ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ርቀት, የጂኦሜትሪክ ዘዴዎች. መጋጠሚያዎች እና ቬክተሮች

ይህ ጽሑፍ ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ስለመወሰን ይናገራል. በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ከተሰጠው ነጥብ ርቀትን እንድናገኝ የሚያስችለውን የማስተባበር ዘዴን በመጠቀም እንመርምረው። ይህንን ለማጠናከር, የበርካታ ስራዎች ምሳሌዎችን እንመልከት.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት ከአንድ ነጥብ ወደ አንድ ነጥብ በሚታወቀው ርቀት በኩል አንዱ ሲሆን ሌላኛው ደግሞ በተሰጠው አውሮፕላን ላይ ትንበያ ነው.

አንድ ነጥብ M 1 ከአውሮፕላን χ ጋር በጠፈር ላይ ሲገለጽ, ከዚያም ወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ያለ ቀጥተኛ መስመር በነጥቡ በኩል መሳል ይቻላል. H 1 የጋራ መጋጠሚያ ቦታቸው ነው. ከዚህ የምንረዳው ክፍል M 1 H 1 ከ M 1 ወደ አውሮፕላኑ χ የተሳለ ቀጥ ያለ ነው ፣ እሱም ነጥብ H 1 የቋሚው መሠረት ነው።

ፍቺ 1

ከተጠቀሰው ነጥብ እስከ አውሮፕላን አውሮፕላን ድረስ በተሰየመ ቋሚ መሠረት ያለው ርቀት ይባላል.

ትርጉሙ በተለያዩ ቀመሮች ሊጻፍ ይችላል.

ፍቺ 2

ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ርቀትከተወሰነ ነጥብ ወደ አንድ አውሮፕላን የተዘረጋው የቋሚው ርዝመት ነው.

ከ M 1 እስከ χ አውሮፕላን ያለው ርቀት እንደሚከተለው ይወሰናል-ከ M 1 እስከ χ አውሮፕላን ያለው ርቀት ከተሰጠው ነጥብ ወደ አውሮፕላን ውስጥ ያለው ርቀት በጣም ትንሹ ይሆናል. ነጥብ H 2 በ χ አውሮፕላን ውስጥ የሚገኝ ከሆነ እና ከ H 2 ጋር እኩል ካልሆነ ፣ ከዚያ የቀኝ ትሪያንግል ቅጽ M 2 H 1 H 2 እናገኛለን። , እሱም አራት ማዕዘን ነው, እዚያም እግር M 2 H 1, M 2 H 2 - hypotenuse; ይህ ማለት M 1 ሸ 1ን ይከተላል ማለት ነው።< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 ከ M 1 ነጥብ ወደ አውሮፕላኑ χ የተሳለው እንደ ዝንባሌ ይቆጠራል. እኛ ከተወሰነ ነጥብ ወደ አውሮፕላኑ የተቀረጸው ቀጥ ያለ ነጥብ ከነጥቡ ወደ አውሮፕላን ከተሳለው ዘንበል ያነሰ ነው. ይህንን ጉዳይ ከዚህ በታች ባለው ስእል እንመልከተው።

ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ርቀት - ጽንሰ-ሐሳብ, ምሳሌዎች, መፍትሄዎች

መፍትሄዎቻቸው ከአንድ ነጥብ እስከ አውሮፕላን ያለውን ርቀት መያዝ ያለባቸው በርካታ የጂኦሜትሪክ ችግሮች አሉ. ይህንን ለመለየት የተለያዩ መንገዶች ሊኖሩ ይችላሉ. ለመፍታት፣ የፒታጎሪያን ቲዎረምን ወይም የሶስት ማዕዘኖችን ተመሳሳይነት ይጠቀሙ። ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ባለ አራት ማዕዘን ቅንጅት ስርዓት ውስጥ ከተሰጠው ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ማስላት አስፈላጊ በሚሆንበት ጊዜ እንደ ሁኔታው ​​​​በመጋጠሚያ ዘዴው መፍትሄ ያገኛል. ይህ አንቀጽ ይህን ዘዴ ያብራራል.

እንደ የችግሩ ሁኔታዎች, ከ M 1 (x 1, y 1, z 1) ጋር ከመጋጠሚያዎች ጋር ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ አንድ ነጥብ ከ χ ጋር ተሰጥቷል; አውሮፕላኑ χ. ይህንን ችግር ለመፍታት ብዙ የመፍትሄ ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ.

