የሆርነር ዘዴን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት. በከፍተኛ የሂሳብ ስሌት ውስጥ ያሉ እኩልታዎች

"የፕሮፌሽናል የሂሳብ አስተማሪ" የተሰኘው ድህረ ገጽ ስለ ማስተማር ተከታታይ ዘዴያዊ መጣጥፎችን ቀጥሏል። የሥራዬን ዘዴዎች በጣም ውስብስብ በሆነው እና ችግር ያለባቸው ርዕሶችየትምህርት ቤት ሥርዓተ-ትምህርት. ይህ ቁሳቁስከ8-11ኛ ክፍል ካሉ ተማሪዎች ጋር አብረው ለሚሰሩ መምህራን እና አስተማሪዎች በሂሳብ ትምህርት ጠቃሚ ይሆናል። መደበኛ ፕሮግራም, እና በሂሳብ ትምህርቶች መርሃ ግብር መሰረት.

የሂሳብ አስተማሪ ሁል ጊዜ በመማሪያ መጽሀፉ ውስጥ በደንብ ያልቀረበውን ነገር ማብራራት አይችልም። እንደ አለመታደል ሆኖ, እንደዚህ አይነት ርዕሰ ጉዳዮች ከጊዜ ወደ ጊዜ እየበዙ መጥተዋል, እና የመመሪያዎችን ደራሲዎች ተከትሎ የአቀራረብ ስህተቶች በጅምላ እየተደረጉ ነው. ይህ ለጀማሪ የሂሳብ አስተማሪዎች እና የትርፍ ጊዜ አስተማሪዎች (አስጠኚዎች ተማሪዎች እና የዩኒቨርሲቲ አስተማሪዎች ናቸው) ብቻ ሳይሆን ልምድ ያላቸውን መምህራንን፣ ሙያዊ አስጠኚዎችን፣ ልምድ እና ብቃት ያላቸውን አስተማሪዎች ይመለከታል። ሁሉም የሂሳብ አስተማሪዎች በትምህርት ቤት የመማሪያ መጽሀፍት ውስጥ ያሉትን አስቸጋሪ ጠርዞች በብቃት የማረም ችሎታ የላቸውም። እነዚህ እርማቶች (ወይም ተጨማሪዎች) አስፈላጊ መሆናቸውን ሁሉም ሰው አይረዳም። ትምህርቱን በልጆች ዘንድ ካለው የጥራት ግንዛቤ ጋር በማጣጣም ረገድ ጥቂት ልጆች ይሳተፋሉ። እንደ አለመታደል ሆኖ፣ የሒሳብ መምህራን፣ ከሥነ-ሥርዓታዊ ጥናት ባለሙያዎች እና የሕትመት ደራሲዎች ጋር ስለ እያንዳንዱ የመማሪያ መጽሐፍ ደብዳቤ በጅምላ ሲወያዩበት የነበረው ጊዜ አልፏል። ከዚህ ቀደም የመማሪያ መጽሀፍ ወደ ትምህርት ቤቶች ከመልቀቁ በፊት, ከባድ ትንታኔዎች እና የትምህርት ውጤቶች ጥናቶች ተካሂደዋል. የመማሪያ መጽሃፍትን ከጠንካራ የሂሳብ ክፍሎች መመዘኛዎች ጋር በማስተካከል ሁለንተናዊ ለማድረግ የሚጥሩ አማተሮች ጊዜው ደርሷል።

የመረጃውን መጠን ለመጨመር የሚደረገው ሩጫ የውህደቱ ጥራት እንዲቀንስ እና በዚህም ምክንያት የመሰብሰቢያ ደረጃ እንዲቀንስ ብቻ ይመራል. እውነተኛ እውቀትሒሳብ. ግን ማንም ለዚህ ትኩረት አይሰጥም. እና ልጆቻችን ቀድሞውኑ በ 8 ኛ ክፍል ውስጥ, በተቋሙ ውስጥ የተማርነውን እንዲያጠኑ ይገደዳሉ-የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ, የከፍተኛ ደረጃ እኩልታዎችን መፍታት እና ሌላ ነገር. ለልጁ ሙሉ ግንዛቤ በመጽሃፍ ውስጥ ያሉትን ነገሮች ማላመድ ብዙ የሚፈለጉትን ይተዋል ፣ እና የሂሳብ አስተማሪ በሆነ መንገድ ይህንን ለመቋቋም ይገደዳል።

በአዋቂ ሒሳብ ውስጥ “የቤዙት ቲዎረም እና የሆርነር እቅድ” በመባል የሚታወቀው እንደ “ፖሊኖሚል በፖሊኖሚል በአንድ ጥግ መከፋፈል” እንደሚባለው የተለየ ርዕስ የማስተማር ዘዴን እንነጋገር። ከጥቂት አመታት በፊት፣ ጥያቄው ለሂሳብ አስተማሪ በጣም አስፈላጊ አልነበረም፣ ምክንያቱም እሱ የዋናው አካል ስላልሆነ። የትምህርት ቤት ሥርዓተ-ትምህርት. አሁን በቴላኮቭስኪ አርትዖት የተደረገው የተከበሩ የመማሪያ መጽሃፍ ደራሲዎች በመጨረሻው እትም ላይ ለውጦችን አድርገዋል, በእኔ አስተያየት, በጣም ጥሩው የመማሪያ መጽሀፍ, እና ሙሉ ለሙሉ ተበላሽተው, ለአስተማሪው አላስፈላጊ ጭንቀቶችን ብቻ ይጨምራሉ. የት / ቤቶች መምህራን እና የሂሳብ ደረጃ የሌላቸው ክፍሎች, በደራሲዎች ፈጠራዎች ላይ በማተኮር, በትምህርታቸው ውስጥ ተጨማሪ አንቀጾችን ማካተት ጀመሩ, እና ጠያቂ ልጆች, የሂሳባቸውን የመማሪያ መጽሀፍ ውብ ገጾችን በመመልከት, ከጊዜ ወደ ጊዜ ይጠይቁ. ሞግዚት፡ “ይህ በማእዘን መከፋፈል ምንድነው? በዚህ ልናልፍ ነው? ጥግ እንዴት እንደሚጋራ? ከእንደዚህ አይነት ቀጥተኛ ጥያቄዎች መደበቅ አይቻልም። ሞግዚቱ ለልጁ አንድ ነገር መንገር ይኖርበታል.

ግን እንደ? ምናልባት በመጽሃፍቱ ውስጥ በብቃት ከቀረበ ከርዕሱ ጋር የመሥራት ዘዴን አልገለጽም ነበር. ሁሉም ነገር ከእኛ ጋር እንዴት ነው? የመማሪያ መፃህፍት ታትመው መሸጥ አለባቸው። ለዚህም በየጊዜው መዘመን አለባቸው. የዩንቨርስቲ መምህራን ህጻናት ያለ እውቀትና ክህሎት ባዶ ጭንቅላት ወደ እነርሱ ይመጣሉ ብለው ያማርራሉ? መስፈርቶች ለ የሂሳብ እውቀትእያደገ? በጣም ጥሩ! አንዳንድ መልመጃዎችን እናስወግድ እና በምትኩ በሌሎች ፕሮግራሞች ውስጥ የተጠኑ ርዕሶችን እናስገባ። የመማሪያ መጽሐፋችን ለምን የከፋ ሆነ? ጥቂቶቹን እናብራ ተጨማሪ ምዕራፎች. የትምህርት ቤት ልጆች ጥግ የመከፋፈል ህግን አያውቁም? ይህ መሰረታዊ ሂሳብ ነው። ይህ አንቀጽ “የበለጠ ለማወቅ ለሚፈልጉ” በሚል ርዕስ እንደ አማራጭ መደረግ አለበት። አስተማሪዎች ይቃወማሉ? በአጠቃላይ ስለ ሞግዚቶች ለምን እንጨነቃለን? ሜቶሎጂስቶች እና የትምህርት ቤት አስተማሪዎች እንዲሁ ይቃወማሉ? ቁሳቁሱን አናወሳስበውም እና ቀላሉን ክፍል እንመለከታለን።

እና እዚህ ይጀምራል. የርዕሱ ቀላልነት እና የመዋሃዱ ጥራት በመጀመሪያ ደረጃ አመክንዮአዊውን በመረዳት ሳይሆን በመማሪያ መጽሀፍ ደራሲዎች መመሪያ መሠረት እርስ በርስ የማይዛመዱ የተወሰኑ የአሠራር ሂደቶችን በመረዳት ሳይሆን በማከናወን ላይ ነው። . አለበለዚያ በተማሪው ራስ ላይ ጭጋግ ይኖራል. የደራሲዎቹ ስሌት በአንፃራዊነት ላይ የተመሰረተ ከሆነ ጠንካራ ተማሪዎች(ነገር ግን በመደበኛው ፕሮግራም ውስጥ በማጥናት), ከዚያም ርዕሱን በትእዛዝ ቅፅ ውስጥ ማቅረብ የለብዎትም. በመማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ምን እንመለከታለን? ልጆች, በዚህ ደንብ መሰረት መከፋፈል አለብን. ፖሊኖሚል ከማዕዘኑ በታች ያግኙ። ስለዚህ, ዋናው ፖሊኖሚል በፋብስተር ይሆናል. ነገር ግን፣ በማእዘኑ ስር ያሉት ቃላቶች ለምን በትክክል በዚህ መንገድ እንደተመረጡ፣ ለምንድነው ከማዕዘኑ በላይ ባለው ፖሊኖሚል ማባዛት እና ከዚያም ከአሁኑ ቀሪው መቀነስ እንዳለባቸው ለመረዳት ግልፅ አይደለም። እና ከሁሉም በላይ ፣ የተመረጡት ሞኖሚሎች በመጨረሻ ለምን መጨመር እንዳለባቸው እና ለምን የተፈጠሩ ቅንፎች የዋናው ፖሊኖሚል መስፋፋት ለምን እንደሆነ ግልፅ አይደለም ። ማንኛውም ብቃት ያለው የሂሳብ ሊቅ ያስቀምጣል። ደማቅ ምልክትበመማሪያ መጽሐፍ ውስጥ በተሰጡት ማብራሪያዎች ላይ ጥያቄ.

ለችግሩ መፍትሄዬን ለአስተማሪዎች እና ለሂሳብ አስተማሪዎች አቀርባለሁ ፣ ይህም በተግባር በመማሪያ መጽሀፉ ውስጥ የተገለጹትን ሁሉ ለተማሪው ግልፅ ያደርገዋል። እንደውም የቤዙትን ቲዎሬም እናረጋግጣለን፡- ሀ ቁጥሩ የብዙ ፖሊኖሚል ስር ከሆነ ይህ ፖሊኖሚል በምክንያት ሊበሰብስ ይችላል ከነሱም አንዱ x-a ሲሆን ሁለተኛው ደግሞ ከሶስት መንገዶች በአንዱ የተገኘ ነው። በትራንስፎርሜሽን፣ በማእዘን በመከፋፈል ወይም በሆርነር እቅድ አማካኝነት መስመራዊ ሁኔታን በማግለል። ለሂሳብ ሞግዚት መስራት ቀላል የሚሆነው በዚህ ቀመር ነው።

የማስተማር ዘዴ ምንድን ነው? በመጀመሪያ ደረጃ, ይህ በሂሳብ መደምደሚያዎች ላይ በመመርኮዝ በማብራሪያ እና በምሳሌዎች ቅደም ተከተል ግልጽ የሆነ ቅደም ተከተል ነው. ይህ ርዕስየተለየ አይደለም. ለሂሳብ አስተማሪ ልጁን ከቤዙት ቲዎሪ ጋር ማስተዋወቅ በጣም አስፈላጊ ነው በማእዘን ከመከፋፈሉ በፊት. በጣም አስፈላጊ ነው! ግንዛቤን ለማግኘት በጣም ጥሩው መንገድ ነው። የተለየ ምሳሌ. ከተመረጠ ስርወ ጋር የተወሰኑ ፖሊኖሚሎችን እንውሰድ እና ከ 7 ኛ ክፍል ጀምሮ ለትምህርት ቤት ልጆች የተለመደ ዘዴን በመጠቀም ወደ ምክንያቶች የመከፋፈል ዘዴን እናሳይ የማንነት ለውጦች. ከሒሳብ አስተማሪ በተሰጡ ተገቢ ተጓዳኝ ማብራሪያዎች፣ አጽንዖት እና ምክሮች ያለአንዳች አጠቃላይ የሂሳብ ስሌቶች፣ የዘፈቀደ ጥምርታዎች እና ሃይሎች ይዘቱን ማስተላለፍ በጣም ይቻላል።

