Thể tích của hình lăng trụ tam giác là bao nhiêu? Thể tích của lăng kính thẳng

Khối lượng lăng kính. Giải quyết vấn đề

Hình học là phương tiện mạnh mẽ nhất để mài giũa khả năng tư duy của chúng ta và giúp chúng ta suy nghĩ và lý luận một cách chính xác.

G. Galileo

Mục đích của bài học:

  • dạy giải các bài toán tính thể tích lăng trụ, tóm tắt và hệ thống hóa những thông tin mà học sinh có về lăng kính và các phần tử của nó, phát triển khả năng giải các bài toán có độ phức tạp tăng dần;
  • phát triển suy nghĩ logic, khả năng làm việc độc lập, kỹ năng kiểm soát và tự chủ lẫn nhau, khả năng nói và lắng nghe;
  • phát triển thói quen thường xuyên thực hiện một số hoạt động hữu ích, bồi dưỡng khả năng phản ứng nhanh, làm việc chăm chỉ và chính xác.

Loại bài học: bài học vận dụng kiến ​​thức, kỹ năng, khả năng.

Thiết bị: thẻ điều khiển, máy chiếu, thuyết trình “Bài học. Khối lượng lăng kính”, máy tính.

Trong các lớp học

  • Các gân bên của lăng kính (Hình 2).
  • Bề mặt bên của lăng kính (Hình 2, Hình 5).
  • Chiều cao của lăng kính (Hình 3, Hình 4).
  • Lăng kính thẳng (Hình 2,3,4).
  • lăng kính nghiêng(Hình 5).
  • Lăng kính đúng(Hình 2, Hình 3).
  • Mặt cắt chéo lăng kính (Hình 2).
  • Đường chéo của lăng kính (Hình 2).
  • Mặt cắt vuông góc lăng kính (pi3, fig4).
  • Diện tích bề mặt bên của lăng kính.
  • Quảng trường toàn bộ bề mặt lăng kính.
  • Khối lượng lăng kính.

    1. KIỂM TRA BÀI TẬP Ở NHÀ (8 phút)

      2. Trao đổi vở, kiểm tra lời giải trên slide và chấm điểm (điểm 10 nếu bài đã được biên soạn)

      Tạo một vấn đề dựa trên hình ảnh và giải quyết nó. Học sinh bảo vệ vấn đề mình đã biên soạn trước bảng. Hình 6 và Hình 7.

      Chương 2,§3
      Vấn đề.2. Độ dài tất cả các cạnh của một hình lăng trụ tam giác đều bằng nhau. Tính thể tích của lăng kính nếu diện tích bề mặt của nó là cm 2 (Hình 8)


      Chương 2,§3
      Bài 5. Đáy của lăng trụ đứng ABCA 1B 1C1 là tam giác vuông ABC (góc ABC=90°), AB=4cm. Tính thể tích của lăng kính nếu bán kính hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC, là 2,5 cm và chiều cao của lăng kính là 10 cm. (Hình 9).


      Chương 2,§3
      Bài 29. Độ dài cạnh đáy đều lăng kính tứ giác bằng 3cm. Đường chéo của lăng kính tạo thành một góc 30° với mặt phẳng bên. Tính thể tích của lăng trụ (Hình 10).


    2. Sự hợp tác giáo viên với lớp (2-3 phút).

      3. Mục đích: tổng kết phần khởi động lý thuyết (học sinh cho điểm nhau), nghiên cứu cách giải các bài toán về một chủ đề.

    3. PHÚT VẬT LÝ (3 phút)
    4. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (10 phút)

      5. TRÊN ở giai đoạn này Giáo viên tổ chức công việc trực tiếp về việc lặp lại các phương pháp giải các bài toán phẳng và các công thức phẳng. Lớp học được chia thành hai nhóm, một số giải quyết vấn đề, một số khác làm việc trên máy tính. Sau đó họ thay đổi. Yêu cầu học sinh giải hết bài số 8 (bằng miệng), câu số 9 (bằng miệng). Sau đó các em chia thành các nhóm và tiến hành giải các bài toán số 14, số 30, số 32.

