Hình trụ (xuất phát từ tiếng Hy Lạp, từ các từ “con lăn”, “con lăn”) là một vật thể hình học được giới hạn ở bên ngoài bởi một bề mặt gọi là hình trụ và hai mặt phẳng. Các mặt phẳng này cắt bề mặt của hình và song song với nhau.
Bề mặt hình trụ là bề mặt được tạo bởi một đường thẳng trong không gian. Những chuyển động này sao cho điểm đã chọn của đường thẳng này di chuyển dọc theo một đường cong kiểu mặt phẳng. Đường thẳng như vậy được gọi là đường sinh và đường cong được gọi là đường dẫn.
Hình trụ bao gồm một cặp đáy và một bề mặt hình trụ bên. Có một số loại xi lanh:
1. Hình trụ tròn, thẳng. Một hình trụ như vậy có đế và dẫn hướng vuông góc với đường phát điện, và có
2. Xi lanh nghiêng. Góc của nó giữa đường phát điện và đế không thẳng.
3. Một hình trụ có hình dạng khác. Hyperbol, elip, parabol và những thứ khác.
Diện tích của một hình trụ, cũng như tổng diện tích bề mặt của bất kỳ hình trụ nào, được tính bằng cách cộng diện tích các đáy của hình này và diện tích của bề mặt bên.
Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ cho hình trụ tròn, thẳng:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
Diện tích của bề mặt bên phức tạp hơn một chút so với diện tích của toàn bộ hình trụ; nó được tính bằng cách nhân chiều dài của đường sinh với chu vi của phần được tạo bởi một mặt phẳng vuông góc; đến dòng máy phát điện.
Hình trụ đã cho cho hình trụ tròn, thẳng được nhận biết qua sự phát triển của đối tượng này.
Công trình phát triển là một hình chữ nhật có chiều cao h và chiều dài P, bằng chu vi đáy.
Theo đó, diện tích bên của hình trụ bằng diện tích quét và có thể được tính bằng công thức sau:
Nếu chúng ta lấy một hình trụ tròn, thẳng thì đối với nó:
P = 2p R, và Sb = 2p Rh.
Nếu hình trụ nghiêng thì diện tích bề mặt bên phải bằng tích của chiều dài đường sinh của nó và chu vi của tiết diện vuông góc với đường sinh này.
Thật không may, không có công thức đơn giản nào để biểu thị diện tích bề mặt bên của một hình trụ nghiêng theo chiều cao và các thông số của đáy của nó.
Để tính toán hình trụ, bạn cần biết một số thông tin. Nếu một phần có mặt phẳng của nó cắt các đáy thì phần đó luôn là hình chữ nhật. Nhưng những hình chữ nhật này sẽ khác nhau, tùy thuộc vào vị trí của phần. Một cạnh của tiết diện trục của hình vuông góc với các đáy thì bằng chiều cao, cạnh kia bằng đường kính đáy của hình trụ. Và diện tích của một phần như vậy, theo đó, bằng tích của một cạnh của hình chữ nhật với cạnh kia, vuông góc với cạnh thứ nhất hoặc tích của chiều cao của một hình đã cho và đường kính của đáy của nó.
Nếu tiết diện vuông góc với các đáy của hình nhưng không đi qua trục quay thì diện tích của tiết diện này sẽ bằng tích của chiều cao của hình trụ này và một dây cung nhất định. Để có được một hợp âm, bạn cần dựng một hình tròn ở đáy hình trụ, vẽ bán kính và vẽ trên đó khoảng cách mà phần đó nằm. Và từ thời điểm này, bạn cần vẽ các đường vuông góc với bán kính từ giao điểm với đường tròn. Các điểm giao nhau được kết nối với trung tâm. Và đáy của hình tam giác là đáy mong muốn, được tìm kiếm bằng các âm thanh như thế này: “Tổng bình phương của hai cạnh huyền bằng bình phương cạnh huyền”:
C2 = A2 + B2.