ለሂሳብ አስተማሪ ጠቃሚ ምክር- መመሪያዎችን ከመጀመሪያው እስከ መጨረሻው ይከተሉ እና ይህንን ቅደም ተከተል አይለውጡ።

ስለዚ፡ ፖሊኖሚል አለን እንበል። በእሱ X ምትክ ቁጥር 1 ን ከተተካ የብዙ ቁጥር ዋጋ ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል. ስለዚህም x=1 ሥሩ ነው። ከመካከላቸው አንዱ ምርቱ እንዲሆን በሁለት ቃላት ለመበታተን እንሞክር መስመራዊ አገላለጽእና አንዳንድ monomial, እና ሁለተኛው ዲግሪ አንድ ያነሰ ይሆናል. ማለትም በቅርጹ እንወክለዋለን

ለቀይ መስክ ሞኖሚል እንመርጣለን ስለዚህም በመሪ ቃል ሲባዛ ሙሉ በሙሉ ከመጀመሪያው ፖሊኖሚል መሪ ቃል ጋር ይጣጣማል። ተማሪው በጣም ደካማ ካልሆነ፣ የሚፈለገውን አገላለጽ ለሂሳብ ሞግዚት የመንገር ብቃት ይኖረዋል። ሞግዚቱ ወዲያውኑ በቀይ መስክ ውስጥ እንዲያስገባ እና ሲከፈቱ ምን እንደሚፈጠር እንዲያሳዩ መጠየቅ አለባቸው. ይህንን ምናባዊ ጊዜያዊ ፖሊኖሚል ከቀስቶች በታች (በትንሽ ፎቶ ስር) መፈረም ጥሩ ነው ፣ በአንዳንድ ቀለም ለምሳሌ ፣ ሰማያዊ። ይህ ለቀይ መስክ አንድ ቃል እንዲመርጡ ይረዳዎታል, የምርጫው ቀሪ ተብሎ ይጠራል. ይህ ቀሪው በመቀነስ ሊገኝ እንደሚችል አስተማሪዎች እዚህ እንዲጠቁሙ እመክራለሁ። ይህንን ክዋኔ ስንሰራ የሚከተሉትን እናገኛለን

የሂሳብ አስተማሪው የተማሪውን ትኩረት መሳብ አለበት ፣ አንዱን በዚህ እኩልነት በመተካት በግራ ጎኑ ዜሮ እንደምናገኝ ዋስትና ተሰጥቶናል (1 የዋናው ፖሊኖሚል ስር ስለሆነ) እና በቀኝ በኩል ፣ በግልጽ ፣ እኛ እንዲሁም የመጀመሪያውን ቃል ዜሮ ያደርገዋል. ይህ ማለት ያለምንም ማረጋገጫ አንድ "የአረንጓዴው ቀሪው" ሥር ነው ማለት እንችላለን.

ከዋናው ፖሊኖሚል ጋር እንዳደረግነው በተመሳሳይ መልኩ ተመሳሳይ መስመራዊ ፋክተርን ለይተን እንይዘው። የሂሳብ አስተማሪው በተማሪው ፊት ለፊት ሁለት ፍሬሞችን ይሳሉ እና ከግራ ወደ ቀኝ እንዲሞሉ ይጠይቃቸዋል።

ተማሪው ለሞግዚቱ ለቀይ መስክ ሞኖሚል ይመርጣል ስለዚህም በመስመራዊው አገላለጽ መሪ ቃል ሲባዛ፣ እየሰፋ ላለው ፖሊኖሚል መሪ ቃል ይሰጣል። ወደ ክፈፉ ውስጥ እናስገባዋለን, ወዲያውኑ ቅንፍውን ይክፈቱ እና ከመታጠፊያው ውስጥ መቀነስ ያለበትን አገላለጽ በሰማያዊ ያደምቁታል. ይህንን ክዋኔ በማከናወን እናገኛለን

እና በመጨረሻም ፣ ከመጨረሻው ቀሪው ጋር ተመሳሳይ ነገር ያድርጉ

በመጨረሻ እናገኘዋለን

አሁን አገላለጹን ከቅንፉ ውስጥ እናውጣ እና የዋናውን ፖሊኖሚል መበስበስን ወደ ምክንያቶች እናያለን ፣ ከነሱም አንዱ “x ሲቀነስ የተመረጠው ስር” ነው።

ተማሪው የመጨረሻው "አረንጓዴ ቅሪት" በአጋጣሚ ወደ አስፈላጊ ነገሮች ተበላሽቷል ብሎ እንዳያስብ, የሂሳብ አስተማሪው ሊያመለክት ይገባል. ጠቃሚ ንብረትከሁሉም አረንጓዴ ቅሪቶች - እያንዳንዳቸው ሥር አላቸው 1. የእነዚህ ቀሪዎች ዲግሪዎች ስለሚቀንሱ, ከዚያ ምንም አይነት የመጀመሪያ ደረጃ ፖሊኖሚል ይሰጠናል, ይዋል ይደር እንጂ, ከስር 1 ጋር ቀጥተኛ "አረንጓዴ ቀሪ" እናገኛለን, እና ስለዚህ የግድ የተወሰነ ቁጥር እና አገላለጽ ወደ ምርቱ መበስበስ አለበት።

ከዚህ በኋላ የዝግጅት ሥራአንድ የሒሳብ ሞግዚት በአንድ ጥግ ሲከፋፈል ምን እንደሚፈጠር ለተማሪው ማስረዳት አስቸጋሪ አይሆንም። ይህ ተመሳሳይ ሂደት ነው፣ በአጭር እና በተጨናነቀ መልክ፣ ያለ እኩል ምልክቶች እና ተመሳሳይ የደመቁ ቃላትን እንደገና ሳይፃፍ። መስመራዊ ፋክተሩ የሚወጣበት ፖሊኖሚል ከማዕዘኑ በስተግራ የተጻፈ ነው ፣ የተመረጡት ቀይ ሞኖሚሎች በአንድ ማዕዘን ይሰበሰባሉ (አሁን ለምን መደመር እንዳለባቸው ግልፅ ሆኗል) ፣ “ሰማያዊ ፖሊኖሚሎችን” ለማግኘት ፣ “ቀይ ” የሚባሉት በ x-1 ማባዛት አለባቸው፣ እና አሁን ከተመረጠው እንዴት ይህ መቼ እንደሚደረግ መቀነስ አለበት። ተራ ክፍፍልበአንድ አምድ ውስጥ ያሉ ቁጥሮች (ከዚህ ቀደም ከተጠኑት ጋር ተመሳሳይነት አለ)። የተገኙት "አረንጓዴ ቅሪቶች" ለአዲስ መገለል እና "ቀይ monomials" ምርጫ ተገዢ ናቸው. እና ስለዚህ ዜሮ "አረንጓዴ ሚዛን" እስኪያገኙ ድረስ. በጣም አስፈላጊው ነገር ተማሪው መረዳቱ ነው ተጨማሪ ዕጣ ፈንታከማዕዘኑ በላይ እና በታች የተፃፉ ፖሊኖሚሎች። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, እነዚህ ምርታቸው ከመጀመሪያው ፖሊኖሚል ጋር እኩል የሆነ ቅንፎች ናቸው.

የሚቀጥለው የሂሳብ ሞግዚት ስራ ደረጃ የቤዙት ቲዎረም መፈጠር ነው። እንደ እውነቱ ከሆነ በዚህ የአስተማሪው አቀራረብ አጻጻፍ ግልጽ ይሆናል-ሀ ቁጥር የብዙ ፖሊኖሚል ሥር ከሆነ, ከዚያም ሊባዛ ይችላል, አንደኛው ነው, ሌላኛው ደግሞ ከሶስት መንገዶች በአንዱ የተገኘ ነው. :

• ቀጥተኛ መበስበስ (ከቡድን ዘዴ ጋር ተመሳሳይ)
• በማእዘን መከፋፈል (በአምድ ውስጥ)
• በሆርነር ወረዳ በኩል

ሁሉም የሂሳብ አስተማሪዎች የሆርነር ዲያግራምን ለተማሪዎች አያሳዩም ማለት አይደለም፣ እና ሁሉም አይደሉም የትምህርት ቤት አስተማሪዎች(እንደ እድል ሆኖ ለአስተማሪዎቹ እራሳቸው) በትምህርቶች ወቅት ወደ ርዕሱ ጠልቀው ይገባሉ። ይሁን እንጂ ለተማሪው የሂሳብ ክፍልለረጅም ጊዜ መከፋፈል ለማቆም ምንም ምክንያት አይታየኝም። ከዚህም በላይ በጣም ምቹ እና ፈጣንየመበስበስ ዘዴው በትክክል በሆርነር እቅድ ላይ የተመሰረተ ነው. አንድ ልጅ ከየት እንደመጣ ለማብራራት, በማእዘን የመከፋፈል ምሳሌን በመጠቀም በአረንጓዴ ቅሪቶች ውስጥ ከፍተኛ መጠን ያለው ኮፊሸንት መኖሩን መከታተል በቂ ነው. የመነሻ ፖሊኖሚል መሪ ኮፊሸን ወደ መጀመሪያው “ቀይ ሞኖሚል” ቅንጅት እና ከአሁኑ የላይኛው ፖሊኖሚል ሁለተኛ ኮፊሸን የበለጠ እንደሚወሰድ ግልፅ ይሆናል። ተቀንሷልየ "ቀይ ሞኖሚል" የአሁኑን ኮፊሸን በማባዛት ውጤቱ. ስለዚህ ይቻላል ጨምርየማባዛት ውጤት . የሒሳብ አስተማሪ የተማሪውን ትኩረት በድርጊቶች ልዩነት ላይ ካተኮረ በኋላ፣ የሒሳብ ሞግዚት ተለዋዋጮችን እራሳቸው ሳይመዘግቡ እንዴት እንደሚከናወኑ ያሳያል። ይህንን ለማድረግ በሚከተለው ሠንጠረዥ ውስጥ በቅደም ተከተል የዋናውን ፖሊኖሚል ስርወ እና አሃዞችን ለማስገባት ምቹ ነው ።

በፖሊኖሚል ውስጥ የትኛውም ዲግሪ ከጠፋ ፣ ዜሮ ቅንጅቱ ወደ ጠረጴዛው ውስጥ ይገደዳል። የ “ቀይ ፖሊኖሚሎች” ቅንጅቶች በ “መንጠቆ” ደንብ መሠረት በቅደም ተከተል ተጽፈዋል ።

ሥሩ በመጨረሻው ቀይ ኮፊሸን ተባዝቷል, በላይኛው መስመር ላይ ወደሚቀጥለው ኮፊሸን ይጨመራል, ውጤቱም ወደ ታች መስመር ይጻፋል. በመጨረሻው አምድ ውስጥ የመጨረሻውን "አረንጓዴ ቀሪ" ማለትም ዜሮ ከፍተኛውን ኮፊሸን እንደምናገኝ ዋስትና ተሰጥቶናል። ሂደቱ ከተጠናቀቀ በኋላ, ቁጥሮች በተዛመደው ስር እና በዜሮ ቀሪው መካከል ሳንድዊችየሁለተኛው (የማይገናኝ) ምክንያት ውህደቶች ሆነው ይታዩ።

ሥር ሀ ከስር መስመር መጨረሻ ላይ ዜሮ ስለሚሰጥ፣ የሆርነር እቅድ የፖሊኖሚል ስር ርዕስ ቁጥሮችን ለመፈተሽ ሊያገለግል ይችላል። ምክንያታዊ ሥር ምርጫ ላይ ልዩ ቲዎሪ ከሆነ. በእገዛው የተገኘው ለዚህ ማዕረግ ሁሉም እጩዎች ተራ በተራ ከግራ ወደ ሆርነር ዲያግራም ገብተዋል። ዜሮን እንዳገኘን ፣ የተፈተነው ቁጥር ስር ይሆናል ፣ እና በተመሳሳይ ጊዜ የዋናውን ፖሊኖሚል ፋክተሪላይዜሽን በእሱ መስመር ላይ እናገኛለን። በጣም ምቹ።