      Chương 2, §3, trang 66-67

      Bài toán 8. Tất cả các cạnh đều đúng lăng kính tam giác là bình đẳng với nhau. Tìm thể tích của lăng kính nếu diện tích mặt phẳng đi qua cạnh của đáy dưới và giữa cạnh của đáy trên bằng cm (Hình 11).


      Chương 2,§3, trang 66-67
      Bài toán 9. Đáy của một hình lăng trụ thẳng là hình vuông và xương sườn bên hai lần nhiều mặt hơn căn cứ. Tính thể tích của lăng kính nếu bán kính của hình tròn mô tả gần mặt cắt lăng trụ bằng một mặt phẳng đi qua cạnh đáy và tâm của cạnh đối diện bằng cm (Hình 12)


      Chương 2,§3, trang 66-67
      Vấn đề 14Đáy của lăng trụ thẳng là hình thoi, có một trong các đường chéo bằng cạnh của nó. Tính chu vi của phần đó bởi một mặt phẳng đi qua đường chéo lớnđáy dưới, nếu thể tích của lăng kính bằng nhau và tất cả mặt bên hình vuông (Hình 13).


      Chương 2,§3, trang 66-67
      Vấn đề 30 ABCA 1 B 1 C 1 là hình lăng trụ tam giác đều, các cạnh bằng nhau, điểm là trung điểm của cạnh BB 1. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp lăng kính bằng mặt phẳng AOS nếu thể tích của lăng kính bằng (Hình 14).


      Chương 2,§3, trang 66-67
      Vấn đề 32.Trong một lăng trụ tứ giác đều, tổng diện tích của các đáy bằng diện tích của mặt bên. Tính thể tích của lăng kính nếu đường kính của hình tròn mô tả gần tiết diện của lăng kính bằng một mặt phẳng đi qua hai đỉnh của đáy dưới và đỉnh đối diện của đáy trên là 6 cm (Hình 15).


      Trong khi giải quyết vấn đề, học sinh so sánh câu trả lời của mình với câu trả lời của giáo viên. Đây là một giải pháp mẫu cho vấn đề với các nhận xét chi tiết... Làm việc cá nhân giáo viên với học sinh “khỏe” (10 phút).

    5. Làm việc độc lập học sinh làm bài kiểm tra trên máy tính

      6. 1. Cạnh đáy của một hình lăng trụ tam giác đều bằng , và chiều cao là 5. Tìm thể tích của lăng kính.

      1) 152) 45 3) 104) 125) 18

      2. Chọn phát biểu đúng.

      1) Thể tích của một hình lăng trụ đứng có đáy là một tam giác vuông bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.

      2) Thể tích của hình lăng trụ tam giác đều được tính theo công thức V = 0,25a 2 h - trong đó a là cạnh đáy, h là chiều cao của hình lăng trụ.

      3) Thể tích lăng trụ thẳng bằng một nửa tích của diện tích đáy và chiều cao.

      4) Thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều được tính theo công thức V = a 2 h- trong đó a là cạnh đáy, h là chiều cao của hình lăng trụ.

      5) Âm lượng chính xác lăng kính lục giác tính theo công thức V = 1,5a 2 h, trong đó a là cạnh đáy, h là chiều cao của lăng trụ.

      3. Cạnh đáy của một hình lăng trụ tam giác đều bằng . Thông qua cạnh của đế dưới và đỉnh đối diện Một mặt phẳng được vẽ từ đáy trên, đi một góc 45° so với đáy. Tìm thể tích của lăng kính.

      1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

      4. Đáy của lăng trụ đứng là hình thoi có cạnh bằng 13 và một đường chéo là 24. Tìm thể tích của lăng kính nếu đường chéo của mặt bên là 14.

Thể tích của lăng kính là gì và làm thế nào để tìm thấy nó

Thể tích của lăng kính là tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.

