Hình tam giác là hình vẽ quen thuộc với mọi người. Và điều này bất chấp sự đa dạng phong phú của các hình thức của nó. Hình chữ nhật, đều, nhọn, cân, tù. Mỗi người trong số họ đều khác nhau theo một cách nào đó. Nhưng đối với bất kỳ ai, bạn cần tìm ra diện tích của một hình tam giác.

Công thức chung cho mọi tam giác sử dụng độ dài cạnh hoặc chiều cao

Các chỉ định được áp dụng trong đó: các mặt - a, b, c; độ cao ở các cạnh tương ứng trên a, n in, n với.

1. Diện tích của một hình tam giác được tính bằng tích của ½, một cạnh và chiều cao trừ đi. S = ½ * a * n a. Các công thức cho hai cạnh còn lại phải được viết tương tự.

2. Công thức Heron, trong đó xuất hiện nửa chu vi (thường được ký hiệu bằng chữ p nhỏ, trái ngược với toàn bộ chu vi). Bán chu vi phải được tính như sau: cộng tất cả các cạnh và chia cho 2. Công thức tính nửa chu vi là: p = (a+b+c) / 2. Khi đó đẳng thức cho diện tích ​​hình vẽ như thế này: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Nếu bạn không muốn sử dụng bán chu vi thì công thức chỉ chứa độ dài các cạnh sẽ hữu ích: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Nó dài hơn cái trước một chút, nhưng nó sẽ hữu ích nếu bạn quên cách tìm nửa chu vi.

Công thức chung về các góc của một tam giác

Các ký hiệu cần thiết để đọc các công thức: α, β, γ - góc. Chúng lần lượt nằm đối diện với các cạnh a, b, c.

1. Theo đó, một nửa tích của hai cạnh và sin của góc xen giữa chúng bằng diện tích của tam giác. Đó là: S = ½ a * b * sin γ. Công thức cho hai trường hợp còn lại nên được viết theo cách tương tự.

2. Diện tích của một hình tam giác có thể được tính từ một cạnh và ba góc đã biết. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Ngoài ra còn có công thức biết một cạnh và hai góc kề nhau. Nó trông như thế này: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Hai công thức cuối cùng không phải là đơn giản nhất. Khá khó để nhớ chúng.

Công thức chung cho các trường hợp biết bán kính của đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp

Chỉ định bổ sung: r, R - bán kính. Cái đầu tiên được sử dụng cho bán kính của vòng tròn được ghi. Thứ hai là dành cho mô tả.

1. Công thức đầu tiên tính diện tích hình tam giác có liên quan đến bán chu vi. S = r * r. Một cách viết khác là: S = ½ r * (a + b + c).

2. Trong trường hợp thứ hai, bạn sẽ cần nhân tất cả các cạnh của hình tam giác và chia chúng cho bốn lần bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Trong cách diễn đạt theo nghĩa đen, nó trông như thế này: S = (a * b * c) / (4R).

3. Tình huống thứ ba cho phép bạn thực hiện mà không cần biết các cạnh, nhưng bạn sẽ cần giá trị của cả ba góc. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Trường hợp đặc biệt: tam giác vuông

Đây là tình huống đơn giản nhất vì chỉ cần chiều dài của cả hai chân. Chúng được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh a và b. Diện tích của một tam giác vuông bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật được thêm vào nó.

Về mặt toán học nó trông như thế này: S = ½ a * b. Đó là cách dễ nhớ nhất. Vì nó trông giống như công thức tính diện tích hình chữ nhật nên chỉ xuất hiện một phần nhỏ, biểu thị một nửa.

Trường hợp đặc biệt: tam giác cân

Vì nó có hai cạnh bằng nhau nên một số công thức tính diện tích của nó trông có vẻ đơn giản hơn. Ví dụ: công thức Heron tính diện tích của một tam giác cân có dạng sau:

S = ½ inch √((a + ½ inch)*(a - ½ inch)).

Nếu bạn biến đổi nó, nó sẽ trở nên ngắn hơn. Trong trường hợp này, công thức Heron cho tam giác cân được viết như sau:

S = ¼ trong √(4 * a 2 - b 2).