ለማጠቃለል ያህል ፣ የሆርነርን እቅድ በትክክል ለማስተዋወቅ እና ርዕሱን በተጨባጭ ለማዋሃድ ፣የሂሳብ አስተማሪው በእጁ ላይ በቂ የሰዓት ብዛት ሊኖረው እንደሚገባ ማስተዋል እፈልጋለሁ። ከ "በሳምንት አንድ ጊዜ" አገዛዝ ጋር አብሮ የሚሰራ ሞግዚት በማዕዘን ክፍፍል ውስጥ መሳተፍ የለበትም. የተዋሃደ የስቴት ፈተና በሒሳብ እና በሒሳብ የግዛት አካዳሚ፣ በመጀመሪያ ክፍል ውስጥ የሦስተኛ ዲግሪ እኩልነት በዚህ ዘዴ ሊፈታ አይችልም ማለት አይቻልም። በሞስኮ ስቴት ዩኒቨርሲቲ አንድ ሞግዚት ልጅን ለሂሳብ ፈተና እያዘጋጀ ከሆነ, ርዕሱን ማጥናት ግዴታ ይሆናል. የዩኒቨርሲቲ መምህራን፣ ከተዋሃዱ የስቴት ፈተና አቀናባሪዎች በተለየ፣ የአመልካቹን ጥልቅ እውቀት በእውነት መሞከር ይወዳሉ።

ኮልፓኮቭ አሌክሳንደር ኒከላይቪች ፣ የሒሳብ አስተማሪ ሞስኮ ፣ስትሮጊኖ

ወዘተ. አጠቃላይ የትምህርት ተፈጥሮ ያለው እና አለው ትልቅ ጠቀሜታሙሉውን ኮርስ ለማጥናት ከፍተኛ የሂሳብ. ዛሬ “ትምህርት ቤት” እኩልታዎችን እንደግማለን ፣ ግን “ትምህርት ቤት” ብቻ አይደለም - ግን በሁሉም ቦታ የሚገኙትን የተለያዩ ተግባራት vyshmat. እንደተለመደው, ታሪኩ በተግባራዊ መንገድ ይነገራል, ማለትም. በትርጉሞች እና ምደባዎች ላይ አላተኩርም፣ ነገር ግን በትክክል ከእርስዎ ጋር እጋራለሁ። የግል ልምድመፍትሄዎች. መረጃው በዋናነት ለጀማሪዎች የታሰበ ነው, ነገር ግን የላቁ አንባቢዎች ለራሳቸው ብዙ ያገኛሉ. አስደሳች ጊዜያት. እና በእርግጥ ይኖራል አዲስ ቁሳቁስ, አልፏል ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት.

ስለዚህ እኩልታው…. ብዙዎች ይህንን ቃል በድንጋጤ ያስታውሳሉ። ስሮች ያላቸው “የተራቀቁ” እኩልታዎች ምንድናቸው…... እርሳቸው! ምክንያቱም ከዚያ በኋላ የዚህ ዝርያ በጣም ምንም ጉዳት የሌላቸው "ተወካዮች" ታገኛላችሁ. ወይም አሰልቺ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችበደርዘን የሚቆጠሩ የመፍትሄ ዘዴዎች. እውነቱን ለመናገር እኔ ራሴ አልወዳቸውም ነበር… አይደናገጡ! - ከዚያም በአብዛኛው "ዳንዴሊዮኖች" በ 1-2 ደረጃዎች ውስጥ ግልጽ የሆነ መፍትሄ ይጠብቅዎታል. ምንም እንኳን "ቡርዶክ" በእርግጠኝነት ቢጣበቅም, እዚህ ተጨባጭ መሆን አለብዎት.

በሚያስደንቅ ሁኔታ፣ በከፍተኛ ሒሳብ ውስጥ እንደ በጣም ጥንታዊ እኩልታዎችን ማስተናገድ በጣም የተለመደ ነው። መስመራዊእኩልታዎች

ይህንን እኩልታ ለመፍታት ምን ማለት ነው? ይህ ማለት ወደ የሚቀይረውን የ “x” (root) እሴት ማግኘት ማለት ነው። እውነተኛ እኩልነት. በምልክት ለውጥ “ሶስቱን” ወደ ቀኝ እንወረውረው፡-

እና "ሁለቱን" በቀኝ በኩል ይጣሉት (ወይም, ተመሳሳይ ነገር - ሁለቱንም ጎኖች በ) :

ለመፈተሽ፣ የተሸለመውን ዋንጫ ወደ መጀመሪያው እኩልነት እንተካው፡-

ትክክለኛው እኩልነት ተገኝቷል, ይህም ማለት የተገኘው ዋጋ በእርግጥ ሥር ነው የተሰጠው እኩልታ. ወይም፣ እነሱም እንደሚሉት፣ ይህንን እኩልነት ያሟላል።

እባካችሁ ሥሩ በቅጹ ውስጥ ሊጻፍ እንደሚችል ልብ ይበሉ አስርዮሽ:
እና ይህን መጥፎ ዘይቤ ላለመከተል ይሞክሩ! ምክንያቱን ከአንድ ጊዜ በላይ ደጋግሜዋለሁ ፣ በተለይም ፣ በመጀመርያው ትምህርት ከፍተኛ አልጀብራ.

በነገራችን ላይ እኩልታው እንዲሁ “በአረብኛ” ሊፈታ ይችላል-

እና በጣም አስደሳች የሆነው - ይህ ግቤትሙሉ በሙሉ ህጋዊ! ግን አስተማሪ ካልሆኑ ታዲያ ይህንን ባታደርጉ ይሻላል ፣ ምክንያቱም መነሻነት እዚህ ይቀጣል =)

እና አሁን ስለ ትንሽ

የግራፊክ መፍትሄ ዘዴ

ቀመር ቅጹ አለው እና ሥሩ ነው። "X" ማስተባበር መገናኛ ነጥቦች መስመራዊ ተግባር ግራፍከመርሐግብር ጋር መስመራዊ ተግባር (x ዘንግ):

ምሳሌው በጣም የመጀመሪያ ደረጃ ስለሆነ እዚህ ለመተንተን ምንም ተጨማሪ ነገር የሌለ ይመስላል ፣ ግን አንድ ተጨማሪ ያልተጠበቀ ስሜት ከእሱ “ሊጨመቅ” ይችላል-ተመሳሳዩን እኩልታ በቅጹ እናቅርብ እና የተግባሮቹን ግራፎች እንገንባ-

በውስጡ፣ እባክዎን ሁለቱን ጽንሰ-ሐሳቦች አያምታቱ: እኩልታ እኩልነት ነው, እና ተግባር- ይህ ተግባር ነው! ተግባራት እርዳታ ብቻየእኩልታውን ሥሮች ይፈልጉ። ከእነዚህ ውስጥ ሁለት፣ ሶስት፣ አራት፣ ወይም እንዲያውም ብዙ ሊሆኑ ይችላሉ። በዚህ ረገድ በጣም ቅርብ የሆነው ምሳሌ በጣም የታወቀው ነው ኳድራቲክ እኩልታ , የተለየ አንቀጽ የተቀበለው የመፍትሄው ስልተ ቀመር "ሙቅ" የትምህርት ቤት ቀመሮች. እና ይህ በአጋጣሚ አይደለም! የኳድራቲክ እኩልታ መፍታት ከቻሉ እና ይወቁ የፓይታጎሪያን ቲዎረምእንግዲህ አንድ ሰው “ግማሹ ከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት በኪስዎ ውስጥ አለ” ሊል ይችላል።

ስለዚህ፣ ሰነፍ አንሁን እና አንዳንድ ኳድራቲክ እኩልታዎችን በመጠቀም እንፍታ መደበኛ ስልተ ቀመር:

, ይህም ማለት እኩልታው ሁለት የተለያዩ አለው ልክ ነው።ሥር፡

ሁለቱም የተገኙት እሴቶች ይህንን እኩልነት የሚያሟሉ መሆናቸውን ማረጋገጥ ቀላል ነው-

በድንገት የመፍትሄውን ስልተ-ቀመር ከረሱ ምን ማድረግ ይጠበቅብዎታል, እና በእጃቸው ምንም ዘዴዎች / የእርዳታ እጆች የሉም? ይህ ሁኔታ ለምሳሌ በፈተና ወይም በፈተና ወቅት ሊነሳ ይችላል። የግራፊክ ዘዴን እንጠቀማለን! እና ሁለት መንገዶች አሉ: ይችላሉ ነጥብ በ ነጥብ ይገንቡፓራቦላ , በዚህም ዘንግውን የሚያቋርጥበትን ቦታ ለማወቅ (በፍፁም ከተሻገረ). ነገር ግን የበለጠ ተንኮለኛ ነገር ማድረግ የተሻለ ነው: በቅጹ ላይ ያለውን እኩልነት አስቡ, ግራፎችን የበለጠ ይሳሉ ቀላል ተግባራት- እና "X" መጋጠሚያዎችየመገናኛ ነጥቦቻቸው በግልጽ ይታያሉ!


ቀጥተኛው መስመር ፓራቦላውን እንደሚነካው ከተረጋገጠ ፣ እኩልታው ሁለት ተዛማጅ (ብዙ) ሥሮች አሉት። ቀጥተኛው መስመር ፓራቦላውን እንደማያቋርጥ ከተረጋገጠ እውነተኛ ሥሮች የሉም.

ይህንን ለማድረግ, በእርግጥ, መገንባት መቻል አለብዎት የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ግራፎችነገር ግን በሌላ በኩል, የትምህርት ቤት ልጅ እንኳን እነዚህን ችሎታዎች ማድረግ ይችላል.

እና እንደገና - እኩልታ እኩልነት ነው, እና ተግባራት, ተግባራት ናቸው ብቻ ረድቷልእኩልታውን ይፍቱ!

እና እዚህ ፣ በነገራችን ላይ አንድ ተጨማሪ ነገር ማስታወስ ተገቢ ይሆናል- ሁሉም የእኩልታ እኩልታዎች ዜሮ ባልሆኑ ቁጥር ከተባዙ ሥሮቹ አይለወጡም.

ስለዚህ, ለምሳሌ, እኩልታ ተመሳሳይ ሥሮች አሉት. እንደ ቀላል “ማስረጃ”፣ ቋሚውን ከቅንፍ ውስጥ አወጣለሁ፡-
እና ያለምንም ህመም አስወግደዋለሁ (ሁለቱንም ክፍሎች “በሁለት ሲቀነስ” እከፍላለሁ):

ግን!ተግባሩን ከግምት ውስጥ ካስገባን , ከዚያ እዚህ ቋሚውን ማስወገድ አይችሉም! ማባዣውን ከቅንፍ ማውጣት ብቻ ነው የሚፈቀደው፡- .

ብዙ ሰዎች "ያልተከበረ" ነገር አድርገው በመቁጠር የግራፊክ የመፍትሄ ዘዴን ዝቅ አድርገው ይመለከቱታል, እና አንዳንዶች ይህን ዕድል ሙሉ በሙሉ ይረሳሉ. እና ይህ በመሠረቱ ስህተት ነው ፣ ምክንያቱም ግራፎችን ማቀድ አንዳንድ ጊዜ ሁኔታውን ብቻ ያድናል!

ሌላ ምሳሌ፡ የቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ሥረቶቹን ካላስታወሱ እንበል። አጠቃላይ ቀመርውስጥ ነው የትምህርት ቤት መማሪያዎች፣ በሁሉም የማጣቀሻ መጽሐፍት ላይ የመጀመሪያ ደረጃ ሒሳብ፣ ግን ለእርስዎ አይገኙም። ነገር ግን፣ እኩልታውን መፍታት ወሳኝ ነው (በተጨማሪም “ሁለት”)። መውጫ አለ! - የተግባር ግራፎችን ይገንቡ;


ከዚያ በኋላ የመገናኛ ነጥቦቻቸውን “X” መጋጠሚያዎች በእርጋታ እንጽፋለን-

እጅግ በጣም ብዙ ሥሮች አሉ እና በአልጀብራ ውስጥ የእነሱ የታመቀ መግለጫ ተቀባይነት አለው፡-
፣ የት ( – የኢንቲጀር ስብስብ) .

እና, "የጥሬ ገንዘብ መመዝገቢያውን ሳይለቁ", ስለ ጥቂት ቃላት ስዕላዊ ዘዴበአንድ ተለዋዋጭ ውስጥ ለእኩልነት መፍትሄዎች. መርሆውም አንድ ነው። ስለዚህ, ለምሳሌ, ለእኩልነት መፍትሄው ማንኛውም "x" ነው, ምክንያቱም የ sinusoid ከሞላ ጎደል በቀጥታ መስመር ስር ይተኛል. ለእኩልነት መፍትሄው የ sinusoid ቁርጥራጮች ከቀጥታ መስመር በላይ በጥብቅ የሚተኛባቸው ክፍተቶች ስብስብ ነው። (x-ዘንግ):

ወይም በአጭሩ፡-

ግን ለእኩልነት ብዙ መፍትሄዎች እዚህ አሉ ባዶየ sinusoid ምንም ነጥብ ከቀጥታ መስመር በላይ ስለሚተኛ።

ያልገባህ ነገር አለ? ስለ ትምህርቶቹ በአስቸኳይ አጥኑ ስብስቦችእና የተግባር ግራፎች!

