛ ከመነሻው ጋር ያለው ቬክተር M 3 (- 1) አለን. 0, - 5) እና መጨረሻው በ M 1 2, - 4, - 1 ነጥብ ላይ M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 ነው. የቬክተር ምርቱን a → = (2, - 1, 5) እና M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) ያግኙ.

ቅጽ ሀ → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · ቅጽን እናገኛለን። j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

የቬክተር ምርቱ ርዝመት ከ → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 ጋር እኩል ሆኖ እናገኘዋለን።

ለቀጥታ መስመር ከአንድ ነጥብ ርቀትን ለማስላት ቀመሩን የምንጠቀምበት ሁሉም መረጃዎች አሉን ፣ ስለዚህ እሱን እንተገብረው እና እናገኛለን

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

መልስ፡- 11 .

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት ከነጥቡ ወደ መስመር የተዘረጋው ቀጥ ያለ ርዝመት ነው. ገላጭ ጂኦሜትሪ ውስጥ, ከዚህ በታች የተሰጠውን ስልተ ቀመር በመጠቀም በግራፊክ ይወሰናል.

አልጎሪዝም

1. ቀጥተኛ መስመር ከማንኛውም ትንበያ አውሮፕላን ጋር ትይዩ ወደሚሆንበት ቦታ ይንቀሳቀሳል. ለዚሁ ዓላማ, ኦርቶጎን ትንበያዎችን የመቀየር ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ.
2. ከነጥብ አንድ ቋሚ ወደ አንድ መስመር ይሳባል. ይህ ግንባታ የቀኝ ማዕዘን ትንበያን በተመለከተ በንድፈ ሃሳብ ላይ የተመሰረተ ነው.
3. የፔንዲኩላር ርዝመት የሚወሰነው ትንበያውን በመለወጥ ወይም ትክክለኛውን የሶስት ማዕዘን ዘዴ በመጠቀም ነው.

የሚከተለው ምስል በክፍል ሲዲ የተገለፀውን ነጥብ M እና የመስመር ለ ውስብስብ ስዕል ያሳያል። በመካከላቸው ያለውን ርቀት መፈለግ ያስፈልግዎታል.

እንደ ስልተ-ቀመርአችን, የመጀመሪያው ነገር መስመሩን ወደ ትንበያ አውሮፕላን ትይዩ ወደሆነ ቦታ ማንቀሳቀስ ነው. ለውጦቹ ከተደረጉ በኋላ በነጥቡ እና በመስመሩ መካከል ያለው ትክክለኛ ርቀት መለወጥ እንደሌለበት መረዳት አስፈላጊ ነው. ለዚያም ነው እዚህ ቦታ ላይ የሚንቀሳቀሱ አሃዞችን የማያካትት የአውሮፕላኑን መተኪያ ዘዴ ለመጠቀም ምቹ የሆነው.

የግንባታው የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ከዚህ በታች ቀርበዋል. በሥዕሉ ላይ ተጨማሪ የፊት አውሮፕላን P 4 ከ b ጋር ትይዩ እንዴት እንደተዋወቀ ያሳያል። በአዲሱ ስርዓት (P 1, P 4), ነጥቦች C"" 1, D"" 1, M" 1 ከ X 1 ዘንግ ልክ እንደ C "", D", "M"" ከ ተመሳሳይ ርቀት ላይ ናቸው. ዘንግ X.

የአልጎሪዝምን ሁለተኛ ክፍል ማከናወን ከ M" 1 ቀጥ ያለ M"" 1 N" 1 ወደ ቀጥታ መስመር b" 1 ዝቅ እናደርጋለን, ምክንያቱም በ b እና MN መካከል ያለው የቀኝ አንግል MND በአውሮፕላን P ላይ ይገለጣል. 4 በሙሉ መጠን። የመገናኛ መስመሩን በመጠቀም የነጥብ N" አቀማመጥን እንወስናለን እና የ MN ክፍል MN ትንበያን እናከናውናለን.

በመጨረሻው ደረጃ ላይ የ MN ክፍልን መጠን ከግምገማው M"N" እና M" 1 N" 1 መወሰን ያስፈልግዎታል. ይህንን ለማድረግ የቀኝ ትሪያንግል M"" 1 N" 1 N 0 እንገነባለን, እግሩ N"" 1 N 0 ከልዩነት (Y M 1 - Y N 1) የነጥቦች ርቀት M" እና N" ጋር እኩል ነው. ከ X 1 ዘንግ. የ hypotenuse M "" 1 N 0 ትሪያንግል M" 1 N" 1 N 0 ከሚፈለገው ርቀት ከ M እስከ ለ.

ሁለተኛው መፍትሄ

• ከሲዲ ጋር ትይዩ፣ አዲስ የፊት አውሮፕላን P 4 እናስተዋውቃለን። P 1ን በ X 1 ዘንግ በኩል፣ እና X 1∥C"D" ያቋርጣል። አውሮፕላኖችን በመተካት ዘዴ መሠረት በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው የነጥቦች C"" 1, D" 1 እና M" 1 ትንበያዎችን እንወስናለን.
• ከ C "" 1 D"" ቀጥ ያለ 1 ተጨማሪ አግድም አውሮፕላን P 5 እንገነባለን, በእሱ ላይ ቀጥተኛ መስመር ለ "C" 2 = b" 2 ይገለጻል.
• በነጥብ M እና በመስመር b መካከል ያለው ርቀት የሚወሰነው በቀይ በተጠቀሰው ክፍል M" 2 C" 2 ርዝመት ነው።

ተመሳሳይ ተግባራት፡-

በአውሮፕላን ላይ ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለውን ርቀት ለማስላት ቀመር

የመስመሩ እኩልታ Ax + By + C = 0 ከተሰጠ ከ M(M x , M y) ነጥብ እስከ መስመር ያለው ርቀት የሚከተለውን ቀመር በመጠቀም ማግኘት ይቻላል.

በአውሮፕላን ላይ ከአንድ ነጥብ እስከ መስመር ያለውን ርቀት ለማስላት የችግሮች ምሳሌዎች

ምሳሌ 1.

በመስመሩ 3x + 4y - 6 = 0 እና ነጥቡ M (-1, 3) መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ።

መፍትሄ።የመስመሩን ቅንጅቶች እና የነጥቡን መጋጠሚያዎች ወደ ቀመር እንተካው።

መልስ፡-ከነጥቡ እስከ መስመር ያለው ርቀት 0.6 ነው.

በነጥቦች ውስጥ የሚያልፈው የአውሮፕላን እኩልታ ወደ አውሮፕላን አጠቃላይ የቬክተር እኩልታ

በተሰጠ አውሮፕላን ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ይባላል መደበኛ ቬክተር (ወይም በአጭሩ የተለመደ ) ለዚህ አውሮፕላን.

የሚከተለው በተቀናጀ ቦታ (በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ) ይስጥ፡

ሀ) ነጥብ ;

ለ) ዜሮ ያልሆነ ቬክተር (ምስል 4.8, ሀ).

በአንድ ነጥብ ውስጥ ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ መፍጠር ያስፈልግዎታል ወደ ቬክተር ቀጥ ያለ የማረጋገጫ መጨረሻ.

አሁን በአውሮፕላን ላይ የተለያዩ የእኩልታ ዓይነቶችን እንመልከት ።

1) የአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልታፒ .

ከሂሳብ አመጣጥ በተመሳሳይ ጊዜ ይከተላል ሀ, ለእና ሲከ0 ጋር እኩል አይደሉም (ለምን እንደሆነ ያብራሩ)።

ነጥቡ የአውሮፕላኑ ነው። ፒየእሱ መጋጠሚያዎች የአውሮፕላኑን እኩልነት ካሟሉ ብቻ ነው. በአጋጣሚዎች ላይ በመመስረት ሀ, ለ, ሲእና ዲአውሮፕላን ፒአንድ ወይም ሌላ ቦታ ይይዛል;

- አውሮፕላኑ በአስተባባሪ ስርዓቱ አመጣጥ ውስጥ ያልፋል ፣

- አውሮፕላን ዘንግ ጋር ትይዩ X,

X,

- አውሮፕላን ዘንግ ጋር ትይዩ ዋይ,

- አውሮፕላኑ ከአክሱ ጋር ትይዩ አይደለም ዋይ,

- አውሮፕላን ዘንግ ጋር ትይዩ ዜድ,

- አውሮፕላኑ ከአክሱ ጋር ትይዩ አይደለም ዜድ.

እነዚህን መግለጫዎች እራስዎ ያረጋግጡ።

ቀመር (6) በቀላሉ ከቁጥር (5) የተገኘ ነው። በእርግጥ, ነጥቡ በአውሮፕላኑ ላይ ይተኛ ፒ. ከዚያም የእሱ መጋጠሚያዎች እኩልታውን ያሟላሉ, ቀመር (7) ከቁጥር (5) በመቀነስ እና ውሎችን በማቧደን, እኩልታ (6) እናገኛለን. አሁን እንደ ቅደም ተከተላቸው ሁለት ቬክተሮችን እንይ. ከቀመር (6) የእነሱ scalar ምርት ከዜሮ ጋር እኩል ነው. ስለዚህ ቬክተሩ ከቬክተር ጋር ቀጥ ያለ ነው, የመጨረሻው ቬክተር መጀመሪያ እና መጨረሻ በአውሮፕላኑ ውስጥ በሚገኙ ቦታዎች ላይ ይገኛሉ. ፒ. ስለዚህ, ቬክተሩ በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ነው ፒ. ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ርቀት ፒ, የማን አጠቃላይ እኩልታ በቀመርው ይወሰናል የዚህ ቀመር ማረጋገጫ በነጥብ እና በመስመር መካከል ያለው ርቀት ከቀመር ማረጋገጫው ጋር ሙሉ በሙሉ ተመሳሳይ ነው (ምሥል 2 ይመልከቱ)።
ሩዝ. 2. በአውሮፕላን እና ቀጥታ መስመር መካከል ያለውን ርቀት ቀመር ለማውጣት.

በእርግጥ, ርቀቱ መቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን መካከል እኩል ነው

በአውሮፕላኑ ላይ አንድ ነጥብ የት አለ. ከዚህ, እንደ ንግግር ቁጥር 11, ከላይ ያለው ቀመር ተገኝቷል. ሁለት አውሮፕላኖች የተለመዱ ቬክተሮቻቸው ትይዩ ከሆኑ ትይዩ ናቸው. ከዚህ የሁለት አውሮፕላኖች ትይዩነት ሁኔታን እናገኛለን - የአውሮፕላኖች አጠቃላይ እኩልታዎች ብዛት። ሁለት አውሮፕላኖች መደበኛ ቬክተሮቻቸው ቀጥ ያሉ ከሆኑ ቀጥ ያሉ ናቸው ፣ ስለሆነም የሁለት አውሮፕላኖች አጠቃላይ እኩልታዎች የሚታወቁ ከሆነ የሁለቱን አውሮፕላኖች ቀጥተኛነት ሁኔታ እናገኛለን ።

ጥግ ረበሁለት አውሮፕላኖች መካከል በተለመደው ቬክተር መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ነው (ምስል 3 ይመልከቱ) እና ስለዚህ ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል.
በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል መወሰን.

(11)

ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት እና እሱን ለማግኘት ዘዴዎች

ከነጥብ ወደ ርቀት አውሮፕላን- የቋሚው ርዝመት ከአንድ ነጥብ ወደዚህ አውሮፕላን ወርዷል። ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ለማግኘት ቢያንስ ሁለት መንገዶች አሉ፡- ጂኦሜትሪክእና አልጀብራ.

በጂኦሜትሪክ ዘዴበመጀመሪያ ደረጃ ከነጥብ ወደ አውሮፕላን እንዴት እንደሚገኝ መረዳት አለብዎት-ምናልባት ምቹ በሆነ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛል ፣ በአንዳንድ ምቹ (ወይም በጣም ምቹ አይደለም) ትሪያንግል ውስጥ ቁመት ነው ፣ ወይም ምናልባት ይህ perpendicular በአጠቃላይ በአንዳንድ ፒራሚድ ውስጥ ቁመት ሊሆን ይችላል።

ከዚህ የመጀመሪያ እና በጣም ውስብስብ ደረጃ በኋላ, ችግሩ ወደ በርካታ ልዩ የፕላኒሜትሪክ ችግሮች (ምናልባትም በተለያዩ አውሮፕላኖች ውስጥ) ይከፋፈላል.

ከአልጀብራ ዘዴ ጋርከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት ለማግኘት ወደ መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ማስገባት, የነጥቡን እና የአውሮፕላኑን እኩልነት መጋጠሚያዎች መፈለግ እና ከዚያም ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት ቀመር መተግበር ያስፈልግዎታል.

ኦህ-ኦህ-ኦህ-ኦህ ... ጥሩ ነው, እሱ ለራሱ አንድ ዓረፍተ ነገር እያነበበ ያህል ከባድ ነው =) ይሁን እንጂ መዝናናት በኋላ ላይ ይረዳል, በተለይ ከዛሬ ጀምሮ ተገቢውን መለዋወጫዎች ገዛሁ. ስለዚህ ፣ ወደ መጀመሪያው ክፍል እንሂድ ፣ በአንቀጹ መጨረሻ ላይ የደስታ ስሜትን እንደምጠብቅ ተስፋ አደርጋለሁ ።

የሁለት ቀጥተኛ መስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ

ተሰብሳቢዎቹ በዝማሬ ሲዘምሩ ይህ ነው። ሁለት ቀጥተኛ መስመሮች ይችላሉ:

1) ግጥሚያ;

2) ትይዩ መሆን፡;

3) ወይም በአንድ ነጥብ ያቋርጡ፡.

ለዱሚዎች እገዛ እባክዎን የሂሳብ መገናኛውን ምልክት ያስታውሱ ፣ ብዙ ጊዜ ይታያል። ማስታወሻው ማለት መስመሩ በነጥብ ላይ ካለው መስመር ጋር ይገናኛል ማለት ነው.

የሁለት መስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ እንዴት እንደሚወሰን?

በመጀመሪያው ጉዳይ እንጀምር፡-

ሁለት መስመሮች የሚገጣጠሙት ተጓዳኝ ውጤታቸው ተመጣጣኝ ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ነው።፣ ማለትም ፣ እኩልነቶችን የሚያረካ ቁጥር “ላምዳ” አለ።

ቀጥ ያሉ መስመሮችን እናስብ እና ከተዛማጅ መለኪያዎች ሶስት እኩልታዎችን እንፍጠር፡. ከእያንዳንዱ እኩልታ ይከተላል, ስለዚህ, እነዚህ መስመሮች ይጣጣማሉ.

በእርግጥ ፣ ሁሉም የእኩልታዎች ቅንጅቶች ከሆኑ በ -1 ማባዛት (ምልክቶች መለወጥ) ፣ እና ሁሉም የእኩልታ እኩልታዎች በ 2 መቁረጥ, ተመሳሳይ እኩልታ ያገኛሉ.

ሁለተኛው ጉዳይ፣ መስመሮቹ ትይዩ ሲሆኑ፡-

ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው የተለዋዋጮች ውህደታቸው ተመጣጣኝ ከሆነ እና ብቻ፡ ፣ ግን.

እንደ ምሳሌ, ሁለት ቀጥታ መስመሮችን ተመልከት. ለተለዋዋጮች የተዛማጁን ቅንጅቶች ተመጣጣኝነት እንፈትሻለን-

ይሁን እንጂ በጣም ግልጽ ነው.

እና ሦስተኛው ጉዳይ ፣ መስመሮቹ ሲገናኙ

ሁለት መስመሮች የሚገናኙት የተለዋዋጮች ቅንጅታቸው ተመጣጣኝ ካልሆነ ብቻ ነው።ማለትም፣ እኩልነቶቹ የሚሟሉበት የ“ላምዳ” ዋጋ የለም።

ስለዚህ ፣ ለቀጥታ መስመሮች ስርዓት እንፈጥራለን-

ከመጀመሪያው እኩልነት የሚከተለው ነው, እና ከሁለተኛው እኩልታ:, ማለትም ስርዓቱ ወጥነት የለውም(መፍትሄዎች የሉም)። ስለዚህ, የተለዋዋጮች ቅንጅቶች ተመጣጣኝ አይደሉም.

ማጠቃለያ: መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ

በተግባራዊ ችግሮች ውስጥ, አሁን የተብራራውን የመፍትሄ እቅድ መጠቀም ይችላሉ. በነገራችን ላይ በክፍል ውስጥ የተመለከትነውን ቬክተሮችን ለኮላይኔሪቲ ለመፈተሽ አልጎሪዝምን በጣም ያስታውሰዋል. የቬክተሮች ቀጥተኛ (በ) ጥገኛነት ጽንሰ-ሐሳብ. የቬክተሮች መሠረት. ግን የበለጠ የሰለጠነ ማሸጊያ አለ፡-

ምሳሌ 1

የመስመሮቹ አንጻራዊ አቀማመጥ ይወቁ፡-

መፍትሄቀጥታ መስመሮችን በመምራት ጥናት ላይ የተመሠረተ-

ሀ) ከመስመሮቹ ውስጥ የመስመሮቹ አቅጣጫ ጠቋሚዎችን እናገኛለን፡- .

, ይህም ማለት ቬክተሮቹ ኮላይነር አይደሉም እና መስመሮቹ እርስ በርስ ይገናኛሉ.

እንደዚያ ከሆነ፣ በመስቀለኛ መንገድ ላይ ምልክት ያለበትን ድንጋይ አደርጋለሁ፡-

የተቀሩት በድንጋዩ ላይ ዘለው እና በመቀጠል ቀጥለው ወደ ካሽቼ የማይሞት =)

ለ) የመስመሮቹ አቅጣጫ ጠቋሚዎችን ይፈልጉ;

መስመሮቹ አንድ አይነት አቅጣጫ ቬክተር አላቸው, ይህም ማለት ትይዩ ወይም በአጋጣሚ ነው. እዚህ የሚወስነውን መቁጠር አያስፈልግም.

የማይታወቁት ውህደቶች ተመጣጣኝ መሆናቸውን ግልጽ ነው፣ እና .

እኩልነቱ እውነት መሆኑን እንወቅ፡-

ስለዚህም

ሐ) የመስመሮቹ አቅጣጫ ጠቋሚዎችን ይፈልጉ፡-

የእነዚህን ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ያቀፈውን ወሳኙን እናሰላው፡-
, ስለዚህ, አቅጣጫ ቬክተሮች ኮላይነር ናቸው. መስመሮቹ ትይዩ ወይም በአጋጣሚ ናቸው።

የተመጣጠነ ጥምርታ “lambda” ከኮላይኔር አቅጣጫ ቬክተሮች ጥምርታ በቀጥታ ለማየት ቀላል ነው። ሆኖም፣ እሱ በራሱ የእኩልታዎች ቅንጅቶች በኩልም ሊገኝ ይችላል፡- .

አሁን እኩልነት እውነት መሆኑን እንወቅ። ሁለቱም ነፃ ውሎች ዜሮ ናቸው፣ ስለዚህ፡-

የተገኘው እሴት ይህንን እኩልነት ያሟላል (በአጠቃላይ ማንኛውም ቁጥር ያረካዋል)።

ስለዚህ, መስመሮቹ ይጣጣማሉ.

መልስ:

በጣም በቅርብ በሰከንዶች ጊዜ ውስጥ በቃላት የተወያየውን ችግር ለመፍታት ይማራሉ (ወይም ቀደም ብለው ተምረዋል)። በዚህ ረገድ ፣ ለገለልተኛ መፍትሄ ምንም ነገር ለማቅረብ ምንም ፋይዳ አይታየኝም ፣ በጂኦሜትሪክ መሠረት ላይ ሌላ አስፈላጊ ጡብ መጣል የተሻለ ነው ።

ከተሰጠው ጋር ትይዩ መስመር እንዴት መገንባት ይቻላል?

ይህንን በጣም ቀላል ተግባር ካለማወቅ፣ ዘራፊው ናይቲንጌል ክፉኛ ይቀጣል።

ምሳሌ 2

ቀጥታ መስመር የሚሰጠው በቀመር ነው። በነጥቡ ውስጥ ለሚያልፍ ትይዩ መስመር እኩልታ ይፃፉ።

መፍትሄያልታወቀ መስመርን በደብዳቤው እንጥቀስ። ሁኔታው ስለ እሷ ምን ይላል? ቀጥተኛው መስመር በነጥቡ ውስጥ ያልፋል. እና መስመሮቹ ትይዩ ከሆኑ የቀጥታ መስመር "tse" አቅጣጫ ቬክተር ቀጥተኛውን መስመር "de" ለመሥራትም ተስማሚ መሆኑን ግልጽ ነው.