Tuy nhiên, chúng ta biết rằng ở đáy lăng kính có thể có một hình tam giác, hình vuông hoặc một số khối đa diện khác.

Do đó, để tìm thể tích của lăng kính, bạn chỉ cần tính diện tích đáy của lăng kính, sau đó nhân diện tích này với chiều cao của nó.

Tức là, nếu có một hình tam giác ở đáy lăng kính thì trước tiên bạn cần tìm diện tích của hình tam giác đó. Nếu đáy của lăng kính là hình vuông hoặc đa giác khác, thì trước tiên bạn cần tìm diện tích của hình vuông hoặc đa giác khác.

Cần nhớ rằng chiều cao của lăng kính là đường vuông góc với các đáy của lăng kính.

lăng kính là gì

Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa của lăng kính.

Lăng trụ là một đa giác có hai mặt (đáy) nằm trong mặt phẳng song song, và tất cả các cạnh nằm ngoài các mặt này đều song song.

Nói một cách đơn giản:

Lăng kính là bất kỳ hình hình học nào có hai đáy bằng nhau và các mặt phẳng.

Tên của lăng kính phụ thuộc vào hình dạng của đế của nó. Khi đáy của lăng kính là hình tam giác thì lăng kính đó được gọi là hình tam giác. Lăng kính đa diện là một hình hình học có đáy là một khối đa diện. Ngoài ra, lăng kính là một loại hình trụ.

Có những loại lăng kính nào?

Nếu nhìn vào hình trên chúng ta sẽ thấy lăng kính thẳng, đều và xiên.

Bài tập

1. Lăng kính nào được gọi là đúng?
2. Tại sao lại gọi như vậy?
3. Tên của lăng kính có đáy là các đa giác đều là gì?
4. Chiều cao của hình này là bao nhiêu?
5. Lăng kính có các cạnh không vuông góc được gọi là gì?
6. Xác định tre lăng kính cacbon.
7. Lăng kính có thể là một hình bình hành được không?
8. Hình hình học nào được gọi là đa giác nửa đều?

Lăng kính gồm những thành phần nào?




Một lăng kính bao gồm các phần tử như đáy dưới và đáy trên, các mặt bên, các cạnh và đỉnh.

Cả hai đáy của lăng kính đều nằm trong mặt phẳng và song song với nhau.
Các mặt bên của kim tự tháp là hình bình hành.
Bề mặt bên kim tự tháp là tổng các mặt bên.
Các khía cạnh chung các mặt bên không gì khác hơn là các cạnh bên của một hình đã cho.
Chiều cao của kim tự tháp là đoạn nối các mặt phẳng của các đáy và vuông góc với chúng.

Thuộc tính lăng kính

Một hình hình học, giống như lăng kính, có một số tính chất. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn các thuộc tính này:

Đầu tiên, các đáy của lăng kính được gọi là đa giác bằng nhau;
Thứ hai, các mặt bên của lăng kính được biểu diễn dưới dạng hình bình hành;
Thứ ba, điều này hình hình học các cạnh song song và bằng nhau;
Thứ tư, tổng diện tích bề mặt của lăng kính là:




Bây giờ chúng ta hãy xem định lý, trong đó cung cấp công thức được sử dụng để tính diện tích xung quanh và cách chứng minh.




Bạn đã bao giờ nghĩ về điều này chưa sự thật thú vị rằng một lăng kính không chỉ có thể cơ thể hình học, mà còn cả những đồ vật khác xung quanh chúng ta. Ngay cả một bông tuyết bình thường, tùy thuộc vào chế độ nhiệt độ có thể biến thành lăng kính băng, có hình lục giác.

Nhưng tinh thể canxit có điều này một hiện tượng độc đáo, làm thế nào để chia thành nhiều mảnh và có hình dạng song song. Và điều đáng kinh ngạc nhất là dù các tinh thể canxit có bị nghiền nát nhỏ đến đâu thì kết quả vẫn luôn giống nhau: chúng biến thành những ống song song nhỏ xíu.