እንሞቀው፡

መልመጃ 1

የሚከተሉትን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በግራፊክ ይፍቱ፡

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መልሶች

እንደምታየው, ለማጥናት ትክክለኛ ሳይንሶችቀመሮችን እና የማጣቀሻ መጽሐፍትን መጨናነቅ አያስፈልግም! ከዚህም በላይ ይህ በመሠረቱ የተሳሳተ አካሄድ ነው.

አስቀድሜ እንዳረጋገጥኩህ በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ፣ ውስብስብ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በመደበኛ ከፍተኛ የሒሳብ ኮርስ ውስጥ በጣም አልፎ አልፎ መፈታት አለባቸው። ሁሉም ውስብስብነት, እንደ አንድ ደንብ, በመሳሰሉት እኩልታዎች ይጠናቀቃል, መፍትሄው በጣም ቀላል ከሆኑት እኩልታዎች እና የመነጩ ሁለት ቡድኖች ናቸው. . የኋለኛውን ለመፍታት ብዙ አይጨነቁ - መጽሐፍ ውስጥ ይመልከቱ ወይም በይነመረብ ላይ ያግኙት =)

የግራፊክ የመፍትሄ ዘዴው በአነስተኛ ጉዳዮች ላይ ሊረዳ ይችላል. ለምሳሌ የሚከተለውን “ራግታግ” እኩልነት አስብበት፡-

የመፍትሄው ተስፋዎች ይመስላሉ ... በጭራሽ ምንም አይመስሉም ፣ ግን በቅጹ ላይ ያለውን ስሌት መገመት ብቻ ያስፈልግዎታል ፣ ይገንቡ የተግባር ግራፎችእና ሁሉም ነገር በማይታመን ሁኔታ ቀላል ይሆናል. በአንቀጹ መሃል ስለ አንድ ሥዕል አለ። ማለቂያ የሌላቸው ተግባራት (በሚቀጥለው ትር ውስጥ ይከፈታል).

ተመሳሳዩን የግራፊክ ዘዴ በመጠቀም ፣ እኩልታው ቀድሞውኑ ሁለት ሥሮች እንዳሉት እና ከመካከላቸው አንዱ መሆኑን ማወቅ ይችላሉ። ከዜሮ ጋር እኩል ነው።እና ሌላኛው ፣ በግልጽ ፣ ምክንያታዊ ያልሆነእና የክፍሉ ባለቤት ነው። ሥር የተሰጠበግምት ሊሰላ ይችላል ፣ ለምሳሌ ፣ የታንጀንት ዘዴ. በነገራችን ላይ, በአንዳንድ ችግሮች, ሥሮቹን መፈለግ ሳያስፈልግዎ ይከሰታል, ነገር ግን ይወቁ በጭራሽ አሉ?. እና እዚህም, ስዕል ሊረዳ ይችላል - ግራፎች ካልተገናኙ, ከዚያ ምንም ሥሮች የሉም.

ኢንቲጀር ኮፊፊሸንስ ያላቸው የፖሊኖሚሎች ምክንያታዊ ሥሮች።
የሆርነር እቅድ

እና አሁን እይታዎን ወደ መካከለኛው ዘመን እንዲያዞሩ እና የጥንታዊ አልጀብራ ልዩ ድባብ እንዲሰማዎት እጋብዝዎታለሁ። ስለ ቁሳቁሱ የተሻለ ግንዛቤ፣ ቢያንስ ትንሽ እንዲያነቡ እመክራለሁ። ውስብስብ ቁጥሮች.

እነሱ ምርጥ ናቸው. ፖሊኖሚሎች.

የፍላጎታችን ነገር ከቅጹ ጋር በጣም የተለመዱ ፖሊኖሚሎች ይሆናሉ ሙሉአሃዞች የተፈጥሮ ቁጥርተብሎ ይጠራል የ polynomial ዲግሪ, ቁጥር - የከፍተኛው ዲግሪ መጠን (ወይም ከፍተኛው መጠን ብቻ), እና Coefficient ነው ነጻ አባል.

ይህንን ፖሊኖሚል በአጭሩ በ.

የፖሊኖሚል ሥሮችየእኩልታውን ሥሮች ይደውሉ

የብረት አመክንዮ እወዳለሁ =)

ለምሳሌ ወደ መጣጥፉ መጀመሪያ ይሂዱ፡-

የ 1 ኛ እና 2 ኛ ዲግሪዎች የ polynomials ሥሮችን ለማግኘት ምንም ችግሮች የሉም ፣ ግን ሲጨምሩ ይህ ተግባር የበለጠ እና የበለጠ ከባድ ይሆናል። ምንም እንኳን በሌላ በኩል, ሁሉም ነገር የበለጠ አስደሳች ነው! እና የትምህርቱ ሁለተኛ ክፍል የሚቀርበው በትክክል ይህ ነው።

በመጀመሪያ፣ በጥሬው የንድፈ ሃሳቡ ግማሽ ማያ ገጽ፡-

1) በቃለ ምልልሱ መሠረት መሠረታዊ የአልጀብራ ጽንሰ-ሐሳብ፣ የዲግሪ ፖሊኖሚል በትክክል አለው። ውስብስብሥሮች. አንዳንድ ሥሮች (ወይም እንዲያውም ሁሉም) በተለይ ሊሆኑ ይችላሉ ልክ ነው።. ከዚህም በላይ ከትክክለኛዎቹ ሥሮች መካከል ተመሳሳይ (በርካታ) ሥሮች ሊኖሩ ይችላሉ (ቢያንስ ሁለት, ከፍተኛ ቁርጥራጮች).

አንዳንድ ውስብስብ ቁጥር የአንድ ፖሊኖሚል ሥር ከሆነ, ከዚያ conjugateየእሱ ቁጥር እንዲሁ ሥር ነው ፖሊኖሚል ተሰጥቶታል (ማገናኘት ውስብስብ ሥሮችይመስላል ).

በጣም ቀላሉ ምሳሌበ8 ውስጥ ለመጀመሪያ ጊዜ የታየ ባለአራት እኩልታ ነው። (መውደድ)ክፍል, እና በመጨረሻ በርዕሱ ውስጥ "ያጠናቅቅን". ውስብስብ ቁጥሮች. ላስታውስህ፡ quadratic equation ወይ ሁለት የተለያዩ እውነተኛ ስሮች፣ ወይም በርካታ ሥሮች፣ ወይም የተዋሃዱ ስሮች አሉት።

2) ከ የቤዙት ቲዎሪየሚከተለው ቁጥር የአንድ እኩልታ ሥር ከሆነ፣ተዛማጁ ፖሊኖሚል ሊፈጠር ይችላል፡
የዲግሪ ፖሊኖሚል የት አለ .

እና እንደገና የእኛ የድሮ ምሳሌ: የእኩልታው መነሻ ስለሆነ፣ እንግዲህ . ከዚያ በኋላ የታወቀው "ትምህርት ቤት" መስፋፋትን ማግኘት አስቸጋሪ አይደለም.

የቤዙት ቲዎሬም አስተባባሪነት ትልቅ ነው። ተግባራዊ ዋጋ: የ 3 ኛ ዲግሪ እኩልታ ሥር ካወቅን, በቅጹ ውስጥ ልንወክለው እንችላለን እና ከ quadratic equation የቀሩትን ሥሮች ለማወቅ ቀላል ነው. የ 4 ኛ ዲግሪ እኩልታ ሥርን ካወቅን የግራውን ጎን ወደ ምርት ወዘተ ማስፋት ይቻላል.

እና እዚህ ሁለት ጥያቄዎች አሉ.

ጥያቄ አንድ. ይህንን ሥር እንዴት ማግኘት ይቻላል? በመጀመሪያ ደረጃ, ተፈጥሮውን እንገልፃለን-በከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት ብዙ ችግሮች ውስጥ መፈለግ አስፈላጊ ነው ምክንያታዊ, በተለየ ሁኔታ ሙሉየ polynomials ሥሮች ፣ እና በዚህ ረገድ ፣ የበለጠ እኛ በዋነኝነት ለእነሱ ፍላጎት እናደርጋለን…. ... እነሱ በጣም ጥሩ ናቸው፣ በጣም ለስላሳ ናቸው፣ እነርሱን ለማግኘት ብቻ ይፈልጋሉ! =)

ወደ አእምሮ የሚመጣው የመጀመሪያው ነገር የመምረጫ ዘዴ ነው. ለምሳሌ እኩልታውን አስቡበት። እዚህ ያለው መያዣ በነጻ ቃል ውስጥ ነው - ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ፣ ከዚያ ሁሉም ነገር ጥሩ ይሆናል - “x” ን ከቅንፍ ውስጥ እናወጣለን እና ሥሮቹ እራሳቸው ወደ ላይ “ይወድቃሉ” ።

ግን የእኛ ነፃ ቃል ከ "ሶስት" ጋር እኩል ነው, እና ስለዚህ ወደ እኩልዮሽ መተካት እንጀምራለን የተለያዩ ቁጥሮች"ሥሩ" ነኝ በማለት። በመጀመሪያ ደረጃ, መተካቱ እራሱን ይጠቁማል ነጠላ እሴቶች. እንተካ፡

ደረሰ ትክክል አይደለምእኩልነት፣ ስለዚህም ክፍሉ “አልመጣም”። ደህና፣ እሺ፣ እንተካው፡-

ደረሰ እውነት ነው።እኩልነት! ያም ማለት እሴቱ የዚህ እኩልታ ሥር ነው.

የ 3 ኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል ሥሮቹን ለማግኘት ፣ እዚያ አሉ። የትንታኔ ዘዴ (የካርዳኖ ቀመሮች የሚባሉት)አሁን ግን ትንሽ ለየት ያለ ስራ ላይ ፍላጎት አለን.

ጀምሮ - የእኛ polynomial ሥር ነው, polynomial ቅጽ ውስጥ ሊወከል እና ሊነሳ ይችላል ሁለተኛ ጥያቄ"ታናሽ ወንድም" እንዴት ማግኘት ይቻላል?

በጣም ቀላሉ የአልጀብራ ግምት እንደሚጠቁመው ይህንን ለማድረግ በ መከፋፈል ያስፈልገናል. ፖሊኖሚል በፖሊኖሚል እንዴት እንደሚከፋፈል? ተመሳሳይ የትምህርት ቤት ዘዴተጋርቷል። ተራ ቁጥሮች- "በአምድ ውስጥ"! ይህ ዘዴበትምህርቱ የመጀመሪያ ምሳሌዎች ውስጥ በዝርዝር ተወያይቻለሁ ውስብስብ ገደቦች, እና አሁን ሌላ ዘዴን እንመለከታለን, እሱም ይባላል የሆርነር እቅድ.

በመጀመሪያ "ከፍተኛ" ፖሊኖሚል እንጽፋለን ከሁሉም ጋር , ዜሮ ቅንጅቶችን ጨምሮ:
, ከዚያ በኋላ እነዚህን መለኪያዎች (በቅደም ተከተል) ወደ ጠረጴዛው የላይኛው ረድፍ እናስገባቸዋለን:

ሥሩን በግራ በኩል እንጽፋለን-

የ "ቀይ" ቁጥር ከሆነ የሆርነር እቅድ እንደሚሰራ ወዲያውኑ ቦታ አስይዘዋለሁ አይደለምየፖሊኖሚል ሥር ነው. ይሁን እንጂ ነገሮችን አንቸኩል።

የመሪውን ቅንጅት ከላይ እናስወግደዋለን፡-

የታችኛውን ሴሎች የመሙላት ሂደት በተወሰነ ደረጃ ጥልፍን የሚያስታውስ ነው, "አንድ ሲቀነስ" የሚቀጥሉትን ደረጃዎች የሚያልፍ "መርፌ" አይነት ነው. "የተሸከመውን" ቁጥር በ (-1) እናባዛለን እና ቁጥሩን ከላይኛው ሕዋስ ወደ ምርቱ እንጨምራለን፡

የተገኘውን እሴት በ “ቀይ መርፌ” እናባዛለን እና በምርቱ ላይ የሚከተለውን እኩልነት እንጨምራለን-

እና በመጨረሻም ፣ የተገኘው እሴት እንደገና በ “መርፌ” እና በከፍተኛው ቅንጅት “ተሰራ”

በመጨረሻው ሕዋስ ውስጥ ያለው ዜሮ ፖሊኖሚል የተከፋፈለ መሆኑን ይነግረናል ያለ ዱካ (መሆን እንዳለበት)የማስፋፊያ ቅንጅቶች ከሠንጠረዡ ግርጌ በቀጥታ "ተወግደዋል"

ስለዚህም፣ ከተዛወርንበት እኩልታ ተመጣጣኝ እኩልታእና በሁለቱ የቀሩት ሥሮች ሁሉም ነገር ግልጽ ነው (ቪ በዚህ ጉዳይ ላይየተዋሃዱ ውስብስብ ሥሮችን እናገኛለን).