የመጀመሪያው መንገድ

ይህ ዘዴ ከ ነጥብ M 1 እስከ አውሮፕላኑ χ የቋሚው መሠረት የሆኑትን የ H 1 መጋጠሚያዎች በመጠቀም ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት በመፈለግ ላይ የተመሰረተ ነው. በመቀጠል በ M 1 እና H 1 መካከል ያለውን ርቀት ማስላት ያስፈልግዎታል.

ችግሩን በሁለተኛው መንገድ ለመፍታት, የተሰጠውን አውሮፕላን መደበኛውን እኩልታ ይጠቀሙ.

ሁለተኛ መንገድ

እንደ ሁኔታው, እኛ H 1 ከ M 1 ወደ አውሮፕላን χ የተቀነሰው የፔንዲኩላር መሠረት ነው. ከዚያም የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎች (x 2, y 2, z 2) እንወስናለን. ከ M 1 እስከ χ አውሮፕላን የሚፈለገው ርቀት በቀመር M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, M 1 ይገኛል. (x 1, y 1, z 1) እና H 1 (x 2, y 2, z 2). ለመፍታት የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎችን ማወቅ ያስፈልግዎታል።

እኛ H 1 የ χ አይሮፕላን መገናኛ ነጥብ ከመስመር ሀ ጋር ነው ፣ እሱም ከ χ አውሮፕላን ጋር ቀጥ ብሎ በሚገኘው ነጥብ M 1 ውስጥ ያልፋል። በተሰጠው አውሮፕላን ውስጥ በተሰጠው ነጥብ በኩል የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ማጠናቀር አስፈላጊ ነው. የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎችን ለመወሰን የምንችለው ያኔ ነው። የመስመሩን እና የአውሮፕላኑን መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ማስላት አስፈላጊ ነው.

ከአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች M 1 (x 1, y 1, z 1) እስከ χ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ለመፈለግ አልጎሪዝም፡

ፍቺ 3

• በነጥብ M 1 ውስጥ ማለፍ እና በተመሳሳይ ጊዜ የቀጥታ መስመር እኩልታ ይሳሉ
• ወደ χ አውሮፕላን ቀጥ ያለ;
• የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎችን (x 2 ፣ y 2 ፣ z 2) ይፈልጉ እና ያሰሉ ፣ እነሱም ነጥቦች
• የመስመር መጋጠሚያ ከአውሮፕላን χ ጋር;
• ቀመር M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 በመጠቀም ከ M 1 እስከ χ ያለውን ርቀት አስላ።

ሦስተኛው መንገድ

በተሰጠው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓት O x y z አውሮፕላን አለ χ , ከዚያም የአውሮፕላኑን መደበኛ እኩልታ እናገኛለን cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. ከዚህ ርቀቱ M 1 H 1 ከ ነጥብ M 1 (x 1, y 1, z 1) ጋር ወደ አውሮፕላን χ ተስሏል, በቀመር M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos ይሰላል. γ z - p . ይህ ፎርሙላ ለቲዎሬም ምስጋና ስለተመሰረተ ትክክለኛ ነው።

ቲዎረም

አንድ ነጥብ M 1 (x 1, y 1, z 1) በሶስት-ልኬት ቦታ ላይ ከተሰጠ, የአውሮፕላኑ መደበኛ እኩልታ χ የቅጹ cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, ከዚያም ከነጥቡ እስከ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት በማስላት M 1 H 1 የሚገኘው በቀመር M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, ከ x = x 1, y = y 1 ነው. ፣ z = z 1

ማረጋገጫ

የንድፈ ሃሳቡ ማረጋገጫ ከአንድ ነጥብ እስከ መስመር ያለውን ርቀት ለማግኘት ይወርዳል። ከዚህ የምንረዳው ከ M 1 እስከ χ አውሮፕላን ያለው ርቀት በራዲየስ ቬክተር M 1 የቁጥር ትንበያ መካከል ያለው ልዩነት ከመነሻው እስከ χ አውሮፕላን ባለው ርቀት መካከል ያለው ልዩነት ሞጁል ነው ። ከዚያም M 1 H 1 = n p n → O M → - p የሚለውን አገላለጽ እናገኛለን. የአውሮፕላኑ መደበኛ ቬክተር n → = cos α, cos β, cos γ, እና ርዝመቱ ከአንድ እኩል ነው, n p n → O M → የቬክተር ኦኤም → = (x 1, y 1) የቁጥር ትንበያ ነው. , z 1) በቬክተር n → በተወሰነው አቅጣጫ.