Công thức tính diện tích có vẻ đơn giản hơn so với một tam giác tùy ý nếu biết cạnh và góc giữa chúng. S = ½ a 2 * sin β.

Trường hợp đặc biệt: tam giác đều

Thông thường, trong các vấn đề, khía cạnh của nó đã được biết đến hoặc có thể được tìm ra theo một cách nào đó. Khi đó công thức tìm diện tích của một tam giác như sau:

S = (a 2 √3) / 4.

Vấn đề tìm diện tích nếu hình tam giác được vẽ trên giấy ca rô

Trường hợp đơn giản nhất là khi vẽ một hình tam giác vuông sao cho các chân của nó trùng với các đường kẻ của tờ giấy. Sau đó bạn chỉ cần đếm số lượng tế bào vừa với chân. Sau đó nhân chúng và chia cho hai.

Khi hình tam giác nhọn hoặc tù, nó cần được vẽ thành hình chữ nhật. Khi đó hình thu được sẽ có 3 hình tam giác. Một là cái được đưa ra trong bài toán. Và hai cái còn lại là phụ và hình chữ nhật. Diện tích của hai phần cuối cần được xác định bằng phương pháp được mô tả ở trên. Sau đó tính diện tích của hình chữ nhật và trừ đi diện tích tính cho các hình phụ. Diện tích của tam giác được xác định.

Tình huống không có cạnh nào của tam giác trùng với các đường kẻ của tờ giấy hóa ra phức tạp hơn nhiều. Sau đó, nó cần phải được nội tiếp trong một hình chữ nhật sao cho các đỉnh của hình ban đầu nằm trên các cạnh của nó. Trong trường hợp này sẽ có ba hình tam giác vuông phụ.

Ví dụ về bài toán sử dụng công thức Heron

Tình trạng. Một số tam giác đã biết các cạnh. Chúng bằng 3, 5 và 6 cm. Bạn cần tìm ra diện tích của nó.

Bây giờ bạn có thể tính diện tích hình tam giác bằng công thức trên. Dưới căn bậc hai là tích của bốn số: 7, 4, 2 và 1. Nghĩa là diện tích là √(4 * 14) = 2 √(14).

Nếu không cần độ chính xác cao hơn thì bạn có thể lấy căn bậc hai của 14. Nó bằng 3,74. Khi đó diện tích sẽ là 7,48.

Trả lời. S = 2 √14 cm 2 hoặc 7,48 cm 2.

Ví dụ về bài toán tam giác vuông

Tình trạng. Một cạnh của tam giác vuông lớn hơn cạnh thứ hai là 31 cm. Bạn cần tìm chiều dài của chúng nếu diện tích của tam giác là 180 cm 2.
Giải pháp. Chúng ta sẽ phải giải hệ hai phương trình. Đầu tiên là liên quan đến diện tích. Thứ hai là tỉ số của các chân được cho trong bài toán.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Đầu tiên, giá trị của “a” phải được thay thế vào phương trình đầu tiên. Hóa ra: 180 = ½ (in + 31) * in. Nó chỉ có một đại lượng chưa biết nên rất dễ giải. Sau khi mở ngoặc, phương trình bậc hai thu được: 2 + 31 360 = 0. Điều này đưa ra hai giá trị cho "in": 9 và - 40. Số thứ hai không phù hợp làm câu trả lời, vì độ dài của cạnh của một tam giác không thể có giá trị âm.

Vẫn còn phải tính chặng thứ hai: thêm 31 vào số kết quả sẽ ra 40. Đây là những đại lượng được tìm kiếm trong bài toán.

Trả lời. Chân của hình tam giác là 9 và 40 cm.

Bài toán tìm cạnh qua diện tích, cạnh và góc của tam giác

Tình trạng. Diện tích của một hình tam giác nhất định là 60 cm 2. Cần tính một trong các cạnh của nó nếu cạnh thứ hai là 15 cm và góc giữa chúng là 30°.

Giải pháp. Dựa trên ký hiệu được chấp nhận, cạnh mong muốn là “a”, cạnh đã biết là “b”, góc đã cho là “γ”. Khi đó công thức diện tích có thể được viết lại như sau:

60 = ½ a * 15 * sin 30°. Ở đây sin của 30 độ là 0,5.