የአቅጣጫውን ቬክተር ከሒሳብ ውስጥ እናወጣለን፡-

መልስ:

ምሳሌው ጂኦሜትሪ ቀላል ይመስላል

የትንታኔ ሙከራ የሚከተሉትን ደረጃዎች ያካትታል:

1) መስመሮቹ ተመሳሳይ አቅጣጫ ቬክተር እንዳላቸው እናረጋግጣለን (የመስመሩ እኩልታ በትክክል ካልተቃለለ, ከዚያም ቬክተሮች ኮሊነር ይሆናሉ).

2) ነጥቡ የተገኘውን እኩልነት የሚያረካ መሆኑን ያረጋግጡ።

በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች, የትንታኔ ምርመራ በቀላሉ በአፍ ሊከናወን ይችላል. ሁለቱን እኩልታዎች ተመልከት, እና ብዙዎቻችሁ ያለምንም ስዕል የመስመሮችን ትይዩነት በፍጥነት ይወስናሉ.

ዛሬ ለገለልተኛ መፍትሄዎች ምሳሌዎች ፈጠራዎች ይሆናሉ. ምክንያቱም አሁንም ከባባ ያጋ ጋር መወዳደር ስለሚኖርብህ፣ እና እሷ፣ ታውቃለህ፣ ሁሉንም አይነት እንቆቅልሾችን የምትወድ ነች።

ምሳሌ 3

ከሆነ ከመስመሩ ጋር ትይዩ በሆነ ነጥብ ውስጥ ለሚያልፍ መስመር እኩልታ ይጻፉ

እሱን ለመፍታት ምክንያታዊ እና ምክንያታዊ ያልሆነ መንገድ አለ። በጣም አጭሩ መንገድ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.

በትይዩ መስመሮች ትንሽ ሠርተናል እና በኋላ ወደ እነርሱ እንመለሳለን. የመገጣጠም መስመሮች ጉዳይ ብዙም ፍላጎት የለውም፣ስለዚህ ከት/ቤት ሥርዓተ-ትምህርት ለእርስዎ በደንብ የሚያውቁትን ችግር እናስብ፡-

የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ እንዴት ማግኘት ይቻላል?

ቀጥተኛ ከሆነ ነጥብ ላይ መቆራረጥ ፣ ከዚያ መጋጠሚያዎቹ መፍትሄ ናቸው። የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች

የመስመሮች መገናኛ ነጥብ እንዴት ማግኘት ይቻላል? ስርዓቱን ይፍቱ.

ይሄውሎት ከሁለት የማይታወቁ ጋር የሁለት መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ጂኦሜትሪክ ትርጉም- እነዚህ በአውሮፕላን ላይ ሁለት የተጠላለፉ (ብዙ ጊዜ) መስመሮች ናቸው።

ምሳሌ 4

የመስመሮች መገናኛ ነጥብ ይፈልጉ

መፍትሄ: ለመፍታት ሁለት መንገዶች አሉ - ግራፊክ እና ትንታኔ.

የግራፊክ ዘዴው የተሰጡትን መስመሮች በቀላሉ መሳል እና የመገናኛ ነጥቡን በቀጥታ ከሥዕሉ ላይ መፈለግ ነው-

ነጥባችን ይህ ነው፡. ለመፈተሽ ፣ መጋጠሚያዎቹን በእያንዳንዱ የመስመሩ እኩልታ ውስጥ መተካት አለብዎት ፣ እነሱ እዚያ እና እዚያ የሚስማሙ መሆን አለባቸው። በሌላ አነጋገር የአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች ለስርዓቱ መፍትሄ ናቸው. በመሠረቱ, ግራፊክ መፍትሄን ተመልክተናል የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችበሁለት እኩልታዎች, ሁለት የማይታወቁ.

የግራፊክ ዘዴው እርግጥ ነው, መጥፎ አይደለም, ነገር ግን የሚታዩ ጉዳቶች አሉ. አይ፣ ነጥቡ የሰባተኛ ክፍል ተማሪዎች በዚህ መንገድ የሚወስኑት አይደለም፣ ነጥቡ ትክክለኛ እና ትክክለኛ ስዕል ለመፍጠር ጊዜ የሚወስድ መሆኑ ነው። በተጨማሪም, አንዳንድ ቀጥታ መስመሮችን ለመሥራት ቀላል አይደሉም, እና የመስቀለኛ መንገዱ እራሱ ከማስታወሻ ደብተር ውጭ በሠላሳኛው ግዛት ውስጥ ሊገኝ ይችላል.

ስለዚህ, የትንታኔ ዘዴን በመጠቀም የመገናኛ ነጥብን መፈለግ የበለጠ ጠቃሚ ነው. ስርዓቱን እንፍታው፡-

ስርዓቱን ለመፍታት, የእኩልታዎችን የቃል-ጊዜ የመደመር ዘዴ ጥቅም ላይ ውሏል. ተዛማጅ ክህሎቶችን ለማዳበር, ትምህርት ይውሰዱ የእኩልታዎች ስርዓት እንዴት እንደሚፈታ?

መልስ:

ቼኩ ቀላል ነው - የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች እያንዳንዱን የስርዓቱን እኩልነት ማሟላት አለባቸው.

ምሳሌ 5

የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ ከተጣመሩ ይፈልጉ.

ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። ተግባሩን በበርካታ ደረጃዎች ለመከፋፈል ምቹ ነው. ስለ ሁኔታው ​​ትንተና አስፈላጊ መሆኑን ይጠቁማል-
1) የቀጥታ መስመርን እኩልነት ይፃፉ.
2) የቀጥታ መስመርን እኩልነት ይፃፉ.
3) የመስመሮቹ አንጻራዊ አቀማመጥ ይወቁ.
4) መስመሮቹ እርስ በርስ ከተገናኙ, ከዚያም የመገናኛውን ነጥብ ያግኙ.

የድርጊት አልጎሪዝም እድገት ለብዙ የጂኦሜትሪክ ችግሮች የተለመደ ነው, እና በዚህ ላይ ደጋግሜ አተኩራለሁ.

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ፡-

ወደ ትምህርቱ ሁለተኛ ክፍል ከመድረሳችን በፊት አንድ ጥንድ ጫማ እንኳን አላረጀም ነበር፡-

ቀጥ ያለ መስመሮች. ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት።
ቀጥታ መስመሮች መካከል አንግል

በተለመደው እና በጣም አስፈላጊ በሆነ ተግባር እንጀምር. በመጀመሪያው ክፍል ፣ ከዚህ ጋር ትይዩ የሆነ ቀጥተኛ መስመር እንዴት እንደሚገነባ ተምረናል ፣ እና አሁን በዶሮ እግሮች ላይ ያለው ጎጆ ወደ 90 ዲግሪ ይለወጣል ።

ከተሰጠው ጋር ቀጥ ያለ መስመር እንዴት መገንባት ይቻላል?

ምሳሌ 6

ቀጥታ መስመር የሚሰጠው በቀመር ነው። በነጥቡ ውስጥ በሚያልፈው መስመር ላይ አንድ እኩልታ ይፃፉ።

መፍትሄበሁኔታው ይታወቃል። የመስመሩን መሪ ቬክተር ማግኘት ጥሩ ነው። መስመሮቹ ቀጥ ያሉ ስለሆኑ ዘዴው ቀላል ነው-

ከሂሳብ ቀመር መደበኛውን ቬክተር "እናስወግዳለን": ይህም ቀጥተኛ መስመርን የሚመራ ቬክተር ይሆናል.

ነጥብ እና አቅጣጫ ቬክተር በመጠቀም የቀጥተኛ መስመርን እኩልታ እንፃፍ፡-

መልስ:

የጂኦሜትሪክ ንድፍን እናስፋፋው፡-

እም... ብርቱካንማ ሰማይ፣ ብርቱካንማ ባህር፣ ብርቱካን ግመል።

የመፍትሄው ትንተናዊ ማረጋገጫ;

1) የአቅጣጫ ቬክተሮችን ከእኩልታዎች እናወጣለን እና በእርዳታ የቬክተሮች scalar ምርትመስመሮቹ በትክክል ቀጥ ያሉ ናቸው ወደሚል መደምደሚያ ደርሰናል፡.

በነገራችን ላይ የተለመዱ ቬክተሮችን መጠቀም ይችላሉ, እንዲያውም ቀላል ነው.

2) ነጥቡ የተገኘውን እኩልነት የሚያረካ መሆኑን ያረጋግጡ .

ፈተናው, እንደገና, በቃል ለማከናወን ቀላል ነው.

ምሳሌ 7

እኩልታው የሚታወቅ ከሆነ የቋሚ መስመሮችን መገናኛ ነጥብ ያግኙ እና ጊዜ.

ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። በችግሩ ውስጥ በርካታ ድርጊቶች አሉ, ስለዚህ የመፍትሄውን ነጥብ በነጥብ ለማዘጋጀት አመቺ ነው.

አስደሳች ጉዞአችን ይቀጥላል፡-

ከነጥብ ወደ መስመር ርቀት

ከፊት ለፊታችን ቀጥ ያለ የወንዝ መስመር አለን እና ተግባራችን በአጭሩ መንገድ መድረስ ነው። ምንም እንቅፋቶች የሉም, እና በጣም ጥሩው መንገድ በቋሚው ላይ መንቀሳቀስ ይሆናል. ያም ማለት ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት የቋሚው ክፍል ርዝመት ነው.

በጂኦሜትሪ ውስጥ ያለው ርቀት በተለምዶ በግሪክ ፊደል "rho" ይገለጻል, ለምሳሌ: - ከ "em" ነጥብ እስከ ቀጥታ መስመር "de" ያለው ርቀት.

ከነጥብ ወደ መስመር ርቀት በቀመርው ተገልጿል

ምሳሌ 8

ከአንድ ነጥብ እስከ መስመር ያለውን ርቀት ይፈልጉ

መፍትሄ: ማድረግ ያለብዎት ነገር ቢኖር ቁጥሮቹን ወደ ቀመሩ በጥንቃቄ መተካት እና ስሌቶችን ማካሄድ ነው-

መልስ:

ስዕሉን እንሥራ-

ከነጥቡ ወደ መስመር የተገኘው ርቀት በትክክል የቀይ ክፍል ርዝመት ነው. በ 1 ዩኒት ሚዛን ላይ በቼክ ወረቀት ላይ ስእል ካዘጋጁ. = 1 ሴ.ሜ (2 ሴሎች), ከዚያም ርቀቱ በተለመደው ገዢ ሊለካ ይችላል.

በተመሳሳዩ ሥዕል ላይ የተመሠረተ ሌላ ሥራን እንመልከት-

ስራው ከቀጥታ መስመር አንጻር ካለው ነጥብ ጋር ተመጣጣኝ የሆነ የነጥብ መጋጠሚያዎችን ማግኘት ነው . እርምጃዎቹን እራስዎ እንዲያደርጉ ሀሳብ አቀርባለሁ ፣ ግን የመፍትሄውን ስልተ ቀመር ከመካከለኛ ውጤቶች ጋር እገልጻለሁ ።

1) ከመስመሩ ጋር ቀጥ ያለ መስመር ይፈልጉ።

2) የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ ይፈልጉ; .

ሁለቱም ድርጊቶች በዚህ ትምህርት ውስጥ በዝርዝር ተብራርተዋል.

3) ነጥቡ የክፍሉ መካከለኛ ነጥብ ነው. የመካከለኛውን እና የአንደኛውን ጫፍ መጋጠሚያዎች እናውቃለን. በ የአንድ ክፍል መካከለኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ቀመሮችእናገኛለን ።

ርቀቱም 2.2 አሃዶች መሆኑን ማረጋገጥ ጥሩ ሀሳብ ነው።

እዚህ በስሌቶች ውስጥ ችግሮች ሊፈጠሩ ይችላሉ, ነገር ግን ማይክሮካልኩሌተር በማማው ውስጥ ትልቅ እገዛ ነው, ይህም ተራ ክፍልፋዮችን ለማስላት ያስችልዎታል. ብዙ ጊዜ ምክር ሰጥቻችኋለሁ እና እንደገና እመክርዎታለሁ።

በሁለት ትይዩ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት እንዴት ማግኘት ይቻላል?

ምሳሌ 9

በሁለት ትይዩ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ

ይህ በራስዎ ለመወሰን ሌላ ምሳሌ ነው. ትንሽ ፍንጭ እሰጥዎታለሁ: ይህንን ለመፍታት ማለቂያ የሌላቸው ብዙ መንገዶች አሉ. በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ማብራራት, ነገር ግን እራስዎን ለመገመት መሞከር የተሻለ ነው, ብልህነትዎ በደንብ የተገነባ ይመስለኛል.

በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል አንግል

እያንዳንዱ ጥግ ጃምብ ነው፡-


በጂኦሜትሪ ውስጥ, በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ወደ ትንሹ አንግል ይወሰዳል, ከእሱም ወዲያውኑ መደበቅ አይቻልም. በሥዕሉ ላይ, በቀይ ቅስት የተጠቆመው አንግል በተቆራረጡ መስመሮች መካከል ያለው አንግል አይቆጠርም. እና የእሱ "አረንጓዴ" ጎረቤት ወይም ተቃራኒ ተኮር"raspberry" ጥግ.

መስመሮቹ ቀጥ ያሉ ከሆኑ ከ 4 ቱ ማዕዘኖች መካከል ማንኛቸውም በመካከላቸው እንደ አንግል ሊወሰዱ ይችላሉ።

ማዕዘኖቹ እንዴት ይለያሉ? አቀማመጥ. በመጀመሪያ, አንግል "የተሸበሸበ"በት አቅጣጫ በመሠረቱ አስፈላጊ ነው. በሁለተኛ ደረጃ, አሉታዊ ተኮር አንግል በመቀነስ ምልክት ይፃፋል, ለምሳሌ ከሆነ.

ለምን ይህን አልኩህ? በተለመደው የማዕዘን ፅንሰ-ሀሳብ የምናልፈው ይመስላል። እውነታው ግን ማዕዘኖችን የምናገኝባቸው ቀመሮች በቀላሉ አሉታዊ ውጤት ሊያስከትሉ ይችላሉ, እና ይህ ሊያስገርምዎ አይገባም. የመቀነስ ምልክት ያለው አንግል የከፋ አይደለም፣ እና በጣም የተለየ የጂኦሜትሪክ ትርጉም አለው። በስዕሉ ውስጥ, ለአሉታዊ ማዕዘን, አቅጣጫውን በቀስት (በሰዓት አቅጣጫ) ማመልከትዎን ያረጋግጡ.

በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል እንዴት ማግኘት ይቻላል?ሁለት የሥራ ቀመሮች አሉ-

ምሳሌ 10

በመስመሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ

መፍትሄእና ዘዴ አንድ

በጥቅል መልኩ በቀመር የተገለጹ ሁለት ቀጥተኛ መስመሮችን እንመልከት፡-

ቀጥተኛ ከሆነ ቀጥ ያለ አይደለም፣ ያ ተኮርበመካከላቸው ያለው አንግል ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል-

ለክፍለ-ነገር ትኩረት እንስጥ - ይህ በትክክል ነው scalar ምርትቀጥታ መስመሮችን መምራት;

ከሆነ፣ የቀመርው መለያ ዜሮ ይሆናል፣ እና ቬክተሮቹ ኦርቶጎን ይሆናሉ እና መስመሮቹ ቀጥ ያሉ ይሆናሉ። ለዚያም ነው በአጻጻፉ ውስጥ ቀጥተኛ መስመሮች ቀጥተኛ አለመሆንን በተመለከተ ቦታ ማስያዝ የተደረገው።

ከላይ በተጠቀሰው መሰረት, መፍትሄውን በሁለት ደረጃዎች መደበኛ ለማድረግ ምቹ ነው.

1) የመስመሮቹ አቅጣጫ ቬክተሮች ስካላር ምርትን እናሰላ።
, ይህም ማለት መስመሮቹ ቀጥ ያሉ አይደሉም.

2) ቀመሩን በመጠቀም ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ፡-

የተገላቢጦሹን ተግባር በመጠቀም አንግል እራሱን ማግኘት ቀላል ነው። በዚህ ሁኔታ፣ የአርኬታንጀንት እንግዳነት እንጠቀማለን (ተመልከት. የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ግራፎች እና ባህሪያት):

መልስ:

በመልስዎ ውስጥ፣ ካልኩሌተር በመጠቀም የሚሰላውን ትክክለኛውን ዋጋ፣ እንዲሁም ግምታዊ እሴት (በተለይም በሁለቱም ዲግሪዎች እና ራዲያን) እንጠቁማለን።

ደህና፣ ሲቀነስ፣ ሲቀነስ፣ ምንም ትልቅ ነገር የለም። የጂኦሜትሪክ ገለጻ ይኸውና፡-

አንግል ወደ አሉታዊ አቅጣጫ መቀየሩ ምንም አያስደንቅም ፣ ምክንያቱም በችግር መግለጫው ውስጥ የመጀመሪያው ቁጥር ቀጥተኛ መስመር ነው እና የማዕዘን “መፈታቱ” በትክክል የጀመረው።

አወንታዊ አንግል ለማግኘት በእውነት ከፈለጉ ፣ መስመሮቹን መለዋወጥ ያስፈልግዎታል ፣ ማለትም ፣ ከሁለተኛው እኩልዮሽ ውህዶችን ይውሰዱ። , እና ከመጀመሪያዎቹ እኩልታዎች (coefficients) ይውሰዱ. በአጭሩ, በቀጥታ መጀመር ያስፈልግዎታል .

የመጀመሪያ ደረጃ

መጋጠሚያዎች እና ቬክተሮች. አጠቃላይ መመሪያ (2019)

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ብዙ የጂኦሜትሪ ችግሮችን ወደ ቀላል አርቲሜቲክ እንዲቀንሱ የሚያስችልዎትን አንድ "አስማት ዋንድ" መወያየት እንጀምራለን. ይህ "ዱላ" ህይወትዎን በጣም ቀላል ያደርገዋል, በተለይም የቦታ ምስሎችን, ክፍሎችን, ወዘተ መገንባት ላይ እርግጠኛ ካልሆኑ ይህ ሁሉ የተወሰነ ምናባዊ እና ተግባራዊ ክህሎቶችን ይጠይቃል. እዚህ ልንመረምረው የምንጀምረው ዘዴ ከሁሉም ዓይነት የጂኦሜትሪክ ግንባታዎች እና አመክንዮዎች ሙሉ በሙሉ ለማጠቃለል ያስችልዎታል. ዘዴው ይባላል "የማስተባበር ዘዴ". በዚህ ርዕስ ውስጥ የሚከተሉትን ጥያቄዎች እንመለከታለን.

1. አውሮፕላን አስተባባሪ
2. በአውሮፕላኑ ላይ ነጥቦች እና ቬክተሮች
3. ከሁለት ነጥቦች ቬክተር መገንባት
4. የቬክተር ርዝመት (በሁለት ነጥብ መካከል ያለው ርቀት)
5. የክፍሉ መካከለኛ መጋጠሚያዎች
6. የቬክተሮች ነጥብ ውጤት
7. በሁለት ቬክተሮች መካከል አንግል

የማስተባበሪያ ዘዴው ለምን ተብሎ እንደተጠራ አስቀድመው የገመቱት ይመስለኛል? ልክ ነው፣ ይህን ስም ያገኘው በጂኦሜትሪክ ነገሮች ሳይሆን በቁጥር ባህሪያቸው (መጋጠሚያዎች) ስለሚሰራ ነው። ከጂኦሜትሪ ወደ አልጀብራ እንድንሸጋገር የሚያስችለን ትራንስፎርሜሽኑ ራሱ የተቀናጀ ሥርዓትን ማስተዋወቅን ያካትታል። የመጀመሪያው አኃዝ ጠፍጣፋ ከሆነ፣ መጋጠሚያዎቹ ባለ ሁለት ገጽታ ናቸው፣ እና ምስሉ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ከሆነ፣ መጋጠሚያዎቹ ሶስት አቅጣጫዊ ናቸው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ባለ ሁለት ገጽታ ጉዳይን ብቻ እንመለከታለን. እና የአንቀጹ ዋና ግብ የማስተባበር ዘዴን አንዳንድ መሰረታዊ ቴክኒኮችን እንዴት እንደሚጠቀሙ ማስተማር ነው (አንዳንድ ጊዜ በፕላኒሜትሪ ላይ ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ በተዋሃዱ የስቴት ፈተና ክፍል B ውስጥ ጠቃሚ ይሆናሉ)። በዚህ ርዕስ ላይ የሚቀጥሉት ሁለት ክፍሎች ለችግሮች መፍትሄ C2 (የስቲሪዮሜትሪ ችግር) ዘዴዎች ውይይት ያደሩ ናቸው.