ስካላር ቬክተሮችን ለማስላት ቀመሩን እንተገብረው። ከዚያም ቅጽ ቬክተር ለማግኘት አገላለጽ እናገኛለን n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , ጀምሮ n → = cos α , cos β , cos γ · z እና O M → = (x 1, y 1, z 1) የአጻጻፍ ማስተባበሪያው ቅጽ n → ፣ O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 ፣ ከዚያ M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x ይይዛል። 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ከዚህ ተነስተን ከ M 1 (x 1, y 1, z 1) ወደ አውሮፕላን χ ያለው ርቀት cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ወደ ውስጥ በመተካት ይሰላል. ከ x ፣ y ፣ z መጋጠሚያዎች x 1 ፣ y 1 እና የአውሮፕላኑ መደበኛ እኩልታ በግራ በኩል z 1, ከ ነጥብ M 1 ጋር በማያያዝ, የተገኘውን እሴት ፍጹም ዋጋ በመውሰድ.

ከአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች እስከ ተሰጠው አውሮፕላን ያለውን ርቀት የማግኘት ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 1

ከመጋጠሚያዎች M 1 (5, - 3, 10) እስከ አውሮፕላኑ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ያለውን ርቀት ከነጥቡ አስላ።

መፍትሄ

ችግሩን በሁለት መንገድ እንፍታው።

የመጀመሪያው ዘዴ የመስመሩን አቅጣጫ ቬክተር በማስላት ይጀምራል ሀ. እንደ ሁኔታው, የተሰጠው እኩልታ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 አጠቃላይ የአውሮፕላን እኩልታ ነው, እና n → = (2, - 1, 5) የተሰጠው አውሮፕላን መደበኛ ቬክተር ነው. እንደ ቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ ቬክተር ጥቅም ላይ ይውላል, እሱም ከተሰጠው አውሮፕላን ጋር ቀጥ ያለ ነው. በ M 1 (5, - 3, 10) በኩል በሚያልፈው የጠፈር ውስጥ የመስመር ላይ ቀኖናዊ እኩልታ ከአቅጣጫ ቬክተር ጋር መጋጠሚያዎች 2, - 1, 5 መፃፍ አስፈላጊ ነው.

እኩልታው x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ይሆናል።

የመገናኛ ነጥቦች መወሰን አለባቸው. ይህንን ለማድረግ ከቀኖናዊነት ወደ ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች እኩልታዎች ለማንቀሳቀስ እኩልታዎችን ቀስ ብለው ወደ ስርዓት ያዋህዱ. ይህንን ነጥብ እንደ H 1 እንውሰድ። ያንን እናገኛለን

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (ዝ - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

ከዚያ በኋላ ስርዓቱን ማንቃት ያስፈልግዎታል

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

ወደ Gaussian ስርዓት መፍትሄ ደንብ እንሸጋገር፡-

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

ያንን H 1 (1, - 1, 0) እናገኛለን.

ከተሰጠው ነጥብ ወደ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት እናሰላለን. ነጥቦች M 1 (5, - 3, 10) እና H 1 (1, - 1, 0) ወስደን እናገኛለን.

M 1 ሸ 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

ሁለተኛው መፍትሄ በመጀመሪያ የተሰጠውን እኩልታ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ወደ መደበኛ መልክ ማምጣት ነው. የመደበኛነት ሁኔታን እንወስናለን እና 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 እናገኛለን። ከዚህ ተነስተን የአውሮፕላኑን እኩልታ 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 እናገኘዋለን። የእኩልታው ግራ በኩል x = 5, y = - 3, z = 10 በመተካት ይሰላል, እና ከ M 1 (5, - 3, 10) እስከ 2 x - y + 5 z - ርቀት መውሰድ ያስፈልግዎታል. 3 = 0 ሞዱሎ. አገላለጹን እናገኛለን፡-

M 1 ሸ 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

መልስ፡- 2 30

የ χ አውሮፕላን አውሮፕላንን ለመጥቀስ ዘዴዎች በሚለው ክፍል ውስጥ በአንዱ ዘዴዎች ሲገለጽ በመጀመሪያ የ χ አውሮፕላንን እኩልነት ማግኘት እና ማንኛውንም ዘዴ በመጠቀም አስፈላጊውን ርቀት ማስላት ያስፈልግዎታል.

ምሳሌ 2

በሶስት-ልኬት ቦታ, መጋጠሚያዎች M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) ያላቸው ነጥቦች ተገልጸዋል. ከ M 1 እስከ አውሮፕላን A B C ያለውን ርቀት አስላ።

መፍትሄ

በመጀመሪያ በተሰጡት ሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላኑን እኩልነት መ 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (መጋጠሚያዎች) ጋር መፃፍ ያስፈልግዎታል 4, 0, - 1)

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

ከዚህ በኋላ ችግሩ ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ የሆነ መፍትሔ አለው. ይህ ማለት ከ M 1 እስከ አውሮፕላን A B C ያለው ርቀት 2 30 ዋጋ አለው.