Hóa ra lăng kính đã trở nên phổ biến không chỉ trong toán học, thể hiện hình học của nó, mà còn trong lĩnh vực nghệ thuật, vì nó là nền tảng của các bức tranh được tạo ra bởi các họa sĩ vĩ đại như P. Picasso, Braque, Griss và những người khác.

Thể tích của lăng kính thẳng tương đương với sản phẩm diện tích đáy theo chiều cao.

Bằng chứng:

Đầu tiên, chúng ta chứng minh định lý cho lăng trụ thẳng tam giác (Hình 1), sau đó cho lăng kính thẳng tùy ý (Hình 1).

Cơm. 1. Lăng trụ thẳng tam giác

Cơm. 2. Lăng kính tùy ý

Cho hình lăng trụ tam giác thẳng ABCA 1 B 1 C 1 có thể tích V và chiều cao h. Chúng ta hãy vẽ chiều cao của tam giác ABC (đoạn ВD trong Hình 1) chia tam giác này thành hai tam giác (ít nhất một chiều cao của tam giác thỏa mãn điều kiện này). Mặt phẳng BB 1 D chia lăng kính này thành hai lăng trụ, đáy của chúng là tam giác vuông ABD và BDC. Do đó, thể tích V 1 và V 2 của các lăng kính này lần lượt bằng nhau: và .

Theo tính chất thể tích, V = V 1 + V 2.

Như vậy:

Hãy chứng minh định lý cho một lăng trụ thẳng tùy ý có chiều cao h và diện tích đáy S.

Một lăng trụ như vậy có thể được chia thành các lăng trụ tam giác thẳng có chiều cao h. Ví dụ, hình (xem Hình 2) thể hiện một lăng trụ ngũ giác lồi, được chia thành ba lăng trụ tam giác thẳng. Chúng ta hãy biểu thị thể tích của mỗi hình lăng trụ tam giác bằng công thức và cộng các thể tích này. Dấu ngoặc số nhân chung h, trong ngoặc đơn, chúng ta thu được tổng diện tích đáy của lăng trụ tam giác, tức là diện tích S của đáy lăng trụ ban đầu. Vậy thể tích của lăng kính ban đầu bằng tích.

Nhiệm vụ 1. Tìm thể tích của hình lăng trụ thẳng ABCA 1 B 1 C 1 nếu: góc BAC = 120°, AB = 5 cm, AC = 3 cm và diện tích lớn nhất của các mặt bên S gr = 35 cm 2.

Cơm. 3. Minh họa bài toán

Giải: Vì tất cả các mặt bên đều là hình chữ nhật có cùng chiều cao nên diện tích lớn nhất sẽ là nơi có cạnh dài nhất của lăng kính ở đáy: tam giác ABC(xem hình 3).

Cạnh lớn nhất của tam giác nằm đối diện với góc lớn nhất - . Có nghĩa, . Xét tam giác ABC. Theo định lý cosin:

Biết chiều cao của lăng kính, chúng ta tìm thấy thể tích của nó. Diện tích của đáy sẽ bằng một nửa tích của hai cạnh và sin của góc giữa chúng.

Nhiệm vụ 2. Tính thể tích của hình lăng trụ thẳng ABCA 1 B 1 C 1 nếu: góc AB 1 C = 60°, AB 1 = 3 cm, CB 1 = 2 cm và là một đường thẳng.

Cơm. 4. Minh họa bài toán

Giải pháp (xem Hình 4):

Hãy xem xét. Theo định lý cosin:

Đặt BB 1 =h thì ; . Hãy viết định lý Pytago cho tam giác ABC:

Biết chiều cao h, ta tìm được các cạnh của tam giác ABC mà ta đã biểu diễn ở bước 3: Chúng tôi tìm thấy chiều cao của lăng kính và các cạnh của hình tam giác ở đáy. Hãy tìm thể tích của lăng kính:

Nhiệm vụ 3. Tìm thể tích của một lăng kính n-giác đều có mỗi cạnh bằng a, nếu n=6.