የማስተባበር ዘዴን መወያየት መጀመር የት ምክንያታዊ ይሆናል? ምናልባት ከተቀናጀ ስርዓት ጽንሰ-ሐሳብ ሊሆን ይችላል. ለመጀመሪያ ጊዜ እንዳገኛት አስታውስ. ለእኔ የሚመስለኝ ​​በ 7 ኛ ክፍል ውስጥ ፣ ስለ መስመራዊ ተግባር መኖር ሲያውቁ ፣ ለምሳሌ። ነጥብ በነጥብ እንደገነባህ ላስታውስህ። ያስታዉሳሉ? የዘፈቀደ ቁጥር መርጠዋል፣ ወደ ቀመሩ ተካው እና በዚያ መንገድ አስሉት። ለምሳሌ፣ ከሆነ፣ ከዚያ፣ ከሆነ፣ ከዚያ ወዘተ. በመጨረሻ ምን አገኛችሁ? እና ከመጋጠሚያዎች ጋር ነጥቦችን ተቀብለዋል: እና. በመቀጠል “መስቀል” (የአስተባባሪ ስርዓት) ሳሉ ፣ በላዩ ላይ ሚዛን መርጠዋል (ምን ያህል ሴሎች እንደ አንድ ክፍል ይኖሩዎታል) እና ያገኙትን ነጥቦች በላዩ ላይ ምልክት ያድርጉበት ፣ ከዚያ በቀጥታ መስመር ያገናኙት ፣ ውጤቱም መስመር የተግባሩ ግራፍ ነው.

በጥቂቱ በዝርዝር ሊገለጽልዎ የሚገቡ ጥቂት ነጥቦች እዚህ አሉ።

1. ለአመቺነት ምክንያቶች አንድ ነጠላ ክፍልን ይመርጣሉ, ስለዚህ ሁሉም ነገር በስዕሉ ውስጥ በሚያምር እና በተመጣጣኝ ሁኔታ ይጣጣማል.

2. ዘንጉ ከግራ ወደ ቀኝ, እና ዘንግ ከታች ወደ ላይ እንደሚሄድ ተቀባይነት አለው

3. እነሱ በትክክለኛ ማዕዘኖች ይገናኛሉ, እና የመገናኛቸው ነጥብ መነሻው ይባላል. በደብዳቤ ይገለጻል።

4. የነጥብ መጋጠሚያዎችን በመጻፍ ለምሳሌ በግራ በኩል በቅንፍ ውስጥ የነጥቡ መጋጠሚያ በዘንጉ በኩል እና በቀኝ በኩል, በዘንግ በኩል. በተለይም በቃ ነጥብ ላይ ማለት ነው

5. በመጋጠሚያው ዘንግ ላይ ማንኛውንም ነጥብ ለመለየት, መጋጠሚያዎቹን (2 ቁጥሮች) ማመልከት ያስፈልግዎታል.

6. በዘንጉ ላይ ለሚተኛ ለማንኛውም ነጥብ,

7. በዘንጉ ላይ ለሚተኛ ማንኛውም ነጥብ,

8. ዘንግ x-ዘንግ ተብሎ ይጠራል

9. ዘንግ y-ዘንግ ተብሎ ይጠራል

አሁን ቀጣዩን እርምጃ እንውሰድ፡ ሁለት ነጥቦችን ምልክት አድርግ። እነዚህን ሁለት ነጥቦች ከክፍል ጋር እናያይዛቸው። እና ከነጥብ ወደ ነጥብ አንድ ክፍል እየሳበን ያህል ቀስቱን እናስቀምጠዋለን: ማለትም, ክፍላችንን እንዲመራ እናደርጋለን!

ሌላ የአቅጣጫ ክፍል ምን ተብሎ እንደሚጠራ አስታውስ? ልክ ነው፣ ቬክተር ይባላል!

ስለዚህ ነጥብን ከነጥብ ጋር ካገናኘን ፣ እና መጀመሪያው ነጥብ A ይሆናል ፣ እና መጨረሻው ነጥብ B ይሆናል ፣ከዚያም ቬክተር እናገኛለን. እርስዎም ይህንን ግንባታ በ8ኛ ክፍል ሠርተሃል፣ አስታውስ?

ቬክተሮች ልክ እንደ ነጥቦች በሁለት ቁጥሮች ሊገለጹ ይችላሉ እነዚህ ቁጥሮች የቬክተር መጋጠሚያዎች ይባላሉ. ጥያቄ፡- አስተባባሪዎቹን ለማግኘት የቬክተርን መጀመሪያ እና መጨረሻ መጋጠሚያዎችን ማወቁ በቂ ነው ብለው ያስባሉ? አዎ ሆኖ ተገኘ! እና ይህ በጣም በቀላል ይከናወናል-

ስለዚህ በቬክተር ውስጥ ነጥቡ መጀመሪያ እና ነጥቡ መጨረሻ ስለሆነ ቬክተሩ የሚከተሉት መጋጠሚያዎች አሉት።

ለምሳሌ, ከሆነ, ከዚያም የቬክተሩ መጋጠሚያዎች

አሁን ተቃራኒውን እናድርግ, የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ይፈልጉ. ለዚህ ምን መለወጥ አለብን? አዎን, መጀመሪያ እና መጨረሻውን መለዋወጥ ያስፈልግዎታል: አሁን የቬክተሩ መጀመሪያ ነጥቡ ላይ ይሆናል, እና መጨረሻው ነጥቡ ላይ ይሆናል. ከዚያም፡-

በጥንቃቄ ይመልከቱ፣ በቬክተር መካከል ያለው ልዩነት ምንድን ነው? ልዩነታቸው በመጋጠሚያዎች ውስጥ ያሉት ምልክቶች ብቻ ናቸው. ተቃራኒዎች ናቸው። ይህ እውነታ በተለምዶ እንዲህ ተጽፏል፡-

አንዳንድ ጊዜ የትኛው ነጥብ የቬክተር መጀመሪያ እንደሆነ እና የትኛው መጨረሻ እንደሆነ ተለይቶ ካልተገለጸ ቬክተሮች የሚገለጹት በሁለት ካፒታል ፊደላት ሳይሆን በአንድ ትንሽ ፊደል ነው ለምሳሌ፡, ወዘተ.

አሁን ትንሽ ልምምድእራስዎን እና የሚከተሉትን የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ያግኙ:

ምርመራ፡-

አሁን ትንሽ የበለጠ ከባድ ችግርን መፍታት፡-

በአንድ ነጥብ ጅምር ያለው ቬክተር አብሮ ወይም-ዲ-ና-አንተ አለው። የ abs-cis-su ነጥቦችን ያግኙ።

ሁሉም አንድ አይነት ፕሮሴክ ነው፡ የነጥቡ መጋጠሚያዎች ይሁኑ። ከዚያም

የቬክተር መጋጠሚያዎች ምንድን ናቸው በሚለው ፍቺ ላይ በመመስረት ስርዓቱን አጠናቅሬያለሁ። ከዚያም ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት. በ abcissa ላይ ፍላጎት አለን. ከዚያም

መልስ፡-

በቬክተሮች ሌላ ምን ማድረግ ይችላሉ? አዎ ፣ ሁሉም ነገር ማለት ይቻላል ከተራ ቁጥሮች ጋር ተመሳሳይ ነው (መከፋፈል ካልቻሉ በስተቀር ፣ ግን በሁለት መንገድ ማባዛት ይችላሉ ፣ አንደኛው ትንሽ ቆይቶ እዚህ እንነጋገራለን)

1. ቬክተሮች እርስ በርስ ሊጨመሩ ይችላሉ
2. ቬክተሮች እርስ በእርሳቸው ሊቀነሱ ይችላሉ
3. ቬክተሮች በዘፈቀደ ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ሊባዙ (ወይም ሊከፋፈሉ ይችላሉ)
4. ቬክተሮች እርስ በርስ ሊባዙ ይችላሉ

እነዚህ ሁሉ ክዋኔዎች በጣም ግልጽ የሆነ የጂኦሜትሪክ ውክልና አላቸው. ለምሳሌ፣ ትሪያንግል (ወይም ትይዩ) የመደመር እና የመቀነስ ህግ፡-

አንድ ቬክተር በቁጥር ሲባዛ ወይም ሲካፈል አቅጣጫውን ይዘረጋል ወይም ይዋዋል ወይም ይለውጣል፡-

ሆኖም ግን, እዚህ መጋጠሚያዎች ላይ ምን እንደሚፈጠር ለሚለው ጥያቄ ፍላጎት እንሆናለን.

1. ሁለት ቬክተሮችን ስንጨምር (ሲቀንስ) መጋጠሚያዎቻቸውን በንጥረ ነገር እንጨምራለን (እንቀንሳለን)። ያውና:

2. ቬክተርን በቁጥር ሲባዙ (ሲካፍሉ) ሁሉም መጋጠሚያዎቹ በዚህ ቁጥር ይባዛሉ (የተከፋፈሉ)።

ለምሳሌ:

· የትብብር ወይም ዲ-ናት ክፍለ ዘመን-ወደ-ራ መጠን ያግኙ።

በመጀመሪያ የእያንዳንዱን ቬክተሮች መጋጠሚያዎች እንፈልግ. ሁለቱም መነሻቸው አንድ ነው - መነሻ ነጥብ። መጨረሻቸው የተለያየ ነው። ከዚያም . አሁን የቬክተሩን መጋጠሚያዎች እናሰላለን ከዚያም የተገኘው የቬክተር መጋጠሚያዎች ድምር እኩል ነው.

መልስ፡-

አሁን የሚከተለውን ችግር እራስዎ ይፍቱ።

· የቬክተር መጋጠሚያዎችን ድምር ያግኙ

እኛ እንፈትሻለን፡-

እስቲ አሁን የሚከተለውን ችግር እናስብ: በአስተባባሪ አውሮፕላን ላይ ሁለት ነጥቦች አሉን. በመካከላቸው ያለውን ርቀት እንዴት ማግኘት ይቻላል? የመጀመሪያው ነጥብ ይሁን, እና ሁለተኛው. በመካከላቸው ያለውን ርቀት እንጠቁም. ግልፅ ለማድረግ የሚከተለውን ስዕል እንስራ።

አኔ ያደረግኩት? በመጀመሪያ ፣ ነጥቦቹን አገናኘሁ እና እንዲሁም ፣ ከነጥቡ ወደ ዘንግ ትይዩ መስመር አወጣሁ ፣ እና ከነጥቡ ወደ ዘንግ ትይዩ መስመር አወጣሁ። አንድ ነጥብ ላይ ተገናኝተው አስደናቂ ምስል ፈጠሩ? ስለሷ ምን የተለየ ነገር አለች? አዎ፣ አንተ እና እኔ ስለ ትክክለኛው ትሪያንግል ሁሉንም ነገር እናውቃለን። ደህና, የፓይታጎሪያን ቲዎሬም በእርግጠኝነት. አስፈላጊው ክፍል የዚህ ትሪያንግል hypotenuse ነው, እና ክፍሎቹ እግሮች ናቸው. የነጥቡ መጋጠሚያዎች ምንድን ናቸው? አዎን, ከሥዕሉ ላይ በቀላሉ ማግኘት ቀላል ነው: ክፍሎቹ ከመጥረቢያዎቹ ጋር ትይዩ ስለሆኑ እና እንደ ቅደም ተከተላቸው, ርዝመታቸው በቀላሉ ማግኘት ቀላል ነው: የክፍሎቹን ርዝማኔዎች በቅደም ተከተል ካመለከትን, ከዚያም

አሁን የፓይታጎሪያን ቲዎረምን እንጠቀም። የእግሮቹን ርዝመት እናውቃለን ፣ hypotenuse ን እናገኛለን-

ስለዚህ, በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት ከመጋጠሚያዎች የካሬው ልዩነት ድምር ስር ነው. ወይም - በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት እነሱን የሚያገናኘው ክፍል ርዝመት ነው. በነጥቦች መካከል ያለው ርቀት በአቅጣጫው ላይ የተመካ አለመሆኑን ለመረዳት ቀላል ነው. ከዚያም፡-

ከዚህ በመነሳት ሶስት መደምደሚያዎችን እናቀርባለን.

በሁለት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ስለማስላት ትንሽ እንለማመድ፡-

ለምሳሌ, ከሆነ, ከዚያም መካከል ያለው ርቀት እና እኩል ነው

ወይም በሌላ መንገድ እንሂድ፡ የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ፈልግ

እና የቬክተሩን ርዝመት ይፈልጉ:

እንደምታየው, ተመሳሳይ ነገር ነው!

አሁን እራስዎ ትንሽ ይለማመዱ:

ተግባር፡ በተጠቀሱት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ፡-

እኛ እንፈትሻለን፡-

ተመሳሳዩን ቀመር በመጠቀም ጥቂት ተጨማሪ ችግሮች እዚህ አሉ ፣ ምንም እንኳን ትንሽ የተለየ ቢመስሉም።

1. የዐይን ሽፋኑን ርዝመት ካሬውን ያግኙ.

2. የዐይን ሽፋኑን ርዝመት ካሬውን ያግኙ

ያለችግር ያጋጠሟቸው ይመስለኛል? እኛ እንፈትሻለን፡-

1. እና ይህ በትኩረት ነው) ቀደም ሲል የቬክተሮች መጋጠሚያዎችን አግኝተናል. ከዚያም ቬክተሩ መጋጠሚያዎች አሉት. የርዝመቱ ካሬ ከዚህ ጋር እኩል ይሆናል፡-

2. የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ያግኙ

ከዚያም የርዝመቱ ካሬ ነው

ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም, ትክክል? ቀላል ሂሳብ፣ ምንም ተጨማሪ ነገር የለም።

የሚከተሉት ችግሮች በማያሻማ ሁኔታ ሊመደቡ አይችሉም፤ እነሱ ስለ አጠቃላይ እውቀት እና ቀላል ስዕሎችን የመሳል ችሎታ ላይ ናቸው።

1. ነጥቡን በማገናኘት, ከአብሲሳ ዘንግ ጋር, ከተቆረጠው የማዕዘን ኃጢያትን ያግኙ.

እና

ወደዚህ እንዴት እንቀጥላለን? በመካከል እና በዘንጉ መካከል ያለውን አንግል ኃጢአት መፈለግ አለብን። ሳይን የት መፈለግ እንችላለን? ትክክል ነው፣ በቀኝ ሶስት ማዕዘን ውስጥ። ስለዚህ ምን ማድረግ አለብን? ይህንን ሶስት ማዕዘን ይገንቡ!

የነጥቡ መጋጠሚያዎች እና, ከዚያም ክፍሉ እኩል ነው, እና ክፍል. የማዕዘን ኃጢያትን መፈለግ አለብን. ላስታውሳችሁ ሳይን የተቃራኒው ጎን ከ hypotenuse ጋር ያለው ሬሾ ነው, እንግዲህ

ምን ቀረን? hypotenuse ን ያግኙ። ይህንን በሁለት መንገድ ማድረግ ይችላሉ-የፓይታጎሪያን ቲዎረምን በመጠቀም (እግሮቹ ይታወቃሉ!) ወይም በሁለት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ቀመር በመጠቀም (በእውነቱ, ከመጀመሪያው ዘዴ ጋር ተመሳሳይ ነው!). በሁለተኛው መንገድ እሄዳለሁ-

መልስ፡-

የሚቀጥለው ተግባር ለእርስዎ የበለጠ ቀላል ይመስላል። በነጥቡ መጋጠሚያዎች ላይ ትገኛለች።

ተግባር 2.ከነጥቡ ፐር-ፔን-ዲ-ኩ-ላይር ወደ ab-ciss ዘንግ ላይ ይወርዳል. ናይ-ዲ-ቴ አብ-ሲስ-ሱ ኦስ-ኖ-ቫ-ኒያ በፔን-ዲ-ኩ-ላ-ራ።

ስዕል እንስራ፡-

የፔንዲኩላር መሠረት የ x-ዘንግ (ዘንግ) የሚያቋርጥበት ነጥብ ነው, ለእኔ ይህ ነጥብ ነው. አሃዙ እንደሚያሳየው መጋጠሚያዎች አሉት፡. በ abscissa ላይ ፍላጎት አለን - ማለትም ፣ “x” ክፍል። እኩል ነች።

መልስ፡- .

ተግባር 3.በቀድሞው ችግር ሁኔታዎች ውስጥ ከነጥቡ እስከ አስተባባሪ መጥረቢያዎች ድረስ ያሉትን ርቀቶች ድምር ያግኙ።

ከአንድ ነጥብ እስከ መጥረቢያዎች ያለው ርቀት ምን እንደሆነ ካወቁ ስራው በአጠቃላይ አንደኛ ደረጃ ነው. ታውቃለህ? ተስፋ አደርጋለሁ፣ ግን አሁንም አስታውሳችኋለሁ፡-

ስለዚህ፣ ከዚህ በላይ ባለው ሥዕሌ ውስጥ፣ እንደዚህ ያለ ቀጥ ያለ ስእል ቀድቻለሁ? በየትኛው ዘንግ ላይ ነው? ወደ ዘንግ. እና ርዝመቱ ስንት ነው? እኩል ነች። አሁን ወደ ዘንግ እራስዎ አንድ perpendicular ይሳሉ እና ርዝመቱን ይፈልጉ። እኩል ይሆናል አይደል? ከዚያም ድምራቸው እኩል ነው.

መልስ፡- .

ተግባር 4.በተግባሩ 2 ሁኔታዎች፣ ከአብሲሳ ዘንግ አንጻራዊ በሆነ ነጥብ ላይ ያለው የነጥብ መመሳሰልን ይፈልጉ።

ሲምሜትሪ ምን ማለት እንደሆነ በማስተዋል ግልጽ የሆነላችሁ ይመስለኛል? ብዙ እቃዎች አሏቸው፡ ብዙ ህንፃዎች፣ ጠረጴዛዎች፣ አውሮፕላኖች፣ ብዙ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች፡ ኳስ፣ ሲሊንደር፣ ካሬ፣ ሮምብስ፣ ወዘተ... በግምት አነጋገር ሲምሜትሪ በሚከተለው መልኩ ሊረዳ ይችላል፡ አንድ ምስል ሁለት (ወይም ከዚያ በላይ) ተመሳሳይ ግማሾችን ያቀፈ ነው። ይህ ሲሜትሪ አክሲያል ሲምሜትሪ ይባላል። ታዲያ ዘንግ ምንድን ነው? በአንፃራዊነት አኃዙ ወደ እኩል ግማሽ ሊቆረጥ የሚችልበት መስመር ይህ ነው (በዚህ ሥዕል ውስጥ የሲሜትሪ ዘንግ ቀጥ ያለ ነው)

አሁን ወደ ተግባራችን እንመለስ። ስለ ዘንግ የተመጣጠነ ነጥብ እየፈለግን እንደሆነ እናውቃለን። ከዚያም ይህ ዘንግ የሲሜትሪ ዘንግ ነው. ይህ ማለት ዘንግ ክፍሉን ወደ ሁለት እኩል ክፍሎችን እንዲቆርጥ አንድ ነጥብ ምልክት ማድረግ አለብን. እንደዚህ ያለ ነጥብ እራስዎ ምልክት ለማድረግ ይሞክሩ. አሁን ከመፍትሄዬ ጋር አወዳድር፡-

ለእርስዎ በተመሳሳይ መንገድ ሠርቷል? ጥሩ! የተገኘውን ነጥብ ለማስተላለፍ ፍላጎት አለን። እኩል ነው።

መልስ፡-

አሁን ንገረኝ፣ ለጥቂት ሰኮንዶች ካሰብኩ በኋላ፣ የነጥብ ሲሜትሪክ እና ነጥብ ከ ordinate አንፃር ያለው አቢሲሳ ምን ይሆን? መልስህ ምንድን ነው? ትክክለኛ መልስ: .

በአጠቃላይ ደንቡ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

ከአብሲሳ ዘንግ አንጻራዊ ነጥብ ጋር የሚመሳሰል ነጥብ መጋጠሚያዎች አሉት፡-

ከተሰነጠቀው ዘንግ አንጻራዊ ነጥብ ጋር የሚመሳሰል ነጥብ መጋጠሚያዎች አሉት፡-

ደህና, አሁን ሙሉ በሙሉ አስፈሪ ነው ተግባር፦ የአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች ከመነሻው አንጻር ካለው ነጥብ ጋር የሚመሳሰል ያግኙ። በመጀመሪያ ለራስዎ ያስባሉ, እና ከዚያም የእኔን ስዕል ይመልከቱ!

መልስ፡-

አሁን የፓራሎግራም ችግር;

ተግባር 5፡ ነጥቦቹ ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma ይታያሉ። ያንን ነጥብ ይፈልጉ ወይም-di-on.

ይህንን ችግር በሁለት መንገዶች መፍታት ይችላሉ-ሎጂክ እና የማስተባበር ዘዴ. በመጀመሪያ የማስተባበር ዘዴን እጠቀማለሁ, ከዚያም እንዴት በተለየ መንገድ መፍታት እንደሚችሉ እነግርዎታለሁ.