መልስ፡- 2 30

በአውሮፕላን ላይ ከተሰጠው ነጥብ ወይም ትይዩ ወደሆኑበት አውሮፕላን ያለውን ርቀት መፈለግ ቀመሩን M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p በመጠቀም የበለጠ አመቺ ነው. . ከዚህ በመነሳት የአውሮፕላኖች መደበኛ እኩልታዎች በበርካታ ደረጃዎች ተገኝተዋል.

ምሳሌ 3

ከተጠቀሰው ነጥብ ርቀትን በመጋጠሚያዎች M 1 (- 3, 2, - 7) ወደ አስተባባሪው አውሮፕላን O x y z እና በቀመር 2 y - 5 = 0 የተሰጠውን አውሮፕላን ያግኙ.

መፍትሄ

አስተባባሪው አውሮፕላን O y z ከቅጽ x = 0 ጋር ይዛመዳል። ለ Oy z አውሮፕላን የተለመደ ነው. ስለዚህ, እሴቶችን x = - 3 ወደ አገላለጹ በግራ በኩል መተካት እና የርቀቱን ፍፁም ዋጋ ከቦታ መጋጠሚያዎች M 1 (- 3, 2, - 7) ወደ አውሮፕላኑ መውሰድ አስፈላጊ ነው. እኩል የሆነ እሴት እናገኛለን - 3 = 3.

ከለውጡ በኋላ የአውሮፕላኑ 2 y - 5 = 0 መደበኛ እኩልታ y - 5 2 = 0 ቅጽ ይወስዳል። ከዚያም አስፈላጊውን ርቀት ከቦታው መጋጠሚያዎች M 1 (- 3, 2, - 7) ወደ አውሮፕላኑ 2 y - 5 = 0 ማግኘት ይችላሉ. በመተካት እና በማስላት 2 - 5 2 = 5 2 - 2 እናገኛለን።

መልስ፡-ከ M 1 (- 3, 2, - 7) እስከ O y z የሚፈለገው ርቀት 3 እሴት አለው, እና ወደ 2 y - 5 = 0 5 2 - 2 እሴት አለው.

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

የእርስዎን ግላዊነት መጠበቅ ለእኛ አስፈላጊ ነው። በዚህ ምክንያት፣ የእርስዎን መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም እና እንደምናከማች የሚገልጽ የግላዊነት ፖሊሲ አዘጋጅተናል። እባኮትን የግላዊነት ተግባሮቻችንን ይከልሱ እና ማንኛውም አይነት ጥያቄ ካለዎት ያሳውቁን።

የግል መረጃ መሰብሰብ እና መጠቀም

የግል መረጃ አንድን የተወሰነ ሰው ለመለየት ወይም ለመገናኘት የሚያገለግል ውሂብን ያመለክታል።

እኛን በሚያገኙበት በማንኛውም ጊዜ የግል መረጃዎን እንዲያቀርቡ ሊጠየቁ ይችላሉ።

ከዚህ በታች ልንሰበስበው የምንችላቸው የግል መረጃ ዓይነቶች እና እንደዚህ ያለውን መረጃ እንዴት መጠቀም እንደምንችል አንዳንድ ምሳሌዎች አሉ።

ምን ዓይነት የግል መረጃ እንሰበስባለን

• በጣቢያው ላይ ማመልከቻ በሚያስገቡበት ጊዜ, የእርስዎን ስም, ስልክ ቁጥር, የኢሜል አድራሻ, ወዘተ ጨምሮ የተለያዩ መረጃዎችን ልንሰበስብ እንችላለን.

የእርስዎን የግል መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም፡-

• የምንሰበስበው የግል መረጃ በልዩ ቅናሾች፣ ማስተዋወቂያዎች እና ሌሎች ዝግጅቶች እና መጪ ክስተቶች እንድናገኝዎት ያስችሎታል።
• ከጊዜ ወደ ጊዜ፣ አስፈላጊ ማስታወቂያዎችን እና ግንኙነቶችን ለመላክ የእርስዎን የግል መረጃ ልንጠቀም እንችላለን።
• የምንሰጣቸውን አገልግሎቶች ለማሻሻል እና አገልግሎታችንን በተመለከተ ምክሮችን ለመስጠት የግል መረጃን ለውስጣዊ ዓላማዎች ለምሳሌ ኦዲት ማድረግ፣ የመረጃ ትንተና እና የተለያዩ ጥናቶችን ልንጠቀም እንችላለን።
• በሽልማት እጣ፣ ውድድር ወይም ተመሳሳይ ማስተዋወቂያ ላይ ከተሳተፉ፣ ያቀረቡትን መረጃ እንደዚህ አይነት ፕሮግራሞችን ለማስተዳደር ልንጠቀምበት እንችላለን።

ለሶስተኛ ወገኖች መረጃን ይፋ ማድረግ

ከእርስዎ የተቀበለውን መረጃ ለሶስተኛ ወገኖች አንገልጽም.