Cơm. 5. Minh họa bài toán

Giải: Thể tích của lăng kính bằng tích của diện tích đáy và chiều cao. Chiều cao theo điều kiện bằng a, nghĩa là chúng ta không cần vẽ hình không gian. Hãy vẽ đáy của lăng kính (xem Hình 5).

Diện tích của hình lục giác bằng sáu diện tích của tam giác AOB. Tam giác AOB là tam giác đều

Hãy tìm thể tích của lăng kính:

Nhiệm vụ 4.Đáy của lăng trụ thẳng ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 là hình bình hành. Qua cạnh của đáy DC=a và cạnh đối diện của đáy kia vẽ được một mặt cắt tạo một góc β với mặt phẳng của đáy. Diện tích mặt cắt ngang là Q. Tìm thể tích của lăng trụ này.

Cơm. 6. Minh họa bài toán

Hãy dựng tiết diện và góc β (xem Hình 6). Để làm điều này, hãy vẽ chiều cao BL trong hình bình hành. Khi đó đoạn B 1 L sẽ vuông góc với CD theo định lý ba đường vuông góc. Do đó, góc β bằng góc. . Hãy xem xét - hình chữ nhật, vì đoạn BB 1 vuông góc với mặt phẳng đáy.

Hãy tìm thể tích của lăng kính bằng công thức:

Trả lời:

Nhiệm vụ 5. Trong lăng trụ tam giác đều ABCA 1 B 1 C 1, qua cạnh đáy dưới và đỉnh đối diện của đáy trên vẽ một mặt cắt tạo một góc 60° với mặt phẳng đáy. Tìm thể tích của lăng trụ nếu cạnh đáy AB=a.

Cơm. 7. Minh họa bài toán

Hãy vẽ phần và góc giữa phần và đế (xem Hình 7). Để làm điều này, vẽ đường cao AK vuông góc với BC. Khi đó, theo định lý ba đường vuông góc thì đoạn A 1 K cũng vuông góc với BC. Như vậy, . Hãy xem xét - đều, có nghĩa là . Để tìm thể tích chúng ta cần chiều cao của lăng kính. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét.

.

Bây giờ hãy tìm thể tích của lăng kính:

Thư mục

  1. Hình học: sách giáo khoa. cho lớp 10-11. Vì cơ sở giáo dục: cơ bản và cấp độ hồ sơ/L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev và những người khác - M.: “Prosveshchenie”, 2008.
  2. Các vấn đề về hình học. Sách dành cho học sinh lớp 7-11. cơ sở giáo dục/B. G. Ziv, V. M. Mailer - M.: “Khai sáng”, 2003-2008.
  3. Hình học. Nhiệm vụ và bài tập dành cho bản vẽ đã hoàn thành. lớp 10-11 /E. M. Rabinovich - Kharkov: “Nhà thi đấu”, 2003. - M.: “Ilexa”, 2003.
  4. Hình học. 10 lớp Độc lập và giấy kiểm tra. /MỘT. I. Ershova, V. V. Goloborodko - M.: “Ilexa”, 2008.
  5. Toán học. Kỳ thi Thống nhất - 2011. Nhiệm vụ đào tạo chuyên đề./V. V. Kochagin, M. N. Kochagina - M.: “Eksmo”, 2011.
  6. Toán học. Kỳ thi Thống nhất - 2009 /F. F. Lysenko - Rostov-on-Don: “Quân đoàn”, 2008.
  1. Shkolo.ru ().
  2. Mathem.h1.ru ().
  3. Webmath.exponenta.ru ().

Bài tập về nhà

  1. P. 65. Số 663, 664. Sách giáo khoa lớp 10-11, L.S. Atanasyan và cộng sự, tái bản lần thứ 18. - M.: Giáo dục, 2009.