Nếu phần đó không ảnh hưởng đến đáy của hình trụ và bản thân hình trụ có hình tròn và thẳng thì diện tích của phần này được coi là diện tích của hình tròn.
Diện tích của hình tròn là:
S môi trường. = 2п R2.
Để tìm R, bạn cần chia độ dài C của nó cho 2n:
R = C\2n, trong đó n là pi, một hằng số toán học được tính toán để hoạt động với dữ liệu vòng tròn và bằng 3,14.
Lập thể là một nhánh của hình học trong đó nghiên cứu các hình trong không gian. Các hình chính trong không gian là một điểm, một đường thẳng và một mặt phẳng. Trong phép đo lập thể, một kiểu sắp xếp tương đối mới của các đường xuất hiện: các đường chéo. Đây là một trong số ít sự khác biệt đáng kể giữa phép đo lập thể và phép đo phẳng, vì trong nhiều trường hợp, các vấn đề về phép đo lập thể được giải quyết bằng cách xem xét các mặt phẳng khác nhau trong đó các định luật đo phẳng được thỏa mãn.
Trong thiên nhiên xung quanh chúng ta có rất nhiều vật thể là mô hình vật lý của hình này. Ví dụ, nhiều bộ phận máy móc có hình trụ hoặc là sự kết hợp nào đó của chúng, và các cột uy nghi của các đền chùa và thánh đường, được làm theo hình trụ, nhấn mạnh sự hài hòa và vẻ đẹp của chúng.
tiếng Hy Lạp − kylindros. Một thuật ngữ cổ xưa. Trong cuộc sống hàng ngày - cuộn giấy cói, con lăn, con lăn (động từ - xoắn, cuộn).
Đối với Euclid, hình trụ thu được bằng cách xoay một hình chữ nhật. Ở Cavalieri - bằng chuyển động của máy phát điện (với một hướng dẫn tùy ý - một “hình trụ”).
Mục đích của bài tiểu luận này là xem xét một vật thể hình học - một hình trụ.
Để đạt được mục tiêu này, cần xem xét các nhiệm vụ sau:
- đưa ra định nghĩa về hình trụ;
- xét các phần tử của hình trụ;
− nghiên cứu các tính chất của xi lanh;
- xem xét các loại mặt cắt hình trụ;
- suy ra công thức tính diện tích hình trụ;
- suy ra công thức tính thể tích hình trụ;
- Giải bài toán bằng hình trụ.
1.1. định nghĩa của một xi lanh
Chúng ta hãy xem xét một số đường thẳng (đường cong, đứt đoạn hoặc hỗn hợp) l nằm trong một mặt phẳng α nào đó và một số đường thẳng S cắt mặt phẳng này. Qua mọi điểm của đường thẳng l cho trước ta vẽ các đường thẳng song song với đường thẳng S; bề mặt α tạo bởi các đường thẳng này được gọi là bề mặt hình trụ. Đường l được gọi là hướng dẫn của bề mặt này, các đường s 1, s 2, s 3,... là phần sinh của nó.
Nếu thanh dẫn hướng bị hỏng thì bề mặt hình trụ như vậy bao gồm một số dải phẳng được bao bọc giữa các cặp đường thẳng song song và được gọi là bề mặt lăng trụ. Các đường sinh đi qua các đỉnh của đường gãy dẫn hướng được gọi là các cạnh của bề mặt lăng trụ, các dải phẳng giữa chúng là các mặt của nó.
Nếu chúng ta cắt bất kỳ bề mặt hình trụ nào bằng một mặt phẳng tùy ý không song song với các đường sinh của nó, chúng ta sẽ thu được một đường thẳng cũng có thể được lấy làm hướng dẫn cho bề mặt này. Trong số các hướng dẫn, cái nổi bật nhất là cái thu được bằng cách cắt bề mặt với một mặt phẳng vuông góc với các đường sinh của bề mặt. Phần như vậy được gọi là phần thông thường và hướng dẫn tương ứng được gọi là hướng dẫn thông thường.