የነጥቡ አቢሲሳ እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው። (ከነጥቡ እስከ አቢሲሳ ዘንግ ድረስ በተሰየመው ቋሚው ላይ ይተኛል). ማዘዣውን መፈለግ አለብን። የእኛ አሃዝ ትይዩ ነው የሚለውን እውነታ እንጠቀም, ይህ ማለት ነው. በሁለት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ቀመሩን በመጠቀም የክፍሉን ርዝመት እንፈልግ፡-

ነጥቡን ወደ ዘንግ የሚያገናኘውን ቋሚውን ዝቅ እናደርጋለን. የማቋረጫ ነጥቡን በደብዳቤ እጠቁማለሁ።

የክፍሉ ርዝመት እኩል ነው. (በዚህ ነጥብ ላይ በተነጋገርንበት ቦታ ችግሩን እራስዎ ይፈልጉ) ፣ ከዚያ የፓይታጎሪያን ቲዎረም በመጠቀም የክፍሉን ርዝመት እናገኛለን።

የአንድ ክፍል ርዝመት በትክክል ከሥርዓተ-ጉባዔው ጋር ይዛመዳል።

መልስ፡- .

ሌላ መፍትሄ (ይህን የሚያሳይ ምስል ብቻ እሰጣለሁ)

የመፍትሄ ሂደት;

1. ምግባር

2. የነጥቡን እና የርዝመቱን መጋጠሚያዎች ያግኙ

3. ያንን አረጋግጡ።

ሌላኛው የክፍል ርዝመት ችግር:

ነጥቦቹ በሶስት ማዕዘን አናት ላይ ይታያሉ. የመሃል መስመሩን ርዝመት ይፈልጉ ፣ ትይዩ።

የሶስት ማዕዘን መካከለኛ መስመር ምን እንደሆነ ታስታውሳለህ? ከዚያ ይህ ተግባር ለእርስዎ የመጀመሪያ ደረጃ ነው። ካላስታወሱ, እኔ ላስታውስዎታለሁ-የሶስት ማዕዘን መካከለኛ መስመር የተቃራኒ ጎኖች መካከለኛ ነጥቦችን የሚያገናኝ መስመር ነው. ከመሠረቱ ጋር ትይዩ እና ከግማሽ ጋር እኩል ነው.

መሰረቱ አንድ ክፍል ነው. ርዝመቱን ቀደም ብለን መፈለግ ነበረብን, እኩል ነው. ከዚያም የመካከለኛው መስመር ርዝመት በግማሽ ትልቅ እና እኩል ነው.

መልስ፡- .

አስተያየት: ይህ ችግር በሌላ መንገድ ሊፈታ ይችላል, ይህም ትንሽ ቆይቶ እንሸጋገራለን.

እስከዚያው ድረስ, ለእርስዎ ጥቂት ችግሮች እዚህ አሉ, በእነሱ ላይ ይለማመዱ, በጣም ቀላል ናቸው, ነገር ግን የማስተባበር ዘዴን በመጠቀም የተሻለ ለመሆን ይረዳሉ!

1. ነጥቦቹ የ tra-pe-tions አናት ናቸው. የመሃል መስመሩን ርዝመት ይፈልጉ።

2. ነጥቦች እና መልክ ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma። ያንን ነጥብ ይፈልጉ ወይም-di-on.

3. ነጥቡን በማገናኘት እና ከተቆረጠበት ርዝመት ይፈልጉ

4. በኮ-ኦርዲ-ናት አውሮፕላን ላይ ባለ ቀለም ምስል በስተጀርባ ያለውን ቦታ ያግኙ.

5. በ na-cha-le ko-or-di-nat ውስጥ ማእከል ያለው ክበብ በነጥቡ ውስጥ ያልፋል። እሷን ራ-ዲ-እኛን ያግኙ።

6. የክበቡን ፈልግ-ዲ-ቴ ራ-ዲ-እኛን ግለጽ፣ሳን-ኖይ ስለ ቀኝ-አንግል-ኖ-ካ ይግለፁ፣የአንድ ነገር ቁንጮዎች ተባባሪ ወይም -ዲ-ና-እርስዎ በጣም ሀላፊነት አለብዎት።

መፍትሄዎች፡-

1. የ trapezoid መካከለኛ መስመር ከመሠረቱ ድምር ግማሽ ጋር እኩል እንደሆነ ይታወቃል. መሰረቱ እኩል ነው, እና መሰረቱ. ከዚያም

መልስ፡-

2. ይህንን ችግር ለመፍታት ቀላሉ መንገድ (ፓራሎሎግራም ደንብ) ልብ ይበሉ. የቬክተር መጋጠሚያዎችን ማስላት አስቸጋሪ አይደለም፡. ቬክተሮች ሲጨመሩ, መጋጠሚያዎቹ ይታከላሉ. ከዚያም መጋጠሚያዎች አሉት. የቬክተሩ አመጣጥ ከመጋጠሚያዎች ጋር ያለው ነጥብ ስለሆነ ነጥቡም እነዚህ መጋጠሚያዎች አሉት. እኛ በ ordinate ላይ ፍላጎት አለን. እኩል ነች።

መልስ፡-

3. ወዲያውኑ በሁለት ነጥቦች መካከል ባለው ርቀት ቀመር መሰረት እንሰራለን.

መልስ፡-

4. ምስሉን ተመልከት እና የጥላው ቦታ በመካከላቸው "ሳንድዊች" በየትኞቹ ሁለት አሃዞች ይንገሩኝ? በሁለት ካሬዎች መካከል ሳንድዊች ነው. ከዚያም የሚፈለገው ምስል ስፋት ከትልቁ ካሬው ስፋት ጋር እኩል ነው, ከትንሽ ቦታው ይቀንሳል. የአንድ ትንሽ ካሬ ጎን ነጥቦቹን የሚያገናኝ ክፍል ነው እና ርዝመቱ ነው።

ከዚያም የትንሽ ካሬው ቦታ ነው

ከትልቅ ካሬ ጋር ተመሳሳይ ነገር እናደርጋለን: ጎኑ ነጥቦቹን የሚያገናኝ ክፍል እና ርዝመቱ ነው

ከዚያ የትልቅ ካሬው ቦታ ነው

ቀመሩን በመጠቀም የተፈለገውን ምስል አካባቢ እናገኛለን-

መልስ፡-

5. አንድ ክበብ መነሻው እንደ መሃከል ከሆነ እና በአንድ ነጥብ ውስጥ ካለፈ, ራዲየስ በትክክል ከክፍሉ ርዝመት ጋር እኩል ይሆናል (ስዕል ይስሩ እና ይህ ለምን ግልጽ እንደሆነ ይረዱታል). የዚህን ክፍል ርዝመት እንፈልግ፡-

መልስ፡-

6. ወደ አራት ማእዘን የተከበበው የክበብ ራዲየስ ከዲያግኑ ግማሽ ጋር እኩል እንደሆነ ይታወቃል። የሁለቱም ዲያግኖሎች የማንኛቸውንም ርዝመት እንፈልግ (ከሁሉም በኋላ ፣ በአራት ማዕዘን ውስጥ እነሱ እኩል ናቸው!)

መልስ፡-

ደህና ፣ ሁሉንም ነገር ተቋቁመሃል? እሱን ለማወቅ በጣም አስቸጋሪ አልነበረም፣ አይደል? እዚህ አንድ ህግ ብቻ ነው - ምስላዊ ምስል መስራት እና በቀላሉ ሁሉንም ውሂብ ከእሱ "ማንበብ" መቻል.

የቀረን በጣም ጥቂት ነው። ለመወያየት የምፈልጋቸው ሁለት ተጨማሪ ነጥቦች አሉ።

ይህን ቀላል ችግር ለመፍታት እንሞክር. ሁለት ነጥቦችን ይተው እና ይስጡ. የክፍሉ መካከለኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ። የዚህ ችግር መፍትሔው እንደሚከተለው ነው፡ ነጥቡ የሚፈለገው መካከለኛ ይሁን፡ ከዚያም መጋጠሚያዎች አሉት።

ያውና: የክፍሉ መሃከል መጋጠሚያዎች = የክፍሉ ጫፎች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች የሂሳብ አማካኝ.

ይህ ህግ በጣም ቀላል እና አብዛኛውን ጊዜ ለተማሪዎች ችግር አይፈጥርም. በየትኞቹ ችግሮች እና እንዴት ጥቅም ላይ እንደሚውል እንይ.

1. ፈልግ-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny ከመቁረጥ፣ ነጥቡን ማገናኘት እና

2. ነጥቦቹ የአለም አናት ሆነው ይታያሉ. የሱ ዲያ-ጎ-ና-ሌይ ነጥቦችን በየሪ-ሴ-ቼ-ኒያ ፈልግ።

3. Find-di-te abs-cis-su የክበቡ መሃል፣ ይግለጹ-ሳን-ኖይ ስለ ሬክታንግል-ኖ-ካ፣ የአንድ ነገር ቁንጮዎች አብሮ-ወይም-ዲ-ና-አንተ-ሀላፊነት-ነገር ግን።

መፍትሄዎች፡-

1. የመጀመሪያው ችግር በቀላሉ ክላሲክ ነው. የክፍሉን መሃከል ለመወሰን ወዲያውኑ እንቀጥላለን. መጋጠሚያዎች አሉት። ሹመቱ እኩል ነው።

መልስ፡-

2. ይህ አራት ማዕዘን ትይዩ (ሮምቡስ እንኳን!) መሆኑን በቀላሉ መረዳት ይቻላል. የጎኖቹን ርዝማኔዎች በማስላት እና እርስ በርስ በማነፃፀር ይህንን እራስዎ ማረጋገጥ ይችላሉ. ስለ ትይዩዎች ምን አውቃለሁ? የእሱ ዲያግራኖች በመገናኛው ነጥብ በግማሽ ይከፈላሉ! አዎ! ስለዚህ የዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ ምንድን ነው? ይህ የየትኛውም ዲያግናል መሃል ነው! እኔ እመርጣለሁ, በተለይም, ሰያፍ. ከዚያም ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት የነጥቡ ordinate እኩል ነው.

መልስ፡-

3. ስለ አራት ማዕዘኑ የተከበበው የክበብ መሃል ከምን ጋር ይጣጣማል? እሱ ከዲያግራኖቹ መገናኛ ነጥብ ጋር ይጣጣማል። ስለ አራት ማዕዘኑ ዲያግናልስ ምን ያውቃሉ? እነሱ እኩል ናቸው እና የመገናኛው ነጥብ በግማሽ ይከፍላቸዋል. ተግባሩ ወደ ቀዳሚው ቀንሷል። ለምሳሌ ዲያግናልን እንውሰድ። ከዚያም የዙሩ መሃል ከሆነ, መካከለኛው ነጥብ ነው. መጋጠሚያዎችን እየፈለግኩ ነው፡ አቢሲሳ እኩል ነው።

መልስ፡-

አሁን በእራስዎ ትንሽ ይለማመዱ, እራስዎን ለመፈተሽ ለእያንዳንዱ ችግር መልስ ብቻ እሰጣለሁ.

1. የክበቡን አግኝ-ዲ-ቴ ራ-ዲ-እኛን ግለጽ፣ሳን-ኖይን ስለ ባለሶስት ማዕዘን-ኖ-ካ ይግለጹ፣ የአንድ ነገር ቁንጮዎች ተባባሪ ወይም ዲ -ምንም እመቤት የላቸውም።

2. ፈልግ-ዲ-ቴ ወይም-ዲ-ኦን-ያ የክበቡ መሃል፣ ይግለጹ-san-noy ስለ ትሪያንግል-ኖ-ካ፣ ቁንጮቹ መጋጠሚያዎች አሏቸው።

3. የ ab-ciss ዘንግ እንዲነካ በአንድ ነጥብ ላይ አንድ ማዕከል ያለው ክበብ ምን ዓይነት ራ-ዲ-ኡ-ሳ መሆን አለበት?

4. ፈልግ-di-እነዚያን ወይም-ዲ-ላይ-የዛን ዘንግ ዳግም-ሴ-ቴሽን እና ከተቆረጠ፣-ነጥቡን ማገናኘት እና

መልሶች፡-

ሁሉም ነገር የተሳካ ነበር? በእውነት ተስፋ አደርጋለሁ! አሁን - የመጨረሻው ግፊት. አሁን በተለይ ጥንቃቄ ያድርጉ. አሁን የማብራራበት ቁሳቁስ በቀጥታ ከክፍል B በመጋጠሚያ ዘዴ ላይ ካሉ ቀላል ችግሮች ጋር በቀጥታ የተያያዘ ነው, ነገር ግን በችግር C2 ውስጥ በሁሉም ቦታ ይገኛል.

ከቃሎቼ ውስጥ እስካሁን ያልጠበቅሁት የትኛውን ነው? ለማስተዋወቅ ቃል የገባሁትን በቬክተሮች ላይ ምን አይነት ኦፕሬሽኖችን እና በመጨረሻ አስተዋውቄያለሁ? እርግጠኛ ነህ ምንም ነገር አልረሳሁም? ረስተዋል! የቬክተር ማባዛት ምን ማለት እንደሆነ ማስረዳት ረሳሁ።

ቬክተርን በቬክተር ለማባዛት ሁለት መንገዶች አሉ። በተመረጠው ዘዴ ላይ በመመስረት የተለያየ ተፈጥሮ ያላቸውን እቃዎች እናገኛለን:

የመስቀል ምርት በጣም በጥበብ ነው የሚደረገው። እንዴት ማድረግ እንዳለብንና ለምን እንደሚያስፈልግ በሚቀጥለው ርዕስ ላይ እንነጋገራለን. እና በዚህ ውስጥ በ scalar ምርት ላይ እናተኩራለን.

እሱን ለማስላት የሚያስችሉን ሁለት መንገዶች አሉ።

እንደገመቱት ውጤቱ አንድ አይነት መሆን አለበት! ስለዚህ በመጀመሪያ የመጀመሪያውን ዘዴ እንይ.

የነጥብ ምርት በመጋጠሚያዎች በኩል

አግኝ: - በአጠቃላይ ተቀባይነት ያለው ለካላር ምርት ምልክት

የስሌቱ ቀመር እንደሚከተለው ነው.

ማለትም፣ ስካላር ምርት = የቬክተር መጋጠሚያዎች ምርቶች ድምር!

ለምሳሌ:

አግኝ-ዲ-ቴ

መፍትሄ፡-

የእያንዳንዱን ቬክተር መጋጠሚያዎች እንፈልግ፡-

ቀመሩን በመጠቀም ስካላር ምርቱን እናሰላለን-

መልስ፡-

ተመልከት ፣ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም!

ደህና ፣ አሁን እራስዎ ይሞክሩት

· የዘመናት scalar ፕሮ-iz-ve-de-nie ይፈልጉ እና

አስተዳድረዋል? ምናልባት ትንሽ መያዙን አስተውለው ይሆናል? እስቲ እንፈትሽ፡

የቬክተር መጋጠሚያዎች, ልክ እንደ ቀድሞው ችግር! መልስ፡.

ከማስተባበሪያው በተጨማሪ ፣ የመለኪያ ምርቱን ለማስላት ሌላ መንገድ አለ ፣ ማለትም ፣ በቪክቶሮች ርዝማኔ እና በመካከላቸው ባለው አንግል ኮሳይን በኩል።

በቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል እና.

ያም ማለት ስካላር ምርቱ ከቬክተሮች ርዝማኔዎች እና በመካከላቸው ካለው አንግል ኮሳይን ምርት ጋር እኩል ነው.

ይህ ሁለተኛው ቀመር ለምን ያስፈልገናል, የመጀመሪያው ካለን, በጣም ቀላል የሆነው, ቢያንስ በውስጡ ምንም ኮሳይኖች የሉም. እና ከመጀመሪያው እና ሁለተኛው ቀመሮች እርስዎ እና እኔ በቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ መወሰን እንድንችል ያስፈልጋል!

ከዚያ የቬክተሩን ርዝመት ቀመር እናስታውስ!

ከዚያ ይህን ውሂብ ወደ scalar ምርት ቀመር ከተኩት፣ አገኛለሁ፡-

ግን በሌላ መንገድ፡-

ታዲያ እኔና አንተ ምን አገኘን? አሁን በሁለት ቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ለማስላት የሚያስችል ቀመር አለን! አንዳንድ ጊዜ ደግሞ በአጭሩ እንዲህ ይጻፋል፡-

ማለትም በቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ለማስላት ስልተ ቀመር እንደሚከተለው ነው።

1. የስክላር ምርቱን በመጋጠሚያዎች ያሰሉት
2. የቬክተሮችን ርዝመት ይፈልጉ እና ያባዙዋቸው
3. የነጥብ 1ን ውጤት በነጥብ 2 ይከፋፍሉት

በምሳሌዎች እንለማመድ፡-

1. በዐይን ሽፋኖቹ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ እና. መልሱን በግራድ-ዱ-ሳህ ስጥ።

2. በቀድሞው ችግር ሁኔታዎች, በቬክተሮች መካከል ያለውን ኮሳይን ያግኙ

ይህን እናድርግ: የመጀመሪያውን ችግር ለመፍታት እረዳሃለሁ, እና ሁለተኛውን ራስህ ለማድረግ ሞክር! እስማማለሁ? ከዚያ እንጀምር!

1. እነዚህ ቬክተሮች የቀድሞ ጓደኞቻችን ናቸው. አስቀድመን ስኬር ምርታቸውን አስልተናል እና እኩል ነበር። አስተባባሪዎቻቸው፡,. ከዚያም ርዝመታቸውን እናገኛለን:

ከዚያም በቬክተሮች መካከል ያለውን ኮሳይን እንፈልጋለን፡-

የማዕዘን ኮሳይን ምንድን ነው? ይህ ጥግ ነው።

መልስ፡-

ደህና ፣ አሁን ሁለተኛውን ችግር እራስዎ ይፍቱ እና ከዚያ ያወዳድሩ! በጣም አጭር መፍትሄ ብቻ እሰጣለሁ-

2. መጋጠሚያዎች አሉት, መጋጠሚያዎች አሉት.

በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል እና ከዚያም

መልስ፡-

በቀጥታ በቬክተር ላይ ያሉ ችግሮች እና በፈተና ወረቀቱ ክፍል B ውስጥ ያለው የማስተባበር ዘዴ በጣም አልፎ አልፎ እንደሚገኙ ልብ ሊባል ይገባል. ነገር ግን፣ አብዛኛዎቹ የC2 ችግሮች የተቀናጀ አሰራርን በማስተዋወቅ በቀላሉ መፍታት ይችላሉ። ስለዚህ ውስብስብ ችግሮችን ለመፍታት የሚያስፈልጉንን በጣም ብልህ ግንባታዎችን በምንሠራበት መሠረት ይህንን ጽሑፍ ግምት ውስጥ ማስገባት ይችላሉ ።

አስተባባሪዎች እና ቬክቶሮች. አማካይ ደረጃ

እርስዎ እና እኔ የማስተባበር ዘዴን ማጥናታችንን እንቀጥላለን። በመጨረሻው ክፍል፣ የሚከተሉትን ለማድረግ የሚያስችሉዎትን በርካታ አስፈላጊ ቀመሮችን አግኝተናል፡-

1. የቬክተር መጋጠሚያዎችን ያግኙ
2. የቬክተርን ርዝመት ይፈልጉ (በአማራጭ፡ በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት)
3. ቬክተሮችን ይጨምሩ እና ይቀንሱ. በእውነተኛ ቁጥር ያባዟቸው
4. የአንድን ክፍል መካከለኛ ነጥብ ያግኙ
5. የቬክተሮችን የነጥብ ምርት አስላ
6. በቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ

እርግጥ ነው, አጠቃላይ የማስተባበር ዘዴ በእነዚህ 6 ነጥቦች ውስጥ አይጣጣምም. እሱ በዩኒቨርሲቲ ውስጥ በደንብ የሚያውቁትን እንደ የትንታኔ ጂኦሜትሪ ያለ ሳይንስን መሠረት ያደረገ ነው። በአንድ ግዛት ውስጥ ችግሮችን ለመፍታት የሚያስችል መሠረት መገንባት እፈልጋለሁ. ፈተና. የክፍል B ተግባራትን አከናውነናል። ወደ አዲስ ደረጃ የምንሸጋገርበት ጊዜ አሁን ነው! ይህ መጣጥፍ ወደ ማስተባበሪያ ዘዴ መቀየር ምክንያታዊ በሆነበት እነዚያን የC2 ችግሮችን ለመፍታት ዘዴ ላይ ይውላል። ይህ ምክንያታዊነት የሚወሰነው በችግሩ ውስጥ ምን እንደሚፈለግ እና በምን ዓይነት አሃዝ እንደተሰጠ ነው. ስለዚህ ጥያቄዎቹ የሚከተሉት ከሆኑ የማስተባበሪያ ዘዴውን እጠቀማለሁ፡-

1. በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ
2. ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን መካከል ያለውን አንግል ያግኙ
3. በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ
4. ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ይፈልጉ
5. ከአንድ ነጥብ እስከ መስመር ያለውን ርቀት ይፈልጉ
6. ከቀጥታ መስመር ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ይፈልጉ
7. በሁለት መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ

በችግር መግለጫው ላይ የተሰጠው አኃዝ የመዞሪያ አካል ከሆነ (ኳስ፣ ሲሊንደር፣ ኮን...)