በነገራችን ላይ እኩልታው በግራፊክ ሊፈታም ይችላል፡ ሴራ "መብረቅ" እና ግራፉ የ x-ዘንግውን እንደሚያቋርጥ ይመልከቱ () ነጥብ ላይ . ወይም ተመሳሳይ "ተንኮለኛ" ማታለል - እኩልታውን በቅጹ ላይ እንደገና እንጽፋለን, ይሳሉ የመጀመሪያ ደረጃ ግራፊክስእና የመገናኛ ነጥባቸውን "X" መጋጠሚያ ይወቁ.

በነገራችን ላይ የ 3 ኛ ዲግሪ የማንኛውም ተግባር-ፖሊኖሚል ግራፍ ቢያንስ አንድ ጊዜ ዘንግ ያቋርጣል ፣ ይህ ማለት ተጓዳኝ እኩልታ አለው ማለት ነው ። ቢያንስአንድ ልክ ነው።ሥር. ይህ እውነታለየትኛውም ፖሊኖሚል ተግባር ላልታወቀ ዲግሪ የሚሰራ።

እና እዚህ ላይ ደግሞ ማረፍ እፈልጋለሁ አስፈላጊ ነጥብ የቃላት አጠቃቀምን የሚመለከት፡- ፖሊኖሚልእና ፖሊኖሚል ተግባር – ተመሳሳይ ነገር አይደለም! ግን በተግባር ግን ብዙውን ጊዜ ለምሳሌ ስለ "ፖሊኖሚል ግራፍ" ይነጋገራሉ, እሱም በእርግጥ, ቸልተኝነት ነው.

ሆኖም ወደ ሆርነር እቅድ እንመለስ። በቅርቡ እንደገለጽኩት, ይህ እቅድ ለሌሎች ቁጥሮች ይሰራል, ግን ቁጥሩ ከሆነ አይደለምየእኩልታው መሰረት ነው፣ ከዚያም ዜሮ ያልሆነ መደመር (ቀሪ) በእኛ ቀመር ውስጥ ይታያል፡

በሆርነር እቅድ መሰረት "ያልተሳካ" ዋጋን "እናካሂድ". በዚህ ሁኔታ, ተመሳሳዩን ሰንጠረዥ ለመጠቀም ምቹ ነው - በግራ በኩል አዲስ "መርፌ" ይፃፉ, መሪውን ኮፊሸን ከላይ ያንቀሳቅሱ. (ግራ አረንጓዴ ቀስት)እና እንሄዳለን፡-

ለመፈተሽ፣ ቅንፍቹን እንከፍትና እናቅርብ ተመሳሳይ ቃላት:
፣ እሺ

የቀረው (“ስድስት”) በትክክል የፖሊኖሚል ዋጋ መሆኑን ለማየት ቀላል ነው። እና በእውነቱ - ምን ይመስላል:
እና የበለጠ ቆንጆ - እንደዚህ:

ከላይ ከተጠቀሱት ስሌቶች መረዳት ቀላል ነው የሆርነር እቅድ ፖሊኖሚልነትን ብቻ ሳይሆን "የሥልጣኔ" ሥሩን ለመምረጥ ያስችላል. የሒሳብ አልጎሪዝምን እራስዎ በትንሽ ተግባር እንዲያዋህዱ እመክርዎታለሁ፡

ተግባር 2

የሆርነርን እቅድ በመጠቀም ያግኙ ሙሉ ሥርእኩልነት እና ተመጣጣኝ ፖሊኖሚል

በሌላ አገላለጽ፣ በመጨረሻው አምድ ውስጥ ዜሮ ቀሪ እስኪሆን ድረስ 1, -1, 2, -2, ... ቁጥሮችን በቅደም ተከተል ማረጋገጥ ያስፈልግዎታል. ይህ ማለት የዚህ መስመር "መርፌ" የፖሊኖሚል ሥር ነው ማለት ነው

በአንድ ጠረጴዛ ውስጥ ስሌቶችን ለማዘጋጀት አመቺ ነው. ዝርዝር መፍትሔእና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መልሱ.

ሥሮችን የመምረጥ ዘዴ በአንጻራዊነት ጥሩ ነው ቀላል ጉዳዮች, ነገር ግን የፖሊኖሚል ጥምርታዎች እና/ወይም ዲግሪ ትልቅ ከሆኑ, ሂደቱ ረዘም ያለ ጊዜ ሊወስድ ይችላል. ወይም ምናልባት ከተመሳሳይ ዝርዝር 1, -1, 2, -2 አንዳንድ እሴቶች ሊኖሩ ይችላሉ እና ግምት ውስጥ ማስገባት ምንም ፋይዳ የለውም? እና በተጨማሪ ፣ ሥሮቹ ክፍልፋይ ሊሆኑ ይችላሉ ፣ ይህም ወደ ሙሉ በሙሉ ሳይንሳዊ ያልሆነ ጩኸት ያስከትላል።

እንደ እድል ሆኖ ፣ ለምክንያታዊ ሥሮች “እጩ” እሴቶችን ፍለጋን በእጅጉ የሚቀንሱ ሁለት ኃይለኛ ንድፈ ሀሳቦች አሉ-

ቲዎሪ 1እስቲ እናስብ ሊቀንስ የማይችልክፍልፋይ, የት . ቁጥሩ የቀመርው ሥር ከሆነ፣ ነፃው ቃል በ ተከፍሏል እና መሪው ቅንጅት በ ተከፍሏል።

በተለየ ሁኔታመሪው ኮፊሸን ከሆነ፣ ይህ ምክንያታዊ ሥር ኢንቲጀር ነው፡-

እና በዚህ ጣፋጭ ዝርዝር ንድፈ ሀሳቡን መበዝበዝ እንጀምራለን-

ወደ እኩልታው እንመለስ። የእሱ ዋና መጠን ስለሆነ፣ ግምታዊ ምክንያታዊ ሥሮች ሙሉ በሙሉ ኢንቲጀር ሊሆኑ ይችላሉ፣ እና ነፃው ቃል የግድ ወደ እነዚህ ሥሮች መከፋፈል አለበት። እና "ሶስት" በ 1, -1, 3 እና -3 ብቻ መከፋፈል ይቻላል. ማለትም 4 "ሥር እጩዎች" ብቻ አሉን. እና, መሠረት ቲዎሪ 1, ሌላ ምክንያታዊ ቁጥሮችበመሠረታዊ መርህ ውስጥ የዚህ ቀመር መነሻ ሊሆን አይችልም።

በቀመር ውስጥ ጥቂት ተጨማሪ "ተሟጋቾች" አሉ፡ ነፃው ቃል በ 1, -1, 2, - 2, 4 እና -4 ተከፍሏል.

እባክዎን ቁጥሮች 1, -1 ሊሆኑ የሚችሉ ሥሮች ዝርዝር "መደበኛ" መሆናቸውን ልብ ይበሉ (የንድፈ ሃሳቡ ግልፅ ውጤት)እና አብዛኛዎቹ ምርጥ ምርጫቅድሚያ ለሚሰጠው ቼክ.

ወደ ይበልጥ ትርጉም ያላቸው ምሳሌዎች እንሂድ፡-

ችግር 3

መፍትሄዋናው ኮፊሸን ስለሆነ፣ ግምታዊ ምክንያታዊ ሥሮች ኢንቲጀር ብቻ ሊሆኑ ይችላሉ፣ እና እነሱ የግድ የነፃ ቃል አካፋዮች መሆን አለባቸው። "አርባ ቀንሷል" በሚከተሉት የቁጥሮች ጥንድ ተከፍሏል.
- በአጠቃላይ 16 "እጩዎች".

እና እዚህ አንድ ፈታኝ ሀሳብ ወዲያውኑ ይታያል-ሁሉንም አሉታዊ ወይም ሁሉንም አወንታዊ ሥሮች ማረም ይቻላል? በአንዳንድ ሁኔታዎች ይቻላል! ሁለት ምልክቶችን እፈጥራለሁ-

1) ከሆነ ሁሉምየፖሊኖሚል ቅንጅቶች አሉታዊ ካልሆኑ, አወንታዊ ሥሮች ሊኖራቸው አይችልም. እንደ አለመታደል ሆኖ, ይህ የእኛ ጉዳይ አይደለም (አሁን, እኩልነት ከተሰጠን - አዎ, ማንኛውንም የፖሊኖሚል እሴት ሲተካ, የፖሊኖሚል ዋጋ በጥብቅ አዎንታዊ ነው, ይህም ማለት ሁሉም ነገር ማለት ነው. አዎንታዊ ቁጥሮች (እና ምክንያታዊ ያልሆኑ)የእኩልታው መሰረት ሊሆን አይችልም።

2) ለጎልማሳ ሀይሎች መጋጠሚያዎች አሉታዊ ካልሆኑ እና ለሁሉም ሀይሎች (ነጻ አባልን ጨምሮ)አሉታዊ ናቸው, ከዚያም ፖሊኖሚል ሊኖረው አይችልም አሉታዊ ሥሮች. የእኛ ጉዳይ ይህ ነው! ትንሽ ጠጋ ብለው ሲመለከቱ፣ ማንኛውንም አሉታዊ “x” ወደ እኩልታው ሲቀይሩ ማየት ይችላሉ። ግራ ጎንበጥብቅ አሉታዊ ይሆናል, ይህም ማለት አሉታዊ ሥሮች ይጠፋሉ

ስለዚህም ለምርምር 8 ቁጥሮች ቀርተዋል፡-

በሆርነር እቅድ መሰረት በቅደም ተከተል "እናስከፍላቸዋለን". እርስዎ ቀደም ብለው እንደተረዱት ተስፋ አደርጋለሁ የአዕምሮ ስሌቶች:

"ሁለቱን" ስንፈትሽ ዕድለኛ ጠበቀን:: ስለዚህ, የእኩልታው ሥር ግምት ውስጥ ነው, እና

እኩልነቱን ለማጥናት ይቀራል . ይህ በአድሎአዊ በኩል ማድረግ ቀላል ነው, ነገር ግን ተመሳሳይ ዘዴን በመጠቀም አመላካች ሙከራን አደርጋለሁ. በመጀመሪያ ፣ የነፃው ቃል ከ 20 ጋር እኩል መሆኑን እናስተውል ፣ ማለትም ቲዎሪ 1ቁጥሮች 8 እና 40 ሊሆኑ ከሚችሉት ሥሮች ዝርዝር ውስጥ ይወድቃሉ ፣ እሴቶቹን ለምርምር ይተዋሉ። (አንዱ በሆርነር እቅድ መሰረት ተወግዷል).

በአዲሱ ሠንጠረዥ የላይኛው ረድፍ ላይ የሶስትዮሽ እኩልታዎችን እንጽፋለን እና በተመሳሳይ "ሁለት" ማረጋገጥ እንጀምራለን.. ለምን? እና ሥሮቹ ብዙ ሊሆኑ ስለሚችሉ እባክዎን: - ይህ እኩልታ 10 አለው ተመሳሳይ ሥሮች. እንተዘይኮይኑ ግን፡ ንህዝቢ ክልቲኡ ምዃኖም ንምርኣይ ይግባእ።

እና እዚህ ፣ በእርግጥ ፣ ሥሮቹ ምክንያታዊ መሆናቸውን እያወቅኩ ትንሽ ውሸት ነበር። ለነገሩ፣ እነሱ ምክንያታዊነት የጎደላቸው ወይም ውስብስብ ከሆኑ፣ የተቀሩትን ቁጥሮች በሙሉ ያልተሳካ ፍተሻ ይገጥመኝ ነበር። ስለዚ፡ በተግባር፡ በአድልዎ ይመሩ።

መልስምክንያታዊ ሥር፡ 2፣ 4፣ 5

በተተነተነው ችግር እድለኞች ነበርን, ምክንያቱም: ሀ) ወዲያውኑ ወደቁ አሉታዊ እሴቶች፣ እና ለ) ሥሩን በፍጥነት አገኘን (እና በንድፈ ሀሳብ አጠቃላይ ዝርዝሩን ማረጋገጥ እንችላለን)።

ግን እንደ እውነቱ ከሆነ ሁኔታው ​​​​በጣም የከፋ ነው. እንድትመለከቱ እጋብዛችኋለሁ አስደሳች ጨዋታበሚል ርዕስ የመጨረሻው ጀግና»:

ችግር 4

የእኩልታውን ምክንያታዊ ሥሮች ይፈልጉ

መፍትሄ: በ ቲዎሪ 1መላምታዊ ቁጥሮች ምክንያታዊ ሥሮችሁኔታውን ማሟላት አለበት (“አሥራ ሁለት በኤል ተከፍለዋል” እናነባለን)እና መለያዎቹ ከሁኔታው ጋር ይዛመዳሉ። በዚህ መሠረት ሁለት ዝርዝሮችን እናገኛለን-

"ኤል ዝርዝር":
እና "ዝርዝር um": (እንደ እድል ሆኖ, እዚህ ያሉት ቁጥሮች ተፈጥሯዊ ናቸው).