Sau khi biến đổi, “a” hóa ra bằng 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Đó là 16.

Trả lời. Cạnh cần thiết là 16 cm.

Bài toán về hình vuông nội tiếp trong tam giác vuông

Tình trạng. Đỉnh của hình vuông có cạnh 24 cm trùng với góc vuông của tam giác. Hai người còn lại nằm nghiêng. Thứ ba thuộc về cạnh huyền. Chiều dài của một trong hai chân là 42 cm. Diện tích của hình tam giác vuông là bao nhiêu?

Giải pháp. Xét hai hình tam giác vuông. Cái đầu tiên là cái được chỉ định trong nhiệm vụ. Cái thứ hai dựa trên cạnh đã biết của tam giác ban đầu. Chúng giống nhau vì chúng có một góc chung và được tạo bởi các đường thẳng song song.

Khi đó tỉ số hai chân của chúng bằng nhau. Chân của hình tam giác nhỏ hơn bằng 24 cm (cạnh hình vuông) và 18 cm (chân cho 42 cm trừ đi cạnh hình vuông 24 cm). Các chân tương ứng của một hình tam giác lớn là 42 cm và x cm. Đây là chữ “x” cần thiết để tính diện tích của hình tam giác.

18/42 = 24/x, tức là x = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Khi đó diện tích bằng tích của 56 và 42 chia cho hai, tức là 1176 cm 2.

Trả lời. Diện tích cần thiết là 1176 cm2.

Để xác định diện tích của một hình tam giác, bạn có thể sử dụng các công thức khác nhau. Trong tất cả các phương pháp, cách dễ nhất và được sử dụng thường xuyên nhất là nhân chiều cao với chiều dài của đáy rồi chia kết quả cho hai. Tuy nhiên, phương pháp này không phải là phương pháp duy nhất. Dưới đây bạn có thể đọc cách tìm diện tích hình tam giác bằng các công thức khác nhau.

Riêng biệt, chúng ta sẽ xem xét các cách tính diện tích của các loại hình tam giác cụ thể - hình chữ nhật, hình cân và hình đều. Chúng tôi kèm theo mỗi công thức một lời giải thích ngắn gọn để giúp bạn hiểu được bản chất của nó.

Các phương pháp phổ biến để tìm diện tích hình tam giác

Các công thức dưới đây sử dụng ký hiệu đặc biệt. Chúng tôi sẽ giải mã từng người trong số họ:

• a, b, c - độ dài ba cạnh của hình đang xét;
• r là bán kính của đường tròn nội tiếp trong tam giác của chúng ta;
• R là bán kính của đường tròn có thể mô tả xung quanh nó;
• α là độ lớn của góc tạo bởi cạnh b và c;
• β là độ lớn của góc giữa a và c;
• γ là độ lớn của góc tạo bởi cạnh a và b;
• h là chiều cao của tam giác của chúng ta, hạ từ góc α xuống cạnh a;
• p – một nửa tổng các cạnh a, b và c.

Rõ ràng về mặt logic tại sao bạn có thể tìm diện tích của một hình tam giác theo cách này. Tam giác có thể dễ dàng được hoàn thành thành hình bình hành, trong đó một cạnh của tam giác sẽ đóng vai trò là đường chéo. Diện tích của hình bình hành được tìm thấy bằng cách nhân chiều dài của một trong các cạnh của nó với giá trị chiều cao được vẽ lên nó. Đường chéo chia hình bình hành có điều kiện này thành 2 hình tam giác giống nhau. Do đó, khá rõ ràng là diện tích tam giác ban đầu của chúng ta phải bằng một nửa diện tích của hình bình hành phụ này.

S=½ a b sin γ

Theo công thức này, diện tích của một hình tam giác được tìm thấy bằng cách nhân chiều dài hai cạnh của nó, nghĩa là a và b, với sin của góc tạo bởi chúng. Công thức này có nguồn gốc hợp lý từ công thức trước. Nếu chúng ta hạ chiều cao từ góc β xuống cạnh b thì theo tính chất của tam giác vuông, khi nhân chiều dài cạnh a với sin của góc γ, chúng ta thu được chiều cao của tam giác, tức là h .