Nếu hướng dẫn là một đường khép kín (lồi) (gãy hoặc cong), thì bề mặt tương ứng được gọi là bề mặt hình lăng trụ hoặc hình trụ kín (lồi). Bề mặt hình trụ đơn giản nhất có đường tròn làm đường dẫn thông thường. Chúng ta hãy mổ xẻ một bề mặt lăng trụ lồi khép kín có hai mặt phẳng song song với nhau nhưng không song song với các phần tử sinh.
Trong các phần chúng ta thu được đa giác lồi. Bây giờ phần của bề mặt lăng trụ được bao bọc giữa các mặt phẳng α và α" và hai tấm đa giác thu được trong các mặt phẳng này giới hạn một vật thể gọi là vật thể lăng trụ - lăng kính.
Thân hình trụ - hình trụ được định nghĩa tương tự như hình lăng trụ:
Hình trụ là một vật thể được giới hạn ở hai bên bởi một bề mặt hình trụ kín (lồi) và ở hai đầu bởi hai đáy phẳng song song. Cả hai đáy của hình trụ đều bằng nhau và tất cả các thành phần của hình trụ cũng bằng nhau, tức là các đoạn sinh của một bề mặt hình trụ giữa các mặt phẳng của các đáy.
Hình trụ (chính xác hơn là hình trụ tròn) là một vật thể hình học bao gồm hai đường tròn không nằm trong cùng một mặt phẳng và được kết hợp bằng phép tịnh tiến song song và tất cả các đoạn nối các điểm tương ứng của các đường tròn này (Hình 1) .
Các đường tròn được gọi là đáy của hình trụ, và các đoạn nối các điểm tương ứng của chu vi của đường tròn được gọi là phần sinh của hình trụ.
Vì chuyển động song song là chuyển động nên các đáy của hình trụ đều bằng nhau.
Vì trong quá trình dịch song song, mặt phẳng biến thành một mặt phẳng song song (hoặc thành chính nó), nên các đáy của hình trụ nằm trong các mặt phẳng song song.
Vì trong quá trình dịch song song, các điểm được dịch chuyển dọc theo các đường song song (hoặc trùng nhau) với cùng một khoảng cách, nên các bộ tạo của hình trụ song song và bằng nhau.
Bề mặt của hình trụ gồm có mặt đáy và mặt bên. Bề mặt bên bao gồm các thế hệ.
Một hình trụ được gọi là thẳng nếu các đường sinh của nó vuông góc với các mặt phẳng đáy.
Một hình trụ thẳng có thể được hình dung một cách trực quan như một khối hình học mô tả một hình chữ nhật khi xoay nó quanh cạnh của nó như một trục (Hình 2).
Cơm. 2 − Xi lanh thẳng
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ xét hình trụ thẳng, gọi đơn giản là hình trụ cho ngắn gọn.
Bán kính của một hình trụ là bán kính của đáy của nó. Chiều cao của hình trụ là khoảng cách giữa các mặt phẳng đáy của nó. Trục của hình trụ là đường thẳng đi qua tâm của các đáy. Nó song song với các máy phát điện.
Một hình trụ được gọi là đều nếu chiều cao của nó bằng đường kính đáy.
Nếu các đáy của hình trụ phẳng (và do đó các mặt phẳng chứa chúng song song) thì hình trụ được gọi là đứng trên một mặt phẳng. Nếu các đáy của hình trụ đứng trên mặt phẳng vuông góc với đường sinh thì hình trụ đó gọi là hình trụ thẳng.
Cụ thể, nếu đáy của hình trụ đứng trên mặt phẳng là hình tròn thì ta nói đến hình trụ (tròn) hình tròn; nếu nó là hình elip thì nó là hình elip.
1. 3. Mặt cắt của hình trụ
Mặt cắt ngang của hình trụ có mặt phẳng song song với trục của nó là hình chữ nhật (Hình 3, a). Hai cạnh của nó là hình trụ, hai cạnh còn lại là dây song song của các đáy.