ልዩ ሁኔታዎች፡-

• አስፈላጊ ከሆነ - በህግ, በፍትህ ሂደት, በህግ ሂደቶች እና / ወይም በሩሲያ ፌዴሬሽን ግዛት ውስጥ ባሉ የመንግስት ባለስልጣናት የህዝብ ጥያቄዎች ወይም ጥያቄዎች ላይ - የግል መረጃዎን ይፋ ለማድረግ. እንዲህ ዓይነቱን ይፋ ማድረግ ለደህንነት፣ ለህግ አስከባሪ ወይም ለሌሎች የህዝብ ጠቀሜታ ዓላማዎች አስፈላጊ ወይም ተገቢ መሆኑን ከወሰንን ስለእርስዎ መረጃ ልንሰጥ እንችላለን።
• መልሶ ማደራጀት፣ ውህደት ወይም ሽያጭ በሚፈጠርበት ጊዜ የምንሰበስበውን ግላዊ መረጃ ለሚመለከተው ተተኪ ሶስተኛ አካል ልናስተላልፈው እንችላለን።

የግል መረጃ ጥበቃ

የእርስዎን ግላዊ መረጃ ከመጥፋት፣ ስርቆት እና አላግባብ መጠቀም፣ እንዲሁም ያልተፈቀደ መዳረሻ፣ ይፋ ከማድረግ፣ ከመቀየር እና ከመበላሸት ለመጠበቅ አስተዳደራዊ፣ ቴክኒካል እና አካላዊ ጨምሮ ጥንቃቄዎችን እናደርጋለን።

በኩባንያ ደረጃ የእርስዎን ግላዊነት በማክበር ላይ

የግል መረጃዎ ደህንነቱ የተጠበቀ መሆኑን ለማረጋገጥ የግላዊነት እና የደህንነት ደረጃዎችን ለሰራተኞቻችን እናስተላልፋለን እና የግላዊነት አሠራሮችን በጥብቅ እናስፈጽማለን።

የስራ አይነት፡- 14

ሁኔታ

በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ DABC ከመሠረት ABC ጋር, የመሠረቱ ጎን ነው 6 \ ካሬ (3) ፣እና የፒራሚዱ ቁመት 8 ነው። በ AB ፣ AC እና AD ፣ ነጥቦች M ፣ N እና K እንደ ቅደም ተከተላቸው ምልክት ተደርጎባቸዋል AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2)እና AK=\frac(5)(2)።

ሀ)አውሮፕላኖቹ MNK እና DBC ትይዩ መሆናቸውን ያረጋግጡ።

ለ)ከ K ነጥብ እስከ ዲቢሲ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ያግኙ።

መፍትሄ አሳይ

መፍትሄ

ሀ)ፕላኖች ኤምኤንኬ እና ዲቢሲ ትይዩ ናቸው የአንድ አውሮፕላን ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች በቅደም ተከተል ከሌላው አውሮፕላን ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ጋር ትይዩ ከሆኑ። እናረጋግጠው። የ MNK አውሮፕላን MN እና KM መስመሮችን እና የዲቢሲ አውሮፕላን BC እና DB መስመሮችን አስቡ።

በሶስት ማዕዘን AOD፡ \ አንግል AOD = 90 ^\ cir እና በፓይታጎሪያን ቲዎረም AD=\sqrt(DO^2 +AO^2)።

\bigtriangup ABC ትክክል መሆኑን በመጠቀም AOን እናገኝ።

AO=\frac(2)(3)AO_1፣ AO_1 የ \ bigtriangup ABC ቁመት በሆነበት ፣ AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2)፣የት የ \ bigtriangup ABC ጎን ነው.

AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9፣ከዚያም AO=6 AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10።

1. ጀምሮ \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2)፡ 10=\frac(1)(4)፣ \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2): 6\sqrt(3)=\frac(1)(4)እና \angle DAB አጠቃላይ ነው፣ ከዚያ \bigtriangleup AKM \sim ADB።

ከተመሳሳይነት አንጻር \angle AKM = \ angle ADB. እነዚህ ለቀጥታ መስመሮች KM እና BD እና secant AD ተጓዳኝ ማዕዘኖች ናቸው. ስለዚህ KM \ትይዩ BD.