አሁን ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ስሮች ዝርዝር እናድርግ. በመጀመሪያ "ኤል ዝርዝር" በ . ተመሳሳይ ቁጥሮች እንደሚገኙ ፍጹም ግልጽ ነው. ለመመቻቸት በጠረጴዛ ውስጥ እናስቀምጣቸው፡-

ብዙ ክፍልፋዮች ተቀንሰዋል፣ በዚህም ምክንያት በ"ጀግና ዝርዝር" ውስጥ ያሉ እሴቶችን አስከትሏል። “አዲስ ጀማሪዎችን” ብቻ እንጨምራለን፡-

በተመሳሳይ፣ ተመሳሳዩን “ዝርዝር” በሚከተለው እንከፋፍለዋለን።

እና በመጨረሻ ላይ

ስለዚህ በጨዋታችን ውስጥ የተሳታፊዎች ቡድን ተጠናቅቋል-


እንደ አለመታደል ሆኖ በዚህ ችግር ውስጥ ያለው ፖሊኖሚል "አዎንታዊ" ወይም "አሉታዊ" መስፈርትን አያረካም, እና ስለዚህ የላይኛውን ወይም የታችኛውን ረድፍ መጣል አንችልም. ከሁሉም ቁጥሮች ጋር መስራት ይኖርብዎታል.

ምን ተሰማህ? ና፣ ጭንቅላትህን አንሳ - በምሳሌያዊ አነጋገር “ገዳይ ቲዎረም” ተብሎ ሊጠራ የሚችል ሌላ ቲዎሬም አለ…. ... "እጩዎች", በእርግጥ =)

በመጀመሪያ ግን በሆርነር ዲያግራም ውስጥ ቢያንስ ለአንድ ማሸብለል ያስፈልግዎታል ሁለንተናቁጥሮች. በተለምዶ አንድ እንውሰድ። ከላይኛው መስመር ላይ የፖሊኖሚል መለኪያዎችን እንጽፋለን እና ሁሉም ነገር እንደተለመደው ነው.

አራት በግልጽ ዜሮ ስላልሆነ እሴቱ በጥያቄ ውስጥ ያለው የብዙ ቁጥር ሥር አይደለም. እሷ ግን ብዙ ትረዳናለች።

ቲዎሪ 2ለአንዳንዶች ከሆነ በአጠቃላይየፖሊኖሚል እሴት ዜሮ ነው: ፣ ከዚያ ምክንያታዊ ሥሮቹ (ከሆኑ)ሁኔታውን ማርካት

በእኛ ሁኔታ እና ስለዚህ ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ሥሮች ሁኔታውን ማሟላት አለባቸው (ሁኔታ ቁጥር 1 እንበለው). እነዚህ አራት የብዙ "እጩዎች" "ገዳይ" ይሆናሉ. እንደ ማሳያ፣ ጥቂት ቼኮችን እመለከታለሁ፡-

“እጩውን” እንፈትሽ። ይህንን ለማድረግ በአርቴፊሻል መንገድ በክፍልፋይ መልክ እንወክለው, ከእሱ በግልጽ ይታያል. የፈተናውን ልዩነት እናሰላው፡. አራት በ "ሁለት ሲቀነስ" ይከፈላሉ:, ይህም ማለት ሊሆን የሚችል ሥር ፈተናውን አልፏል ማለት ነው.

እሴቱን እንፈትሽ። የፈተናው ልዩነት እዚህ አለ፡- . እርግጥ ነው, እና ስለዚህ ሁለተኛው "ርዕሰ ጉዳይ" እንዲሁ በዝርዝሩ ላይ ይቆያል.

የትምህርት ዓላማዎች፡-

• ተማሪዎች እኩልታዎችን እንዲፈቱ አስተምሯቸው ከፍተኛ ዲግሪዎችየሆርነር እቅድን በመጠቀም;
• ጥንድ ሆነው የመሥራት ችሎታን ማዳበር;
• ከኮርሱ ዋና ዋና ክፍሎች ጋር በመተባበር የተማሪዎችን ችሎታ ለማዳበር መሠረት መፍጠር;
• ተማሪው አቅሙን እንዲገመግም፣ ለሂሳብ ፍላጎት እንዲያዳብር፣ እንዲያስብ እና በርዕሱ ላይ እንዲናገር መርዳት።

መሳሪያ፡ለቡድን ስራ ካርዶች, በሆርነር ዲያግራም ፖስተር.

የማስተማር ዘዴ;ንግግር ፣ ታሪክ ፣ ማብራሪያ ፣ የስልጠና መልመጃዎችን ማከናወን ።

የቁጥጥር ዘዴ;ተግባራትን መፈተሽ ገለልተኛ ውሳኔ፣ ገለልተኛ ሥራ።

በክፍሎቹ ወቅት

1. ድርጅታዊ ጊዜ

2. የተማሪዎችን እውቀት ማዘመን

ቁጥሩ የአንድ የተወሰነ እኩልታ ሥር (ቲዎሬም ይቀርፃል) መሆኑን ለመወሰን የሚፈቅደው ምንድን ነው?

የቤዙት ቲዎሪ። የሁለትዮሽ P (x) ክፍፍል በቢኖሚል ቀሪው x-c እኩል ነው። P(c)፣ ቁጥሩ ሐ የብዙ ቁጥር P(x) ስር ይባላል P(c)=0 ከሆነ። ንድፈ ሃሳቡ የዲቪዥን ክዋኔውን ሳያከናውን, አለመሆኑን ለመወሰን ይፈቅዳል የተሰጠው ቁጥርየፖሊኖሚል ሥር.

ሥሮችን ለማግኘት ቀላል የሚያደርጉት የትኞቹ መግለጫዎች ናቸው?

ሀ) የፖሊኖሚል መሪ ኮፊሸን ከሆነ ከአንድ ጋር እኩል ነው።, ከዚያም የፖሊኖሚል ሥሮች በነፃው ቃል አከፋፋዮች መካከል መፈለግ አለባቸው.

ለ) የፖሊኖሚል ብዛት ድምር 0 ከሆነ ከሥሩ አንዱ 1 ነው።

ሐ) በቦታዎች ውስጥ ያሉ የቁጥሮች ድምር ከቁጥሩ ድምር ጋር እኩል ከሆነ ወጣ ያሉ ቦታዎች ላይ, ከሥሩ አንዱ -1 እኩል ነው.

መ) ሁሉም መመዘኛዎች አወንታዊ ከሆኑ የፖሊኖሚሉ ሥሮች አሉታዊ ቁጥሮች ናቸው።

ሠ) ባለ ብዙ ቁጥር ጎዶሎ ዲግሪ ቢያንስ አንድ አለው። እውነተኛ ሥር.

3. አዲስ ነገር መማር

ኢንቲጀሮች ሲፈቱ የአልጀብራ እኩልታዎችየ polynomials ሥሮች እሴቶችን ማግኘት አለብዎት። ስሌቶች የሚከናወኑት ሆርነር መርሃግብር ተብሎ በሚጠራው ልዩ ስልተ ቀመር ከሆነ ይህ ክዋኔ በከፍተኛ ሁኔታ ሊቀልል ይችላል። ይህ ወረዳ የተሰየመው በእንግሊዛዊው ሳይንቲስት ዊሊያም ጆርጅ ሆርነር ስም ነው። የሆርነር እቅድ ብዙ ቁጥርን እና ቀሪውን P(x) በ x-c ለመከፋፈል አልጎሪዝም ነው። እንዴት እንደሚሰራ በአጭሩ።

የዘፈቀደ ፖሊኖሚል P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n ይስጥ። ይህንን ብዙ ቁጥር በ x-c መከፋፈል P(x)=(x-c) g(x) + r(x) ውክልና ነው። ከፊል g(x)=በ0 x n-1 + በ n x n-2 +...+በ n-2 x + በ n-1፣ በ 0 =a 0፣ በ n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. ቀሪ r(x)= st n-1 +a n. ይህ ስሌት ዘዴ የሆርነር እቅድ ይባላል. በአልጎሪዝም ስም ውስጥ ያለው "መርሃግብር" የሚለው ቃል አፈፃፀሙ ብዙውን ጊዜ መደበኛ ስለሆነ ነው. በሚከተለው መንገድ. መጀመሪያ ሠንጠረዥ 2(n+2) ይሳሉ። በታችኛው ግራ ሕዋስ ውስጥ ቁጥሩን c ይፃፉ ፣ እና በላይኛው መስመር ላይ የፖሊኖሚል ፒ (x) ጥምርታዎች ይፃፉ። በዚህ ሁኔታ, የላይኛው ግራ ሕዋስ ባዶ ይቀራል.

	በ 0 = a 0	1 =st 1 +a 1 ውስጥ	በ 2 = sv 1 + ሀ 2		በ n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

አልጎሪዝምን ከፈጸመ በኋላ በታችኛው ቀኝ ሕዋስ ውስጥ የተጻፈው ቁጥር የ polynomial P(x) በ x-c ክፍፍል ቀሪ ነው። በ 0 ፣ በ 1 ፣ በ 2 ፣ ... ውስጥ ያሉት ሌሎች ቁጥሮች በታችኛው መስመር ውስጥ ያሉት የቁጥር ንፅፅሮች ናቸው።

ለምሳሌ፡ ብዙ ቁጥር ያለው P(x)= x 3 -2x+3 በ x-2 ይከፋፍሉት።

ያንን x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7 እናገኛለን።

4. የተጠናውን ቁሳቁስ ማጠናቀር

ምሳሌ 1፡ፖሊኖሚል P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 ወደ ኢንቲጀር ኮፊፊሸንትነት ያቅርቡ።

ከነፃው ቃል አከፋፋዮች መካከል ሙሉ ሥሮችን እንፈልጋለን -1: 1; -1. ጠረጴዛ እንሥራ፡-

X = -1 - ሥር

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

1/2 እንፈትሽ።

					X = 1/2 - ሥር

ስለዚህ, ፖሊኖሚል P (x) በቅጹ ውስጥ ሊወከል ይችላል

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

ምሳሌ 2፡ቀመር 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

በስሌቱ በግራ በኩል የተፃፈው የፖሊኖሚል ድምር ድምር ከዜሮ ጋር እኩል ስለሆነ ከሥሩ አንዱ 1. የሆርነርን እቅድ እንጠቀም፡-

						X=1 - ሥር

P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) እናገኛለን። ከነፃ ቃል 2 አከፋፋዮች መካከል ሥሮችን እንፈልጋለን።

ምንም ተጨማሪ ያልተበላሹ ሥሮች እንደሌሉ ደርሰንበታል. 1/2 እንፈትሽ; -1/2.

					X= -1/2 - ሥር

መልስ፡ 1; -1/2.

ምሳሌ 3፡እኩልታውን 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 ፍታ።

የነጻው ቃል 5፡1፤-1፤5፤-5 አከፋፋዮች መካከል የዚህን እኩልታ መሰረት እንፈልጋለን። x=1 የእኩልታ ስር ነው፣ የቁጥር ድምር ዜሮ ስለሆነ። የሆርነር እቅድን እንጠቀም፡-

ቀመርን እንደ ሶስት ነገሮች ውጤት እናቅርበው፡ (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0። የኳድራቲክ እኩልታ 5x 2 -7x+5=0ን መፍታት፣ D=49-100=-51 አግኝተናል፣ ምንም ሥሮች የሉም።

ካርድ 1

1. ብዙ ቁጥር ያለው ምክንያት፡ x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. እኩልታውን ይፍቱ፡ 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

ካርድ 2

1. ብዙ ቁጥር ያለው ምክንያት፡ x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. እኩልታውን ይፍቱ፡ x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

ካርድ 3

1. ምክንያት: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. እኩልታውን ይፍቱ፡ x 3 -2x 2 +4x-8=0

ካርድ 4

1. ምክንያት: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. እኩልታውን ይፍቱ፡ x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. ማጠቃለል

ጥንድ ጥንድ ሲፈታ እውቀትን መሞከር በክፍል ውስጥ የተግባር ዘዴን እና የመልሱን ስም በመገንዘብ ይከናወናል.