Diện tích của hình đang đề cập được tìm bằng cách nhân một nửa bán kính của hình tròn có thể nội tiếp với chu vi của nó. Nói cách khác, chúng ta tìm tích của bán chu vi và bán kính của hình tròn đã đề cập.

S= a b c/4R

Theo công thức này, giá trị chúng ta cần có thể được tìm thấy bằng cách chia tích các cạnh của hình cho 4 bán kính của hình tròn được mô tả xung quanh nó.

Các công thức này rất phổ biến vì chúng có thể xác định diện tích của bất kỳ hình tam giác nào (hình thang, hình cân, hình đều, hình chữ nhật). Điều này cũng có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các phép tính phức tạp hơn mà chúng tôi sẽ không đề cập chi tiết.

Diện tích tam giác có tính chất cụ thể

Làm thế nào để tìm diện tích của một tam giác vuông? Điểm đặc biệt của hình này là hai cạnh của nó đồng thời có chiều cao. Nếu a và b là hai chân, và c trở thành cạnh huyền, thì chúng ta tìm được diện tích như sau:

Làm thế nào để tìm diện tích của một tam giác cân? Nó có hai cạnh có chiều dài a và một cạnh có chiều dài b. Do đó, diện tích của nó có thể được xác định bằng cách chia bình phương cạnh a cho sin của góc γ cho 2.

Làm thế nào để tìm diện tích của một tam giác đều? Trong đó, độ dài tất cả các cạnh bằng a, và độ lớn của tất cả các góc là α. Chiều cao của nó bằng một nửa tích của chiều dài cạnh a và căn bậc hai của 3. Để tìm diện tích của một tam giác đều, bạn cần nhân bình phương của cạnh a với căn bậc hai của 3 rồi chia cho 4.

Bạn có thể tìm thấy hơn 10 công thức tính diện tích hình tam giác trên Internet. Nhiều công thức trong số đó được sử dụng trong các bài toán về các cạnh và góc đã biết của hình tam giác. Tuy nhiên, có một số ví dụ phức tạp, trong đó, theo điều kiện của bài tập, chỉ biết một cạnh và các góc của một tam giác, hoặc bán kính của một đường tròn ngoại tiếp hoặc nội tiếp và một đặc trưng khác. Trong những trường hợp như vậy, một công thức đơn giản không thể được áp dụng.

Các công thức đưa ra dưới đây sẽ cho phép bạn giải quyết 95 phần trăm các vấn đề mà bạn cần tìm diện tích của một hình tam giác.
Hãy chuyển sang xem xét các công thức diện tích chung.
Xét hình tam giác ở hình bên dưới

Trong hình và bên dưới trong các công thức, các ký hiệu cổ điển về tất cả các đặc tính của nó được giới thiệu.
a,b,c – các cạnh của tam giác,
R - bán kính của đường tròn ngoại tiếp,
r - bán kính của đường tròn nội tiếp,
h[b],h[a],h[c] – các độ cao được vẽ theo các cạnh a,b,c.
alpha, beta, hamma - các góc gần đỉnh.

Các công thức cơ bản về diện tích hình tam giác

1. Diện tích bằng một nửa tích của cạnh của tam giác và chiều cao hạ xuống cạnh này. Trong ngôn ngữ của công thức, định nghĩa này có thể được viết như sau

Vì vậy, nếu biết cạnh và chiều cao thì mọi học sinh sẽ tìm được diện tích.
Nhân tiện, từ công thức này người ta có thể rút ra một mối quan hệ hữu ích giữa độ cao

2. Nếu xét chiều cao của một tam giác qua cạnh kề được biểu thị bằng sự phụ thuộc

Sau đó, công thức diện tích thứ nhất được theo sau bởi công thức diện tích thứ hai cùng loại

Hãy xem kỹ các công thức - chúng rất dễ nhớ vì công việc liên quan đến hai cạnh và góc giữa chúng. Nếu chỉ định đúng các cạnh và các góc của tam giác (như hình trên) thì ta sẽ được hai cạnh a, b và góc được kết nối với thứ ba Với (hamma).