2. ጀምሮ \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4)) \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4)እና \ አንግል CAB የተለመደ ነው, ከዚያ \ bigtriangleup ANM \ sim \ bigtriangleup ACB.

ከተመሳሳይነት በመቀጠል \angle ANM = \ angle ACB. እነዚህ ማዕዘኖች ኤምኤን እና ቢሲ እና ሴካንት ኤሲ ጋር ይዛመዳሉ። ይህ ማለት ኤምኤን \ትይዩ ዓ.ዓ.

ማጠቃለያ፡ ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች KM እና MN የአውሮፕላኑ MNK በቅደም ተከተል ከሁለት የተጠላለፉ መስመሮች BD እና BC ከአውሮፕላኑ ዲቢሲ ጋር ስለሚመሳሰሉ እነዚህ አውሮፕላኖች ትይዩ ናቸው - MNK \ parallel DBC።

ለ)ከኬ ነጥብ እስከ አውሮፕላኑ BDC ያለውን ርቀት እንፈልግ።

አውሮፕላኑ ኤምኤንኬ ከአውሮፕላኑ ዲቢሲ ጋር ትይዩ ስለሆነ ከኬ ነጥብ ኬ እስከ አውሮፕላኑ ዲቢሲ ያለው ርቀት ከ O_2 እስከ አውሮፕላኑ ዲቢሲ ያለው ርቀት እና ከ O_2 H ክፍል ርዝመት ጋር እኩል ነው ይህንን እናረጋግጥ።

BC \ perp AO_1 እና BC \ perp DO_1 (እንደ ትሪያንግል ኤቢሲ እና ዲቢሲ ቁመት) ማለትም BC ከአውሮፕላኑ ADO_1 ጋር ቀጥ ያለ ነው፣ ከዚያም BC በዚህ አውሮፕላን በማንኛውም መስመር ላይ ቀጥ ያለ ነው፣ ለምሳሌ O_2 H. በግንባታ , O_2H\perp DO_1 ማለትም O_2H ቀጥ ያለ ሁለት የተጠላለፉ የቢሲዲ አውሮፕላን መስመሮች ሲሆን በመቀጠል O_2 H ክፍል ከ BCD አውሮፕላን ጋር ቀጥ ያለ እና ከ O_2 እስከ BCD አውሮፕላን ያለው ርቀት ጋር እኩል ነው።

በሶስት ማዕዘን ውስጥ O_2HO_1፡O_2H=O_(2)O_(1)\sin\angle HO_(1)O_(2)።

ኦ_(2)ኦ_(1)=AO_(1)-አኦ_(2)።\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4)፣ AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4)።

ኦ_(2)ኦ_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4)።

\ sin \ማዕዘን DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73))።

O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73))።

መልስ

\frac(54)(\sqrt(73))

ምንጭ፡- “ሂሳብ። ለተባበሩት መንግስታት ፈተና 2017 ዝግጅት። የመገለጫ ደረጃ." ኢድ. ኤፍ.ኤፍ. ሊሴንኮ, ኤስ.ዩ.

የስራ አይነት፡- 14
ርዕስ፡ ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት

ሁኔታ

ABCDA_1B_1C_1D_1 መደበኛ ባለአራት ማዕዘን ፕሪዝም ነው።

ሀ) አውሮፕላኑ BB_1D_1 \ perp AD_1C መሆኑን ያረጋግጡ።

ለ) AB = 5 እና AA_1 = 6 በማወቅ ከ B_1 ነጥብ እስከ አውሮፕላን AD_1C ያለውን ርቀት ይፈልጉ።

መፍትሄ አሳይ

መፍትሄ

ሀ) ይህ ፕሪዝም መደበኛ ስለሆነ BB_1 \perp ABCD፣ ስለዚህም BB_1 \ perp AC። ABCD ካሬ ስለሆነ፣ ከዚያም AC \perp BD . ስለዚህ AC \perp BD እና AC \perp BB_1። መስመሮች BD እና BB_1 ስለሚገናኙ፣ ከዚያም፣ በአንድ መስመር እና በአውሮፕላን perpendicularity ምልክት መሠረት፣ AC \perp BB_1D_1D። አሁን በአውሮፕላኖቹ AD_1C \perp BB_1D_1 perpendicularity ላይ የተመሠረተ።

ለ) የአደባባዩ ABCD ዲያግኖች AC እና BD መገናኛ ነጥብ በO እንጠቁም። አውሮፕላኖች AD_1C እና BB_1D_1 በቀጥታ መስመር OD_1 ይገናኛሉ። B_1H በአውሮፕላኑ BB_1D_1 ወደ ቀጥተኛው መስመር OD_1 ቀጥ ያለ ይሁን። ከዚያ B_1H \perp AD_1C። E=OD_1 \cap BB_1 ይፍቀዱ። ለተመሳሳይ ትሪያንግሎች D_1B_1E እና OBE (የተዛማጁ ማዕዘኖች እኩልነት ከBO \ትይዩ B_1D_1 ሁኔታ ይከተላል) አለን። \frac (B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.