MỘT) 
b)
V) G)
Cơm. 3 – Tiết diện của hình trụ
Trong đó, hình chữ nhật là phần trục. Đây là một phần của hình trụ có mặt phẳng đi qua trục của nó (Hình 3, b).
Mặt cắt ngang của hình trụ có mặt phẳng song song với đáy là hình tròn (Hình 3, c).
Mặt cắt ngang của hình trụ có mặt phẳng không song song với đáy và trục của nó là hình bầu dục (Hình 3d).
Định lý 1. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy của hình trụ cắt mặt bên của nó theo một đường tròn bằng chu vi của đáy.
Bằng chứng. Cho β là mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy của hình trụ. Chuyển động song song theo phương của trục trụ, kết hợp mặt phẳng β với mặt phẳng đáy của hình trụ, kết hợp tiết diện mặt bên của mặt phẳng β với chu vi của đáy. Định lý đã được chứng minh.
Diện tích bề mặt bên của hình trụ.
Diện tích bề mặt bên của hình trụ được lấy là giới hạn mà diện tích bề mặt bên của một lăng kính đều nội tiếp trong hình trụ có xu hướng khi số cạnh của đáy lăng kính này tăng vô hạn.
Định lý 2. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng tích của chu vi đáy và chiều cao của nó (S side.c = 2πRH, trong đó R là bán kính đáy hình trụ, H là chiều cao của hình trụ).
MỘT) 
b) 
Cơm. 4 – Diện tích bề mặt bên của xi lanh
Bằng chứng.
Gọi Pn và H lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính n-giác đều nội tiếp trong hình trụ (Hình 4, a). Khi đó diện tích bề mặt bên của lăng kính này là S side.c - Pn H. Giả sử rằng số cạnh của đa giác nội tiếp ở đáy tăng lên không giới hạn (Hình 4, b). Khi đó chu vi P n tiến tới chu vi C = 2πR, trong đó R là bán kính đáy hình trụ và chiều cao H không thay đổi. Do đó, diện tích bề mặt bên của lăng kính có xu hướng đến giới hạn 2πRH, tức là diện tích bề mặt bên của hình trụ bằng S side.c = 2πRH. Định lý đã được chứng minh.
Tổng diện tích bề mặt của hình trụ.
Tổng diện tích bề mặt của hình trụ là tổng diện tích của bề mặt bên và hai đáy. Diện tích mỗi đáy của hình trụ bằng πR 2 nên diện tích toàn phần của hình trụ S tổng được tính theo công thức S side.c = 2πRH+ 2πR 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
Cơm. 5 − Tổng diện tích bề mặt của hình trụ
Nếu bề mặt bên của hình trụ được cắt dọc theo đường sinh FT (Hình 5, a) và mở ra sao cho tất cả các đường sinh nằm trong cùng một mặt phẳng, thì kết quả là chúng ta thu được một hình chữ nhật FTT1F1, được gọi là sự phát triển của hình trụ. bề mặt bên của xi lanh. Cạnh FF1 của hình chữ nhật là sự phát triển của đường tròn đáy hình trụ nên FF1=2πR và cạnh FT của nó bằng ma trận sinh của hình trụ, tức là FT = H (Hình 5, b). Do đó, diện tích FT∙FF1=2πRH của hình trụ phát triển bằng diện tích bề mặt bên của nó.
1.5. Thể tích xi lanh
Nếu một khối hình học đơn giản, nghĩa là nó có thể được chia thành một số hữu hạn các hình chóp tam giác, thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các hình chóp này. Đối với một vật thể tùy ý, thể tích được xác định như sau.
Một vật thể nhất định có thể tích V nếu có những vật thể đơn giản chứa nó và những vật thể đơn giản chứa trong nó có thể tích khác một chút so với V như mong muốn.
Chúng ta hãy áp dụng định nghĩa này để tìm thể tích của hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao H.