3. Đối với các góc của một tam giác, mối quan hệ đúng

Sự phụ thuộc cho phép bạn sử dụng các công thức sau để tính diện tích hình tam giác trong tính toán:

Ví dụ về sự phụ thuộc này cực kỳ hiếm, nhưng bạn phải nhớ rằng có một công thức như vậy.

4. Nếu biết cạnh và hai góc kề bù thì diện tích được tính theo công thức

5. Công thức tính diện tích tính theo cạnh và cotang của các góc kề bù như sau

Bằng cách sắp xếp lại các chỉ mục, bạn có thể nhận được sự phụ thuộc cho các bên khác.

6. Công thức tính diện tích dưới đây được sử dụng trong các bài toán xác định các đỉnh của một tam giác trên mặt phẳng bằng tọa độ. Trong trường hợp này, diện tích bằng một nửa định thức lấy modulo.

7. Công thức Heronđược sử dụng trong các ví dụ với các cạnh đã biết của một tam giác.
Đầu tiên hãy tìm nửa chu vi của tam giác

Và sau đó xác định diện tích bằng công thức

hoặc

Nó thường được sử dụng trong mã của các chương trình máy tính.

8. Nếu biết tất cả các chiều cao của tam giác thì diện tích được xác định theo công thức

Việc tính toán trên máy tính rất khó, nhưng trong các gói MathCad, Mathematica, Maple thì diện tích là “thời gian hai”.

9. Các công thức sau đây sử dụng bán kính đã biết của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.

Cụ thể, nếu biết bán kính và các cạnh của tam giác hoặc chu vi của nó thì diện tích được tính theo công thức

10. Trong các ví dụ khi đã cho cạnh và bán kính hoặc đường kính của hình tròn ngoại tiếp, diện tích được tính bằng công thức

11. Công thức sau đây xác định diện tích của một tam giác theo cạnh và các góc của tam giác.

Và cuối cùng - trường hợp đặc biệt:
Diện tích của một tam giác vuông với hai chân a và b bằng một nửa tích của chúng

Công thức tính diện tích tam giác đều (đều)=

= một phần tư tích bình phương của cạnh và căn bậc ba.

Diện tích hình tam giác - công thức và ví dụ giải quyết vấn đề

Dưới đây là công thức tìm diện tích tam giác tùy ý phù hợp để tìm diện tích của bất kỳ hình tam giác nào, bất kể tính chất, góc hoặc kích thước của nó. Các công thức được trình bày dưới dạng hình ảnh, kèm theo lời giải thích cho việc áp dụng hoặc giải thích tính đúng đắn của chúng. Ngoài ra, một hình riêng biệt hiển thị sự tương ứng giữa các ký hiệu chữ cái trong công thức và ký hiệu đồ họa trong bản vẽ.

Ghi chú . Nếu tam giác có các thuộc tính đặc biệt (cân, hình chữ nhật, đều), bạn có thể sử dụng các công thức dưới đây, cũng như các công thức đặc biệt bổ sung chỉ hợp lệ cho các tam giác có các thuộc tính này:

• "Công thức tính diện tích tam giác đều"

Công thức tính diện tích tam giác

Giải thích cho công thức:
a, b, c- độ dài các cạnh của tam giác có diện tích cần tìm
r- bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác
R- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
h- chiều cao của hình tam giác hạ xuống một bên
P- nửa chu vi của một tam giác, bằng 1/2 tổng các cạnh của nó (chu vi)
α - góc đối diện với cạnh a của tam giác
β - góc đối diện với cạnh b của tam giác
γ - góc đối diện với cạnh c của tam giác
h Một, h b , h c- Chiều cao của tam giác hạ xuống cạnh a, b, c

Xin lưu ý rằng các ký hiệu đã cho tương ứng với hình trên, để khi giải một bài toán hình học thực, bạn sẽ dễ dàng thay thế các giá trị đúng vào đúng vị trí trong công thức một cách trực quan hơn.