ይህ B_1E=2BE=2 \cdot 6=12 ማለት ነው። ከB_1D_1=5\sqrt(2) ጀምሮ፣ከዚያም ሃይፖቴኑዝ D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt (194)በመቀጠል፣ B_1H በ hypotenuse D_1E ላይ የወረደውን ቁመት ለማስላት የሶስት ማዕዘን D_1B_1E አካባቢ ዘዴን እንጠቀማለን።

S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;

B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).

መልስ

\frac(60\sqrt(97))(97)

ምንጭ፡- “ሂሳብ። ለ2016 የተዋሃደ የስቴት ፈተና ዝግጅት። የመገለጫ ደረጃ." ኢድ. ኤፍ.ኤፍ. ሊሴንኮ, ኤስ.ዩ.

የስራ አይነት፡- 14
ርዕስ፡ ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት

ሁኔታ

ABCDA_1B_1C_1D_1 አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ ነው። ጠርዞች AB=24፣ BC=7፣ BB_(1)=4።

ሀ) ከ B እና D እስከ አውሮፕላን ACD_(1) ያለው ርቀት ተመሳሳይ መሆኑን ያረጋግጡ።

ለ) ይህንን ርቀት ይፈልጉ.

መፍትሄ አሳይ

መፍትሄ

ሀ)የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ D_1ACDን አስቡበት።

በዚህ ፒራሚድ ውስጥ ከዲ ነጥብ D እስከ የመሠረት አውሮፕላን ACD_1-DH ያለው ርቀት ከዲ ነጥብ ዲ እስከ መሰረቱ ACD_1 ከተሳለው ፒራሚድ ቁመት ጋር እኩል ነው።

V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, ከዚህ እኩልነት እናገኛለን

DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).

ፒራሚዱን D_1ABC ተመልከት። ከነጥብ B እስከ አውሮፕላኑ ACD_1 ያለው ርቀት ከ B ከላይ ወደ ACD_1 ግርጌ ከወረደው ቁመት ጋር እኩል ነው። ይህንን ርቀት BK እንጥቀስ። ከዚያም V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK, ከዚህ እናገኛለን BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1))።\፡ግን V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC)፣ ኤዲሲ እና ኤቢሲን በፒራሚዶች ውስጥ እንደ መሰረት ከወሰድን ቁመቱ D_1D ድምር ነው እና S_(ADC)=S_(ABC) \bigtriangleup ADC=\ bigtriangup ABCበሁለት እግሮች ላይ). ስለዚህ BK=DH

ለ) የፒራሚዱን መጠን ይፈልጉ D_1ACD።

ቁመት D_1D=4

S_(ACD)=\frac1(2) AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.

V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.

የፊት አካባቢ ACD_1 ነው። \frac1(2) AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65)፣ \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25

የቀኝ ትሪያንግል እግር ከሃይፖቴኑዝ ጋር የሚመጣጠን አማካኝ መሆኑን በማወቅ እና በእግሩ እና በከፍታ መካከል ያለው የ hypotenuse ክፍል ከቀኝ አንግል ወርድ ላይ በተሰየመው ትሪያንግል ADC ውስጥ አለን ። AD^(2)=AC\cdot AP፣ \፡ AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25)።

በቀኝ ትሪያንግል AD_1P በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሰረት D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\ ግራ (\ frac (49) (25) \ቀኝ) ^ (2) = \frac(38\:224)(25^(2))፣ D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25)።

S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25=2\sqrt(2\:389).

DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).

• ነጥብ A በኩል አውሮፕላን እንሰራለንβ II α .
• ሦስተኛው አውሮፕላን መገንባት፣ ወደ ትይዩ አውሮፕላኖች ቀጥ ያለ α እና β
• በአውሮፕላኖቹ መገናኛ መስመር ላይ ነጥብ B ን ምረጥ እና ከነጥብ B ቀጥ ያለ ጣል አድርግ።
• ክፍል BN - በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለው ርቀት ከ ነጥብ A ወደ አውሮፕላን ካለው ርቀት ጋር እኩል ነውα . AH = BN.