Khi suy ra công thức tính diện tích hình tròn, người ta dựng hai n-giác (một chứa hình tròn, cái còn lại chứa hình tròn) sao cho diện tích của chúng, với n tăng không giới hạn, sẽ tiến gần đến diện tích của hình tròn. vòng tròn không có giới hạn. Hãy dựng các đa giác như vậy cho hình tròn ở đáy hình trụ. Giả sử P là đa giác chứa một hình tròn và P" là đa giác chứa trong một hình tròn (Hình 6).
Cơm. 7 − Hình trụ có lăng kính được mô tả và ghi nội tiếp trong đó
Chúng ta hãy dựng hai lăng trụ thẳng có đáy P và P" và chiều cao H bằng chiều cao của hình trụ. Lăng kính thứ nhất chứa một hình trụ, và lăng kính thứ hai chứa trong một hình trụ. Vì với n tăng không giới hạn, nên diện tích đáy của hình lăng trụ tiếp cận không giới hạn diện tích đáy của hình trụ S, khi đó thể tích của chúng tiếp cận SH vô hạn. Theo định nghĩa, thể tích của hình trụ.
V = SH = πR 2 H.
Vì vậy, thể tích của hình trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.
Nhiệm vụ 1.
Tiết diện dọc trục của hình trụ là hình vuông có diện tích Q.
Tìm diện tích đáy của hình trụ.
Cho: hình trụ, tiết diện hình vuông - trục của hình trụ, S bình phương = Q.
Tìm: Xi lanh chính S
Cạnh của hình vuông là . Nó bằng đường kính của đế. Do đó diện tích đáy là 
.
Đáp án: Xi lanh chính S.
=
Nhiệm vụ 2.
Một lăng trụ lục giác đều nội tiếp trong một hình trụ. Tìm góc giữa đường chéo của mặt bên và trục của hình trụ nếu bán kính đáy bằng chiều cao của hình trụ.
Cho: hình trụ, lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ, bán kính đáy = chiều cao của hình trụ.
Lời giải: Các mặt bên của lăng trụ là hình vuông vì cạnh của hình lục giác đều nội tiếp đường tròn bằng bán kính.
Các cạnh của lăng kính song song với trục hình trụ nên góc giữa đường chéo của mặt và trục hình trụ bằng góc giữa đường chéo của mặt và cạnh bên. Và góc này là 45°, vì các mặt đều là hình vuông.
Trả lời: góc giữa đường chéo của mặt bên và trục của hình trụ = 45°.
Nhiệm vụ 3.
Chiều cao của hình trụ là 6 cm, bán kính đáy là 5 cm.
Tìm diện tích của phần được vẽ song song với trục hình trụ và cách nó 4 cm.
Cho: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.
Tìm: S giây.
giây. = KM×KS,
OE = 4 cm, KS = 6 cm.
Tam giác OKM - cân (OK = OM = R = 5 cm),
Tam giác OEK vuông.
Từ tam giác OEK, theo định lý Pythagore:
KM = 2EK = 2×3 = 6,
giây. = 6×6 = 36cm2.
Mục đích của bài luận này đã được thực hiện; một vật thể hình học như hình trụ đã được xem xét.
Các nhiệm vụ sau đây được xem xét:
− đã cho định nghĩa về hình trụ;
- các phần tử của hình trụ đã được xét;
− các tính chất của hình trụ đã được nghiên cứu;
- các loại mặt cắt hình trụ được xem xét;
− suy ra công thức tính diện tích hình trụ;
− suy ra công thức tính thể tích hình trụ;
- Giải các bài toán sử dụng hình trụ.
1. Pogorelov A.V. Hình học: Sách giáo khoa lớp 10 – 11 của các cơ sở giáo dục, 1995.
2. Beskin L.N. Lập thể. Cẩm nang dành cho giáo viên trung học, 1999.
3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Hình học: Sách giáo khoa lớp 10 - 11 của các cơ sở giáo dục, 2000.
4. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Hình học: sách giáo khoa lớp 10-11 ở các cơ sở giáo dục phổ thông, 1998.
