Đây là những vấn đề với tế bào hình nón, tình trạng này liên quan đến diện tích bề mặt của nó. Đặc biệt, trong một số bài toán đặt ra vấn đề về sự thay đổi diện tích khi tăng (giảm) chiều cao của hình nón hoặc bán kính đáy của nó. Lý thuyết giải quyết vấn đề trong . Hãy xem xét các nhiệm vụ sau:
27135. Chu vi đáy của hình nón là 3, máy phát là 2. Tìm diện tích bề mặt bên của hình nón.
Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
Thay thế dữ liệu:
75697. Diện tích bề mặt bên của hình nón sẽ tăng bao nhiêu lần nếu đường sinh của nó tăng 36 lần và bán kính đáy không đổi?
Diện tích xung quanh hình nón:
Hệ số tăng 36 lần. Bán kính không đổi nghĩa là chu vi của đáy không thay đổi.
Điều này có nghĩa là diện tích bề mặt bên của hình nón biến dạng sẽ có dạng:
Như vậy, nó sẽ tăng lên 36 lần.
*Mối quan hệ rất đơn giản nên vấn đề này có thể dễ dàng giải quyết bằng miệng.
27137. Diện tích bề mặt bên của hình nón sẽ giảm bao nhiêu lần nếu bán kính đáy của nó giảm 1,5 lần?
Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
Bán kính giảm đi 1,5 lần, tức là:
Người ta thấy rằng diện tích bề mặt bên giảm 1,5 lần.
27159. Chiều cao của hình nón là 6, tử số là 10. Tìm diện tích của nó toàn bộ bề mặt, chia cho Pi.
Bề mặt hình nón đầy đủ:
Bạn cần tìm bán kính:
Chiều cao và đường sinh đã biết, sử dụng định lý Pythagore chúng ta tính bán kính:
Như vậy:
Chia kết quả cho Pi và viết đáp án.
76299. Tổng diện tích bề mặt của hình nón là 108. Một phần được vẽ song song với đáy hình nón, chia chiều cao làm đôi. Tìm tổng diện tích bề mặt của hình nón bị cắt.
Tiết diện đi qua điểm giữa của chiều cao song song với đáy. Điều này có nghĩa là bán kính đáy và đường sinh của hình nón bị cắt sẽ nhỏ hơn 2 lần bán kính và đường sinh của hình nón ban đầu. Hãy viết diện tích bề mặt của hình nón bị cắt:
Đã 4 lần rồi diện tích ít hơn bề mặt của bản gốc, nghĩa là 108:4 = 27.
*Vì hình nón ban đầu và hình nón bị cắt là những vật thể tương tự nhau nên cũng có thể sử dụng tính chất tương tự:
27167. Bán kính đáy của hình nón là 3 và chiều cao là 4. Tìm tổng diện tích toàn phần của hình nón chia cho Pi.
Công thức tính diện tích toàn phần của hình nón:
Bán kính đã biết, cần tìm đường sinh. 
Theo định lý Pythagore:
Như vậy:
Chia kết quả cho Pi và viết đáp án.
Nhiệm vụ. Diện tích bề mặt bên của hình nón là bốn lần nhiều diện tích hơn căn cứ. Tìm thứ gì đó bằng cosin góc giữa đường sinh của hình nón và mặt phẳng đáy.
Diện tích đáy của hình nón là: 
Trở lại Tiến lên
Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm công việc này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.
Loại bài học: một bài học về việc học tài liệu mới bằng cách sử dụng các yếu tố của phương pháp giảng dạy phát triển dựa trên vấn đề.
Mục tiêu bài học:
- giáo dục:
- làm quen với cái mới khái niệm toán học;
- hình thành các trung tâm đào tạo mới;
- hình thành kỹ năng giải quyết vấn đề thực tiễn.
- đang phát triển:
- phát triển suy nghĩ độc lập sinh viên;
- phát triển kỹ năng phát biểu đúng học sinh.
- giáo dục:
- phát triển kỹ năng làm việc nhóm.
Thiết bị dạy học: bảng từ, máy tính, màn hình, máy chiếu đa phương tiện, mô hình nón, thuyết trình bài học, tài liệu phát tay.
Mục tiêu bài học (dành cho học sinh):
- gặp gỡ những người mới khái niệm hình học- hình nón;
- rút ra công thức tính diện tích bề mặt của hình nón;
- học cách vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề thực tế.
Tiến độ bài học
Giai đoạn I. Tổ chức.
Trả lại sổ ghi chép ở nhà công việc thử nghiệm về chủ đề được đề cập.
Mời học sinh tìm hiểu chủ đề bài học sắp tới bằng cách giải câu đố (trang 1):
Hình 1.
Thông báo chủ đề và mục tiêu của bài học cho học sinh (trang 2).
Giai đoạn II. Giải thích về vật liệu mới.
1) Bài giảng của giáo viên.