ለማቀናጀት ዘዴ ተስማሚ አሃዞች የሚከተሉት ናቸው

1. አራት ማዕዘን ትይዩ
2. ፒራሚድ (ሦስት ማዕዘን፣ አራት ማዕዘን፣ ባለ ስድስት ጎን)

እንዲሁም ከኔ ልምድ የማስተባበር ዘዴን መጠቀም ተገቢ አይደለም:

1. ተሻጋሪ ቦታዎችን ማግኘት
2. የአካል ክፍሎች ብዛት ስሌት

ሆኖም ግን, ለመጋጠሚያ ዘዴ ሦስቱ "የማይመቹ" ሁኔታዎች በተግባር በጣም ጥቂት መሆናቸውን ወዲያውኑ ልብ ሊባል ይገባል. በአብዛኛዎቹ ተግባራት, አዳኝዎ ሊሆን ይችላል, በተለይም በባለ ሶስት አቅጣጫዊ ግንባታዎች ላይ በጣም ጥሩ ካልሆኑ (አንዳንድ ጊዜ በጣም ውስብስብ ሊሆኑ ይችላሉ).

ከላይ የዘረዘርኳቸው አሃዞች በሙሉ ምንድናቸው? እነሱ ከአሁን በኋላ ጠፍጣፋ አይደሉም ፣ ለምሳሌ ፣ ካሬ ፣ ትሪያንግል ፣ ክብ ፣ ግን ብዙ! በዚህ መሠረት ባለ ሁለት አቅጣጫ ሳይሆን ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቅንጅት ስርዓትን ማጤን አለብን። መገንባት በጣም ቀላል ነው-ከ abcissa እና ordinate axis በተጨማሪ ሌላ ዘንግ ማለትም የአፕሊኬቱ ዘንግ እናስተዋውቃለን። ምስሉ አንጻራዊ አቋማቸውን ያሳያል፡-

ሁሉም እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ እና በአንድ ነጥብ ላይ የተቆራረጡ ናቸው, ይህም የመጋጠሚያዎች አመጣጥ ብለን እንጠራዋለን. እንደበፊቱ ሁሉ፣ የ abscissa ዘንግ፣ ordinate axis - እና የተዋወቀውን አፕሊኬት ዘንግ - እንጠቁማለን።

ቀደም ሲል በአውሮፕላኑ ላይ ያለው እያንዳንዱ ነጥብ በሁለት ቁጥሮች ተለይቷል - abcissa እና ordinate ፣ ከዚያ እያንዳንዱ የቦታ ነጥብ በሦስት ቁጥሮች ይገለጻል - abcissa ፣ ordinate እና applicate። ለምሳሌ:

በዚህ መሠረት, የነጥብ አቢሲሳ እኩል ነው, አስተላላፊው እና አፕሊኬሽኑ ነው.

አንዳንድ ጊዜ abscissa ነጥብ ደግሞ abscissa ዘንግ ላይ አንድ ነጥብ ትንበያ ይባላል, ordinate - አንድ ነጥብ ወደ ordinate ዘንግ ላይ ያለውን ትንበያ, እና applicate - አንድ ነጥብ ወደ applicate ዘንግ ላይ ትንበያ. በዚህ መሠረት አንድ ነጥብ ከተሰጠ፣ ከዚያም አንድ ነጥብ ከመጋጠሚያዎች ጋር፡-

በአውሮፕላን ላይ የነጥብ ትንበያ ይባላል

በአውሮፕላን ላይ የነጥብ ትንበያ ይባላል

ተፈጥሯዊ ጥያቄ የሚነሳው-ሁሉም ቀመሮች ለሁለት-ልኬት ጉዳይ የተወሰዱት በጠፈር ውስጥ ነው? መልሱ አዎ ነው, እነሱ ፍትሃዊ እና ተመሳሳይ መልክ አላቸው. ለትንሽ ዝርዝር. የትኛው እንደሆነ አስቀድመው የገመቱት ይመስለኛል። በሁሉም ቀመሮች ውስጥ ለመተግበሪያው ዘንግ ኃላፊነት ያለው አንድ ተጨማሪ ቃል ማከል አለብን። ይኸውም.

1. ሁለት ነጥብ ከተሰጠ፡.

• የቬክተር መጋጠሚያዎች፡-
• በሁለት ነጥቦች (ወይም በቬክተር ርዝመት) መካከል ያለው ርቀት
• የክፍሉ መካከለኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች አሉት

2. ሁለት ቬክተሮች ከተሰጡ: እና, ከዚያም:

• ስካላር ምርታቸው ከሚከተሉት ጋር እኩል ነው።
• በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ኮሳይን እኩል ነው፡-

ይሁን እንጂ ቦታ በጣም ቀላል አይደለም. እንደተረዱት፣ አንድ ተጨማሪ መጋጠሚያ ማከል እዚህ ቦታ ላይ “በሚኖሩ” አኃዞች ስፔክትረም ውስጥ ጉልህ ልዩነትን ያስተዋውቃል። እና ለተጨማሪ ትረካ የተወሰኑትን፣በግምት አነጋገር፣የቀጥታ መስመርን “አጠቃላይነት” ማስተዋወቅ አለብኝ። ይህ "አጠቃላይ" አውሮፕላን ይሆናል. ስለ አውሮፕላን ምን ያውቃሉ? ጥያቄውን ለመመለስ ሞክር, አውሮፕላን ምንድን ነው? ለማለት በጣም ከባድ ነው። ሆኖም ፣ ሁላችንም ምን እንደሚመስል በማስተዋል እናስባለን-

በግምት፣ ይህ በህዋ ላይ የተጣበቀ ማለቂያ የሌለው “ሉህ” ነው። "Infinity" አውሮፕላኑ በሁሉም አቅጣጫዎች እንደሚዘረጋ መረዳት አለበት, ማለትም, አካባቢው ከማይታወቅ ጋር እኩል ነው. ይሁን እንጂ ይህ "የእጅ" ማብራሪያ ስለ አውሮፕላኑ መዋቅር ትንሽ ሀሳብ አይሰጥም. እኛንም የምትፈልገው እሷ ነች።

ከጂኦሜትሪ መሰረታዊ አክሲሞች አንዱን እናስታውስ፡-

• ቀጥ ያለ መስመር በአውሮፕላን ላይ በሁለት የተለያዩ ነጥቦች ውስጥ ያልፋል ፣ እና አንድ ብቻ

ወይም በህዋ ውስጥ ያለው አናሎግ፡-

በእርግጥ ፣ የመስመሩን እኩልነት ከሁለት ነጥቦች እንዴት እንደሚያገኙ ያስታውሳሉ ፣ በጭራሽ አስቸጋሪ አይደለም-የመጀመሪያው ነጥብ መጋጠሚያዎች ካሉት እና ሁለተኛው ፣ ከዚያ የመስመሩ እኩልታ እንደሚከተለው ይሆናል ።

ይህንን የወሰድከው በ7ኛ ክፍል ነው። በጠፈር ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታ ይህን ይመስላል፡ ሁለት ነጥቦችን ከመጋጠሚያዎች ጋር እንስጥ፡ ከዚያም በእነሱ ውስጥ የሚያልፈው የመስመሩ እኩልነት ቅጹ አለው፡-

ለምሳሌ አንድ መስመር በነጥቦች ውስጥ ያልፋል፡-

ይህንን እንዴት መረዳት አለበት? ይህ እንደሚከተለው ሊረዳው ይገባል፡- አንድ ነጥብ በመስመሩ ላይ የሚኖረው መጋጠሚያዎቹ የሚከተለውን ስርዓት ካሟሉ ነው።

በመስመር እኩልታ ላይ ብዙ ፍላጎት አይኖረንም፣ ነገር ግን በጣም አስፈላጊ የሆነውን የአንድ መስመር አቅጣጫ ቬክተር ጽንሰ-ሀሳብ ትኩረት መስጠት አለብን። - ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር በተወሰነ መስመር ላይ የሚተኛ ወይም ከእሱ ጋር ትይዩ ነው።

ለምሳሌ, ሁለቱም ቬክተሮች የቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ ጠቋሚዎች ናቸው. በአንድ መስመር ላይ የተኛ ነጥብ ይሁን እና አቅጣጫው ቬክተር ይሁን። ከዚያ የመስመሩ እኩልታ በሚከተለው ቅጽ ሊፃፍ ይችላል-

አንዴ እንደገና ፣ በቀጥታ መስመር እኩልታ ላይ በጣም ፍላጎት አይኖረኝም ፣ ግን በእርግጥ አቅጣጫ ቬክተር ምን እንደሆነ እንድታስታውሱ እፈልጋለሁ! እንደገና፡- ይህ በመስመር ላይ የሚተኛ ወይም ከእሱ ጋር ትይዩ የሆነ ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ነው።

ማውጣት በሶስት ነጥቦች ላይ የተመሰረተ የአውሮፕላን እኩልነትከአሁን በኋላ ያን ያህል ቀላል አይደለም፣ እና ጉዳዩ በአብዛኛው በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤቶች ውስጥ አይታይም። ግን በከንቱ! ውስብስብ ችግሮችን ለመፍታት ወደ ቅንጅት ዘዴ ስንጠቀም ይህ ዘዴ በጣም አስፈላጊ ነው. ሆኖም፣ አዲስ ነገር ለመማር ጓጉተሃል ብዬ አስባለሁ? ከዚህም በላይ በአብዛኛው በአናቲቲካል ጂኦሜትሪ ኮርስ ውስጥ የሚጠናውን ዘዴ እንዴት እንደሚጠቀሙ አስቀድመው ማወቅ ሲችሉ አስተማሪዎን በዩኒቨርሲቲው ውስጥ ማስደሰት ይችላሉ. ስለዚህ እንጀምር።

የአውሮፕላኑ እኩልነት በአውሮፕላን ላይ ካለው ቀጥተኛ መስመር እኩልነት በጣም የተለየ አይደለም፣ ማለትም፣ ቅጹ አለው፡-

አንዳንድ ቁጥሮች (ሁሉም ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም) ፣ ግን ተለዋዋጮች ፣ ለምሳሌ: ወዘተ. እንደሚመለከቱት, የአንድ አውሮፕላን እኩልነት ከቀጥታ መስመር (መስመራዊ ተግባር) እኩልነት በጣም የተለየ አይደለም. ሆኖም እኔና አንተ የተከራከርንበትን አስታውስ? እኛ በተመሳሳይ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት ነጥቦች ካሉን የአውሮፕላኑ እኩልነት ከነሱ በተለየ ሁኔታ እንደገና ሊገነባ ይችላል አልን። ግን እንዴት? ላብራራህ እሞክራለሁ።

የአውሮፕላኑ እኩልነት ስለሆነ፡-

እና ነጥቦቹ የዚህ አውሮፕላን ናቸው ፣ ከዚያ የእያንዳንዱን ነጥብ መጋጠሚያዎች ወደ አውሮፕላኑ እኩልነት ሲቀይሩ ትክክለኛውን ማንነት ማግኘት አለብን-

ስለዚህ, ከማያውቁት ጋር ሶስት እኩልታዎችን መፍታት ያስፈልጋል! አጣብቂኝ! ሆኖም ግን, ሁልጊዜ (ይህን ለማድረግ መከፋፈል ያስፈልግዎታል) ብለው ማሰብ ይችላሉ. ስለዚህ፣ ከሶስት የማይታወቁ ጋር ሶስት እኩልታዎችን እናገኛለን።

ሆኖም ፣ እንዲህ ዓይነቱን ስርዓት አንፈታም ፣ ግን ከእሱ ቀጥሎ ያለውን ምስጢራዊ አገላለጽ እንጽፋለን-

በሶስት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላን እኩልነት

\[\ግራ| (\ጀምር(ድርድር)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((((y_1)) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(ዝ - (z_0))&(((ዝ_1) - (z_0))&((ዝ_2) - (z_0)) \መጨረሻ(ድርድር)) \ቀኝ| = 0\]

ተወ! ምንድነው ይሄ? አንዳንድ በጣም ያልተለመደ ሞጁል! ነገር ግን ከፊት ለፊትዎ የሚያዩት ነገር ከሞጁሉ ጋር ምንም ግንኙነት የለውም. ይህ ነገር የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ ይባላል። ከአሁን ጀምሮ፣ በአውሮፕላን ላይ የመጋጠሚያ ዘዴን ስትፈታ፣ ብዙ ጊዜ እነዚህን ተመሳሳይ መወሰኛዎች ያጋጥሙሃል። የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ ምንድነው? በሚገርም ሁኔታ ቁጥር ብቻ ነው። የትኛውን የተወሰነ ቁጥር ከወሳኙ ጋር ማወዳደር እንደምንችል ለመረዳት ይቀራል።

በመጀመሪያ የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛን በበለጠ አጠቃላይ መልኩ እንፃፍ፡-

አንዳንድ ቁጥሮች የት አሉ። ከዚህም በላይ, በመጀመሪያው ኢንዴክስ የረድፍ ቁጥር ማለት ነው, እና በመረጃ ጠቋሚው የአምድ ቁጥር ማለት ነው. ለምሳሌ, ይህ ቁጥር በሁለተኛው ረድፍ እና በሶስተኛው አምድ መገናኛ ላይ ነው ማለት ነው. እስቲ የሚከተለውን ጥያቄ እናቅርብ-እንዲህ ዓይነቱን መወሰኛ በትክክል እንዴት እናሰላለን? ማለትም ከየትኛው የተለየ ቁጥር ጋር እናነፃፅራለን? ለሶስተኛ ደረጃ አመልካች ሂዩሪስቲክ (ምስላዊ) ትሪያንግል ህግ አለ፣ ይህን ይመስላል፡-

1. የዋናው ዲያግናል ንጥረ ነገሮች ምርት (ከላይኛው ግራ ጥግ ወደ ታችኛው ቀኝ) የመጀመሪያውን ትሪያንግል “በቀጥታ” ወደ ዋናው ዲያግናል የሚመረቱ ንጥረ ነገሮች ምርት ሁለተኛውን ትሪያንግል “ቀጥታ” ወደ ዋና ሰያፍ
2. የሁለተኛው ዲያግናል ንጥረ ነገሮች ምርት (ከላይኛው ቀኝ ጥግ እስከ ታችኛው ግራ) የመጀመሪያውን ትሪያንግል “በቀጥታ” ወደ ሁለተኛ ሰያፍ የሚሠሩ ንጥረ ነገሮች ምርት ሁለተኛውን ትሪያንግል “perpendicular” ይመሰረታል ። ሁለተኛ ሰያፍ
3. ከዚያም የሚወስነው በደረጃው ላይ በተገኙት እሴቶች መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው

ይህንን ሁሉ በቁጥር ከጻፍን የሚከተለውን አገላለጽ እናገኛለን።

ሆኖም ፣ በዚህ ቅፅ ውስጥ ያለውን የሂሳብ ዘዴን ማስታወስ አያስፈልግዎትም ፣ በራስዎ ውስጥ ሶስት ማዕዘኖችን እና ምን እንደሚጨምር እና ምን እንደሚቀንስ ሀሳብ ብቻ ማቆየት በቂ ነው ።

የሶስት ማዕዘን ዘዴን በምሳሌ እናሳይ።

1. የሚወስነውን አስላ፡

የምንጨምረውን እና የምንቀንሰውን እንወቅ፡-

ከመደመር ጋር አብረው የሚመጡ ውሎች፡

ይህ ዋናው ሰያፍ ነው: የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው

የመጀመሪያው ትሪያንግል፣ “ከዋናው ዲያግናል ጋር ቀጥ ያለ፡ የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው።

ሁለተኛ ትሪያንግል፣ “ወደ ዋናው ሰያፍ ቀጥ ያለ፡ የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው።

ሶስት ቁጥሮችን ጨምሩ።

ከመቀነስ ጋር የሚመጡ ውሎች

ይህ የጎን ሰያፍ ነው፡ የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው።

የመጀመሪያው ትሪያንግል፣ “ወደ ሁለተኛ ሰያፍ ቀጥ ያለ፡ የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው።

ሁለተኛው ትሪያንግል፣ “ወደ ሁለተኛ ሰያፍ ቀጥ ያለ፡ የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው።

ሶስት ቁጥሮችን ጨምሩ።

የሚቀረው የ“ፕላስ” ቃላት ድምርን ከ“መቀነስ” ቃላቶች ድምር መቀነስ ነው።

ስለዚህም

እንደሚመለከቱት፣ የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛዎችን በማስላት ውስጥ ምንም የተወሳሰበ ወይም ከተፈጥሮ በላይ የሆነ ነገር የለም። ስለ ትሪያንግሎች ማስታወስ እና የሂሳብ ስህተቶችን ላለማድረግ ብቻ አስፈላጊ ነው. አሁን እራስዎ ለማስላት ይሞክሩ:

እኛ እንፈትሻለን፡-

1. የመጀመሪያው ትሪያንግል ከዋናው ሰያፍ ጎን ለጎን፡
2. ሁለተኛ ትሪያንግል ከዋናው ሰያፍ ጎን ለጎን፡
3. የመደመር ውሎች ድምር፡-
4. የመጀመሪያው ትሪያንግል ከሁለተኛው ሰያፍ ጎን ለጎን፡
5. ሁለተኛ ትሪያንግል በጎን ሰያፍ ጎን ለጎን፡
6. የመቀነስ ውሎች ድምር፡-
7. የቃላቶቹ ድምር ከመደመር ጋር የቃላት ድምር ሲቀነስ፡-

ጥቂት ተጨማሪ ቆራጮች እዚህ አሉ ፣ እሴቶቻቸውን እራስዎ ያሰሉ እና ከመልሶቹ ጋር ያወዳድሩ።

መልሶች፡-

ደህና ፣ ሁሉም ነገር ተገናኝቷል? በጣም ጥሩ, ከዚያ መቀጠል ይችላሉ! ችግሮች ካሉ ታዲያ የእኔ ምክር ይህ ነው-በበይነመረብ ላይ ወሳኙን በመስመር ላይ ለማስላት ብዙ ፕሮግራሞች አሉ። የሚያስፈልግህ ነገር የራስህ መወሰኛ ጋር መምጣት፣ ራስህ አስላ እና ከዛ ፕሮግራሙ ከሚያሰላው ጋር ማወዳደር ነው። እና ውጤቶቹ መመሳሰል እስኪጀምሩ ድረስ። እርግጠኛ ነኝ ይህ ጊዜ ለመድረስ ብዙ ጊዜ እንደማይወስድ እርግጠኛ ነኝ!

አሁን በሦስት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ ስላለፈው አውሮፕላን እኩልነት ሳወራ ወደ ጻፍኩት ቆራጥነት እንመለስ።

የሚያስፈልግህ ዋጋውን በቀጥታ (የሶስት ማዕዘን ዘዴን በመጠቀም) ማስላት እና ውጤቱን ወደ ዜሮ ማዘጋጀት ነው. በተፈጥሮ እነዚህ ተለዋዋጮች ስለሆኑ በእነሱ ላይ የሚወሰን አንዳንድ መግለጫዎችን ያገኛሉ። በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት የተሰጡ ነጥቦችን የሚያልፈው አውሮፕላን እኩልነት የሚሆነው ይህ አገላለጽ ነው!