5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Hình học: Lập thể: lớp 10 – 11: Sách giáo khoa và sách bài tập, 2000.
Diện tích mỗi đáy của hình trụ là π r 2 thì diện tích cả hai đáy sẽ là 2π r 2 (hình.).Diện tích xung quanh của hình trụ bằng diện tích hình chữ nhật có đáy là 2π r và chiều cao bằng chiều cao của hình trụ h, tức là 2π ồ.
Tổng bề mặt của hình trụ sẽ là: 2π r 2 + 2π ồ= 2π r(r+ h).
Diện tích bề mặt bên của hình trụ được lấy là khu vực quét bề mặt bên của nó.
Do đó, diện tích bề mặt bên của hình trụ tròn bên phải bằng diện tích hình chữ nhật tương ứng (Hình) và được tính theo công thức
S b.c. = 2πRH, (1)
Nếu cộng diện tích hai đáy của nó với diện tích bề mặt bên của hình trụ, chúng ta thu được tổng diện tích bề mặt của hình trụ
đầy đủ =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Thể tích của hình trụ thẳng
Định lý. Thể tích của một hình trụ thẳng bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó , tức làtrong đó Q là diện tích đáy và H là chiều cao của hình trụ.
Vì diện tích đáy của hình trụ là Q nên có các dãy đa giác ngoại tiếp và nội tiếp có diện tích Q N và Q' N như vậy
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ N= Q.
Chúng ta hãy xây dựng một chuỗi các lăng kính, các đáy của chúng là các đa giác được mô tả và nội tiếp đã thảo luận ở trên, và các cạnh bên song song với đường sinh của hình trụ đã cho và có chiều dài H. Các lăng kính này được ngoại tiếp và nội tiếp cho hình trụ đã cho. Khối lượng của chúng được tìm thấy bởi các công thức
V. N= Q N H và V' N= Q' N H.
Kể từ đây,
V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ N H = QH.
Kết quả.
Thể tích của hình trụ tròn đứng được tính theo công thức
V = π R 2 H
trong đó R là bán kính đáy và H là chiều cao của hình trụ.
Vì đáy của hình trụ tròn là hình tròn có bán kính R nên Q = π R 2, và do đó
Hình trụ là một hình không gian đối xứng, các tính chất của nó được xem xét ở trường trung học trong quá trình lập thể. Để mô tả nó, các đặc điểm tuyến tính như chiều cao và bán kính đáy được sử dụng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi liên quan đến tiết diện dọc trục của hình trụ là gì và cách tính các thông số của nó thông qua các đặc tính tuyến tính cơ bản của hình.
Hình hình học
Đầu tiên, hãy xác định con số sẽ được thảo luận trong bài viết. Hình trụ là một bề mặt được hình thành do chuyển động song song của một đoạn có chiều dài cố định dọc theo một đường cong nhất định. Điều kiện chính cho chuyển động này là đoạn đó không được thuộc mặt phẳng của đường cong.
Hình dưới đây cho thấy một hình trụ có đường cong (hướng dẫn) là hình elip.
Ở đây một đoạn có độ dài h là phần tử sinh và chiều cao của nó.
Có thể thấy rằng hình trụ bao gồm hai đáy giống hệt nhau (trong trường hợp này là hình elip), nằm trên các mặt phẳng song song và một bề mặt bên. Cái sau thuộc về tất cả các điểm của đường hình thành.
Trước khi chuyển sang xem xét phần trục của hình trụ, chúng tôi sẽ cho bạn biết những loại hình này có những loại nào.
Nếu đường sinh vuông góc với các đáy của hình thì chúng ta nói đến hình trụ thẳng. Nếu không thì xi lanh sẽ nghiêng. Nếu nối trung điểm của hai đáy thì đường thẳng thu được được gọi là trục của hình. Hình dưới đây cho thấy sự khác biệt giữa hình trụ thẳng và hình trụ nghiêng.