• Diện tích của hình tam giác là một nửa tích của chiều cao của tam giác và chiều dài của cạnh mà chiều cao này bị hạ xuống(Công thức 1). Tính đúng đắn của công thức này có thể được hiểu một cách logic. Chiều cao hạ xuống đáy sẽ chia một hình tam giác tùy ý thành hai hình chữ nhật. Nếu bạn dựng từng hình thành một hình chữ nhật có kích thước b và h thì rõ ràng diện tích của các hình tam giác này sẽ bằng đúng một nửa diện tích hình chữ nhật (Spr = bh)
• Diện tích của hình tam giác là bằng một nửa tích hai cạnh của nó và sin của góc giữa chúng(Công thức 2) (xem ví dụ giải bài toán bằng công thức này bên dưới). Mặc dù thực tế là nó có vẻ khác với cái trước, nhưng nó có thể dễ dàng biến thành nó. Nếu ta hạ chiều cao từ góc B xuống cạnh b thì tích của cạnh a và sin của góc γ, theo tính chất của sin trong tam giác vuông, bằng chiều cao của tam giác ta vẽ , cho chúng ta công thức trước đó
• Có thể tìm được diện tích của một tam giác tùy ý bởi vì công việc một nửa bán kính của hình tròn nội tiếp nó bằng tổng độ dài các cạnh của nó(Công thức 3), nói một cách đơn giản, bạn cần nhân nửa chu vi của tam giác với bán kính của đường tròn nội tiếp (cái này dễ nhớ hơn)
• Diện tích của một hình tam giác tùy ý có thể được tìm bằng cách chia tích tất cả các cạnh của nó cho 4 bán kính của đường tròn ngoại tiếp nó (Công thức 4)
• Công thức 5 là tính diện tích của một hình tam giác thông qua độ dài các cạnh và bán chu vi của nó (một nửa tổng các cạnh của nó)
• Công thức Heron(6) là cách biểu diễn cùng một công thức không sử dụng khái niệm bán chu vi mà chỉ thông qua độ dài các cạnh
• Diện tích của một tam giác tùy ý bằng tích của bình phương cạnh của tam giác và sin của các góc kề với cạnh này chia cho sin kép của góc đối diện với cạnh này (Công thức 7)
• Diện tích của một hình tam giác tùy ý có thể được tính bằng tích của hai hình vuông của hình tròn bao quanh nó bởi các sin của mỗi góc của nó. (Công thức 8)
• Nếu biết độ dài của một cạnh và giá trị của hai góc kề nhau thì diện tích của tam giác có thể được tính bằng bình phương của cạnh này chia cho tổng kép của các cotang của các góc này (Công thức 9)
• Nếu chỉ biết chiều dài của mỗi chiều cao của tam giác (Công thức 10), thì diện tích của một tam giác như vậy tỷ lệ nghịch với chiều dài của các chiều cao này, theo Công thức Heron
• Công thức 11 cho phép bạn tính toán diện tích của một tam giác dựa trên tọa độ các đỉnh của nó, được chỉ định là giá trị (x;y) cho mỗi đỉnh. Xin lưu ý rằng giá trị kết quả phải được lấy theo modulo, vì tọa độ của từng đỉnh (hoặc thậm chí tất cả) có thể nằm trong vùng giá trị âm

Ghi chú. Sau đây là các ví dụ giải bài toán hình học để tìm diện tích hình tam giác. Nếu bạn cần giải một bài toán hình học không giống ở đây, hãy viết về nó trên diễn đàn. Trong các giải pháp, thay vì ký hiệu "căn bậc hai", có thể sử dụng hàm sqrt(), trong đó sqrt là ký hiệu căn bậc hai và biểu thức radicand được biểu thị trong ngoặc đơn.Đôi khi đối với các biểu thức căn thức đơn giản, ký hiệu có thể được sử dụng √

Nhiệm vụ. Tìm diện tích biết hai cạnh và góc xen giữa chúng

Các cạnh của tam giác là 5 và 6 cm, góc giữa chúng là 60 độ. Tìm diện tích của hình tam giác.

Giải pháp.