ይህንን በቀላል ምሳሌ እንግለጽ።

1. በነጥቦቹ ውስጥ የሚያልፈውን አውሮፕላን እኩልታ ይገንቡ

ለእነዚህ ሶስት ነጥቦች ወሳኙን አዘጋጅተናል፡-

ቀላል እናድርግ፡-

አሁን የሶስት ማዕዘን ደንቡን በመጠቀም በቀጥታ እናሰላለን-

\[(\ግራ| (\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c)))(x+3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z +1)&5&0\መጨረሻ(ድርድር) ቀኝ| = \ግራ((x + 3) \ቀኝ) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \ ግራ((z + 1) \ቀኝ) + \ግራ((y - 2) \ቀኝ) \cdot 5 \cdot 6 -)\]

ስለዚህ, በአውሮፕላኑ ውስጥ በነጥቦቹ ውስጥ የሚያልፈው እኩልነት:

አሁን አንድ ችግር እራስዎ ለመፍታት ይሞክሩ እና ከዚያ እንወያይበታለን-

2. በነጥቦቹ ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላኑን እኩልነት ይፈልጉ

ደህና፣ አሁን መፍትሄውን እንወያይበት፡-

ቆራጥ እንፍጠር፡-

እና ዋጋውን አስሉ:

ከዚያ የአውሮፕላኑ እኩልነት ቅጹ አለው:

ወይም፣ በመቀነስ፣ እናገኛለን፡-

አሁን ራስን የመግዛት ሁለት ተግባራት፡-

1. በሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላን እኩልታ ይገንቡ፡-

መልሶች፡-

ሁሉም ነገር ተገጣጠመ? እንደገና ፣ አንዳንድ ችግሮች ካሉ ፣ ምክሬ ይህ ነው-ከጭንቅላቱ ላይ ሶስት ነጥቦችን ይውሰዱ (በከፍተኛ ደረጃ በተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር ላይ አይዋሹም) ፣ በእነሱ ላይ የተመሠረተ አውሮፕላን ይገንቡ። እና ከዚያ እራስዎን በመስመር ላይ ይፈትሹ። ለምሳሌ በጣቢያው ላይ፡-

ሆኖም ግን, በቆራጮች እርዳታ የአውሮፕላኑን እኩልነት ብቻ ሳይሆን እንገነባለን. አስታውስ፣ የነጥብ ምርት ብቻ ሳይሆን ለቬክተር እንደሚገለጽ ነግሬሃለሁ። በተጨማሪም የቬክተር ምርት, እንዲሁም የተደባለቀ ምርት አለ. እና የሁለት ቬክተሮች ስካላር ምርት ቁጥር ከሆነ፣ የሁለት ቬክተር የቬክተር ምርት ቬክተር ይሆናል፣ እናም ይህ ቬክተር ከተሰጡት ጋር ቀጥ ያለ ይሆናል።

ከዚህም በላይ የእሱ ሞጁል በቬክተሮች ላይ ከተገነባው ትይዩ ስፋት ጋር እኩል ይሆናል. ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለውን ርቀት ለማስላት ይህ ቬክተር ያስፈልገናል. የቬክተሮችን የቬክተር ምርት እንዴት እናሰላለን እና መጋጠሚያዎቻቸው ከተሰጡ? የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ እንደገና ወደ እኛ እርዳታ ይመጣል። ነገር ግን የቬክተርን ምርት ለማስላት ወደ ስልተ ቀመር ከመቀጠሌ በፊት ትንሽ ዳይሬሽን ማድረግ አለብኝ።

ይህ መረበሽ የመሠረት ቬክተሮችን ይመለከታል።

እነሱ በሥዕሉ ላይ በሥርዓት ቀርበዋል-

ለምን መሰለህ መሰረታዊ ተብለው ይጠራሉ? እውነታው ግን፡-

ወይም በሥዕሉ ላይ፡-

የዚህ ቀመር ትክክለኛነት ግልጽ ነው፣ ምክንያቱም፡-

የቬክተር ጥበብ ስራ

አሁን የመስቀል ምርትን ማስተዋወቅ እችላለሁ፡-

የሁለት ቬክተር የቬክተር ምርት ቬክተር ነው, እሱም በሚከተለው ደንብ መሰረት ይሰላል.

አሁን የመስቀልን ምርት ለማስላት አንዳንድ ምሳሌዎችን እንስጥ፡-

ምሳሌ 1፡ የቬክተሮች ተሻጋሪ ምርትን አግኝ፡

መፍትሄ፡ ወሳኙን አዘጋጃለሁ፡-

እና አስላዋለሁ፡-

አሁን በመሠረታዊ ቬክተሮች ከመጻፍ ወደ ተለመደው የቬክተር ማስታወሻ እመለሳለሁ፡-

ስለዚህም፡-

አሁን ይሞክሩት።

ዝግጁ? እኛ እንፈትሻለን፡-

እና በተለምዶ ሁለት የቁጥጥር ተግባራት;

1. የሚከተሉትን የቬክተሮች የቬክተር ምርት ያግኙ፡
2. የሚከተሉትን የቬክተሮች የቬክተር ምርት ያግኙ፡

መልሶች፡-

የሶስት ቬክተር ድብልቅ ምርት

እኔ የሚያስፈልገኝ የመጨረሻው ግንባታ የሶስት ቬክተር ድብልቅ ምርት ነው. እሱ፣ ልክ እንደ ስካላር፣ ቁጥር ነው። እሱን ለማስላት ሁለት መንገዶች አሉ። - በቆራጥነት, - በተቀላቀለ ምርት.

ይኸውም ሦስት ቬክተሮችን እንስጥ፡-

ከዚያም የሶስት ቬክተር ድብልቅ ምርት፣ በ የተጠቆመው፣ እንደሚከተለው ሊሰላ ይችላል።

1. - ይኸውም የተቀላቀለው ምርት የቬክተር ስክላር ውጤት እና የሁለት ሌሎች ቬክተሮች የቬክተር ውጤት ነው።

ለምሳሌ፣ የሶስት ቬክተር ድብልቅ ምርት፡-

የቬክተር ምርቱን በመጠቀም እራስዎን ለማስላት ይሞክሩ እና ውጤቶቹ የሚዛመዱ መሆናቸውን ያረጋግጡ!

እና እንደገና ፣ ለገለልተኛ መፍትሄዎች ሁለት ምሳሌዎች

መልሶች፡-

የተቀናጀ ስርዓት መምረጥ

ደህና, አሁን ውስብስብ ስቴሪዮሜትሪክ ጂኦሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት ሁሉም አስፈላጊ የእውቀት መሰረት አለን. ሆኖም እነሱን ለመፍታት በቀጥታ ወደ ምሳሌዎች እና ስልተ ቀመሮች ከመቀጠልዎ በፊት በሚከተለው ጥያቄ ላይ መቆየቱ ጠቃሚ እንደሚሆን አምናለሁ-እንዴት በትክክል ለአንድ የተወሰነ ምስል የማስተባበር ስርዓት ይምረጡ።ደግሞም ፣ ስሌቶቹ ምን ያህል አስቸጋሪ እንደሚሆኑ የሚወስነው የአስተባባሪ ስርዓቱ አንፃራዊ አቀማመጥ እና በቦታ ውስጥ ያለው ምስል ምርጫ ነው።

በዚህ ክፍል ውስጥ የሚከተሉትን አሃዞች እንደምናስብ ላስታውስህ።

1. አራት ማዕዘን ትይዩ
2. ቀጥ ያለ ፕሪዝም (ባለሶስት ማዕዘን፣ ባለ ስድስት ጎን...)
3. ፒራሚድ (ባለሶስት ማዕዘን፣ አራት ማዕዘን)
4. Tetrahedron (ከሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ጋር ተመሳሳይ)

ለአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ ወይም ኪዩብ፣ የሚከተለውን ግንባታ እመክርዎታለሁ።

ያም ማለት ስዕሉን "በማእዘኑ" ላይ አኖራለሁ. ኩብ እና ትይዩ በጣም ጥሩ አሃዞች ናቸው። ለእነሱ, ሁልጊዜ የእሱን ጫፎች መጋጠሚያዎች በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ. ለምሳሌ (በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው) ከሆነ

ከዚያም የመንገዶቹ መጋጠሚያዎች እንደሚከተለው ናቸው.

እርግጥ ነው, ይህንን ማስታወስ አያስፈልግዎትም, ነገር ግን ኩብ ወይም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ እንዴት እንደሚቀመጥ ማስታወስ ጠቃሚ ነው.

ቀጥ ያለ ፕሪዝም

ፕሪዝም የበለጠ ጎጂ ምስል ነው። በጠፈር ውስጥ በተለያየ መንገድ ሊቀመጥ ይችላል. ሆኖም፣ የሚከተለው አማራጭ ለእኔ በጣም ተቀባይነት ያለው መስሎ ይታየኛል።

ባለሶስት ማዕዘን ፕሪዝም;

ማለትም ፣ ከሦስት ማዕዘኑ ውስጥ አንዱን ሙሉ በሙሉ በዘንግ ላይ እናስቀምጠዋለን ፣ እና አንደኛው ጫፎች ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር ይጣጣማሉ።

ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም;

ያም ማለት አንዱ ጫፎች ከመነሻው ጋር ይጣጣማሉ, እና አንዱ ጎኖቹ ዘንግ ላይ ይተኛል.

ባለአራት ማዕዘን እና ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ፡

ሁኔታው ከኩብ ጋር ተመሳሳይ ነው: የመሠረቱን ሁለት ጎኖች ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ጋር እናስተካክላለን, እና አንዱን ጫፎች ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር እናስተካክላለን. ብቸኛው ትንሽ ችግር የነጥቡን መጋጠሚያዎች ማስላት ነው።

ለባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ - ልክ እንደ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም. ዋናው ተግባር እንደገና የቬርቴክሱን መጋጠሚያዎች መፈለግ ይሆናል.

ቴትራሄድሮን (ባለሶስት ማዕዘን ፒራሚድ)

ሁኔታው ለሦስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም ከሰጠሁት ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው-አንደኛው ጫፍ ከመነሻው ጋር ይጣጣማል, አንድ ጎን በተጋጠመው ዘንግ ላይ ይተኛል.

ደህና፣ አሁን እኔ እና አንተ በመጨረሻ ችግሮችን መፍታት ለመጀመር ተቃርበናል። በአንቀጹ መጀመሪያ ላይ ከተናገርኩት ፣ የሚከተለው መደምደሚያ ላይ መድረስ ይችላሉ-አብዛኛዎቹ የ C2 ችግሮች በ 2 ምድቦች ይከፈላሉ-የአንግል ችግሮች እና የርቀት ችግሮች። በመጀመሪያ, ማዕዘን የማግኘት ችግሮችን እንመለከታለን. እነሱ በተራው በሚከተሉት ምድቦች ይከፈላሉ (ውስብስብነት ሲጨምር)

ማዕዘኖችን ለማግኘት ችግሮች

1. በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል መፈለግ
2. በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል መፈለግ

እነዚህን ችግሮች በቅደም ተከተል እንመልከታቸው፡ በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል በማግኘት እንጀምር። ደህና፣ አስታውስ፣ አንተና እኔ ከዚህ በፊት ተመሳሳይ ምሳሌዎችን አልፈታንም? ታስታውሳለህ፣ ቀደም ሲል ተመሳሳይ ነገር ነበረን... በሁለት ቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል እየፈለግን ነበር። ላስታውስህ ፣ ሁለት ቬክተሮች ከተሰጡ እና ፣ ከዚያ በመካከላቸው ያለው አንግል ከግንኙነቱ ተገኝቷል ።

አሁን ግባችን በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል መፈለግ ነው. “ጠፍጣፋ ሥዕል”ን እንመልከት፡-

ሁለት ቀጥታ መስመሮች ሲቆራረጡ ስንት ማእዘን አገኘን? ጥቂት ነገሮች ብቻ። እውነት ነው, ከመካከላቸው ሁለቱ ብቻ እኩል አይደሉም, ሌሎቹ ደግሞ ለእነሱ ቀጥ ያሉ ናቸው (እና ስለዚህ ከእነሱ ጋር ይጣጣማሉ). ስለዚህ በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል የትኛውን አንግል ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን: ወይም? እዚህ ደንቡ፡- በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ሁልጊዜ ከዲግሪዎች አይበልጥም. ማለትም ፣ ከሁለት ማዕዘኖች ሁል ጊዜ አንግሉን በትንሹ የዲግሪ መለኪያ እንመርጣለን ። ያም ማለት በዚህ ምስል ውስጥ በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል እኩል ነው. የሁለት ማዕዘናት ትንሹን ለማግኘት በእያንዳንዱ ጊዜ ላለመጨነቅ ተንኮለኛ የሂሳብ ሊቃውንት ሞጁሉን ለመጠቀም ሐሳብ አቀረቡ። ስለዚህም በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል በቀመርው ይወሰናል፡-

እርስዎ፣ በትኩረት የሚከታተል አንባቢ፣ ጥያቄ ሊኖርዎት ይገባ ነበር፡ የማዕዘንን ኮሳይን ለማስላት የሚያስፈልገንን እነዚህን ቁጥሮች ከየት እናገኛቸዋለን? መልስ፡ ከመስመሮቹ አቅጣጫ ቬክተር እንወስዳቸዋለን! ስለዚህ በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ለማግኘት ስልተ ቀመር እንደሚከተለው ነው-

1. ቀመር 1 እንተገብራለን.

ወይም በበለጠ ዝርዝር፡-

1. እኛ የመጀመሪያውን ቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎችን እንፈልጋለን
2. የሁለተኛው ቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎችን እንፈልጋለን
3. የስኬላ ምርታቸውን ሞጁሎች እናሰላለን።
4. የመጀመሪያውን የቬክተር ርዝመት እየፈለግን ነው
5. የሁለተኛውን የቬክተር ርዝመት እየፈለግን ነው
6. የነጥብ 4ን ውጤት በነጥብ 5 ማባዛት።
7. የነጥቡን 3 ውጤት በነጥብ 6 እናካፍላለን. በመስመሮቹ መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን እናገኛለን
8. ይህ ውጤት አንግልውን በትክክል ለማስላት ከረዳን, እንፈልጋለን
9. አለበለዚያ በአርክ ኮሳይን በኩል እንጽፋለን

ደህና, አሁን ወደ ችግሮቹ ለመሸጋገር ጊዜው አሁን ነው: ለመጀመሪያዎቹ ሁለት መፍትሄዎችን በዝርዝር አሳይሻለሁ, መፍትሄውን ለሌላው በአጭሩ አቀርባለሁ, እና ለመጨረሻዎቹ ሁለት ችግሮች መልሱን ብቻ እሰጣለሁ; ሁሉንም ስሌቶች እራስዎ ማከናወን አለብዎት.

ተግባራት፡

1. በትክክለኛው tet-ra-ed-re, በ tet-ra-ed-ra ቁመት እና በመካከለኛው ጎን መካከል ያለውን አንግል ያግኙ.

2. በቀኝ-እጅ ስድስት-ማዕዘን ፒ-ራ-ሚ-ዲ, መቶ os-no-va-niyas እኩል ናቸው, እና የጎን ጠርዞች እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ እና.

3. የቀኝ አራት የድንጋይ ከሰል ፒ-ራ-ሚ-ዳይ የሁሉም ጠርዞች ርዝመቶች እርስ በእርሳቸው እኩል ናቸው. በቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ እና ከተቆረጠው - እርስዎ ከተሰጠው ፒ-ራ-ሚ-ዳይ ጋር ነዎት ፣ ነጥቡ በቦ-ኮ-ሁለተኛ የጎድን አጥንቶች ላይ ሴ-ሪ-ዲ- ላይ ነው።

4. በኩቤው ጠርዝ ላይ አንድ ነጥብ አለ ስለዚህም በቀጥተኛ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ እና

5. ነጥብ - በኪዩብ ጠርዝ ላይ ቀጥ ያሉ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ እና.

ተግባራቶቹን በዚህ ቅደም ተከተል ያዘጋጀሁት በአጋጣሚ አይደለም. የማስተባበር ዘዴን ገና ማሰስ ካልጀመሩ ፣ እኔ ራሴ በጣም “ችግር ያለባቸውን” ምስሎችን እመረምራለሁ ፣ እና በጣም ቀላል የሆነውን ኪዩብ እንዲቋቋሙ እተወዋለሁ! ቀስ በቀስ ከሁሉም አሃዞች ጋር እንዴት እንደሚሰሩ መማር አለቦት, የተግባሮቹን ውስብስብነት ከርዕስ ወደ ርዕስ እጨምራለሁ.

ችግሮችን መፍታት እንጀምር፡-

1. ቴትራሄድሮን ይሳሉ, ቀደም ብዬ እንደጠቆምኩት በማስተባበር ስርዓት ውስጥ ያስቀምጡት. ቴትራሄድሮን መደበኛ ስለሆነ ሁሉም ፊቶቹ (መሰረቱን ጨምሮ) መደበኛ ትሪያንግሎች ናቸው። የጎን ርዝመት ስላልተሰጠን, እኩል እንዲሆን ልወስደው እችላለሁ. አንግል በእውነታው የኛ ቴትራሄድሮን “በተዘረጋ” ላይ የተመካ እንደማይሆን የተረዱ ይመስለኛል። እንዲሁም በቴትራሄድሮን ውስጥ ያለውን ቁመት እና መካከለኛ እሳለሁ. በመንገድ ላይ, መሰረቱን እሳለሁ (እሱም ለእኛ ጠቃሚ ይሆናል).

በ እና መካከል ያለውን አንግል ማግኘት አለብኝ። ምን እናውቃለን? እኛ የምናውቀው የነጥቡን ቅንጅት ብቻ ነው። ይህ ማለት የነጥቦቹን መጋጠሚያዎች መፈለግ አለብን ማለት ነው. አሁን እኛ እናስባለን-አንድ ነጥብ የሶስት ማዕዘኑ ከፍታዎች (ወይም ቢሴክተሮች ወይም ሚዲያን) መገናኛ ነጥብ ነው። እና አንድ ነጥብ ከፍ ያለ ነጥብ ነው. ነጥቡ የክፍሉ መካከለኛ ነው. ከዚያም በመጨረሻ ማግኘት ያስፈልገናል: ነጥቦች መጋጠሚያዎች:.

በጣም ቀላል በሆነው ነገር እንጀምር፡ የአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች። ስዕሉን ይመልከቱ: የአንድ ነጥብ አፕሊኬሽን ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው (ነጥቡ በአውሮፕላኑ ላይ ነው). ሹመቱ እኩል ነው (መካከለኛ ስለሆነ)። አቢሲሳውን ለማግኘት የበለጠ ከባድ ነው። ሆኖም፣ ይህ በፒታጎሪያን ቲዎሬም ላይ በመመስረት በቀላሉ ይከናወናል፡ ሶስት ማዕዘን አስቡ። ሃይፖቴኑዝ እኩል ነው፣ እና አንደኛው እግሮቹ እኩል ናቸው።

በመጨረሻም እኛ አለን:.

አሁን የነጥቡን መጋጠሚያዎች እንፈልግ. የእሱ አፕሊኬሽኑ እንደገና ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው, እና ዳይሬሽኑ ከአንድ ነጥብ ጋር ተመሳሳይ ነው, ማለትም. አቢሲሳን እንፈልግ። ያንን ካስታወሱ ይህ በጣም ቀላል በሆነ ሁኔታ ይከናወናል በመስቀለኛ መንገድ እኩል የሆነ የሶስት ማዕዘን ቁመቶች በተመጣጣኝ የተከፋፈሉ ናቸው, ከላይ በመቁጠር. ጀምሮ:, ከዚያም የነጥብ አስፈላጊ abscissa, ክፍል ርዝመት ጋር እኩል ነው, እኩል ነው:. ስለዚህም የነጥቡ መጋጠሚያዎች፡-

የነጥቡን መጋጠሚያዎች እንፈልግ። የእሱ abcissa እና ordinate ነጥቡን abcissa እና ordinate ጋር የሚገጣጠሙ ግልጽ ነው. እና አፕሊኬሽኑ ከክፍሉ ርዝመት ጋር እኩል ነው. - ይህ ከሶስት ማዕዘን እግሮች አንዱ ነው. የሶስት ማዕዘን hypotenuse ክፍል - እግር ነው. በምክንያት ነው የሚፈለገው በደማቅ ፅሁፌ ያደምኩት።

ነጥቡ የክፍሉ መካከለኛ ነው. ከዚያ የክፍሉ መካከለኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ቀመርን ማስታወስ አለብን-

ያ ብቻ ነው፣ አሁን የአቅጣጫ ቬክተሮች መጋጠሚያዎችን መፈለግ እንችላለን፡-

ደህና ፣ ሁሉም ነገር ዝግጁ ነው - ሁሉንም ውሂብ ወደ ቀመር እንተካለን-

ስለዚህም

መልስ፡-

እንደዚህ ባሉ "አስፈሪ" መልሶች መፍራት የለብዎትም: ለ C2 ችግሮች ይህ የተለመደ አሰራር ነው. በዚህ ክፍል ውስጥ ያለው "ቆንጆ" መልስ ቢገርመኝ እመርጣለሁ. እንዲሁም፣ እርስዎ እንዳስተዋሉት፣ እኔ በተግባር ከፓይታጎሪያን ቲዎረም እና ከተመጣጣኝ ትሪያንግል ከፍታ ንብረት ውጭ ወደ ሌላ ነገር አልተጠቀምኩም። ማለትም፣ የስቴሪዮሜትሪ ችግርን ለመፍታት፣ በጣም ትንሹን ስቴሪዮሜትሪ ተጠቀምኩ። በዚህ ውስጥ ያለው ትርፍ በአስቸጋሪ ስሌቶች በከፊል "መጥፋት" ነው. ግን እነሱ በጣም አልጎሪዝም ናቸው!

2. መደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ከአስተባባሪ ስርዓቱ እና ከመሠረቱ ጋር እናሳይ፡-

በመስመሮቹ እና መካከል ያለውን አንግል ማግኘት አለብን. ስለዚህ የእኛ ተግባር የነጥቦቹን መጋጠሚያዎች ለማግኘት ነው. የመጨረሻዎቹን ሶስት መጋጠሚያዎች በትንሽ ስእል በመጠቀም እናገኛለን, እና በነጥቡ መጋጠሚያ በኩል የቬርቴክሱን መጋጠሚያ እናገኛለን. ብዙ የሚሠራው ሥራ አለ፣ ግን መጀመር አለብን!