Trên bảng có một chiếc bàn có hình nón. Vật liệu mớiđược giải thích kèm theo tài liệu chương trình “Phép đo lập thể”. Một hình ảnh ba chiều của một hình nón xuất hiện trên màn hình. Giáo viên đưa ra định nghĩa về hình nón và nói về các phần tử của nó. (trang 3). Người ta nói rằng hình nón là một vật thể được hình thành bằng cách quay một tam giác vuông so với một chân. (slide 4, 5). Hình ảnh quét bề mặt bên của hình nón xuất hiện. (trang 6)
2) Công việc thực tế.
Cập nhật kiến thức nền tảng: nhắc lại các công thức tính diện tích hình tròn, diện tích hình tròn, độ dài hình tròn, độ dài cung tròn. (trang 7–10)
Lớp học được chia thành các nhóm. Mỗi nhóm nhận được một bản quét bề mặt bên của hình nón được cắt từ giấy (một phần của hình tròn có số được chỉ định). Học sinh thực hiện các phép đo cần thiết và tính diện tích của khu vực thu được. Hướng dẫn thực hiện công việc, câu hỏi - nêu vấn đề - xuất hiện trên màn hình (trang 11–14). Đại diện mỗi nhóm ghi kết quả tính toán vào bảng đã chuẩn bị sẵn trên bảng. Những người tham gia trong mỗi nhóm dán lại một mô hình hình nón từ mẫu mà họ có. (trang 15)
3) Phát biểu và giải quyết vấn đề.
Làm thế nào để tính diện tích xung quanh của hình nón nếu chỉ biết bán kính đáy và chiều dài đường sinh của hình nón? (trang 16)
Mỗi nhóm thực hiện các phép đo cần thiết và cố gắng rút ra công thức tính diện tích cần thiết bằng cách sử dụng dữ liệu có sẵn. Khi làm bài này, học sinh cần chú ý chu vi đáy hình nón bằng chiều dài cung của hình nón - sự phát triển của bề mặt bên của hình nón này. (trang 17–21) sử dụng công thức cần thiết, công thức cần thiết sẽ được hiển thị. Lập luận của học sinh sẽ giống như thế này:
Bán kính quét khu vực bằng tôi, thước đo độ cung – φ. Diện tích của hình nón được tính theo công thức: độ dài cung bao quanh hình nón này bằng bán kính đáy hình nón R. Độ dài của hình tròn nằm ở đáy hình nón là C = 2πR . Lưu ý rằng vì diện tích bề mặt bên của hình nón bằng diện tích phát triển của bề mặt bên của nó nên
Vậy diện tích xung quanh của hình nón được tính theo công thức S BOD = πRl.
Sau khi tính diện tích bề mặt bên của mô hình hình nón bằng công thức suy ra độc lập, đại diện mỗi nhóm ghi kết quả tính toán vào bảng lên bảng theo số của mô hình. Kết quả tính toán trên mỗi dòng phải bằng nhau. Dựa vào đó, giáo viên xác định tính đúng đắn trong kết luận của mỗi nhóm. Bảng kết quả sẽ trông như thế này:
|
Mẫu số |
tôi nhiệm vụ |
nhiệm vụ II |
(125/3)π ~ 41,67 π |
||
(425/9)π ~ 47,22 π |
||
(539/9)π ~ 59,89 π |
Thông số mô hình:
- l=12 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =150°
- l=15 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =170°
- l=14 cm, φ =110°
Việc tính toán gần đúng có liên quan đến sai số đo lường.
Sau khi kiểm tra kết quả, trên màn hình xuất hiện các công thức tính diện tích xung quanh và tổng diện tích của hình nón (trang 22–26), học sinh ghi vào vở.
Giai đoạn III. Tổng hợp tài liệu đã học.
1) Học sinh được cung cấp các bài toán giải bằng miệng trên bản vẽ làm sẵn.
Tìm diện tích các bề mặt hoàn chỉnh của hình nón như trong hình (trang 27–32).
2) Câu hỏi: Diện tích bề mặt của hình nón có bằng nhau không? được hình thành bằng cách quay một tam giác vuông so với các cạnh khác nhau? Học sinh đưa ra giả thuyết và kiểm tra nó. Giả thuyết được kiểm tra bằng cách giải các bài toán và được học sinh viết lên bảng.
Được cho:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
ВАА", АВВ" – vật thể quay.
Tìm thấy: S PPK 1, S PPK 2.
Hình 5. (trang 33)
Giải pháp:
1) R=BC = một; S PPK 1 = S BOD 1 + S chính 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S bazơ 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).
Nếu S PPK 1 = S PPK 2 thì a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Bởi vì a, b, c – các số dương (độ dài các cạnh của tam giác), đẳng thức chỉ đúng nếu một =b.