የቤት ስራ:

እኩልታዎችን ይፍቱ፡

ሀ) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

ለ) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

ሐ) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

መ) x 4 +2x 3 -x-2=0

ስነ-ጽሁፍ

1. ንያ ቪለንኪን እና ሌሎች፣ አልጀብራ እና የትንተና ጅማሬ፣ 10ኛ ክፍል ( ጥልቅ ጥናትሒሳብ፡- መገለጥ፣ 2005
2. ዩ.አይ. ሳካርቹክ, ኤል.ኤስ. ሳጋቴሎቫ, የከፍተኛ ዲግሪዎች እኩልታዎች መፍትሄ: ቮልጎግራድ, 2007.
3. ኤስ.ቢ. Gashkov, የቁጥር ስርዓቶች እና አተገባበር.

የሆርነር እቅድ - ፖሊኖሚል የመከፋፈል ዘዴ

$$P_n(x)=\sum\ገደብ_(i=0)^(n)a_(i) x^(n-i)=a_(0) x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2) x^(n-2)+\ldots+a_(n-1) x+a_n$$

በሁለትዮሽ $ x-a$. ከጠረጴዛ ጋር መሥራት አለብህ, የመጀመሪያው ረድፍ የአንድ የተወሰነ ፖሊኖሚል (coefficients) የያዘ ነው. የሁለተኛው መስመር የመጀመሪያው አካል ቁጥር $a$ ይሆናል፣ ከሁለትዮሽ $x-a$ የተወሰደ፡-

የ nth ዲግሪ ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ $x-a$ ከከፈልን በኋላ፣ ዲግሪው ከመጀመሪያው አንድ ያነሰ የሆነ ፖሊኖሚል እናገኛለን፣ ማለትም። $n-1$ ጋር እኩል ነው። የሆርነር እቅድ ቀጥተኛ አተገባበር በምሳሌዎች ለማሳየት በጣም ቀላል ነው።

ምሳሌ ቁጥር 1

የሆርነርን እቅድ በመጠቀም $5x^4+5x^3+x^2-11$ን በ$x-1$ አካፍል።

የሁለት መስመሮችን ሰንጠረዥ እንሥራ፡ በመጀመሪያው መስመር የ $5x^4+5x^3+x^2-11$ በተለዋዋጭ የ$x$ የኃይል ቁልቁል የተደረደሩትን ፖሊኖሚል ኮፊሸንት እንጽፋለን። ይህ ፖሊኖሚል እስከ መጀመሪያው ዲግሪ $ x$ እንደሌለው ልብ ይበሉ፣ ማለትም። የ$x$ ወደ መጀመሪያው ሃይል 0 ነው። በ$x-1$ የምንከፋፈለው በመሆኑ፣ በሁለተኛው መስመር ላይ አንዱን እንጽፋለን።

በሁለተኛው መስመር ውስጥ ያሉትን ባዶ ሴሎች መሙላት እንጀምር. በሁለተኛው መስመር ሁለተኛ ሕዋስ ውስጥ ቁጥሩን $5$ እንጽፋለን, በቀላሉ ከመጀመሪያው መስመር ተጓዳኝ ሕዋስ በማንቀሳቀስ:

የሚቀጥለውን ሕዋስ በዚህ መርህ እንሞላ፡$1\cdot 5+5=10$:

የሁለተኛውን መስመር አራተኛ ሕዋስ በተመሳሳይ መንገድ እንሞላ፡$1\cdot 10+1=11$:

ለአምስተኛው ሕዋስ: $1\cdot 11+0=11$:

እና በመጨረሻ፣ ለመጨረሻው፣ ስድስተኛው ሕዋስ፣ እኛ አለን፡ $1\cdot 11+(-11)=0$:

ችግሩ ተፈትቷል ፣ የቀረው መልሱን መጻፍ ብቻ ነው-

እንደሚመለከቱት, በሁለተኛው መስመር ላይ የሚገኙት ቁጥሮች (በአንድ እና በዜሮ መካከል) $5x^4+5x^3+x^2-11$ በ$x-1$ ከተከፋፈሉ በኋላ የተገኘው ፖሊኖሚል ውህዶች ናቸው። በተፈጥሮ፣ የመጀመሪያው ፖሊኖሚል $5x^4+5x^3+x^2-11$ ከአራት ጋር እኩል ስለሆነ፣ የተገኘው ፖሊኖሚል $5x^3+10x^2+11x+11$ አንድ ነው። ያነሰ, ማለትም. ሦስት እኩል ነው። በሁለተኛው መስመር ላይ ያለው የመጨረሻው ቁጥር (ዜሮ) ማለት ብዙ ቁጥር $5x^4+5x^3+x^2-11$ በ$x-1$ ሲካፈል ቀሪው ማለት ነው። በእኛ ሁኔታ, ቀሪው ዜሮ ነው, ማለትም. ፖሊኖሚሎች በእኩል ይከፋፈላሉ. ይህ ውጤት በሚከተለው መልኩ ሊገለጽ ይችላል፡ የብዙ ቁጥር $5x^4+5x^3+x^2-11$ የ$x=1$ ዋጋ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

ማጠቃለያውም በዚህ መልክ ሊቀረጽ ይችላል፡ የፖሊኖሚል $5x^4+5x^3+x^2-11$ በ$x=1$ ዋጋ ከዜሮ ጋር እኩል ስለሆነ አንድነት የብዙዎች መነሻ ነው። $5x^4+5x^3+ x^2-11$።

ምሳሌ ቁጥር 2

የሆርነርን እቅድ በመጠቀም ብዙ ቁጥር ያለው $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ በ$x+3$ ይከፋፍሉት።

ወዲያውኑ $ x+3$ የሚለው አገላለጽ በ$x (-3)$ መወከል እንዳለበት እንገልጽ። የሆርነር እቅድ በትክክል $-3$ን ያካትታል። የመጀመሪያው ፖሊኖሚል $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ከአራት ጋር እኩል ስለሆነ፣በመከፋፈል ምክንያት የሦስተኛው ዲግሪ ፖሊኖሚል እናገኛለን፡-

ውጤቱ ማለት ነው

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

በዚህ ሁኔታ የቀረው $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ በ$x+3$ ሲካፈል 4$ ነው። ወይም፣ ተመሳሳይ የሆነው፣ የብዙ ቁጥር $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ የ$x=-3$ ዋጋ ከ$4$ ጋር እኩል ነው። በነገራችን ላይ ይህ በቀጥታ $x=-3$ በተሰጠው ፖሊኖሚል በመተካት እንደገና ማረጋገጥ ቀላል ነው።

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

እነዚያ። የፖሊኖሚል ዋጋን በ ላይ ማግኘት አስፈላጊ ከሆነ የሆርነር እቅድ መጠቀም ይቻላል ዋጋ አዘጋጅተለዋዋጭ. ግባችን የፖሊኖሚል ሥረ-ሥሮች ሁሉ ማግኘት ከሆነ፣ በምሳሌ ቁጥር 3 ላይ እንደተገለጸው፣ ሁሉንም ሥሮቹን እስክንጨርስ ድረስ የሆርነር ዕቅድ በተከታታይ ብዙ ጊዜ ሊተገበር ይችላል።

ምሳሌ ቁጥር 3

የሆርነርን እቅድ በመጠቀም የ$x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ሁሉንም ኢንቲጀር ስሮች ያግኙ።

ከግምት ውስጥ የሚገቡት የፖሊኖሚል ውህደቶች ኢንቲጀሮች ናቸው ፣ እና ከዚህ በፊት ያለው ቅንጅት ከፍተኛ ዲግሪተለዋዋጭ (ማለትም ከ$x^6$ በፊት) ከአንድ ጋር እኩል ነው። በዚህ ሁኔታ, የፖሊኖሚል ኢንቲጀር ስሮች በነፃው ቃል አከፋፋዮች መካከል መፈለግ አለባቸው, ማለትም. ከቁጥር አካፋዮች መካከል 45. ለተጠቀሰው ፖሊኖሚል, እንደዚህ ያሉ ሥሮች ቁጥሮች $ 45 ሊሆኑ ይችላሉ. \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ እና $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$ ለምሳሌ ቁጥሩን $1$ እንይ፡-

እንደምታየው የፖሊኖሚል $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ከ$x=1$ ጋር እኩል ነው $192$(የመጨረሻው ቁጥር) በሁለተኛው መስመር), እና $ 0 $ አይደለም, ስለዚህ አንድነት የዚህ ፖሊኖሚል ሥር አይደለም. የአንዱ ቼክ ስላልተሳካ፣ ዋጋውን $x=-1$ እንፈትሽ። አዲስ ጠረጴዛለዚህ ዓላማ እኛ አንሰበስብም, ነገር ግን ሰንጠረዡን መጠቀሙን እንቀጥላለን. ቁጥር 1, አዲስ (ሶስተኛ) መስመር በእሱ ላይ መጨመር. የ $1 ዶላር ዋጋ የተረጋገጠበት ሁለተኛው መስመር በቀይ ቀለም ይገለጻል እና ለቀጣይ ውይይቶች ጥቅም ላይ አይውልም.

በእርግጥ በቀላሉ ጠረጴዛውን እንደገና መፃፍ ይችላሉ, ነገር ግን በእጅ መሙላት ብዙ ጊዜ ይወስዳል. በተጨማሪም ፣ ማረጋገጫቸው የማይሳካላቸው በርካታ ቁጥሮች ሊኖሩ ይችላሉ ፣ እና በእያንዳንዱ ጊዜ አዲስ ሠንጠረዥ ለመፃፍ አስቸጋሪ ነው። "በወረቀት ላይ" ሲሰላ, ቀይ መስመሮች በቀላሉ ሊሻገሩ ይችላሉ.

ስለዚህ የፖሊኖሚል $ x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ በ$x=-1$ ዋጋ ከዜሮ ጋር እኩል ነው፣ ማለትም። ቁጥሩ $-1$ የዚህ ፖሊኖሚል ሥር ነው። ፖሊኖሚል $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ን በሁለትዮሽ $x-(-1)=x+1$ ከከፈልን በኋላ ብዙ ቁጥር $x እናገኛለን። ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$፣የእነሱ ብዛት ከሠንጠረዡ ሦስተኛው ረድፍ የተወሰዱ ናቸው። ቁጥር 2 (ምሳሌ ቁጥር 1 ይመልከቱ). የስሌቶቹ ውጤት እንዲሁ በዚህ ቅጽ ውስጥ ሊቀርብ ይችላል-

\ጀማሪ(ቀመር) x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\መጨረሻ(እኩል)

የኢንቲጀር ስሮች ፍለጋን እንቀጥል። አሁን የፖሊኖሚል $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ን መፈለግ አለብን። እንደገና፣ የዚህ ፖሊኖሚል ኢንቲጀር ስሮች በነጻ ቃሉ አከፋፋዮች መካከል ይፈለጋሉ፣ ቁጥሮች $45$። እንደገና ቁጥሩን $-1$ ለማየት እንሞክር። አዲስ ሰንጠረዥ አንፈጥርም, ነገር ግን የቀደመውን ሰንጠረዥ መጠቀማችንን እንቀጥላለን. ቁጥር 2፣ ማለትም እ.ኤ.አ. አንድ ተጨማሪ መስመር እንጨምርበት፡-

ስለዚህ፣ ቁጥሩ $-1$ የብዙ ቁጥር $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ ሥር ነው። ይህ ውጤት እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

\መጀመሪያ(እኩልታ) x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \መጨረሻ(እኩል)

እኩልነትን (2) ከግምት ውስጥ በማስገባት እኩልነት (1) በሚከተለው ቅፅ እንደገና ሊፃፍ ይችላል ።

\ጀማሪ(እኩልታ)\ጀምር(የተሰለፈ) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\መጨረሻ(የተሰለፈ)\መጨረሻ(እኩል)

አሁን የፖሊኖሚል $ x^4-22x^2+24x+45$ - በተፈጥሮው ከነጻ ቃሉ አከፋፋዮች መካከል (ቁጥሮች $45$) ሥሩን መፈለግ አለብን። እንደገና ቁጥሩን $-1$ እንፈትሽ፡

የ$-1$ ቁጥሩ የብዙ $x^4-22x^2+24x+45$ ስር ነው። ይህ ውጤት እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

\መጀመሪያ(እኩልታ) x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \መጨረሻ(እኩል)

እኩልነትን (4) ከግምት ውስጥ በማስገባት እኩልነትን (3) በሚከተለው ቅፅ እንደገና እንጽፋለን፡

\ጀማሪ(እኩልታ)\ጀምር(የተሰለፈ) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3) +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\መጨረሻ(የተስተካከለ)\መጨረሻ(እኩል)

አሁን የ polynomial $ x^3-x^2-21x+45$ ስር እየፈለግን ነው። እንደገና ቁጥሩን $-1$ እንፈትሽ፡

ቼኩ በውድቀት ተጠናቀቀ። ስድስተኛውን መስመር በቀይ እናደምቀው እና ሌላ ቁጥር ለመፈተሽ እንሞክር ለምሳሌ ቁጥር $3$፡

ቀሪው ዜሮ ነው, ስለዚህ ቁጥሩ $ 3$ በጥያቄ ውስጥ ያለው የፖሊኖሚል ሥር ነው. ስለዚህ $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$። አሁን እኩልነት (5) እንደሚከተለው እንደገና ሊጻፍ ይችላል.