ሀ) ማስተባበር፡- አፕሊኬሽኑ እና አስተባባሪው ከዜሮ ጋር እኩል መሆናቸውን ግልጽ ነው። አብሲሳን እንፈልግ። ይህንን ለማድረግ, ትክክለኛውን ሶስት ማዕዘን ግምት ውስጥ ያስገቡ. ወዮ, በእሱ ውስጥ የምናውቀው hypotenuse ብቻ ነው, እሱም እኩል ነው. እግሩን ለማግኘት እንሞክራለን (የእግሩ ሁለት እጥፍ ርዝመት የነጥቡን abscissa እንደሚሰጠን ግልጽ ነው). እንዴት ልንፈልገው እንችላለን? በፒራሚዱ መሠረት ላይ ምን ዓይነት ምስል እንዳለን እናስታውስ? ይህ መደበኛ ሄክሳጎን ነው። ምን ማለት ነው? ይህ ማለት ሁሉም ጎኖች እና ሁሉም ማዕዘኖች እኩል ናቸው. እንደዚህ አይነት ማዕዘን ማግኘት አለብን. ማንኛውም ሀሳብ? ብዙ ሃሳቦች አሉ, ግን ቀመር አለ:

የመደበኛ n-ጎን ማዕዘኖች ድምር ነው። .

ስለዚህ የመደበኛ ሄክሳጎን ማዕዘኖች ድምር ከዲግሪዎች ጋር እኩል ነው። ከዚያ እያንዳንዱ ማዕዘኖች እኩል ናቸው-

ምስሉን እንደገና እንመልከተው። ክፍሉ የማእዘኑ ባለ ሁለት ክፍል እንደሆነ ግልጽ ነው. ከዚያም አንግል ከዲግሪዎች ጋር እኩል ነው. ከዚያም፡-

ከዚያ ከየት።

ስለዚህ, መጋጠሚያዎች አሉት

ለ) አሁን የነጥቡን አስተባባሪነት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡.

ሐ) የነጥቡን መጋጠሚያዎች ያግኙ. የእሱ abscissa ከክፍሉ ርዝመት ጋር ስለሚጣጣም, እኩል ነው. መስመሩን ማግኘትም በጣም ከባድ አይደለም፡ ነጥቦቹን ካገናኘን እና የቀጥተኛውን መስመር መገናኛ ነጥብ ከወሰንን፡ በል። (ቀላል ግንባታ እራስዎ ያድርጉት). ስለዚህ ፣ የነጥብ B መጠን ከክፍሎቹ ርዝመቶች ድምር ጋር እኩል ነው። እንደገና ትሪያንግልን እንመልከተው። ከዚያም

ከዚያ ጀምሮ ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት

መ) አሁን የነጥቡን መጋጠሚያዎች እንፈልግ. አራት ማዕዘኑን ያስቡ እና ያንን ያረጋግጡ ፣ ስለሆነም የነጥቡ መጋጠሚያዎች-

ሠ) የቬርቴክሱን መጋጠሚያዎች ለማግኘት ይቀራል. የእሱ abcissa እና ordinate ነጥቡን abcissa እና ordinate ጋር የሚገጣጠሙ ግልጽ ነው. አፕሊኬሽኑን እንፈልግ። ከዛን ጊዜ ጀምሮ. ትክክለኛውን ሶስት ማዕዘን አስቡበት. እንደ የችግሩ ሁኔታዎች, የጎን ጠርዝ. ይህ የእኔ ትሪያንግል hypotenuse ነው. ከዚያም የፒራሚዱ ቁመት እግር ነው.

ከዚያም ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት:

ደህና ፣ ያ ነው ፣ እኔን የሚስቡኝ የሁሉም ነጥቦች መጋጠሚያዎች አሉኝ። የቀጥታ መስመሮችን የመምራት ቬክተር መጋጠሚያዎችን እፈልጋለሁ፡-

በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል እየፈለግን ነው፡-

መልስ፡-

እንደገና ይህንን ችግር ለመፍታት የመደበኛ n-ጎን ማዕዘኖች ድምር ቀመር ፣ እንዲሁም የቀኝ ትሪያንግል ኮሳይን እና ሳይን ትርጓሜ ካልሆነ በስተቀር ማንኛውንም የተራቀቁ ቴክኒኮችን አልተጠቀምኩም።

3. በፒራሚድ ውስጥ የጠርዙን ርዝማኔዎች እንደገና ስላልተሰጠን አንድ እኩል እቆጥራቸዋለሁ. ስለዚህ, ሁሉም ጠርዞች, እና የጎን ብቻ ሳይሆኑ, እርስ በእርሳቸው እኩል ናቸው, ከዚያም በፒራሚዱ እና በእኔ መሰረት አንድ ካሬ አለ, እና የጎን ፊቶች መደበኛ ትሪያንግሎች ናቸው. በችግሩ ጽሑፍ ውስጥ የተሰጡትን ሁሉንም መረጃዎች በመመልከት እንዲህ ዓይነቱን ፒራሚድ እና መሰረቱን በአውሮፕላን ላይ እንሳል ።

በ እና መካከል ያለውን አንግል እየፈለግን ነው. የነጥቦቹን መጋጠሚያዎች ስፈልግ በጣም አጭር ስሌቶችን አደርጋለሁ። እነሱን “መፍታት” ያስፈልግዎታል

ለ) - የክፍሉ መካከለኛ. መጋጠሚያዎቹ፡-

ሐ) በሶስት ማዕዘን ውስጥ የፒታጎሪያን ቲዎረም በመጠቀም የክፍሉን ርዝመት አገኛለሁ. በሶስት ማዕዘን ውስጥ የፒታጎሪያን ቲዎረም በመጠቀም አገኛለሁ.

መጋጠሚያዎች፡-

መ) - የክፍሉ መካከለኛ. መጋጠሚያዎቹ ናቸው።

ሠ) የቬክተር መጋጠሚያዎች

ረ) የቬክተር መጋጠሚያዎች

ሰ) ማዕዘኑን መፈለግ;

ኩብ ቀላሉ አሃዝ ነው። እርግጠኛ ነኝ በራስህ ትረዳለህ። ለችግሮች 4 እና 5 መልሶች እንደሚከተለው ናቸው ።

በአንድ ቀጥተኛ መስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለውን አንግል መፈለግ

ደህና ፣ የቀላል እንቆቅልሾች ጊዜ አልቋል! አሁን ምሳሌዎች የበለጠ ውስብስብ ይሆናሉ. በአንድ መስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለውን አንግል ለማግኘት በሚከተለው መንገድ እንቀጥላለን።

1. ሶስት ነጥቦችን በመጠቀም የአውሮፕላኑን እኩልነት እንሰራለን
   ,
   የሶስተኛ ትዕዛዝ መወሰኛን በመጠቀም.
2. ሁለት ነጥቦችን በመጠቀም ፣የቀጥታ መስመርን የመምራት ቬክተር መጋጠሚያዎችን እንፈልጋለን።
3. ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን መካከል ያለውን አንግል ለማስላት ቀመሩን እንተገብራለን፡-

እንደሚመለከቱት, ይህ ቀመር በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ማዕዘኖችን ለማግኘት ከምንጠቀምበት ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው. በቀኝ በኩል ያለው መዋቅር በቀላሉ ተመሳሳይ ነው, እና በግራ በኩል አሁን እንደ ቀድሞው ኮሳይን ሳይሆን ሳይን እንፈልጋለን. ደህና፣ አንድ መጥፎ ድርጊት ተጨምሯል - የአውሮፕላኑን እኩልነት መፈለግ።

ነገ አንዘግይ የመፍትሄ ምሳሌዎች

1. ዋናው-ግን-ቫ-ኒ-ኤም ቀጥተኛ ፕሪዝም-እኛ እኩል-ወደ-ድሃ ትሪያንግል ነን። በቀጥታ መስመር እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ

2. ከምዕራብ በአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው par-ral-le-le-pi-pe-de በቀጥታ መስመር እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ

3. በቀኝ ባለ ስድስት ማዕዘን ፕሪዝም ሁሉም ጠርዞች እኩል ናቸው. በቀጥታ መስመር እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ.

4. በቀኝ ሶስት ማዕዘን ፒ-ራ-ሚ-ዲ ከሚታወቀው የጎድን አጥንቶች os-no-va-ni-em ጋር አንድ ጥግ ይፈልጉ ob-ra-zo-van -ጠፍጣፋ በመሠረቱ እና ቀጥ ያለ ፣ በግራጫው ውስጥ የሚያልፍ። የጎድን አጥንት እና

5. የቀኝ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒ-ራ-ሚ-ዳይ ከጫፍ ጋር ያሉት ሁሉም ጠርዞች ርዝመቶች እርስ በርስ እኩል ናቸው. ነጥቡ በፒ-ራ-ሚ-ዳይ ጠርዝ ጎን ላይ ከሆነ በቀጥታ መስመር እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ.

እንደገና፣ የመጀመሪያዎቹን ሁለት ችግሮች በዝርዝር፣ ሦስተኛውን በአጭሩ እፈታለሁ፣ እና የመጨረሻዎቹን ሁለቱን በራስዎ እንዲፈቱ እተወዋለሁ። በተጨማሪም፣ አስቀድመው ከሶስት ማዕዘን እና ባለ አራት ማዕዘን ፒራሚዶች ጋር መገናኘት ነበረብህ፣ ግን ገና ከፕሪዝም ጋር አይደለም።

መፍትሄዎች፡-

1. ፕሪዝምን እና መሰረቱን እናሳይ። ከማስተባበር ስርዓቱ ጋር እናጣምረው እና በችግር መግለጫው ውስጥ የተሰጡትን ሁሉንም መረጃዎች እናስተውል፡-

ለተመጣጣኝ መመዘኛ አለመጣጣም ይቅርታ እጠይቃለሁ ፣ ግን ለችግሩ መፍትሄ ይህ ፣ በእውነቱ ፣ ያን ያህል አስፈላጊ አይደለም ። አውሮፕላኑ በቀላሉ የኔ ፕሪዝም "የኋላ ግድግዳ" ነው። የእንደዚህ ዓይነቱ አውሮፕላን እኩልነት ቅጹ እንዳለው በቀላሉ መገመት በቂ ነው-

ሆኖም ፣ ይህ በቀጥታ ሊታይ ይችላል-

በዚህ አውሮፕላን ላይ የዘፈቀደ ሶስት ነጥቦችን እንምረጥ፡ ለምሳሌ፡ .

የአውሮፕላኑን እኩልነት እንፍጠር፡-

ለእርስዎ የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉ፡ ይህንን መወሰኛ እራስዎ ያሰሉት። ተሳክቶልሃል? ከዚያ የአውሮፕላኑ እኩልነት እንደሚከተለው ይመስላል-

ወይም በቀላሉ

ስለዚህም

ምሳሌውን ለመፍታት የቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎችን ማግኘት አለብኝ. ነጥቡ ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር ስለሚጣጣም የቬክተሩ መጋጠሚያዎች በቀላሉ ከነጥቡ መጋጠሚያዎች ጋር ይጣጣማሉ ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ የነጥቡን መጋጠሚያዎች እናገኛለን.

ይህንን ለማድረግ, ሶስት ማዕዘን ያስቡ. ቁመቱን (ሚዲያን እና ቢሴክተር በመባልም ይታወቃል) ከጫፍ ላይ እንሳበው. ጀምሮ, ነጥብ ordinate ጋር እኩል ነው. የዚህን ነጥብ abcissa ለማግኘት, የክፍሉን ርዝመት ማስላት ያስፈልገናል. በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሠረት እኛ አለን-

ከዚያም ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት:

ነጥብ "ከፍ ያለ" ነጥብ ነው፡-

ከዚያ የቬክተር መጋጠሚያዎች የሚከተሉት ናቸው:

መልስ፡-

እንደሚመለከቱት, እንደዚህ አይነት ችግሮች ሲፈቱ በመሠረቱ ምንም አስቸጋሪ ነገር የለም. እንደ እውነቱ ከሆነ, እንደ ፕሪዝም ባለው ምስል "ቀጥታ" ሂደቱ ትንሽ ቀለል ይላል. አሁን ወደ ቀጣዩ ምሳሌ እንሂድ፡-

2. አንድ ትይዩ ይሳሉ ፣ አውሮፕላን እና ቀጥ ያለ መስመር ይሳሉ እና እንዲሁም የታችኛውን መሰረቱን ይሳሉ።

በመጀመሪያ ፣ የአውሮፕላኑን እኩልነት እናገኛለን-የሶስቱ ነጥቦች መጋጠሚያዎች በውስጡ ተኝተዋል ።

(የመጀመሪያዎቹ ሁለት መጋጠሚያዎች ግልጽ በሆነ መንገድ የተገኙ ናቸው, እና የመጨረሻውን መጋጠሚያ ከሥዕሉ ላይ በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ). ከዚያ የአውሮፕላኑን እኩልነት እንፈጥራለን-

እኛ እናሰላለን፡-

የመመሪያውን ቬክተር መጋጠሚያዎች እየፈለግን ነው፡ የእሱ መጋጠሚያዎች ከነጥቡ መጋጠሚያዎች ጋር እንደሚጣጣሙ ግልጽ ነው, አይደለም? መጋጠሚያዎችን እንዴት ማግኘት ይቻላል? እነዚህ የነጥቡ መጋጠሚያዎች ናቸው ፣ በአፕሌክኬት ዘንግ ላይ አንድ በአንድ ተነስተዋል! . ከዚያ የተፈለገውን ማዕዘን እንፈልጋለን-

መልስ፡-

3. መደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ይሳሉ እና ከዚያ አውሮፕላን እና ቀጥታ መስመር ይሳሉ።

እዚህ አውሮፕላን መሳል እንኳን ችግር አለበት, ይህንን ችግር ለመፍታት ሳይጠቅሱ, ነገር ግን የማስተባበር ዘዴ ምንም ግድ የለውም! ሁለገብነቱ ዋነኛው ጠቀሜታው ነው!

አውሮፕላኑ በሦስት ነጥቦች ውስጥ ያልፋል: መጋጠሚያዎቻቸውን እየፈለግን ነው፡-

1) ላለፉት ሁለት ነጥቦች መጋጠሚያዎቹን እራስዎ ይፈልጉ። ለዚህ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ችግር መፍታት ያስፈልግዎታል!

2) የአውሮፕላኑን እኩልነት እንገነባለን-

የቬክተሩን መጋጠሚያዎች እየፈለግን ነው:. (የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ችግርን እንደገና ይመልከቱ!)

3) አንግል መፈለግ;

መልስ፡-

እንደሚመለከቱት, በእነዚህ ተግባራት ውስጥ ከተፈጥሮ በላይ የሆነ አስቸጋሪ ነገር የለም. ከሥሮቹ ጋር በጣም ጥንቃቄ ማድረግ ብቻ ያስፈልግዎታል. ለመጨረሻዎቹ ሁለት ችግሮች ብቻ መልስ እሰጣለሁ-

እንደሚመለከቱት, ችግሮችን የመፍታት ዘዴ በሁሉም ቦታ ተመሳሳይ ነው-ዋናው ስራው የጫፎቹን መጋጠሚያዎች መፈለግ እና በተወሰኑ ቀመሮች ውስጥ መተካት ነው. ማዕዘኖችን ለማስላት አሁንም አንድ ተጨማሪ የችግሮችን ክፍል ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን ፣ እነሱም-

በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያሉትን ማዕዘኖች ማስላት

የመፍትሄው ስልተ ቀመር እንደሚከተለው ይሆናል.

1. ሶስት ነጥቦችን በመጠቀም የመጀመሪያውን አውሮፕላን እኩልነት እንፈልጋለን-
2. የተቀሩትን ሶስት ነጥቦች በመጠቀም የሁለተኛውን አውሮፕላን እኩልነት እንፈልጋለን።
3. ቀመሩን እንተገብራለን፡-

እንደሚመለከቱት, ቀመሩ ከሁለቱ ቀዳሚዎች ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው, በእሱ እርዳታ ቀጥታ መስመሮች እና ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን መካከል ማዕዘኖችን ፈልገን ነበር. ስለዚህ ይህንን ማስታወስ ለእርስዎ አስቸጋሪ አይሆንም. ወደ ተግባሮቹ ትንተና እንሂድ፡-

1. የቀኝ ሦስት ማዕዘን ፕሪዝም መሠረት ጎን እኩል ነው, እና የጎን ፊት ዲያ-ጎ-ናል እኩል ነው. በአውሮፕላኑ እና በአውሮፕላኑ መካከል ባለው የፕሪዝም ዘንግ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ።

2. በቀኝ ባለ አራት ማዕዘን ፒ-ራ-ሚ-ዲ, ሁሉም ጠርዞቹ እኩል ናቸው, በአውሮፕላኑ እና በአውሮፕላኑ አጥንት መካከል ያለውን አንግል ሳይን ያገኙታል, ነጥቡን በፔን-ዲ-ኩ- በኩል በማለፍ. lyar-ግን ቀጥ.

3. በመደበኛ አራት ማዕዘን ፕሪዝም, የመሠረቱ ጎኖቹ እኩል ናቸው, እና የጎን ጠርዝ እኩል ናቸው. ከ-ሜ-ቼ-ኦን ጠርዝ ላይ አንድ ነጥብ አለ ስለዚህም. በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ እና

4. በትክክለኛው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም, የመሠረቱ ጎኖቹ እኩል ናቸው, እና የጎን ጠርዝ እኩል ናቸው. በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል ፈልግ እና ከቦታው ጠርዝ ላይ አንድ ነጥብ አለ.

5. በኩብ ውስጥ, በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል co-si-nus ያግኙ እና

የችግር መፍትሄዎች;

1. መደበኛ (ከሥሩ እኩል የሆነ ትሪያንግል) ባለ ሶስት ማዕዘን ፕሪዝም እሳለሁ እና በችግር መግለጫው ላይ የሚታዩትን አውሮፕላኖች ምልክት አደርጋለሁ።

የሁለት አውሮፕላኖችን እኩልታዎች መፈለግ አለብን-የመሠረቱ እኩልታ ቀላል ነው-ተዛማጁን መወሰኛ ሶስት ነጥቦችን በመጠቀም መፃፍ ይችላሉ ፣ ግን እኔ እኩልታውን ወዲያውኑ እዘጋጃለሁ ።

አሁን እኩልታውን እናገኝ ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት ነጥብ - የሶስት ማዕዘኑ መካከለኛ እና ከፍታ ስለሆነ በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ የፒታጎሪያን ቲዎሬምን በመጠቀም በቀላሉ ይገኛል። ከዚያ ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት፡ የነጥቡን አፕሊኬሽን እንፈልግ ይህንን ለማድረግ የቀኝ ትሪያንግልን አስቡበት።

ከዚያም የሚከተሉትን መጋጠሚያዎች እናገኛለን: የአውሮፕላኑን እኩልነት እናዘጋጃለን.

በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል እናሰላለን-

መልስ፡-

2. ሥዕል መሥራት;

በጣም አስቸጋሪው ነገር ይህ ምን አይነት ሚስጥራዊ አውሮፕላን እንደሆነ መረዳት ነው, በነጥቡ ውስጥ በቋሚነት ማለፍ. ደህና, ዋናው ነገር ምንድን ነው? ዋናው ነገር ትኩረት መስጠት ነው! እንደ እውነቱ ከሆነ, መስመሩ ቀጥ ያለ ነው. ቀጥተኛው መስመርም ቀጥ ያለ ነው. ከዚያም በእነዚህ ሁለት መስመሮች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላኑ ወደ መስመሩ ቀጥ ያለ ይሆናል, እና በነገራችን ላይ, ነጥቡን ያልፋል. ይህ አውሮፕላን በፒራሚዱ አናት በኩል ያልፋል። ከዚያም የሚፈለገው አውሮፕላን - እና አውሮፕላኑ አስቀድሞ ተሰጥቶናል. የነጥቦቹን መጋጠሚያዎች እንፈልጋለን.