Để giải bài toán này chúng ta sử dụng công thức số 2 trong phần lý thuyết của bài học.
Diện tích của một hình tam giác có thể được tìm thấy thông qua độ dài của hai cạnh và sin của góc giữa chúng và sẽ bằng
S=1/2 ab sin γ

Vì chúng ta có tất cả dữ liệu cần thiết cho lời giải (theo công thức) nên chúng ta chỉ có thể thay thế các giá trị từ điều kiện bài toán vào công thức:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Trong bảng giá trị của hàm lượng giác, chúng ta sẽ tìm và thay giá trị sin 60 độ vào biểu thức. Nó sẽ bằng căn bậc ba của hai.
S = 15 √3 / 2

Trả lời: 7.5 √3 (tùy yêu cầu của thầy cô có thể để 15 √3/2)

Nhiệm vụ. Tìm diện tích của một tam giác đều

Tìm diện tích của một tam giác đều có cạnh 3 cm.

Giải pháp .

Diện tích của một tam giác có thể được tìm thấy bằng công thức Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Vì a = b = c nên công thức tính diện tích tam giác đều có dạng:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Trả lời: 9 √3 / 4.

Nhiệm vụ. Thay đổi diện tích khi thay đổi độ dài các cạnh

Diện tích của tam giác sẽ tăng lên bao nhiêu lần nếu tăng cạnh lên 4 lần?

Giải pháp.

Vì chúng ta chưa biết kích thước của các cạnh của tam giác nên để giải bài toán, chúng ta sẽ giả sử rằng độ dài các cạnh tương ứng bằng các số tùy ý a, b, c. Sau đó, để trả lời câu hỏi của bài toán, chúng ta sẽ tìm diện tích của tam giác đã cho, rồi tìm diện tích của tam giác có cạnh lớn hơn bốn lần. Tỷ lệ diện tích của các hình tam giác này sẽ cho chúng ta đáp án của bài toán.

Dưới đây chúng tôi cung cấp giải thích bằng văn bản về giải pháp cho vấn đề theo từng bước. Tuy nhiên, cuối cùng, giải pháp tương tự này được trình bày dưới dạng đồ họa thuận tiện hơn. Ai muốn có thể xuống ngay giải pháp.

Để giải, chúng ta sử dụng công thức Heron (xem phần lý thuyết ở trên của bài). Nó trông như thế này:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(xem dòng đầu tiên của hình ảnh bên dưới)

Độ dài các cạnh của một tam giác tùy ý được xác định bởi các biến a, b, c.
Nếu tăng cạnh lên 4 lần thì diện tích của tam giác c mới sẽ là:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(xem dòng thứ hai trong hình bên dưới)

Như bạn có thể thấy, 4 là một thừa số chung có thể được lấy ra khỏi ngoặc từ cả bốn biểu thức theo các quy tắc chung của toán học.
Sau đó

S 2 = 1/4 mét vuông(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ở dòng thứ ba của bức tranh
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dòng thứ tư

Căn bậc hai của số 256 được trích xuất hoàn hảo nên chúng ta hãy lấy nó ra từ dưới gốc
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(xem dòng thứ năm của hình ảnh bên dưới)

Để trả lời câu hỏi trong bài toán, chúng ta chỉ cần chia diện tích của hình tam giác thu được cho diện tích của hình ban đầu.
Chúng ta hãy xác định tỷ lệ diện tích bằng cách chia các biểu thức cho nhau và giảm phân số thu được.

Như bạn có thể nhớ trong chương trình hình học ở trường, hình tam giác là một hình được tạo thành từ ba đoạn thẳng nối với nhau bởi ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng. Một tam giác tạo thành ba góc, do đó tên của hình. Định nghĩa có thể khác nhau. Một hình tam giác cũng có thể được gọi là đa giác có ba góc, đáp án cũng sẽ đúng. Các hình tam giác được chia theo số cạnh bằng nhau và độ lớn của các góc trong hình. Do đó, các hình tam giác được phân biệt thành hình cân, hình đều và hình thang, cũng như hình chữ nhật, hình nhọn và hình tù tương ứng.