Có thể thấy, đối với một hình thẳng thì độ dài đoạn sinh trùng với giá trị chiều cao h. Đối với một hình trụ nghiêng, chiều cao tức là khoảng cách giữa các đáy luôn nhỏ hơn chiều dài của đường sinh.
Tiết diện dọc trục của hình trụ thẳng
Trục là bất kỳ phần nào của hình trụ chứa trục của nó. Định nghĩa này có nghĩa là phần trục sẽ luôn song song với đường sinh.
Trong hình trụ thẳng có trục đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng của nó. Điều này có nghĩa là đường tròn đang xét sẽ cắt nhau dọc theo đường kính của nó. Hình vẽ thể hiện một nửa hình trụ, là kết quả của giao điểm của hình với một mặt phẳng đi qua trục.
Không khó hiểu khi tiết diện dọc trục của hình trụ tròn thẳng là hình chữ nhật. Các cạnh của nó là đường kính d của đáy và chiều cao h của hình.
Hãy viết các công thức tính diện tích mặt cắt dọc trục của hình trụ và chiều dài h d của đường chéo của nó:
Một hình chữ nhật có hai đường chéo nhưng cả hai đều bằng nhau. Nếu đã biết bán kính của đáy thì không khó để viết lại các công thức này thông qua nó, vì nó bằng một nửa đường kính.
Tiết diện dọc trục của hình trụ nghiêng
Hình trên cho thấy một hình trụ nghiêng làm bằng giấy. Nếu bạn tạo phần trục của nó, bạn sẽ không còn có hình chữ nhật nữa mà là hình bình hành. Các cạnh của nó là số lượng đã biết. Một trong số chúng, như trong trường hợp mặt cắt ngang của một hình trụ thẳng, bằng đường kính d của đế, cái còn lại là chiều dài của đoạn tạo hình. Hãy ký hiệu nó b.
Để xác định rõ ràng các tham số của hình bình hành, việc biết độ dài các cạnh của nó là chưa đủ. Cần có một góc độ khác giữa chúng. Giả sử góc nhọn giữa thanh dẫn hướng và đế là α. Đây cũng sẽ là góc giữa các cạnh của hình bình hành. Khi đó công thức tính diện tích mặt cắt dọc trục của hình trụ nghiêng có thể được viết như sau:
Các đường chéo của tiết diện dọc trục của một hình trụ nghiêng có phần khó tính hơn. Hình bình hành có hai đường chéo có độ dài khác nhau. Chúng tôi trình bày các biểu thức không có đạo hàm cho phép tính các đường chéo của hình bình hành bằng cách sử dụng các cạnh đã biết và góc nhọn giữa chúng:
l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));
l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))
Ở đây l 1 và l 2 lần lượt là độ dài đường chéo nhỏ và đường chéo lớn. Những công thức này có thể thu được một cách độc lập nếu chúng ta coi mỗi đường chéo là một vectơ bằng cách đưa vào hệ tọa độ hình chữ nhật trên mặt phẳng.
Vấn đề xi lanh thẳng
Chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách sử dụng kiến thức đã học để giải quyết vấn đề sau. Cho chúng ta một hình trụ tròn thẳng. Biết tiết diện dọc trục của hình trụ là hình vuông. Diện tích của phần này là bao nhiêu nếu toàn bộ hình là 100 cm 2?
Để tính diện tích cần tìm, bạn cần tìm bán kính hoặc đường kính của đáy hình trụ. Để làm điều này, chúng ta sử dụng công thức tính tổng diện tích S f của hình:
Vì tiết diện trục là hình vuông, điều này có nghĩa là bán kính r của đáy bằng một nửa chiều cao h. Khi tính đến điều này, chúng ta có thể viết lại đẳng thức trên như sau:
S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2
Bây giờ chúng ta có thể biểu thị bán kính r, chúng ta có:
Vì cạnh của hình vuông bằng đường kính đáy của hình nên công thức sau đây sẽ đúng để tính diện tích S của nó:
S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)
Chúng ta thấy rằng diện tích cần thiết được xác định duy nhất bởi diện tích bề mặt của hình trụ. Thay số liệu vào đẳng thức, ta đi đến đáp án: S = 21,23 cm 2.