የነጥቡን ቅንጅት በነጥቡ በኩል እናገኛለን። ከትንሽ ሥዕሉ ላይ የነጥቡ መጋጠሚያዎች እንደሚከተለው እንደሚሆኑ መገመት ቀላል ነው-የፒራሚዱን የላይኛው ክፍል መጋጠሚያዎች ለማግኘት አሁን ምን ይቀራል? እንዲሁም ቁመቱን ማስላት ያስፈልግዎታል. ይህ የሚደረገው በተመሳሳይ የፓይታጎሪያን ንድፈ ሐሳብ በመጠቀም ነው፡ በመጀመሪያ ያንን ያረጋግጡ (በጥቃቅን ከትንሽ ትሪያንግሎች በመሠረት ላይ አንድ ካሬ ይመሰርታሉ)። በቅድመ ሁኔታው ​​መሰረት፡- አለን።

አሁን ሁሉም ነገር ዝግጁ ነው: የ vertex መጋጠሚያዎች:

የአውሮፕላኑን እኩልነት እንፈጥራለን-

አስቀድመው ቆራጮችን በማስላት ረገድ ባለሙያ ነዎት። ያለችግር የሚከተሉትን ያገኛሉ

አለበለዚያ (ሁለቱንም ወገኖች በሁለት ሥር ብናባዛው)

አሁን የአውሮፕላኑን እኩልነት እንፈልግ፡-

(የአውሮፕላንን እኩልነት እንዴት እንደምናገኝ አልረሳህም አይደል? ይህ ተቀንሶ ከየት እንደመጣ ካልተረዳህ ወደ አውሮፕላን እኩልነት ፍቺ ተመለስ! የእኔ አውሮፕላን የመጋጠሚያዎች መነሻ ነበር!)

መለያውን እናሰላለን-

(የአውሮፕላኑ እኩልነት ነጥቦቹን ከሚያልፈው መስመር እኩልታ ጋር እንደሚገጣጠም ልብ ይበሉ እና ለምን እንደሆነ ያስቡ!)

አሁን ማዕዘኑን እናሰላለን፡-

ሲን መፈለግ አለብን፡-

መልስ፡-

3. ተንኮለኛ ጥያቄ፡ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም ምን ይመስልሃል? ይህ እርስዎ በደንብ የሚያውቁት ትይዩ ነው! ወዲያውኑ ስዕል እንሥራ! መሰረቱን በተናጥል መግለጽ እንኳን አያስፈልግዎትም፤ እዚህ ብዙም ጥቅም የለውም፡

አውሮፕላኑ ቀደም ሲል እንዳየነው በቀመር መልክ ተጽፏል፡-

አሁን አውሮፕላን እንፍጠር

ወዲያውኑ የአውሮፕላኑን እኩልነት እንፈጥራለን-

ማዕዘን በመፈለግ ላይ፡-

አሁን ለመጨረሻዎቹ ሁለት ችግሮች መልሶች:

ደህና፣ ትንሽ እረፍት የምንወስድበት ጊዜ አሁን ነው፣ ምክንያቱም እኔ እና አንቺ ታላቅ ነን እና ጥሩ ስራ ሰርተናል!

መጋጠሚያዎች እና ቬክተሮች. የላቀ ደረጃ

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የማስተባበር ዘዴን በመጠቀም ሊፈቱ የሚችሉትን ሌላ የችግሮች ክፍል እንነጋገራለን-የርቀት ስሌት ችግሮች ። ማለትም የሚከተሉትን ጉዳዮች እንመለከታለን።

1. በተቆራረጡ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት ስሌት.

በችግር መጨመር ቅደም ተከተል እነዚህን ስራዎች አዝዣለሁ። ለማግኘት በጣም ቀላል ሆኖ ተገኝቷል ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ርቀት, እና በጣም አስቸጋሪው ነገር ማግኘት ነው በማቋረጫ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት. ምንም እንኳን, በእርግጥ, የማይቻል ነገር የለም! ለሌላ ጊዜ አናዘግይ እና ወዲያውኑ የችግሮችን የመጀመሪያ ክፍል ወደ ማጤን እንቀጥላለን።

ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት በማስላት ላይ

ይህንን ችግር ለመፍታት ምን ያስፈልገናል?

1. የነጥብ መጋጠሚያዎች

ስለዚህ ፣ ሁሉንም አስፈላጊ መረጃዎች እንደተቀበልን ፣ ቀመሩን እንተገብራለን-

በመጨረሻው ክፍል ላይ ከተነጋገርኳቸው ቀደምት ችግሮች የአውሮፕላንን እኩልነት እንዴት እንደምንገነባ አስቀድመው ማወቅ አለብዎት። በቀጥታ ወደ ተግባሮቹ እንሂድ። መርሃግብሩ እንደሚከተለው ነው-1, 2 - እርስዎ እንዲወስኑ እረዳዎታለሁ, እና በተወሰነ ዝርዝር ውስጥ, 3, 4 - መልሱ ብቻ ነው, እርስዎ እራስዎ መፍትሄውን ያካሂዳሉ እና ያወዳድሩ. እንጀምር!

ተግባራት፡

1. አንድ ኩብ ተሰጥቷል. የኩባው ጠርዝ ርዝመት እኩል ነው. ከሴ-ሬ-ዲ-ና ከተቆረጠው ወደ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት ይፈልጉ

2. ትክክለኛውን አራት የድንጋይ ከሰል ፒ-ራ-ሚ-አዎ ከተሰጠ, የጎን ጎን ከመሠረቱ ጋር እኩል ነው. ከቦታው እስከ አውሮፕላኑ ድረስ ያለውን ርቀት ይፈልጉ - ሴ-ሬ-ዲ-በጠርዙ ላይ።

3. በቀኝ ሶስት ማዕዘን ፒ-ራ-ሚ-ዲ ከ os-no-va-ni-em ጋር, የጎን ጠርዝ እኩል ነው, እና በ os-no-va-nia ላይ ያለው መቶ-ሮ-ኦን እኩል ነው. ከላይ ወደ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት ይፈልጉ.

4. በቀኝ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሁሉም ጠርዞች እኩል ናቸው. ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ይፈልጉ.

መፍትሄዎች፡-

1. በነጠላ ጠርዞች አንድ ኩብ ይሳሉ ፣ አንድ ክፍል እና አውሮፕላን ይገንቡ ፣ የክፍሉን መሃል በደብዳቤ ያመልክቱ።

.

በመጀመሪያ፣ በቀላል እንጀምር፡ የነጥቡን መጋጠሚያዎች ይፈልጉ። ከዚያን ጊዜ ጀምሮ (የክፍሉን መሃል መጋጠሚያዎች ያስታውሱ!)

አሁን ሶስት ነጥቦችን በመጠቀም የአውሮፕላኑን እኩልነት እናዘጋጃለን

\[\ግራ| (\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\መጨረሻ(ድርድር)) \ትክክል| = 0\]

አሁን ርቀቱን ማግኘት እችላለሁ፡-

2. ሁሉንም መረጃዎች ምልክት የምናደርግበት ስዕል እንደገና እንጀምራለን!

ለፒራሚድ, መሰረቱን በተናጠል መሳል ጠቃሚ ይሆናል.

እንደ ዶሮ በመዳፉ መሳል እንኳን ይህን ችግር በቀላሉ እንዳንፈታው አያግደንም።

አሁን የነጥብ መጋጠሚያዎችን ማግኘት ቀላል ነው።

የነጥብ መጋጠሚያዎች ጀምሮ, ከዚያም

2. የነጥብ a መጋጠሚያዎች የክፍሉ መካከለኛ ስለሆኑ, ከዚያ

ያለ ምንም ችግር ፣ በአውሮፕላኑ ላይ የሁለት ተጨማሪ ነጥቦችን መጋጠሚያዎች ማግኘት እንችላለን ። ለአውሮፕላኑ እኩልነት እንፈጥራለን እና ቀላል እናደርጋለን-

\[\ግራ| (\ግራ|(\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c)))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2)))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\መጨረሻ(ድርድር)) \ቀኝ|) \ቀኝ| = 0\]

ነጥቡ መጋጠሚያዎች ስላሉት:, ርቀቱን እናሰላለን:

መልስ (በጣም አልፎ አልፎ!):

ደህና፣ ታውቃለህ? እዚህ ያለው ነገር ሁሉ ልክ ባለፈው ክፍል ላይ እንደተመለከትናቸው ምሳሌዎች ቴክኒካል የሆነ ይመስላል። ስለዚህ ያንን ቁሳቁስ በደንብ ከተለማመዱ የቀሩትን ሁለት ችግሮች ለመፍታት ለእርስዎ ከባድ እንደማይሆን እርግጠኛ ነኝ። መልሱን ብቻ እሰጥሃለሁ፡-

ከቀጥታ መስመር ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት በማስላት ላይ

በእውነቱ, እዚህ ምንም አዲስ ነገር የለም. ቀጥ ያለ መስመር እና አውሮፕላን አንጻራዊ በሆነ መንገድ እንዴት ሊቀመጡ ይችላሉ? አንድ ዕድል ብቻ አላቸው: ለመቆራረጥ, ወይም ቀጥታ መስመር ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ነው. ይህ ቀጥተኛ መስመር ወደሚያገናኝበት አውሮፕላን ከቀጥታ መስመር ያለው ርቀት ምን ይመስልሃል? እዚህ ላይ እንደዚህ ያለ ርቀት ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ግልጽ ሆኖ ይታየኛል. አስደሳች ጉዳይ አይደለም.

ሁለተኛው ጉዳይ በጣም አስቸጋሪ ነው: እዚህ ርቀቱ ቀድሞውኑ ዜሮ አይደለም. ነገር ግን መስመሩ ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ስለሆነ እያንዳንዱ የመስመሩ ነጥብ ከዚህ አውሮፕላን ጋር እኩል ነው፡-

ስለዚህም፡-

ይህ ማለት የእኔ ተግባር ወደ ቀዳሚው ተቀንሷል ማለት ነው-በቀጥታ መስመር ላይ የማንኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎችን እንፈልጋለን ፣ የአውሮፕላኑን እኩልነት እየፈለግን እና ከነጥቡ እስከ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት እናሰላለን። እንደ እውነቱ ከሆነ በተዋሃዱ የስቴት ፈተና ውስጥ እንደዚህ ያሉ ተግባራት እጅግ በጣም ጥቂት ናቸው. አንድ ችግር ብቻ ማግኘት ቻልኩ ፣ እና በውስጡ ያለው መረጃ የማስተባበር ዘዴው በእሱ ላይ በጣም የማይተገበር ነበር!

አሁን ወደ ሌላ በጣም አስፈላጊ የችግሮች ክፍል እንሂድ፡-

የነጥብ ወደ መስመር ያለውን ርቀት በማስላት ላይ

ምን ያስፈልገናል?

1. ርቀቱን የምንፈልግበት ነጥብ መጋጠሚያዎች፡-

2. በመስመር ላይ የተኛ ማንኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች

3. የቀጥታ መስመርን የመምራት ቬክተር መጋጠሚያዎች

ምን ዓይነት ቀመር ነው የምንጠቀመው?

የዚህ ክፍልፋይ መለያ ምን ማለት እንደሆነ ለእርስዎ ግልጽ መሆን አለበት፡ ይህ የቀጥታ መስመር የመምራት ቬክተር ርዝመት ነው። ይህ በጣም ተንኮለኛ አሃዛዊ ነው! አገላለጹ ማለት የቬክተር የቬክተር ምርትን ሞጁል (ርዝመት) እና የቬክተርን ምርት እንዴት ማስላት እንደሚቻል, ባለፈው የስራ ክፍል ላይ አጥንተናል. እውቀትዎን ያድሱ፣ አሁን በጣም እንፈልጋለን!

ስለዚህ ችግሮችን ለመፍታት ስልተ ቀመር እንደሚከተለው ይሆናል

1. ርቀቱን የምንፈልግበትን ነጥብ መጋጠሚያዎች እንፈልጋለን.

2. ርቀቱን በምንፈልግበት መስመር ላይ የየትኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎችን እንፈልጋለን.

3. ቬክተር ይገንቡ

4. ቀጥታ መስመር የሚመራ ቬክተር ይገንቡ

5. የቬክተር ምርቱን አስሉ

6. የውጤቱን የቬክተር ርዝመት እንፈልጋለን:

7. ርቀቱን አስሉ፡-

ብዙ መሥራት አለብን፣ እና ምሳሌዎቹ በጣም ውስብስብ ይሆናሉ! ስለዚህ አሁን ሁሉንም ትኩረት ይስጡ!

1. ከላይ ያለው የቀኝ ሶስት ማዕዘን ፒ-ራ-ሚ-ዳ ተሰጥቷል። በ pi-ra-mi-dy ላይ ያለው መቶ-ሮ-እኩል ነው, እኩል ነዎት. ከግራጫው ጠርዝ እስከ ቀጥታ መስመር ድረስ ያለውን ርቀት ያግኙ, ነጥቦቹ እና ግራጫው ጠርዞች እና ከእንስሳት ህክምና.

2. የጎድን አጥንቶች ርዝማኔ እና ቀጥተኛ-አንግል-ኖ-ሂድ ፓር-ራል-ሌ-ሊ-ፒ-ፔ-ዳ እኩል ናቸው እና ከላይ ወደ ቀጥታ መስመር ያለውን ርቀት ይፈልጉ.

3. በቀኝ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሁሉም ጠርዞች እኩል ናቸው, ከነጥብ ወደ ቀጥታ መስመር ያለውን ርቀት ያግኙ.

መፍትሄዎች፡-

1. ሁሉንም ውሂቦች ምልክት የምናደርግበት የተጣራ ስዕል እንሰራለን-

ብዙ ስራ አለብን! በመጀመሪያ፣ ምን እንደምንፈልግ እና በምን ቅደም ተከተል በቃላት መግለጽ እፈልጋለሁ።

1. የነጥቦች መጋጠሚያዎች እና

2. የነጥብ መጋጠሚያዎች

3. የነጥቦች መጋጠሚያዎች እና

4. የቬክተሮች መጋጠሚያዎች እና

5. የመስቀል ምርታቸው

6. የቬክተር ርዝመት

7. የቬክተር ምርት ርዝመት

8. ርቀት ከ ወደ

እንግዲህ ብዙ ስራ ይጠብቀናል! እጃችን ተጠቅልሎ ወደ እሱ እንሂድ!

1. የፒራሚዱን ቁመት መጋጠሚያዎች ለማግኘት የነጥቡን መጋጠሚያዎች ማወቅ አለብን የእሱ አፕሊኬሽን ዜሮ ነው ፣ እና የእሱ አፕሊኬሽኑ ከ abscissa ጋር እኩል ነው ከክፍሉ ርዝመት ጋር እኩል ነው። ተመጣጣኝ ትሪያንግል , በሬሾው ውስጥ ተከፋፍሏል, ከጫፍ መቁጠር, ከዚህ. በመጨረሻም መጋጠሚያዎቹን አግኝተናል፡-

የነጥብ መጋጠሚያዎች

2. - የክፍሉ መካከለኛ

3. - የክፍሉ መካከለኛ

የክፍሉ መካከለኛ ነጥብ

4.መጋጠሚያዎች

የቬክተር መጋጠሚያዎች

5. የቬክተር ምርቱን አስሉ፡-

6. የቬክተር ርዝመት: ለመተካት ቀላሉ መንገድ ክፍሉ የሶስት ማዕዘን መካከለኛ መስመር ሲሆን ይህም ማለት ከመሠረቱ ከግማሽ ጋር እኩል ነው. ስለዚህ.

7. የቬክተር ምርቱን ርዝመት ያሰሉ፡-

8. በመጨረሻም, ርቀቱን እናገኛለን:

ኧረ በቃ! በሐቀኝነት እነግራችኋለሁ-ይህን ችግር በባህላዊ ዘዴዎች (በግንባታ) መፍታት በጣም ፈጣን ይሆናል. ግን እዚህ ሁሉንም ነገር ወደ ዝግጁ-የተሰራ ስልተ ቀመር ቀነስኩ! የመፍትሄው ስልተ ቀመር ለእርስዎ ግልጽ የሆነ ይመስለኛል? ስለዚህ, የቀሩትን ሁለት ችግሮች እራስዎ እንዲፈቱ እጠይቃለሁ. መልሱን እናወዳድር?

በድጋሚ, እደግማለሁ: ወደ ቅንጅታዊ ዘዴ ከመጠቀም ይልቅ እነዚህን ችግሮች በግንባታዎች መፍታት ቀላል (ፈጣን) ነው. ይህንን የመፍትሄ ዘዴ ያሳየሁት “ምንም ነገር መገንባት እንዳትጨርሱ” የሚያስችል ሁለንተናዊ ዘዴ ላሳይህ ነው።

በመጨረሻ፣ የመጨረሻውን የችግሮች ክፍል አስቡበት፡-

በተቆራረጡ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት በማስላት ላይ

እዚህ ችግሮችን ለመፍታት አልጎሪዝም ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ይሆናል. ያለን ነገር፡-

3. የአንደኛውን እና የሁለተኛውን መስመር ነጥቦች የሚያገናኝ ማንኛውም ቬክተር፡-

በመስመሮች መካከል ያለውን ርቀት እንዴት እናገኛለን?

ቀመሩ እንደሚከተለው ነው።

አሃዛዊው የተቀላቀለው ምርት ሞጁል ነው (በቀደመው ክፍል አስተዋውቀናል) እና መለያው ልክ እንደ ቀደመው ቀመር (የቀጥታ መስመሮች አቅጣጫ ቬክተር የቬክተር ምርት ሞጁል ፣ በመካከላችን ያለው ርቀት) እየፈለጉ ነው)።

ያንን አስታውሳችኋለሁ

ከዚያም የርቀቱ ቀመር እንደ ሊጻፍ ይችላል:

ይህ በቆራጥነት የተከፋፈለ ቆራጥ ነው! ምንም እንኳን እውነት ለመናገር እዚህ ለቀልድ ጊዜ የለኝም! ይህ ቀመር በእውነቱ በጣም አስቸጋሪ እና ወደ ውስብስብ ስሌቶች ይመራል. እኔ አንተ ብሆን ኖሮ እንደ የመጨረሻ አማራጭ ብቻ እጠቀምበት ነበር!

ከላይ ያለውን ዘዴ በመጠቀም ጥቂት ችግሮችን ለመፍታት እንሞክር.

1. በትክክለኛው የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም, ሁሉም ጠርዞቹ እኩል ናቸው, ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት እና.

2. የቀኝ ሦስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም ከተሰጠ, ሁሉም የመሠረቱ ጠርዞች በሰውነት የጎድን አጥንት ውስጥ ከሚያልፈው ክፍል ጋር እኩል ናቸው እና የሴ-ሪ-ዲ-ዌል ሪምስ አራት ማዕዘን ናቸው. በቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ እና

የመጀመሪያውን እወስናለሁ, እና በእሱ ላይ በመመስረት, ሁለተኛውን ትወስናለህ!

1. ፕሪዝምን እሳለሁ እና ቀጥታ መስመሮችን ምልክት አደርጋለሁ እና

የነጥብ C መጋጠሚያዎች: ከዚያም

የነጥብ መጋጠሚያዎች

የቬክተር መጋጠሚያዎች

የነጥብ መጋጠሚያዎች

የቬክተር መጋጠሚያዎች

የቬክተር መጋጠሚያዎች

\[\ግራ ((B,\overቀኝ ቀስት (A(A_1)) (\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(l))(\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c))0&1&0\መጨረሻ(ድርድር))\\(\ጀምር(ድርድር)(*(20)) (ሐ))0&0&1\መጨረሻ(ድርድር))\\(\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&(- \ frac(1) (2))&1\መጨረሻ(ድርድር))\መጨረሻ(ድርድር)) \ቀኝ| = \ frac ((\sqrt 3)) (2)\]

በቬክተሮች መካከል ያለውን የቬክተር ምርት እናሰላለን

\[\የቀጥታ ቀስት (A(A_1)) \cdot \የቀጥታ ቀስት (B(C_1)) = \ግራ| \ጀማሪ(ድርድር)(l)\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c))(\overrightarrow i)&(\overrightarrow j)&(\overright arrow k)\መጨረሻ(ድርድር)\\\ጀማሪ(ድርድር) (*(20)(ሐ))0&0&1\መጨረሻ(ድርድር)\\\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&(-- frac(1)(2))&1\መጨረሻ(ድርድር)\መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ| - \frac((\sqrt 3))(2)\ቀጥታ ቀስት k + \frac(1)(2)\ቀጥታ ቀስት i \]

አሁን ርዝመቱን እናሰላለን-

መልስ፡-

አሁን ሁለተኛውን ስራ በጥንቃቄ ለማጠናቀቅ ይሞክሩ. ለእሱ መልሱ ይሆናል:.

መጋጠሚያዎች እና ቬክተሮች. አጭር መግለጫ እና መሰረታዊ ቀመሮች

ቬክተር የሚመራ ክፍል ነው። - የቬክተር መጀመሪያ, - የቬክተር መጨረሻ.
ቬክተር በ ወይም.

ፍጹም ዋጋቬክተር - ቬክተሩን የሚወክል ክፍል ርዝመት. ተብሎ ተወስኗል።

የቬክተር መጋጠሚያዎች፡-

,
የቬክተር ጫፎች የት አሉ \ displaystyle a .

የቬክተር ድምር፡.

የቬክተሮች ምርት;

የቬክተሮች ነጥብ ውጤት;