2. አንድ ኩብ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ተሰጥቷል. የኩቤው ጠርዝ ርዝመት 1 ነው. ከ ነጥብ A እስከ አውሮፕላን CB 1 D 1 ያለውን ርቀት ያግኙ.
መፍትሄ [, 250Kb]. የሚከተለው ስልተ ቀመር በዚህ ተግባር ይረዳናል፡

• ነጥብ A በኩል ወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ያለ አውሮፕላን እንሰራለን α
• ቀጥታውን ወደ አውሮፕላኖቹ አሃዝ መገናኛ መስመር ዝቅ እናደርጋለን. AR - ከ A ወደ አውሮፕላን የሚፈለገው ርቀት α .

3. በሥዕል ውስጥ ከአንድ ነጥብ እስከ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ለማሳየት ብዙ ጊዜ በጣም አስቸጋሪ እና የጂኦሜትሪክ ዘዴዎችን መተግበር በጣም ከባድ ነው. እንዲሁም የ polyhedron ወይም የትኛውንም የተወሰነ የ polyhedron ክፍል በማስላት አስፈላጊውን ርቀት ለማግኘት የሚያስችል መንገድ አለ.

ለምሳሌ, ከላይ በተጠቀሰው ችግር, የፒራሚድ ABTA 1ን ከመሠረቱ ABT ጋር ሁለት ጊዜ በመግለጽ ከ ነጥብ A እስከ አውሮፕላን A 1 BT ያለውን ርቀት አገኘሁ.

አንድ ኪዩብ ABCDA ተሰጥቷል 1 B 1 C 1 D 1 ከጫፍ ጋር 1. ከ ነጥብ A እስከ አውሮፕላን A 1 BT ያለውን ርቀት ያግኙ፣ ቲ የክፍል AD መካከለኛ ነጥብ ነው።
መፍትሄ [, 193 ኪባ].

4. በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ከመሠረቱ ጎን 12 እና ቁመቱ 21, ነጥብ M በጠርዙ AA 1 ላይ ይወሰዳል AM = 8. ነጥብ K በጠርዙ BB 1 ላይ ይወሰዳል ስለዚህ B 1 K=8። ከ A 1 ወደ አውሮፕላን D 1 MK ያለውን ርቀት ያግኙ.
መፍትሄ [, 347Kb].

5. በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1 B 1 C 1, የመሠረቱ ጎኖች ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, እና የጎን ጠርዞች ከ 3 ጋር እኩል ናቸው. ነጥብ D የጠርዝ CC 1 መካከለኛ ነው. ከ vertex C እስከ አውሮፕላን ADB 1 ያለውን ርቀት ይፈልጉ።
መፍትሄ [፣ 285 ኪባ]።

6. የቀኝ ፕሪዝም መሠረት ABCA 1 B 1 C 1 isosceles triangle ABC ነው, AB = AC = 5, BC = 6. የፕሪዝም ቁመት 3. ከጠርዙ መሃል ያለውን ርቀት ይፈልጉ B 1 C. 1 ወደ አውሮፕላን BCA 1.
መፍትሄ [, 103 ኪባ].

7. የቀኝ ፕሪዝም መሠረት ABCA 1 B 1 C 1 የቀኝ ትሪያንግል ኤቢሲ ነው ቀኝ አንግል C. BC = 3. የፕሪዝም ቁመት 4. ከነጥብ B እስከ አውሮፕላኑ ACB 1 ያለውን ርቀት ይፈልጉ.
መፍትሄ [፣ 127 ኪባ]።

8. የፕሪዝም መሠረት ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 rhombus ABCD ነው, AB = 10, ВD = 12. የፕሪዝም ቁመት 6. ከፊቱ መሃል ያለውን ርቀት ያግኙ A 1 B 1C 1 ዲ 1 ወደ አውሮፕላኑ BDC 1.
መፍትሄ [, 148Kb].

9. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው. ከነጥብ B እስከ አውሮፕላኑ DEA 1 ያለውን ርቀት ያግኙ.
መፍትሄ [, 194Kb].

10. የተሰጠው መደበኛ ቴትራሄድሮን ABCD ከጫፍ ጋር . ከ vertex A እስከ አውሮፕላን BDC ያለውን ርቀት ያግኙ።
መፍትሄ [, 119Kb].

11. በ DABC ፒራሚድ ውስጥ፣ ሁሉም ጠርዞች ከሀ ጋር እኩል ናቸው። O የመሠረቱን ኤቢሲ መሃል፣ እና K የከፍታውን መካከለኛ ነጥብ የፒራሚዱን DO ያመልክት። ከ K እስከ ጠርዝ ABD ያለውን ርቀት ያግኙ።
መፍትሄ [