እኩልታዎችን እና አለመመጣጠንን በሚፈታበት ጊዜ ብዙውን ጊዜ ዲግሪው ሶስት ወይም ከዚያ በላይ የሆነ ፖሊኖሚል መመስረት አስፈላጊ ነው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ይህንን ለማድረግ ቀላሉ መንገድ እንመለከታለን.

እንደተለመደው ለእርዳታ ወደ ቲዎሪ እንሸጋገር።

የቤዙት ቲዎሪፖሊኖሚል በሁለትዮሽ ሲከፋፈሉ ቀሪው እንደሆነ ይገልጻል።

ግን ለእኛ አስፈላጊ የሆነው ቲዎሪ ራሱ አይደለም, ግን ከእሱ ጋር የተያያዘ:

ቁጥሩ የፖሊኖሚል ሥር ከሆነ፣ ፖሊኖሚሉ ያለቀሪ በሁለትዮሽ ይከፈላል ማለት ነው።

በሆነ መንገድ ቢያንስ አንድ የፖሊኖሚል ሥር የማግኘት፣ ከዚያም ፖሊኖሚሉን በ ከፋፍሎ የመከፋፈል ሥራ ገጥሞናል። በውጤቱም, ዲግሪው ከመጀመሪያው ዲግሪ ያነሰ አንድ ፖሊኖሚል እናገኛለን. እና ከዚያ, አስፈላጊ ከሆነ, ሂደቱን መድገም ይችላሉ.

ይህ ተግባር በሁለት ይከፈላል። የፖሊኖሚል ሥርን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል, እና ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ እንዴት እንደሚከፋፈል.

እነዚህን ነጥቦች ጠለቅ ብለን እንመልከታቸው።

1. የ polynomial ሥር እንዴት ማግኘት እንደሚቻል.

በመጀመሪያ ፣ ቁጥሮች 1 እና -1 የፖሊኖሚል ሥሮች መሆናቸውን እናረጋግጣለን።

የሚከተሉት እውነታዎች እዚህ ይረዱናል፡-

የሁሉም የፖሊኖሚል ድምር ድምር ዜሮ ከሆነ ቁጥሩ የፖሊኖሚል ሥር ነው።

ለምሳሌ፣ በፖሊኖሚል ውስጥ የቁጥር ድምር ዜሮ ነው፡. የፖሊኖሚል ሥር ምን እንደሆነ ማረጋገጥ ቀላል ነው።

የአንድ ፖሊኖሚል ድምር በኃይሎች ላይ ካለው የቁጥር ድምር ጋር እኩል ከሆነ፣ ቁጥሩ የፖሊኖሚል ሥር ነው።የነፃው ቃል ለተመጣጣኝ ዲግሪ እንደ ኮፊሸን ይቆጠራል ምክንያቱም , a እኩል ቁጥር ነው.

ለምሳሌ፣ በፖሊኖሚል ውስጥ የኃይሎች እኩልነት ድምር ድምር የሚከተለው ነው፡ እና ለጎዶሎ ሀይሎች የቁጥር ድምር የሚከተለው ነው። የፖሊኖሚል ሥር ምን እንደሆነ ማረጋገጥ ቀላል ነው።

1 ወይም -1 የፖሊኖሚል ሥሮች ካልሆኑ እንቀጥላለን።

ለተቀነሰ የዲግሪ ፖሊኖሚል (ማለትም መሪ ኮፊሸን - ኮፊሸን በ - ከአንድነት ጋር እኩል የሆነበት ብዙ ቁጥር ያለው) የቪታ ቀመር ትክክለኛ ነው፡

የፖሊኖሚል ሥሮች የት አሉ.

የተቀሩትን የፖሊኖሚል ውህዶችን የሚመለከቱ የቪዬታ ቀመሮችም አሉ፣ ነገር ግን በዚህ ላይ ፍላጎት አለን።

ከዚህ የቪዬታ ቀመር ይህንን ይከተላል የአንድ ፖሊኖሚል ሥሮች ኢንቲጀር ከሆኑ፣ እነሱ የነጻ ቃሉ አከፋፋዮች ናቸው፣ እሱም ደግሞ ኢንቲጀር ነው።

በዚህ መሰረት እ.ኤ.አ. የፖሊኖሚሉን ነፃ ቃል በምክንያቶች መመደብ አለብን፣ እና በቅደም ተከተል፣ ከትንሽ እስከ ትልቅ፣ ከምክንያቶቹ ውስጥ የትኛው የፖሊኖሚል ስር እንደሆነ ያረጋግጡ።

ለምሳሌ ፖሊኖሚልን ተመልከት

የነፃ ቃል አከፋፋዮች:; ; ;

የአንድ ፖሊኖሚል የሁሉም ድምር ድምር እኩል ነው፣ስለዚህ ቁጥር 1 የብዙ ቁጥር ስር አይደለም።

የኃይሎች ብዛት ድምር፡-

ለጉልበት ሃይሎች የቁጥር ድምር፡-

ስለዚህ, ቁጥሩ -1 እንዲሁ የፖሊኖሚል ሥር አይደለም.

ቁጥሩ 2 የብዙ ቁጥር ስር መሆኑን እንፈትሽ፡ ስለዚህ ቁጥር 2 የብዙ ቁጥር ስር ነው። ይህ ማለት በቤዙት ቲዎሪ መሰረት፣ ፖሊኖሚሉ ያለቀሪው በሁለትዮሽ ይከፈላል ማለት ነው።

2. ፖሊኖሚል ወደ ሁለትዮሽ እንዴት እንደሚከፋፈል.

ፖሊኖሚል በአንድ አምድ ወደ ሁለትዮሽ ሊከፋፈል ይችላል።

አምድ በመጠቀም ፖሊኖሚሉን በሁለትዮሽ ይከፋፍሉት፡

አንድን ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ ለመከፋፈል ሌላ መንገድ አለ - የሆርነር እቅድ።

ለመረዳት ይህንን ቪዲዮ ይመልከቱ ከአንድ አምድ ጋር ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ እንዴት እንደሚከፋፈል እና የሆርነርን እቅድ በመጠቀም።

በአንድ አምድ ስንካፈል በዋናው ፖሊኖሚል ውስጥ የተወሰነ ደረጃ የማይታወቅ ነገር ከጠፋ፣ በእሱ ቦታ 0 እንጽፋለን - ለሆርነር እቅድ ሠንጠረዥ ሲያጠናቅቅ በተመሳሳይ መንገድ።

ስለዚህ አንድን ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ መከፋፈል ካስፈለገን እና በመከፋፈል ምክንያት ፖሊኖሚል ካገኘን የሆርነር እቅድን በመጠቀም የፖሊኖሚል ድምጾችን ማግኘት እንችላለን-

እኛ ደግሞ መጠቀም እንችላለን የሆርነር እቅድየተሰጠው ቁጥር የፖሊኖሚል ሥር መሆኑን ለማረጋገጥ፡ ቁጥሩ የብዙ ቁጥር ሥር ከሆነ፣ ፖሊኖሚሉን ሲከፋፍል የቀረው ከዜሮ ጋር እኩል ነው፣ ማለትም በሁለተኛው ረድፍ የመጨረሻ አምድ ላይ። የሆርነር ዲያግራም 0 እናገኛለን።

የሆርነርን እቅድ በመጠቀም "ሁለት ወፎችን በአንድ ድንጋይ እንገድላለን" በአንድ ጊዜ ቁጥሩ የብዙ ፖሊኖሚል ስር መሆኑን እንፈትሻለን እና ይህንን ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ እንከፍለዋለን።

ለምሳሌ.እኩልታውን ይፍቱ፡

1. የነፃ ቃል አከፋፋዮችን እንፃፍ እና ከነፃ ቃል አከፋፋዮች መካከል የብዙ ቁጥርን ሥሮች እንፈልግ።

የ24 አከፋፋዮች፡-

2. ቁጥር 1 የፖሊኖሚል ሥር መሆኑን እንፈትሽ።

የአንድ ፖሊኖሚል ድምር ድምር, ስለዚህ, ቁጥር 1 የፖሊኖሚል ሥር ነው.

3. የሆርነርን እቅድ በመጠቀም የመጀመሪያውን ፖሊኖሚል ወደ ሁለትዮሽ ይከፋፍሉት።

ሀ) በሠንጠረዡ የመጀመሪያ ረድፍ ላይ የመጀመሪያውን ፖሊኖሚል (coefficients) እንፃፍ።

በውስጡ የያዘው ቃል ስለሌለ በሠንጠረዡ አምድ ውስጥ ኮፊፊሽኑ መፃፍ ያለበት 0. በግራ በኩል የተገኘውን ሥር እንጽፋለን-ቁጥር 1.

ለ) የሠንጠረዡን የመጀመሪያ ረድፍ ይሙሉ.

በመጨረሻው ዓምድ፣ እንደተጠበቀው፣ ዜሮ አግኝተናል፤ ዋናውን ፖሊኖሚል ያለቀሪ በሁለትዮሽ ከፍለነዋል። በመከፋፈል ምክንያት የብዙዎች ብዛት በሠንጠረዡ ሁለተኛ ረድፍ ላይ በሰማያዊ ይታያሉ።

ቁጥሮች 1 እና -1 የፖሊኖሚል ሥር እንዳልሆኑ ማረጋገጥ ቀላል ነው።

ለ) ጠረጴዛውን እንቀጥል. ቁጥር 2 የብዙዎች ሥር መሆኑን እንፈትሽ፡-

ስለዚህ በአንድ በመከፋፈል የሚገኘው የፖሊኖሚል ደረጃ ያነሰ ዲግሪከመጀመሪያው ፖሊኖሚል, ስለዚህ የቁጥሮች ብዛት እና የአምዶች ብዛት አንድ ያነሱ ናቸው.

በመጨረሻው አምድ ውስጥ -40 - ቁጥር, አይደለም ከዜሮ ጋር እኩል ነው።ስለዚህ, ፖሊኖሚሉ ከቀሪው ጋር በሁለትዮሽ ይከፈላል, እና ቁጥር 2 የፖሊኖሚል ሥር አይደለም.

ሐ) ቁጥሩ -2 የፖሊኖሚል ሥር መሆኑን እንፈትሽ። የቀደመው ሙከራ ስላልተሳካ፣ ከቁጥሮች ጋር ግራ መጋባትን ለማስወገድ፣ ከዚህ ሙከራ ጋር የሚዛመደውን መስመር እሰርዛለሁ፡-

በጣም ጥሩ! እንደ ቀሪው ዜሮ አገኘን ፣ ስለሆነም ፖሊኖሚሉ ያለ ቀሪው ወደ ሁለትዮሽ ተከፍሏል ፣ ስለሆነም ፣ ቁጥሩ -2 የብዙዎች ሥር ነው። ፖሊኖሚል በቢኖሚል በመከፋፈል የተገኘው የፖሊኖሚል ቅንጅቶች በሰንጠረዥ ውስጥ በአረንጓዴ ይታያሉ.

በመከፋፈል ምክንያት አገኘን ኳድራቲክ ሶስትዮሽ የ Vieta's theorem በመጠቀም ሥሮቻቸው በቀላሉ ሊገኙ ይችላሉ፡-

ስለዚህ የመነሻ እኩልታ ሥሮቹ የሚከተሉት ናቸው፡-

{}

መልስ፡- ( }