Hình trụ (hình trụ tròn) là một vật thể gồm có hai đường tròn, được kết hợp bằng phép tịnh tiến song song và tất cả các đoạn nối các điểm tương ứng của các đường tròn này. Các đường tròn được gọi là đáy của hình trụ, và các đoạn nối các điểm tương ứng của chu vi của đường tròn được gọi là phần sinh của hình trụ.
Các đáy của hình trụ bằng nhau và nằm trong các mặt phẳng song song, còn các máy phát của hình trụ song song và bằng nhau. Bề mặt của hình trụ gồm có mặt đáy và mặt bên. Bề mặt bên được tạo thành từ các thế hệ.
Một hình trụ được gọi là thẳng nếu các đường sinh của nó vuông góc với các mặt phẳng của đáy. Một hình trụ có thể được coi là một vật thể thu được bằng cách quay một hình chữ nhật quanh một trong các cạnh của nó làm trục. Có các loại hình trụ khác - hình elip, hyperbol, parabol. Lăng kính cũng được coi là một loại hình trụ.
Hình 2 cho thấy một hình trụ nghiêng. Các đường tròn có tâm O và O 1 là các đáy của nó.
Bán kính của một hình trụ là bán kính của đáy của nó. Chiều cao của hình trụ là khoảng cách giữa các mặt phẳng của các đáy. Trục của hình trụ là đường thẳng đi qua tâm của các đáy. Nó song song với các máy phát điện. Mặt cắt ngang của hình trụ có mặt phẳng đi qua trục hình trụ gọi là tiết diện dọc trục. Mặt phẳng đi qua đường sinh của hình trụ thẳng và vuông góc với tiết diện trục vẽ qua đường sinh này gọi là mặt phẳng tiếp tuyến của hình trụ.
Một mặt phẳng vuông góc với trục của hình trụ cắt mặt bên của nó dọc theo một đường tròn bằng chu vi của đáy.
Lăng kính nội tiếp trong hình trụ là lăng kính có đáy là các đa giác bằng nhau nội tiếp đáy của hình trụ. Các gân bên của nó tạo thành hình trụ. Một lăng kính được gọi là ngoại tiếp quanh một hình trụ nếu các đáy của nó là các đa giác bằng nhau ngoại tiếp các đáy của hình trụ. Các mặt phẳng của nó tiếp xúc với bề mặt bên của hình trụ.
Diện tích bề mặt bên của hình trụ có thể được tính bằng cách nhân chiều dài của hình trụ với chu vi của phần hình trụ với mặt phẳng vuông góc với hình trụ.
Diện tích bề mặt bên của một hình trụ thẳng có thể được tìm thấy bằng cách phát triển nó. Hình trụ là một hình chữ nhật có chiều cao h và chiều dài P bằng chu vi đáy. Do đó, diện tích bề mặt bên của hình trụ bằng diện tích phát triển của nó và được tính theo công thức:
Cụ thể, đối với hình trụ tròn bên phải:
P = 2πR, và Sb = 2πRh.
Tổng diện tích bề mặt của một hình trụ bằng tổng diện tích bề mặt bên và các đáy của nó.
Đối với hình trụ tròn thẳng:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Có hai công thức tính thể tích của hình trụ nghiêng.
Bạn có thể tìm thể tích bằng cách nhân chiều dài của máy phát với diện tích mặt cắt ngang của hình trụ với mặt phẳng vuông góc với máy phát.
Thể tích của một hình trụ nghiêng bằng tích của diện tích đáy và chiều cao (khoảng cách giữa các mặt phẳng chứa các đáy):
V = Sh = S l sin α,
Trong đó l là chiều dài của đường sinh và α là góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy. Cho hình trụ thẳng h = l.
Công thức tìm thể tích của hình trụ tròn như sau:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,
trong đó d là đường kính của đáy.
blog.site, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn gốc.