Phần kết luận: Diện tích bề mặt của hai hình nón chỉ bằng nhau nếu các cạnh của tam giác bằng nhau. (trang 34)
3) Giải bài toán trong sách giáo khoa: Câu 565.
Giai đoạn IV. Tóm tắt bài học.
bài tập về nhà: đoạn 55, 56; Số 548, số 561. (trang 35)
Công bố điểm được phân công.
Kết luận trong bài, nhắc lại những thông tin chính nhận được trong bài.
Văn học (trang 36)
- Hình học lớp 10–11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev và cộng sự, M., “Prosveshchenie”, 2008.
- « Câu đố toán học và trò đố chữ” – N.V. Udaltsova, thư viện “Ngày đầu tháng 9”, bộ “Toán học”, số 35, M., Chistye Prudy, 2010.
Chúng ta biết hình nón là gì, hãy thử tìm diện tích bề mặt của nó. Tại sao bạn cần phải giải quyết một vấn đề như vậy? Ví dụ, bạn cần hiểu bao nhiêu bài kiểm tra sẽ thành côngđể làm một chiếc bánh quế? Hoặc cần bao nhiêu viên gạch để làm được một mái lâu đài bằng gạch?
Đơn giản là không thể đo diện tích bề mặt bên của hình nón. Nhưng hãy tưởng tượng chiếc sừng tương tự được bọc trong vải. Để tìm diện tích của một mảnh vải, bạn cần cắt nó và đặt nó lên bàn. Nó sẽ thành công hình phẳng, chúng ta có thể tìm thấy diện tích của nó.
Cơm. 1. Mặt cắt hình nón dọc theo đường sinh
Hãy làm tương tự với hình nón. Hãy "cắt" nó bề mặt bên dọc theo bất kỳ máy phát điện nào, ví dụ (xem Hình 1).
Bây giờ chúng ta hãy “thư giãn” bề mặt bên trên một mặt phẳng. Chúng tôi nhận được một lĩnh vực. Tâm của khu vực này là đỉnh của hình nón, bán kính của khu vực này bằng đường sinh của hình nón và chiều dài cung của nó trùng với chu vi của đáy hình nón. Khu vực này được gọi là sự phát triển của bề mặt bên của hình nón (xem Hình 2).
Cơm. 2. Sự phát triển của bề mặt bên
Cơm. 3. Đo góc bằng radian
Hãy thử tìm diện tích của khu vực bằng cách sử dụng dữ liệu có sẵn. Đầu tiên, hãy giới thiệu ký hiệu: gọi góc ở đỉnh của hình quạt bằng radian (xem Hình 3).
Chúng ta sẽ thường xuyên phải giải quyết các vấn đề về góc ở đỉnh quét. Bây giờ, chúng ta hãy thử trả lời câu hỏi: góc này có thể lớn hơn 360 độ không? Tức là, chẳng phải việc quét sẽ tự chồng lên nhau sao? Tất nhiên là không. Hãy chứng minh điều này về mặt toán học. Hãy để quá trình quét “chồng” lên chính nó. Điều này có nghĩa là chiều dài của cung quét lớn hơn chiều dài của đường tròn bán kính . Nhưng, như đã đề cập, độ dài của cung quét là độ dài của đường tròn bán kính . Và bán kính đáy của hình nón tất nhiên nhỏ hơn đường sinh chẳng hạn vì cạnh huyền của tam giác vuông nhỏ hơn cạnh huyền
Sau đó, hãy nhớ hai công thức từ khóa học đo mặt phẳng: độ dài cung. Lĩnh vực ngành: .
Trong trường hợp của chúng tôi, vai trò được thực hiện bởi trình tạo , và chiều dài của cung bằng chu vi đáy của hình nón, nghĩa là. Chúng tôi có:
Cuối cùng chúng tôi nhận được: .
Cùng với diện tích bề mặt bên, tổng diện tích bề mặt cũng có thể được tìm thấy. Để làm điều này, diện tích của đế phải được cộng vào diện tích của bề mặt bên. Nhưng đáy là một hình tròn có bán kính, có diện tích theo công thức bằng .
Cuối cùng chúng ta có: , bán kính đáy của hình trụ ở đâu là ma trận.
Hãy giải một số bài toán bằng cách sử dụng các công thức đã cho.
Cơm. 4. Góc yêu cầu
Ví dụ 1. Sự phát triển của bề mặt bên của hình nón là một khu vực có một góc ở đỉnh. Tìm góc này nếu chiều cao của hình nón là 4 cm và bán kính đáy là 3 cm (xem Hình 4).
Cơm. 5. Tam giác vuông, tạo thành một hình nón
Bằng hành động đầu tiên, theo định lý Pythagore, chúng ta tìm được máy phát điện: 5 cm (xem Hình 5). Tiếp theo, chúng ta biết rằng .
Ví dụ 2. Quảng trường phần trục hình nón bằng , chiều cao bằng . Tìm tổng diện tích bề mặt (xem Hình 6).