Có rất nhiều công thức tính diện tích hình tam giác. Chọn cách tìm diện tích của một hình tam giác, tức là Việc sử dụng công thức nào là tùy thuộc vào bạn. Nhưng điều đáng chú ý chỉ là một số ký hiệu được sử dụng trong nhiều công thức tính diện tích hình tam giác. Vì vậy, hãy nhớ:

S là diện tích của tam giác,

a, b, c là các cạnh của tam giác,

h là chiều cao của tam giác,

R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp,

p là nửa chu vi.

Dưới đây là các ký hiệu cơ bản có thể hữu ích cho bạn nếu bạn quên hoàn toàn khóa học hình học của mình. Dưới đây là các tùy chọn dễ hiểu và không phức tạp nhất để tính diện tích chưa biết và bí ẩn của một hình tam giác. Nó không khó và sẽ hữu ích cho cả nhu cầu gia đình của bạn và giúp đỡ con cái bạn. Chúng ta hãy nhớ cách tính diện tích hình tam giác một cách dễ dàng nhất có thể:

Trong trường hợp của chúng tôi, diện tích của hình tam giác là: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm vuông. Hãy nhớ rằng diện tích được đo bằng cm vuông (sqcm).

Tam giác vuông và diện tích của nó.

Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 độ (do đó gọi là tam giác vuông). Một góc vuông được hình thành bởi hai đường thẳng vuông góc (trong trường hợp tam giác là hai đoạn thẳng vuông góc). Trong một tam giác vuông chỉ có một góc vuông vì... tổng các góc của một tam giác bất kỳ đều bằng 180 độ. Hóa ra 2 góc khác nên chia 90 độ còn lại, ví dụ 70 và 20, 45 và 45, v.v. Vì vậy, bạn hãy nhớ điều chính, tất cả những gì còn lại là tìm ra cách tìm diện tích của một tam giác vuông. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có một tam giác vuông như vậy ở trước mặt và chúng ta cần tìm diện tích S của nó.

1. Cách đơn giản nhất để xác định diện tích tam giác vuông được tính bằng công thức sau:

Trong trường hợp của chúng tôi, diện tích của tam giác vuông là: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm vuông.

Về nguyên tắc, không cần phải xác minh diện tích của tam giác theo những cách khác nữa, bởi vì Chỉ cái này mới hữu ích và giúp ích trong cuộc sống hàng ngày. Nhưng cũng có những lựa chọn để đo diện tích hình tam giác qua các góc nhọn.

2. Đối với các phương pháp tính khác phải có bảng cosin, sin và tang. Hãy tự đánh giá, đây là một số tùy chọn để tính diện tích của tam giác vuông vẫn có thể được sử dụng:

Chúng tôi quyết định sử dụng công thức đầu tiên và với một số vết mờ nhỏ (chúng tôi đã vẽ nó vào một cuốn sổ và sử dụng thước kẻ và thước đo góc cũ), nhưng chúng tôi đã có được phép tính chính xác:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Chúng tôi nhận được kết quả như sau: 3,6=3,7, nhưng tính đến sự dịch chuyển của các ô, chúng tôi có thể tha thứ cho sắc thái này.

Tam giác cân và diện tích của nó.

Nếu bạn phải đối mặt với nhiệm vụ tính công thức cho một tam giác cân, thì cách dễ nhất là sử dụng công thức chính và được coi là công thức cổ điển cho diện tích của một tam giác.

Nhưng trước tiên, trước khi tìm diện tích của một tam giác cân, chúng ta hãy cùng tìm hiểu xem nó là hình gì. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai mặt này gọi là mặt bên, mặt thứ ba gọi là mặt đáy. Đừng nhầm lẫn tam giác cân với tam giác đều, tức là một tam giác đều có ba cạnh bằng nhau. Trong một tam giác như vậy, không có xu hướng đặc biệt nào về các góc, hay đúng hơn là kích thước của chúng. Tuy nhiên, các góc ở đáy trong một tam giác cân bằng nhau nhưng khác với góc giữa hai cạnh bằng nhau. Vì vậy, bạn đã biết công thức đầu tiên và chính; vẫn còn phải tìm hiểu những công thức khác để xác định diện tích của một tam giác cân đã được biết: